Apostila Exercicios-Mat Financeira

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JUROS COMPOSTOS NA HP 12c 
 
 
 
CONTEÚDO 
 
01. Capitalização com uma aplicação página. 02 
 1.1. Funções Financeiras página 03 
 1.2. Taxas página 06 
 1.3. Desconto página 08 
 1.4. Compreendendo Juros Compostos página 09 
 
02. Capitalização com uma sequência de aplicações página 13 
 2.1. Tipos de prestações página 16 
 2.2. Contagem de tempo página 19 
 2.3. Compreendendo Prestações página 20 
 
03. Bateria de exercícios página 23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
01. Você depositou R$4.000,00 na caderneta de poupança que rende 2% ao mês. 
Quanto terá depois de 8 meses? 
 
 
Na calculadora financeira HP 12c, faça assim: 
 
DADOS f CLx FIN 2 i 8 n 4000 CHS PV FV 
VISOR 0,00 2,00 8,00 4.000,00 4.686,64 
 
Entrar com os três dados: taxa, número de períodos e valor presente, depois, teclar 
o FV, valor futuro. 
Não importa a ordem de entrada de i, n, PV, que são os dados. A última tecla FV é a 
do pedido. Na linha debaixo é o que aparece no visor. 
 
 
02. Calcule o valor futuro em cada situação e confira a resposta 
 
Dados Resposta 
a) R$600,00 a 10% a.m. durante 2 meses. R$ 726,00 
b) R$450,00 a 1,4% a.m. durante 144 meses. R$ 3.331,80 
c) R$1.700,00 a 1,5% a.m. durante 180 meses. R$ 24.793,43 
d) R$900,00 a 1,3% a.m. durante 150 meses. R$ 6.246,82 
e) R$3.000,00 a 2% a.m. durante 12 meses. R$ 3.804,73 
f ) R$1.800,00 a 1,8% a.m. durante 200 meses. R$ 63.801,09 
 
 
03. Calcule o valor futuro em cada situação (Lembrar que os juros são contados 
de período em período e que o número de períodos também deve ser na mesma 
unidade de tempo. Mais à frente, vamos voltar a esse assunto de conversão.): 
 
Dados Resposta 
a) R$600,00 a 8% a.m, durante 3 semestres. R$2.397,61 
b) R$2.400,00 a 1,5% a.m. durante 4 anos. R$4.904,35 
c) R$3.000,00 a 7% por semestre, durante 2 anos. R$3.932,39 
 
 
04. Qual o montante gerado por um capital de R$ 2.800,00 aplicado a uma taxa de 
1,5% a.m. durante 3 anos? 
 
 
05. Que juros rendeu um capital de R$12.000,00 ao final de oito anos, aplicado à 
taxa de 18% ao ano? 
 
 
06. Uma população de 6 000 pardais cresce a uma média de 20% ao mês. 
Quantos serão os pardais no final de 6 meses? 
 
 
07. Uma bactéria se reproduz a uma média de 5% ao dia. Começando com o 
número 120.000 bactérias, quantas bactérias haverá em 4 dias? 
 
 
08. Uma loja vende um par de tênis a R$150,00 à vista. Caso o cliente opte por 
pagar a prazo a loja cobra 8% de juros por quinzena. Quanto custará o tênis após 3 
quinzenas? 
 
 
09. Um investidor aplicou em um CDB de 90 dias. O valor aplicado foi de 
R$834,00 à taxa de 2% a.m. Qual será o valor a ser resgatado? 
 
 
10. Uma aplicação de R$2.500,00 rendeu juros de 1,5% a.m. Quanto capitalizou 
depois de 3 trimestres? 
 
 
Respostas: 04) R$4.785,59 05) R$33.106,31 06) Perto de 20.000 07) 145.860,75 
08) R$188,96 09) R$885,05 10) R$2.858,47. 
 
 
AS FUNÇÕES FINANCEIRAS 
 
 
São cinco as funções financeiras: 
 
n número de períodos, de prestações, tempo, prazo. 
i taxa de juros 
PV valor presente, valor atual, capital inicial, valor principal (present value) 
PMT valor das prestações, parcelas. 
FV valor futuro (future value). 
 
 
Vamos começar com as quatro funções n, i, PV e FV, pensando em uma única 
aplicação, deixando PMT das varias aplicações, ou prestações, para logo depois. 
 
 
Conhecendo três desses quatro valores, podemos calcular o quarto. 
 
 
Por exemplo. 
 
Valor presente Taxa de juros Nº de períodos Valor futuro 
3.200,00 1,5% a.m. 12 meses 3.825,98 
 
Depositando R$3.200,00 em uma caderneta de poupança que rende 1,5% ao mês, 
depois de um ano o montante será de R$3.825,98. 
 
 
E temos as quatro possibilidades: 
 
 
Valor Futuro FV 
 
Digitar os três valores dados e, por último, o FV procurado, como já foi visto: 
 
f CLx 1,5 i 12 n 3.200 CHS PV FV 
 
Resposta: FV = R$3.825,98 
 
 
Valor Atual PV 
 
Digitar os três valores dados e, por último, o PV procurado: 
 
f CLx 1,5 i 12 n 3.825,98 CHS FV PV 
 
Resposta: PV = R$3.200,00 
 
 
Taxa i 
 
Digitar os três valores dados e, por último, o i procurado: 
 
f CLx 3.200,00 CHS PV 12 n 3.825,98 FV i 
 
Resposta: i = 1,5% 
 
 
Número de períodos n 
 
Digitar os três valores dados e, por último, o n procurado: 
 
f CLx 3.200,00 CHS PV 1,5 i 3.825,98 FV n 
 
Resposta: i = 12 meses 
 
 
Treine um pouco 
 
 
11. Por quanto tempo devo aplicar um capital de R$ 4.000,00 a uma taxa de 2,5%, 
para que ele capitalize um montante de R$ 10.000,00? 
 
