Controle e Servomecanismos

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Disciplina: Controle e Servomecanismos (GENG1103)
Centro Universitário Augusto Motta – UNISUAM
Semestre 2024.1 / Turma: MEC0901N
Prof. Vinicius Coutinho
	: vinicius.coutinho@souunisuam.com.br / prof.vcoutinho@gmail.com
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Aula 01
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Avaliação
Avaliações: A1, A2 e A3
A2 e A3 compreenderão toda a matéria
A1 = prova escrita (80%) + APS1 (20%); 			 A2 = prova escrita (40%) + trabalho (40%) + APS2 (20%); A3 = prova escrita (100%).
Trabalhos e APS serão realizadas em grupo (5 a 6 alunos/ grupo)
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Avaliação
Trabalhos e Atividades Práticas Supervisionadas (APS): A1 e A2
A turma será dividida em grupos de 5 a 6 alunos. Na APS 1, cada grupo fará uma pesquisa sobre uma técnica/tecnologia que aplica, na prática, conceitos relativos a Controle e Servomecanismos, e enviará o material escrito por meio do Google Classroom (o manual da atividade com todos os detalhes está disponível no Google Classroom). O envio do material (no prazo e através da plataforma) vale até 20% da nota da A1.
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Avaliação
Trabalhos e Atividades Práticas Supervisionadas (APS): A1 e A2
Na APS 2, cada grupo irá elaborar um roteiro para gravação de um vídeo de 3 a 5 minutos sobre a técnica/tecnologia abordada na APS 1 (ver manual da atividade). O envio deste roteiro (no prazo e por meio do Google Classroom) vale até 20% da nota da A2.
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Avaliação
Trabalhos e Atividades Práticas Supervisionadas (APS): A1 e A2
O trabalho da A2 consiste no vídeo gravado/editado com base no roteiro anteriormente mencionado. O vídeo será exibido e discutido em sala de aula, na data estipulada. O vídeo deve estar de acordo com o estabelecido no manual da atividade e vale até 40% da nota da A2.
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Avaliação
NOTA = [(A1 + A2)|A3] / 2
APROVAÇÃO  NOTA ≥ 6,0
Serão tomadas as duas maiores notas dentre as três obtidas nas referidas avaliações
Frequência às aulas
Diretrizes da Faculdade para registro de presença
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Datas importantes
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22/04/2024 : Entrega da parte escrita da APS da A1 (pesquisa)
06/05/2024 : A1 (prova escrita)
20/05/2024 : Entrega da parte escrita da APS da A2 (roteiro)
17/06/2024 : Apresentação dos trabalhos da A2 (vídeos)
24/06/2024 : A2 (prova escrita)
08/07/2024 : A3 (prova escrita)
CONVERSAS PARALELAS
Muito bem vindas, se for na cantina, botequim, etc.
Regras de convivência
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CELULAR
Só em vibracall e atendê-lo do lado de fora da sala!
Regras de convivência
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HORÁRIOS
Aula: 20:20 – 22:00
Atendendo às regras da UNISUAM, no dia da aplicação das avaliações as mesmas iniciarão 15 minutos após o início das aulas, isto é, às 20:35
Além disso, o primeiro aluno só poderá se retirar da sala transcorridos 30 minutos, quando, então, nenhum outro poderá entrar em sala. Antes disso, outros alunos poderão ingressar para realizar a prova
E-mail (vinicius.coutinho@souunisuam.com.br)
E-mail (prof.vcoutinho@gmail.com)
Representança de turma
Google Classroom 
Fora da escola = Instagram (@viniciuscoutinhoprof)
Canais de comunicação
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Objetivos da disciplina
"Adquirir conhecimento e desenvolver capacidade para a modelagem de sistemas matemáticos, detalhamento de características de sistemas lineares invariantes no tempo e apresentação de solução de problemas práticos através do projeto de sistemas de controle automático".
"Conhecer as principais características de sistemas de controle em malha fechada; construir modelos matemáticos para sistemas físicos, mecânicos ou elétricos; detalhar a resposta transitória de sistemas lineares e invariantes no tempo de 1° e 2° ordem; identificar e compreender o conceito de estabilidade de um sistema de controle; construir o diagrama de lugar das raízes de um sistema de malha fechada; aplicar os conceitos de lugar das raízes e diagramas de Bode no projeto de controladores; (...)"
