Geometria Analítica - RUFINO

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Marcelo Rufino de Oliveira
í 0 + 2k7rY|
COS
nn 7
x
rX1 +X2+X3 +
n
vr"X[X2+X]X3 + X]X4 + .
%
*2
p 401
p pF S
F’
COLEÇÃO
ELEMENTOS DA 
MATEMÁTICA
n-3
a..
NÚMEROS COMPLEXOS 
POLINÔMIOS 
GEOMETRIAANALÍTICA
f 0 + 2k7rA .-------- +i.sen
/\
\
\
\
1 
\
= zn = pn
cc^
1Q
an
+ Xn =---- "
a,
a|^x +—J + b| x + — | + c = 0
XiX2X3...Xn = (- 1)n —
p(x) = ao + a\X + a}*2 + ... + anxn
A0
+ Xn-lXn=A-?- 
a„
a, 
X1X2X3+X1X2X4+ ... +xn-2Xn-|Xn=s.---- !
Capitulo5. PontoeReta
Estudo do Ponto
y
2" quadrante l” quadrunic
3
-•I
O 4 x
- I
Q
3° quadrante 4" quadrante
167
possui coordenadas :
positiva e y negativa;
• Todo ponto pertencente ao eixo x possui coordenada y igual a zero. Todo ponto pertencente ao eixo y 
possui coordenada x igual a zero;
• A origem do plano cartesiano c o único ponto do plano cujas ambas coordenadas são nulas.
5.1. PLANO CARTESIANO
Idealizado pelo famoso matemático francês Renc Descartes, os sistema de eixos cartesianos c 
uma forma de mapear todos os pontos de um plano. Para tanto, a todos os pontos de um plano são 
associadas coordenadas retangulares, coordenadas estas que são definidas pela projeção do ponto sobre 
dois eixos perpendiculares
O exemplo abaixo mostra como identificar a coordenada de um ponto P sobre uin eixo qualquer.
c y positivas. Todo ponto pertencente 
ao 2° quadrante possui coordenada x negativa e y positiva. Todo ponto pertencente ao 3“ quadrante
x e y negativas. Todo ponto pertencente ao 4“ quadrante possui coordenada x
Inicialmente. um eixo real deve estar devidamente definido (direção e 
sentido) e identificado (neste caso está denominado dc eixo x). L'in eixo real 
c uma reta orientada onde cada ponto desta reta representa um diferente 
número real. Depois deve-se observar a escala do eixo, l-inalnicntc. basta 
projetar este ponto sobre o eixo e identificar o ponto de interseção desta 
projeção com o próprio eixo. No caso ila figura ao lado a projeção do ponto 
P sobre o eixo x intersectou o eixo em um ponto no intervalo [- I. - 2]. 
Desta maneira, a coordenada do ponto P medida pelo eixo x podería ser, por exemplo, xp = - 1.6.
ÍP
i 
i
i
i
i
• os dois eixos, x e y. são perpendiculares e a 
interseção deles ocorre no ponto que representa o 
número zero cm cada eixo. Este ponto é denominado 
de origem do sistema de eixos e c representado pela 
letra O;
• as coordenadas de um ponto neste sistema de 
eixos são determinadas pelas projeções do ponto 
sobre os eixos x e y. Por exemplo, na figura ao lado 
pode-se identificar que xP = 4 c yp = 3. Da mesma 
forma, conclui-se que xQ = - 4 e yp = - 1;
• A simbologia mais sintética para representar as 
coordenadas de um ponto é P = (xP. yP). Por 
exemplo, os pontos P c Q da figura são 
representados por P = (4, 3) e Q = (- 4. - I);
• os dois eixos dividem o plano cm quatro regiões, 
denominadas de quadrantes. conforme mostra a figura;
• Todo ponto pertencente ao 1“ quadrante possui coordenadas x
No sistema dc eixos cartesianos lançamos mão de dois eixos perpendiculares, geralincntc 
denominados dc eixos x (também chamado dc eixo das abscissas) e eixo y (ou eixo das ordenadas) para 
mapear todos os pontos de um plano, associando duas coordenadas a cada ponto. Observe a figura 
abaixo, onde iremos identificar os principais itens de um sistema de eixos cartesianos
Capítulos. PontoeReta
X,, Xp
I*
0 >u PQ: =QR: + PR pq = 7ixp“xqI: +iy>--y<> i2
Exemplos:
-—2
a2 - 2a + 1 + b2 - 4b + 4 = 25
a2 + 6a - 9 - b2 - 2b - I - 25 =>
Subtraindo as equações (I) c (2). Sa — 6b = — 5 (3)
Substituindo a equação (3) na (1)' + 4b = 20
+ 4b = 20
168
6b-5
4
6b-5
8
I) Determinar a distância entre os pontos P(- 3, 2) c Q(2, - 10)
Solução:
PQ = Vi xfxo I’’ +1 >'«• -yo l? = V-3-212 +|2-(-10)|: = x/25 + 144 = J169 = 13
2
I -b2-2
Observação: Caso os pontos distintos P e Q pertençam a uma reta horizontal ou vertical a expressão fica 
bem mais simples:
i) Pontos P e Q alinhados horizontalmenle (yp = yp): PQ =[ xP — Xq |
) Pontos P e Q alinhados verticalmente (xp - Xq): PQ =] yP - yQ |
5.2. DISTANCIA ENTRE DOIS PONTOS
Observe a figura abaixo, onde estão representados dois pontos. P c Q, distintos:
“ y Prolongue a projeção de P sobre o eixo x até encontrar a projeção do 
ponto Q sobre o eixo y. Seja R a interseção destes dois 
prolongamentos, como está indicado na figura ao lado.
Note que o ponto P está localizado no 4° quadrante c o ponto Q esta no 
3" quadrante, porem, para uma localização qualquer de um ponto no 
plano cartcsiano pode-se afirmar que QR = |xp - xq| c PR = |yp - y<i|. 
Uma vez que o triângulo PQR ê retângulo:
6b-5 
a =------
X 
f 6b-5 
( X
2) Determinar x de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B, onde A(4, 5), B( 1. 1) e C(x. 4). 
Solução:
AC' = AB' + BC' => (xc - xA)2 + (yc - Ya)2 = (xA - xR)2 + (yA - yR)2 + (xc - xR)2 + (yc - yB)' 
(x-4)2 i (4-5)2 = (4-l)2 f (5-l)2 + (x-l)2 h (4-l)2 => 
x2 - Xx i 16 + I = 9 + 16 + x2 - 2x 4-I 4-9 => 6x=-l8 =>x=-3
36b2 - 60b »■ 25 4 64b2 - 96b t 80 4- 256b =12X0 =>
3) Considere os pontos A( I, - 2) e B(— 3, 1) no plano cartesiano. Determine as coordenadas do ponto C 
tal que ABC seja um triângulo cquilâtero.
Solução:
Inicialmcntc deve-se observar que: 
ÃB = VlxA-xnl'+lyA-yn I2 = x/|l-(-3)|2 -H-2-II2 = x/TÕTÕ = 5
Suponha que as coordenadas do ponto C sejam Cfa. b). Assim:
ÃC - V-V-vJ2 4-|y(.-y.J2 - Vl-i-l I2 + |b-(-2)|2 - 5 
a2 *- b2 - 2a + 4b =20 (1) 
BC = J|xt -xB|2 r | yc - yH |2 = +|b-l|2 = 5
a24- b2 4- 6a- 2b - 15 (2)
E 
R
36b2 -60b- 25 ; 
64
4b2 + 4b - 47 = 0100b2 + 100b- 1175 = 0 b =
Deste modo, tem-se que C
169
3-1275-5 
8
3 + 1275-5
4) Dados A(8. 7) e C(- 2, - 3), vértices opostos de um quadrado ABCD. determina as coordenadas dos 
pontos B eD.
Solução:
Cálculo da diagonal AC do quadrado:
ÃC = V(xA - x, )2 + (yA -yc)2 = V[8-(-2)]’ ' [7-(-3)]2 = 7100 + 100 - loTl
Deste modo, sc ABCD c um quadrado então AB = 10 c BC = 10.
Supondo que as coordenadas de B sejam (a. b):
i) ÃB = 10
______ Capítuloõ. Pontoefíeta
= -±2732
4±1673
8
I 373
4 2
1 375 ------- 1---------
2
-1 + 673 1 + 473 1
4'2
10 = 7(xB - x.J2 + (yB-yA)2 = 7(a-8)2 + (b-7)2 : 
100 = a2-16a + 64 + b2-14b+ 49 => a2 + b2 - 16a - 14b = - 13 (1) 
ii)BC = IO => l0 = y/( 
100 = a2 + 4a + 4 + b2 + 6b + 9 => a2 + b2 + 4a + 6b = 87 
Subtraindo as equações (I) c (2): 
20a + 20b =100 => a + b = 5 => b = 5-a (3) 
Substituindo o resultado (3) na equação (1): 
a2 + (5 - a)2 + 4a + 6(5-a) = 87 => a2 + 25 - 10a + a2 + 4a + 30-6a = 87 => 
2a2-12a-32 = 0 => a2-6a-16 = 0 => (a-S)(a + 2) = 0 => a = 8oua = -2 
Sca = 8 => b = -3 => B(8,-3) 
Sc a = - 2 => b = 7 => B(- 2, 7)
Desde que 0 procedimento para a determinação de D c idêntico ao de B. conclui-se que os outros dois 
vértices do quadrado ABCD são (8, - 3) e (- 2, 7)
i) Se b = |-275
ti) Se b - y + 275
xu - r + (y» - y<-)2 = x/[a-(-2)]:+[b-(-3)]2
(2)
6b-5a =-------
8
6b-5 a - --------
8 8 4
-1-673 1-473 1
-----------.--------- ou C4 2 J l
Capitulo5. Pontoefíeia
2 2
Demonstração:
A(»a. yA)
P(xvyM)
Q(xm, yH)B(xh, y„)
i) MPeBQ =>XA - X.M = XM - XR XM =
ii) APhMQ => y,\ - ym = y.M - yo => y m
Exemplos:
xm =
x„-4 (I)Xa
yA + yn = 2 (2)
= 3 => Xn + Xc = 6 (3)xs =
}'<••= 6 (4)y«
= 6 x< - 12 (5)x,. = x.x
170
5.3. PONTO MÉDIO
5.3.1. Definição: O pomo médio M de um segmento AB e o ponto deste segmento tal que AM = RM .
5.3.2. Teorema: Sejam A(xa. yA) e B(xr. yn) dois pontos distintos no plano carlesiano. As coordenadas 
do ponto médio M do segmento AB são xM - *-A + X " e yM ~-- +
A partir dc A dcvc-sc traçar uma reta vertical (paralela ao eixo y) ate 
encontrar a reta horizontal (paralela ao eixo x) traçada a partir de R. 
A partir dc M traça-sc uma reta horizontal c uma vertical, ate 
encontrarem as retas jã traçadas a partir de A e B nos pontos P e Q, 
rcspcctivamcntc, como indicado na figura.
Assim, conclui-se que: xP = xA. yP = ysi, xQ = xM c y0 = yB.
Uma vez que AM = BM . ZAMP = ZMBQ e ZAPM = - ZMQB 
então tem-se que AAMP s AMBQ:
Mxn
2
_ yA + yP
2
2) Sc M{2. I). N(3. 3) e P(6. 2) são os pontos médiosdos lados AB. BC e CA. respectivamente, de um 
triângulo ABC. determinar as coordenadas dc A. B c C.
Solução:
i) M c ponto medio AB;
_ xA+x„
A M - — -2
v -.yv+yH> M 2 1
ii) N c ponto médio BC: 
xb-x,
2
vx =2^ = 3
2
iii) Pé ponto inédio AC:
2
1) Calcular o comprimento da mediana AM do triângulo ABC cujos vértices são os pontos A(0, 0). 
B(3.7)cC(5.-1)
Solução:
M é ponto médio do segmento BC ;
Xu+x.. 3 + 5Ji------— =-------= 4
2 2
yv - .yB^y' ^7 + M)^3
AM = \/(xM -x.J2+ (yM -yA): = 7(4-°)2 + (3-0)2 = Vl6 + 9 = 5
Capituloõ. PontoeReta
=> yA + yc = 4 (6)
XR =
b I f=d + h
B
=
CA yM
AM = V(xm-xa):+(yM-y a):
I7I
£-0 
2
4) Demonstrar que a mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo c igual á metade de 
comprimento da hipotenusa.
Solução:
y* 
ys=—
——0 
2
2
2 
ya = ys =>
___ BC
Desde modo, segue dirctamcntc que AM =
v _y* *y<- --> y(. - - - z
Somando as expressões (I). (3) c (5): xA + xH + xc - II (7)
Subtraindo as equações (7) c (l) segue que x<_- = 7.
Subtraindo as equações (7) e (3) segue que xA = 5.
Subtraindo as equações (7) c (5) segue que xr = - l.
Somando as expressões (2), (4) e (6): yA + yH ~ yt = 6 (8)
Subtraindo as equações (8) e (2) segue que y(- 4.
Subtraindo as equações (8)c(4) segue que yA = 0.
Subtraindo as equações (8) e (6) segue que y(t = - 2.
Deste inodu, os vértices do triângulo são A(5, 0), B(- I, - 2) e C(7, 4).
Note que qualquer triângulo retângulo pode ser desenhado em um sistema 
de eixos cartcsianos de modo que o vértice do ângulo reto coincida com a 
origem do sistema cartcsiano c os catctos estejam localizados ao longo 
dos eixos coordenados, conforme mostra a figura ao lado.