 
12. Quantos meses um capital de R$1.600,00 ficou emprestado se rendeu 
R$470,00 a uma taxa de i = 2% a.m.? 
 
 
13. Determine o montante produzido por um capital de R$7.000,00 aplicado 
durante 18 meses, à taxa de 1,2 % mês. 
 
 
14. Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 9 meses, rendendo um 
montante igual ao triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da aplicação? 
(Se não depende do capital, use um valor qualquer. Ver que: n = 9 meses = 3 
trimestres) 
 
 
15. Um montante de R$630,00 foi obtido com a aplicação de R$570,00 a uma taxa 
de juros compostos igual a 3% a.m. Qual foi a duração da operação? 
 
 
16. Apliquei o valor de $ 65.000,00 a 3% a.m. Quanto obterei depois de um ano 
 
 
17. Um capital de R$750,00 dobrou seu valor em um ano e seis meses. Qual foi a 
taxa utilizada? 
 
 
18. Calcule o montante de uma aplicação de R$8.000,00 à taxa de 3% ao mês, 
pelo prazo de 14 meses. 
 
 
19. Quanto devo aplicar hoje para obter R$ 1.215,60, daqui a 4 meses, a uma taxa 
de 4% a.m.? 
 
 
20. Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.800, em regime de juro 
composto, aplicado durante 4 meses, à taxa de 3,8% ao mês? 
 
 
21. Que capital rende em regime de capitalização composta rende um montante 
de R$8.400,00 em 6 meses, com taxa de 2% a.m.? 
 
 
 
 
Juros 
 
Os juros são a diferença entre o valor futuro e o valor presente. 
 
j = FV PV e FV = PV + j 
 
 
22. Um capital de $ 8.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante dois anos, à 
taxa de 2,5% a.m. Calcule os juros auferidos no período. 
 
Resolução. 
 
f CLx 2,5 i 24 n 8.000 CHS PV FV 8.000 
 
Os juros foram de R$6.469,81. 
Veja que calculamos FV normalmente, depois retiramos os 8.000 aplicados, 
restando os juros. 
 
 
23. Determine o juro de uma aplicação de R$20.000,00 a 4,5% a.m., capitalizados 
mensalmente durante 8 meses. 
 
 
24. Um capital de R$32.000,00 foi aplicado a 1,4% a juros compostos durante 9 
meses. Quanto rendeu de juros? 
 
 
25. Quanto de juros rende um capital de R$2.000,00 foi aplicado a 1,8% a.m. 
durante 9 meses? 
 
 
TAXAS 
 
 
Para capitalização simples ou composta, existem três tipos principais de taxas. 
 
 
Taxa Nominal é a que o período de formação e incorporação dos juros ao Capital 
não coincide com aquele a que a taxa está referida. 
 
Por exemplo. 
Seu Epaminondas pegou R$1.000,00 a juros de 550% a.a. Quanto capitalizará por 
mês? 
 
 
Taxa Efetiva é a que o período de formação e incorporação dos juros ao Capital 
coincide com aquele a que a taxa está referida. 
 
Por exemplo. 
Seu Epaminondas pegou R$1.000,00 a juros de 5% a.m. Quanto capitalizará por 
mês? 
 
 
Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação. 
 
Por exemplo. 
Seu Epaminondas pegou R$1.000,00 a juros de 5% a.m. Quanto capitalizará por 
mês se a inflação mensal está em 1,5%? 
 
Se o governo anuncia que a Caderneta de Poupança proporciona um rendimento 
real de 0,5% ao mês, isso significa que o investimento deve ser corrigido pela taxa 
da inflação, para depois multiplicar por 1+0,5%. Portanto, o investimento deve ser 
multiplicado por (1+ iinflação) (1+0,5%). 
 
 
Taxas equivalentes 
 
 
26. Você empresta R$1,00 a 2% de juro ao mês. Quanto capitalizará em um ano? 
 
 
Conversão de Taxa Mensal para Anual. 
 
 
27. Você empresta R$1,00 a 2% de juro ao mês. Se você quiser contabilizar os 
juros anualmente, qual seria a taxa equivalente anual? Que taxa a.a. daria o mesmoganho em um ano que 2% a.m.? 
 
Resolução: 1 (1 + 0,02)12 = 1,27, ou seja 27% ou 0,27, que é 1,27 1. 
Portanto, teclar: 
 
 
DADOS f CLx 1 ENTER 2 % + 12 yx 1 
VISOR 0,00 1,00 1,00 2,00 1,02 12,00 1,27 0,27 
 
 
28. Qual é a taxa semestral equivalente de uma taxa de 1,5% a.m.? 
 
 
Conversão de Taxa Anual para Mensal. 
 
29. Um capital é emprestado a uma taxa de 20% a.a. Qual é a taxa mensal 
equivalente? 
 
Resolução: Repare que (1 + 0,15)12 = 1,20, ou seja, 1,5% a.m. equivale a 20% a.a. 
Então, temos: (1 + 0,20)1/12 = 1 + 0,15, o que dá, 0,15 = (1 + 0,20)1/12 1. 
 