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Meus objetivos – habilitá-los a:
Analisar as informações: causa-efeito, esquemas/diagramas.
Sintetizar as informações: pensamento criativo.
Avaliar as informações: julgamento de valor.
Problemas no mundo real!		
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Organização e conteúdo da disciplina
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Unidade I: Características e modelagem matemática de sistemas de controle
Introdução aos sistemas lineares
Características dos sistemas em malha aberta e malha fechada
Função de transferência de um sistema de controle
Representação de sistemas sob a forma de diagramas de bloco
Álgebra de blocos
Modelagem no espaço de estados
Representação de sistemas dinâmicos no espaço de estados
Sistemas mecânicos e elétricos
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Organização e conteúdo da disciplina
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Unidade II: Análise da resposta transitória de sistemas lineares
Introdução. Tipos de entrada
Respostas no domínio do tempo de sistemas de 1ª ordem
Respostas no domínio do tempo de sistemas de 2ª ordem
Especificações de regime transitório para sistemas de 2ª ordem
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Unidade III: Estabilidade de sistemas
Introdução ao conceito de estabilidade
Critério de estabilidade de Routh
Ações de controle básicas: efeitos das ações de controle derivativa e integral sobre o desempenho de sistemas
Diagramas de lugar das raízes. Construção
Análise de estabilidade de sistemas de controle pelo método do lugar das raízes
Organização e conteúdo da disciplina
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Unidade IV: Estabilidade de sistemas
Diagramas de bode. Construção
Compensação por avanço de fase
Compensação por atraso de fase
Compensação por atraso e avanço de fase
Controladores PID. Regras para sintonia e utilização de controladores PID
Organização e conteúdo da disciplina
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Bibliografia básica adotada na disciplina
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011. 5. Reimpr. 2014. 809 p.
NISE, Norman S. Engenharia de sistema de controle. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. Reimpr. 2013. 745 p.
DORF, Richard C.; BISHOP, Robert H. Sistema de controle moderno. 12. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. Reimpr. 2015. 814 p.
Além das obras acima indicadas, a cada encontro nosso serão indicadas fontes de informação e referências bibliográficas complementares, específicas à respectiva aula.
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Introdução aos sistemas de controle
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Definições
Variável controlada e sinal de controle ou variável manipulada: a variável controlada é a grandeza ou a condição que é medida e controlada. O sinal de controle ou variável manipulada é a grandeza ou a condição modificada pelo controlador, de modo que afete o valor da variável controlada. Normalmente, a variável controlada é a saída do sistema. Controlar significa medir o valor da variável controlada do sistema e aplicar o sinal de controle ao sistema para corrigir ou limitar os desvios do valor medido a partir de um valor desejado.
Planta: pode ser uma parte de equipamento ou apenas um conjunto de componentes de um equipamento que funcione de maneira integrada, com o objetivo de realizar determinada operação. Neste curso, denominaremos planta qualquer objeto físico a ser controlado (como um componente mecânico, um forno, um reator químico ou uma espaçonave).
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Introdução aos sistemas de controle
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Definições
Processo: "uma operação natural de progresso contínuo ou um desenvolvimento caracterizado por uma série de modificações graduais que se sucedem umas às outras de modo relativamente estável, avançando em direção a dado resultado ou objetivo, ou uma operação contínua progressiva, artificial ou voluntária, que consiste em uma série de ações ou movimentos controlados, sistematicamente destinados a atingir determinados fins ou resultados". Neste curso, designaremos processo toda operação a ser controlada, por exemplo, processos químicos, econômicos e biológicos.
Sistema: é a combinação de componentes que agem em conjunto para atingir determinado objetivo. A ideia de sistema não fica restrita apenas a algo físico. O conceito de sistema pode ser aplicado a fenômenos abstratos dinâmicos, como aqueles encontrados na economia. Dessa maneira, a palavra "sistema" pode ser empregada para se referir a sistemas físicos, biológicos, econômicos e outros.
