RELATÓRIO - Vitor Souza Premoli - Carga e descarga de capacitores - Fis Exp II

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Carga e descarga de capacitores 
Vitor Souza Premoli Pinto de Oliveira 
 
Física exp. II – Licenciatura em Física – CCENS 
Universidade Federal do Espírito Santo – UFES 
2019/02 - Alegre-ES 
 
 
Resumo. O objetivo deste relatório é investigar o comportamento de carga e descarga de 
capacitores, visando em primeira instancia a determinação da constante de tempo através da 
analise gráfica bem como o estudo através de hipóteses e teorias envolvendo circuito RC. 
 
Palavras chave: Capacitores, constante de tempo, capacitância 
_______________________________________________________________________________________ 
 
 
 
1. Introdução 
1.1. Circuito R-C 
“Um capacitor é um sistema constituído por dois 
condutores separados por um isolante (ou imersos no 
vácuo)” [1]. Em um caráter qualitativo, cada condutor 
possui, inicialmente, carga líquida igual a zero e há 
transferência de elétrons de um condutor para o outro 
à medida que há passagem de corrente, dizemos, 
nesse caso, que o capacitor está sendo carregado. 
“No equilíbrio, os dois condutores possuem cargas 
de mesmo módulo, mas de sinais contrários, e a 
carga líquida no capacitor como um todo permanece 
igual a zero” [2]. 
Essa capacidade de acumular energia elétrica sob 
a forma de um campo eletrostático é denominado 
capacitância(F), e pode ser calculada pela seguinte 
expressão: 
 
𝐶 =
𝑞
𝑉
 (1) 
 
Onde pela razão, C é dado como a 
Capacitância(F), q a quantidade de carga(C) e V a 
diferença de potencial(V) entre os condutores. 
 
Capacitores podem ser acoplados a diversos 
circuitos aos quais o carregam e descarregam. Na 
figura 1 temos um esquema que nos mostra como um 
circuito simples pode ser usado para carregar um 
capacitor. 
 
 
Figura 1 circuito composto por um capacitor e 
resitor ligados em série 
 
A ideia consiste em ao ligarmos o terminal 2 com 
o 3 é completado o chamado circuito RC, que é nada 
mais que um circuito em série formado por um 
capacitor, uma fonte ideal de força eletromotriz 
(Fem) ε e uma resistência R. Quando o mesmo é 
completado, uma corrente surge e à medida que isso 
ocorre uma quantidade q de cargas cada vez mais 
acumula nas placas do capacitor e estabelece uma 
diferença de potencial cada vez maior entre as placas 
do componente. Quando essa diferença de potencial 
é igual a tensão entre os terminais da fonte, a corrente 
deixa de correr pelo sistema, ou seja, levando em 
consideração a expressão (1) é visto que a 
quantidade de carga final é dada como 𝑞 = 𝐶𝜀, com 
𝜀 sendo a Fem da fonte. 
1.2. Carga de capacitor 
Aplicando a lei das malhas no circuito 
apresentado na figura 1, de forma que a corrente 
esteja percorrendo no sentido horário a partir do 
terminal negativo da fonte. Temos que: 
 
𝜀 − 𝑖𝑅 − 
𝑞
𝐶
= 0 (2) 
Onde o primeiro termo é dado como a tensão da 
fonte, em seguida a da resistência do sistema, dada 
pela primeira lei de ohm: 
 
 𝑉 = 𝑅𝑖 (3) 
 
Onde V a diferença de potencial, R a resistência 
e i a corrente elétrica). E por fim a tensão do 
capacitor dada pela expressão 1. Levando em 
consideração que em um circuito R-C a corrente 
elétrica varia com o tempo à medida que o capacitor 
é carregado, nós podemos reescrever a expressão 2 
como: 
𝑑𝑞
𝑑𝑡
𝑅 + 
𝑞
𝐶
= 𝜀 (4) 
 
Resolvendo essa equação diferencial, que 
descreve a variação, com o tempo, da carga q no 
capacitor, temos a seguinte relação: 
 
𝑞 = 𝐶𝜀 (1 − 𝑒
−𝑡
𝑅𝐶) (5) 
 
