CNM_MercadoCapitais_Aula07_RendaFixa2_20201_v2

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Mercado de Capitais Aula 07:
Investimento em Ativos de Renda-Fixa 2
Pedro Chaim
2020
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Referências
Leituras
BKM18 c.16
AN14 c.10
Exercícios:
BKM18 c16 (Problem Sets, p526) 1,2,7,12,14,15
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Preço de Títulos e Mudanças na Taxa de Juros
Nesta aula vamos examinar a relação (inversa) entre taxa de juros e preço
de títulos de renda fixa.
1. [Proposição 1] O preço de um título e sua taxa de juros (seu yield to
maturity) são inversamente relacionados.
Vamos olhar para o preço de um título zero cupom. O preço PU é um
função do valor de face FV , tempo até o vencimento T e yield to maturity
y .
PU(FV ,T , y) =
FV
(1 + y)T
É bem claro que quando y aumenta, PU diminui. Alternativamente,
quando y diminui, PU aumenta.
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PU(y) =
FV
(1 + y)T
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Convexidade do Preço com relação à Taxa de Juros
2. [Proposição 2] Um aumento na taxa de juros de um título resulta
numa menor mudança no preço desse título do que uma redução na
taxa de juros de mesma magnitude.
Preço PU e ytm y são inversamente relacionados, mas essa relação não é
linear.
Ainda tomando um título zero cupom como ilustração,
PU(FV ,T , y) =
FV
(1 + y)T
, y > 0
Quando a taxa de retorno y do título é 0, então o preço é o valor de face
(se houvessem cupons, seria FV mais o valor bruto dos cupons). Conforme
a taxa de juros aumenta, PU vai ficando cada vez menor em relação a FV ,
mas PU nunca vai atingir o zero. Isso quer dizer que incrementos na taxa
de juros reduzem o preço, mas reduzem tão menos quanto maior for o nível
da taxa de juros.
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Um pouco de Cálculo
Se calcularmos a derivada de PU com relação a y, temos
dPU(y)
dy
= − T
(1 + y)T+1
· FV
Perceba que dPUdy < 0 para todo y > 0. (Essa é a proposição 1.)
Mas também perceba que conforme y aumenta, a derivada dPUdy vai se
aproximando de zero, mas nunca atingindo zero. Em outras palavras,
limy→∞
dPU(y)
dy = 0. (Essa é a proposição 2.)
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Por que Convexidade é bom para o detentor de um título?
Suponha que você tenha um título com valor de face $1,000, data de
maturidade em 10 anos, taxa de cupom de 8% ao ano e pagamentos
semestrais (convenção linear, então pagamento de cupom de
4% · $1, 000 = $40 por semestre). Hoje esse título é negociado pelo valor
de face, significando que a taxa de juros de mercado requerida pelo título é
igual à taxa de cupom.
PU(y = 4%,T = 20) =
20∑
t=1
$40
(1 + 4%)t
+
$1 000
(1 + 4%)20
= $40 · 1− (1 + 4%)
−20
4%
+
$1 000
(1 + 4%)20
= $543.61 + $456.39 = $1 000
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Imagine que imediatamente após você comprar o título, a taxa de juros
tenha subido para 9% ao ano. Agora o preço do título no mercado
secundário é
PU(y = 4.5%,T = 20) = $40 · 1− (1 + 4.5%)
−20
4.5%
+
$1 000
(1 + 4.5%)−20
= $520.32 + $414.64 = 934.96
A perda de capital (ou ganhos de capital negativos) realizada pelo detentor
do título quando a taxa de juros subiu é
$934.96
$1 000
− 1 = −6.50%
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Alternativamente, imagine que imediatamente após você comprar o título,
a taxa de juros tenha caído para 7% ao ano. Agora o título do preço no
mercado secundário é
PU(y = 3.5%,T = 20) = $40 · 1− (1 + 3.5%)
−20
3.5%
+
$1 000
(1 + 3.5%)−20
= $568.50 + $502.57 = $1 071.06
Nesse caso seus ganhos de capital foram
$1 071.06
$1 000
− 1 = 7.11%
É a convexidade da relação juros-preço que trás essa assimetria. É uma
característica é desejável do ponto de vista do detentor de um título porque
em algum sentido quando você “perde, perde menos, e quando ganha,
ganha mais”.
