UA2_1_-_MecTec_-_Centro_de_Gravidade_Centro_de_Massa_e_Centroide

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Mecânica Técnica – Aula 06 Prof. Gilberto Gomes 
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Centro de gravidade, centróides, momentos estáticos de superfícies 
e carregamentos distribuídos. 
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CONTEÚDO: 
1. Centro de Gravidade de um Corpo 
2. Cálculo do Centro de Gravidade de um Corpo 
3. Centro de Massa de um Corpo 
4. Centro de Gravidade, Centro de Massa e Centróide de um Corpo 
5. Momento de 1° Ordem (Momento Estático) de Superfícies 
6. Corpos Compostos 
7. Centro de Gravidade de Áreas Compostas 
8. Cálculo do Centróide por Integração 
9. Centróides de formas comuns de superfície 
10. Teorema de Pappus Guldin 
11. Carregamentos Distribuídos sobre Vigas 
12. Resultante de um Carregamento Distribuído Geral 
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1- Centro de Gravidade de um Corpo. 
O Centro de gravidade G é um ponto no qual se 
localiza o peso resultante de um sistema de 
pontos materiais. 
Para se determinar esse ponto é preciso no 
entanto levar em conta algumas particularidades 
desse sistema de pontos materiais. 
-Os pesos dos Pontos materiais compreendem um 
sistema de forças paralelas que pode ser 
substituído por um único peso resultante aplicado 
no Ponto G. 
Nota – Isso não é rigorosamente correto, uma vez que os pesos não são paralelos entre si. Ao contrário, são todos, concorrentes ao 
centro da Terra. Além disso, a aceleração da gravidade g é, na realidade, diferente para cada ponto material, pois g depende da 
distância do ponto material ao centro da Terra. Para fins práticos, no entanto, ambos os efeitos podem ser desprezados 
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2- Cálculo do Centro de Gravidade de um Corpo. 
A soma dos momentos dos pesos de todos os pontos materiais em relação aos eixos 
x,y,z é então igual ao momento do peso resultante em relação a esses eixos. 
Embora os pesos não produzam momento em relação ao eixo z, podemos obter a 
coordenada z do ponto G imaginando que o sistema de coordenadas, com os 
pontos materiais fixos, sofre uma rotação de 90º em torno de x ou de y. 
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3- Centro de Massa de um Corpo 
Para o estudo de problemas que dizem respeito ao movimento da matéria sob a 
influência de forças, isto é, problemas de dinamica, é necessário localizar um ponto 
denominado centro de massa. 
 
Sendo, W = m.g , temos: 
 
 
*Comparando esta equação com a equação de centro de gravidade, podemos 
perceber que a localização do centro de massa coincide com o centro de gravidade. 
*Nota: Isso é verdadeiro desde que se considere que o campo gravitacional tem a mesma direção e sentido em todos os pontos do espaço. Essa premissa é adequada 
para a maioria das aplicações em engenharia, já que a gravidade não varia significativamente entre, por exemplo, a base e o topo de um edifício. 
Na Física, o centróide, o centro de gravidade e o centro de massas podem, sob certas circunstâncias, coincidir 
entre si. Nesses casos, pode-se utilizar os termos de maneira intercambiável, mesmo que designem conceitos 
diferentes. O centróide é um conceito puramente geométrico enquanto que os outros dois se relacionam com 
as propriedades físicas de um corpo. Para que o centróide coincida com o centro de massa, o objeto deve 
ter densidade uniforme, ou a distribuição de matéria através do objeto deve ter certas propriedades, tais 
como simetria. Para que um centróide coincida com o centro de gravidade, o centróide deve coincidir com o 
centro de massa e o objeto deve estar sob a influência de um campo gravitacional uniforme. 
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 4-Centro de Gravidade, Centro de Massa e Centróide de um Corpo 
Um corpo rígido é composto de um infinito número de partículas. Dessa maneira, se os princípios utilizados para 
determinar as equações anteriores são aplicados ao sistema de partículas que compõem este corpo, torna-se 
necessário utilizar a operação de integração, em vez da natureza discreta de um somatório de termos. 