Pela relação da expressão 5 é possível observar 
que para t = 0, o termo 𝑒
−𝑡
𝑅𝐶 é igual a 1, dessa forma, 
a quantidade(q) de cargas é zero. Também é possível 
ver que quando t depois de muito tempo (ou sejam, 
tendendo ao infinito) o termo 𝑒
−𝑡
𝑅𝐶 tende a zero. Isso 
significa que a equação também prevê corretamente 
o valor final da carga do capacitor, 𝑞 = 𝐶𝜀. Do 
mesmo, também é possível fazer uma análise 
qualitativa com corrente elétrica do circuito; ao 
derivarmos a expressão 5, é possível consegui a 
relação da quantidade de carga que varia com o 
tempo. Logo: 
 
𝑖 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
= (
𝜀
𝑅
) 𝑒
−𝑡
𝑅𝐶 (6) 
Analisando a expressão 5 podemos ver que a 
corrente elétrica inicial(t=0) é dada como a razão 
𝜀
𝑅
 
enquanto a mesma tende a zero no momento que 
𝑡 → ∞. Novamente, mesclando a equação 3 com a 
expressão 5, temos também uma relação com a 
diferença de potencial do capacitor. 
 
𝑉 =
𝑞
𝐶
= 𝜀 (1 − 𝑒
−𝑡
𝑅𝐶) (7) 
 
Onde, validando corretamente o valor inicial e 
final previstos do capacitor, vemos que inicialmente 
o componente se torna descarregando, visto que para 
𝑡 = 0, a tensão é nula, e com para 𝑡 → ∞, o mesmo 
tendo ao mesmo valor da fonte, ou seja, quando é 
totalmente carregando(𝑉 = 𝜀). 
1.3. A Constante de Tempo 
O produto RC que aparece nas expressões 5,6 e 
7 diz respeito ao tempo necessário para carregar um 
capacitor até 63,2% da carga total. Esse resultado é 
denominado constante de tempo capacitiva ou tempo 
de relaxação do circuito, e é identificado pela letra 
grega τ. Dessa forma, se expressarmos isso na 
formula 5 temos que: 
 
𝑞(τ = RC) = 𝐶𝜀(1 − 𝑒−1) = 𝐶𝜀 0,632 (8) 
 
Onde o termo 𝐶𝜀 é aqui representado como valor 
final da carga do capacitor e o termo decimal como 
a porcentagem referente nesse tempo τ. Circuitos RC 
são frequentemente classificados de acordo com o 
tempo em que um capacitor é carregado em termos 
de tempo τ , onde quanto maior o valor dele maior o 
tempo necessário para carrega-lo; também podemos 
comparar essa constante com relação a resistência do 
circuito, onde quanto maior a mesma, mais tempo 
leva para carregar; isso acaba sendo justificável visto 
que para uma resistência é pequena, a corrente flui 
com mais facilidade, portanto carregando com mais 
rapidez o componente. 
1.4. Descarregando um capacitor 
Tendo em mente agora que o capacitor já esteja 
carregado, levando em conta ainda o circuito da 
figura 1, ligando o terminal 2 com o 1 através do 
acionando da chave, temos agora um novo circuito 
formado apenas pelo capacitor e o resistor. A 
equação diferencial que descreve o sistema continua 
a expressão 4, porém como não temos a presença da 
fonte mais, levamos em consideração que ela se 
comportará da seguinte maneira: 
 
𝑑𝑞
𝑑𝑡
𝑅 + 
𝑞
𝐶
= 0 (9) 
Procurando a solução dessa equação diferencial 
temos que: 
𝑞 = 𝑞0 (𝑒
−𝑡
𝑅𝐶) (10) 
 
E derivando a mesma temos que: 
 
𝑖 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
= − (
𝑞0
𝑅𝐶
) 𝑒
−𝑡
𝑅𝐶 (11) 
Podemos ver que em ambas as expressões, com 
𝑡 → ∞ , carga e corrente, diminuem 
exponencialmente com o tempo; demonstração clara 
de que um capacitor vai perdendo energia, ou seja 
descarregando, ao longo do tempo. 
Mesclando a expressão 11 com a expressão 3 e 
assumindo que a tensão da fonte é dada como 𝜀 =
𝑞0
𝐶
 
