Lista 1_ Parábola

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Parábola 
 
 
Prof. João Marcos 
1 
1. Considere no plano cartesiano uma parábola cujo foco é o ponto 
 F 3,2 e cuja diretriz é a reta de equação x 2y 4 0   . 
a) Dê a equação da parábola . 
b) Dê a equação do eixo de simetria. 
c) Determine as coordenadas do vértice V. 
 
2. (ITA) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, seja 
(L) o lugar geométrico dos pontos P (x, y) que satisfazem a 
seguinte condição: “a distância de P(x, y) ao ponto Q (6,0 ) é igual à 
distância do ponto P (x, y) ao eixo das ordenadas”. Nestas 
condições (L) é: 
a) uma parábola de equação y² 6x 
b) uma elipse de equação y²x² 1
3 4
  
c) um quadrado 
d) uma hipérbole de equação 3x² 2y² 6  
e) uma parábola de equação y² 12x 36 0   
 
3. Uma parábola tem equação 21 1y x x
8 2
  . Determine as 
coordenadas do vértice e do foco e a equação da diretriz. 
 
4. (ITA) A equação da parábola, cujo eixo é perpendicular ao eixo x 
e que passa pelo centro da circunferência 
x² y² 2ax 2y 0,    com a > 1 e pelos pontos (-1, 0), (1,0) é: 
a)    a² 1 y a² x² 1   
b)    a² 1 y a² 1 x²   
c)  a² 1 y x² 1   
d)    a² 1 y a x² 1   
e)  a² 1 y x² 1    
 
5. (ITA ) Uma reta t do plano cartesiano xOy tem coeficiente 
angular 2a e tangencia a parábola y x² 1  no ponto de 
coordenadas (a, b). Se (c, 0) e (0, d) são as coordenadas de dois 
pontos de t tais que c 0 e c 2d   , então a / b é igual a: 
a) –4/15 
b) –5/16 
c) –3/16 
d) –6/15 
e) –7/15 
 
6. Consideremos uma parábola de equação 2y x 3x 2   e 
o ponto  A 2; 4 . Determine a equação da reta que passa por A 
e é tangente à parábola. 
 
7. (IME) Considere uma elipse e uma hipérbole centradas na 
origem, O, de um sistema cartesiano, com eixo focal coincidente 
com o eixo OX. Os focos da elipse são vértices da hipérbole os 
focos da hipérbole são vértices da elipse. Dados os eixos da elipse 
como 10 cm e 20
3
cm, determine as equações das parábolas, que 
passam pelas interseções da elipse e da hipérbole e são tangentes 
ao eixo OY na origem. 
 
 
 
8. (IME) Seja a função: 
2y mx (1 8m)x 4(4m 1)     
onde m é um número dado, mas variável. Mostre que todas as 
curvas representativas da função passam por um ponto A fixo e 
que são todas tangentes entre si, neste ponto. Calcule as 
coordenadas do ponto A e dê a equação da tangente comum. 
 
9. Faça um esboço da figura representada pelo par de equações 
paramétricas: 
 
2
x sent
t R
y sent cos t
    
 
 
10. Faça um esboço da figura representada pelo par de equações 
paramétricas: 
 
2x t 5t
t R
y 2t 3
     
 
 
11. (Ita 2016) Sejam S um subconjunto de 2 e P (a, b) um 
ponto de 2. Define-se distância de P a S, d(P, S), como a menor 
das distâncias d(P, Q), com Q S : 
 d(P, S) min d(P, Q) : Q S .  
Sejam 2
1S {(x, y) : x 0 e y 2}    
e 
 2
2S {(x, y) : y 0}.   
 
a) Determine 
1d(P, S ) quando P (1, 4) e 1d(Q, S ) quando 
Q ( 3, 0).  
b) Determine o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes 
de 
1S e de 2S . 
 
12. (Ime 2015) Determine o produto dos valores máximo e 
mínimo de y que satisfazem às inequações dadas para algum 
valor de x. 
 
22x 12x 10 5y 10 2x     
 
a) 3,2 b) 1,6 c) 0 
d) 1,6 e) 3,2 
 
13. (Fuvest 2014) Considere a circunferência λ de equação 
cartesiana 2 2x y 4y 0   e a parábola α de equação 
2y 4 x .  
a) Determine os pontos pertencentes à interseção de λ com .α 
b) Desenhe, no par de eixos dado na página de respostas, a 
circunferência λ e a parábola .α Indique, no seu desenho, o 
conjunto dos pontos (x,y), que satisfazem, simultaneamente, as 
inequações 2 2x y 4y 0   e 2y 4 x .  
 