Desta forma os vértices são dados por: A(0. 0), B(0, b) c C(c, 0)
Se M o ponto médio da hipotenusa BC tem-se que:
xB + xc 0 + c c
~~2 2 ” 2
z yB + yc. b+o _b 
2 2 2 
BC = 7(xk-xc): +(yH-yc)2 = ^(0-c)2+ (b-0)2 = 7b2+c2
I 2
„ y« + yp b-f
yB - —
d r h
2
a i c = c * g
3) Determine condições necessárias c suficientes de modo que os pontos distintos M(a. b), N(c, d), 
P(c, f) e Q(g, h) sejam vértices de um paralclogramo.
Solução:
A condição necessária e suficiente para que MNPQ seja um paralclogramo c que as diagonais MP c NQ 
se cortem cm seus respectivos pontos médios. 
Se R é o ponto médio MP: xR = — Xr = ~~ 
Se S é o ponto médio NQ: xs = —- £——
De modo que R c S coincidam deve-se ter xn = Xs
Capitulo5. PonioeReta
5.4. RAZÃO DE SECÇÃO
R •. e
A
S
Exemplo:
interna sabe-se que ■= =
xp - 10
xp = 5/335 - 5yp = 4yp + 20 9yp= 15
172
:asc tcm-sc necessariamente que yP = yA = yn.
3) Também é possível estender o conceito de razão de secção para pontos fora do interior do segmento 
Por exemplo, um ponto P pertencente à reta que passe por A e B localizado de tal modo que A esteja 
entre B e P divide o segmento AB numa razão negativa.
Demonstração:
. B
5.4.1. Definição: Um ponto P divide um segmento de reta AB na razão m : n (m e n números reais) se 
PA m 
PB n
. Neste 
p
9xp - 90-í> 30 - 5xp - 4xp - 60
5.4.2. Teorema: Um ponto P(xp, yP) divide um segmento de rela AB. onde A(xa. yA) B(Xb- yn)- na 
m x — x m v — v
razão m : n se — = ———- c — = —-—— . onde xp * x \ # xb e yp * yA * yti 
n xu-x(. n yu-y(.
Observações
j-|-j y — y
1) Caso xA = xr então a razão de se secção fica definida somente pela equação — = —----- —. Neste case
n yu - yP
1) Considere o triângulo ABC, tal que A(- 10. - 5), B( 15, - 5) e C(6, 7). Determine o ponto de encontro 
da bissetriz interna do ângulo A com o lado BC.
Solução:
ÃB = x/(xA-x„)-’ + (yA-y„)- = >/(-10-l5)2 + [(-5-(-5))J2 = 25 
Ãc = v/(xA-X(-)2+ (yA-yc)2 = 7(-10-6)2 + (-5-7j2 = 20
Suponha que P é o ponto onde a bissetriz interna de A intersecta o lado BC. Pelo teorema de bissetriz
PB ÃB 25 5 ,
interna sabe-sc que =• = = = — = — . Logo:
PC AC 21) 4
ij 2. _ xp ~ xb _ xp — 15
4 Xj -xp 4 6-x,.
 ü) 5 _ yi ~yp 
4 yc-yp 4 7~yp
Assim, o ponto de encontro da bissetriz dc A com o lado BC c o ponto P( 10, 5/3)
tem-se necessariamente que xp = xA = Xb-
2) Caso yA = ya então a razão de se secção fica definida somente pela equação — = ——— 
n xB-x
Pela construção da figura ao lado tem-se ABRP ~ APS A'
PA SA PS m xA - xs y,, - ys
PB RP BR n xR-xp yR-yH
Entretanto, Xs = xP, Xr = xn, ys = yA c yR = yp. Assim: 
m xA -x,, = y,.-yA rn Xp-XA m = yp -yA
n xB-Xp yB-yP n xB-xP n yB-yP
Capitulo5. PontoeReta
e =>
Exemplos:
4-3 => yc - 8 = 7yc - 35 6yc = 27 yc = 9/2
1 + a = 2 + b => a = b + 1
ii) P,Cc D alinhados: => 5(2 +a)-3(1 - b) =>
173
2” caso: y( = y2 = yj
Nesta situação, os pontos A. B e C são colineares e pertencem a uma reta paralela ao eixo das abscissas.
5.5. TRF.S PONTOS ALINHADOS
Há três casos a considerar na análise da colinearidade dc três pontos distintos A(X|. y>). B(x?, y?) 
e C(xi, yi) num plano cartesiano
I" caso: xi = xj = Xj
Nesta situação, os pontos A. B e C são colineares e pertencem a uma reta paralela ao eixo das ordenadas.
-I-a
-1-2 
-2 —a 
-2-1
v>-x,
x, — X,
y.i - y- 
y?-y;
y. -5 
y( -8
1 = 2 
2
xA-xP yA-yP 
xA-x„ yA-y., 
Xç — X|. _ y— yp
Xc-x,, y(-y„
1) Determinar y para que os pontos A(3. 5). B(- 3, 8) e C(4, y) sejam colineares. 
Solução: 
xr~xA _ yr-yA 
x< -x„ y, -y„
2) Determinar P(a, b) colincar simultaneamente com A(- 1,- 2) e B(2, 1) c com C(- 2, I) c Díl, - 4). 
Solução:
i) P, A cC alinhados: -2-b
-2-1
1-b
1+4
10 + 5a = 3-3b => 5a = -7-3b => 5(b+l) = -7-3b => 5b + 5=-7-3b 
b = -3/2 => a = -l/2
Logo: P(- 1/2,-372)
3) Demonstrar que os pontos A(a, 2a - 1), B(a + 1, 2a + 1) c C(a + 2, 2a + 3) são colineares para todo 
possível valor real do número a.
Solução:
xc-xA a + 2-a 2 
x, .-xH a + 2-(a + l) 1 
y<--yA 2a + 3-(2a-l)
y, -yB 2a + 3-(2a + l)
 Como ——— = ——— segue que os pontos A. B c C estão alinhados, para qualquer valor real de a. 
x. - x„ yc — yn
3“ caso: xi * xj * x, c y, * y; * y»
Suponha que o ponto C divida o segmento AB na razão m : n. Assim, tem-se que: 
n1 g x,-x, m = y, - y, x,-x, y,-y,
n x,-x, n y,-y, x,-x3 y,-y,
=> 8b-- 12 =o
Capítulos. PontoeReta
Estudo da Reta
o k x
2U CASO: y,=y2 = k
y
k
O x
By:
y» A
O X| *2 x
174
1” CASO: Xi = x2 = k 
y
Neste caso, a reta determinada pelos pontos A c B c paralela 
ao eixo das ordenadas (reta vertical) c todos os pontos P 
desta rela possuem coordenada x igual a k. Assim, a equação 
gera) da rela r é x - k = 0. Portanto, a equação geral da rela é 
da forma ax + by + c = 0, onde a = l,b = 0cc = -k.
3“ CASO: Xi # x2 e jq * y2
y j l
Neste caso, a reta determinada pelos pontos A e B é paralela 
ao eixo das abscissas (reta horizontal) e todos os pontos P 
desta reta possuem coordenada y igual a k. Assim, a equação 
geral da reta r c y - k = 0. Logo, a equação geral da reta i da 
forma ax + by + c - 0, onde a = 0, b=lec = -k.
5.6. EQUAÇÃO GERAL DA RETA
5.6. J. Teorema: As coordenadas (x. y) de todos os pontos P de uma rela r no plano cartcsiano estão
relacionadas por uma equação da forma ax + by - c = 0, denominada de equação geral da reta. 
Demonstração:_____________________________________ _________________________________
Suponha que r c a reta determinada pelos pontos distintos A(x(, yt) c B(x2, y2). Há três casos a 
considerar:
Como os pontos A, B c P são colinearcs então:
—— = —— => (x-xi)(y-y2) = (x-x2)(y-yI) => 
x~xi y-y?
xy-xy2-yx, + xiy2 = xy-xyi-yx2 + x2yi =>
x(y2 - yi) + y(xi - x2) + x2y, - Xiy2 = 0
Mais uma vez tem-se que a equação geral da reta é da fonna 
ax + by -i- c = 0, onde:
a = y2 - yh b = Xi - x2 e c = x2y, - x(y2.
Capítulo 5. Ponto e Reta
2) Desde que os pontos A e B devein ser distintos, então a e b são podem ser simultaneamente nulos.
V ‘ >y
o
r
0
ângulo 0 agudo: í) < 0 < 90" ângulo 0 obtuso: 90" < 0 < 1X0" se r x então 0 ~ 0
175
5.7.1. Coeficiente Angular
5.7.1.1. Ângulo entre Reta c o eixo x: O ângulo entre uma reta r e o eixo x é medido a partir do semi- 
eixo x positivo, conforme mostram as figuras abaixo.
ax i = - byi - c
ax2 = - by: - c
axj + byj + c = 0 => axj = - byj - c
Desta maneira:
xi-x. = ax;-ax, = -by3-c + by,+c = b(y,-y3) = y,-y,
x3-x, axj-ax, -by3-c+ by, + c b(y,-y3) y,-y.
Concluímos, então, que o ponto C pertence à reta determinada pelos pontos A cB. Como bastam dois 
pontos distintos para determinar uma reta, o ponto C é variável e percorre toda a reta determinada pelos 
pontos A c B.
Observações:
1) Observe que para uma mesma reta existem infinitas equações gerais, uma vez que se ax + by + c = 0 
então tcm-sc lambem que akx + bky + ck = 0. com k * IR . Neste caso, afinna-sc que as equações são 
equivalentes. Assim, pode-se afirmar que toda rela do plano canesiano está associada a um conjunto de 
equações gerais equivalentes entre si.
ce n = — 
b
5.6.I.2. Teorema: No plano cartesiano. os pontos P(x, y) cujas coordenadas estão relacionadas por uma 
equação da forma ax + by + c = 0 (a ou b * 0) formam uma reta.
Demonstração;________________________________________________________________________
Sc a = 0 então by + c = 0 => y = -c/b => todos os pontos pertencem a uma reta paralela ao eixo x 
Se b = 0 então ax + c = 0 => x ■= - c/a => todos os pontos pertencem a uma reta paralela ao eixo y 
Se a * 0 c b * 0. suponha que A(xi, yi). B(xj, y>) c C(xj, yj) são três pontos distintos no plano cartesiano 
cujas coordenadas estão relacionadas pela equação ax + by t- c - 0. Logo: 
axi + byi + c - 0 => 
ax; + by: + c = 0 =>
Assim, pode-se identificar que m = -— 
b
5.7. EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA
5.7.1.. Teorema: As coordenadas de todos os pontos P(x, y) pertencentes a uma reta r não paralela ao 
eixo y podem ser relacionadas por uma equação da forma y = mx + n.
Demonstração:__________________________________________________________________ _____
Como a reta é não paralela ao eixo y, então b * 0.
a cSabe-se que a equação geral de uma reta é dada por ax + by + c = 0 => y = — x — 
b b
y'1
y, ....
\0 . com Xi * x2
X- XX|
2) Sc yi = y2 tem-se que a rela é horizontal (paralela ao eixo x) e assim tem-se tg 0 = 0.
176
A partir de agora, de modo a diminuir as expressões, o coeficiente angular de uma reta será designado 
pela letra m.
5.7.13. Cálculo do Coeficiente Angular
1“ CASO: Determinação do coeficiente angular a partir de dois pontos distintos de uma reta não 
vertical.
Observações:
1) Apesar da demonstração anterior ler sido feita para o caso de uma reta crescente (coeficiente angular 
positivo), a mesma equação para o cálculo do coeficiente angular será encontrada para o caso de uma 
reta decrescente (coeficiente angular negativo).
tgO = ^L 
x2~xl
_________________________________________________Capitulo5. Ponto e Reta
5.7.1.2. Definição: Coeficiente angular c igual à tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo x. 
Desta forma, toda reta crescente possui coeficiente angular positivo, toda reta decrescente possui 
coeficiente angular negativo e toda rela horizontal possui coeficiente angular nulo. Não é definido o 
valor do coeficiente angular de uma rela vertical
2“ CASO: Determinação do coeficiente angular a partir da equação geral de uma reta
No item referente a equação geral de uma reta concluiu-se que a expressão da reta que passa pelos 
pontos (X|. yi) c (x2, y2) c dada por ax + by + c = ü, onde a = y2 - yh b - X| - x2 c c = x2yi - Xjy2.
v — y
Como o coeficiente angular de uma reta é dado por —------ , então a partir da equação geral de uma reta
x2-x,
Q 
dada por ax + by + c = 0 tem-se que o coeficiente angular c dado por tg ü =— 
b
Considere a reta r que passa pelos pontos P(xlt y() e Q(x2. y2). 
Projete os pontos P e Q nos eixos carlesianos. Denomine de R o 
ponto de interseção da projeção de P sobre o eixo y e a projeção 
dc Q sobre o eixo x.
Observe que o ângulo tí formado pela reta r c o eixo x c igual ao 
ângulo ZQPR.
r. „ ÕR
Portanto: tgü = =
PR
3“ CASO: Determinação do coeficiente angular a partir da equação reduzida de uma reta 
Sabe-se que a partir da equação geral ax + by + c = 0 pode-se concluir que a equação reduzida é dada
i a C . t 3por y - mx + n, onde m =— c n = —. Como o coeficiente angular de uma reta c dada por —, 
b a b
então, em uma equação reduzida da forma y = mx + n, o coeficiente angular é dado por [tg 6 = m|
Capitulo5. PontoeReta
y 1y ty r
x
3 x
X
cociicicntc linear igual a - 2 cocficicnlc linear igual a 5
S.7.2.2. Cálculo do Coeficiente Linear
A partir deste ponto o coeficiente linear dc uma reta será designado pela letra n.
