Lista de exercício geometria

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Quadriláteros 
1)Em um paralelogramo ABCD os ângulos distintos medem 5x e 120 2x . Calcule 
o valor de x. 
a)15º b)20º c)30º d)45º e)60º 
 
Gabarito: B 
 
2)Num paralelogramo ABCD tem-se que º48ABC , º86CAD e ºACD  . O 
valor de  é igual a : 
(A) 35 (B) 36 (C) 40 
(D) 42 (E) 46 
Gabarito: E 
3) Os ângulos consecutivos de um paralelogramo ABCD medem, em graus, yx , 
yx2  , y2 , e , nesta ordem. O valor de  é: 
(A) 110 (B) 115 (C) 120 
(D) 130 (E) 140 
Gabarito: E 
4)Em um paralelogramo ABCD os ângulos ˆ ˆ ˆ, eDAB ABD ADC estão , nesta ordem, 
em progressãoaritmética, Calcule o valor de ˆBDC . 
a) 60º b)70º c)80º d)90º e)85º 
Gabarito: D 
5) A diferença entre as medidas de dois ângulos consecutivos de um 
paralelogramo é 60º, calcule o maior ângulo interno deste triângulo. 
a) 90º 
b)95º 
c)100º 
d)105º 
e)120º 
gabarito: D 
 
6) Calcule o valor da maior diagonal de um losango sabendo eu seu lados e a 
menor diagonal são iguais a 6. 
a)6 b)12 c) 6 3 d) 12 3 e)15 
Gabarito: C 
7)Em um retângulo dois lados consecutivos estão na razão 2:3, calcule o 
perímetro deste retângulo, sabendo eu sua diagonal mede 2 13 . 
a) 20 
b)30 
c)35 
d)40 
e)50 
Gabarito: D 
8) Dobra-se um pedaço de arame para criar um quadrado de diagonal 15 2 . Com 
o mesmo pedaço de arame podemos criar um retângulo no qual um dos lados é o 
dobro do outro. Calcule a diagonal deste retângulo? 
a) 5 2 b) 3 5 c) 10 5 d) 8 5 e) 20 
gabarito: C 
9)Um trapézio isóscele possui perímetro 50 e a base menor é igual aos lados 
oblíquos. Calcule o valor da base maior sabendo qeu um de seus ângulos internos 
é 60º. 
a)20 b)25 c)30 d)35 e)40 
Gabarito: A 
10) Num trapézio isósceles ABCD , de bases AB e CD tem-se que a base menor 
possui a mesma medida dos lados oblíquos e as diagonais possuem a mesma 
medida da base maior. A medida do maior ângulo desse trapézio é igual a: 
(A) 144º (B) 108º (C) º120 
(D) 150º (E) 135º 
Gabarito: B 
11) Num trapézio de bases AB e CD tem-se que ˆ ˆ2BCD BAD  . Se ˆ 100ºADC  , a 
medida do ângulo ˆABC é igual a: 
(A) 15º (B) º20 (C) º30 
(D) º35 (E) º40 
 
Gabarito: B 
12) A base média de um trapézio é o quadruplo da sua mediana de Euler. A razão 
entre as bases maior e menor nesta ordem é igual a: 
(A) 4 (B) 
4
1
 (C) 3 
(D) 
5
1
 (E) 
3
5
 
Gabarito: C 
 
13) O perímetro de um trapézio isósceles cujas bases maior e menor medem x e y 
respectivamente, e no qual as diagonais são bissetrizes dos ângulos da base maior 
é igual a : 
 
a) yx3  
b) xy3  
c) y3x3  
d) 1yx3  
e) 1xy3  
Gabarito: B 
14) A razão entre as bases de um trapézio é 7:11 e a mediana de Euler mede 8. 
Calcule a base média deste trapézio. 
a) 30 b)32 c)36 d)38 e)40 
Gabarito: C 
 
15)Qual a base média de um trapézio retângulo cuja base menor mede 2, a o lado 
não perpendicular às bases mede 20 e um dos seus ângulos internos mede 60º. 
a) 7 b)9 c)11 d)13 e)15 
Gabarito: A 
 
16)O perímetro de um losango é 20cm, se a sua diagonal maior é o dobro da 
diagonal menor, calcule a soma destas diagonais. 
 
a) 6 5 b) 6 c) 8 5 d) 8 e) 10 
 
Gabarito: A 
 
17) (EFOMM 1998) O valor de AB no trapézio da figura, em centímetros, é: 
 
a) 2 3 
b) 5 2 
c) 8 2 2 
d) 3 3 
e) 3 4 3 
 
RESPOSTA: e 
 
18) (EN 1991) Quando as diagonais de um paralelogramo são também bissetrizes 
dos seus ângulos internos? 
a) Só se dois ângulos internos e consecutivos forem complementares. 
b) Só se o paralelogramo for um quadrado. 
c) Só se o paralelogramo for um retângulo. 
d) Só se o paralelogramo for um losango. 
e) Só se a soma dos ângulos internos for 360o. 
 
RESPOSTA: d 
 
19) Um trapézio de bases x+3 e 4x-3, tem base média 2x+2. Quanto vale sua menor 
base? 
 
a)7 
b)8 
c)9 
d)10 
 
Gabrito: A 
 
20) No trapézio ABCD com bases AB e CD, tem-se DA DB DC  e ABC   . Sendo E o ponto de interseção das 
diagonais determine o ângulo BEC em função de  . 
a) 150   
b) 2 50  
c) 2 180  
d) 3 180  
e) 3 270  
 
RESPOSTA: e 
 
21) O trapézio ABCD é isósceles, e as medidas dos ângulos DBA eDCB são 30º e 45º, respectivamente. Se BC = 12 cm, 
então a medida de BD , em cm, é 
A B
CD 
a) 6 2. 
b) 8 2. 
c) 10 2. 
d) 12 2. 
 
RESPOSTA: d 
 
 
22) (EsSA 2011) A medida do raio de uma circunferência inscrita em um trapézio isósceles de bases 16 e 36 é um número 
a) primo 
b) par 
c) irracional 
d) múltiplo de 5 
e) múltiplo de 9 
 
RESPOSTA: b 
 
23)(EEAR)Quando dados em centímetros as medidas dos lados de um trapézio são 
números consecutivos, calcule o valor de x: 
 
a)1 b)2 c)3 d)4 
Gabarito:C 
 
24)Seja o paralelogramo ABCD tais que AP e DP são bissetrizes dos ângulos 
internos  e D̂ . Calcule o valor de x 
 
a)55º b)45º c)30º d)15º 
Gabarito: 90º 
25) Num trapézio ABCD de bases AB e CD , a bissetriz do ângulo  encontra o lado BC no ponto médio. Calcule o 
comprimento do lado AD , sabendo que a base média do trapézio vale 8 cm . 
a) 4 cm 
b) 8 cm 
c) 12 cm 
d) 16 cm 
e) 20 cm 
 
RESPOSTA: d 
 
Nível 2 
 
1) Dadas as afirmações: 
 
 I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares. 
 II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são 
suplementares. 
III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se 
cruzam em seu ponto médio, então este paralelogramo é um losango. 
 
Podemos garantir que: 
a) Todas são verdadeiras 
b) Apenas I e II são verdadeiras 
c) Apenas II e III são verdadeiras 
d) Apenas II é verdadeira 
e) Apenas III é verdadeira 
 
Gabarito: C 
2)Um trapézio ABCD de base maior AB e base menor CD é tal que o ângulo D̂ 
mede o dobro da medida do ângulo B̂ .Se CD=12 e AD=7, calcule o valor de AB. 
a)19 c)21 d)23 d)25 e)27 
Gabarito: A 
3)Qual a razão entre a base maior e a menor de um trapézio se as diagonais dividem 
a base média em três segmentos de mesma medida? 
a)1,5 b)1,8 c)2 d)3 e)4 
Gabarito: C 
4)Qual a medida da base maior de um trapézio ABCD, retângulo em A e D tal que 
a diagonal AC é perpendicular ao lado BC, BC=10 e ˆ 60ºCBA  . 
a)30 b)35 c)40 d)45 e)50 
Gabarito: B 
5)Calcule a base média de um trapézio isósceles de base maior 30, lados oblíquos 13 e altura 12. 
a) 20 b)25 c)30 d)35 e)40 
Gabarito: B 
6) O que se pode afirmar sobre o quadrilátero formado pelos pontos médios dos 
lados de um quadrilátero ABCD? 
a)É sempre um quadrado 
b) É sempre um trapézio 
c)É sempre retângulo 
d) É sempre paralelogramo 
e) Nada se pode afirmar. 
Gabarito: D 
7)Um paralelogramo ABCD possui os AB e CD iguais a 8cm e distam 6 cm um do 
outro, seja M é o ponto médio do lado AB e P o a interseção entre BD e CM. 
Calcule a altura do triângulo MBP. 
a)4 b)3 c)2 d)1 e)1,5 
Gabarito: C 
8) Os lados de um paralelogramo medem 4 cm e 6 cm e uma de suas diagonais mede 8 cm. O 
comprimento da outra diagonal é: 
a) 2 10 cm b) 8 cm c) 10 cm 
d) 10 2 cm e) 2 42 
Gabarito: A 
9)Considere um quadrilátero ABCD cujas diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5 cm e 
6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos lados do quadrilátero dado, então o perímetro 
do quadrilátero RSTU vale: 
a) 22 cm b) 5,5 cm c) 8,5 cm d) 11 cm e) 13 cm 
Gabarito: D 
10) Num losango ABCD, a soma dos ângulos obtusos é o triplo da soma das medidas dos 
ângulos agudos. Se a sua diagonal menor mede d cm então sua aresta medirá: 
a) 
d
2 2
 b) 
d
2 2
 c) 
d
2 3
 d) 
d
3 3
 e) 
d
3 2
 