14. (IME 2014) O lado BC de um triangulo ABC é fixo e tem 
comprimento a. O ortocentro H do triângulo percorre uma reta 
paralela à reta suporte de BC e distante a/4 da mesma. 
a) Determine o lugar geométrico do ponto A quando H varia. 
b) Determine o valor máximo da área do triângulo ABC quando A e 
H estão no mesmo semi-plano definido pela reta suporte de BC 
 
 
 
 
 
 
2
15. (Ita 2013) Sobre a parábola definida pela equação 
2 2x 2xy y 2x 4y 1 0      pode-se afirmar que 
a) ela não admite reta tangente paralela ao eixo Ox. 
b) ela admite apenas uma reta tangente paralela ao eixo Ox. 
c) ela admite duas retas tangentes paralelas ao eixo Ox. 
d) a abscissa do vértice da parábola é x 1.  
e) a abscissa do vértice da parábola é 2x .
3
  
 
16. (Esc. Naval 2012) Considere a sequência (a,b,2) uma 
progressão aritmética e a sequência (b,a,2) uma progressão 
geométrica não constante, a,b .  A equação da reta que passa 
pelo ponto (a,b) e pelo vértice da curva 2y 2y x 3 0    é 
a) 6y x 4 0   b) 2x 4y 1 0   
c) 2x 4y 1 0   d) x 2y 0  
e) x 2y 0  
 
17. (Ime 2012) É dada uma parábola de parâmetro p. Traça-se a 
corda focal MN, que possui uma inclinação de 60° em relação ao 
eixo de simetria da parábola. A projeção do ponto M sobre a diretriz 
é o ponto Q, e o prolongamento da corda MN intercepta a diretriz 
no ponto R. Determine o perímetro do triângulo MQR em função de 
p, sabendo que N encontra-se no interior do segmento MR. 
 
18. (Ita 2008) Considere a parábola de equação y = ax2 + bx + c, 
que passa pelos pontos (2, 5), (- 1, 2) e tal que a, b, c formam, 
nesta ordem, uma progressão aritmética. Determine a distância do 
vértice da parábola à reta tangente à parábola no ponto (2, 5). 
 
19. (Ita 2007) Sejam A: (a, 0), B: (0, a) e C: (a, a), pontos do plano 
cartesiano, em que a é um número real não nulo. Nas alternativas a 
seguir, assinale a equação do lugar geométrico dos pontos P: (x, y) 
cuja distância à reta que passa por A e B, é igual à distância de P 
ao ponto C. 
a) x2 + y2 - 2xy - 2ax - 2ay + 3a2 = 0 
b) x2 + y2 + 2xy + 2ax + 2ay + 3a2 = 0 
c) x2 + y2 - 2xy + 2ax + 2ay + 3a2 = 0 
d) x2 + y2 - 2xy - 2ax - 2ay - 3a2 = 0 
e) x2 + y2 + 2xy - 2ax - 2ay - 3a2 = 0 
 
20. (ITA) Possuo um “laser” de alta potência como ferramenta de 
corte e uma peça plana de forma parabólica que desejo cortar. 
Suponha que a peça definida por x² y 1 0 e y 1    esteja 
no plano x 0 y e que o “laser”, colocado no plano x 0 z, tem janela 
de saída da luz fixa no ponto (0,0,1) podendo o seu tubo girar no 
plano x 0 z. A partir do início do corte, na borda da peça, de 
quantos graus devo girar o ‘laser” para terminar o serviço? 
a)  b)
2
 c)
4
 
d) 3
2
 e) 
3
 
 
21. (ITA) Considere as afirmações: 
I. Uma elipse tem como focos os pontos 
1 2F : ( 2,0), F : (2,0) e o 
eixo maior 12. Sua equação é x² y² 1
36 32
  
II. Os focos de uma hipérbole são 
1 2F : ( 5,0), F : ( 5,0) , e sua 
excentricidade é 10
2
. Sua equação é 3x² 2y² 6  
III. A parábola 2y x² 10x 100   tem como vértice o ponto 
125
P : 5,
2
 
 
 
 
Então: 
a) Todas as afirmações são falsas 
b) Apenas as afirmações (II) e (III) são falsas 
c) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras 
d) Apenas as afirmações (III) é verdadeira 
e) N.d.a 
 
