Exercícios de Álgebra Linear

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QUESTÕES NORTEADORAS 
QUESTÃO 1 
Mostrar que o subconjunto S é um subespaço vetorial de M2(ℝ), com as operações usuais 
nele definidas. 
S = {[
x y
z w
] ∈ M2(ℝ) tal que y = − x e z = w}. 
 
 
QUESTÃO 2 
Combinações lineares são muito importantes no contexto da álgebra linear bem como a 
resolução de sistema de equações lineares. Neste exercício procuramos uma combinação 
linear particular. Ou seja, escreva o vetor v = (-1,-3, 2, 0) do R4 como combinação linear 
dos vetores v1= (2, -1, 3, 0), v2 = (1, 0, 1, 0) e v3 = (0, 1, -1, 0). 
 
 
QUESTÃO 3 
Nesta questão vamos ampliar a ideia de combinação linear e escrever todas as 
combinações lineares possíveis com um conjunto de vetores dado. Assim, Determine as 
condições que devem satisfazer as coordenadas do vetor v = (x, y, z), de modo que v 
pertença ao espaço gerado pelos vetores v1 = (2, 1, 0), v2 = (1, -1, 2) e v3 = (0, 3, -4). 
 
 
QUESTÃO 4 
No espaço vetorial ℝ3 considere o conjunto U = {(x, y, z) x + y = 0 e 4x − z = 0⁄ }, 
subespaço vetorial de ℝ3. Determine uma base e a dimensão deste subespaço vetorial. 
 
 
 
 
QUESTÃO 5 
Espaços vetoriais e Euclidianos são aqueles que possuem um produto interno (ou produto 
vetorial) nele definido. Dizemos que uma base é ortogonal se os seus vetores forem dois 
a dois ortogonais. Tal fato torna mais fácil os cálculos e as representações geométricas. 
O conjunto dado, B = {(1, -1), (2, m)}, é uma base ortogonal do ℝ2 em relação ao produto 
interno (x1, y1).(x2, y2) = 2x1x2 + y1y2. Pede-se: 
a) Calcular o valor de m. 
b) Determinar, a partir de B, uma base ortonormal.