Gabarito: B 
 
11) Em um trapézio isósceles de bases10 e 6, as diagonais são perpendiculares aos lados 
oblíquos às bases. Determine a altura deste trapézio. 
a)3 b)4 c)5 d)6 e)8 
Gabarito: B 
12) As bases de um trapézio medem 6cm e 8cm e a altura 5cm. Quais as alturas dos triângulos 
obtidos prolongando-se os lados não paralelos? 
a) 20 b)25 c)40 d)30 e)35 
Gabarito:A 
13) Num trapézio, nesta ordem, a mediana de Euler, a base menor e a base média formam uma 
PG. Qual é a razão entre a base maior e a base menor? 
a) 2 b) 2 c) 3 d) 5 d) 6 
Gabarito: D 
14)Num paralelogramo ABCD traçamos sua diagonal AC. Pelos vértices B e D traçamos dois 
segmentos BO e DQ perpendiculares à diagonal AC, com P e Q pertencentes a AC. Qual a razão 
entre os segmentos BP e DQ? 
a)1:1 b)1:2 c)1:3 d)2:3 e)2:1 
Gabarito: A 
15)No trapézio abaixo traçamos três retas paralelas às bases que dividem os 
lados oblíquos em três partes iguais. Sabendo que as bases medem 12 e 6, 
calcule x+y+z. 
 
a)24 b)27 c)30 d)33 e)36 
Gabarito: B 
16)Um trapézio isósceles ABCD de bases AB e CD possui diagonais medindo 100 
e o ângulo ˆ 30ºBDC  . Calcule a base média deste trapézio. 
a) 25 b) 25 3 c) 50 3 d) 50 e) 60 
gabarito: C 
17) Num trapézio retângulo ABCD, o lado oblíquo BC vale o dobro da base menor AB e M é o ponto médio de BC . Calcule 
o valor do ângulo Ĉ do trapézio, sabendo que o ângulo ˆDMB vale 120°. 
a) 60 
b) 70 
c) 75 
d) 80 
e) 85 
 
gabarito: d 
 
 
18) Dado o trapézio de bases b = 20, B = 30 e lados a = 12, c = 10, dividir a área desse trapézio 
por uma reta paralela às bases, de modo que as áreas resultantes sejam proporcionais a 3 e 7, 
sendo B a área da base maior. Calcular a distância y da reta à base da área maior. 
 
 
19) Calcule as diagonais do quadrilátero determinado pelas bissetrizes internas de um 
paralelogramo cujos lados medem 6 cm e 8 cm. 
a) 2 b)2,5 c)3 d)4 e)6 
Gabarito: A 
 
20) (EN 2004) Considere o trapézio MNPQ de bases MN m e PQ 4 , com m 4 e altura igual a 6 , conforme figura 
abaixo. Sendo A e B os pontos médios dos lados MP e NQ , respectivamente, e sabendo que AB 10 , então a área do 
trapézio MCDN vale: 
B
DC
A
P Q
M N 
a) 28 
b) 33 
c) 37 
d) 42 
e) 45 
 
RESPOSTA: b 
 
Nível 3 
1)Considere um paralelogramo ABCD de lados AB = 12 e BC = 34 . Se um dos ângulos desse 
paralelogramo mede 60º, calcule a área do losango inscrito de forma que uma diagonal seja 
formada pelos pontos médios dos lados AD e BC. 
a) 2 11 b) 11 d) 4 d) 6 e) 15 
Gabarito:A 
Solução 
 
Como o lado CB mede 4 3 e o ângulo B̂ mede 60º, temos que a altura do paralelogramo mede 
 . 60º 6h BC sen  . 
Logo as diagonais do losango medem 6 e 12. Como estas diagonais dividem o losango em quatro 
triângulos retângulos de catetos iguais às metades das diagonais, temos: 
2 2 23 9 44
2 11
x
x
  

 
 
2) (CN 1987) O trapézio ABCD da figura é retângulo de bases AB de medida 10 e CD de medida 6. A bissetriz do ângulo  
intercepta BC no seu ponto médio M. A altura do trapézio é igual a: 
 
a) 2 15 
b) 8 15 
c) 6 15 
d) 4 15 
e) 5 15 
 
RESPOSTA: D 
 
Solução 
RESOLUÇÃO: 
 
Seja N ponto médio de AD e E a projeção do ponto D sobre AB. 
ˆ ˆ ˆBAM MAN AMN
AB CD
AN ND AM 8
2
  

    
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras no ADE : 2 2 2 2h 4 16 h 240 h 4 15      
 
3)No retângulo ABCD, o lado BC=2AB. O ponto P esetá sobre o lado AB e 
3
4
AP
PB

. Traça-se a reta OS com S no interior de ABCD e C em OS. Marcam-se ainda, M em AD e N em BC de 
modo que MPNS seja um losango. O valor de 
BN
AM
é: 
a) 
3
7
 
b) 
3
11
 
c) 
5
7
 
d) 
5
11
 
e) 
7
11
 
Gabarito: E 
Solução 
 
 
AP 3 AP PB
k AP 3k PB 4k
PB 4 3 4
        
 BC 2 AB 2 3k 4k 14k      
Seja CN x , então, como o #MPNS é um losango, a reta PS é a mediatriz do segmento MN, o que implica CM CN x 
. 
Aplicando o teorema de Pitágoras ao CDM , temos: 
 
2 2 2
22 2 2 2
2 2
DM DC CM
DM x 7k x 49k
DM x 49k
  
     
  
. 
Aplicando o teorema de Pitágoras aos AMP e BNP , temos: 
   
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2
MP AP AM
3k 14k x 49k
156k x 28k x 49k
  
    
   
 
   
 
2 22 2 2
2 2 2 2
NP BN BP 14k x 4k
14k x 16k 212k 28kx x
     
     
 
Como o #MPNS é um losango, então MP NP , então 
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
156k x 28k x 49k 212k 28kx x
2k x x 49k
53k
4k 4kx x x 49k x
4
      
     
      
 
Portanto, 
53k 3k
BN 14k x 14k
4 4
     e 
2
2 2 253kAM 14k x 49k 14k 49k
4
45k 11k
14k
4 4
 
        
  
 
Logo, 
3
34
11 11
4
k
BN
kAM
  . 
 
 
4) Na figura abaixo, calcule o ângulo  , sabendo que ABCDE é um pentágono onde ˆ ˆB D 90  , AB BC , CD DE e 
que M é o ponto médio do lado AE. 
 
a) 45 
b) 60 
c) 75 
d) 90 
e) 120 
 
RESPOSTA: d 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Sejam AF, MH , EI e CG perpendiculares a BD . 
Pelo caso especial de congruência para triângulos retângulos, temos: 
ABF BCG   e EDI DCG   BF CG DI   , AF BG e EI DG . 
Como AM ME e HM AF EI , então FH HI e 
AF EI
MH
2

 (base média do trapézio AFIE). 
Portanto, BH BF FH HI ID DH     . 
Mas, BD BG GD AF EI 2 MH      , então 
BD
MH BH DH
2
   , o que implica que o BDM é retângulo isósceles e que 90  . 
 
5) (CMRJ 2011) Na figura, ABCD é um losango onde a diagonal AC 24 cm e a diagonal BD 32 cm . Seja N um ponto 
qualquer sobre o lado AB; sejam P e Q os pés das perpendiculares baixadas de N a, respectivamente, AC e BD . Nestas 
condições, qual dos valores abaixo representa o valor mínimo de PQ? 
 
a) 6,5 cm 
b) 7,5 cm 
c) 9,6 cm 
d) 9,8 cm 
e) 10,5 cm 
 
RESPOSTA: c 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Como #ABCD é um losango, então AI IC , BI ID e AC BD . 
BQ NQ
BQN~ BIA
BI AI
16 QI PI
k PI 12k QI 16 16k
16 12
   

       
 
Aplicando o teorema de Pitágoras no PQI , temos: 
   
 
2 22 2 2
2 2
PQ PI QI 12k 16 16k
400k 512k 256 16 25k 32 16
     
     
 
O valor mínimo de PQ ocorre quando 
2PQ é mínimo, ou seja, quando a função quadrada cima atinge seu vértice. Assim, 
 
 
2
2
MIN V
32 4 25 16
PQ y 16
4 25
1024 1600 576 16
16
100 100
      
   

  
  
 
Logo, MIN
576 16 24 4
PQ 9,6 cm
100 10
 
   . 
 
6) Na figura abaixo BM=MC e AD=4AL. Se AD+2AB=16cm, Calcule LM. 
 
A)3cm b)4cm c)5cm d)6cm e)7cm 
Solução: 
 
Seja LM=c 
Se AL=b, temos AD=4b e AB=a 
Traçando a mediana CT do triângulo ACD temos 
4
2
2
b
CT b  . 
Notemos que, como AB e CT são paralelos então ML é base média do trapézio ABCT. Logo 
2
2
a b
ML

 . E como AD+2AB=16, temos 4b+2a=16, logo x=4cm. 
7)Em um trapézio ABCD (BC paralelo a AD), tomamos o ponto P em BD, tal que AB=BP=PD. Se 
ˆ ˆBAD CPD e 3CP  , calcule AD. 
a)5 b)6 c)7 d)9 e)10 
Solução 
 
Seja AD=x e AB=BP=PD=a. 
Prolongando CP até L, temos que os triângulos BCP e DPL são congruentes ( calo A.L.A.) logo 
PL=CP=3. 
Traçamos AP: 
No triângulo ABP temos ˆ ˆˆ ˆ 3BAP PBA PAL APL AL     . 
E então, no quadrilátero ABPL, ˆ ˆBLA BLP   . 
Ainda pela congruência entre os triângulos BPL e DPC, temos ˆ ˆLCD BLC   , logo ˆCDL  . 
Daí o triângulo CLD é isóscele e então LD=LC=6, finalmente x=3+6=9. 
8) Um trapézio ABCD, com lados paralelos AB e CD, está inscrito em uma circunferência de raio 25. 
Sabe-se que CD é um diâmetro e a altura desse trapézio é 24. Seja E um ponto no arco menor 
determinado por A e B e sejam F e G os pontos de interseção de ED e EC com AB, respectivamente. 
Calcule .
AF BG
FG

 
a)10 b)12 c)14 d)16 e)18 
Gabarito: E 
Solução 
 
 D C 
 B 
 O 
 A 
 F G 
 E 
 
 
Como ABE ADE (ambos enxergam o arcoAE ) temos que FBE FDA  e portanto 
FB BE
FD DA
 (1) 
Analogamente, das semelhanças ,EBG ACG  AEG CBG  e AEF DBF  obtemos 
respectivamente 
BG EB
CG AC
 (2) 
 
AE AG
CB CG
 (3) 
 
AE AF
DB DF
 (4) 
Assim, utilizando o fato que ABCD é isósceles (de modo que AD = BC e BD = AC) temos 
 (2) e (4) 1AF BG AE DF CG EB
FG FG DB AC
  
   
2 (1) e (3)
2 2
1 ( )( )AE CG DF EB AD AG BF
AC FG AC FG
  
   
2
( )( )AD AF FG BG FG
AC FG
  
  
 
 
2
( )AD FG AF FG BG AF BG
AC FG
    
  
 
 
2
AD AF BG
AB
AC FG
   
     
   
 
Em suma, temos 
2
AF BG AD AF BG
AB
FG AC FG
    
     
   
 
2
2 2
AF BG AD AB
FG AC AD
 
 

 
Utilizando o fato de que ABCD é isósceles com base CD = 50 e altura 24, aplicando Pitágoras várias 
vezes é fácil calcular AB = 14, AD = 30, AC = 40. 
Assim, 18
AF BG
FG

 . 
9) (CN 1995) Um retângulo é obtido unindo-se os pontos médios dos lados de um trapézio retângulo ABCD , de bases 
AB 32 e CD 8 . A altura BC é igual a: 
(A) 8 
(B) 10 
(C) 12 
(D) 16 
(E) 20 
 
RESPOSTA: D 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Sejam E, F, G e H os pontos médios dos lados do trapézio retângulo ABCD da figura. 
 