, temos uma relação de tensão do capacitor: 
 
𝑉 = 𝜀 (𝑒
−𝑡
𝑅𝐶) (12) 
Onde, diferente da expressão 7, vemos uma 
queda exponencial da tensão à medida que o tempo t 
percorre. 
1.5. Associação de capacitores 
“Os capacitores de um circuito ou de parte de um 
circuito às vezes podem ser substituídos por um 
capacitor equivalente, ou seja, um único capacitor 
com a mesma capacitância que o conjunto de 
capacitores” [3]. Desse modo, para capacitores em 
série adotamos como a soma do inverso da 
capacitância de todos os componentes. Assim, para 
um conjunto de n resistores temos que: 
 
1
𝐶𝑒𝑞
= (
1
𝐶1
+
1
𝐶2
+
1
𝐶3
+ ⋯ +
1
𝐶
) (13) 
 
E para componentes em paralelo nós temos outra 
relação, onde consiste em simplesmente no 
somatório dos capacitores contidos no circuito. 
 
𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 + … + 𝐶𝑛 (14)2. Procedimento Experimental 
Como ferramentas e componentes, para a pratica 
foram utilizados os seguintes materiais: 
 
• 2 Multímetros Digitais; 
• Fonte de Tensão fixa (6,36 V); 
• Cronômetro de celular; 
• Placa de Montagem; 
• 2 Capacitores (200μF cada); 
• 2 Resistores (108,9 kΩ e 99,4 kΩ). 
 
A primeira parte do experimento consistiu na 
descarga e carga de um capacitor. O circuito 
utilizado foi o mesmo apresentado na figura 1 e 
montado de forma que o um multímetro na função 
de amperímetro fosse conectado em série com a 
placa e um na função de voltímetro fosse acoplado 
em paralelo junto ao capacitor. Respectivamente, 
ajustados na escala de 200μ DCA e 20 DCV. 
Inicialmente o capacitor está totalmente 
descarregado e a chave ligando o terminal 3 com o 
2. Ligado a fonte e passado um tempo, o capacitor é 
carregado. Repetindo os procedimentos anteriores 
para que se entenda bem o comportamento da tensão 
e intensidade de corrente elétrica na carga de um 
capacitor, foi dado início ao próximo procedimento, 
que consiste em descarregar o capacitor. 
Com o capacitor carregado, foi mudado a posição 
da chave (posição 1). O mesmo a partir do momento 
foi descarregado através da resistência. Com o 
auxílio de tabelas foram anotados os valores da 
tensão do circuito à medida que os capacitores iam 
carregando e descarregando. Por praticidade foi 
invertido os polos do voltímetro, na intenção que o 
leitor do multímetro nos indicasse valores positivos 
da tensão, já que no descarregamento do capacitor a 
corrente é invertida no processo; esse método foi 
adotado para todo o restante do procedimento 
experimental. 
A segunda parte consistiu no cálculo 
experimental da resistência interna do 
voltímetro. Para isso foi utilizado o seguinte 
circuito: 
 
Figura 2 circuito formado por capacitor e 
voltímetro 
Ajustado o seletor de escala do multímetro para 
medida de tensão (DCV) em 20 Volts, foi carregado 
o capacitor do mesmo modo que ocorreu na primeira 
parte do experimento. Admitindo que o capacitor já 
estava plenamente carregado sob a tensão da fonte, 
foi novamente ligado o terminal 2 com o 1. O 
capacitor é descarregado através da resistência 
interna do voltímetro. Feito isso, foi coletado as 
medidas de tempo para os valores de tensão. 
A terceira parte do experimento consistiu na 
análise de uma associação em série de capacitores. 
Para isso foi modificado o circuito para o seguinte 
rearranjo: 
 
