Gabarito_MatemáticaII_Módulo10_8ano

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PRATICANDO O APRENDIZADO
1 Identifique a qual dos pontos notáveis se refere cada 
uma das afirmações abaixo. Utilize a legenda para 
preencher os parênteses.
 Coloque: para baricentro (B), incentro (I), circuncentro 
(C) e ortocentro (O).
a) ( O ) Ponto de encontro das três alturas ou dos seus 
prolongamentos em um triângulo qualquer.
b) ( C ) Centro da circunferência circunscrita a um 
triângulo.
c) ( I ) Ponto de encontro das bissetrizes internas de 
um triângulo.
d) ( C ) Ponto de encontro das mediatrizes dos lados 
de um triângulo.
e) ( I ) Centro da circunferência inscrita em um triângulo.
f) ( I ) Ponto do interior de um triângulo que é equi-
distante aos lados.
g) ( B ) Ponto que divide cada mediana na razão de 
2 para 1.
h) ( C ) Ponto do plano de um triângulo que é equidis-
tante dos vértices desse triângulo.
2 Na figura, M e N são pontos médios dos lados AB e 
BC, respectivamente. Sabe-se que G é o baricentro do 
triângulo ABC e que AG 5 4,2 cm e CM 5 6 cm.
N
B C
A
G
M
 Qual é o comprimento, em cm, dos segmentos GN e CG?
GN 5 2,1 cm CG 5 4 cm 
3 No triângulo ABC abaixo, AM e CN são medianas relativas 
aos lados AB e BC, respectivamente, que se intersectam 
em G. Sabe-se que AG 5 8 cm e CN 5 9 cm. Calcule
2x 2 y 1 3z.
M
x
y
B C
A
z
N
G
11 cm
4 Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A, e M é o 
ponto médio do lado BC.
 Determine a medida, em graus, de x.
A
M CB
35°x
 
 
 
 
 
 
 
x 5 70¡ 
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5 Considere um triângulo RST retângulo em R e P o ponto 
médio do lado ST . Ao traçar a bissetriz tQT- relativa ao vér-
tice T, intersectaremos RP em O, conforme mostra a figura.
PS
Q
O
T
R
30¡
 Sabendo que o ângulo $RST mede 30°, determine a me-
dida do ângulo $QOR.
 
 
 
 
 
 
 