 
AC GH EF basesmédias
BD EH FG basesmédias BD AC
EF FG


 

 
 
Como COD~ AOB  , então as medianas EO e OG estão alinhadas. 
A mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à metade da hipotenusa. 
Portanto, 
CD
OG 4
2
  , 
AB
OE 16
2
  e GE OG OE 4 16 20     . 
Projetando o ponto G sobre a base maior AB, obtemos G' que forma o triângulo retângulo GG'E , onde GG' BC h  e 
EG' EB G'B EG GC 16 4 12       . 
Aplicando o Teorema de Pitágoras no GG'E , temos: 
2 2 2 2 2 2 2GG' EG' GE h 12 20 h 256       
h 16  unidades de comprimento. 
10) Sejam E o ponto médio do lado CD de um quadrado ABCD e M um ponto do interior do quadrado tal que 
MAB MBC BME x      . O valor de x é igual a: 
(A) o15 
(B) o30 
(C) o45 
(D) o60 
(E) o75 
 
RESPOSTA: e 
 
RESOLUÇÃO: 
Observe que oMAB MBA MBC MBA 90      daí, oAMB 90  . 
Seja F o ponto médio do lado AB então, 12MF FA FB AB   assim, MBF FMB  e disto segue-se que 
oEMF EMB BMF MAB MBA 90        . 
No triângulo retângulo MEF o cateto MF é igual a 12 EF daí, 
oMEF 30  e então, 
o1 1
2 2MBF MFA MEF 15      e 
portanto, ox 75 . 
 
Cirucnferência e Polígonos 
1)Calcule e  nas figuras abaixo 
a) b) 
 
c) d) 
 
e) f) 
 
g) h) 
 
i) 
 
2) Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular, calcule os ângulos CÂD e 
CÂB. 
 
3) Na figura abaixo, o círculo está dividido em 10 partes iguais. Calcule os 
ângulos , e   . 
 
4) Na figura tem-se AB=DB, AE 88 e CB 110 . O valor de x é 
 
a) 55 b) 44 c) 35 d) 33 e) 27 
 
Gabarito: E 
 
5) Calcule o valor de x e y na figura abaixo sabendo que QM, QN, QP e PV são 
tangentes às circunferências. 
 
 
a)6 e5 
b)4 e6 
c)6 e 4 
d)4 e 5 
e)4 e 4 
 
Gabarito: C 
 
6) Duas circunferências de raios 9cm e 5cm são secantes, quantos valores 
inteiros a distância entre os centros destas circunferências podem assumir? 
 
a)6 
b)7 
c)8 
d)9 
e)10 
 
gabarito: D 
 
7)De um ponto P externo a uma circunferência traçamos as tangente AP e PB, 
sabendo que AP=12cm e APB=60º. Calcule o perímetro do triângulo APB. 
 
a)20 
b)22 
c)24 
d)26 
e)28 
 
Gabarito: C 
 
8) Duas cordas AB e CD se cortam no interior de uma circunferência no ponto P 
de modo que AP=5cm, PB=6cm, PD=PC. Calcule o valor de PC. 
 
a) 15 
b) 4 
c) 17 
d) 18 
e) 5 
 
Gabarito: A 
 
9)Calcule o valor de x na figura abaixo. 
 
a)11 b)13 c)15 d)17 e)19 
Gabarito: B 
 
10)(EEAr 2010) Na figura, PA é tangente à circunferência em A , e B é ponto 
médio de PC . A medida de PC , em cm, é: 
 
a) 12 2 
b) 14 2 
c) 16 
d) 20 
 
RESPOSTA: c 
 
11)Calcule o valor de x na figura abaixo 
 
a)3 b)4 c)5 d)6 e)7 
 
Gabarito: B 
 
12)Calcule o valor de x sabendo o ponto Q é o centro da circunferência. 
 
a) 3 b)4 c)5 d)6 e)7 
 
Gabarito: B 
 
13) (Eear 2016) Um carrinho de brinquedo que corre em uma pista circular completa 8 voltas, 
percorrendo um total de 48 m. 
 
 
 
Desprezando a largura da pista e considerando 3,π  o seu raio é, em metros, igual a 
a) 0,8 
b) 1,0 
c) 1,2 
d) 2,0 
Gabarito: B 
 
14) Se aumentarmos o raio de uma dada circunferência em π unidades, então o comprimento dessa 
mesma circunferência será acrescido, em unidades, de 
a) 2.π 
b) .π 
c) 22 .π 
d) 2 .π 
e) 3 .π 
 
Gabarito: C 
 
15)Em um quadrilátero inscritível ABCD temos AB=BC=CD=4 e AD=5. Calcule 
o valor das diagonais DB e AC. 
 
a)4 
b)5 
c)6 
d)7 
e)9 
 
Gabarito: C 
 
16)Em um quadrilátero inscritível ABCD de lados AB=2, BC=4. CD=6 e AD=1, 
calcule o valor da sua maior diagonal. 
 
a) 
4 91
13
 
b) 
4 91
7
 
c) 
91
7
 
d) 
91
13
 
e) 
91
4
 
Gabarito: A 
 
17)No circulo circunscrito a um triângulo equilátero ABC tomamos o ponto D sobre o arco menor BC. Se BD=5 e CD=4, 
calcule o valor de AD. 
a)5 
b)4 
c)9 
d)10 
e)12 
 
Gabarito: E 
 
18) Os raios de dois círculos medem 15 m e 20 m , e a distância dos seus centros é 35 m . O segmento da tangente 
comum, compreendido entre os pontos de contato, mede em metros : 
(A) 5 3 
(B) 10 3 
(C) 12 3 
(D) 15 3 
(E) 20 3 
 
RESPOSTA: E 
 
19) Os raios de dois círculos medem 15 m e 20 m , e a distância dos seus centros é 35 m . O segmento da tangente 
comum, compreendido entre os pontos de contato, mede em metros : 
(A) 5 3 
(B) 10 3 
(C) 12 3 
(D) 15 3 
(E) 20 3 
 
RESPOSTA: E 
 
20) Num círculo, duas cordas AB e CD se interceptam no ponto I interno ao círculo. O ângulo ˆDAI mede 40º e o ângulo 
ˆCBI mede 60º . Os prolongamentos de AD e CB encontram-se num ponto P externo ao círculo. O ângulo ˆAPC mede: 
(A) 10 
(B) 20 
(C) 30 
(D) 40 
(E) 50 
 
RESPOSTA: B 
 
 
Nível 2 
 
 
 
 
1)(CN 2000) Num círculo, duas cordas e CD AB se interceptam no ponto I interno 
ao círculo. O ângulo ˆDAI mede 40º e o ângulo ˆCBI mede 60º . Os prolongamentos 
de AD e CB encontram-se num ponto P externo ao círculo. O ângulo ˆAPC mede: 
(A) 10 (B) 20 (C) 30 (D) 40 (E) 50 
 
2)(CN 1993) Considere a figura, onde x e y são medidas angulares de arcos e 
z é a medida de ângulo assinalado. Pode-se afirmar que  x y z é igual a: 
 
(A) 255º (B) 265º (C) 275º (D) 285º (E) 295º 
 
3)Na figura  AB BC 80 , FG 30 e ˆBDG 20 . Calcule o arco menor ED , se T é um 
ponto de tangência. 
 
a) 92 b) 110 c) 115 d) 120 e) 130 
 
4)(EPCAR 2007) Nas figuras abaixo, é dado que AM AP, BM BQ e MP MQ. Sendo 
assim, podemos afirmar que o valor de   é: 
 
a) 25º b) 30º c) 35º d) 40º e) 45º 
 
 
5)(EPCAR 2001) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem à circunferência 
de centro O. Se  150 e   50 , então  é: 
 
a) 15 b) 30 c) 35 d) 45 e) 10 
 
6)Se o circulo inscrito de um triângulo ABC tangencia os lados AB, BC e AC nos 
pontos D, E e F, calcule o valor de AD, sabendo que AB=5cm, AC= 8cm, e 
BC=7cm. 
 
a)2cm b)3cm c)4cm d)4,5cm e)5cm 
 
Gabarito: B 
 
7)Calcule a soma dos valores dos raios nas figuras abaixo. 
 
I) II) III) 
 
 
a) 10 b) 2 10 c) 3 10 d) 4 10 e) 5 10 
 
Gabarito: D 
 
8) Na figura abaixo, 
___
PA é uma secante ao círculo, PT é uma tangente ao círculo e BC é uma corda do círculo. Qual das 
relações abaixo sempre será válida? 
 
