Lista 2_ Congluência de Triângulos

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GEOMETRIA PLANA – LISTA 2 
CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS 
 
 
Prof. Marco Miola 
 
1 
 
27 
 
 
NIVEL BASICO 
1. No triangulo ABC, os lados AB e AC medem respectivamente 10cm e 
4cm. Sabendo que a medida BC e’ um número inteiro quando expresso 
em centímetros, determine quantos são os possíveis valores de BC. 
 
2. Os lados de um triangulo são 10, x+2 e 12-2x. Determine o número 
de valores inteiros de x. 
 
3. Os lados de um triangulo tem medidas expressas em números 
inteiros. Sabendo que seu perímetro é 14, calcule os lados do triangulo 
 
4. No triangulo ABC, a medida AB e’ expressa por um número inteiro. 
Determine seu valor máximo, sabendo que as medidas AC e BC medem 
respectivamente 27cm e 16cm e que �̂� < �̂� < �̂� 
 
5. A soma das distancias de P aos vértices pode ser 
 
 
a) 10 b) 12 c) 13 
d) 18 e) 20 
 
6. Na figura a seguir, determine qual o ângulo que e’ oposto ao lado 
de menor comprimento 
 
7. Prove que, em um triangulo isósceles a mediana relativa a base é 
altura. 
 
8. Prove que, em um triangulo isósceles a bissetriz relativa a base é 
altura 
 
9. Um paralelogramo é definido como um quadrilátero que tem lados 
opostos paralelos. Prove que, em um paralelogramo 
A) Lados opostos são iguais. 
B) Ângulos opostos são iguais. 
C) As diagonais se cruzam ao meio. 
 
10. Prove que um quadrilátero que tem lados opostos iguais é um 
paralelogramo. 
 
11. Prove que um quadrilátero cujas diagonais se cruzam ao meio é 
um paralelogramo. 
12. (Uece 2016) No retângulo PQRS, a medida dos lados PQ e QR 
são respectivamente 3 m e 2 m. Se V é um ponto do lado PQ tal que 
a medida do segmento VQ é igual a 1m e U é o ponto médio do lado 
PS, então, a medida, em graus, do ângulo ˆVUR é 
a) 40. b) 35. c) 50. d) 45. 
 
13. (Uece 2010) No retângulo PQRS as medidas dos lados PQ e PS 
são, respectivamente, 15 m e 10 m. Pelo ponto médio, F, do lado PS 
traça-se o segmento FR dividindo o retângulo em duas partes. Se E é o 
ponto do lado PQ tal que a medida do segmento EQ é 5 m, traça-se por 
E uma perpendicular a FR determinando o ponto G em FR. Nestas 
condições, a medida da área, em metros quadrados, do quadrilátero 
PFGE é 
a) 50,25. b) 53,25. c) 56,25. d) 59,25. 
 
14. (OBM 2005) O canto de um quadrado de cartolina foi cortado com 
uma tesoura. A soma dos comprimentos dos catetos do triângulo 
recortado é igual ao comprimento do lado do quadrado. Qual o valor da 
soma dos ângulos  e  marcados na figura abaixo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. (OBM 2000) No retângulo ABCD, E é o ponto médio do lado BC e F 
é o ponto médio do lado CD. A interseção de DE com FB é G.O ângulo

EAF mede 20o. Quanto vale o ângulo

EGB ? 
 
 D
 F
 C
 E
 A B
 G
 
16. Na figura abaixo, os triângulos ABC e DBE são congruentes. Calcule 
x 
 
 
 
 2 
17. Na figura, os triângulos ABC e BDP são equiláteros e CD=6. Ache 
AP. 
 
 
18. Seja ABC um triangulo escaleno. No prolongamento de 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ toma-
se o ponto M e na região externa relativa a 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , toma-se o ponto N, tal 
que AB=CM e 𝐵�̂�𝐶 = 600, e o triangulo BCN é equilátero. Calcule a 
medida de 𝐶�̂�𝑁. 
 
19. Se constroem exteriormente os triângulos equiláteros ABC e BFC 
sobre os lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ de um triangulo escaleno ABC, tal que 𝐴𝐹̅̅ ̅̅ ∩
𝐶𝐸̅̅̅̅ = {𝑃}. Calcule 𝐴�̂�𝐶. 
 
NIVEL INTERMEDIARIO 
 
20. Resolva as seguintes questões relativas aos triângulos. 
a) A partir do postulado LAL (lado-ângulo-lado), demonstre os critérios de 
congruência fundamentais: 
LLL (lado-lado-lado) 
ALA (ângulo-lado-ângulo) 
LAAo (lado-ângulo adjacente-ângulo oposto) 
Caso especial (triângulos retângulos com a mesma hipotenusa e um 
cateto) 
b) Demonstre que LLA não é critério de congruência. 
c) Demonstre a existência e a unicidade do LG mediatriz. 
d) Demonstre a existência e a unicidade do LG bissetriz. 
e) Provar que o triângulo que possui 2 alturas iguais é isósceles. 
f) Os lados de um triângulo formam uma PG de razão q. Para que este 
triângulo exista, determine as condições de q. 
21. Prove que o maior lado de um triangulo é menor que o 
semiperimetro. 
 