*Nota: Isso é verdadeiro desde que se considere que o campo gravitacional tem a mesma direção e sentido em todos os pontos do espaço. 
Essa premissa é adequada para a maioria das aplicações em engenharia, já que a gravidade não varia significativamente entre, por exemplo, a 
base e o topo de um edifício. 
Centro de Gravidade 
Centro de Massa 
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Centróide de um volume 
Centróide de uma Área 
O Centróide é um ponto que 
define o centro geométrico 
de um corpo 
 4-Centro de Gravidade, Centro de Massa e Centróide de um Corpo 
Centróide de uma linha 
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Simetria – Os centróides de algumas formas geométricas devem ser parcial ou 
completamente especificados por meio das condições de simetria. Nos casos em que 
a forma geométrica tem um eixo de simetria, o centróide dela ficará localizado sobre 
este eixo. 
Nos casos em que uma forma tem dois ou três eixos de simetria, o centróide se 
localizará na interseção desses eixos. 
 4-Centro de Gravidade, Centro de Massa e Centróide de um Corpo 
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5- Momento de 1° Ordem (Momento Estático) de Superfícies 
A
xdA
x ∫=
A
y d A
y ∫=
∫= xdAQy
∫= ydAQx Momento de 1ª ordem (momento estático) da superfície A em relação ao eixo x 
Momento de 1ª ordem (momento estático) da superfície 
A em relação ao eixo y 
A
Q
x y= A
Qy x=
Obs: o Momento Estático é uma definição matemática e será útil no cálculo 
das forças cortantes devidas a carregamentos transversais. 
Coordenadas do centróide (C) de uma superfície: 
Coordenadas do centróide de uma superfície: 
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6- Corpos Compostos 
Um corpo composto consiste em um conjunto de corpos de formatos “simples”, que 
podem ser retangulares, triangulares, semicirculares, etc. Esse corpo 
frequentemente pode ser segmentado ou dividido em suas partes constituintes e, 
contanto que o peso e a localização do centro de gravidade de cada uma dessas 
partes sejam conhecidos, podemos eliminar a necessidade de integração para obter 
o centro de gravidade do corpo como um todo. 
Quando o corpo tem densidade ou peso específico constante, o centro de gravidade 
coincide com o centróide do corpo. 
Em que casos o Centro de Gravidade não coincide com o Centróide do Corpo ??? 
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7- Centro de Gravidade de Áreas Compostas 
Em muitos casos uma área de forma qualquer pode ser decomposta em várias áreas de 
formas usuais e propriedades conhecidas. 
( )YX ,
( ) nnn PyPyPyPPPY +++=+++ . . .. . . . . 221121
 Cálculo do CG da área composta: 
Sejam P1, P2,....Pn os pesos das n áreas em que a área total pode ser decomposta 
P = peso total da superfície 
nPPPP +++= . . . .21
∑ xM
Sejam , ... as coordenadas dos CG dessas n áreas ( )11, yx ( )22 , yx ( )nn yx ,
( ) nnn PxPxPxPPPX +++=+++ . . .. . . . . 221121∑ yM
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∫ xdA
8- Cálculo do Centróide por Integração 
Se o elemento infinitesimal de área dA for escolhido como sendo um 
retângulo (lados dx e dy), a solução de é dada por uma integral 
dupla (integra-se em x e y) 
Seja R a equação da curva que define a superfície. 
R(x,y) : se R é dada em função das coordenadas cartesianas x e y; 
R(r,θ): se R é dada em função das coordenadas polares r e θ 
∫= x d AAx ∫= y d AAyCoordenadas do centróide (C) da superfície: 
∫∫∫ = xdxdyxdA
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8- Cálculo do Centróide por Integração 
Para evitar o cálculo da integral dupla, quando se tem R(x,y) escolhe dA como um retângulo 
estreito e para R(r,θ) escolhe dA como um setor fino circular solução de uma integral 
simples em x ou y ou θ simplifica o cálculo. 