Exemplos:
m =
coeficiente linear c igual a - 4.
177
não possui coeficiente linear, 
pois a reta r não corta o eixo y
2° CASO: Determinação do coeficiente linear a partir da equação reduzida de uma reta
A equação reduzida dc uma reta c dada por y - mx + n. O coeficiente linear c obtido substituindo x = 0 
nesta equação: |y = n)
5-2 
-3-0
5.7.2. Coeficiente Linear
5.7.2.1. Definição: Coeficiente linear é igual a coordenada y do ponto de interseção tia reta com o eixo 
das ordenadas. Os exemplos abaixo mostram como identificar o coeficiente linear a partir do gráfico de 
uma reta.
I) Calcular o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(0, 2) e B(- 3, 5). 
Solução:
yH-yt
1" CASO: Determinação do coeficiente linear a partir da equação geral de uma reta
Sabe-se que equação geral de uma reta c dada por ax + by + c - 0. O ponto onde a reta corta o eixo das 
ordenadas possui coordenada x igual a 0. Substituindo x = 0 na equação geral da reta obtcm-sc:
by + c = 0 => by = -c =>
ç
y = — , com b * 07 b
2) Determinar o coeficiente angular e o coeficiente linear da rela dada por 7x + 2y + 8 - 0.
Solução:
A reta foi dada pela sua equação geral. Escrevendo na forma da equação reduzida:
7
7x + 2y + 8 = 0 <=> 2y = -7y-8 y = --y-4
Desde que a equação reduzida de uma reta c dada por y - mx - n. onde m c o coeficiente angular e n c o 
coeficiente linear da reta, então o coeficiente angular da reta dada por 7x - 2y + 8 = 0 é igual a —— e o
—=-i
-3
Capitulo5. Pontoefíeta
5.8. DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DE UMA RE I A
y
yo
=> y - y» = m(x - x0)
X
O *u X
y - 5 “ 0 (eq geral)5 (eq reduzida) => 2x
onde (x0, y0) é um ponto qualquer da reta, podendo ser escolhido entre (xi, yi) ou (x>, y2).
178
Observação:
Sc X| = x3 então o cocficicntc angular da reta não c definido (reta vertical). A equação da reta, neste 
caso, é dada por x = x>.
1” Cz\SO: Determinação da reta a partir do coeficiente angular e do coeficiente linear
Sendo dados os valores do coeficiente angular in e do coeficiente linear n pode-se determinar 
dirctamentc a equação reduzida de uma reta, bastando para isso substituir m e n na equação y = mx + n. 
Por exemplo, a equação reduzida de tuna reta cujo coeficiente angular é - 1 e cujo coeficiente linear é 
igual a 3 é dada por y = - x + 3.
2“ CASO: Determinação da reta a partir do coeficiente angular c das coordenadas de um ponto da 
reta
Desta forma, a equação da reta que possui coeficiente angular igual a - 2 c que passa pelo ponto 
(1.3) pode ser determinada da seguinte maneira: 
y-3 = (-2)(x - I) => y-3--2x*2 => y^-2x
y-y0 = y~ y'(x-x,) 
X, -X!
Observação:
>e for citado que o coeficiente angular da reta não esta definido então ê imediata a conclusão que o 
mgulo que a reta faz com o eixo x c igual a 90” (reta vertical) c assim a equação da reta c igual a x = Xn.
3“ CASO: Determinação da reta que passa por dois pontos distintos
Considere que agora são dadas as coordenadas de dois pontos A(X|. yi) c B(xj, y?) distintos. O processo 
de determinação da equação da reta a partir das coordenadas de dois pontos da reta é o mesmo do item 
anterior, bastando calcular o valor de m a partir das coordenadas de A c 13. No tem 6.2.1.3 foi 
demonstrado que o coeficiente angular de uma reta que passa pelos pontos (Xi. yj c (x>. y?) ê dado por 
y i — y
m = —=——-. Assim, a equação da reta que passa pelos pontos (X|, y,) c (x2, y2) c dada por:
Considere que seja dado o coeficiente angular m de uma reta e um 
ponto A(x0, yo). Seja P(x. y) um ponto qualquer da reta. Pela 
construção da figura tem-se que o cocficicntc angular da reta in pode 
ser calculado pela tangente do ângulo ZPÂQ:
m = tg(ZPÂQ) = = => m = ^^£- 
AQ x-Xy
Assim, a reta que passa pelospontos (— 1, 2) c (3, 5) c dada por.
, 5-2 3, _ 3x 9 3x11 , .y-5 = ———-(x-3) => y-5 = —(x-3) => y-5 = ——- => y = — + — (eq reduzida)
3 —(—1) 4 4 4 4 4
3x - 4y -r 11 = 0 (eq geral)
3x
4
Capitulo5. PontoeReta
5.9. EQUAÇÃO SEGMENTARIA DA RETA
b
y-y»
o a x
Exemplos:
(E) x y-3 =0
2) Determine a equação geral da reta dada pela equação paramctrica
Solução:
179
x = al + b 
y = ct + d
x 
a
onde a, b, c c d são constantes reais.
A partir da equação paramctrica c possível determinar as equações reduzida e geral de uma reta, 
bastando isolar a variável auxiliar cm cada uma das equações c fazer a devida substituição, de modo a 
conseguir uma equação somente nas variáveis x c y.
5.10. EQUAÇÃO PARAMÉTR1CA DA RETA
A equação paramctrica de uma reta consiste cm escrever as coordenadas, x e y, de um ponto 
qualquer de uma reta como função de uma outra variável. Esta representação c, em geral, linear. A 
fonna gerai de escrever a equação paramctrica de uma reta, cm função da variável auxiliar t. onde as 
duas equações são lineares, c:
*-l = 
b
x = 2 + 3t 
y = l-t
3 2
A equação segmentaria de urna reta consiste em determinar a 
equação da rela em função das coordenadas dos pontos onde a reta 
corta os eixos ordenados A reta da figura corta o eixo x no ponto 
(a, 0) c o eixo y no ponto (0. b). Desta forma, a equação da reta c: 
(x-x,) => y-b = ^—^(x-0) => 
a -0 
a b
= y-A 
x, -x, 
b y-b=—x - 
a
x — 2Da T equação tem-se que t = —-— c da 2“ equação tem-se que t = 1 - y
2xy=-y+3 (cq reduzida)
Por exemplo, a rela que corta os eixos cartesianos nos pontos (0, 2) e (- 3. 0) possui equação 
segmentaria dada por -y + y = 1. Desenvolvendo:
=> -2x+3y = 6 ==> 2x - 3y + 6 = 0 (cq geral) =>
I) (UCPel-2010) A equação da rela determinada pelos pontos A (0. 3) e B (3. 0) ê 
(A)-2x + y + 3 = 0 (B)x-y-3 = 0 (C) x +y + 3 = 0 (D)x-y + 3 = 0
Solução:
A equação segmentaria da reta que corta os eixos cartesianos em (0. 3) e (3.0) ê dada por: 
-j + -^ = I => x + y = 3 x -r y - 3 = 0
x — 2
Igualando: —y- = l-y => x-2 = 3-3y => x + 3y-5 = 0
Capítulo5. PontoeReta
5.11. POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
s
O x
6.11.2. Retas Concorrentes
y
s
p
O
retas rcs:
=> 2x + 3 = 6.x - 1 => 4x = 4 P(l. 5)
mesmo, bastando
resolver o sistema linear formado pelas duas equações:
180
Por exemplo, o ponto de interseção das retas y - 2x - 3 e y 6x - 1 é determinado resolvendo o 
sistema linear.
5.11.1. Retas Paralelas
y ‘ ‘
Portanto, afirma-se que as retas y = 2x + 3 e y = 2x - 10 são paralelas, tuna vez que possuem o 
mesmo coeficiente angular.
Observações:
1) Duas retas coincidentes também são paralelas. Assim, a reta y = 3x - 2 e a rela 9x — 3x - 6 = 0 são 
paralelas.
2) Caso os coeficientes angulares de duas retas não sejam definidos, tem-se que as retas são ambas 
perpendiculares ao eixo x e, portanto, paralelas.
y = 2x + 3 
y = 6x -1
Considere que duas relas r e s 
equações dadas por |r: y = mix + nj e |s: y =
Observação:
1) Caso as relas sejam dadas a partir de suas equações gerais o procedimento é o 
a^ + bjy + C) =0 
a,x-rb,y + Cj =0
no plano carlesiano possuem 
m2x + n2|
Considere duas retas r e s no plano cartesiano, cujas equações 
são dadas por r: y = ni|X + n] e s: y = m2x + n2.
Sc | ni| * n; |então as relas não são paralelas. No caso do plano 
cartesiano (duas dimensões) se duas retas não são paralelas 
então obrigatoriamente são concorrentes.
Note que o ponto P. interseção entre r c s, é um ponto cujas 
coordenadas respeitam tanto a equação de r quanto a equação 
de s. Portanto, para determinar as coordenadas do ponto P. 
basta resolver o sistema linear formado pelas equações das
y = m,x + n,
y = m2x +n.
Sabe-se que nii = tg 0| e in2 - tg 02, onde 0| e 02 são os ângulos 
que as retas r e s fazem com o eixo x, rcspcclivamcntc.
Sabe-se também que r e s são paralelas se e somente se 0j = 02
Assim, tem-se que tg 0( = tg 02 => |mi - m2|
x = 1 => y = 5
Capitulo5. PontoeReta
5.! 1.3. Retas Perpendiculares
y
i>
o,
Deste modo, ris <=> m|.m2 = -I
O
perpendiculares, uma vez que mr =
5.11.4. Feixe de Relas Paralelas
O
ax + by + cB =0
5.11.5. Feixe de Retas Concorrentes
linear
ISI
*x
Observação:
1) Há apenas uma exceção a esta regra, que ocorre no caso dc uma rela r vertical (paralela ao eixo y), 
cujo coeficiente angular não é definido, e uma reta s horizontal (paralela ao eixo x), cujo coeficiente 
angular c nulo É evidente que r c s são perpendiculares, entretanto o produto in-.ms não vale - I.
Suponha que as retas ij, r2. r-„ ... são todas paralelas. Desta 
forma, todas estas retas fazem o mesmo ângulo com o eixo 
x. implicando que possuem o mesmo coeficiente angular.
Logo, um feixe de retas paralelas pode ser representado 
pelo conjunto de retas:
ax + by+ C| =0
ax + by + c, =0
Sejam A c B os pontos onde as retas r e s interceptam o 
eixo x. Seja P o ponto de interseção entre as retas r e s.
Observe o triângulo PAB. O ângulo ZAPB será reto se c 
somente se:
ZPAB = 90" - ZPBA <=> 02 = 9O"-(1SO"~ 0,) co
02 - - 90° + Oi 0i — 02 = 90°
1 + tg 0i.tg 02 = 0 <» l+mt.m2 = 0 <=> mi.m2 = -l
/\0:
A
IS0"-0|X
È'
Deste modo, pode-se afirmar que as retas r: 3x + 4y - 1 = 0 e s: 4x - 3y + 9 = 0 são 
3 4 r ,— c mx = —, fazendo com que mr.m, = - 1.
Considere n retas no plano, todas concorrentes num mesmo 
ponto Pf.Xn, yo). Sejam r,: ax + by + c - 0 e ij: dx - ey - f = 0, 
com i * j, duas destas relas. Como estas duas retas 
intcrccptam-sc no ponto P. então (x0< yo) c solução do sistema 
ax + by + c = 0
. Alcin disso, qualquer outra reta do 
dx + ey + f = 0
plano que passe por P pode ser obtida através dc uma 
combinação linear das retas r, e q. Desta forma, a expressão: 
k|(ax + by + c) - k2(dx + ey + f) = 0
onde k| e k2 são números reais, representa um feixe de retas 
concorrentes no ponio P(x0, y(1)
Capítulos. PontoeReta
t
X
sistema linear:
x
17x = 57
182
y - I = 3x - 12 =>
Í3x-y = ll 
(5x + 4y = 13
Como B c ponto medio do segmento AC:
|5x + 4y = 13 
|x + 3y = 7
> y»2 =>
2“ CASO: As retas r e s são concorrentes
Definição: A reta l é simétrica de r em relação a s se e somente se t passa pelo ponto de interseção de r c 
s c se o ângulo formado pelas retas r c s c igual ao ângulo formado pelas retas t c s.
A demonstração do caso geral leva a expressões algébricas 
muito extensas. Portanto, este caso será analisado a partir de 
um exemplo. Suponha que as retas r c s sejam dadas por: 
r: 5x + 4y - 13 = 0 s: x + 3y - 7 = ü
O ponto de interseção entre r e s é determinado resolvendo o 
5x + 4y = 13
-5x -15y = -35
5.11.6. Retas Simétricas
Suponha que r c s sào duas retas no plano cartesiano. Os critérios para a determinação de uma 
terceira reta t que é simétrica de r em relação a s dependem se as relas r e s sào paralelas ou 
concorrentes. Assim, esta definição será dividida em dois casos, como segue abaixo.
57 x. = — ' 17
— I ly = — 22 => y = 2 => x = 1
Assim, a reta t deve passar pelo ponto P (1,2)
Seja B um ponto qualquer (distinto de P) sobre a reta s.
Traçando a rela u perpendicular a s passando por B, sejam /\ 
c C, rcspcctivamcntc, os pontos de interseção desta com as retas r e t. rcspcctivamcntc.