22. Prove que o maior lado de um triangulo é maior ou igual a um terço 
do perímetro. 
 
23. Mostre que a hipotenusa de um triangulo retângulo é maior que a 
semi soma dos catetos. 
 
24. Se P e’ um ponto interno de um triangulo ABC, mostre que 𝐵�̂�𝐶 >
𝐵�̂�𝐶. 
 
25. Se P e’ um ponto interno de um triangulo ABC, mostre que 𝑃𝐵 +
𝑃𝐶 < 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 . 
 
26. Se P e’ um ponto interno de um triangulo ABC e x=PA, y=PB e z=PC, 
mostre que 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 esta entre o semiperimetro e o perímetro do 
triangulo. 
 
27. Se ma e’ a mediana relativa ao lado a de um triangulo de lados a,b e 
c, então a
b c b c
m
2 2
 
  
 
28. Prove que a soma das medianas de um triangulo é menor que o 
perímetro e maior que o semiperimetro. 
 
29. Prove que um triangulo que tenha duas alturas iguais é isósceles. 
 
30. Na figura a seguir, calcule DE se AE = EM. 
 
 
31. (OBM 2001) O triângulo CDE pode ser obtido pela rotação do 
triângulo ABC de 90o no sentido anti-horário ao redor de C, conforme 
mostrado no desenho abaixo. Podemos afirmar que é igual 
 
 
 
 
 
 
 
a) 75º b) 65º c) 70º 
d) 45º e) 55º 
 
32. (Fuvest 2016) Os pontos A,B e C são colineares, AB 5, 
BC 2 e B está entre A e C. Os pontos C e D pertencem a uma 
circunferência com centro em A. Traça-se uma reta r perpendicular ao 
segmento BD passando pelo seu ponto médio. Chama-se de P a 
interseção de r com AD. Então, AP BP vale 
a) 4 b) 5 c) 6 
d) 7 e) 8 
 
33. (OBM) Na figura ao lado A, D e B são pontos colineares. ADE e DBC 
são triângulos retângulos com ângulo reto A e B respectivamente. Se ADE 
= 75°, CDB = 45°, ED = DC e AE = 8, então x + y é igual a: 
 
 
a) 8 3 b) 4 3 c) 4 
d) 8 e) 12 3 
 
 
 
 3 
 
34. Demonstrar: As paralelas traçadas aos lados iguais de um Δ 
isósceles, por um ponto qualquer da base, tem a soma constante. 
 
35. (ITA 2008) Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo 
distinto dos demais, BAC, mede 40º. Sobre o lado AB , tome o ponto E tal 
que ACE= 15º. Sobre o lado AC , tome o ponto D tal que DBC= 35º. 
Então, o ângulo EDB vale 
a)35º b)45º c)55º 
d)75º e)85º 
 
36. (OLIMPÍADA ITALIANA) Em um triângulo ABC, retângulo em B, 
traçam-se as bissetrizes internas CE e AD, conforme figura abaixo. Sendo 
F e G projeções ortogonais de E e D sobre a hipotenusa AC, 
respectivamente, podemos afirmar que a medida, em graus, do ângulo 
FBG, é 
 
a)20º b)30º c)45º 
d)50º e)16º 
 
37. (OLIMPÍADA SINGAPURA) Na figura abaixo, ABC é um triângulo e 
P um de seus pontos internos. Se AB = 8, BC = BP + PA, BPA = 120° e 
PBC = 60°, então PC é igual a 
 
a) 10 b) 9 c) 8 
d) 7 e) 6 
 
38. ABCD é um quadrado de lado . Dado que 
AE x , CF y ,    EDF FDC e DE 2   . 
Mostre que x y 2  
 
 
 
39. (ITA 2003) Considere um quadrado ABCD. Sejam E o ponto médio 
do segmento CD e F um ponto sobre o segmento CE tal que 
( ) ( ) ( )m BC m CF m AF  . Prove que cos cos2   , sendo 
BAFe EAD  . 
 
40. Na figura abaixo os triângulos ABC e ADC são isósceles ( AB = AC 
e AD = DC ) e os ângulo dos vértices A e D medem, respectivamente 20º 
e 100º. Prove que AB BC CD  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41. Em um triangulo isósceles ABC, de base AC, se traça a ceviana 
interior BD e na região interior do triangulo ABD se localiza o ponto E, tal 
que os triângulos ABE e BCD são congruentes. Calcule 𝐴�̂�𝐵 + 𝐴�̂�𝐵. 
 