Portanto, teclar: 
 
 
DADOS f CLx 1 ENTER 20 % + 12 1/x yx 1 
VISOR 0,00 1,00 1,00 0,20 1,20 12,00 0,083 1,015 0,15 
 
 
30. Um capital é emprestado a uma taxa de 9% por semestre. Qual é a taxa 
mensal equivalente? 
Reolução:. 1,091/6 encontrando 1,0144..., isto é, 1,44% a.m. 
 
31. Guilherme fez um empréstimo para pagar juros de 10,5% ao ano. Mas o 
contrato foi alterado para pagamentos trimestrais. De quanto deve ser a taxa 
trimestral? 
 
 
DESCONTO 
 
 
32. 1ª situação: Você fez o seguinte investimento em uma instituição financeira: 
 
PV Taxa Períodos FV 
5.326,27 1,5% a.m. 8 meses ? 
 
Quanto resgatou no final de 8 meses? 
 
Você deve ter encontrado R$6.000,00 
 
2ª situação: Agora, vamos fazer ao contrário. 
Você deve um título de R$6.000,00 a uma instituição 
financeira que trabalha com juros de 1,5% a.m. e 
com vencimento daqui a 8 meses. Que valor teria 
que pagar para resgatar hoje o título? 
 
Basta calcular o PV, que é 5.326,27. 
O valor do desconto é: FV PV = 6.000,00 5.326,27 = 673,73. 
Esse é o chamado desconto por fora, que é o usual. 
A taxa total de desconto por fora, nesse caso, é = 11,23, ou seja 11,23%. 
 
33. Uma letra de R$48.000,00 foi resgatada, com um desconto composto de 2,8% 
ao mês, por R$39.563,02. Calcule o tempo de antecipação do resgate. 
 
 
34. Um título pago 8 meses antes de seu vencimento, com um desconto composto 
de 2,5% ao mês, ficou reduzido a R$32.829,86. Qual é o valor nominal do título? 
 
 
Respostas: 11. 38 meses 12. 14 meses 13. R$8.676,55 14. 44,2% 15. 4 meses 
(arredondado) 16. R$92.674,46 17. 26% 18. R$12.100,72 19. R$1.038,60 20. 
R$7.894,02 21. R$7.458,95 23. 8.442,01 24. R$4.265,32 25. R$348,33 26. 
R$1,27 28. 9,34% 31. 1,8% 27. R$8.442,01 28. 1,4% a.m. 31. 2,5% 33. 7 
meses 34. R$40.000,00 
 
 
 
COMPREENDENDO JUROS COMPOSTOS 
 
35. Veja duas situações diferentes. 
 
1ª situação: Dona Clotilde emprestou R$10.000,00 
ao seu vizinho, a 3% ao mês. 
 
10.000 3% a.m. 
 
Depois de um mês, dona Clotilde tinha R$10.300,00 e foi buscar os R$300,00 dos 
juros. O empréstimo permaneceu de R$10.000,00, para o próximo mês. 
Assim, todo mês dona Clotilde retirava R$300,00 e deixava R$10.000,00 
emprestados. 
Às vezes ela deixava acumular alguns meses. Em 3 meses, buscava R$900,00. Em 
10 meses, ela obteria R$3.000,00. 
 
2ª situação: Uma vez dona Clotilde deixou acumular dois meses, mas quando o 
vizinho lhe entregou os R$600,00 ela reclamou: 
 
Estive pensando, disse ela. Além dos 10.000, eu deixei com você 300 reais por 
um mês. E ele rendeu 9 reais, a 3%. Você deve me entregar R$609,00. 
 
Quem está com a razão? 
 
 
 
Mudando a combinação de não retirar os juros e cobrar juros sobre juros a situação 
seria a seguinte: 
 
 
Capital inicial 10.000 
Um mês 10.300 
Dois meses 10.609 
Quatro meses 10.927,27 
 
n meses ? ? ? 
 
 
Capital inicial de R$10.000,00 
1) Depois de um mês os juros de R$300,00 seriam incorporados ao capital que 
passaria a R$10.300,00. 
2) No fim do segundo mês, a taxa de 3% incide sobre R$10.300,00 e os juros seriam 
de R$309,00. Assim, o empréstimo passaria ser de R$10.609,00 e não 
R$10.600,00. 
ISSO DEPENDE DO 
QUE FOI COMBINADO! 
3) Com três meses ficaria R$10.927,27 e não R$10.900,00. 
E assim por diante. 
 
Qual seria o montante depois de 10 meses? 
 
DADOS f CLx FIN 3 i 10 n 10.000 CHS PV FV 
VISOR 0,00 3,00 10,00 10.000,00 13.439,16 
 
No fim de 10 meses, com juros sobre juros, dona Clotilde receberia R$13.439,16 e 
não R$13.000,00, como seria com juros simples. 
 
 
Dá para fazer com uma calculadora simples? Sim. Claro! 
 
Depois de um mês, dona Clotilde teria 100% do capital mais 3% de juros, ou seja 
103% do capital, que é o mesmo que 1,03 10.000. 
Do mesmo modo, em cada mês ela teria 103% do mês anterior. Então, basta ir 
multiplicando 10.000 por 1,03 até inteirar 10 vezes: 
 
1º mês 2º mês 3º mês 4º mês 5º mês 6º mês 7º mês 8º mês 9º mês 10º mês 
10.300 10.609 10.927,27 11.255,09 11.592,74 11.940,52 12.298,74 12.667,70 13.047,73 13.439,16 
 
Uma calculadora simples faz isso. Mesmo que forem 180 pagamentos! 
 