(A) 
___ ____
_______
PD PT
PT PA
 (B) 
___ ____
____ ___
PD PT
PT AD
 (C) 
___ ___
___ ___
CI AI
BI DI
 (D) 
____ ___
___ ___
PT IG
CI PI
 (E) 
___ ___
___ ___
PD CI
BI PA
 
 
RESPOSTA: A 
 
9)Na figura abaixo temos PA=5, AB=9 e PC=7, calcule DC. 
 
a) 3 b)4 c)5 d)6 e)7 
 
Gabarito: A 
 
10) (CMRJ 2012) Os lados AB e CD do pentágono regular da figura abaixo são 
tangentes à circunferência de raio 5 cm nos pontos A e D, respectivamente. 
Nestas condições, a medida do comprimento do menor arco AD da figura, em 
centímetros, vale: 
 
(A) 4 
(B) 5 
(C) 4
3
 
(D) 9
2
 
(E) 7 
 
RESPOSTA: A 
 
11) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo tal que BC 6 cm e M é ponto médio do lado AB. Se os 
semicírculos no interior do retângulo são dois a dois tangentes entre si, nos pontos M, P e R, então a área 
de ABCD, em centímetros quadrados, é 
 
 
a) 36 3 
b) 36 2 
c) 18 3 
d) 18 2 
 
Gabarito:B 
 
12) Uma circunferência de raio R é tangente externamente a duas circunferências de raio r, com r < R. As 
três circunferências são tangentes a uma mesma reta, como ilustrado a seguir. Qual a distância entre os 
centros das circunferências de raio r? 
 
 
a) 4 Rr 
b) 3 Rr 
c) 2 Rr 
d) Rr 
e) Rr /2 
 
Gabarito: A 
13) (CN 1997) As quatro circunferências da figura abaixo têm raios r 0,5 . O comprimento da linha que as envolve é 
aproximadamente igual a: 
 
(A) 6,96 
(B) 7,96 
(C) 8,96 
(D) 9,96 
(E) 10,96 
 
RESPOSTA: B 
 
14) (CN 2003) Se um segmento AB tem 2 cm de comprimento, então a flecha do arco capaz de 135 desse segmento 
mede 
(A) 2 1 
(B) 2 
(C) 2 1 
(D) 3 
(E) 2 2 
 
RESPOSTA: C 
 
15) (CN 2010) Sobre o lado BC do quadrado ABCD constrói-se um triângulo PBC, sendo o ponto P externo ao quadrado e 
o quadrilátero PCDB convexo. Se o ângulo PDC é congruente ao ângulo PBC, pode-se afirmar que o quadrilátero PCDB é 
(A) sempre inscritível em um círculo. 
(B) sempre circunscritível a um círculo. 
(C) inscritível em um círculo apenas se for um trapézio. 
(D) circunscritível a um círculo apenas se for um trapézio. 
(E) impossível de ser inscrito em um círculo. 
 
RESPOSTA: A 
 
16) Na figura  AB BC 80 , FG 30 e ˆBDG 20 . Calcule o arco menor ED , se T é um ponto de tangência. 
 
a) 92 
b) 110 
c) 115 
d) 120 
e) 130 
 
RESPOSTA: b 
 
17) Na figura abaixo, AB 21 e AC 33 . A distância entre os pontos de tangência P e Q é: 
 
A) 6 
B) 8 
C) 9 
D) 10 
E) 12 
 
RESPOSTA: d 
 
18) (OBM 1999) No triângulo retângulo ABC , Â 90 , AB 5 cm e BC 9 cm . Se I é o incentro de ABC , então qual é 
o comprimento do segmento CI ? 
a) 5 cm 
b) 6 cm 
c) 4 cm 
d) 8 cm 
 
RESPOSTA: b 
 
19) (CN 2010) Num quadrado ABCD de lado 6 cm, traça-se a circunferência K de centro em A e raio 4 cm. Qual é medida, 
em cm, do raio da circunferência tangente exterior a K e tangente ao lado BC no ponto C? 
(A) 2,4 
(B) 2,5 
(C) 2,6 
(D) 2,7 
(E) 2,8 
 
RESPOSTA: E 
 
20) (IME 1964) Prolonga-se o raio AO de um círculo, de um comprimento AB AO ; traça-se uma tangente ao círculo, 
sobre a qual se levantam as perpendiculares AN e BC . Supondo que o ângulo ˆOAC 126 , qual o valor do ângulo ˆACB? 
a) 36 
b) 42 
c) 63 
d) 27 
e) 18 
 
RESPOSTA: b 
 
 
Nível 3 
 
1)(EsPCEx-2016) Na figura abaixo, a circunferência de raio 3cm tanfencia três 
lados do retângulo ABCD. Sabendo que a área deste retângulo é igual a 72cm2, 
a medida do segmento EF, em cm, é igual a: 
 
 
a) 3 5 b) 
6 5
5
 c) 6 5 d) 
12 5
5
 e) 12 5 
 
Gabarito: D 
 
Solução. 
 
 
Como o raio da cirfunferencia mede 3cm, o segmento AD mede 6cm, e como SABCD:=72, temos: 
 
. 72
6 72
12
AD DC
DC
DC cm
 
 

 
 
Por Pitágoras temos: 
2 2 2
2 36 144
6 5
BD DC BC
BD
BD
 
 

 
 
Traçando a perpendicular a DC por F, temos dois triângulos semelhantes, 
 
3
66 5
3 5
DFM DBC
DF FM
DB BC
DF
DF
   
 
 

 
Pelas relações métricas na circunferência: 
 
2. 3
.3 5 9
3 5
5
DE DF
DE
DE



 
Logo, 
3 5 12 5
3 5
5 5
FE FE DE     
2) (AFA 2001) Na figura, O é o centro da circunferência de raio r,   AD DE EB r e  é o menor ângulo formado pelos 
ponteiros de um relógio às 9h 25min . O valor do ângulo   ˆCBE é 
 
a) 120 
b) 119,45 
c) 126,25 
d) 135,50 
 
RESPOSTA: c 
 
RESOLUÇÃO: 
  
  
60 9 11 25
132 30'
2
 
      AD DE EB r AD DE EB 60 
   
   
  
menorAC ADE 2 60
2 2
252 30'
126 15' 126,25
2
 
 
 
3) (ITA 2011) Num triângulo AOB o ângulo AOB mede 135 e os lados AB e OB medem 2 cm e 2 – 3 cm, 
respectivamente. A circunferência de centro em O e raio igual à medida de OB intercepta AB no ponto C (B). 
a) Mostre que OAB mede 15. 
b) Calcule o comprimento de AC. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
a) 
sen sen135 2 3
sen 15
222 3
  
       

 
b) ˆ ˆˆOBC OCB 180 135 15 30 BOC 120           
O triângulo BOC é isósceles de base BC e o triângulo OCA é isósceles de base OA, portanto AC CO OB 2 3 cm.    
 
 
QUESTÃO 1 4) 
A figura abaixo mostra duas retas paralelas r e s. A reta r é tangente às circunferências C1 e C3, a reta s é tangente às 
circunferências C2 e C3 e as circunferências tocam-se como também mostra a figura. 
r
s
C3
C1
C2
 
As circunferências C1 e C2 têm raios a e b, respectivamente. Qual é o raio da circunferência C3? 
(A) 
2 22 a b 
(B) a b 
(C) 2 ab 
(D) 

4ab
a b
 
(E) 2b a 
 
RESPOSTA: C 
 
RESOLUÇÃO: 
 
   
   
     
    
    
       
   
2 2
2
2 2
1
2 2
1
1 1 2 1
DC r b r b 2 rb
FC r a r a 2 ra
HC a b 2r a b 2 r a b r
FC FH HC DC HC
 
      
    
2 ra 2 rb 2 r a b r
a b a b r
 
           
 
a b a b r a b 2 ab a b r
r 2 ab
 
 
5) Os pontos A, B, C, D, E, F estão, nesta ordem sobre uma circunferência. Sabe-se que: 
- AD é diâmetro. 
- As retas AD e BC são paralelas. 
- As retas AD e CE são perpendiculares. 
- O ponto F é médio do arco AE. 
- O arco BC mede 20o. 
- CF e AE cortam-se em M. 
- BE e DF cortam-se em N. 
O ângulo MNF mede: 
a) 15o 
b) 20o 
c) 25o 
d) 30o 
e) 35o 
 
RESPOSTA: c 
 
RESOLUÇÃO: 
 
A figura mostra as medidas de todos os arcos. Como   AEB CFD o quadrilátero EFMN é inscritível. Como   oFEA 25 
então   oMNF 25 . 
 
6) Em um círculo de centro O, são traçadas três cordas AB, CD e PQ de mesma medida, conforme mostrado na figura abaixo. 
A razão entre as medidas dos ângulos ˆMOK e ˆBLD é igual a: 
 
a) 1:5 
b) 1:4 
c) 1:3 
d) 1:2 
e) 2:3 
 
A 
B C 
D 
E 
F 
M N 
80o 80o 
20o 
80o 
50o 
50o 
RESPOSTA: d 
 
RESOLUÇÃO: 
Sejam  AP ;  PC ;  BC ;  BQ e  QD . 
 
Como as três cordas AB, CD e PQ possuem a mesma medida, temos: 
  
                  
  
 
       
     
BQD APCˆBLD
2 2
 
         
 
AP BQ APM QBM A.L.A.
AM MQ
 
     ˆ ˆAMO QMO L.L.L. AMO QMO 
          
 
PC QD PCK DQK A.L.A.
PK DK
 
     ˆ ˆPKO DKO L.L.L. PKO DKO 
  
     
180ˆ ˆBMQ OMK 90
2 2
 
  
    
180ˆ ˆCKP MKO 90
2 2
 
   
       
           
ˆ ˆ ˆMOK 180 OMK MKO
180 90 90
2 2 2
 
  
 
  
ˆMOK 12
ˆ 2BLD
 
 
7)Na figura abaixo A e E são pontos de tangência, a medida do menor arco EB é 92º e do arco AM 
é 90º. Calcule o valor de x. 
 
a)30º b)34º c)43º d)42º e)45º 
Gabarito: C 
Solução 
 
Temos que as medidas dos arcos ND e MD são iguais. Pelo Ângulo inscrito na circunferência maior 
temos que a medida do arco AN é 2x. 
Note ainda que os arcos EB e DM medem 92º, logo os arcos ND e MD são iguais. Somando os 
arcos da circunferência maior temos: 
92º 92º 90º 2 360º
43º
x
x
   

 
8) Na figura abaixo, AMNT e NLBP são quadrados , Calcule a medidaangular do arco AB . 
 
a) 80º 
b)75º 
c)90º 
d)105º 
e)120º 
Gabarito: C 
Solução: 
 
Seja x a medida do arco AB, e  as mediadas dos arcos DA e BCm respectivamente. 
Prolongando o arco BC até CB’, de mesma medida, temos: 
45º 90º
2
 
 

    . Como 180ºx    , temos 90ºx  . 
9)Na figura abaixo AB=c, BC=a e AC=b. Calcule a medida de BL. 
 