R(r,θ) 
dA 
( )elel yx , Coordenadas do centróide do elemento de área dA 
Fazendo-se o momento estático de toda a área igual à soma (ou integral) dos momentos 
estáticos de cada elemento de área: 
∫== d AxAxQ e ly ∫== d AyAyQ e lx
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8- Cálculo do Centróide por Integração 
A
d Ax
x e l∫=
A
d Ay
y e l∫=
Coordenadas do centróide (C) da superfície: 
∫== d AxAxQ e ly ∫== d AyAyQ e lx
∫= dAAObs: se a área não for conhecida, pode-se calculá-la: 
Integrais simples (em x, y ou θ) para 
elementos retangulares ou em forma de 
setor circular 
Momentos Estáticos: 
( )elel yx , Coordenadas do centróide do elemento de área dA 
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dA 
(triângulo) 
8- Cálculo do Centróide por Integração 
Centróide do retângulo: no seu centro; 
Centróide do setor fino (triângulo): à distância (2/3)r de seu vértice. 
( )d yxad A −=
xxel =
( ) θθ drr drb hd A 2
2
1
2
1
2
1
===
yyel = θc o s3
2rxe l =2
yyel = θs e nrye l 3
2
=
2
xaxel
+
=
( )elel yx ,Cálculo das Coordenadas do centróide do elemento de área dA 
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 Centróides 
de Formas 
Comuns de 
Superfícies 
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9- Centróides de Formas Comuns de Superfícies 
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Exemplo1: Detremine o centróide do segmento circular do fio indicado na figura abaixo:. 
Como o arco é circular podemos aplicar o sistema de coordenadas polares para resolver 
este problema: 
Escolha do elemento infinitesimal com coordenada (R , θ ) 
Exemplo de Aplicação 
Comprimento e braço de momento: 
O comprimento do elemento infinitesimal é dL = R.dθ e seu centróide está localizado 
em x = R.cosθ e y = R.senθ 
Aplicando as equações de integração em linha obtemos: 
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Exemplo2: Detremine a distância ȳ do eixo x ao centróide da área do triângulo apresentado na figura 
abaixo: 
Como o arco é circular podemos aplicar o sistema de coordenadas 
polares para resolver este problema: 
A área do elemento infinitesimal é 
Aplicando a equação de integração de área, obtemos : 
e seu centróide está localizado à distância ȳ = y do eixo x. 
Exemplo de Aplicação 
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Exemplo 3: Localize a Coordenada x do centróide da área sombreada limitada pelas duas curvas e 
Exemplo de Aplicação 
Um elemento infinitesimal de espessura dx é apresentado na figura abaixo 
O elemento intercepta a curva em ponto arbitrários (x , y1) e (x , y2) e ele tem altura (y2 - y1). 
A área do elemento é e seu centróide está localizado em 
Solução 1 
Solução 2 
A área do elemento é e seu centróide está localizado em 
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10- Teorema de Pappus e Guldin 
Os dois teoremas de Pappus e Guldinus, que foram primeira mente desenvolvidos por Pappus 
de Alexandria durante o século III d.C e bem mais tarde reintroduzidos pelo matemático suíço 
Paul Guldin ou Guldinus, século XVII, são utilizados para a determinação de áreas e volumes 
quaisquer 
Área da superfície – a área de uma superfície 
de revolução é igual ao produto do comprimento 
da curva geradora pela distância percorrida pelo 
centróide da curva para gerar a superfície. 
Volume – O volume de um corpo de revolução é 
igual ao produto da área geradora pela distância 
percorrida pelo centróide da área na geração do 
volume. 
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10- Teorema de Pappus e Guldin 
Quando um elemento infinitesimal de uma curva 
gira por uma distância 2πr. Esse elemento gera um 
anel com área de superfície: 
Quando um elemento infinitesimal de área realiza 
uma rotação de 2πr de distância em torno de um eixo. 
