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Calculando a tensão de saída de um circuito RC Autor: José Pedro da Silva Júnior Considerando o circuito: Considerando a malha como: 𝑉𝑖𝑛 − 𝑉𝑅 − 𝑉𝑜𝑢𝑡 = 0 𝑉𝑖𝑛 = 𝑉𝑅 + 𝑉𝑜𝑢𝑡 Considerando o sinal de entrada alternado então podemos considera-lo como um sinal senoidal: 𝑉𝑖𝑛 = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) A tensão no resistor R é dada por: 𝑉𝑅 = 𝐼. 𝑅 Como Vout é o sinal no capacitor então: 𝑉𝑜𝑢𝑡 = 𝑄 𝐶 Sendo assim temos: 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) = 𝐼. 𝑅 + 𝑄 𝐶 Considerando que o circuito possui tensão, corrente e carga variável com o tempo, podemos derivar estas impedâncias: 𝑑 𝑑𝑡 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) = 𝑅 𝑑𝐼 𝑑𝑡 + 1 𝐶 𝑑𝑄 𝑑𝑡 Como a corrente é variação da carga no tempo, então: 𝑑 𝑑𝑡 𝑉𝑃𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) = 𝑅 𝑑𝐼 𝑑𝑡 + 𝐼 𝐶 Considerando que a corrente alternada se comporta de maneira senoidal, como a tensão de entrada com o acréscimo de uma fase, então: 𝐼 = 𝐼𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) Sendo assim: 𝑑 𝑑𝑡 𝑉𝑃𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) = 𝑅 𝑑 𝑑𝑡 𝐼𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝐼𝑝 𝐶 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) Derivando os termos: 𝜔𝑉𝑝 cos(𝜔𝑡) = 𝑅𝜔𝐼𝑝 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝐼𝑝 𝐶 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) Para facilitar o cálculo deverão ser usadas duas identidades trigonométricas: 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) = 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡). cos(𝜑) + cos(𝜔𝑡) . 𝑠𝑒𝑛(𝜑) cos(𝜔𝑡 + 𝜑) = cos(𝜔𝑡) . cos(𝜑) − 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡). sen(φ) Onde tem seno e cosseno nos substituiremos por essas identidades, assim algumas se anularam. Antes de substituirmos é interessante dividir tudo por 𝑅𝜔𝐼𝑝: 𝑉𝑝 𝐼𝑝𝑅 cos(𝜔𝑡) = cos(𝜔𝑡 + 𝜑) + 1 𝑅𝜔𝐶 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) 𝑉𝑝 𝐼𝑝𝑅 cos(𝜔𝑡) = [cos(𝜔𝑡) . cos(𝜑) − 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡). sen(φ)] + 1 𝑅𝜔𝐶 [𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡). cos(𝜑) + cos(𝜔𝑡) . 𝑠𝑒𝑛(𝜑)] Colocando 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) e 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) em evidência e igualando a equação à zero, temos: (cos(𝜑) + 1 𝑅𝜔𝐶 𝑠𝑒𝑛(𝜑) − 𝑉𝑝 𝐼𝑝𝑅 ) 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) + (−𝑠𝑒𝑛(𝜑) + 1 𝑅𝜔𝐶 cos(𝜑)) 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) = 0 Como é um sinal periódico, existem duas condições