https://docs.google.com/spreadsheets/d/163AYIpM2z-e_
7j09r-d92slwon0Ig1VgCcO98v9EKdc/edit?usp=sharing
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https://docs.google.com/spreadsheets/d/163AYIpM2z-e_7j09r-d92slwon0Ig1VgCcO98v9EKdc/edit?usp=sharing
https://docs.google.com/spreadsheets/d/163AYIpM2z-e_7j09r-d92slwon0Ig1VgCcO98v9EKdc/edit?usp=sharing
Maturidade e Sensitividade a Mudanças na Taxa de Juros
3. [Proposição 3] Preços de títulos com datas de maturidade mais
distantes tendem a ser mais sensíveis a mudanças na taxa de juros do
que títulos com vencimentos mais próximos.
4. [Proposição 4] A sensitividade do preço de títulos a mudanças na
taxa de juros aumenta, mas menos que proporcionalmente quando a
maturidade aumenta.
Conforme o tempo até maturidade T aumenta, a relação juros-preço do
título vai ficando mais convexa (o gráfico vai ficando mais “torto”), mas a
uma taxa cada vez menor.
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Taxa de Cupom e Risco de Taxa de Juros
5. [Proposição 5] O risco de taxa de juros é inversamente relacionado
com a taxa de cupom do título. Ou seja, o preço de títulos com menor
taxa de cupom são mais sensíveis a mudanças na taxa de juros do que
títulos com menores taxas de cupom.
Suponha que as taxas de juro subiram. A intuição aqui é que os fluxos de
caixa de títulos com maiores taxas de cupom se realizam mais rapidamente,
e esses recursos vão poder ser reinvestidos a uma taxa maior, diminuindo
as perdas do detentor do título. Daí a menor sensibilidade a mudanças na
taxa de juros.
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Duration de Macauley
Para lidar com a ambiguidade na “maturidade” de um título com cupons,
seria interessante construir uma maturidade média dos fluxos de caixa do
título. A duration é a média ponderada de tempo até o pagamento dos
cupons e do valor de face, e captura essas informações em que estamos
interessados.
Para calcular a duration precisamos dos fluxos de caixa do título
(localizados no tempo) e uma taxa de juros para descontar esses fluxos de
caixa.
Calculando a Duration de um Título
Começamos com o preço unitário de mercado do título, PU, que é a soma
do valor presente dos fluxos de caixa do título, descontados pela taxa de
juros apropriada y .
PU =
T∑
t=1
CFt
(1 + y)t
=
T∑
t=1
PMTt
(1 + y)t
+
FV
(1 + y)T
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Calculando a Duration de um Título (Cont.)
Então calculamos o peso relativo do fluxo de caixa que ocorre no período t
wt =
CFt
(1+y)t
PU
Note que todos os pesos w1,w2, . . . ,wT somam um, que
∑T
t=1 wt .
(É importante usarmos a mesma taxa de juros y para calcular o PU e para
calcular os pesos relativos wt ; se não, os pesos não somarão um.)
Então a duration é a soma do produto entre os pesos wt e o tempo t até
aquele fluxo de caixa
D =
T∑
t=1
t · wt (Duration)
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Duration de Macauley
A duration D é uma medida similar ao tempo até maturidade T . Isso
quer dizer que ela tem uma dimensão temporal, no sentido que
calculamos a duration em anos, meses, etc. A duration expressa em
anos é metade da duration expressa em semestres, como esperaríamos
intuitivamente.
A duration é um indicador interessante porque é uma simples
estatística que sumariza a maturidade média do título é especialmente
útil quando estamos considerando um portfólio composto de vários
títulos diferentes.