Como ZCPB = ZAPB então ACPB s AAPB e assim tem-se que BC = AB, fazendo com que B seja o 
ponto médio do segmento AC. Corno u ± s então mu.m, - - 1 => m„ ~ 3
Escolhendo B(4, 1) então a reta u é dada por: y - yn “ m„(x - xr) => y- 1 = 3(x - 4) =>
u: 3x - y - 11 = 0
[12x-4y = 44
[5x + 4y = 13
1" CASO: As retas r e s são paralelas
Definição: A reta t é simétrica de r cm relação a s se c somente se t é paralela a r e s c se a distância 
entre as retas r c s é igual a distância entre as retas t c s.
Suponha que as equações de r e s sejam dadas por: 
r: y = mx + n s: y = mx + n
Como a reta i é paralela ares enlào a sua equação 
reduzida é dada por l: y = mx + n”
Sabc-sc que a ordenada do ponto dc interseção de uma reta 
coin o eixo y é igual ao seu coeficiente linear. Como a 
distância entre as retas r e s é iguala distância entre as retas 
t e s. então o ponto de interseção da retas com o eixo y é o 
ponto médio do seguimento definido pelos pomos de 
interseção das retas r c t com o eixo y. Logo:
, n + n" „ ,n =------- => n = 2n — n
2 ________________
Assim, a reta t é dada por [ t: y = mx +■ 2n’ - n
ica a cargo do leitor demonstrar o caso em que as retas sejam dadas pelas suas equações gerais:
| A reta t simétrica de r: ax + by - c = 0 em relação a s: ax + by + c’ - 0 é dada por t: ax + by + 2e’ — c = 01
16
Capítulos. Pontoefíeia
xB = 2
(x-l)y-yp
31y —62
Exemplos:
183
1) Determinar as coordenadas do ponto P interseção entre r e s. Note que t passa por P.
2) Escolher um ponto qualquer B (distinto dc P). sobre a reta s.
3) Determinar a equação da reta u que c perpendicular a s passando por B.
4) Determinar as coordenadas do ponto A que c interseção da reta u com a reta r,
5) Sabendo que B c ponto medio dc AC dcvc-sc determinar as coordenadas do ponto C.
6) Dc posse das coordenadas dc P c C, dctcrmina-sc a reta t simétrica dc r cm relação a s.
Em resumo, o processo para determinai urna reta t que seja simétrica de uma reta r em relação a uma 
reta s (r e s concorrentes) é:
2) (UFMG-2010) No plano carlesiano. o ponto A = (1. 11) é vértice do quadrado ABCD , cuja diagonal 
BD está sobre a reta de equação y = x/2 + 3.
Considerando essas informações,
1. DETERMINE as coordenadas do centro M do quadrado ABCD.
2. DETERMINE as coordenadas do vértice C.
3. DETERMINE as coordenadas dos vértices B e D.
Solução:
1) (AFA-2003) Dadas as retas dc equações 
r: y - ax + b
ri : y = aiX + b|
determine a relação entre a, ai, b e bi que está correia.
a) Sc a = a, c b a bi tcm-sc r II n.
b) Sc a = ai c b = b| tem-se r * n.
c) Sc a * ai c tcm-sc r = q.
d) Se a * ai c b * b| tem-se r // q.
Solução:
Analisando cada alternativa:
a) Sc a = ai as duas retas possuem o mesmo coeficiente angular e portanto são paralelas, 
independemente da relação entre b e bi. VERD/XDEIRO
b) Se a = ai e b = bt então as retas são coincidentes. FALSO
c) Sc a* ai então ccrtamcntc as retas são distintas. FALSO
d) Somente teremos r // n sca = ai. FALSO
Assim, a única alternativa correta é a A.
79 
xr = — 
r 17
50
Yc 17
—_2
17___
22-i
17
8x-8 => 8x-31y-54 = 0
57
4 = 121^ 
2
116
=> 1-^21
H 2 2
A reta t passa pelos pontos P e C:
y — 2 = — (x —1) =>
62
, 16=> 2 =-----+yc
17 c
= 21—2£.(X_Xp) => y_2 = 
xc-xn
Capitulo 5. Ponto e Reta
3 = -2x + l3
4 =XM =
(l-4):+ (11-5): =(xn-4):+(xn/2 + 3-5):
e) 2^/3
BC
3y - 16 = 0
3x - 4y + 8 = 0
com a rela BC: => 25x = 40 =>
h ~ PA = 7(xn-xA)’+(yp-yA)2 = 16=4
184
8-2
8-0
6
8
3
4
i 4
3
= yt -y»
xc~xi.
x
"2
Como a altura relativa h ao vértice A é perpendicular a BC então m, =-----
' m,
10xo-25 = 0
4 0
Como yB - x»/2 + 3, quando xh = 10 então yB = 8 e quando xh = - 2 então yB = 2.
Na verdade, como a expressão para o cálculo de Xd é a mesma do cálculo de xb, então se xB = 10 então 
Xd = - 2, enquanto se xB = - 2 então Xd = 10.
Desta forma, os pontos B c D são dados por (10, 8) c (- 2, 2)
«-4 
5
(16 ,+-----0l 5
3) (ESPM-2006) Dado no plano cartcsiano o triângulo dc vértices A(4, 0), B(0, 2) c C(8, 8), a medida da 
altura relativa ao vértice A é igual a:
a) 4 b) 5 c) 4>/2
Solução:
O coeficiente angular da reta BC c dado por muc
Assim, a equação de h c dada por: 
4
y-y,\ = nih(x-xA) => y-0 = --(x-4) => 3y = -4x^l6 => 4x
A equação da reta BC c dada por:
y - yB = mBt(x - xB) => y-2 = -(x-0) => 4y-8 = 3x 
4
As coordenadas do ponto P, pé da altura relativa ao vértice A, são determinadas pela interseção da reta h 
4x+3y = l6 Íl6x + 12y = 64 8 16
3x-4y = -8 |9x-12y = -24 p 5 5
O valor da altura relativa ao vcrticc A c igual à distância entre os pontos P c A:
(144 ' 256 _ Í4ÕÕ_
25 + 25 V 25
=> Ym = 5
a) Sabc-sc que as diagonais dc um quadrado são perpendiculares, então:
inAC-niBD = - 1 => mAC.(l/2) = -l => mAC - - 2
Logo, a reta AC é dada por: y - yA - mA((x - xA) => y - 11 - (- 2)(x - 1) =>
y - 11 = - 2x + 2 => y = - 2x + 13
Fazendo a interseção entre as retas AC c BD encontramos as coordenadas do ponto M de interseção das 
diagonais do quadrado:
x ,y = -^
y = -2x + 13
b) Sabc-sc que 0 ponto M c o ponto médio das duas diagonais Logo:
xA + x,. l + x.. 
2 2
yA + yc c 11 + yc _ .yM = — — => 5 = —=> yc = -l
c) Uma vez que os pontos B c D pertencem à reta BD dada por y = x/2 + 3 então suas coordenadas são 
da forma B(x0. xB/2 + 3) e D(xo, Xo/2 + 3). Como 0 ponto M é o ponto médio das diagonais tem-se que 
am = bm => 7(xA-xM):+(yA-ysi)1 =V(xb“xm)2 + (yB-yM): =>
9 + 36 = x[,-8xu + 16 + -^1-2xl, + 4 =>
xn-8xD-20 = 0 => (xB-10)(xB + 2) = 0 => xh=10ouxb=-2
— = 10 => xm = 4 
2
s
*- X
As coordenadas do ponto A são dadas pela solução do sistema linear.
A área do triângulo ABO é dada por S
b)(3,0) d) (0,-1) e) (1, I).
r
.N
Al
P
Q
x - I — x + 3
Xs = 3•S< =
ys = ol =
185
6x + 2x + 16 = 0 => xA = 2 => yA = 4
A coordenada x do ponto B é obtida substituindo y = 0 na equação geral de s: 
3.0 + 2,xr-16 = 0 => Xn = 8
Solução:
Uma vez que o coeficiente angular da reta r vale e a coeficiente linear vale Ü, então r: y - 2x.
3y + 2x -16 = 0 => 
y = 2x
/1
/ I
/ !
O I
I
5) (UFC-99) Seja r a reta que passa pelos pontos P(l, 0) e Q(- 1. - 2). Então, o ponto simétrico de 
N( I. 2), com relação a reta r é: 
a) (0,0) b)(3, 0) c)(5/2, 1)
Solução:
____________________________________________________ Capitulo5. PontoeReta
4) (Udesc-2011) Na figura abaixo, a reta s tem equação 3y + 2x - 16 - 0. e a rela r passa pela origem c 
tem coeficiente angular igual a 2. Calcule a área (em unidades de área) do triângulo compreendido entre 
as retas e o eixo das abscissas
y
jl
_ QByA _ xn-yA _ 8-4 = |6
2 2 2
y-0 = -^—— (x —l) => y = x-l 
1 + 1
Observando a equação de r tcm-sc que m, = I.
A rela l é perpendicular a r: m(.mr = - I => mt = - I 
Logo, a equação de t c dada por y - yN = ni;(x - xN) => 
y - 2 = (- I )(x - l) => y = - x - 3
O ponto M, interseção de r c t, c dado por:
I y = x -1
[ y = -x + 3
Seja S o ponto simétrico de N com relação a r. Assim, o ponto Meo ponto médio do segmento NS: 
xs **> 2 _ I + xs
2 
ys 
2 2
Logo, o ponto S é dado por (3. 0)
xM - 2 => yM - I
y ~ YiA reta r é dada por: y - yP = —--- — (x - x H) =>
^1* X Q
c) y = - x/a — b
O ponto A é a interseção de t e r:
- x = ax i b =>
x„ = XB=~XA =
y<> =
I
A reta s c a reta que passa pelos pontos P e B:
a
1y-yi. = m,(x-xP) =>
aa
b
a
7) (AFA-2006) Considerando no plano cartesiano ortogonal as retas r. s e l. tais que (r)
<=• 3x-9^2y + 4 <=> 3x-2y-13-0
186
x-3
2
b
1 -a
c) V-F-F-V
d) F-V —V —V
bx-------
1 -a
b
l+a.= 
b
I + a
x y = - 
a
xv = —
a
x = 2v + 3 
y = 3v - 2
Capítulos. Ponto e Reta 
b.
b 
a(l-a)
+ y.< 
2
x. segue
a) y - x a > b 
d) y = x/a + b/a
Solução:
b 
-Yr-y., l-a 
xP-xh
b +-----=
I - a
Seja P a interseção de r com y = x: 
í y = x b
< => x = ax t- b => x„ = yP =-----
[y = ax + b l-a
Se t a reta que passa por (0, 0) e é perpendicular a y 
dirctamcntc que t: y = - x
b 
y-T3?
A sequência correta c 
a) F - V - F - F 
h) V - V - V - F 
Solução:
Determinando a equação geral de r; 
x-3 v =-----
2 <-:• 
y + 2v =------
3
X( I + a + I - a) 
/(I +a-l +a) 
x b(a-l) 
a(l-a)
6) (FMTM-200X) As retas r c s são simétricas com relação à reta y - x Se a equação de r c y - ax 
com a = 0 c b = 0, então a equação de s é 
b) y = - x/a + b 
e) y = x/a - b/a
x = 2v + 3
a •(s) 
y = 3v-2
inx + y + m = 0 e (l) x = 0, analise as proposições abaixo, classificando- as cm (V) vcrdadcira(s) ou (F) 
falsa(s).
( ) 3 m e IR / r = s
() 3 m e IR / s ± l
( ) Se m - l), as retas r, s e t determinam um triângulo retângulo.
( ) As retas r c s poderão ser retas suportes de lados opostos de um paralclogramo se m = -1,5
=o x = ax - b =>
íy = -x
] y = ax -r b
b bx . =-------- => y. =---------
1 + a l + a
Sc B c a inlcrscçào de t com s, tem-se que Oco ponto medio 
do segmento AB:
b
I +a
b
yB = ->’a = —I + a2
3y > 6 = - 4x * 12
ALTERNATIVA A
Ya = - >'b
y —0 =
2 = 0, então, a equação da reta (s) simétrica
e) x - 2y - 2 = 0
187
--0
(x —5)
8) (ITA-88) Num triânguloABC. retângulo em A, de vértices B: (t, I ) e C: (3. - 2). o cateto que contém 
o ponto B c paralelo à reta de equação 3x — 4y + 2 = 0. Então a reta que contem o catcto AC c dada por.
a)4x + 3y-6 = 0 b)4x + 3y-3 = 0 c)3x-4y+l=0
d) 2x f 5y = 0 e) 4x - 3y + 6 - 0
Solução:
A reta de equação 3x - 4y + 2 = 0 possui coeficiente angular igual a 3/4, implicando que in,\B - 3/4.
Como os catetos AB c AC são perpendiculares então nuc ~ ~ 1/itiah = - 4/3.
4
Assim, a reta AC é dada por: y-yc = it>ac(x -xc) => y + 2 = -—(x-3)
3
lü) (ITA-93) Sendo (r) uma reta dada pela equação x - 2y 
a (r) em relação ao eixo das abscissas é descrita por
a) x + 2y = 0 c) 2x + 3y + 1 = 0
b) 3x - y + 3 = 0 d) x + 2y + 2 = 0
Solução:
O ponto de interseção A de r com o eixo das abscissas c obtido substituindo y = 0 cm r: 
xa-2.0 + 2 = ü => xA = -2 => A(-2. 0)
O coeficiente angular de r: x - 2y + 2 = 0 c dado por mr = 1/2
Desde que s c a reta simétrica de r com relação a x - 0, então o ângulo que a reta s faz com o eixo x c 
igual a n-0. onde 9 é o ângulo que r faz com o eixo x.