( ) °5m QÔR 90
6 Na figura abaixo, o triângulo PQR é retângulo em P, tPB- é 
a bissetriz interna relativa ao vértice P e PM é a mediana 
relativa à hipotenusa. Com base nos dados, determine 
a medida do ângulo $MPB.
 M B RQ
P
50¡
a
α 5 5º 
7 Em um triângulo ABC, tem-se m(ÅB) 5 60° e m(ÅC) 5 50°. 
Qual é a medida do maior ângulo formado pelas alturas 
relativas aos vértices B e C desse triângulo?
110°
8 Qual dos pontos notáveis de um triângulo pode ser um 
de seus vértices?
Ortocentro.
9 No triângulo ABC abaixo, os segmentos AH e AS são, res-
pectivamente, a altura e a bissetriz interna relativas ao 
vértice A. Determine a medida do ângulo $HAS.
55°
A
BHSC
75°
( ) °5m HÂS 10
10 No triângulo retângulo ABC, AM é a mediana relativa 
ao lado BC. Determine o perímetro do triângulo ABC, 
sabendo que todas as medidas estão em metros.
M2x 1 10
4y 1 10
2x 1 3y 1 1
10y 2 2
CB
A
1 5
5x
2
144 m
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1 Na figura, temos a avenida Princesa do Carmo e as ruas 1 e 2 não paralelas transversais a ela. Uma das esquinas 
entre as ruas 1 e 2 é no ponto A; uma das esquinas entre a rua 1 e a avenida é no ponto B e uma das esquinas da 
rua 2 com a avenida é no ponto C. Sabe-se que em frente ao ponto A existe uma barbearia (ponto H) e ao lado dela 
uma padaria (ponto S). Se considerarmos que AH forma 90° com BC, AS divide o ângulo $BAC em duas partes iguais, 
$HAS 5 15° e a rua 1 forma com a avenida Princesa do Carmo um ângulo de medida 60¡, então qual é a medida do 
ângulo formado entre a rua 2 e a avenida Princesa do Carmo?
rua 2
rua 1
avenida Princesa do Carmo
H S
A
CB
60¡
30°
APLICANDO O CONHECIMENTO
2 Complete a palavra cruzada a seguir.
 1. (Horizontal). Qual é o nome dado ao polígono que 
possui três ângulos e três lados? 
 2. (Vertical). Uma figura do tipo 
sempre será rígida.
 3. (Vertical). Em todo triângulo, o maior 
opõe-se sempre ao maior ângulo.
 4. (Horizontal). Região do plano limitada por duas se-
mirretas de mesma origem.
 5. (Vertical). Quadrilátero equilátero formado por 
dois triângulos isósceles congruentes justapostos 
pelas suas bases. (Pesquise sobre paralelogramos. 
Se necessitar, pergunte ao professor.)
 6. (Vertical). Nome dado ao ponto de encontro de dois 
lados de um triângulo.
 7. (Vertical). Lugar geométrico do plano que é equidis-
tante dos três vértices de um triângulo.
 8. (Horizontal). Instrumento de medição no formato 
triangular, normalmente feito de acrílico, usado para 
construção de retas paralelas e perpendiculares no 
desenho geométrico.
 9. (Vertical). Ponto de encontro das três alturas de um 
triângulo.
10. (Horizontal). O baricentro é conhecido como centro 
de do triângulo.
11. (Horizontal). Soma das medidas dos ângulos exter-
nos de um triângulo.
12. (Horizontal). Lugar geométrico do plano que é 
equidistante dos três lados de um triângulo.
13. (Vertical). Nome dado ao triângulo que possui 
todos os lados com medidas desiguais.
14. (Vertical). Objeto com três pés, muito usado 
para apoiar câmeras fotográficas. 
15. (Horizontal). Soma dos ângulos internos de um 
triângulo.
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16. (Horizontal). Matemático, geômetra e escritor 
de uma das mais brilhantes obras matemáticas, 
intitulada Os Elementos.
17. (Horizontal). Obra arquitetônica muito utilizada 
para travessia de rios e depressões, geralmente 
feita de ferro/aço ou concreto e que utiliza muito a 
estrutura triangular para dar rigidez.
18. (Horizontal). Nome dado ao triângulo que possui 
pelo menos dois lados com a mesma medida.
19. (Vertical). Aquilo que se coloca em cima das letras 
maiúsculas para diferenciar semirreta de segmento 
de reta.
20. (Horizontal). Qualquer segmento de reta que liga um 
vértice de um triângulo a um ponto qualquer do lado 
oposto ou do seu prolongamento.
21. (Horizontal). Nome dado ao triângulo que possui todos 
os ângulos internos agudos.
22. (Horizontal). Nome dado ao ponto de encontro das três 
medianas de um triângulo.
2 3
1 T R I Â N G U L O 4 Â N G U L O
R
5
A 6 11 3 6 0° 7
I L D V 9 C
A O O 8 E S Q U A D R O I
N S 15 1 8 0° R R R
10 G R A V I D A D E T 13 14 T C
U N 12 I N C E N T R O U
L G C S R C N
A O 16 E U C L I D E S C I E C
R 19 A 17 P O N T E
18 I S Ó S C E L E S L É T N
20 C E V I A N A E E R T
21 A C U T Â N G U L O R
22 B A R I C E N T R O A O O
3 Em um triângulo DEF, os ângulos internos $$D eF medem, respectivamente, 80° e 40°. Qual é a medida do maior ângulo 
formado pela bissetriz relativa ao ângulo $E com a altura relativa ao lado EF?
120°
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4 No triângulo PQR da figura, sabe-se que:
• m(Q̂) 5 110°
• m(R̂) 5 40°
• tPT - é a bissetriz do vértice P
• QH é a altura relativa ao vértice Q
 HP
Q
T
110°
40°
x
R
 Determine o valor de x.
x 5 75°
5 Uma piscina em formato circular de um clube será 
esvaziada para a realização de um serviço de manu-
tenção. A fim de evitar que alguém caia, será colocada 
uma cerca de alumínio em formato triangular regular 
(equilátero) circunscrevendo a piscina.
 Observe a figura abaixo.
 