A duration é uma medida da sensibilidade do título (ou portfólio) ao
risco de mudanças na taxa de juro. Ela encapsula algumas da
proposições que vimos anteriormente.
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Exemplo (BKM18 Spreadsheet 16.1)
https://docs.google.com/spreadsheets/d/163AYIpM2z-e_
7j09r-d92slwon0Ig1VgCcO98v9EKdc/edit?usp=sharing
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https://docs.google.com/spreadsheets/d/163AYIpM2z-e_7j09r-d92slwon0Ig1VgCcO98v9EKdc/edit?usp=sharing
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Usando a Duration para quantificar Risco de Taxa de Juros
∆P
P
= −D ·
(
∆(1 + y)
1 + y
)
Uma forma mais conveniente de trabalhar com essa expressão é usando a
duration modificada. Definimos a duration modificada como
D∗ = D/(1 + y). Agora
∆P
P
= −D∗ · ∆y (1)
Talvez esclarecendo, o símbolo ∆ significa uma mudança na variável. Por
exemplo tomando as variáveis em dois instantes de tempo diferentes
“ontem e hoje”.
Pt − Pt−1
Pt−1
= −D∗t−1 · (yt − yt−1)
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A medida de sensibilidade do preço P na equação (1) é aproximada, e vai
ser tão menos precisa quanto maior for a variação absoluta na taxa de juros.
Exemplo (Aplicação da duration modificada para aproximar o impacto
de mudanças na taxa de juros sobre o preço de um título)
https://docs.google.com/spreadsheets/d/163AYIpM2z-e_7j09r-d92slwon0Ig1VgCcO98v9EKdc/edit?usp=sharing
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https://docs.google.com/spreadsheets/d/163AYIpM2z-e_7j09r-d92slwon0Ig1VgCcO98v9EKdc/edit?usp=sharing
https://docs.google.com/spreadsheets/d/163AYIpM2z-e_7j09r-d92slwon0Ig1VgCcO98v9EKdc/edit?usp=sharing
Alguns fatos sobre a Duration
1. [Fato 1] A duration D de um título zero-cupom é igual ao seu tempo
até maturidade.
Se a duration D é uma medida “corrigida” da maturidade T de um título, e
não há ambiguidade na maturidade de um título zero cupom, é muito
desejável que essas medidas sejam iguais nesse caso.
De fato, É fácil ver que se apenas houver fluxo de caixa em t = T , wt = 0
se t < T , e wt = 1 se t = T . Então D = 0 + · · · + T · 1 = T .
2. [Fato 2] Mantendo tempo até maturidade T constante, a duration D
de um título é tão menor quanto maior for a taxa de cupom c .
Quanto maior a taxa de cupom, maior os pagamentos antes da
amortização do valor de face, então os fluxos de caixa do título são
realizados antes. Faz sentido que a duration diminua.
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Alguns fatos sobre a Duration
3. [Fato 3] Mantendo a taxa de cupom c constante, a duration D de
um título vai em geral aumentar conforme o tempo até maturidade T
aumenta. Isso é sempre verdade para títulos negociados pelo valor de
face ou com prêmio (se PU ≥ FV ).
Olhando para a expressão da duration,
D =
T∑
t=1
t · wt
vemos imediatamente que se T aumenta, a soma vai ter um número maior
de parcelas, então faz sentido que o valor da soma aumente.
A ressalva no enunciado do Fato 3 existe porque algumas coisas “estranhas”
acontecem com títulos com baixa taxa de cupom negociados com bastante
desconto, mas são casos raros na prática (BKM18 Figure 16.2).
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Alguns fatos sobre a Duration
4. [Fato 4] Tudo mais (FV , T , e c) constante, a duration D de um
título é tão maior quanto menor for a taxa de juros y associada ao
título (o yield to maturirty requerido no mercado).
wt =
CFt
(1 + y)t
· 1
PU
Com uma taxa de juros menor, fluxos de caixa no futuro são mais valiosos,
o que aumenta o peso relativo deles e aumenta a duration.