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Introdução aos sistemas de controle
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Definições
Distúrbio: é um sinalque tende a afetar de maneira adversa o valor da variável de saída de um sistema. Se um distúrbio for gerado dentro de um sistema, ele será chamado distúrbio interno, enquanto um distúrbio externo é aquele gerado fora do sistema e que se comporta como um sinal de entrada no sistema.
Controle com realimentação: refere-se a uma operação que, na presença de distúrbios, tende a diminuir a diferença entre a saída de um sistema e alguma entrada de referência e atua com base nessa diferença.
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Introdução aos sistemas de controle
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Exemplo de sistema de controle
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Introdução aos sistemas de controle
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Controle de malha fechada vs. controle de malha aberta
Sistemas de controle com realimentação:: sistema que estabelece uma relação de comparação entre a saída e a entrada de referência, utilizando a diferença como meio de controle. Exemplos: controle de temperatura ambiente, corpo humano. Também conhecidos como sistemas de controle de malha fechada.
Em um sistema de controle de malha fechada, o sinal de erro atuante, que é a diferença entre o sinal de entrada e o sinal de realimentação (que pode ser o próprio sinal de saída ou uma função do sinal de saída e suas derivadas e/ou integrais), realimenta o controlador, de modo a minimizar o erro e acertar a saída do sistema ao valor desejado.
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Introdução aos sistemas de controle
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Controle de malha fechada vs. controle de malha aberta
Sistemas de controle de malha aberta:: o sinal de saída não exerce nenhuma ação de controle no sistema. Isso quer dizer que, em um sistema de controle de malha aberta, o sinal de saída não é medido nem realimentado para comparação com a entrada. Exemplos: máquina de lavar roupas, semáforos de trânsito.
Na presença de distúrbios, um sistema de controle de malha aberta não vai executar a tarefa desejada.
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Introdução aos sistemas de controle
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Controle de malha fechada vs. controle de malha aberta
Uma vantagem do sistema de controle de malha fechada é o fato de que o uso da realimentação faz que a resposta do sistema seja relativamente insensível a distúrbios externos e a variações internas nos parâmetros do sistema. Dessa forma, é possível a utilização de componentes relativamente imprecisos e baratos para obter o controle preciso de determinado sistema, ao passo que isso não é possível nos sistemas de malha aberta.
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Introdução aos sistemas de controle
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Controle de malha fechada vs. controle de malha aberta
Do ponto de vista da estabilidade, o sistema de controle de malha aberta é mais fácil de ser construído, pelo fato de a estabilidade ser um problema menos significativo. Por outro lado, a estabilidade constitui um problema importante nos sistemas de controle de malha fechada, que podem apresentar uma tendência de correção de erros além do necessário, causando oscilações de amplitude constante ou variável.
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Introdução aos sistemas de controle
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Controle de malha fechada vs. controle de malha aberta
Para sistemas nos quais as entradas são conhecidas com antecipação e que são isentos de distúrbios, é conveniente o uso do controle de malha aberta. Sistemas de controle de malha fechada são mais vantajosos somente nos casos em que houver distúrbios e/ou alterações não previsíveis nos componentes do sistema.
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Introdução aos sistemas de controle
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Controle de malha fechada vs. controle de malha aberta
Principais vantagens dos sistemas de controle de malha aberta:
são simples de ser construídos e têm fácil manutenção;
são menos dispendiosos que um sistema correspondente de malha fechada;
não apresentam problemas de estabilidade;
são adequados quando existem dificuldades de medição da saída ou quando a medição precisa da saída não é economicamente possível (ex.; no caso da máquina de lavar roupas, seria bastante dispendiosa a instalação de um dispositivo para avaliar se as roupas foram bem lavadas).
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Introdução aos sistemas de controle
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Controle de malha fechada vs. controle de malha aberta
Principais desvantagens dos sistemas de controle de malha aberta:
distúrbios e mudanças na calibração causam erros, e a saída pode apresentar diferenças em relação ao padrão desejado;
para que a saída mantenha a qualidade requerida, é necessária uma regulagem periódica.
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Referências
Bibliografia :
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011. 5. Reimpr. 2014. 809 p.