Figura 3 
Dois capacitores foram acoplados de forma que 
ficassem em série. Em seguida, admitindo que os 
capacitores estão plenamente carregados sob a 
tensão da fonte, foi conectado o terminal 2 com o 1 
novamente. Os capacitores a partir desse momento 
foram mais uma vez descarregados através da 
resistência interna do voltímetro e assim como 
coletado as medidas de tempo para os valores de 
tensão indicados na tabela. 
Para finalizar, nessa etapa tivemos como prática 
a analise dessa vez por parte uma associação 
paralela de capacitores, onde mais uma vez o 
circuito foi adaptado para a seguinte circulação: 
 
Figura 4 
E mais uma vez, assim como ocorreu com o 
circuito anterior, admitindo que o capacitor esteja 
plenamente carregado sob a tensão da fonte, foi 
desligado a chave e pelo auxílio do voltímetro o 
capacitor foi descarregado através da resistência 
interna do aparelho. A partir disso foi coletado as 
medidas de tempo para os valores de tensão. 
3. Resultados e Discussão 
 
3.1. Carga e descarga de um 
capacitor 
Vemos que inicialmente a corrente elétrica é 
registrada pelo amperímetro como (29,8 ± 0,3) A e a 
tensão como (0 ± 0,02) V. Suas incertezas foram 
dadas, respectivamente, como 1,0% do resultado 
registrado somado com a resolução do aparelho, 0, 1 
µA; já o voltímetro foi dado como 0,5% do valor 
registrado somado com a resolução do aparelho (10 
MV) multiplicado por 2 – esse cálculo de incerteza 
se vale para todas as medições obtidas presentes 
nesse relatório. 
Assim como previsto na introdução, foi 
observado que a intensidade da corrente e tensão 
variam com o tempo, onde depois de 2min, 22s, 06 
ms, ou seja, até o capacitor carregar, foram 
registrados respectivamente 0 A e (6,36± 0,02) V. E 
assim como previsto pela expressão 7, até o tempo 
necessário para o capacitor carregar, foi registrado 
que o mesmo teve o mesmo valor considerado pela 
fonte fixa, ou seja, 𝑉 = 𝜀. 
Para monitoramento do comportamento do 
capacitor, foi coletado medidas de tempo para os 
valores de tensão à medida que o mesmo carregado 
e descarregava. 
Tabela 1 Tensão em função do tempo - 
Carregamento 
Tempo(t) 
(min:seg:ms) 
± Δt V(V) ± ΔV 
00:00:00 
00:00:01 
0 
0,02 00:04:08 0,5 
00:08:80 1 
00:13:16 1,5 
00:19:16 2 
00:26:13 2,5 
00:39:08 3 
00:49:07 3,5 
00:58:00 4 
01:21:00 4,5 
02:20:00 5 
Assim como comentado acima, a tensão do 
capacitor aumenta à medida que o tempo passa; para 
uma melhor visualização, temos o gráfico 1 
demonstrando esse crescimento. 
Gráfico 1 
 
Analisando o gráfico 1 é possível visualizar que 
para 𝒕 → ∞ a curva, gerada pelo ajuste não-linear 
proveniente da expressão 7, se estabiliza em um 
valor, e assim como previsto esse valor é o referente 
a tensão da fonte fixa, fruto de quando o capacitor já 
está carregado. 
No processo inverso (descarregamento do 
capacitor), foi monitorado e coletado os dados e na 
finalidade de produzir uma tabela. 
Tabela 2 Tensão em função do tempo - 
Descarregamento 
Tempo(t) 
(min:seg:ms) 
± Δt V(V) ± ΔV 
00:00:00 
00:00:01 
5 0,02 
00:03:99 4,5 0,02 
00:08:28 4 0,02 
00:14:23 3,5 0,02 
00:19:47 3 0,02 
00:26:71 2,5 0,02 
00:36:70 2 0,02 
00:48:38 1,5 0,02 
01:05:00 1 0,02 
01:35:00 0,5 0,02 
 
 Do mesmo modo, também é possível produzir 
um gráfico a partir da tabela construída. 
Gráfico 2 
 