12 m
 A distância de cada um dos vértices do triângulo ao centro 
da piscina é igual a 12 metros. Qual é a medida do raio 
dessa piscina?
6 m
6 O professor de Matemática propôs uma “brincadei-
ra” para sua classe. Disse que selecionaria um aluno 
aleatoriamente e pediria a este que escolhesse um 
número natural entre 10 e 100 para ser a medida da 
hipotenusa de um triângulo retângulo. Depois disso, 
calcularia em menos de 10 segundos a distância entre 
o circuncentro e o baricentro de um triângulo retân-
gulo cuja medida da hipotenusa fosse a que o aluno 
escolheu. Qual estratégia o professor usa para conse-
guir responder tão rapidamente?
A distância seráum terço da metade do número escolhido.
7 Dois atiradores de tiro ao prato, cada um de um lado do 
alvo e equidistantes entre si e também do alvo, acertam 
um prato simultaneamente. 
 O trajeto de seus projéteis formou um triângulo isósceles 
com um ângulo de 100°, conforme a ilustração abaixo.
 
100¡
 Qual é a medida do ângulo agudo formado pelas bisse-
trizes dos outros ângulos internos?
40°
S
U
N
d
e
s
/S
h
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DESENVOLVENDO HABILIDADES
1 Quais pontos notáveis de um triângulo nunca se posicio-
nam externamente em relação à sua região triangular?
a) Baricentro e ortocentro.
b) Incentro e circuncentro.
c) Baricentro e circuncentro.
d) Incentro e ortocentro.
e) Baricentro e incentro.
2 (Cesesp-PE) Dentre os quatro centros principais de um 
triângulo qualquer, há dois deles que podem se situar 
no seu exterior, conforme o tipo de triângulo. Assinale 
a alternativa em que os mesmos são citados.
a) O baricentro e o ortocentro.
b) O baricentro e o incentro.
c) O circuncentro e o incentro.
d) O circuncentro e o ortocentro.
e) O incentro e o ortocentro.
3 (UFF-RJ) O triângulo MNP é tal que ângulo M 5 80° e 
ângulo P 5 60°.
 A medida do ângulo formado pela bissetriz do ângulo 
interno N̂ com a bissetriz do ângulo externo P̂ é:
a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°
4 (Fatec-SP) Dada a figura:
 
60°
A D
CEB
60°
45°
 Sobre as sentenças:
 I. O triângulo CDE é isósceles.
 II. O triângulo ABE é equilátero.
 III. tAE- é bissetriz do ângulo BÂD.
 É verdade que:
a) somente a I é falsa.
b) somente a II é falsa.
c) somente a III é falsa.
d) são todas falsas.
e) são todas verdadeiras.
5 (CFTCE) A altura e a mediana traçadas do vértice do ân-
gulo reto de um triângulo retângulo formam um ângulo 
de 24°. Sendo assim, os ângulos agudos do triângulo são:
a) 33° e 57°.
b) 34° e 56°.
c) 35° e 55°.
d) 36° e 54°.
e) 37° e 53°.
6 (Ufes) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles 
mede 100°. Qual é a medida do ângulo agudo formado 
pelas bissetrizes dos outros ângulos internos?
a) 20°
b) 40°
c) 60°
d) 80°
e) 140°
7 (FGV) Na figura abaixo, o triângulo AHC é retângulo 
em H e s é a reta suporte da bissetriz do ângulo CÂH.
c
C
A
H
B
b
x
s
Se c 5 30° e b 5 110°, então:
a) x 5 15°
b) x 5 30°
c) x 5 20°
d) x 5 10°
e) x 5 5°
8 (FGV -SP – Adaptada) Na figura, AN e BM são medianas 
do triângulo ABC. Se BM é igual a 12 cm, a medida do 
segmento GM é igual a:
 
M
N
B
CA
G
a) 10
b) 9
c) 8
d) 6
e) 4
9 (FGV-SP) Num triângulo isósceles ABC, de vértice A, a 
medida do ângulo obtuso formado pelas bissetrizes dos 
ângulos B̂ e Ĉ é 140°.
 Então, as medidas dos 
ângulos Â, B̂ e Ĉ são, 
respectivamente:
a) 120°, 30° e 30°.
b) 80°, 50° e 50°.
c) 100°, 40° e 40°.
d) 90°, 45° e 45°.
e) 140°, 20° e 20°. A
C
B
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