42. Na figura mostrada, BC=CD, AC=5 e DE=4. Calcule AB. 
 
 
43. Em um triangulo retângulo ABC, reto em B, desenha-se a altura BH 
e a bissetriz interior AD, as quais se interceptam em F, tal que CD=2BF. 
Calcule a medida de 𝐴�̂�𝐵. 
 
44. Prove that the sum of the measures of the perpendicularsfrom any 
point on a side of a rectangle to the diagonals is constant. 
 
45. O triangulo ABC é isósceles AB = AC. Seja P um ponto qualquer da 
base BC. Demonstre que 𝑥 + 𝑦 é constante. Considere agora Q externo 
de BC mas contido na reta BC. Demonstre que |𝑥 − 𝑦| é constante. 
 
A 
B C 
D 
 
 4 
46. Na figura a seguir temos que BAC é um retângulo em A. ADEC e 
ABGF são quadrados. Demonstre que 𝑥 + 𝑦 = 𝐵𝐶 . 
 
 47. Na figura a seguir ABCD é um quadrado e 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ é perpendicular a 
𝐵𝐸̅̅ ̅̅ . Determine a medida do ângulo 𝐶�̂�𝐺. 
 
48. Na figura temos AE=AB=BC e AC=BD. Calcule α. 
 
RESPOSTA 
 
NIVEL AVANÇADO 
 
49. Resolva as seguintes questões relativas aos triângulos. 
a) Dados os pontos A e B distintos e fora da reta r. Determine na reta r os 
pontos P e P’ tais que: 
 
𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 é a menor possível 
|𝑃′𝐴 − 𝑃′𝐵| é o maior possivel 
b) Dentre todos os triângulos ABC que possuem o mesmo vértice A e 
outros vértices B e C sobre os lados de um ângulo agudo rôs, qual é 
aquele de perímetro mínimo? 
 
 
 
c) Duas cidades A e B estão separadas por um rio com margens retas 
paralelas, sobre o qual se quer construir uma ponte perpendicular às 
margens e uma estrada formada por trechos retos ligando essas cidades 
e a ponte. Construa esse percurso de forma que seja o mais curto. 
 
d) Num ABC dado, pede-se inscrever o DEF de perímetro mínimo. 
 
50. Um triângulo tem lados inteiros distintos, o maior deles medindo 
2015. Quais são as medidas dos dois outros lados se a área do triângulo 
é a menor possível? 
a) 2 e 2014 b) 3 e 2013 c) 1006 e 1010 
d) 1007 e 1009 e) 1008 e 1009 
 
51. Com os lados de um paralelogramo constroem-se quadrados 
exteriores ao mesmo. Prove que o centro desses quadrados formam um 
outro quadrado. 
 
52. No gráfico abaixo, AB=CS e AC=CR. Calcule x em função de 𝛼. 
 
 
53. Na figura, o triangulo ABC é isósceles de base AC e AE=CD. Ache 
x em função de α e θ. 
 
 
54. Na figura, AB=BC, AM=3 e CN=4. Calcule MN. 
 
 
 
 
 5 
55. Na figura. CD=AB+AC. Calcule x em função de θ. 
 
 
56. Da figura, sabemos que AB RC , ABR 6x , RBC 7x e 
ACB x . Determine, x . 
 
 
57. Em um triângulo ABC, traça-se a ceviana interna 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ tal que 𝐴𝐵 =
𝐷𝐶 . Se 𝐵�̂�𝐷 = 400 e 𝐷�̂�𝐶 = 𝐴�̂�𝐷 + 𝐵�̂�𝐴 , calcule 𝐷�̂�𝐵. 
 
58. No triângulo abaixo, sabemos que AB = AC, Â =100° e AD = BC. 
Determine a medida do ângulo CBD. 
 
 
 
 
 
 
59. No interior do triangulo ABC, com AB=AC, toma-se o ponto P tal que 
PB=AC, 𝑃�̂�𝐴 = 10𝑂 𝑒 𝑃�̂�𝐶 = 30𝑂. Calcule a medida do ângulo 
𝑃�̂�𝐵. 
60. O ΔABC é isósceles AB = AC e B�̂�C =20º. Se AD= BC, determine a 
medida do ângulo B�̂�C. 
 
 
GABARITO 
 
1. 7 
2. 3 
3. (6,6,2),(6,5,3),(6,4,4),(5,5,4) 
4. 15 
5. C 
6. 58O 
7 a 11: demonstrações 
12. D 
13. C 
14. 630 
15. 200 
16. X=450 
17. AP=6 
18. 600 
19.1200 
20 a 29: demonstrações 
30. DE=10 
31.E 
32.D 
33.D 
34. 
35D 
36.C 
37.C 
38 a 40: demonstração 
41. 1800 
42.AD=7 
43. 300 
44 a 46-demosntrações 
47. 450 
48. 150 
49. 
50. A 
51. 
52.1800 − 𝛼 
53. 
54. 5 
55. 4θ 
56.120 
57. 400 
58.100 
59. 200 
60. 300 
 
 
A
B
CR
A 
B 
C 
D