 
Outro modo mais simples é fazer 10.000 1,0310, só que isso não é feito em qualquer 
calculadora. Na HP 12c, pode ser feito: 10000 ENTER 1,03 ENTER 10 [yx] [ ]. 
 
 
De um modo geral, com juros acumulados, basta ir multiplicando por 1+i. Isso é 
muito importante: 
 
1º mês FV = PV + PV i = PV(1 + i) 
2º mês FV = PV(1 + i)(1 + i) = PV(1 + i)2 
3º mês FV = PV(1 + i)2(1+ i) = PV(1 + i)3 
... ... ... 
nº mês FV = PV(1 + i)n 1(1+ i) = PV(1 + i)
n 
 
 
 
A fórmula matemática para juros compostos é: 
 
FV = PV (1 + i)n 
 
ou seja, encontramos FV multiplicando PV pelo fator (1 + i)n, chamado fator de 
acumulação de capital. 
 
 
A partir dessa fórmula, podemos retirar outras três fórmulas: 
 
Principal Taxa Períodos 
PV = FV (1+i) n 
 
i = 1 n = 
 
Aplicar juros compostos é contar juros sobre juros 
 
Com juros simples, apenas o capital inicial rende juros. Com juros compostos, em 
cada período os juros são incorporados ao capital e passam também a render juros. 
 
Como j = FV PV, então: j = PV (1 + i)n PV = PV ((1 + i)n 1). 
 
 
 
Exponencial versus linear 
 
36. Seu Gastão fez dois investimento iguais de R$12,000,00 cada um. O primeiro 
rendia juros simples de 3% ao mês. O segundo rendia juros compostos de 2,6% ao 
mês. 
 
A) Depois de seis meses, qual foi o melhor investimento? 
B) E depois de um ano? 
 
Resposta: A) o primeiro B) o segundo. 
 
 
 
 
 
 
A taxa de juros composto, no exercício acima, é de 2,6%, que é menor que a taxa de 
juros simples de 3%, por isso a curva de juros compostos (linha cheia, que é gráfico 
de exponencial), logo depois do início em zero, está abaixo da linha de juros simples 
(linha ponteada, que é uma reta). Mas a contagem dos juros compostos é de juros 
sobre juros e com 12 meses ultrapassou a outra, 
 
 
 
 
12 meses 
12.000 
Simples 
Composto 
0 
 
 
 
Compreendendo desconto com uma aplicação 
 
Você vai resgatar um título de R$6.000,00, com juros de 1,5% a.m. e 
com vencimento daqui a 8 meses. Que valor teria que pagar para resgatar o título 
hoje? 
 
Basta calcular o PV, que é 5.326,27, portanto 5.326,27 (1,015)8 = 6.000,00 ou, o 
que é o mesmo: 5.326,27 = 6.000,00 1,015 8. 
 
Por que esse expoente negativo? 
 
Por exemplo. 
Sendo 10.000 1,03 = 10.300 então 10.000 = . 
 
Calcule 10.000 1,03 para encontrar 10.300. Calcule para encontrar 10.000. 
 
Além disso, pode ser escrito também como 10.300 1,03 1. O 1,03 “saiu” do 
denominador virando 1,03 1. Por que? Isso se mostra nos estudos de potenciação. 
 
Mas, calcule 10.300 1,03 1 na calculadora assim: 
 
10.300 ENTER 1,03 ENTER 1 CHS [yx] [ ] 
 
Isto é, digitar os três dados 10.300; 1,03 e 1, que ficam nas memórias Z, Y e X. 
Trocar o sinal de 1, ficando 1 na memória x, que aparece no visor. Fazer a potência 
yx , isto é, 1,03 1 . Por fim, multiplicar o resultado, por 10.300. 
 
Vai encontrar o mesmo resultado, que é 10.000. 
É por isso que: = 10.300 1,03 1 
 
 
O valor do desconto é: FV PV = 6.000,00 5.326,27 = 673,73. 
 
Esse é o chamado desconto por fora, que é o usual. 
 
A taxa total de desconto por fora, nesse caso, é = 0,1123, ou seja, 11,23%. 
 
 
02. CAPITALIZAÇÃO COM VÁRIAS APLICAÇÕES 
 
 
1. Valor futuro FV 
 
01. André quer comprar uma mobíliadaqui a 4 meses, para a casa nova. Para 
isso, fez quatro depósitos mensais de R$500,00 em uma poupança que rende 2% 
a.m. Quanto capitalizará no final dos 4 meses? 
 
Veja o fluxo de caixa. 
 
 
 
Temos quatro saídas de caixa e o valor futuro FV que André vai receber capitalizado 
da financeira, após 4 meses. 
As prestações são antecipadas, isto é, são feitas nos inícios de cada período. 
 
 
Na HP, devemos: 
 
f CLx FIN 2 i 4 n 500 CHS PMT g 7 FV 
0,00 2,00 4,00 500,00 500,00 2.102,02 
 
a) Entrar com os dados 2i e 4n. 
b) Entrar com o valor da prestação 500 e teclar CHS para mudar o sinal, indicando 
saída de caixa. 
c) Tecle PMT indicando que 500,00 é prestação e são 4 por causa do 4n. 
d) Clicar [g] [7] para acionar o BEGIN (início) indicando que os pagamentos serão 
efetuados nos inícios de cada período. Ao contrário de [g] [8], que é END (final). 
e) Teclar FV, que calcula o total capitalizado no final dos 4 meses, que é 
R$2.102,02. 
 
 
André terá R$2.102,02 para comprar a mobília. 
 