_ __________________________________________ Capitulo5. PontoeReta
3 .... 13Desta foinij. o coeficiente angular de r é dado por in, = - eo coeficiente linear é dado por n, - — — .
Na reta s. mx - y + m ~ 0 pode-se identificar que m. ~ - m c ns ~ - m.
Analisando cada um dos itens.
1) Desde que m, = n< c m, * n, então não existe m de modo que r = s. FALSO
2) Se m = 0 então s ± t. VERDADEIRO
3) Sc m = então slter não c paralelo ase nem a t. VERDADEIRO
4) r//s então ms - mr = - m = 3/2 => m = - 1,5. VERDEIRO
y-y.M = y" yM(x-xM) 
xb-xm
4x + 3y-6 = 0 =>
i 8 i 5 
x» = -yu-» = T-i = -
8 ,
~3
É-5 
3
„ o 8-2yB-yn = 8 => y„ =--
A reta que passa por M e B é dada por:
4
y = -(x-5) => 5y-4x-20 => 4x-5y-20 = 0
9) (1TA-89) Determine a equação da reta suporte de um segmento que tem seu centro do ponto (5, 0) e 
extremidade cm cada uma das retas x - 2y - 3 = 0 c x - y + 1 = 0. Dê a resposta na forma Ax - By - C 
= 0.
Solução:
Seja AB o segmento indicado no enunciado. Como A pertence à reta x - 2y - 3 = 0 então x.\ = 2yA * 3. 
Logo, a fonna geral do ponto A é dada por (2yA + 3. yA).
Como B pertence à reta de equação x + y + 1 = 0 então xu = - yu - 1. Assim, a forma geral do ponto B é 
dada por (- yK - 1, yu).
Como M (5. 0) é o ponto médio do segmento AB:
i) 5 = -^X|1 => 5 = TyA+32~yit~' => 2yA-yB = 8
ii) o =
Capítulos. Pontoefíeta
-2 => x + 2y + 2 0
cm2, vale:
0 ponto A é determinado resolvendo o sistema linear: => Xa 0 Ya T 3
188
4.6 4
2 ‘5
2xb' = 2 => 
[d(A,C)]:=2
44 
c) — 
3
Desta forma, m, = ig (n - 0) = - tg 0 = - m, = - 1/2
Assim, sé dada por: y-yA =n\(x-xA) =o> y-0 = -
xB2 = l
=> (xc-xA)'
p.q„senO
2~
S = ^cm2
5
^(x + 2) => 2y--x
>'>T ,48 e)T
2xc: = 2 => xc2 = I => xc = ± 1 => xc = 1 => yc - 4 
Como xB = Xc = I então a reta que passa por R e C c dada por x = 1,
12) (1TA-97) Seja A o ponto de intcrsccçào das retas r c s dadas, rcspcctivamcnte pelas equações x + y = 
3 e x - y = - 3. Sejam B e C pontos situados no primeiro quadrante com B e r c C e s. Sabendo que 
d(A,B) = d(A.C) = . então a reta passando por BcCc dada pela equação:
a)2xi3y=l b) y = 1 c)y = 2
d) x = I c) x = 2
Solução:
xB = ± I =>
i2 + (yc-yA):
X| >0
11) (ITA-9X) As retas y = 0 c 4x + 3y + 7 = 0 são retas suportes das diagonais de um paralelogramo. 
Sabendo que estas diagonais medem 4 cm e 6 cm, então, a área deste paralelogramo. em cm". vale:
, 36 , 27a) — b —
5 4
Solução:
4 4
O ângulo () que a rela 4x + 3y + 7 = 0 faz com o eixo x é tal que tg 0 = - — => sen© = —
Entretanto, o eixo x coincide com a reta y = 0, implicando que o ângulo formado pelas diagonais do 
paralelogramo c igual a 0.
Assim, a área do paralelogramo c dado por S =
x + y = 3 
x - y = -3
Se R e r então B(Xb, 3 - xq) e se C e s então C(xc. xL- + 3)
[d(A.B)]: = 2 => (xn - xA)2 + (yn - yA)2 = 2 => (xB - O)2 + (3 - xB - 3)2 = 2 =e> xn2 + xR1 = 2 => 
v„>l>
xB = 1 => yB = 2 
p = 2 => (xc - O)2 + (xc + 3 - 3)2 = 2 => xc2 + xc2 = 2 =>
Capitulo5. Pontoefíeta
y
I*(xu. yu)
0
As coordenadas de Q são determinadas pela solução do sistema linear:
x
= >/üu-xu)2+(yll-yu)2 d.,, = + y..-xu-
di-, =
.(a2 + b2) =>d.,, ~ <p; + b2 dp_, =
d?.. = dp.. =
189
►
X
b2x-aby = b’x(l-aby„ 
a2x + aby = -ac
a2 + b2
[ax + by„+c| 
Va2 + b2
ax,1 + by„ i-cY
a2 i b*’ J
b2x0-aby0-ac 
a2 + b2
 b2x0 -aby0 - ac 
y yTP
ax„+by„+cT 
a2 i b2 J
-abxu -r a2y„ - bc V
a2+b2 J
c
---y„ ■
4) Analogamente ao caso anterior, nas retas r verticais (equação geral da forma ax -*• c = 0) a fórmula 
também funciona muito bem, entretanto é mais rápido chegar ao valor da distância de P(x<). yü) à r 
c . . . . I C
notando que todos os pontos de r satisfazem x = —. Logo, a distância de P á r é dada por------ x„ .
- 1 a
Observações:
1) Observe que a expressão da reta que aparece na fórmula final da distância entre um ponto e uma reta c 
a equação geral da rela. Assim, se a rela for dada por uma de suas outras formas (reduzida, segmentaria 
ou parainétnca) c necessário, através de operações algébricas, transformá-la na forma da equação geral.
2) Perceba que se o ponto P(.\q, yo) pertence a reta r: ax + by + c - 0 então axo + byo - c = 0. fazendo 
com que dp.r - Ü.
3) Nos casos de retas r horizontais (equação geral by + c = 0) a fórmula funciona muito bem. entretanto 
é mais rápido chegar ao valor da distância entre um ponto P(xu. yu) observando que todos os pontos da
reta r possuem coordenada y igual a —. Assim, a distância entre o ponto P e a reta r é dada por 
b
a2x0+ aby0+ acY í abx„ + b2yu + bcY
~ 1 +l Y7P J
ax„ + by„ 4-cY 
a2 i b2 J
(ax„+by„ + c)2 
a2 +b2
5.12. DISTANCIA ENTRE PONTO E RE TA
Considere a reta r de equação ax + by + c = 0 e o ponto P(Xu. y(l). 
Designa-se de dp. r como a distância entre o ponto P e a reta r.
Seja Q a interseção entre a rela r e a reta perpendicular a r passando 
por Q. Assim, tem-se que dp.r - PQ.
a b
Sc r: ax + by t c = 0 então: mr = — => mp = — 
b a
Assim, a reta que passa por PQ é dada por: 
y-y« =-(x-x„) => bx-ay-bxo + ayu = O 
a
bx-ay = bx„-ay„ 
ax + by = -c 
-abx0+a2yu -bc
Q a2+b2
a
Capitulo5. PontoeReta
by - 0. ou seja, c = 0,
Exemplos:
e) Vld) 5V2
10rela s è origem do sistema cartcsiano: f = d()> =
04) óVã 05) 8Vã03)8
i) 2xA - 3.0 + 7 = 0 => XA =
190
Observação:
Lembre que uma rcia que passa pela origem possui equação geral da forma ax 
implicando que dp., - 0.
2) (UESB-2010) O ponto M(— I. — I) é vértice de um triângulo equilâtero MNP, cujo lado NP está sobre 
a reta 3x + 4y — 3 = 0. Com base nessas informações, pode-se afirmar que o perímetro desse triângulo, 
em u.c. c igual a
01) Vã 02) 4Vã
Va3 +b3
Assim, a diagonal do quadrado vale d = \Í2.i = 41.4^ = 14s .
■=>4 Vã
2-^
2
, 4Vã
3
sVãa) —
Solução:
Os pontos A c B onde a reta s: 2x - 3y + 7 = 0 encontra os eixos coordenados são obtidos substituindo X
= 0 ou y = 0 cm sua equação:
3) (ITA-90) Considere a reta (r) inediatriz do segmento cujos extremos são os pontos cm que a reta 2x -
3y - 7 = 0 intercepta os eixos coordenados. Então a distância do ponto (—. — ) à icta (r) é: 
4 6
d) 3^ 
7
5,12.1. Distância entre a origem e unia reta
Considere a reta 1 detínida a partir de sua equação geral ax + by + c = 0 Como a origem O do 
sistema cartcsiano possui coordenadas (0, 0), então substituindo x0 = 0 e yu = 0 na expressão da distância .......
entre ponto c reta encontra-se: do, = —-----
Va: + b:
1) (UFMS-2008) Sabendo-se que um quadrado tem um de seus vértices na origem do sistema cartcsiano 
e que as equações das relas suportes de dois de seus lados são 3x - y = 0 e 3x - y - 10 = 0, então a 
medida de sua diagonal c igual a 
a) 2Vã b) 2V2 c) 5V5 
Solução:
Uma vez que a origem é um dos vértices do quadrado e (0. 0) pertence á reta r. 3x — y = 0 mas não 
pertence a reta s: 3x - y - 10 = 0. então o comprimento t do lado do quadrado c dado pela distância da 
|c| . H0| 10
Tõ
Solução:
O comprimento da altura h do lado do triângulo c igual a distância entre o ponto Mea reta NP: 
_!ax„ -r by„ r ç| _ j 3(-1) +4(-1)-31 _ j -101 _ n 
' s/a3+b3 ‘ VFTV7 ’ 5 ”
rVãNum triângulo equilâtero sabe-se que h =——
Desta forma, o perímetro do triângulo é igual a 3f =4Vã
7
2
7ii) 2.0 - 3.yo + 7 = 0 => yH= —
Capítulos. Pontoefíeta
Assim, a reia s intercepta os eixos coordenados nos pontos
24y-28 = - 36x - 63 => 36x+24y-35 = 0
22 =
0
y-yP = m,(x-xP)
191
Observação:
0 enunciado desta questão foi levemente modificado para ser possível encontrar um resultado. A versão 
oficial desta questão foi anulada pela banca examinadora
= |9 + 4 + 35| = 
Vl 872
48 4
12VÍ3 VÍ3
Assim, 0 ponto medio de AB c j
-2.o
2
Logo, a distância de (—.2) à reta 36x + 24y + 35 = 0 é dada por: 
4 6
4)
2 30 coeficiente angular de s c dado por m, = y. Como r ± s então m, = - -
7 3 7Assim, a rela r é dada por: y — = — (x + —) 
6 2 4
4) (ITA-94) Duas retas r e s são dadas, respectivamente, pelas equações 3x - 4y = 3 e 2x - y = 2. Um 
ponto P pertencente à reta s tem abscissa positiva e dista 22 unidades de medida da reta r. Se ax t by + c 
= 0 é a equação da reta que contém P e é paralela a r, determine o valor de a. b e c.
Solução:
Uma vez que a reta s c dada por 2x + y = 2, então yp = 2 - 2xp.
Assim, a forma geral de todo ponto pertence a s é dada por (xp, 2 - 2xP).
drr = 22 => 22 = y-£"21 => 22 J3x,.-4(2-2x,.)-3J ]Xp_ , = t ,0
x/3‘ + (—4)' $
1) llxp-II - 110 => llxp-121 => xp-ll => yP--20
ii) 11 Xp - 11 — 110 => 11 Xp - 99 => Xp - - 9 não convém, pois o enunciado afirma que Xp 
Assim, 0 ponto P possui coordenadas (11.- 20).
O coeficiente angular de r: 3x - 4x - 3 = 0 é dado por mr = 2.
Logo, a reta que contém P e é paralela a r é dada por:
y + 20 = 2(X-ll) => 4y + 80 = 3x-33 => 3x-4y-H3 = 0
4
Assim, tcm-sc a = 3, b = -4cc = -113.
|36.- + 24.- + 35| 
d=-----6 -------------
V36-’+24-’
Capítulos. Ponto e Peta
p
Jr.. =O r
Exemplos:
Ji
X
(C) 15 c 16 (D) 16 e 17 (E) 17 e 18(B) 14 c 15
Sx • 6y - 15 ~ 0
<T
4x ’ 3y - 28 - 0
= 14,56
180030
192
a) s/3
b) -x/?
c) —x/ó
d) x/ô
|c-c’l 
x/a2 + b2
l) (AFA-2003) Na figura abaixo, as retas r c s são paralelas. Se P(x.y) e s, então x + y c igual a 
y
f x/3 
Num hexágono regular: a(i =——
A . _ 3x/3f41x/3Y 15129x/3
Assim: S = 6------ = —
4 2
2) (Ciaba-2009) Dois dos lados de um hexágono regular estão contidos nas retas definidas pelas 
equações 4x + 3y + 28 = 0 c 8x - 6y + 15 = 0, respcctivamcntc. A área desse hexágono é um número 
entre
(A) 13 e 14
Solução:
5,13. DISTANCIA ENTRE RETAS PARALELAS
. Sejam r c s duas retas paralelas. Denomina-se de d, 4 ã distância entre
s. as relas r e s. Uma vez que seus coeficientes angulares devem ser
iguais, as equações gerais de r e s devem ser dadas por. 
r: ax • by * c = 0 e s: ax 1 by c" = 0.