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Aula 02
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Diagramas de blocos
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Função de transferência
Para um sistema linear, invariante no tempo, a função de transferência G(s) é:
onde X(s) é a transformada de Laplace da entrada e Y(s) é a transformada de Laplace da saída do sistema, considerando que todas as condições iniciais sejam nulas. Assim:
A multiplicação no domínio complexo equivale à convolução no domínio do tempo
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Diagramas de blocos
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Resposta impulsiva
Considere a saída (resposta) de um sistema linear invariante no tempo a um impulso unitário de entrada quando as condições iniciais são nulas. Como a transformada de Laplace da função impulso unitário é igual à unidade, a transformada de Laplace da saída do sistema é:
A transformada inversa de Laplace de G(s) é a função de resposta impulsiva (função característica) do sistema:
Dessa maneira, é possível obter informações completas sobre as características dinâmicas de um sistema, por meio da excitação por um impulso de entrada e medindo a resposta.
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Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
Um sistema de controle pode ter vários componentes. Para mostrar as funções que são executadas em cada um desses componentes, normalmente utilizamos um diagrama chamado diagrama de blocos.
O diagrama de blocos de um sistema é uma representação gráfica das funções desempenhadas por cada componente e do fluxo de sinais entre eles. Esses diagramas descrevem o inter-relacionamento que existe entre os vários componentes. Diferindo da representação matemática abstrata pura, um diagrama de blocos tem a vantagem de indicar mais realisticamente o fluxo de sinais do sistema real.
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Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
Em um diagrama de blocos, todas as variáveis do sistema são ligadas umas às outras por meio de blocos funcionais. O bloco funcional ou simplesmente bloco é um símbolo da operação matemática que é aplicada ao sinal de entrada do bloco que produz o sinal de saída. A função de transferência dos componentes normalmente é incluída nos blocos correspondentes, os quais estão conectados por setas que indicam a direção do fluxo de sinais.
Saída
Entrada
As setas são designadas como sinais.
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Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
Somador:: um círculo com uma cruz é o símbolo que indica a operação de soma. O sinal de mais ou menos na extremidade de cada seta indica se o sinal deve ser somado ou subtraído.
Ponto de ramificação:: é um ponto do qual o sinal que vem de um bloco avança simultaneamente em direção a outros blocos ou somadores.
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Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
Diagrama de blocos de um sistema de malha fechada:
Saída
A saída é realimentada e comparada à referência de entrada
Referência de entrada
Entrada do bloco
C(s), nesse caso, é obtida pela multiplicação da função de transferência, G(s), por E(s)
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Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
Quando a saída é realimentada ao somador para comparação com a entrada, é necessário converter a forma do sinal de saída à do sinal de entrada. Tal conversão é feita através do elemento de realimentação, cuja função de transferência é H(s). O elemento de realimentação é responsável por modificar a saída antes de ser comparada à entrada.
Nesse exemplo, o sinal de realimentação é B(s) = H(s)C(s)
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Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
Função de transferência de malha aberta:: é a relação entre o sinal de realimentação [B(s)] e o sinal de erro atuante [E(s)]:
Função de transferência do ramo direto:: é a relação entre o sinal de saída [C(s)] e o sinal de erro atuante [E(s)]:Se H(s) for unitária, a função de transferência de malha aberta e a função de transferência do ramo direto serão as mesmas.
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Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
Função de transferência de malha fechada:: é a função de transferência que relaciona a saída [C(s)] á entrada [R(s)]. Sejam:
Logo, 
Assim, 
A saída do sistema de malha fechada depende da função de transferência de malha fechada e da natureza da entrada
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Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
Um controlador automático compara o valor real de saída da planta com a entrada de referência (valor desejado = setpoint), determina o desvio e produz um sinal de controle que reduzirá o desvio a zero ou a um valor pequeno. A maneira pela qual o controlador automático produz o sinal de controle é chamada ação de controle.
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Classificação dos controladores industriais
Controladores on-off
Controladores proporcionais
Controladores integrais
Controladores proporcional-integrais (PI)
Controladores proporcional-derivativos (PD)
Controladores proporcional-integral-derivativos (PID)
Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
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Controladores on-off
O elemento atuante tem somente duas posições fixas (on e off).