 
02. Calcule o valor futuro 30 dias após cada investimento e confira a resposta: 
 
Dados Resposta 
a) R$150,00 por mês, a 1,5% a.m. durante 15 meses. R$2.502,32 
b) R$200,00 por mês a 1,4% a.m. durante dois anos. R$ 5.658,31 
c) R$85,00 por mês a 2% a.m. durante 180 meses. R$145.863,53 
d) R$110,00 por mês a 1,3% a.m. durante um ano. R$1.418,59 
 
 
03. Se você efetuar 24 depósitos de R$80,00 a cada mês em uma poupança que 
rende 2% a.m., quanto integralizará 30 dias após o último depósito? 
 500 500 500 500 
1 2 3 4 
 
 
04. Seu Pompeu fez 6 depósitos de R$5.000,00 em uma instituição financeira no 
início de cada trimestre. Sabendo que a taxa de juros é de 6% ao trimestre, qual o 
montante no fim de 1½ ano. 
 
 
2. Valor presente PV 
 
 
05. André comprou uma mobília em quatro prestações mensais de R$500,00, sem 
entrada. Qual é o valor à vista da mobília se a financeira cobra juros de 2% a.m.? 
 
Veja o fluxo de caixa. 
 
 
 
Temos uma entrada de caixa PV, que é o valor presente que você vai receber da 
financeira. E temos as quatro saídas das parcelas a serem pagas à financeira. 
Compare esse fluxo de caixa com o anterior. O primeiro é de parcelas antecipadas e 
o segundo é de parcelas postecipadas, isto é, pagas nos finais de cada período. 
 
Na calculadora teclar: 
 
f CLx FIN 2 i 4 n 500 CHS PMT g 8 PV 
0,0 2,00 4,00 500,00 500,00 1.903,86 
 
 
a) Entrar com os dados 2i, 4n, 500 CHS PMT. 
b) Teclar [g] [8], acionando END, indicando que as parcelas serão pagas no final de 
cada período. Se não estiver a palavra BEGIN no visor, não precisa teclar [f] [8]. 
c) Com PV, aparece no visor o valor 1.903,02. 
 
Assim, o empréstimo foi de R$1.903,86 que a loja recebe à vista. André paga 4 
vezes 500. 
 
 
Compare os exercícios 01 e 05. Qual é melhor, pedir emprestado para comprar ou 
poupar para comprar? 
 
 
 
06. Calcule o valor atual para os parcelamentos sem entrada. 
 
Dados Resposta 
 500 500 500 500 
1 2 3 4 
ISSO DEPENDE DE 
VÁRIOS FATORES... 
a) 2% a.m. 5 parcelas mensais de R$600,00. R$2.828,00 
b) 1,4% a.m. 24 parcelas mensais de R$128,00. R$ 2.593,92 
c) 1% a.m. 12 parcelas mensais de R$53,00. R$ 596,52 
d) 2,2% a.m. 48 parcelas mensais de R$80,00. R$ 2.356,91 
e) 1,6% a.m. 18 parcelas mensais de R$150,00. R$872,68 
 
 
07. Você está comprando uma batedeira em 12 prestações mensais de R$42,40, 
sem entrada. Qual é o valor à vista se a financeira trabalha com juros de 1,4% a.m.? 
 
 
3. Valor da Parcela PMT 
 
08. André está comprando uma mobília anunciada por R$1.900,00 em 4 parcelas 
iguais, sem entrada. Qual seria o valor das prestações, se os juros são de 2%? 
 
 
Digitar: 
 
f CLx FIN 2 i 4 n 1.900 CHS PV PMT 
0,00 2,00 4,00 1.900,00 498,99 
 
Portanto, as prestações serão de R$500,00, arredondando. 
 
 
09. Calcule o valor das prestações para os parcelamentos sem entrada. 
 
Dados Resposta 
a) R$3.000 a 2% a.m. em 5 parcelas mensais iguais. R$636,48 
b) R$1.800,00 a 1,4% a.m. 24 parcelas mensais. R$ 88,82 
c) R$1.000,00 a 1% a.m. 12 parcelas mensais. R$88,85 
d) R$5.350,00 a 2,2% a.m. 48 parcelas mensais. R$ 181,59 
e) R$360,00 a 1,6% a.m. 18 parcelas mensais. R$ 23,18 
 
 
10. Qual deve ser o valor de cada prestação, para um financiamento de 
R$18.000,00 em 60 vezes à 1,5% ao mês? 
 
 
4. Taxa de Juros [ i ] 
 
11. André está comprando uma mobília que está anunciada por R$1.900,00, em 4 
parcelas iguais de R$500,00, sem entrada. Qual seria a taxa de juros? 
 
 
Digitar: 
 
f CLx FIN 4 n 500 CHS PMT 1.900 PV i 
0,00 4,00 500,00 1.900,00 2,08 
 
Portanto, a taxa de juros é de 2,08%. 
 
12. Calcule a taxa de juros para os parcelamentos sem entrada. 
 
Dados Resposta 
a) R$2.280,00 em 8 parcelas mensais iguais a R$320,00. 2,65% 
b) R$940,00 em 15 parcelas mensais iguais a R$74,00. 2,15% 
c) R$1.000,00 em 10 parcelas mensais iguais a R$120,00. 3,46% 
 
 
13. Qual deve ser a taxa para um financiamento de 30.000,00 em 60x e parcelas 
de R$863,00 ao mês? 
 
 
5. Número de Períodos [n] 
 
14. André está comprando uma mobília que está anunciada por R$1.900,00 , em 
parcelas iguais de R$500,00, sem entrada e com taxa de juros de 2% a.m.. Qual 
seria o número de prestações? 
 