Assim, um ponto Q qualquer da reta s satisfaz byç ~ - axç - c’.
|axM + by0+c| _ I jP<í~e’^cl
■7a2 + b2 \Ai2 +b2
Desta forma. d, % = dQ r
Multiplicando a equação de r por 2: 8x + 6y -- 56 = 0
r- ...... . . lc“c’l |56-15| 41Calculando a distancia d entre r e s: d = —= - = —
7a2+ b2 7s2 t-62 10
Note que a distância entre estas duas retas é igual á duas vezes o
... , , 41 41apolema do hexágono regular: 2a„ = — => aA = —
, 41x/3
=> (í. =------30
Solução:
A reta r possui coeficiente angular igual a tg (135°) - - I e coeficiente linear igual a 0. Assnn, tem-se 
que a equação reduzida de r é dada por y = - x. cuja equação geral c dada por x + y = 0.
A rela s é paralela à reta r, implicando que sua equação geral seja x + y + c = 0.
Como a distância entre r c s c x/3 então x/3 =-^=H=L => lc| = x/ó => c = +x/6.
Observe que a coordenada y do pomo que a rela s coria o eixo y c negativa.
Fazendo x = 0 em s tein-se que y = - c. De modo que y < 0 concku-sc que c = x/ô .
Assim, a rela s c dada por x + y + x/ô = 0 => xp + yp = -x/ô
d/
Capitulo5. PontoeReta
5.14. ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS
I (<0“ - 0
0(f
Note lambem que tg 0 = - tg (l80° - 0)180" - 0 s
u
■1
O xs r
0
«i
Uma vez que tg 0 5 0 deve-se fazer: tgO =
O
uma vez que o valor de
193
5.14.3. Caso Geral 
y “
Pereeba que as retas r e s formam dois ângulos. 0 e seu suplementar. 
180" - 0. Entretanto, convencionou-sc que o ângulo formado pelas 
retas r e s é o ângulo 0 tal que 0 < 0 < rJ2.
Observação:
Se as duas retas foram verticais é evidente que o ângulo entre elas é igual a zero (retas paralelas).
5.14.2. Se unia das retas é vertical 
y À
tgü= tgí a--^ 1 = |ctg(a)|
Suponha que a rela s seja vertical (paralela ao eixo y) e que o 
ângulo que a rela r íaz com o eixo x seja igual a a. Assim, tem-se 
que mr-tg a
O ângulo 0 formando por r c s c tal que 0 = a - —.
Como tg 0 deve ser maior ou igual a zero:
lg0= —
5.14.1. Definição
O ângulo formado por duas retas r e s num plano c definido como o ângulo 0 tal que 0 < 0 í e/2 
fonnado pelas retas r e s. Observe a figura abaixo:
Suponha que r e s são duas relas tais que r forma um 
ângulo ai com o eixo x e s forma um ângulo a2 com o 
eixo x. Assim. mr - tg ai e tn4 - tg u>.
Note que o ângulo 0 formado pelas retas r e s ê tal que:
0 = ai —a2 => tgO = tg(cti - a2) => tgO = -^1—
1 t tgUptga.
m, -m,
I + m,.mw
Observações:
1) O módulo é apenas para garantir que o valor calculado para a tangente de 0 seja maior ou igual a zero.
———— pode ser negativo c indicar, na verdade, o valor de tg (1 X0° - 0).
l + mr.m,
2) Note que se int = ms então as retas r e s são paralelas e assim tg 0 = 0. como jâ era de se esperar.
3) Sc in„m, = - I então o valor de tg 0 nào é definido. Entretanto, sabe-se que se m,.m. = - 1 então as 
retas r e s são perpendiculares.
Capítulo5. PontoeReta
Exemplos:
c y = x - 2. Então tg (a + P) vale.
y a
r
c) - 2 V3 i 2c)-2 -75 d) - 2 • 73b) -J3
i-ogo. ig(a + P) =
1-3
=> 0 - 3 = - 1 » xD xr> = - 2
=> 0-4 = 2 yD = -6yr>
= 1a =
Como os ângulos internos de um paralclogramo sào suplementares, então o outro ângulo c igual
194
3r a —.
4
na = —
4
tga + tgP 
l-tga.tgp (
-2-3 
l+(-2)(3)
, yn-y<
Xu-X(.
111 BC
I + 73 1 + 73 1 + 73 1 + 2 V3 + 3 _ /r=r7ri-j31+vr ■ - =
3
1) (Escola Naval-2008) Os ângulos a e (3 na figura abaixo sào tais que p = a + ~ • c a equação da reta r
"Em» 2±± = 3-1 + 3
1 + in 4H.mH(
a) - 2 i 7?
Solução:
Sc a equação de r c y = x - 2 então m, = 1 c assim tem-se que a = rc/4. 
. .. ~ jt n jt 7tksia íonna icm-se que B = a + — = — + — = —
12 4 12 3 
r n,srl85 
r r — tg —.tg — 4 b3
2) (1TA-98) Considere o paralclogramo ABCD onde A = (0.0Y B = (- 1,2) e C = ( - 3, - 4). Os 
ângulos internos distintos c o vértice D deste paralclogramo sào. respectivamente:
a) —c D = ( - 2 . - 5) b) —c D = (-l ,-5) c)c D = (- 2 , - 6)
4 4 3 3 3 3
d)c D = (-2,-6) c) e D = (-2 .-5)
4 4 3 3
Solução:
Num paralclogramo as diagonais de encontram nos respectivos pontos médios. Logo, 0 ponto médio M 
de AC c o ponto médio de BD: 
xx+x, x„+x„
Z Z
y* + y< _ y.. •*- y.>
Z " Z
= yH-yA _ 2-0
xu -xA -1-0
Capítulos. Pontoefíeta
o x
±-
Uma das maneiras de decidir qual das equações representa a bisselriz
s
. ondea equaçãoBi*»- yu)A(xa. yA)
195
5.15.1. Bisselriz interna de um triângulo
Qxc. yc)
ÍT
a2x + b.x + c, 
>/a2 + b:
a.x -rb,x + c, _ 
Va;*b;
interna do ângulo entre r c s c calcular as distâncias de um ponto P 
qualquer da reta r (ou da reta s) às duas bisselrizes já determinadas. 
Sabendo-se que dp.p, < dp. ptf então a rela que está mais próxima de P 
representa a bisselriz interna de r e s.
Note que a resolução da equação anterior resulta na equação de duas retas, cada uina para cada 
sinal do ± da equação. Uma delas c a equação de ptl a bisselriz interna do ângulo formado por r c s. A 
outra equação representa a bisselriz externa [C do ângulo formado por r e s, que é perpendicular a |3;. Isto 
ocorre porque todos os pontos de pc também estão a uma mesma distância das retas r e s. O problema 
agora reside cm decidir qual das relas obtidas representa a bisselriz interna do ângulo formado por r c s.
P.
dpf = dp., =>
5.15. BISSETR1ZES ENTRE DUAS RETAS
Sejam r: a|X + b(y + c, = 0 e s: a2x + b2y + c2 = 0 duas retas 
não paralelas que interseptam-se no ponto Q.
Seja p, a rela suporte da bisselriz interna doângulo formado 
pelas retas r e s.
Considere que P(x, y) c um ponto qualquer, distinto de Q, da 
reta 0,. Sabe-se que as distâncias de um ponto qualquer de 
uma bisselriz âs duas retas que formam o ângulo são iguais: 
lapX + b.x -^c, | |a.x + b,x -c, |
+ b’ Va’
Considere que A. B e C são três pontos 
alinhados no plano caricsiano. Pura determinar a 
rela que representa bisselriz interna do ângulo A 
inicialmcntc dcvc-sc calcular as retas AC e AB. 
Suponha que AC é dada por a,x + bty í- Ci = 0 e que 
AB é dada por a2x + b2y + e2 = ().
Pode-se determinar a bisselriz de  resolvendo 
a^ + b.x + c, _ + a.x + b.xtc,
Va’-+bi
são obtidas duas retas como resposta. cada uma para cada sinal do ±. Suponha que as relas obtidas sejam 
li: ajx + b;y - c.i 0 e i2: a4x + b4y -r c4 0. Uma delas representa a bisselriz interna de  e a outra a 
bisselriz externa de À.
Resta agora determinar qual destas retas representa a bisselriz intenta de Â. Não é possível 
utilizar o mesmo procedimento que foi usado para determinar a bisselriz do ângulo entre duas retas 
porque o conceito de ângulo entre duas retas c distinto do conceito de ângulo interno de um triângulo. 
Enquanto que o ângulo entre duas retas é definido como o ângulo agudo formado pelas relas, o ângulo 
interno de um triângulo é definido como a pane do ângulo que é interna ao triângulo. Assim, o ângulo 
interno de um triângulo pode ser obtuso, como é o caso do ângulo à da figura acima.
Uma forma de determinar a bisselriz interna do ângulo Á ê observar que apenas a bisselriz 
interna de A separa os pontos B c C em semi-planos distintos. Portanto, substituindo as coordenadas dos 
pontos BeC nas expressões t|(x, y) - a,x + b,y - cj e t2(x. y) - a4x + b4y t c4 obtém-se:
P,
Capítulos. Ponto e Reta
Exemplos:
6 = () c 4x -
c) x + y - 9 = 0
3x - 4y + 6 = ± (4x - 3y + 3)equação = ±
C) 2y - x - 4 = 0
Bissclriz de B. = +
l
196
b) 7x - 7y + 9 = 0 
e) x + y - 0
Como dy. ,
Se ti(X|i. yu). li(Xr, y<) < 0 então a bissclriz interna do ângulo Á c tc a3x + b3y + c3 -■ 0. enquanto 
que se b(x3<. y») b(xr. y< ) < 0 então a bissetriz interna de A c t; a4x ’ b4y + c4 = 0.
ti(xtt, yu) a3xH - b3yH + c3 
ti(x<,. y( ) = a-,x< - biV( + c3 
l?(xn. y») - ;uxh - bjyit + c4 
t;(x<. y< ) = :tix< - b4y(- + c4
=> y-4 =± (x -4)
2) (UEFS-2009) Um triângulo possui vértices nos pontos A = (1. 4). B = (4. 4) e C = (4. 7). Unia 
equação da reta que contém a bissclriz do ângulo B c 
A) y + x - 8 = 0 B) y - x - 8 = 0
D)2y i x- 12 = 0 E)y —2x + 4 = 0
Solução:
Como yA - yu então a rela AB é dada por y - 4 = 0 
Como x» Xc então a reta BC é dada por x - 4 - 0 
y-4 + x - 4 
Vo-' + I- ~ x/l2 + 0:
i) y-4 = x-4 => x-y = 0
ii) y-4 = 0-x+4 => x«y-8=0 
Sejam l3(P) - xP - yp e b(P) = xP + yP - 8. Assim:
ti(A) = xA - y.\ = I - 4 = - 3 l2(A) = xA + yA - 8 = I + 4 - 8 = - 3
ti(C) = Xc - y< = 4 - 7 = - 3 b(C) = xr • y<- - 8 = 4 - 7-8 = 3
Como ti(A).ti(C) > 0 então os pontos A c C estão no mesmo scmi-plano cm relação a reta x - y = 0. 
Desta forma, a reta x - y = 0 c a bissetriz externa do ângulo B.
Como b(A).b(C) < 0 então os pontos A c C estão semi-planos opostos cm relação à reta x + y - 8 = 0. 
Desta forma, a reta x + y- 8 = 0éa bissetriz interna do ângulo B.
1) (Ciaba-95) A equação da bissclriz do ângulo formado pelas relas de equações 3x - 4y 
3y r 3 -- o c: 
a) x ♦ y - 3 = 0 
d) 7x - 7y - 9 0 
Solução:
As equações das bissclrizcs interna c externa dos ângulos formados pelas retas dadas são as soluções da 
3x - 4y + 6 . 4x -3y + 3 
V3'-r(-4): -V4-+(-3);
i) 3x - 4y + 6 = 4x — 3y • 3 => x + y —3 = 0 retar
ii) 3x - 4y r 6 = - 4x - 3y — 3 => 7x - 7y + 9 = 0 relas 
Seja P(- 2. 0) um ponto da reta 3x - 4y + 6 = 0. Assim:
= |Xp *yP-3| _ 1-2-0-31 = s/2
**•' x/pTF x/2 2
= |7x -7y +9| = | 7(-2)-7(0) + 9| = 5x/2 
+ 7: 7x/2 14
dp.r então a bissetriz pedida é a reta s: 7x - 7y + 9 = 0
Capitulo5. PontoeReta
5.16. AREA DE POLÍGONOS
5.16.1. Área do Triângulo
y-y..
Unia vez que SAW. =
:S -SJ
197
x x
x<>
X<- 
X,
Os lermos algébricos que compõe S| podem ser determinados calculando o produto dc cada elemento da 
l-1 coluna com o elemento da 2J coluna diagonalmenle abaixo. Do mesmo modo, cada termo de S» pode 
scr calculado multiplicando cada elemento da 2J coluna com o elemento da lJ coluna diagonalmenle 
abaixo. O esquema abaixo mostra a aplicação do dispositivo Delta para a determinação dc Si c
•U xAyB 
-k xhYc 
-I* XcYa 
' S,
então SA(K.
Considere três pontos A(xa. yA). B(xb. yB) c C(xc. y<_) não 
alinhados no plano cartesiano.
Desta forma, sabe-se que a distância entre os pontos BeCc
dada por: BC = ,/{x( -xM)*' +(y< -y„)’
Sejam:
r a reta que passa por A c B
s a reta que passa por A e C,
t a reta que passa por BeC.