É relativamente simples e barato.
Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
Seja o sinal de saída do controlador u(t) e o sinal de erro atuante e(t). u(t) permanece em um valor máximo ou mínimo conforme e(t) seja positivo ou negativo.
u(t) = U1, para e(t) > 0
= U2, para e(t) < 0,
onde U1 e U2 são constantes.
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Controladores on-off
Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
Exemplo
Diagrama de blocos
O intervalo diferencial faz com que a saída u(t) mantenha seu valor atual até que e(t) tenha variado ligeiramente além do valor zero, para prevenir uma operação muito frequente do mecanismo de on­-off.
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Procedimentos para construir um diagrama de blocos
Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
Escrever as equações que descrevem o comportamento dinâmico de cada componente.
Obter a transformada de Laplace destas equações (tabela).
Representar individualmente, em forma de bloco, a transformada de Laplace de cada equação.
Agrupar os elementos em um diagrama de blocos completo.
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Procedimentos para construir um diagrama de blocos
Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
Escrever as equações que descrevem o comportamento dinâmico de cada componente.
Obter a transformada de Laplace destas equações (tabela).
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Procedimentos para construir um diagrama de blocos
Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
Representar individualmente, em forma de bloco, a transformada de Laplace de cada equação.
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Procedimentos para construir um diagrama de blocos
Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
Agrupar os elementos em um diagrama de blocos completo.
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Referências
Bibliografia :
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011. 5. Reimpr. 2014. 809 p.
SAUTER, Esequia et al. A propriedade da transformada de Laplace da integral de uma função. UFRGS, 2022. Disponível em https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-tl/apdtedtd-a_propriedade_da_transformada_de_laplace_da_integral_de_umafunx00e7x00e3o.html
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Figuras da Internet :
https://www.researchgate.net/publication/305284960/figure/fig6/AS:668877520379916@1536484236521/LM35-Temperature-sensor.jpg
https://cdn2.hubspot.net/hub/2203666/hubfs/Beamex_blog_pictures/Pt100_resistance-temperature_v1_ESP.jpg?width=1500&name=Pt100_resistance-temperature_v1_ESP.jpg
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/67/Convolution_of_spiky_function_with_box.gif
Referências
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Apêndice
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Função de transferência e resposta impulsiva
A multiplicação (no domínio complexo) Y(s) = G(s)X(s) equivale à seguinte convolução no domínio do tempo (isto é, à soma do produto das funções g(t) e x(t)) :
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Aula 03
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Regra 1 – blocos em série: as funções de transferência se multiplicam.
Redução do diagrama de blocos:: regras
Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
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Redução do diagrama de blocos:: regras
Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
Regra 2 – blocos em paralelo: as funções de transferência se somam.
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Redução do diagrama de blocos:: regras
Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
Regra 2 – blocos em paralelo: as funções de transferência se somam.
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Redução do diagrama de blocos:: regras
Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
Regra 3 – malha de realimentação:
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Redução do diagrama de blocos:: regras
Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
Regra 3 – malha de realimentação:
Obs.: quando for realimentação positiva, isto é, (+) no lugar do (−):
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Redução do diagrama de blocos:: regras
Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
Regra 3 – malha de realimentação:
Realimentação unitária:: H(s) = 1.
Exemplo prático: seguidor de tensão com amplificador operacional
Vin = Vout
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Redução do diagrama de blocos:: regras
Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
Regra 3 – malha de realimentação:
*Macete para simplificar malha de realimentação unitária* Adicionar o numerador ao denominador.
Exemplo:
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Redução do diagrama de blocos:: movimentação de blocos
Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
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Redução do diagrama de blocos:: movimentação de blocos
Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
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Redução do diagrama de blocos:: movimentação de blocos
Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
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Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
Ex. 1: mostre que os dois diagramas de bloco ao lado têm a mesma função de transferência V2(s)/V1(s):
Redução do diagrama de blocos:: exercícios
Formulário:
Resposta:
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Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
Ex. 2: reduza o diagrama de blocos ao lado e determine a função de transferência V2(s)/V1(s):
Redução do diagrama de blocos:: exercícios
Formulário:
(e usar o macete).