de contorno: uma quando o período 𝜔𝑡=0 e quando 𝜔𝑡 = 𝜋 2 , sendo assim para cada período teremos duas situações, na primeira: cos(𝜔𝑡) = cos(0) = 1 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(0) = 0 cos(𝜑) + 1 𝑅𝜔𝐶 𝑠𝑒𝑛(𝜑) − 𝑉𝑝 𝐼𝑝𝑅 = 0 cos(𝜑) + 1 𝑅𝜔𝐶 𝑠𝑒𝑛(𝜑) = 𝑉𝑝 𝐼𝑝𝑅 Para a segunda temos: cos(𝜔𝑡) = cos ( 𝜋 2 ) = 0 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) = 𝑠𝑒𝑛 ( 𝜋 2 ) = 1 −𝑠𝑒𝑛(𝜑) + 1 𝑅𝜔𝐶 cos(𝜑) = 0 1 𝑅𝜔𝐶 = 𝑠𝑒𝑛(𝜑) cos (𝜑) Ou seja, a tangente de 𝜑 é: 𝑡𝑔(𝜑) = 1 𝑅𝜔𝐶 Fazendo uma relação com os teoremas da trigonometria: (Agora tudo vai se encaixar) A hipotenusa é: 𝐻 = √1 + (𝑅𝜔𝐶)² O seno é dado por: 𝑠𝑒𝑛(𝜑) = 𝐶. 𝑂 𝐻 𝑠𝑒𝑛(𝜑) = 1 √1 + (𝑅𝜔𝐶)² E o cosseno é dado por: 𝑐𝑜𝑠(𝜑) = 𝐶. 𝐴 𝐻 𝑐𝑜𝑠(𝜑) = 𝑅𝜔𝐶 √1 + (𝑅𝜔𝐶)² Voltando para a primeira condição de contorno: cos(𝜑) + 1 𝑅𝜔𝐶 𝑠𝑒𝑛(𝜑) = 𝑉𝑝 𝐼𝑝𝑅 Agora que já conhecemos os senos e os cossenos, podemos substituir: 𝑅𝜔𝐶 √1 + (𝑅𝜔𝐶)² + 1 𝑅𝜔𝐶 1 √1 + (𝑅𝜔𝐶)² = 𝑉𝑝 𝐼𝑝𝑅 Resolvendo a soma das frações a corrente 𝐼𝑝 é dada por: 𝐼𝑝 = 𝜔𝐶 √1 + (𝑅𝜔𝐶)² 𝑉𝑝 Como foi definido lá no começo que a corrente é: 𝐼 = 𝐼𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) Então: 𝐼 = 𝜔𝐶 √1 + (𝑅𝜔𝐶)² 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) 𝐼 = 𝜔𝐶 √1 + (𝑅𝜔𝐶)² 𝑉𝑖𝑛 Lembrando que: 𝑉𝑜𝑢𝑡 = 𝑄 𝐶 𝑄 = ∫ 𝐼 𝑑𝑡 𝑄 = ∫ 𝜔𝐶 √1 + (𝑅𝜔𝐶)² 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)𝑑𝑡 𝑄 = 𝜔𝐶 √1 + (𝑅𝜔𝐶)² 𝑉𝑝 ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)𝑑𝑡 𝑄 = − 𝐶 √1 + (𝑅𝜔𝐶)² 𝑉𝑝𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) Como: 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) = −𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑 − 𝜋 2 ) Para que a exista carga o seno tem q ser diferente de zero, sendo assim : 𝑄 = 𝐶 √1 + (𝑅𝜔𝐶)² 𝑉𝑖𝑛 Como: 𝑉𝑜𝑢𝑡 = 𝑄 𝐶 𝑉𝑜𝑢𝑡 = 1 𝐶 . 𝐶 √1 + (𝑅𝜔𝐶)2 𝑉𝑖𝑛 |𝑉𝑜𝑢𝑡| |𝑉𝑖𝑛| = 1 √1 + (𝑅𝜔𝐶)2 Quando o produto 𝑅𝜔𝐶 for igual a 0, a razão é igual a 1. Isso vai ocorrer quando a tensão de saída for igual a tensão de entrada, quando o produto 𝑅𝜔𝐶 for igual a 1 a razão será igual a 0,707, neste ponto o circuito atingirá uma frequência característica, chamada 𝜔3Db (circuito que filtra baixas frequências). Já a tensão de saída no resistor é dada por: 𝑉𝑅 = 𝐼. 𝑅 Como: 𝐼 = 𝜔𝐶 √1 + (𝑅𝜔𝐶)² 𝑉𝑖𝑛 Então: 𝑉𝑅 = 𝑅𝜔𝐶 √1 + (𝑅𝜔𝐶)² 𝑉𝑖𝑛 |𝑉𝑜𝑢𝑡| |𝑉𝑖𝑛| = 𝑅𝜔𝐶 √1 + (𝑅𝜔𝐶)² Quando o produto 𝑅𝜔𝐶 for igual a 0, a razão é igual a 1. Isso vai ocorrer quando a tensão de saída for igual a tensão de entrada, quando o produto 𝑅𝜔𝐶 for igual a 1 a razão será igual a 0,707, neste ponto o circuito a frequência característica 𝜔3Db (circuito que filtra altas frequências).
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