aula8_geometria_analitica

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KL 270410 
PROT: 3626 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
(CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO E EQUAÇÃO DE RETA) 
 PROF:. EQUIPE MATEMÁTICA 
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1 
 
08
4
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
IMPACTO: A Certeza de Vencer!!! 
AREA DE UM TRIANGULO. 
Uma aplicação curiosa na Geometria Analítica, relacionada com 
determinantes, está no cálculo da área de um triângulo ABC 
conhecidas as coordenadas de seus vértices. 
 
Dado o triângulo de vértices em A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3), 
pode-se demonstrar que a área do triângulo é S, onde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
1
1
2
1
33
22
11
yx
yx
yx
S  
 
Ex: 
Calcule a área do triângulo ABC, sendo A(–2, 1), B(5, 3) e C(0, 2). 
 
AREA DE UM POLIGONO CONVEXO. 
A área de um polígono convexo qualquer pode ser obtida 
dividindo-o em triângulos distintos e, a seguir calculando-se a 
soma das áreas desses triângulos. 
Como esse processo é extremamente trabalhoso, vamos utilizar 
um processo prático. 
Sejam A, B, C, ..., M vértices consecutivos de um polígono 
convexo qualquer. A área S desse polígono é dada por: 
 

2
1
S 
ONDE: 
 
AMCBA
AMCBA
yyyyy
xxxxx


 
 
 
 
ATENÇÃO: 
Os vértices devem ser consecutivos, isto é, tomamos um vértice 
qualquer como ponto inicial e percorremos o polígono num 
sentido. 
 
 
ATIVIDADES 
01. Calcule a área do polígono cujas coordenadas dos vértices 
são (–2, –2), (3, 3), (4, 1), (0, 5) e (–3, 4). 
 
02. Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma 
do quadrilátero ABCD, representado abaixo em um sistema de 
coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca 
reta perpendicular ao lado AB e passando pelo ponto P = (a, 0). 
O valor de a para que se obtenham dois lotes de mesma área é: 
 
a) 15  
b) 225  
c) 25  
d) 52  
e) 225  
 
03. Um agricultor recebe uma herança e decide investir em 
terras para aumentar sua produção. Resolve comprar um 
terreno ao lado do seu, e o corretor cobra R$ 2.000,00 a 
unidade de área (u). O terreno tem a forma de um quadrilátero 
de vértices A, B, C e D. Em sua representação no plano 
cartesiano, em que a unidade em cada um dos eixos representa 
a unidade de comprimento sobre o terreno, tem-se A(0, 0), B(0, 
1) e D(3 ,0). Sabe-se que a equação da reta que contém os 
pontos D e C é 3x + 2y = 9, enquanto que a reta que contém os 
pontos B e C também passa pelo ponto (4, 2). Faça os cálculos 
necessários e determine o valor que o agricultor irá pagar pelo 
terreno. 
 
 
 
COORDENADAS DO BARICENTRO. 
O segmento com extremidades em um vértice de um triângulo e 
no ponto médio do lado oposto é chamado de mediana. O ponto 
de encontro dessas medianas é conhecido como baricentro do 
triângulo. 
Podemos obter as coordenadas do baricentro a partir das 
coordenadas dos vértices do triângulo, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Basta calcularmos a média aritmética das abscissas e das 
ordenadas dos vértices. 
 
 
3
;
3
CBA
G
CBA
G
yyy
y
xxx
x



 
 
 
Ex: 
Obtenha as coordenadas do baricentro do triângulo de 
vértices em A(6; 2), B(5; 1) e C(–4; –2). 
 
 
 
 
 
 
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REVISÃO IMPACTO - A CERTEZA DE VENCER!!!
CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO. 
Quando o ponto C pertencer ao segmento AB , a área será 
igual a zero, ou seja, os pontos estão alinhados. 
 
 
0
1
1
1
2
1
0
33
22
11

yx
yx
yx
S
 
 
 
 
 
Logo, como a área é igual a zero, o determinante é zero, isto é: 
 
0
1
1
1
33
22
11

yx
yx
yx
 
 
 
 
 
Condição de alinhamento dos pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3) 
 
 
Ex: 
Calcule k para que os pontos de coordenadas (k, 1), (–2, 3) e (5, 
0) estejam alinhados. 
 
EQUAÇÃO GERAL DA RETA. 
Existe um postulado da Geometria Euclidiana que afirma: 
 
 
 
Na Geometria Analítica, dois pontos podem ser interpretados 
como dois pares ordenados e a reta, como uma equação do 1º 
grau nas incógnitas x e y. Assim, conhecendo-se as 
coordenadas de dois pontos no plano cartesiano, podemos obter 
a equação da reta que os contém. Observe o exemplo: 
 
 Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A(2, 2) e 
B(4, –3). 
 
Dados os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), a equação da reta que os 
contém é obtida por: 
 
0
1
1
1
22
11 
yx
yx
yx
 
 
Lembre-se da condição de alinhamento. 
 
Fazendo-se os cálculos obtemos uma equação do tipo: 
 
Ax + By + C = 0 
 
A equação Ax + By + C = 0, para A, B e C reais é dita EQUAÇÃO 
GERAL DA RETA. 
 
Ex1: 
Obtenha a equação geral, da reta que passa pelos pontos 
(–7, 2) e (–1, 5). 
Ex2:Um personal trainer acompanhando os preparativos de um 
atleta observou que o rendimento deste crescia linearmente com 
o tempo. Aproveitando seus conhecimentos matemáticos, 
registrou em um gráfico cartesiano o percurso em km no final do 
5º e do 15º dia, conforma a figura abaixo. A equação da reta que 
passa pelos pontos A e B é: 
 
a) 0252  yx 
b) 01052  yx 
c) 0225  yx 
d) 01052  yx 
e) 0225  yx 
 
 
 
 
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA. 
A importância de deixarmos a equação de uma reta na forma 
reduzida está em associar seus elementos com a inclinação da 
reta em relação ao eixo x das ordenadas. 
 
Dada a equação geral da reta Ax + By + C = 0, podemos isolar o 
valor da componente y, obtendo assim uma equação que damos 
o nome de EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA. 
 
 
C--Ax⇒
0


By
CByAx
 
B
C-
B
Ax-y
B
C-Ax-y⇒


 
 
Chamando mB
A-
 e nB
C- , temos uma equação do tipo: 
 
nmx y 
 
A esta equação damos o nome de EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA. 
 
Ex: 
Obtenha a equação reduzida da reta r, cuja equação geral é 
2x – 2y – 7 = 0. 
 
COEFICIENTE ANGULAR. 
Representa a declividade, a inclinação da reta, a sua direção. 
 
Sendo  a medida do ângulo que a reta r forma com o eixo x, no 
seu sentido positivo, existem quatro possibilidades: 
 
 
 
 
Det A = 0