Resposta:
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Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
Ex. 3: Reduza o diagrama de blocos ao lado e determine a função de transferência V(s)/F(s):
Redução do diagrama de blocos:: exercícios
Formulário:
Resposta:
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Redução do diagrama de blocos:: exercícios adicionais propostos (livro Engenharia de controle moderno, Ogata K., 5ª ed.)
Exemplo 2.1
A.2.1
A.2.2
A.2.3
Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
A.2.5
B.2.1
B.2.2
B.2.3
Redução do diagrama de blocos:: vídeo aulas indicadas
https://youtu.be/AcLvlDP6D90?si=HpNVrTSFisdMzxfV
https://youtu.be/5Hg5BuQu8io?si=WMNcjcHacfNXqHcw
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Referências
Bibliografia :
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011. 5. Reimpr. 2014. 809 p.
ALMEIDA, H. L. S. Álgebra de Blocos (slides de aula do curso de Controle Linear 1). Rio de Janeiro: UFRJ, 2017. Disponível em: http://del.ufrj.br/~heraldo/eel660_slides_03_Algebra_de_Blocos.pdf
KIMPARA, M. Redução de diagrama de blocos. UFMS, 2015. Disponível em: https://silo.tips/download/aula-6-reduao-de-diagrama-de-blocos-prof-marcio-kimpara
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Aula 04
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Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
Ex. 4: Reduza o diagrama de blocos ao lado e determine a função de transferência Ω(s)/Va(s):
Redução do diagrama de blocos:: exercícios
Formulário:
Resposta:
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Diagramas de blocos
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Sistemas de controle automático
Ex. 5: Reduza o diagrama de blocos ao lado e determine a função de transferência C(s)/R(s):
Redução do diagrama de blocos:: exercícios
Resposta:
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Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos
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Modelagem no espaço de estados 
Introduz a teoria conhecida como "Controle Moderno".
Adequada para sistemas de múltiplas entradas e múltiplas saídas (MIMO).
Possibilita o projeto de controladores usando técnicas avançadas.
Abordagemno domínio do tempo (ou da frequência).
"Controle clássico": monovariável (SISO), domínio da frequência complexa [F(s)].
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Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos
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Modelagem no espaço de estados 
Conceito de estado:
A representação entrada/saída de um sistema linear só é válida quando, no tempo inicial, o sistema está no estado estacionário.
Quando o sistema não está inicialmente em estado estacionário é necessário conhecer as condições iniciais para poder determinar o comportamento frente a uma entrada u.
O conjunto de condições iniciais que é necessário conhecer para poder determinar y(t) univocamente em t [t0 , ∞) constitui o estado inicial do sistema.
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Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos
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Modelagem no espaço de estados 
Conceito de estado:
Ao aplicar uma força externa (entrada u(t), t[t0 , ∞)) a uma partícula (sistema) no tempo t0 , o seu movimento (saída y(t)) para t ≥ t0 , não estará univocamente determinado enquanto não forem conhecidas, também, a posição e a velocidade dessa partícula no tempo t0 . Estas duas informações constituem o estado do sistema no tempo t0 .
O estado de um sistema no tempo t0 é o conjunto de informações em t0 que, junto com a entrada u(t), t[t0 , ∞), determina univocamente o comportamento do sistema para t ≥ t0 .
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Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos
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Modelagem no espaço de estados 
Conceito de estado:
O estado é uma quantidade auxiliar que pode não ser facilmente identificável em termos físicos. O estado pode estar constituído por um conjunto finito ou infinito de valores.
No caso de estados descritos por um número finito de variáveis, eles serão representados por vetores x(t), denominados vetores de estado. Cada elemento do vetor é uma variável de estado. O espaço de dimensão n em que x(t) pode variar é o espaço de estados.
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Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos
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Modelagem no espaço de estados 
Equações no espaço de estados:
A análise no espaço de estados envolve três tipos de variáveis que estão presentes na modelagem de sistemas dinâmicos: variáveis de entrada, variáveis de saída e variáveis de estado.
Nº de variáveis de estado = nº de integradores (dispositivos de memória).