 
Digitar: 
 
f CLx FIN 2 i 500 CHS PMT 1.900 PV n 
0,0 2,00 500,00 1.900,00 4 
 
Portanto, são 4 prestações. 
 
 
15. Quanto tempo levará ara pagar um financiamento de 30.000,00 à 2% ao mês e 
parcelas de R$863,00 ao mês? 
 
 
RESPOSTAS. 03. R$2.482,42 04. R$36.969,19 07. R$557,56 10. R$457.08 13. 
2% 15. 60 meses. 
 
 
 
 
 
 
TIPOS DE PRESTAÇÕES 
 
 
Prestações antecipadas e postecipadas 
 
 
Compare esses dois fluxos de caixa. 
 
 
 
 
 
 
No primeiro, as quatro parcelas são efetuadas nos finais dos períodos e são 
chamadas postecipadas. Nesse caso acionar [g] [8], ou seja, END. 
Nesse exemplo, os pagamentos serão feitos sem entrada. 
 
No segundo, as quatro parcelas são efetuadas nos inícios dos períodos e são 
chamadas antecipadas. Nesse caso acionar [g] [7], ou seja, BEGIN. 
 
Nesse segundo exemplo, você pode pensar em prestações antecipadas sem 
entrada, mas também pode pensar em prestações postecipadas com entrada igual a 
uma prestação. 
Efetue os cálculos das duas maneiras, com i = 2% a.m. ou outra taxa. 
 
Estando a palavra BEGIN no visor, está funcionando [g] [7]. Não estado, vale [g] [8]. 
 
 
 
 
Prestações com entrada 
 
16. Veja o fluxo de caixa 
 
 
 
São 4 prestações de 500 e mais uma entrada de 800. Vamos supor prestações 
mensais e juros de 1,5% a.m. Isso para pagar a compra de um móvel. Qual é o valor 
da compra? 
 
Resolução. 
 
PV é o valor do financiamento. Então podemos calcular: 
 
DADOS f CLx 1,5 i 4 n 500 CHS PMT PV 800 + 
 800 500 500 500 500 
1 2 3 4 
500 500 500 500 
1 2 3 4 
 500 500 500 500 
1 2 3 4 
VISOR 0,00 1,50 4,00 500 1.903,02 800,00 2.703,02 
 
Assim, o valor do móvel era de R$2.702,02, sendo R$800,00 pagos à vista e o 
restante, R$1.903,02, financiados em 5 vezes. 
 
Refaça esses cálculos separando 800 em 300 + 500 e pensando numa entrada de 
300 e 5 parcelas antecipadas de 500. 
 
 
17. Seu André comprou uma geladeira 18 prestações de R$94,00 por, com juros 
de 2% ao mês, com uma entrada de R$500,00. Qual foi o valor da geladeira? 
 
 
18. Adalgisa comprou um conjunto de moveis de sala com R$350,00 de entrada e 
15 prestações mensais de R$150,00 com juros de 1,5% a.m. Qual era o preço à 
vista dos móveis? 
 
Respostas. 17. 1.909,25 18. 2.351,48 
 
 
Prestações com carência 
 
 
19. Veja o fluxo de caixa 
 
 
 
São 5 prestações mensais de 450, mas para começar a pagar depois de 90 dias. Os 
juros eram de 1,5% a.m. Qual é o valor da compra? 
 
Resolução. 
Se esse empréstimo fosse feito daqui a 3 meses, teríamos um PV2 dado por: 
 
 
DADOS f CLx 1,5 i 5n 450 CHS PMT [g] [7] PV2 
VISOR 0,00 1,50 5,00 450,00 450,00 2.184,47 
 
Mas o empréstimo foi menor que PV2, porque ficou 3 meses rendendo juros. Vamos 
chamá-lo de PV1 e temos que PV2 = PV1 1,015
3, logo, PV1 = PV2x1,015
3. 
 
Assim, podemos calcular PV1 com: 
 
 
DADOS PV2 1,015 ENTER 3 CHS y
x 
 
PV2 
450 450 450 450 450 
1 2 3 4 5 
PV1 
VISOR 2.184,47 1,015 1,015 3,00 0,96 2.089,04 
 
 
Em resumo: 
 
O empréstimo foi de R$2.089,04. Depois de 3 meses estava em R$2.184,47, 
quando começaram os 5 pagamentos de R$450,00. 
 
Nesse problema, a calculadora arredondaria os números para duas casas decimais, 
a não ser que fosse clicado [f] [3]. 
 
 
De um modo geral. 
 
 
 
Se forem k meses de carência, ou k períodos, é a mesma coisa. Calcular PV2, 
normalmente como se fosse a data atual, e depois puxar para o início, multiplicando 
por (1+i) k. 
 
 
 
CONTAGEM DE TEMPO 
 
 
20. Seu Dagoberto plantou um abacateiro em 
18/07/1937, que deu abacates até 13/05/2013? 
Quantos dias teve esse espaço de tempo? 
 
Resolução: 
 
DADOS f CLx g 4 18.091937 ENTER 13.052013 g EEX 
VISOR 0,00 0,00 18.091937 18.091937 13.052013 27.631,00 
 
 
a) g 4, que aciona D.MY que muda para o modo brasileiro (dia/mês/ano) 
b) 18.091937. Entrar com a primeira data assim: dia, ponto, mês e anos juntos. 
c) ENTER 
d) 13.052013. Entrar com a segunda data: dia, ponto, mês e anos juntos. 
e) g EEX que aciona D DYS, que calcula o número de dias. 
 