Assim, sendo St - xAyB + xByc + XcyA c Sj = xAyc + xByA < x<.-yB então tem-se que S VM
xA yA 
X xByA -4 xB yB 
xcyB H-xr^yc 
X x.\yc xa yA
—s_-
JS.-S.I
2
De modo a calcular os valores de Si e Sj pode-se utilizar um dispositivo prático, denominado de 
dispositivo Delta, que se baseia em organizar as coordenadas dos pontos que compõe o triângulo em 
uma matriz 4x2. como indicado abaixo, onde as coordenadas dc A devem estar na 1J e na 4-‘ linhas:
yA
y»
y<
yA
Assim, a reta t é dada por: 
y ~ v
= ——— (X - x„) => (yB - yc)x - (xB - xt-)y - xB(yB - yr) + ya(xB - x< ) = 0 
xu-x,
0 valor da altura de A com relação a BC é igual a distância do ponto A é rela t:
h _l(yn - y< )xA~(xB -xt.)yA-xB(y„-y£) + yB(xB -x(.)|
V(y. -ynr+(x< -xB):
BC.hA =1 xAy„ + Xl)yt + xcyA -(xAy( + x„yA + xcyu)|
BChA enlào s ( = |xAyB + xBy,.4-xcyA-(xAy,. + xnyA+x,y„)|
Depois dc determinados S, c S; a área do triângulo ABC é dada por SUM
Capítulo5. PontoeReta
A.
A..,
A, ; A,
A..,
A. ,
A. <
X| y«
X2yi X; yi -• xiyj
X'.y: *- x.t y.i -• x2y-.
x4yj x4 y4 -* x»y4
x5y4 •- xs y< x4ys
x„yn.i <- x„ ■
I9S
y, 
y4 
ys 
y.
•x, 
x.
•X, 
X.
X ,
X,
y.
y.
y.
y.
X
X
X
X
X
X;
X„
X,
y, 
y< 
y,. 
y.
y, 
y„ i
y,
y,
■x,
X
X„
X,
•X|
X.
■X.
X4
x(
X,
xiy„ ♦ - Xi
S2
yi -• x„yi
Si
|S,-S;|
2
Depois de detenninados Si c S2 a área do polígono A|A2...An c dada por Svnr =
Assim, a área do polígono A|A2...A„ c igual a soma das áreas 
dos triângulos A|A2A4. AiAjA4. A1A4A5, ... c A|A„_|A„.
Pode-se dividir este polígono cm n - 2 triângulos:
AiA2A-i. A1A5A4, A1A4A5,A|An- |A„
5.16.2. Área de Polígono Qualquer
77/ wy
1 \\\
Sejam Ai(X|. yi), A2(x2, y2) An(xn. y„) 11 pontos no plano 
cartesiano formando o polígono convexo A|A2...An, como 
indica a figura ao lado
Aplicando o dispositivo Delta para calcular as áreas dos triângulos tem-se a sequência de matrizes: 
y> 
y.- 
y< 
y>
. crccba agora que quando as arcas dos triângulos são somadas os mesmo termos algébricos aparecem 
cm Si um triângulo e em S2 cm outro triângulo. Por exemplo, no cálculo da área de AA|A2Aj o termo 
XxVi aparece em S| c no calculo da área de AA|A-,A4 o termo x,yi aparece cm S2. Os termos que 
aparecem com sinais contrários no cálculo das áreas dos triângulos são os que resultam do calculo das 
últimas duas linhas de um triângulo com os das primeiras duas linhas do próximo triângulo. Estes termos 
que possuem sinal contrário sào cancelados quando as áreas de todos os triângulos forem somadas. 
Depois de todos os cancelamentos, encontra-se para a área do polígono a expressão:
s _ l(x,y:4-x.y, + x,yj + x,y< +•■■+x„.,y„-t-x„y,)-(x:y, + x,y; + x4y, + x}y4 •»...+x„y„, + x,yn)|
2
l-.sta expressão aparece quando todas coordenadas dos vértices são organizadas de acordo com 0 
dispositivo Delta, com o primeiro vértice sendo repelido no final da sequência.
x„-iy„-2 •-xll_| yn-i.-Xn 2y„-i
X y.> -f* x„_iyn
X
Capitulo5. PontoeReta
Exemplos:
d) 9/4 e) 7/2
(0.0); (2.4);ii)i) ui)
0
20 5
3 5
5 I 3 9
6 2 1I
5 5 4 8
3 512 25
28 43
Portanto, a área do quadrilátero vale S =
199
2x = y 
x = -2y+10
Observação:
Qualquer um dos vértices do polígono pode iniciar a sequência dos vértices no dispositivo Delta. Após 
escolhido A, os demais vértices da sequência devem ser consecutivos no polígono, seguindoo sentido 
horário ou anti-horário, sempre fechando a sequência o vértice A|.
0
5
0
0
20 5
0
15
2
x = 2y
x = —2y+10
|43-28|
2
"2;
I) (ITA-2007) Considere no plano cartcsiano xy o triângulo delimitado pelas retas 2x = y, x =2y e x = — 
2y + 10. A área desse triângulo mede.
a) 15/2 b) 13/4 c) 11/6
Solução:
Calculando as interseções:
Í2x = y
I x = 2y
Pelo dispositivo delta: 
0 0 
2 4 
5/ /2 
0
2) (PUC/RJ-2009) Calcule a área do quadrilátero de vértices (3,5), (1.3). (2,1) c (5.4). 
Solução:
Pelo dispositivo Delta:
r c I5"20! >5Logo S = 1—-—1 = —
Capituloõ. PontoeReta
Exemplos:
y
V
o
seguinte
(D
Isolando y nas duas inequações obtcnt-sc
(2)
y " - x 3
200
■>
x
1) Determine os pontos do plano eartesiano que satisfazem 2x - y + 5 > 0.
Solução:
Isolando a variável y tem-se. y < 2x + 5.
Assim, todos os pontos que satisfazem y < 2x + 5 estão abaixo da 
reta definida pela equação reduzida y = 2x + 5.
Na figura ao lado a região em cinza indica o conjunto dos pontos que 
satisfazem a inequação 2x - y + 5 > 0.
Note que os pontos da rela não fazem parle da região, por isso a rela 
;tá indicada por uma reta tracejada. —
5.17. INEQUAÇÕES DO Io GRAU
Sabe-se que a equação y = mx + n representa, no plano eartesiano, todos os pontos de uma reta, 
onde (x, y) são as coordenadas destes pontos. Logo, todos os pontos desta reta possuem coordenadas que 
podem ser escritas da forma (x. mx + n), onde m é o coeficiente angular e n o coeficiente linear da reta. 
Assim, os pontos do plano eartesiano que satisfazem a inequação y > mx i n são os pontos que possuem 
coordenada y maior que a do ponto da reta com a mesma coordenada x. ou seja, os pontos que 
satisfazem a inequação y > mx +■ n são todos os pontos que estão acima da reta y = mx + n. Do mesmo 
modo, os pontos do plano eartesiano que satisfazem a inequação y < mx + n são os pontos que estão 
abaixo da reta y - mx + n.
Observe os exemplos abaixo para entender melhor como identificar as regiões do plano que 
satisfazem as inequações de 1“ grau.
y<-x + 3
2x y>—-2
o
Os pontos que satisfazem a inequação 1 são os pontos que estão abaixo da reta y = - x - 3, enquanto que
2xos pontos que satisfazem a inequação 2 são os pontos que estão acima da reta y = --2. incluindo os
pontos da própria reta A solução do sistema de inequação é igual à interseção da região do plano
2xeartesiano que está abaixo da reta y = - x + 3 com a região que está acima da reta y = —— 2.
ya
.) Determine todos os pontos do plano eartesiano que satisfazem o sistema de inequações do 1“ grau 
x+y-3<0 
2x-3y-6S 0
Solução:
/ 3 
_ 2
2x
3
3
x + my - 5 - 01
’x - y-3 - 0
*>I 3/2 x
=>
201
A região ao lado é uni triângulo retângulo.
Note que. independentemente do valor de m. a rela x + my -5 = 0 passa pelo ponto (5. 0).
Seja (0, k) o ponto que a reta x i rny -5 = 0 corta o eixo y. Pela equação segmentaria:
- + — = I => x + - 5 = 0 => k = — 
5 k k m
Inicialmente pode-se notar que se m = 0 então x < 5. ou seja, a região ã esquerda da reta x = 5. Fazendo 
a interseção desta região com o triângulo acima tem-sc que a região final é o triângulo jâ desenhado. 
Perceba que se m < 0 então x + my - 5 < 0 representa a região acima da reta x -r my -5 = 0. que ê uma 
reta crescente que não corta o triângulo assinalado na figura. Assim, se m < 0 a região final é um 
triângulo retângulo.
________________________________________________ Capitulo5. PontoeReta 
3) Determine a área da região do plano cartcsiano definida pelos pontos (x. y) cujas coordenadas 
satisfazem |x| -r |y| < 1.
Solução:
Sex>0ey>0(r quadrante) tem-sc x + y < 1 
y < - x + I => pontos abaixo da reta y = I - x 
Se x < 0 c y è 0 (2" quadrante) tem-sc - x + y S 1 
y<x +1 pontos abaixo da reta y = I + x 
Se x < 0 c y < 0 (3° quadrante) tem-sc -x - y S I 
y> —x— I => pontos acnna da rela y = -l -x 
Sc x > 0 e y < 0 (4° quadrante) tem-sc x - y < I 
pontos acima da reta y = x - 1 
interseção das regiões acima tem-sc a região ao
y > x - I 
Fazendo a 
lado:
1/2.
x-2y + I -OX
I O
4) (ITA-75) Seja S o conjunto das soluções do sistema de desigualdades:
2x + y - 3 > 0 x-2y+l<0 y - 3 < 0 x + my - 5 < 0.
onde m c real A representação geométrica de S. cm coordenadas cartcsianas ortogonais (x. y) c:
a) um quadrilátero para qualquer m > 0 b) um triângulo isóscclcs para qualquer m < 0
cj um triângulo retângulo para m < 0 ou 5/3 < m < 4 d) S é o conjunto vazio para m > 5/3
c) nenhuma das anteriores
Solução:
2x + y - 3 > 0 => y>-2x + 3 => região acima da reta y = - 2x + 3 (reta r)
x-2y+l<0 => y> x/2+1/2 => região acima da reta y = x/2 + 1/2 (retas)
y-3<0 => y<3 => região abaixo da reta y = 3 (reta t)
Note também que as relas y = -2x-^3ey = x/2 1/2 são perpendiculares
Identificando no plano cartcsiano a interseção das três regiões definida pelas relas r. s c l:
y \ /
ii) 1 + m.l - 5 < 0 => m<4
i) k > 3 ii) 2 + m.3 - 5 > 0 => m > 1m < -;
202
Resumindo, a região final será:
1) Conjunto vazio se 0 < m < 1 ou sc m > 4
2) Conjunto unitário se in = 4
3) Triângulo Retângulo sc m SOou sc - S m <4
3
4) Quadrilátero se I S m < —
3
____________________________________________________ Capitulo5. Pontoefíeta
Sc in > 0 a reta x + my - 5 = 0 c decrescente c a região definida por x + iny - 5 < 0 c o scmi-plano 
abaixo da reta x + my - 5 = 0. Logo, a região final será um triângulo retângulo se k £ 3 e se o ponto (1, 
1) estiver abaixo da reta x + my - 5 = 0:
i)kS3 => —<3 => m>-; 
m 3
A região final será um quadrilátero se k > 3 e se o ponto (2, 3) estiver acima da reta x + my - 5 = 0 ou 
contido na mesma:
->3 x r,.' 5 
m 3
Para m > 0, sc o ponto (1,1) estiver acima da reta x + my - 5 = 0 o conjunto c vazio:
1 t m.l - 5 > 0 => m > 4
Para m > 0. se o ponto (2, 3) estiver abaixo da reta x + my - 5 ~ 0 então o conjunto será vazio
2 + m.3 - 5 < 0 => 0 < m < I
Sc m = 4 o conjunto c unitário: ponto (1,1)
Capítulos. Pontoefíeta
5.18. PONTOS CLÁSSICOS DE UM TRIÂNGULO
são pontos não alinhados, são dadas por xG = c yf. =
Demonstração:
C
P. Como M c ponto medio dc RC: xM =M c yM
G 
AG = 2GM => xG - xA = 2(xm - xo) => x0 =NA B
x<.
Analogamente, pode-se demonstrar que y(.
c y, =
Demonstração:
=> ò.Xm - b.Xn = c.xc - c.Xm
CB M
X.M =
=>
Realizando cálculos análogos demonstra-se que y, =
203
b + c
, XA + XU + XC
3
yAyB <■ yr
3
a-yA+b.yB+ c.yc 
a + b + c
Sejam M o ponto medio do lado BC do triângulo ABC. N o ponto 
médio de AB e P o ponto medio dc AC. Assim, as medianas de ABC 
são AM, RN e CP. A interseção destas três retas é o baricentro de ABC.
 x-"X\r. c yM = yçyç
2 2
Como o baricentro divide a mediana na razão 2:1 tcm-sc que: 
2xm + xa __ 
3
5.18.2. Inccntro
Teorema: As coordenadas do incentro I de um triângulo ABC. onde A(xa, Ya), B(xb, yn) c C(xc, yc) sã
- ,• , . , , a.x, + b.xB + c.xc a.yA + b.yB + c.y..pontos nao ahnhados, sao dadas por x. = —- -------2------ — c y( =--------------------- .K 1 a + b + c a+b+c
5.18.1. Baricentro
Teorema As coordenadas do baricentro G de um triângulo ABC. onde A(x.\. yA). B(xb. vb) e C(xc, yc)
x x + *B + Xç v _ y x + yB - Yc
3 y°" 3
a,xA + b.xR + c.xc 
a + b + c
~xm b
(a + b + c)xi = a.xA + (b + c)xm => (a + b + c)X| = axA + b.xH + c.Xç ==> Xj =
Pelo teorema da bissetriz intema em AABC tem-se que:
BM CM BM + CM a o», ac
c b b+c b + c b + c
Por outro lado, os comprimentos de BM e CM são proporcionais 
às distâncias entre as abscissas dos pontos que delimitam os 
respectivos segmentos: 
BM c xM -x 
CM b xc 
b.x„ + e.xc 
b + c
Mais uma vez, pelo teorema da bissetriz intema em AABM: 
AT C —— = —=> a(xA-xi) = (b + c)(xi-xM) =e>
XI~XMMI BM
Capitulo 5. Ponto e Reta
* y»
BFA cosB = Dl 1. sen A
(2)
Portanto:
(3)
(4)Assim, dividindo-se as expressões (1) e (3) obtém-se:
xE.tgA - xA.tgA = Xc-tgC - XE-tgC
x„ =
= -8; tgB =tgA =
1 (-8)+ 2.—+ 4.—
204
AE 
tgC
CE 
tgA
.tgA + xn.tgB + x,..tgC 
tgA + tgB + tgC
Demonstração:
C
-2-2
1-2.2
b 
tgA + tgC
^AB
1 + m
5.18.3. Ortoccntro:
Teorema: As coordenadas do ortoccntro H dc um triângulo ABC. onde A(xa, yA), B(xu, yu) c C(xc,y<.) 