a) 
2
b c a 
 
b) 
2
a b c 
 
c) 
2
a c b 
 
d) 
2
2
a b c 
 
e) 2 2a b c  
Gabarito:C 
 
Tomamos BL=x, seja LT=m, TP= , temos que LT=PQ=m. 
Seja AM=q=AM’ e CN=t=CN’. 
Da figura temos: 
a=x+m+ +t 
b=2m+ +q+t 
c=x+m+q 
somando a primeira e a terceira equação temos: 
a+c=2x+2m+ +t+q , substituindo este valor na segunda equação: 
a+c=2x+b 
logo 
2
a c b
x
 
 . 
10) Na figura abaixo o triângulo retângulo ABC é tal que AB=3, BC=4. Neste triângulo temos n+1 de 
mesmo raio. Calcule a soma dos perímetros das cirfuncerências 
 
a)1 b)2 c) 4 d)  e) 6 . 
Gabarito: C 
Solução 
 
Tomando os pontos de tangência M, N e L temos que  2 1LP n r  , PM PN r  . 
Podemos ainda concluir que 3AL r  e que  4 2 1NC n r   . 
Note que CN CM e que então     5 4 2 1 1 2 1AM n r n r       . 
Por Pitágoras nos triângulos APM e LPA temos: 
  
   
22 2
2 22 2
1 2 1
3 2 1
AP r n r
AP r n r
    

   
 
Logo: 
      
     
22 2 2 2
2 22 2 2 2
3 2 1 1 2 1
9 6 2 1 1 2 2 1 2 1
9 1 4 2 6
8 4 4
2
1
r n r r n r
r r n r r n r n r
nr r r
nr r
r
n
       
          
   
 


 
Logo a soma dos perímetros destas n+1 circunferências será dado por 
 
 
1 .2 .
2
1 .2
1
4
S n r
S n
n
S



 
 


 
 
Polígonos 
1) ABCDE é um pentágono regular e ABF é um triângulo equilátero interior. O ângulo FCD mede: 
a) 38 
b) 40 
c) 42 
d) 44 
e) 46 
 
RESPOSTA: c 
 
 
2)(EPCAR) Aumentando-se 3 lados em um polígono, consequentemente 
aumentam-se 21 diagonais. Quantas diagonais possui o polígono? 
 
a)41 
b)13 
c)21 
d)14 
 
Gabarito: D 
 
 
3) O total de polígonos convexos cujo número n de lados é expresso por dois algarismos iguais e tais que seu número d de 
diagonais é tal que d 26n é: 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
 
RESPOSTA: a 
 
4) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130º cada um, e os demais ângulos internos medem 128º cada 
um. O número de lados do polígono é igual a: 
a) 6 
b) 7 
c) 13 
d) 16 
e) 17 
 
RESPOSTA: b 
 
5) Seja o hexágono equiângulo ABCDEF, onde AB 3, BC 4, CD 5 e EF 1. Pode-se afirmar que DE AF é igual a: 
a) 11 
b) 12 
c) 13 
d) 14 
e) 15 
 
RESPOSTA: d 
 
6)Em um polígono convexo, um dos ângulos internos mede 150o e cada um dos outros é maior que 166o. O menor número 
de lados que esse polígono pode ter é: 
a) 22 
b) 23 
c) 24 
d) 25 
e) 26 
 
RESPOSTA: d 
 
7)ABCDE é um pentágono regular e ABF é um triângulo equilátero interior. O ângulo FCD mede: 
a) 38 
b) 40 
c) 42 
d) 44 
e) 46 
 
RESPOSTA: c 
 
8)Os pontos A, B, C e D, nesta ordem sobre uma circunferência são tais que AB é o lado do hexágono regular inscrito, BC é 
o lado do decágono regular convexo e CD é o lado do pentágono regular estrelado, inscritos nessa circunferência. O segmento 
AD é o lado de um polígono regular inscrito. Este polígono é o: 
a) triângulo equilátero 
b) pentágono convexo 
c) octógono estrelado 
d) quadrado 
e) dodecágono estrelado 
 
RESPOSTA: a 
 
9)(CN 2006) O número de diagonais de um polígono regular P inscrito em um círculo K é 170 . Logo 
(A) o número de lados de P é ímpar. 
(B) P não tem diagonais passando pelo centro de K. 
(C) o ângulo externo de P mede 36 . 
(D) uma das diagonais de P é o lado do pentágono regular inscrito em K. 
(E) o número de lados de P é múltiplo de 3 . 
 
RESPOSTA: D 
 
10)(CN 2001) Os pontos X , O e Y são vértices de um polígono regular de n lados. Se o ângulo ˆXOY mede 22 30' , 
considere as afirmativas: 
(I) n pode ser igual a 8 . 
(II) n pode ser igual a 12 . 
(III) n pode ser igual a 24 . 
Podemos afirmar que: 
(A) apenas I e II são verdadeiras. 
(B) apenas I e III são verdadeiras. 
(C) apenas II e III são verdadeiras. 
(D) apenas uma delas é verdadeira 
(E) I, II e III são verdadeiras 
 
RESPOSTA: B 
 
11)(CN 1998) Considere as afirmativas abaixo sobre um polígono regular de n lados, onde o número de diagonais é múltiplo 
de n . 
I - O polígono não pode ter diagonal que passa pelo seu centro. 
II - n pode ser múltiplo de 17 . 
III - n pode ser um cubo perfeito. 
IV - n pode ser primo. 
Assinale a alternativa correta. 
(A) Todas as afirmativas são falsas. 
(B) Apenas a afirmativa II é verdadeira. 
(C) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. 
(D) Apenas as afirmativas II, III e IV são verdadeiras. 
(E) Todas as afirmativas são verdadeiras. 
 
RESPOSTA: E 
 
12) (CMBR 2010) Na analise as afirmativas abaixo: 
(I) Se o número de diagonais de um polígono convexo é 
5
2
 do número de lados; então, esse polígono é um decágono. 
(II) Se o ângulo externo de um polígono regular convexo P é 
1
24
 da soma dos ângulos internos de P; então, P é um octógono. 
(III) Se um trapézio isósceles, de bases 20 e 80 , está circunscrito a uma circunferência; então, o raio da circunferência é 
40 . 
Associando V ou F a cada afirmativa, conforme seja verdadeira ou falsa, respectivamente, obtém-se a sequência 
a) F F V 
b) F V V 
c) V V F 
d) F V F 
e) V V F 
 
RESPOSTA: d 
 
13) (CN 2006) Um polígono convexo de n lados tem três dos seus ângulos iguais a 83º , 137º e 142º . Qual é o menor valor 
de n para que nenhum dos outros ângulos desse polígono seja menor que 121º ? 
(A) 6 
(B) 7 
(C) 8 
(D) 9 
(E) 10 
 
RESPOSTA: B 
 
14) (CMRJ 2012) A diferença entre as medidas do ângulo interno e do ângulo externo de um polígono regular vale 144 . O 
número de lados deste polígono é igual a: 
(A) 18 
(B) 20 
(C) 22 
(D) 24 
(E) 26 
 
RESPOSTA: B 
 
15) (CN 2012) Um aluno estudava sobre polígonos convexos e tentou obter dois polígonos de 'N' e 'n' lados  N n , e com 
'D' e 'd' diagonais, respectivamente, de modo que N n D d   . A quantidade de soluções corretas que satisfazem essas 
condições é 
(A) 0 
(B) 1 
(C) 2 
(D) 3 
(E) indeterminada. 
 
RESPOSTA: A 
 
16) (G1 - utfpr 2016) O valor de x no pentágono abaixo é igual a: 
 
 
a) 25 . 
b) 40 . 
c) 250 . 
d) 540 . 
e) 1.000 . 
 
 
Resposta: 
 
[B] 
17) (Ufrgs 2016) Um desenhista foi interrompido durante a realização de um trabalho, e seu desenho ficou 
como na figura abaixo. 
 
 
 
Se o desenho estivesse completo, ele seria um polígono regular composto por triângulos equiláteros não 
sobrepostos, com dois de seus vértices sobre um círculo, e formando um ângulo de 40 , como indicado na 
figura. 
 
Quando a figura estiver completa, o número de triângulos equiláteros com dois de seus vértices sobre o 
círculo é 
a) 10. 
b) 12. 
c) 14. 
d) 16. 
e) 18. 
 
 
Resposta: 
 
[E] 
 
18) (Ufjf-pism 1 2016) Na figura a seguir, representa-se um hexágono regular ABCDEF em que cada lado 
mede 12 centímetros. 
 
 
 
Determine: 
 
a) O valor da medida do perímetro e da área do hexágono regular ABCDEF. 
b) O valor das medidas das diagonais CF e CE deste hexágono regular ABCDEF. 
c) A razão entre as medidas dos comprimentos dos círculos circunscrito e inscrito, ao hexágono regular 
ABCDEF. 
 
 
Resposta: 
 
a) O perímetro do hexágono é igual a 6 12 72cm,  e sua área é dada por 
2
23 12 3 216 3 cm .
2

 
 
b) A diagonal CF corresponde ao diâmetro do círculo circunscrito a ABCDEF. Logo, desde que o raio do 
círculo circunscrito ao hexágono e o lado do hexágono são congruentes, temos CF 24cm. 
Sabendo que CFE 60 ,  do triângulo retângulo CFE, vem 
CE 3 CE
sen60 CE 12 3 cm.
2 24CF
      
 
c) Sejam R e r, respectivamente, os raios dos círculos circunscrito e inscrito. Sabendoque R 12cm e 
r 6 3, temos 
2 R R 12 2 3
.
2 r r 36 3
π
π
   
 
19) Considere um hexágono equiângulo ABCDE no qual quatro lados consecutivos medem ED=20 
cm, DC=13 cm, CB=15 cm e BA=23 cm. Calcule a diferença entre as medidas dos segmentos EF e 
FA 
a)6 b)7 c)8 d)9 e)10 
Gabarito: C 
20) Considere o octógono equiângulo ABCEDFGH tal que AB=2, BC=FG= 3 2 , DE=AH= 2 2 , 
HG=3. Calcule FE+CD. 
a)5 b)9 c)3 d)7 e)8 
Gabarito: A 
 
Nível 3 
1) (CN 1997) Um aluno declarou o seguinte, a respeito de um polígono convexo P de n lados: “Partindo da premissa de 
que eu posso traçar  n 3 diagonais de cada vértice de P , então, em primeiro lugar, o total de diagonais de P é dado por 
 n n 3  ; e, em segundo lugar, a soma dos ângulos internos de Pé dada por  n 3 .180º . Logo o aluno: 
(A) Errou na premissa e nas conclusões. 
(B) Acertou na premissa e na primeira conclusão, mas errou na segunda conclusão. 
(C) Acertou na premissa e na segunda conclusão, mas errou na primeira conclusão. 
(D) Acertou na premissa e nas conclusões. 
(E) Acertou na premissa e errou nas conclusões. 
 