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Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos
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Modelagem no espaço de estados 
Equações no espaço de estados:
Ex.: sistema com n integradores, r entradas e m saídas:
Equações de estado:			Equações de saída:
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Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos
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Modelagem no espaço de estados 
Equações no espaço de estados:
Ex.: sistema com n integradores, r entradas e m saídas:
Def.:
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Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos
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Modelagem no espaço de estados 
Equações no espaço de estados:
Ex.: sistema com n integradores, r entradas e m saídas:
Equação de estado:
Equação de saída:
Linearizando as equações acima em torno do estado de operação:
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Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos
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Modelagem no espaço de estados 
Equações no espaço de estados:
Ex.: sistema com n integradores, r entradas e m saídas:
A(t): matriz de estado (n × n)
B(t): matriz de entrada (n × m)
C(t): matriz de saída (r × n)
D(t): matriz de transmissão direta (r × m)
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Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos
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Modelagem no espaço de estados 
Equações no espaço de estados:
Ex.: sistema com n integradores, r entradas e m saídas:
Se as funções vetoriais f e g não envolverem t explicitamente (sistema invariante no tempo), então se pode escrever as equações de estado e saída da seguinte forma:
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Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos
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Modelagem no espaço de estados 
Equações no espaço de estados:
Ex.: sistema com n integradores, r entradas e m saídas:
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Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos
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Modelagem no espaço de estados 
Exemplo: sistema massa-mola-amortecedor
força u(t)
→ entrada
deslocamento y(t) → saída
Equação do sistema:
Sistema de 2ª ordem  2 integradores
2 variáveis de estado:
ou, apenas, 
81
Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos
82
Modelagem no espaço de estados 
Exemplo: sistema massa-mola-amortecedor
força u(t)
→ entrada
deslocamento y(t) → saída
Equação de saída:
82
Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos
83
Modelagem no espaço de estados 
Exemplo: sistema massa-mola-amortecedor
Propriedades da multiplicação de matrizes (revisão): seja X a matriz que resulta do produto das matrizes A e B:
X
A
B
Portanto,
83
Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos
84
Modelagem no espaço de estados 
Exemplo: sistema massa-mola-amortecedor
Sob a forma vetorial-matricial, podemos reescrever as equações
e
Equação de estado:
A equação de saída pode ser reescrita assim:
84
Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos
85
Modelagem no espaço de estados 
Exemplo: sistema massa-mola-amortecedor
Lembrando que na forma padrão
e
obtemos as matrizes:
A(t): matriz de estado (n × n)
B(t): matriz de entrada (n × m)
C(t): matriz de saída (r × n)
D(t): matriz de transmissão direta (r × m)
85
Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos
86
Modelagem no espaço de estados 
Exemplo: sistema massa-mola-amortecedor
As saídas dos integradores são as variáveis de estado (x1 e x2)!
Diagrama de blocos
86
Referências
Bibliografia :
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011. 5. Reimpr. 2014. 809 p.
ANGELICO, B. A. , SCALASSARA, P. R. e VARGAS, A. N. Espaço de Estados: Controle (slides da aula 13 do curso de Princípios de Controle). Cornélio Procópio: UTFPR, 2016. Disponível em: http://paginapessoal.utfpr.edu.br/avargas/courses-1/principios_de_controle/principios_de_controle/principiosCap13_v2.pdf
ALMEIDA, P. Análise de Sistemas Físicos (apostila). Rio de Janeiro: UERJ, 2007. Disponível em http://www.eng.uerj.br/deptos/professor/207/Notas_de_Aula_ASF.pdf
87
87
Referências
Bibliografia (cont.) :
SECCHI, A. R. Representação no Espaço de Estados. UFRJ, 2012. Disponível em: http://www2.peq.coppe.ufrj.br/Pessoal/Professores/Arge/COQ790/Cap_8.pdf
PUC-Rio. Sistema mola-massa-amortecedor. c2023. Disponível em: https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/20591/sistema_mola_amortecedor2.html
88
88
Aula 05
89
89
Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos
90
Modelagem no espaço de estados 
Exercício 1: represente o circuito RLC, visto ao lado, na forma			 e
.