5. [Fato 5] A duration de uma perpetuidade (com valores de cupom
constantes) é
D∞ =
1 + y
y
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Duration e Imunização de Posições
Uma importante aplicação da duration é na imunização de uma posição
contra variações nas taxas de juro. A ideia de imunização é que você tem
uma dada estrutura de obrigações para cumprir no futuro (gastos, seu
Passivo), e cria um portfólio de investimentos (ganhos, seu Ativo) que
garante que você vai conseguir pagar suas obrigações, não importando o
que aconteça com as taxas de juro no período.
Chamamos de portfólio (ou carteira) um conjunto de vários ativos
diferentes detidos pelo mesmo indivíduo. A duration de uma carteira é a
média da duration dos ativos individuais, ponderados pelo seu peso relativo
no valor total da carteira.
Nesse sentido, iremos dizer que uma posição está imunizada, se a duration
das obrigações (Passivo) for igual à duration dos direitos (Ativo). Veremos
que dessa forma o indivíduo garante que vai conseguir cumprir suas
obrigações.
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Exemplo (Duration de uma carteira)
Imagine que você tem investidos $600 em títulos zero-cupom com data de
vencimento par daqui a 8 anos, e $400 investidos em perpetuidades que
pagam cupons de 5% a cada ano. A taxa de juros de mercado é 7% ao
ano. Qual é a duration da sua carteira?
A duration de um título zero-cupom é igual ao tempo até a
maturidade, então 8 anos. Independente da taxa de juros de mercado.
A duration de uma perpetuidade, no entanto, só depende da taxa de
juros de mercado e não da taxa de cupom do título. No nosso caso é
1 + y
y
=
1 + 7%
7%
= 15.29 anos
Portanto a duration da carteira é
D =
$600
$600 + $400
· 8 + $400
$1 000
15.29
= 0.6 · 8 + 0.4 · 15.29 = 10.91 anos
Exemplo (BKM18 Example 16.4 Constructing an Immunized
Portfolio)
Uma companhia de seguros precisa fazer um pagamento de $19 487 daqui a
sete anos. A taxa de juros de mercado é 10% ao ano, de modo que o valor
presente dessa obrigação hoje é $10 000. O gerente financeiro da empresa
pretende financiar essa obrigação utilizando títulos zero-cupom com
vencimento daqui a três anos, e perpetuidades que pagam cupons anuais.
(?) Como o gerente poderia imunizar essa posição?
Imunização requer que a duration do portfólio de ativos seja igual à duração
do conjunto de obrigações. Podemos prosseguir em quatro passos.
1. Calcular a duration das obrigações.
No caso, as obrigações são um único pagamento de $19 487 daqui a
sete anos, então a duration desse passivo é 7 anos.
DP = 7 anos
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Exemplo (Cont.)
2. Escrever a duration do portfolio de ativos.
Agora obtemos a fórmula da duration do portfólio. Nós estamos nos
focando em zero-cupons e perpetuidades para que a álgebra fique
simples.
Suponha que o total de fundos investido seja K e que uma proporção
κ seja investida nos zero-cupons com maturidade em 3 anos, e 1− κ
seja investida nas perpetuidades com pagamentos anuais. Temos que
a duration do portfólio é então
DA = κ · Duration Zero-Cupom + (1− κ)Duration Perpetuidade
DA = κ · T + (1− κ) · 1 + y
y
DA = κ · 3 + (1− κ) · 11
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Exemplo (Cont.)
3. Obter os pesos κ que fazem com que a duration do ativo DA seja
igual à duration do passivo DP .
Queremos então DA(κ) = DP .
κ · 3 + (1− κ) · 11 = 7
Resolvendo a equação temos que o mix desejado entre os ativos é
κ = 1/2.
4. Financiar as obrigações.
Agora só resta ao gerente investir o valor presente das obrigações no
portfólio calculado anteriormente. No caso, o gerente investiria $5 000
nos títulos zero-cupom com maturidade de 3 anos, e $5 000 nas
perpetuidades com pagamentos anuais.
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