RESPOSTA: E 
 
RESOLUÇÃO: 
A premissa está correta, pois de cada vértice é possível traçar diagonais para todos os outros vértices, exceto para ele mesmo 
e para os dois vértices adjacentes (nesse caso a ligação é um lado), totalizando  n 3 diagonais traçadas de cada vértice. 
A primeira conclusão está errada, pois o produto  n n 3  do número de vértices pela quantidade de diagonais traçadas de 
cada vértice é o dobro do número de diagonais, visto que conta cada diagonal duas vezes em cada um dos vértices de suas 
extremidades. Dessa forma, o total de diagonais do polígono é dado por 
 n n 3
D
2
 
 . 
A segunda conclusão também está errada, pois, ao serem traçadas as  n 3 diagonais de cada vértice, o polígono fica 
dividido em  n 2 triângulos e, consequentemente, a soma dos ângulos internos é  S 180 n 2   . 
Logo, o aluno acertou na premissa e errou nas duas 
 
 
2) Os ângulos de um polígono convexo de gênero n são , 2 , 3 , ,n    . A quantidade de possíveis valores de n é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
RESPOSTA: c 
 
RESOLUÇÃO: 
Como se trata de um polígono, temos n 3 . 
 
 
 
 
 
2 3 n 180 n 2
n. n 360 n 2
180 n 2
2 n n 1
          
   
     

 
Como o polígono é convexo, temos 
 360 n 2
n 180 n 5
n 1

    

. 
n 3 30   
n 4 36   
Note que são ambas soluções válidas. 
 
3) (ITA 2005) Seja n o número de lados de um polígono convexo. Se a soma de n 1 ângulos (internos) do polígono é 
2004 , determine o número n de lados do polígono. 
 
RESPOSTA: 14 
 
RESOLUÇÃO: 
Seja  a medida do ângulo interno não somado, então:  2004 180 n 2 180 n 2364       . 
Como  é um ângulo interno de um polígono convexo, temos: 
0 180 0 180 n 2364 180
2364 2544
2364 180 n 2544 n
180 180
       
     
 
2 2
13 n 14 n 14
15 15
     
 
 
4)(CN 1995) Um polígono regular convexo tem seu número de diagonais expresso por 2n 10n 8  , onde n é o seu número 
de lados. O seu ângulo interno x é tal que: 
a) x 120º 
b) 120º x 130º  
c) 130º x 140º  
d) 140º x 150º  
e) x 150º 
 
RESPOSTA: e 
 
RESOLUÇÃO: 
 
2 2 2
2
n n 3
d n 10n 8 n 3n 2n 20n 16
2
n 17n 16 0 n 1 n 16

         
       
 
Como n 1 não pode ser o número de lados de um polígono, então n 16 . 
O ângulo interno do polígono regular convexo de gênero n 16 é 
 
i
180 16 2
x A 157 30'
16

   . 
Logo, conclui-se que x 150 . 
 
5) Um turista faz uma viagem pela cidade em etapas. Em cada etapa o turista percorre 3 segmentos de comprimento 100 
metros separados por curvas à direita de 60. Entre o último segmento de uma etapa e o primeiro segmento da próxima etapa, 
o turista faz uma curva à esquerda de 60. A que distância o turista estará da sua posição inicial, após 1997 etapas? 
a) 0 
b) 50 metros 
c) 85 metros 
d) 100 metros 
e) 200 metros 
 
RESPOSTA: e 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Cada etapa forma um trapézio isósceles. 
A distância entre o ponto inicial e final de cada etapa é 200 metros. 
Após 6 etapas, o turista retorna ao ponto inicial, formando um hexágono. 
Como 1997 6 332 5   , o turista percorre 332 hexágonos completos e mais 5 etapas. 
Logo, se o turista inicia a viagem no ponto A, terminará no ponto B, a uma distância de 200 metros de A. 
 
 
 
6) (ITA 1988) A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular é 2160 . Então o número de diagonais 
deste polígono, que não passam pelo centro da circunferência que o circunscreve, é: 
a) 50 
b) 60 
c) 70 
d) 80 
e) 90 
 
RESPOSTA: c 
 
RESOLUÇÃO: 
 
nS 180 n 2 2160 n 14      
O número de diagonais que passam pelo centro do polígono regular, que é o centro da circunferência circunscrita ao polígono, 
é 
14
7
2
 . Logo, o número de diagonais que não passam pelo centro é 
 14 14 3
7 70
2
 
  . 
Alternativamente, poderíamos ter utilizado diretamente a expressão 
 n n 4
2
 
 para a quantidade de diagonais que não 
passam pelo centro de um polígono com número para de lados. 
 
7) ) Um hexágono regular e um dodecágono regular estão inscritos num mesmo círculo. Se o lado do dodecágono possui 
medida igual a 13  , a medida do lado do hexágono é igual a: 
(A) 3 (B) 
3
2
 (C) 36 
(D) 26 (E) 2 
 
Gabarito:E 
 
Solução: 
Tomemos um dos vértices do dodecágono coincidindo com um dos vértices do hexágono no ponto 
A, sendo B e C os vértices seguintes do dodecágono, temos que os arcos AB e BC medem 30º, logo 
o vértice o arco AC mede 60º e então o vértice C é também um vértice do Hexagono. 
 
O Ângulo interno do dodecágono é: 
 
12
180 12 2
150º
12
I

  
Agora, basta fazer uma lei dos cossenos no triângulo ABC. 
 
       
 
2 2 2
2
2
2
3 1 3 1 2 3 1 cos 150º
3
4 2 3 4 2 3 2 4 2 3
2
8 4 3 4 3 6
2
x
x
x
x
      
 
         
 
    
 
 
8) Em um eneágono equiângulo ABCDEFGHI, toma-se um ponto interior P e sobre o lado FG toma-
se o ponto Q. Se ˆ 20ºQDE  , 4 3DQ  e a soma das distâncias de P aos lados ,AL CD e FG
15. Calcule a distância de Q a AL . 
a)7 b)9 c) 10 d)11 e)12 
Gabarito: B 
Solução 
 
 
 
 
O ângulo externo do eneagono 
360
40º
9
E   , logo o ângulo interno é dado por 
180 40º 140ºI    . Prolongando-se os lados CD, FG,AI até que estes se encontrem nos 
pontos, C’, D’ e I’. Note que o triângulo C’D’I’ é equilátero. E a soma a+b+c é igual a altura do 
triângulo equilátero, e como a altura do triângulo DD’Q temos: 6 15 9x x    . 
9) (Ita 2016) Seja nP um polígono convexo regular de n lados, com n 3. Considere as afirmações a seguir: 
 
I. nP é inscritível numa circunferência. 
II. nP é circunscritível a uma circunferência. 
III. Se n é o compromisso de um lado de nP e na é o comprimento de um apótema de nP , então 
n
n
a
1 
para todo n 3. 
 
É (são) verdadeira(s) 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III. 
d) apenas I e II. 
e) I, II e III. 
 
 
Resposta: 
 
[D] 
 
[I] Verdadeira, pois todo polígono regular é inscritível. 
 
[II] Verdadeira, pois todo polígono regular é circunscritível. 
 
[III] Falsa. Consideremos um dodecágono regular inscrito na circunferência abaixo:Provaremos inicialmente que tg75 é maior que 2; 
 
3
1
tg45 tg30 3 3 3 3 3 3 9 6 3 33tg75 tg 45 30 2 3
63 3 3 3 3 3 31 tg45 tg30
1
3

     
         
   

 
Portanto, tg75 é maior que 2. 
 
No triângulo assinalado na figura acima, podemos escrever: 
12 12
12 12
a a tg75
tg75
2
2

    
 
Como tg75 é maior que 2, concluímos que : 
12
12
a
1, o que contraria a expressão n
n
a
1 para todo n 3. 
 
Triângulos (Métrica) 
Nível 1 
1)Calcuel os valores de x e y nas figuras a seguir 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
Gabarito: 
a)x=24 b)x=7 c)x=6 d)x=7 e)x=2 e)y=20 
2) Calcule o valor de x e y nas figuras abaixo 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
Gabarito: a) x=10 b) x=5 c)x=10 d) x=6 
 
3)Calcule o valor de x y na figura abaixo. 
 
a)10 b)11 c)12 d)13 e)14 
Gabarito: B 
 
4) Calcule o valor de y-x sabendo que ED é paralelo a BC. 
 
a)1 
b)2 
c)3 
d)4 
e)5 
Gabarito: B 
5) Calcule o valor de x+y na figura abaixo. 
 
a)10 b)11 c)12 d)13 e)14 
Gabarito: D 
6)No triângulo ABC temos AE=1cm, BC=3cm e CD=7cm. A medida em cm de BE é: 
 
 
a)2 
b)3 
c)4 
d)5 
e)6 
 
Gabarito: D 
 
7)(FUVEST) Na figura abaixo, as distâncias dos pontos A e B à reta r valem 2 e 4. As projeções ortogonais de A 
e B sobre essa reta são os pontos C e D. Se a medida de CD é 9, a que distância do C deverá estar o ponto E do 
segmento CD para que os CÊA=DÊB? 
 
 
a)3 
b)4 
c)5 
d)6 
e)7 
 
Gabarito: A 
 
8)Dois triângulos semelhantes são tais que o perímetro de um deles é 60 e os lados do outro medem 5, 7, e 8. 
Qual o maior lado do triângulo de perímetro 60? 
 
a)24 
b)21 
c)15 
d)12 
e)10 
 
Gabarito: A 
 
9) A bissetriz interna AS do ângulo A de um triângulo ABC, determina sobre o lado BC segmentos 19BS e 
15SC . Se 57AB , a medida do lado AC é igual a: 
(A) 30 (B) 33 (C) 35 
(D) 40 (E) 45 
Gabarito: E 
10)A bissetriz interna AS do ângulo A de um triângulo ABC, determina sobre o lado BC segmentos 12BS e 
xSC . Se 9xAB  , e 30AC , o valor de x é igual a: 
(A) 10 (B) 12 (C) 14 
(D) 15 (E) 16 
Gabarito: D 
 
11)Em um triângulo ABC, tem-se que 12AB  , 8AC e 5BC . Seja D o pé da bissetriz interna AD e I o 
incentro do triângulo. O valor da razão 
ID
IA
 é igual a : 
(A) 1 (B) 2 (C) 3 
(D) 4 (E) 6 
 
Gabarito: D 
 
12) Num triângulo ABC, sejam D o pé da bissetriz externa do ângulo A . Se AB=6, AC=8 e BC=9. Calcule DC. 
 