Aparece no visor: 27.631, que é o número de dias. Dividindo por 365, obtemos 75 
anos e 7 décimos de ano, o que dá 75 anos, 8 meses e meio. 
 
 
PV2 
 450 450 450 450 450 
1 2 3 4 5 
PV1 
k meses 
21. Calcule o número de dias entre as duas datas e confira a resposta 
 
Dados Resposta 
a) 13/12/2010 e 24/05/2013. 893 
b) 27/06/1948 e 28/06/1948 1 
c) 01/01/2013 e 31/12/2013 365 
d) 3008/1954 e 02/02/2009 19.880 
e) 01/04/1964 e 13/12/2002 14.135 
 
 
22. Em que dia da semana o senhor Dagoberto plantou o abacateiro? 
 
DADOS f CLx g 4 18.091937 ENTER 0 g CHS 
VISOR 0,00 0,00 18.091937 18.091937 0,00 18.091937 6 
 
a) g 4, que aciona D.MY que muda para o modo brasileiro (dia/mês/ano) 
b) 18.091937. Entrar com a data: dia, ponto, mês e anos juntos. 
c) ENTER 
d) zero. Entrar com 0 que faz parte do programa. 
e) g CHS aciona DATE que faz os cálculos. 
Aparece no visor: 18.091937 6. 
O 6 significa sábado, de acordo com a tabela abaixo.. 
 
1 = SEGUNDA FEIRA 
2 = TERÇA FEIRA 
3 = QUARTA FEIRA 
4 = QUINTA FEIRA 
5 = SEXTA FEIRA 
6 = SÁBADO 
7 = DOMINGO 
 
O Sr. Dagoberto tirou o fim de semana para mexer na horta. 
 
 
COMPREENDENDO PRESTAÇÕES 
 
 
Vamos voltar ao primeiro problema 01 de depositar a cada mês R$500,00 em uma 
poupança que rende 2% ao mês, durante 4 meses. 
 
Veja o fluxo de caixa, que mostra as saídas de R$500,00 todo início de mês e a 
entrada no final do 4º mês. 
 
 
 
FV 
500 500 500 500 
0 1 2 3 
 
Você também pode fazer a seguinte planilha de como se fossem depósitos de 500 
em quatro contas diferentes, cada depósito rendendo seus juros compostos: 
 
 
 INÍCIO 1º mês 2º mês 3º mês 4º mês 
Conta 01 500,00 510,00 520,20 530,60 541,22 
Conta 02 500,00 510,00 520,20 530,60 
Conta 03 500,00 510,00 520,20 
Conta 04 500,00 510,00 
 FV 2.102,02 
 
A primeira aplicação ficou rendendo 2% durante 4 meses, formando um total de 
R$541,22. 
A 2ª, durante 3 meses, se transformou em R$530,60. E assim por diante. 
No final do 4º mês, depois de depositar 4 parcelas de R$500,00, você estaria com 
R$2.102,02. 
 
 
Veja mais um pouco de matemática. 
 
Primeiro lembrar que 73 é apenas uma abreviação para 7 7 7, que é um produto de 
3 fatores. O numerozinho acima se chama expoente e indica a quantidade de 
fatores. Desse modo 24 = 2 2 2 2 = 16. Temos também que 71 = 7. 
Nesse último exercício, o valor total dos quatro depósitos é: 
 
Conta 01: 500 1,02 1,02 1,02 1,02 = 500 1.024 = 541,22 
Conta 02: 500 1,02 1,02 1,02 = 500 1.023 = 530,60 
Conta 03: 500 1,02 1,02 = 500 1.022 = 520,20 
Conta 04: 500 1,02 = 500 1,021 = 510,00 
 
Adicionando essas 4 parcelas, obtemos o valor futuro: 
 
FV = 541,22 + 530,60 + 520,20 + 510,00 = 
 = (500 1,024) + (500 1,023) + (500 1,022) + (500 1,021) = 
 = 500 (1,024 + 1,023 + 1,022 + 1,021), 
 
que é a PMT multiplicado por uma progressão geométrica (PG) de n termos cujo 
termo inicial é igual à razão que é 1+i. 
 
O 500 foi para fora dos parênteses, porque, na álgebra, mostramos que multiplicar 
500 por cada parcela é o mesmo que multiplicar 500 pela soma das parcelas. 
 
Lembrar que a soma dos n primeiros termos de uma PG é dado por: Sn = . 
Portanto: FV = PMT Sn. No exercício, temos: 
 
FV = 500 = 500 = 
 
= 500 = 500 = 500 = 
 
= 500 4,20404016 = 2.102,02008 
 
De um modo geral, temos que: FV = PMT , de onde tiramos a 
fórmula: 
 
FV = PMT 
 
Se você quiser, utilize essa última fórmula para calcular outra vez o exercício 02 
 
A HP está programada para usar essa fórmula, quando você tecla: 
 
f CLx FIN 2 i 4 n 500 CHS PMT g 7 FV 
 
 
Vamos voltar ao problema 05 de antecipar os pagamentos das 4 prestações 
mensais de R$500,00 com juros de 2% ao mês, para calcular o PV. 
 
O fluxo de caixa é: 
 
 
 
Para calcular o PV, você pode fazer a seguinte planilha: 
 
 
Hoje 1ª prestação 2ª prestação 3ª prestação 4ª prestação 
490,20 500,00 
480,58 490,20 500,00 
471,16 480,58 490,20 500,00 
461,92 471,16 480,58 490,20 500,00 
PV 1.903,86 
 
 
A primeira prestação teve desconto de 2%, portanto foi dividida por 1,02 ou 
multiplicada por 1,02 1; a segunda foi dividida por 1,022 ou multiplicada por 1,02 2. E 
assim por diante. 
 
