Geodésia Básica - TP-01

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Geodésia BásicaGeodésia BásicaGeodésia BásicaGeodésia Básica 
 
 
Rio de Janeiro, 22 de Novembro de 2013 
Professor: Professor: Professor: Professor: Mauro Pereira de Mello 
Aluno:Aluno:Aluno:Aluno: Leonardo Vieira Barbalho 
Matricula:Matricula:Matricula:Matricula: 201020541911 
 
– Trabalho Prático 01 – 
 
 
 
Cálculo dos parâmetros caracterizadores do Elipsóide de Cálculo dos parâmetros caracterizadores do Elipsóide de Cálculo dos parâmetros caracterizadores do Elipsóide de Cálculo dos parâmetros caracterizadores do Elipsóide de 
Referência Internacional de 1980 (GRS)Referência Internacional de 1980 (GRS)Referência Internacional de 1980 (GRS)Referência Internacional de 1980 (GRS) 
 
01 – Cálculo dos Parâmetros do GRS 80 
 
 1.1 – Cálculo do Semi-eixo menor 
 
 
Utilizando-se dos parâmetros base a e f, onde a é o semi-
eixo maior do elipsóide e f o achatamento, podemos encontrar o 
semi-eixo menor b. 
 
mb
bb
b
a
ba
f
f
ma
314,752.356.6
257222101,298
137.378.6
137.378.6137.378.6)137.378.6(257222101,298
137.378.6
)137.378.6(
257222101,298
1)(
257222101,298
1
137.378.6
=
−=→=−
−=→−=
=
=
 
 
 
1.2 – Cálculo da primeira excentricidade 
 
 Com o valor encontrado no item anterior, podemos 
calcular a primeira excentricidade do elipsóide. 
 
08182,0
²137.378.6
²314,752.356.6²137.378.6
²
²²
²
=
−=→−=
e
e
a
ba
e
 
 
1.3 – Cálculo da segunda excentricidade 
 
 Analogamente ao item acima, podemos calcular a segunda 
excentricidade do elipsóide. 
 
 
08209,0'
²314,752.356.6
²314,752.356.6²137.378.6
'
²
²²
'²
=
−=→−=
e
e
b
ba
e
 
 
1.4 – Cálculo da excentricidade angular 
 
 Agora vamos calcular a excentricidade angular do GRS 
1980. 
 
 
radou
a
b
08191,0"31,35'41º4
137.378.6
314,752.356.6
coscos 11
=
=→= −−
ε
εε
 
 
02 – Comparação com os parâmetros dos elipsóides de 
referência de 1967 (UGGI67) e de 1924 (Hayford) 
 
Da mesma forma como foi feito com o elipsóide GRS 
80, partimos dos parâmetros a e f dos elipsóides UGGI67 e 
Hayford, e achamos os seus respectivos parâmetros. Eles 
estão descritos abaixo. 
 
2.1 – Parâmetros do Elipsóide de 1967 (UGGI67) 
 
 
25,298
1
160.378.6
=
=
f
ma
 
 
 2.1.1 -Semi-eixo menor 
 
 mbb 719,774.356.6
25,298
160.378.6
160.378.6 =→−= 
 
 2.1.2 - 1ª Excentricidade 
 
 08182,0
²160.378.6
²719,774.356.6²160.378.6 =→−= ee 
 
 2.1.3 - 2ª Excentricidade 
 
 08209,0'
²719,774.356.6
²719,774.356.6²160.378.6
' =→−= ee 
 
 2.1.4 - Excentricidade Angular 
 
 radou 08191,0"51,35'41º4
160.378.6
719,774.356.6
cos 1 =→= − εε 
 
 Podemos observar, que como a diferença entre os semi-
eixos dos elipsóides UGGI67 e GRS 80 são relativamente 
pequenas (na casa das dezenas de metros), não houve 
diferença entre as excentricidades dos dois elipsóides (os 
resultados foram arredondados até a quinta casa decimal). 
 
2.2 – Parâmetros do Elipsóide de 1924 (Hayford) 
 
297
1
388.378.6
=
=
f
ma
 
 
2.2.1 -Semi-eixo menor 
 
 mbb 946,911.356.6
297
388.378.6
388.378.6 =→−= 
 
 2.1.2 - 1ª Excentricidade 
 
 08199,0
²388.378.6
²946,911.356.6²388.378.6 =→−= ee 
 
 2.1.3 - 2ª Excentricidade 
 
 08227,0'
²946,911.356.6
²946,911.356.6²388.378.6
' =→−= ee 
 
 2.1.4 - Excentricidade Angular 
 
 radou 08208,0"11'42º4
388.378.6
946,911.356.6
cos 1 =→= − εε 
 
 Neste caso, já observamos diferenças entre as 
excentricidades dos elipsóides GRS 80 e Hayford, tendo em 
vista que a diferença entre seus semi-eixos está na casa das 
centenas de metros. 
03– Cálculo dos raios de curvatura principal 
 
Neste item vamos calcular os raio de curvatura 
principal, para um latitude no valor de 20ºS. 
3.1 – Raio de curvatura meridiana 
 
m
sensene
ea
784,887.342.6
)º20²(²08182,01(
²)08182,0(1(137.378.6
)²²1(
²)1(
2/32/3
=
−−
−=→
−
−=
µ
µ
ϕ
µ
 
3.2 – Raio de Curvatura do 1º Vertical 
 
m
sensene
a
692,135.383.6
)º20²(²08182,01(
137.378.6
)²²1(
=
−−
=→
−
=
ν
ν
ϕ
ν
 
04- Cálculo do raio de curvatura média 
 
 Utilizando os dados do item anterior, na mesma 
latitude de 20ºS, podemos encontrar o raio de curvatura 
média. 
 
 
915,979.362.6
)692,135.383.6)(784,887.342.6(
=
=→=
a
aa
m
mm
R
RR µν
 
 
05 – Cálculo dos raios de curvatura principal nas 
latitudes extremas (polar e equatorial) 
 
 Utilizando-se da mesma metodologia do item 04, 
vamos avaliar o comportamento dos raios de curvatura 
principal nas latitudes extremas. 
 
5.1 – Cálculo dos raios de curvatura principal na latitude polar 
 A latitude polar possui o valor de 66º33’44”. Assim: 
m
sensene
ea
236,372.389.6
)"44'33º66²(²08182,01(
²)08182,0(1(137.378.6
)²²1(
²)1(
2/32/3
=
−
−=→
−
−=
µ
µ
ϕ
µ
 
 
m
sensene
a
725,006.414.6
)"44'33º66²(²08182,01(
137.378.6
)²²1(
=
−
=→
−
=
ν
ν
ϕ
ν
 
5.2 – Cálculo dos raios de curvatura principal na latitude 
equatorial 
 A latitude equatorial possui o valor de 0º Assim: 
m
sensene
ea
483,438.335.6
)0²(²08182,01(
²)08182,0(1(137.378.6
)²²1(
²)1(
2/32/3
=
−
−=→
−
−=
µ
µ
ϕ
µ
 
 
m
sensene
a
137.378.6
)0²(²08182,01(
137.378.6
)²²1(
=
−
=→
−
=
ν
ν
ϕ
ν
 
 
Munidos destes dados e unindo-os aos dados do item 04, 
podemos constatar que quanto maior for a latitude, maiores 
serão os raio de curvatura principal.