(A)25 (B)22 (C) 23 
(D)24 (E) 21 
 
Gabarito: D 
 
13) Num triângulo ABC, sejam D e E respectivamente, os pés das bissetrizes interna e externa do ângulo A . Se 
AB=12, AC=8 e BD=21. Calcule a medida DE. 
 
(A) 8 (B)12 (C) 16 
(D) 18 (E) 20 
 
Gabarito: C 
 
 
14) O retângulo DEFG está inscrito no triângulo isósceles ABC, como na figura abaixo: 
 
 
 
Assumindo DE GF EF DG AB ,= = 12, = = 8 e = 15 a altura do triângulo ABC é: 
a) 
35
4
 b) 
150
7
 c) 
90
7
 d) 
180
7
 e) 
28
5
 
 
Gabarito: D 
15) Num triângulo ABC, sejam D e E pontos sobre os lados AC e BC respectivamente, tais que 19x3AD  , 
3xDC  , 4xBE  e 4EC . Os valores de x para os quais o segmento DE é paralelo a AB são iguais a: 
(A) 7 e 13 (B) 10 e 16 (C) 8 e 11 (D) somente 15 
(E) 9 e 12 
Gabarito: C 
 
16)Calcule o valor de x na figura abaixo. 
 
a)15 b)14 c)13 d)12 e)11 
 
Gabarito: D 
 
17)Determine os valores de x e y na figura abaixo: 
 
 
 
Gabarito: x= 3 e y= 13 
 
18) Em um triângulo retângulo, um dos catetos mede a metade do outro cateto, e a 
hipotenusa mede 10 cm. Nessas condições, determine: 
a)a medida do menor cateto. 
b)o perímetro do triângulo 
 
Gabarito: a) 2 5 b) 10 6 5 
 
19) Em um triângulo retângulo ABC com o hipotenusa BC e altura AH( com H sobre BC) temos AB=6, 
AC= 8. Calcule o HC-CH+AH. 
a)5,2 
b)4,8 
c)3,2 
d)4,2 
e)4,4 
Gabarito: A 
 
20) Em um triângulo retângulo ABC com o hipotenusa BC e altura AH( com H sobre BC) temos BH=3 
e AH=4. Calcule o perímetro de ABC. 
 
a)16 
b)18 
c)20 
d)22 
e)24 
 
Gabarito: C 
 
Nível 2. 
 
1) Num triângulo ABC, sejam BE e CD bissetrizes internas dos ângulos ABC e ACB respectivamente. Se 
3AD , 4AE e 6EC , a medida do segmento BC é igual a: 
(A) 
90
11
 (B) 
90
13
 (C) 
90
17
 
(D) 
90
19
 (E) 6 
Gabarito: A 
 
2) Na figura abaixo, calcule o valor de AB, sabendo que DB = 2CD e que AB –AC=6. 
 
a)10 b)11 c)12 d)13 e)14 
Gabarito: C 
 
3) (EPCAR 2005) Considere o triângulo ABC da figura abaixo, com AB 12 , AC 8 e BC 14 . As bissetrizes interna e 
externa do ângulo correspondente ao vértice A encontram a reta suporte do lado oposto em D e E, respectivamente. O valor 
de BE é igual a 
 
a) 25 
b) 32 
c) 42 
d) 48 
 
RESPOSTA: c 
 
4) No triângulo abaixo temos 6BD  e 2CD  , calcule a medida de CE . 
 
a)2 b)4 c)6 d)8 e)10 
Gabarito:B 
 
 
5) Considere os quadrados da figura de lados a e b ( a b ). Então x é igual a 
 
a) 
2b
a b
 b) 
2a
a b
 c) 
ab
a b
 d) 
ab
a b
 
 
RESPOSTA: a 
 
 
6) (FUVEST 2003) O triângulo ABC tem altura h e base b (ver figura). Nele, está inscrito o retângulo DEFG, cuja base é o 
dobro da altura. Nessas condições, a altura do retângulo, em função de h e b, é dada pela fórmula: 
 
a) 
bh
h b
 
b) 
2bh
h b
 
c) 
bh
h 2b
 
d) 
bh
2h b
 
e) 
 
bh
2 h b
 
 
RESPOSTA: d 
 
7)No triângulo abaixo, DEFG é um retângulo. Calcule o valor de GF sabendo 
que BE mede 1cm e FG mede 4cm. 
 
a)1 
b)1,5 
c)2 
d)3 
e)3,5 
Gabarito: C 
 
8)Em um triângulo retângulo OAB, retângulo em O, com AO a e OB b, são dados os pontos P em AO e Q em OB de tal 
maneira que AP PQ QB x.   Nestas condições o valor de x é: 
 
a) a b a b   
b) a b 2 a b    
c) 
2 2a b 
d) a b 2 a b    
e) a b a b   
 
RESPOSTA: b 
 
 
9)Temos dois quadrados como indicado na figura seguinte, onde ABCD possui lado 6 e MNPQ possui lado 5. Calcular o 
perímetro do triângulo AMN. 
 
a) 10 
b) 10,5 
c) 11 
d) 11,5 
e) 12 
 
RESPOSTA: c 
 
 
 
 
10)(FGV) No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o lado BC foi prolongado, como 
mostra a figura, até o ponto P, formando-se o triângulo PAB, semelhante ao triângulo PCA. 
 
O comprimento do segmento PC é 
a) 7. 
b) 8. 
c) 9. 
d) 10. 
e) 11. 
Gabarito: C 
11) (CN 1999) Na figura, DE é paralela a BC e AM é bissetriz interna do triângulo ABC . Sabendo que AD 6 , AE x , 
DB 2 , EC 5 , BM 6 e MC y . Então x y é igual a: 
 
(A) 15 
(B) 20 
(C) 25 
(D) 30 
(E) 35 
 
RESPOSTA: D 
12) Em uma exposição artística um escultor apresentou sua obra prima, intitulada “as torres vizinhas”. Repare que a mesma 
consta de duas hastes paralelas de ferro fundidas perpendicularmente em uma mesma base e escoradas por dois cabos de 
aço retilíneos, como mostra a figura abaixo. As alturas das hastes medem, respectivamente, 6 metros e 2 metros. 
Desprezando-se a espessura dos cabos, determine a distância do ponto de interseção dos cabos à base da escultura. 
 
a) 2,25 m 
b) 2,00 m 
c) 1,75 m 
d) 1,50 m 
e) 1,25 m 
 
RESPOSTA: d 
 
13) (CN 1989) As medianas traçadas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo medem 17 cm e 23 cm. A medida 
da mediana traçada do ângulo reto é: 
(A) 5 2 cm 
(B) 4 2 cm 
(C) 3 2 cm 
(D) 2 2 cm 
(E) 2 cm 
 
RESPOSTA: D 
 
14) (EPCAr 2012) Brincando de dobraduras, Renan usou uma folha retangular de dimensões 30 cm por 21cm e dobrou 
conforme o procedimento abaixo descrito. 
1 ) Tracejou na metade da folha e marcou o ponto M . 
 
2 ) Dobrou a folha movendo os pontos A e B para o ponto E. 
 
3 ) Em seguida, dobrou a folha movendo os pontos C e D para F e G , respectivamente.4 ) Marcou os pontos N , O , P , Q , R na figura resultante. 
 
Segundo esses procedimentos, pode-se afirmar que a medida do segmento MR , em centímetros, é igual a 
a) 6 
b) 6 2 
c) 9 
d) 9 2 
 
RESPOSTA: d 
 
15) (ITA 2011) Seja ABC um triângulo retângulo cujos catetos AB e BC medem 8 cm e 6 cm , respectivamente. Se D é 
um ponto sobre AB e o triângulo ADC é isósceles, a medida do segmento AD , em cm, é igual a 
a) 
3
4
. 
b) 
15
6
. 
c) 
15
4
. 
d) 
25
4
. 
e) 
25
2
. 
 
RESPOSTA: d 
 
16) (EPCAR-2013)Um parque está sendo construído na cidade de Barbacena. Através das alamedas 1 e 2 do parque, que 
são paralelas, serão construídos dois muros retilíneos, a partir dos pontos E e R , passando pelos pontos P e A, e esses 
muros se encontrarão no ponto C, conforme figura. 
 
 
Sabe-se que 
 
- EP =1km 
- RA =1,5 km 
- São construídos 12 m de cada muro, por dia. 
- O muro 1 será totalmente construído em 250 dias. 
- As obras das construções dos muros 1 e 2 terminarão no mesmo dia. 
 
Se a obra do muro 1 se iniciou dia 1 de agosto de 2013, e sabendo ainda que as obras dos dois muros foram realizadas em 
dias consecutivos (ou seja, não houve dia de folga em nenhuma das obras), então a obra do muro 2 teve início dia 
 
a) 31 de março de 2013. 
b) 30 de março de 2013. 
c) 29 de março de 2013. 
d) 28 de março de 2013. 
 