 
Assim como é demonstrado no gráfico 2, 
também foi possível fazer um ajuste não linear, 
gerada pela expressão 12, e assim como ocorreu no 
gráfico anterior foi encontrado a constante de tempo 
do circuito. Com relação ao valor esperado (τ = 46 
s), dois outros foram encontrados a partir das duas 
curvas obtidas (τ = 39,7 ± 1,6 e 39,9 ± 0,7, 
respectivamente), e levando em consideração a faixa 
de incerteza, disponibilizada pelo próprio software 
SCIDAVES, é possível ver que se adequam ao valor 
previsível. 
3.2. Calculo experimental da 
resistência interna do 
voltímetro 
Admitindo que o capacitor já esteja carregado, 
foi coletado as medidas de tempo para os valores de 
tensão, assim como são indicados na tabela abaixo – 
a incerteza do cronometro se deu pelo uso do menor 
divisor da escala, assim como é recomendado para 
instrumentos digitais. 
Tabela 3 Tensão em função do tempo – 
Descarregamento 
Tempo(t) 
(min:seg:ms) 
± Δt V(V) ± ΔV 
00:00:00 
00:00:01 
6 
0,02 
00:18:81 5,5 
00:39:77 5 
01:03:87 4,5 
01:30:64 4 
02:01:87 3,5 
02:32:31 3 
03:20:02 2,5 
04:12:97 2 
05:22:07 1,5 
07:02:03 1 
10:02:35 0,5 
 
Na ausência de um resistor, o descarregamento se 
deu pelo próprio resistor presente no voltímetro; em 
comparativo com a primeira situação, podemos ver 
uma resistência maior presente no aparelho. Para 
validar o acontecimento temos o uso do gráfico 2 
como objeto de análise. 
Gráfico 3 
 
 
Através do ajuste linear proveniente da expressão 
12 foi possível achar a constante do tempo( τ =
232 ± 2 s ) e do mesmo modo que ela implica no 
tempo que leva para o capacitor leva para carregar 
63,2% da tensão total, ela inversamente indica a 
quantidade de tempo que levaria para descarregar, ou 
seja, o período que leva para reduzir para 36,8% de 
sua carga total. 
Dessa forma, como esperado no instante τ o 
capacitor, levando em conta que sua carga total era 
inicialmente (6,35 ± 0,02) V, deveria ter por volta de 
(2,34 ± 0,007) V. Levando em consideração ao valor 
encontrado, vemos que o tempo τ está entreo minuto 
3:20:02 e 4:12:97, ou seja, entre 2,5 V e 2,0 V, dessa 
forma podemos ver que chegou aproximadamente ao 
valor esperado. 
Como o termo τ foi encontrado, é possível 
encontrar a resistência do voltímetro, ou seja: 
 
τ = RC (15) 
 
τ
𝐶
= R (16) 
 
Dessa forma temos como valor da resistência R= 
(1160 ± 10) kΩ; sua incerteza aqui é dada pela 
fórmula geral para propagação de incertezas. 
 
𝜎𝑅 = √(
𝜕𝑅
𝜕τ
𝜎τ)
2
 (17) 
 
Onde a capacitância(C) é aqui reconhecida como 
constante, sendo τ a única variável da expressão 16. 
Enfim, assim como comentado, vemos que a 
resistência é aqui dada como um valor muito maior 
se formos comparar com os resistores utilizados no 
circuito anterior; justificável visto o tempo maior 
que levou para o capacitor descarregar. 
 
3.3. Associação em série de 
capacitores 
Dados os capacitores já carregados, mais uma 
vez foi possível monitorar e coletar as medidas de 
tempo para os valores de tensão, assim como são 
mostrados na tabela. 
 