.. , , . x..tgA + xn.tgB + x,..tgC y..tgA + yn.tgB + yc.tgC
sao pontos nao alinhados, sao x„ =—------ ----------------------- c yN =—————q+ '
BH tgA + tgC 
HE " iigB
AR
■mAB
111 BC
= tgç
tgA
AE
' tgC
mAB
.mAC
111 AC
xL -xA tgC
XC-XE tgA
BH=-^- (1) 
IgB
4= y ; tgC = mBC — m 
1 + mnc.
->"rc 
lAB-mBC
,y.<yU-'
xA-x„ 1-2
- + 2
= ____
1--.2
3
m u - m 
l + mAC.
Apesar de demonstradas, é necessário fazer a ressalva que a determinação do ortoccntro por estas 
fórmulas é de aplicação menos prática que o cálculo envolvendo a interseção dc duas alturas de ABC. 
Por exemplo, tome o triângulo formado pelos vértices A(l, 3), B(2. 1) e C(4, 5).
i) Calculando o ortoccntro H pelas expressões demonstradas no capítulo:
3~‘ _ 2- m _y< -yA -5-3-2. m _y< -yH _ 5-1 
’ " xc-xA 4-1 3 xc-xn 4-2
xA.tgA + x„.tgB + x,..tgC 
XH —-------------------------------------------
IgA-rtgB+tgC
AE tgC De (2) tem-se que -----=------ -
CE tgA
xr(tgA + tgC) = xA.tgA i xc.tgC
BH tgA + tgC xn~xn tgA + tgC De (4) tem-se que: -----=-------------- => ---------- =--------------
HE IgB xh~xf tgB
xB.tgB - XH.tgB = xH(tgA + tgC) - xE(tgA + tgC) =>
x0.tgB = x(1.tgB + Xn(lgA -r tgC) - xA.tgA + xc.tgC =>
xn(tgA + tgB + tgC) = xA.lgA + Xc.tgC + XB-tgB
1 . , 2 7
T~3
xA.lgA + xB.tgB + xc.tgC 
tgA + tgB+ tgC 
, ... y..tgA + yH.tgB + yr.tgC
Dc forma coinplclamentc analoga dcmonstra-sc que yH = - ——-------
Sejam D, E c F os pes das alturas relativas aos lados BC, AC c AB, 
respectivamente.
Inicialmcntc. alguns comprimentos serão calculados:
ABHF: BF = BH.cos (90° - A) => BF = BH.sen A 
ABCF: BF = a.cosB => a.cos B = BH.sen A 
Lei dos Senos em AABC: b.sen A = a.sen B 
. sen A Portanto: b-------
sen B
AE
Além disso: h» = AE.tgA = CE.tgC =>
AE+CE b
tgA + tgC tgA + tgC
AE b
Como Z/VHB = C então HE =-----=-------------
tgC tgA + tgC
4
2 = 1
2
4
3
4 4 
-8 + - + -
3 7
Capítulos. PontoeReta
-s
----- = -2;
x - 2y + 6 = 0
3x + 2y - 8 = 0
=> 4x - 2 = 0 =>
e y<> =
HG = 2GO => xc-Xn = 2(xo-xg) => x0 =
scnx.cosy + seny.cosx
*o =
205
Perceba que a determinação das coordenadas do ortoccntro utilizando as expressões demonstradas no 
capítulo produziu cálculos mais extensos que a determinação do ortocentro através da interseção entre 
duas alturas do triângulo ABC. Entretanto, as expressões para as coordenadas do ortocentro cm função 
de tgA, tgB c tgC não deixam de ter sua importância teórica.
13
4
scn(x + y) 
cos x. cosy
xA + xH + x, -
xo =-----------------------
x-2y + 6 = 0
3x + 2y-8 = 0
1
X"=I
5.18.4. Circuncentro
Teorema: As coordenadas do circuncentro O de um triângulo ABC, onde A(xa. y,\). B(xb. yn) 
 x,vsen2A + xn.sen2B + x, .sen2C y K .sen 2 A + ynj>en2B+ y, j>en2C
" sen2A + sen2B +scn2C scn2z\+ sen2B + sen2C
x„ + 6 2 + 6 13 
y”=— 2 =7
yA tgA-T-y„.tgB~ y, tgC 3 ( X) + l 
" tgA + tgB + tgC
Demonstração:__________________________________________________________________________
Para demonstrar este teorema será usado o teorema da reta de Eulcr: "Em um triângulo ABC o 
baricentro (G), o circuncentro (O) e o ortocentro (H) estão alinhados e pertencem a uma reta 
denominada reta de Euler. Além disso ITG = 2GO."
~~ xh
2
4 , 4 + 5.
3____7
4 4
3 + 7
ii) Calculando o ortocentro H pela interseção de duas alturas de ABC 
y, - v.. 3-1 y. - v. 5-3 2m = —----- - = — = -2; m... = ——-— ------ -- —
xA-xu 1-2 'c x,.-xA 4-1 3
AlturadeAB: y-y( - ------— (x-x,) => y-5 = —(x-4)
mA1, 2
Altura de AC: y-yB =-----—(x-xB) => y-l=--(x-2)
i»ac 2
xA.tgA + xH.tgB+ xr.tgC 
tgA -r tgB + tgC 
2
 xA(lgB+ tgC) + xIt(lgA + tgC) + x,.(tgA + tgB) — — ——— ——
2(lgA + tgB + tgC)
senx seny 
Note agora que tgx + tgy =-------+------— -
cosx cosy cos x.cos y
 
•\ssinr x - eos B cos C cos A. cos C cos A. cos B 
‘ ‘ 0 scn(B t-C) [ sen(A-rC) scn(A-bB) 
cosB.cosC cosA.cosC cosA.cosB
 x A (senA.cos A) + xu(scnB cosB) + xc(senC.cosC) xA_scn2A + xDscn2B +xcsen2C
X ■
scnA.cos A + scnB.cos B + senC.cosC sen2A + sen2B + sen2C
. . . y..scn2A + yBscn2B + yr.scn2C
Analogamente demonstra-se que yn = —------------- —-------------—----------
sen 2 A + sen 2B + sen2C
5 = 8+17-2.2V2.VÍ7.cos A
17 = 5 + 8-2.s/5.2>/2.cosC cos C = -
xo =
m
Ponto médio M de AB: xm = Ym
Ponto médio N dc AC: xs = Ys
8x-2y- 19 = 0
y-3 = l(x-4) => x-y-l=0
206
17
6
11
6
1
Tõ
5 
n
8x-2y-l9 = 0 
x-y-1=0
xA + x
=4;
17
X1’ = 7
3 
scnC = —f=
Vio
„ 6senB -
V85
cos A = — 
a/34
____________________________________________________ Capítulo5. Ponto e Reta
Apesar dc sintéticas, as fórmulas acima possuem uma aplicação restrita para o cálculo das coordenadas 
do circunccntro de um triângulo Isto ocorre porque, dados os vértices de um triângulo, a determinação 
de sen2A, sen2B e sen2C é um tanto quanto extensa. Assim, para determinar o circuncenlro de uni 
triângulo é mais eficiente determinar as equações de duas mediatrizes e calcular sua interseção. Por 
exemplo, na determinação do circunccntro do triângulo ABC, onde A(5, 2), B(l, 3) c C(3, 4), pode-se 
proceder de duas maneiras:
i) utilizando a expressão envolvendo sen2A, scn2B c scn2C:
a = bc = >Axc-xD)2+(yc-yB): = >/4+l =
b = ÃC = 7(xc-x.J:+(Yc-yA)2 = = 2V2
c = AB = x/<xü~xa)2 +(Yb-Ya): = V16 +1 = VÍ7
Pela lei dos cosscnos:
a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA
11
y"=T
XA~XB 5~l
111AK
y-| = 4(x-3)
xA.sen2A + xn.sen2B + xrJ>en2C 
scn2A + scn2B + scn2C
sen2C = 2scnC.cosC = - —
10
^Ye-Ys = 
xL-xA
-2. = —= 3;
2
x a + x ç _ _5 + 3 Á
2 2
Mcdiatriz dc AB: y-yM =-----— (x-xM)
"’ad
Mediatriz de AC: y-yN =----!—(x-xN)
n AC
8x-2y-19 = 0
-2x + 2y + 2 = 0
sen2A = 2senA.eosA = — 
17
b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB =>
84 sen2B = 2scnB.cosB = —
85
c2 = a2 + b2 - 2ab.cosA =>
7
8 = 5 + 17-2 x/5.s/Í7.cosB => cosB = —7=
V85
- 15 ,84 6 ,5.— +1. — + 3(-- ) .. -17 85 10 6'2
15 + 84_6 216
17 + 85 10
2.— + 3.— + 4(-—)17 85 10 „ 396
l5 + 84_6 216
17 85 10
ii) utilizando a interseção entre duas mediatrizes
4
 yA_sen2A + y0_sen2B + y(._sen2C 
y” sen2A+ sen2B + sen2C
=> sen A = ■ ■ =>V34
±i2 = -i3-5
. Ya + Yb 2+ 3
2 2
= yA + y(.=2 + 4=3
2 2
84
85
84
85
84
85
84
85
Capituloõ. PontoeReta
Exemplos:
A = 2p;XG =
y-2q =
9
4 994 II
11 I 5 20
45 9 1 1
60 120
Assim. S = = 30
Como S ~ pi => 5r =
207
d) (0, q) c (p. 0)
e) (0, 3q) c (3p. 0)
2) (UEFS-2011) Considerando-se o triângulo cujos vértices são A(9. 1). B(4, 11) e C(l. 5). (cin-se que a 
medida do raio da circunferência inscrita nesse triângulo é igual a
a) 41 b) 71 c) 45 d) 4f> e) 41
3
1’ Solução:
Área dc ABC:
1
2’ Solução:
Lados de AABC:
a = V(xH~xc): + (yH-yc): = 79 + 36 = 37?
b ~ >/(xA-xc)2 + (yA-yr)2 = 764 + 16 = 47?
1120-601
2
Lados dc AABC:
a = VlXfi-x. )2 + (yB-y< f = 79 + 36 = 37?
b = ^(x, -x(.)2 + (yA -y(.)2 = 764 + 16 = 4 45
c = y/^n-xA): + (yR-y,J2 = 725 + 100 = 5 V?
2S 60
a + b + c 375 + 475+575
I) (ITA-82) Considere o triângulo ABC do plano cartesiano. onde A = (p. q). B = (2p, 3q) e C = (3p. 
2q). sendo p e q reais. Se M é o ponto de interseção de suas medianas, então a reta que passa por M eé 
paralela à reta BC intercepta os eixos coordenados nos pontos:
a) (0, p) e (4p. 0)
b) (0,4q) c (4p, 0)
c) (0. 4p) e (4q, 0) 
Solução:
Bancentro dc ABC:
xA + x„ + xr p + 2p + 3p
3
= y.s + yR + yr = q+3p+2P =, 
3 3 “q
Coeficiente angular de BC: mQC = ——— = ——— =
xn—xt 2P-3p P
Assim, a reta r que passa por M eé paralela a BC é dada por:
y-yn = mnc(x-XG) => y-2q =--(x-2p) => py - 2pq = - qx + 2pq => qx + py-4pq = 0
P
Esta reta intcrsccta os eixos coordenados quando x = 0 ou y = 0:
i) x = 0 => y = 4q => (0, 4q)
ii) y — 0 x - 4p => (4p, 0)
Capitulo5. PontoeReta
= 4*■ =
Reta AB: y-yA
3
1
.x
2
2c
Assim: xr = => x1 + y1 =xi= yi=
i
2-6
6 3 6- I
5 -5 -5 - 15
-6 2 - 1030
- 1941
208
2x + y- 19 = 0
Como r é igual a distância entre 1 e a reta AB:
12
5 + VÍ3
c = 7(xr(~xAr+(yn_y.J! - 725 + 100 = 5y[s
7Í3r=6-5.r => r=6/(5+7Í3) 
=> x + y= 12/(5+ VÍ3 )
Como ZBAC = 90° então o incentro de ABC pertence bissetriz dos 
quadrantes impares: y = x => 1 - (xi, yi) = (r, r)
reta BC: —+ —= 1 => 2y + 3x —6 = 0
2 3
A distância de 1 â rela