Gabarito: C 
 
17)(CN 1987) Num triângulo ABC de lado AC 12 , a reta AD divide internamente o lado BC em dois segmentos: BD 18 
e DC 6 . Se ˆABD x e ˆACD y , o ângulo ˆBDA é dado por: 
(A) y x 
(B) x y 
(C) 2x y 
(D) 2y x 
(E) 2x y 
 
RESPOSTA: B 
 
18)(CN 2006) Num determinado triângulo escaleno ABC , o ângulo ˆBAC é igual a 90º . Sabe-se que AB c , AC b e 
BC a . Internamente ao segmento BC , determina-se o ponto P de modo que 
  c b c b
BP
a
 
 . O perímetro do triângulo 
APC é dado pela expressão 
(A) 
 2b a b
a

 
(B) 
 2c a b
a

 
(C) 
 2b b c
a

 
(D) 
 2c b c
a

 
(E) 
 2b a c
a

 
 
RESPOSTA: A 
 
19)(CN 1988) Considere o quadrilátero ABCD onde  med AB 5 cm ,  med BC 7,5 cm ,  med CD 9 cm , 
 med AD 4 cm e  med BD 6 cm . O ângulo ˆABC deste quadrilátero é igual a: 
(A) 
ˆADCˆBCD
2
 
(B) ˆˆ ˆBAD ADC BCD  
(C) ˆˆBAD BCD 
(D) ˆ ˆ2 BCD ADC  
(E) ˆˆ ˆADC 2 BAC BCD   
 
RESPOSTA: C 
 
20)(CN 2004) Num triângulo acutângulo isósceles ABC , o segmento BP , P interno ao segmento AC , forma com o lado 
BA um ângulo de 15 . Quanto mede o maior ângulo de PBC , sabendo que os triângulos ABP e ABC são semelhantes? 
(A) 65,5 
(B) 82,5 
(C) 97,5 
(D) 135 
(E) 150 
 
RESPOSTA: C 
 
 
Nivel 3 
1) Na figura abaixo, 2DC  e ˆ 45ºACD  e 30ºCÂD  e y é a metade do simétrico da soma 
dos cubos das raízes da equação do segundo grau 
2 2 3 0x x   . Calcule o valor de DC. 
 
a) 52 2 3 
b) 29 2 3 
c) 35 2 3 
d) 49 2 3 
Gabarito: B 
Solução : 
 
Primeiramente, na equação 
2 2 3 0x x   a soma das raízes é 2
b
S
a
   e o produto 
3
c
P
a
  .Logo a soma dos cubos 3 3 10S PS   , logo 
10
5
2
y

   . 
Temos que 2 1DC EC ED    e que 1 3 e 2ED AE AD    . Logo: 
 
2
2 2
2
1 3 5
4 2 3 25
29 2 3
x
x
x
   
  
 
 
2) Na figura abaixo sabemos que ˆ ˆ ˆ 45ºADE EDF FDB   , ˆ ˆDBC DBA . Calcule o valor 
de FB sabendo que 1HG  e 5AE  . 
 
a) 2 b) 
3
2
 c) 
3
5
 d) 3 
Gabarito: B 
Solução 
 
Primeiramente ˆ ˆ ˆ 45ºCDH HDG HDB   , temos ainda que 
ˆ ˆ
ˆ ˆ
GDB FDB
DGB DFB
GBD FBD
 
   

 e 
ˆ ˆ
ˆ ˆ
HDB EDB
EBD DHB
HBD EBD
 
   

 
Logo, e HB=EFHB EB . 
Como EDé bissetriz interna de ADF temos: 
AD AE
DF EF
 
E como DB é bissetriz externa de ADF temos: 
AD AB
DF FB
 
Logo: 
4 5 3
1 5
AE AB x
x
EF FB x

     
 
 
 
3) Um triângulo isósceles tem os lados congruentes medindo 5 cm , a base medindo 8 cm . A distância entre o seu incentro 
e o seu baricentro é, aproximadamente, igual a: 
(A) 0,1cm 
(B) 0,3 cm 
(C) 0,5 cm 
(D) 0,7 cm 
(E) 0,9 cm 
 
RESPOSTA: B 
 
RESOLUÇÃO: 
 
A figura acima representa o triângulo descrito no enunciado, onde BC 8 cm e AB AC 5 cm  . 
As cevianas AM e BN são medianas do ABC e G é o seu baricentro. 
AM e BD são bissetrizes internas do ABC e I é o seu incentro. 
Aplicando-se o teorema de Pitágoras no ABM , temos: 
2 2 2 2 2 2AB AM BM 5 AM 4 AM 3       . 
O baricentro G divide a mediana AM na razão 2 para 1. Assim, temos: 
AG GM AG GM AM
1
2 1 2 1 3
AG 2 GM 1

    

   
. 
Aplicando-se o teorema das bissetrizes no ABM , temos: 
AI IM AI IM AI IM AM 1
AB BM 5 4 5 4 9 3
5 4
AI IM
3 3

      

   
. 
Logo, a distância entre o incentro e o baricentro do ABC é 
4 1
IG IM GM 1 0,3 cm
3 3
      . 
 
4)Em um triângulo ABC, ˆ 60ºA  . Tomamos um ponto P no interior do triângulo tal que os 
ângulos ˆ ˆ ˆAPB BPC CPA  . Sabendo que 12PB  e 27PC  , calcule AP. 
a)12 
b)14 
c)16 
d)18 
e)20 
gabarito: D 
 
Como os ângulos ˆ ˆ ˆ, ,APB BPC CPA são iguais e sua soma é 360º, cada um deles vale 120º. 
Seja ˆPAC  , temos que ˆ ˆ 60PAB PCA    , logo os triângulos eBPAAPC são 
semelhantes, logo: 
2 .
.12 27 18
PA PC
PB PA
PA PC PB
PA
 
 
 
 
 
5) Seja o segmento de reta MQ e os pontos N e P sobre MQ , na ordem M, N, P, Q. Considere um ponto K não situado 
sobre a reta suporte de MQ . Suponha que: MN 2 NP 2 PQ d     e ˆ ˆ ˆMKN NKP PKQ  . Determine o valor numérico da 
relação 
h
d
, sendo h a distância do ponto K à reta suporte de MQ . 
a) 
1
2
 
b) 
2
2
 
c) 
3
2
 
d) 
1
4
 
e) 
3
4
 
 
RESPOSTA: c 
 
RESOLUÇÃO: 



h
QP
d
2
d
2
NdM
K
 
NP = PQ e ˆ ˆNKP PKQ , então ˆKPM 90  
No KPM, KN é bissetriz  
MK h
d d / 2
  MK = 2h 
Aplicando o Teorema de Pitágoras no MPK: (3d/2)2 + h2 = (2h)2  
h 3
d 2
 
 
6)Em um triângulo escalenoKLM , a bissetriz do ângulo ˆKLM corta o lado KM no ponto N . Pelo ponto N traça-se uma reta 
que corta o lado LM em um ponto A tal queMN AM . Sabe-se que LN a e KL KN b  . A medida do segmento AL é 
igual a: 
a) 
2a
b
 
b) 
2b
a
 
c) 
2 2a b
a b


 
d) 
2 2a b
a

 
e) 
2 2a b
b

 
 
RESPOSTA: a 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Sejam ˆ ˆKLN NLM   e ˆLNA   . Sejam ainda o ponto C sobre o prolongamento de LK tal que LC b , ou seja, KC KN
. 
 ˆ ˆ ˆNAM ANM AMN 180 2
ˆˆ ˆMKL 2 KNC KCN
           
     
 
 
2 2
LCN~ LNA A.A.A.
LN LC LN a
LA
LA LN LC b
 
    
 
 
7)Na figura abaixo os segmentos CE e EA medem respectivamente 3 e 2. Calcule MN. 
 
a) 2 5 b) 2 5 c) 2 10 d) 4 10 e) 1 
 
Gabarito: C 
 
Solução 
 
 
 
Se MN x , temos 2AF x  e 3BD x  . Temos: 
 
2
MNB AFB
x FB
x MB
  


 e 2
3
MDB AFM
x FM
x MB
  



 
 
Logo: 
      
2
2 2
1
3
2 2 3 3
4 6 0
2 10
x x FM FB
x x MB MB
x x x x x x
x x
x
 
    

      
   
 
 
 
8)(IME-2012) Considere um triângulo ABC com lado BC igual a L. São dados um ponto D sobre o lado 
AB e um ponto E sobre o lado AC, de modo que sejam válidas as relações 
DA EC
m
DB EA
  , com m > 
1. Pelo ponto médio do segmento DE, denominado M, traça-se uma reta paralela ao lado BC, 
interceptando o lado AB no ponto F e o lado AC no ponto H. Calcule o comprimento do segmento 
MH, em função de m e L. 
 
a) 
 1
Lm
m
 b) 
 
2
1
m
m 
 c) 
 2 1
Lm
m
 d) 
 
2
1
Lm
m
 e) 
 
2
1
Lm
m 
 
 
Gabarito: C 
Solução 
 
 
Traçando outra paralela a BC, desta vez por D e que toca AC e P, temos que pela semelhança entre 
os triângulos ADP e ABC: 
DP AD DP AD
CB AB L AD BD
  

. 
Como .
AD
m AD m DB
DB
   , temos:
.
. 1
DP m DB Lm
DP
L m DB DB m
  
 
. 
Como M é ponto médio de DE, e MH e DPsão paralelos, MH é a base media de EDP, logo
 2 1
Lm
MH
m


. 
 
9) (CN 2004) Num quadrilátero ABCD tem-se: AB 42 , BC 48 , CD 64 , DA 49 e P é o ponto de interseção entre 
as diagonais AC e BD . Qual é a razão entre os segmentos PA e PC , sabendo-se que a diagonal BD é igual a 56 ? 
(A) 
7
8
 
(B) 
8
7
 
(C) 
7
6
 
(D) 
6
7
 
(E) 
49
64
 
 
RESPOSTA: E 
 
RESOLUÇÃO: 
 
AB 42 7 AD 49 7 BD 56 7
; ;
BC 48 8 BD 56 8 CD 64 8
AB AD BD ˆ ˆABD~ BCD ADB BDC
BC BD CD
     
       
 
Logo, DP é bissetriz do ângulo D̂ do ACD . 
Aplicando o teorema das bissetrizes no ACD , temos: 
PA AD 49
PC CD 64
  . 
10)Em um triângulo ABC, se traça uma ceviana interior BP e no triângulo ABP, se traça a bissetriz 
interior AQ, tal que ˆ ^ 2QCP QÂC . Então, toma-se o ponto R em BC tal que ˆˆQRC BQC ~, 
AB=6, AP=3 e RC=1, calcule BR. 
a)1,5 
b)2 
c)3 
d)3,5 
e)4 
Gabarito: 
Solução 
 
Seja BR=x, traçamos QS paralela a AB, temos que QS=QC=a. 
Notemos que os triângulos CQR e BQC são semelhantes, logo: 
21 1
1
a
a x
x a
   

 
Temos ainda a semelhança entre QSP e BAP, logo: 
3
2
6 3
a a
a

   
Sunstituindo 22 1 3x x    .