Tabela 4 Tensão em função do tempo – 
descarregamento 
Tempo(t) 
(min:seg:ms) 
± Δt 
V(V) 
± ΔV 
00:00:00 
00:00:01 
6 
0,02 
00:09:00 5,5 
00:20:29 5 
00:32:67 4,5 
00:46:32 4 
01:01:82 3,5 
01:20:45 3 
01:42:04 2,5 
02:08:94 2 
02:43:17 1,5 
03:33:31 1 
05:01:10 0,5 
 
Na realização da tabela, podemos ver que houve 
um tempo menor para descarregar, se compararmos 
as outras tabelas. Isso leva a crer se colocarmos 
capacitores em série, obtivemos um valor menor de 
capacitância. 
Gráfico 4 
 
 Na produção do gráfico foi possível encontrar o 
valor da constante de tempo do circuito (τ = 120 ± 2 
s). Analisando-o, vemos que corresponde 36,8% da 
tensão inicial algo em torno do 2,3 V; assim como 
esperado e já calculado anteriormente. 
Partindo do valor da resistência interna do 
voltímetro calculada anteriormente, podemos ver 
que a capacitância da associação é dada como 
(0,0001 ± 0,00001) F. Comparando com o calculado 
a partir da expressão 13, (0,0001± 0,00001) F, é 
possível ver que confere, levando a faixa de 
incerteza, com o resultado deduzido. 
3.4. Associação paralela de 
capacitores 
Com os dados coletados foi possível criar uma 
tabela referente a tensão à medida que o capacitor era 
descarregado. 
 
Tabela 5 Tensão em função do tempo – 
Descarregamento 
Tempo(t) 
(min:seg:ms) 
± Δt 
V(V) 
± ΔV 
00:00:00 
00:00:01 
6 
0,02 
00:37:84 5,5 
01:21:05 5 
02:11:29 4,5 
03:07:96 4 
04:12:59 3,5 
05:26:08 3 
06:56:11 2,5 
08:44:88 2 
11:07:46 1,5 
14:46:62 1 
20:39:90 0,5 
 
Podemos ver um tempo maior para capacitores 
usados em paralelo do que usados em série. Na 
produção do gráfico a partir da tabela, também é 
possível encontrar a constante de tempo do circuito. 
Gráfico 5 
 
Na leitura do gráfico podemos ver que se 
equipara a 36,8% da tensão inicial algo em torno de 
2,5 e 2,0 V. Na presença dos dados obtidos pelo 
gráfico 5, podemos ver que a constante de tempo é 
igual a (485 ± 7) s. Pelo auxilio da expressão 16 e 
com a resistência já conhecida do voltímetro, temos 
que a capacitância nesse circuito é equivalente a (458 
± 23) µF. Comparando com o valor da capacitância 
encontrada pela expressão 14, (400 ± 20) µF, é 
possível ver que dado a faixa de incerteza nós temos 
valores aproximadamente iguais, levando a ver que 
a estimativa obtida é verdadeira. 
4. Conclusão 
O circuito RC, formado pela presença de um 
capacitor e resistor, quando ligado é possível 
visualizar uma taxa de corrente elétrica que a medida 
do tempo decresce à medida que o capacitor é 
carregado. Como prevê a teoria, foi descrito que esse 
valor decresce de forma exponencialmente, assim 
como consequentemente ocorre com a corrente 
elétrica do circuito. 
Podemos ver que os resultados coletados nesse 
relatório foram de plena concordância com aquilo 
que foi previsto tanto em teoria e quanto em hipótese 
por formula, valendo tanto para o cálculo da 
constante do tempo quanto da capacitância dos 
capacitores utilizados. 
Na experimentação foi possível observar 
também que no quesito maior capacidade de reter 
por mais tempo diferença de tensão, ou melhor, 
maior tempo para descarregar; capacitores postos em 
série são mais efetivos que postos em paralelo, prova 
disso é a constante de tempo encontrada em ambos, 
onde dado o mesmo resistor, a capacitância se tornou 
maior para os postos em série. 
 
5. Referências 
[1] H. D. Young, R. A. Freedman., F. W. Sears, & 
M. W Zemansky. (2009). Sears e Zemansky física 
III: eletromagnetismo. Pearson. 12° edição.105. 
 
[2] H. D. Young, R. A. Freedman., F. W. Sears, & 
M. W Zemansky. (2009). Sears e Zemansky física 
III: eletromagnetismo. Pearson. 12° edição.105. 
 
[1] D. Halliday (2016). Fundamentos de Física: 
Eletromagnetismo. Volume 3. Grupo Gen-LTC. 
10° edição. 274.