Seja o sistema é definido pelas equações: 
e 
Considere, ainda, as definições das variáveis de estado, a saber, x1(t) = i(t) e x2(t) = eo(t). Seja a entrada u(t) = ei (t) e a saída y(t) = eo(t).
Dica: reescrever as equações diferenciais que definem o sistema substituindo convenientemente as variáveis originais pelas variáveis de estado e usando a notação de ponto de Newton, quando aplicável, antes de montar as matrizes.
90
Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos
91
Modelagem no espaço de estados 
Resposta do exercício:
.
Exercício 1: represente o circuito RLC, visto ao lado, na forma			 e
Que tal tentar construir o diagrama de blocos?
91
Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos
92
Modelagem no espaço de estados 
Exercício 2 [Adaptado do problema B.2.9 do livro Engenharia de controle moderno, Ogata K., 5ª ed.]
Considere o sistema descrito por: 
Deduza a representação no espaço de estados do sistema.
Dica: 1º) defina as variáveis de estado: x1 = y, x2 = y e x3 = y;
Depois) escreva uma equação para cada xn.
.
.
.
.
92
Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos
93
Modelagem no espaço de estados 
Resposta do exercício:
Exercício 2 [Adaptado do problema B.2.9 do livro Engenharia de controle moderno, Ogata K., 5ª ed.]
Que tal tentar construir o diagrama de blocos?
93
Exercícios adicionais propostos:
Livro Engenharia de controle moderno, Ogata K., 5ª ed.
A.2.6
A.3.394
Modelagem no espaço de estados
Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos
Livro Engenharia de sistemas de controle, Nise N., 6ª ed.
Exemplo 3.1
B.3.3
94
Referências
Bibliografia :
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011. 5. Reimpr. 2014. 809 p.
ANGELICO, B. A. , SCALASSARA, P. R. e VARGAS, A. N. Espaço de Estados: Controle (slides da aula 13 do curso de Princípios de Controle). Cornélio Procópio: UTFPR, 2016. Disponível em: http://paginapessoal.utfpr.edu.br/avargas/courses-1/principios_de_controle/principios_de_controle/principiosCap13_v2.pdf
95
95
Apêndice
96
Gabarito de exercício
.
Reescrevendo as equações do sistema:
Gabarito:
Exercício 1: represente o circuito RLC, visto ao lado, na forma			 e
96
Apêndice
97
Gabarito de exercício
Se 
Gabarito (cont.):
e 
Equação de estado:
, então:
Equação de saída [dado que y(t) = eo(t) = x2(t)]:
A
B
C
97
Apêndice
98
Gabarito de exercício
Gabarito (cont.):
1/L
R/L
∫
1/C
∫
u(t)
y(t)
x2(t)
+
−
x1(t)
1/L
+
−
98
Apêndice
99
Gabarito de exercício
Quando se juntam as duas equações de estado, nota-se que é um sistema de 2ª ordem, por isso são necessários dois integradores.
Gabarito (cont.):
,
Além disso,
. Logo,
e
e
Reescrevendo:
e dividindo por C:
2ª ordem
99
Apêndice
100
Gabarito de exercício
Exercício 2 [Adaptado do problema B.2.9 do livro Engenharia de controle moderno, Ogata K., 5ª ed.] Considere o sistema descrito por		 . Deduza a representação no espaço de estados do sistema.
Gabarito:
100
Apêndice
101
Gabarito de exercício
Gabarito (cont.):
Se 
Então, a equação de estado é:
A
B
Equação de saída [dado que y = x1 ]:
C
101
Apêndice
102
Gabarito de exercício
Gabarito (cont.):
2
3
∫
∫
∫
u
y
x1
x2
x3
+
+
+
−
102
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image80.wmf
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
21
11
22
21
12
11
21
11
b
b
a
a
a
a
x
x
image81.wmf
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
21
22
11
21
21
12
11
11
21
11
b
a
b
a
b
a
b
a
x
x
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÷
÷
ø
ö
ç
ç
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æ
×
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
21
11
22
21
12
11
21
11
b
b
a
a
a
a
x
x
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oleObject1.bin
oleObject2.bin
oleObject3.bin
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