 500 500 500 500 
1 2 3 4 
 
Resumindo 
 
1ª prestação 2ª prestação 3ª prestação 4ª prestação 
500 1,02 1 500 1,02 2 500 1,02 3 500 1,02-4 
 
 
Assim, você pagaria: 
 
PV = 500 1,02 1 + 500 1,02 2 + 500 1,02 3 + 500 1,02 4 = 
 = 500 (1,02 1 + 1,02 2 + 1,02 3 + 1,02 4), 
 
que é o produto da PMT por uma PG. 
Substituindo na fórmula da soma dos termos de uma PG, encontramos: 
 
S = 500 = 500 = 1903,86. 
 
Desse modo, suas quatro parcelas futuras de 500, seriam resgatas hoje por 
R$1.903,86. 
 
 
A fórmula é: 
 
PV = PMT 
 
 
A Matemática Financeira é muito útil no nosso dia a dia e as calculadoras financeiras 
facilitam muito os cálculos, porque estão programadas para efetuar as complicadas 
contas que envolvem exponenciais e logaritmos. 
 
 
 
 
 
 
 
BATERIA DE EXERCÍCIOS 
 
 
23. Que valor seu Artur vai resgatar 30 dias após efetuar dez aplicações mensais 
de $700,00, em uma instituição financeira que remunera a uma taxa de juros de 3% 
ao mês? 
 
24. Júlia depositou mensalmente em uma instituição bancária a quantia de 
R$60,00, durante 18 meses a uma taxa de 1,5% a.m. Quanto terá poupado após 30 
dias do último depósito? (18 meses são 19 depósitos) 
 
25. Seu Carlos comprou uma geladeira em 18 prestações mensais de R$94,00, 
com juros de 2% ao mês e uma entrada de R$500,00. Qual era o valor a vista? 
(Pode calcular o PV das prestações e somar 500) 
 
26. Seu Carlos comprou uma geladeira por R$1.900,00, financiada em 18 vezes a 
2% ao mês, com entrada de R$500,00. Quanto pagará por mês? 
 
27. Seu Carlos comprou uma geladeira por R$1.900,00, financiada em 18 vezes 
com prestações de R93,40. Qual é a taxa de juros cobrada? 
 
28. Seu Carlos comprou uma geladeira por R$1.400,00, financiada com juros de 
2% ao mês e prestações de R$93,40. Qual será o número de prestações? 
 
29. Seu Carlos comprou uma geladeira por R$1.900,00, financiada com juros de 
2% ao mês, com 18 prestações mensais de R$94,00. Qual deverá ser a entrada? 
 
30. Daniel comprou um carro por R$ 15.520,00 que financiou à taxa de 1,2% a.m. 
durante 24 meses, sem entrada. Qual o valor das prestações? 
 
31. Você quer financiar um apartamento cujovalor à vista é de R$56.000,00. O 
prazo de pagamento pretendido é de 15 anos e a taxa de juros cobrada pela 
construtora é de 0,9489% a.m. Qual o valor das prestações? 
 
32. Que capital será necessário aplicar hoje em uma caderneta de poupança para 
que se possa sacar mensalmente R$ 150,00 durante 10 anos, sabendo que a 
poupança paga uma taxa real de juros de 0,5% a. m.? 
(Você vai emprestar para a instituição para receber R$150,00 por mês) 
 
33. Um semestre do seu curso de inglês custa R$900,00 se for pago à vista. No 
entanto, a escola oferece a opção de pagamento em 5 vezes R$200,00. 
Qual é a taxa mensal cobrada pela escola se as parcelas são: 
a) antecipadas? 
b) postecipadas 
 
34. Uma loja vende um par de tênis a R$350,00 à vista. Caso o cliente opte por 
pagar a prazo a loja cobra 15% de juros por quinzena. Quanto custará o tênis após 3 
quinzenas? 
 
35. Uma aplicação com duração de 7 meses com uma taxa mensal de 27% bruto 
rendeu um montante de R$4.328,76. Qual foi o valor investido? 
 
36. Em que prazo um empréstimo de R$30.000,00 pode ser quitado em um único 
pagamento de R$51.310,18, sabendo que a taxa contratada é de 5% ao mês? 
 
37. Você cedeu um empréstimo a um parente no valor de R$10.000,00 para receber 
após12 meses a uma taxa de 3,5% ao mês. Quanto você deverá receber ao final do 
empréstimo? 
 
38. Uma loja está com uma promoção na linha de celulares. Um determinado 
modelo é vendido por R$599,00 à vista ou em 10 parcelas de R$75,00. Qual a taxa 
de juros cobrada? 
 
39. Uma empresa negociou um empréstimo de R$65.000,00 para pagamento único 
a taxa de juros de 1,8% ao mês num montante de R$84.943.48. Qual o prazo de 
pagamento? 
 
 
Respostas: 23. R$8.265,46, 24. R$1.327.40, 25. 1.909,30, 26. R$93,40, 27. 2%, 
28. 18, 29. R$ 499,70, 30. R$748,10 31. R$650,16, 32. R$ 13.511,00, 33. a) 
5,6% a.m. b) 3,6% a.m. 34. R$400,00, 35. R$812,30, 36. 11 meses, 37. 
R$15.110,69, 38. 4,31%, 39. 15 meses,