Esse elemento gera um anel com volume igual a: 
Formas Compostas 
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Exemplo 6: Demonstre que a área da superfície de uma esfera é e seu volume é 
Exemplo de Aplicação 
Utilizando a tabela de propriedades de massa e geometria 
obtem-se o centróide do círculo. O ângulo de rotação do 
raio é θ = 2π ,. 
O volume da esfera é gerado pela rotação da área 
semicircular em relação ao eixo x. Utilizando a tabela de 
propriedades de massa e geometria , obtem-se o 
centróide do semicírculo. 
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11- Carregamentos Distribuídos Sobre Vigas 
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Exemplo 8: Um carregamento distribuído com p = 800.x (Pa) atua no topo de uma superfície de uma viga. 
Determine a intensidade e a posição da força resultante equivalente. 
Solução: A função de carregamento p = 800.x (Pa) indica que a 
intensidade das cargas varia uniformemente de p = 0 em x=0 até 
p=7.200 (Pa) em x=9 (m). Uma vez que a intensidade é uniforme 
ao longo da largura da viga (eixo y), o carregamento deve ser 
visualizado em duas dimensões: 
A intensidade da força resultante é equivalente à área do 
triângulo definido pela curva 
A linha de ação da força resultante passa pelo centróide C do 
triângulo: 
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12- Resultante de um Carregamento Distribuído Geral 
Carregamento distribuído sobre uma superfície plana 
Localização da força resultante: A localização de FR pode ser determinada igualando-se os 
momentos de FR aos momentos de todas as forças dF em relação a seus eixos x,y. 
Força Resultante: para determinar a intensidade da força resultante FR , é necessário somar cada uma 
das forças diferenciais dFque atuam sobre sobre toda a superfície da placa. Esse somatório pode ser 
expresso matematicamente como uma integral: 
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12- Resultante de um Carregamento Distribuído Geral 
Carregamento distribuído sobre uma placa plana de largura constante 
O plano da placa forma um ângulo em relação à horizontal, detal forma que sua 
borda superior está localizada a uma profundidade z1 e sua borda inferior está 
localizada na sua borda z2 . 
 
Como a pressão varia linearmente com a profundidade , a distribuição de pressão 
sobre a placa é representada por um volume trapezoidal com intensidades 
. em z1 e em z2 . 
Pressão de um Fluido 
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12- Resultante de um Carregamento Distribuído Geral 
Carregamento distribuído sobre uma placa curva de largura constante 
Carregamento distribuído sobre uma placa plana de largura variável 
Quando a placa submersa é curva, a pressão atuante normal à placa muda continuamente de direção. 
A força resultante deste carregamento é igual ao volume descrito pela área 
da placa como sua base e a distribuição da pressão linearmente variável 
como sua altura. 
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12- Resultante de um Carregamento Distribuído Geral 
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Exemplo 9: Detmine a intensidade e a localização da força hidrostática resultante que atua na placa 
retangular submersa AB. A placa tem largura de 1,5 m. Considere ρa = 1000kg/m3 . 
As pressões na água nas profundidades A e B, são: 
Como a placa tem largura constante, as intensidades do carregamento em A e B, são: 
Com o uso da tabela de propriedades de massa e 
geometria, determinamos a intensidade e a posição da 
força resultante: 
O Mesmo resultado pode ser obtido considerando-se dois componentes de FR , definidos 
pelo Triângulo e pelo Retângulo formados pelo carregamento: 
A posição de FR é determinada pelo 
somatório dos momentos no ponto B: 
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O Conteúdo desta aula é referente ao Capítulo 9 do livro 
Estática – Mecânica para Engenharia – Hibbeler 12ª Edição 
 
Leiam o capítulo de referência e resolvam os exercícios. 
 
Não acumulem a matéria, estudem periodicamente. 
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