22. (ITA) São dadas as parábolas 
1p : y x² 4x 1    e 
2
11
p : y x² 3x
4
   cujos vértices são denotados, 
respectivamente, por V1 e V2. Sabendo que r é a reta que contém 
V1 e V2, então a distância de r até a origem é: 
a) 5
26
 b) 7
26
 c) 7
50
 
d) 17
50
 e) 11
74
 
 
23. (IME) Considere uma parábola de eixo OX que passe pelo 
ponto (0, 0). Define-se a subnormal em um ponto P da parábola 
como o segmento de reta ortogonal à tangente da curva, limitado 
pelo ponto P e o eixo focal. Determine a equação e identifique o 
lugar geométrico dos pontos médios das subnormais dessa 
parábola. 
 
24. (IME-2004). Considere a parábola P de equação y = ax2, 
com a > 0 e um ponto A de coordenadas (x0, y0) satisfazendo a 
y0 < ax02. Seja S a área do triângulo ATT’, onde T e T’ são os 
pontos de contato das tangentes a P passandopor A. 
a) Calcule o valor da área S em função de a, x0 e y0. 
b) Calcule a equação do lugar geométrico do ponto A, admitindo 
que a área S seja constante. 
c) Identifique a cônica representada pela equação obtida no item 
anterior. 
 
25. (IME 1985) 
a) Dá-se (P) uma parábola de foco F e diretriz d. sejam M um ponto 
qualquer de (P) ; 1M sua projeção sobre d ; 2M a projeção de 1M 
sobre FM. Identifique o lugar geométrico de 2M quando M 
descreve a parábola (P). 
b) Em uma hipérbole (H) são dados um foco F e a diretriz 
correspondente d, que distam entre si 5 cm. A direção de uma 
assíntota forma um ângulo de 30° com o eixo focal. Pede-se 
calcular os valores dos semi –eixos de (H). 
 
26. (IME 1986) Sejam uma parábola de foco F e diretriz d. Por um 
ponto P pertencente a d , traçam-se tangentes à parábola que a 
interceptam em 1M e 2M . Demonstre que 1M , 2M e F estão em 
linha reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
27. (IME - 1994) Seja y = 
2
x2 uma parábola com foco F e diretriz 
d. Uma reta, cujo coeficiente angular é m  0 , passa por F e corta 
a parábola em dois pontos M1 e M2 , respectivamente. Seja G o 
conjugado harmônico de F em relação a M1 e M2. Pede-se: 
a) As coordenadas de G em função de m 
b) O lugar geométrico do ponto G quando m varia 
 
28. (IME - 1997) Em uma parábola (P), com foco F e parâmetro p, 
considere uma corda MM' normal à parábola em M. Sabendo que 
o ângulo MFM’ = 90º, calcule os segmentos FM e FM' . 
 
29. (ITA - 1992) Considere as afirmações: 
I- Uma elipse tem como focos os pontos F1: (-2, 0), F2:(2, 0) e o eixo 
maior 12. Sua equação é x2/36 + y2/32 = 1. 
II- Os focos de uma hipérbole são F1: (- 5 , 0), F2: ( 5 , 0) e sua 
excentricidade 2/10 . Sua Equação é 3x2 - 2y2 = 6. 
III- A parábola 2y = x2 - 10x - 100 tem como vértice o ponto P: (5, 
125/2). 
Então: 
a) Todas as afirmações são falsas. 
b) Apenas as afirmações II e III são falsas. 
c) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. 
d) Apenas a afirmação III é verdadeira. 
e) n.d.a. 
 
30. (ITA - 1999) Pelo ponto C: (4, -4) são traçadas duas retas que 
tangenciam a parábola y = (x-4)2 + 2 nos pontos A e B. A distância 
do ponto C à reta determinada por A e B é: 
a) 6 12 b) 12 c)12 
d)8 e)6 
 
31. (ITA - 1998) Considere a hipérbole H e a parábola T, cujas 
equações são, respectivamente, 5(x + 3)2 - 4(y - 2)2 = -20 e (y - 3)2 
= 4(x - 1). 
Então, o lugar geométrico dos pontos P, cuja soma dos quadrados 
das distâncias de P a cada um dos focos da hipérbole H é igual ao 
triplo do quadrado da distância de P ao vértice da parábola T, é: 
a) a elipse de equação 1
3
)2y(
4
)3x( 22



 . 
b) a hipérbole de equação 1
4
)3x(
5
)1y( 22



 . 
c) O par de retas dadas por y = (3x - 1). 
d) A parábola de equação y2 = 4x + 4. 
e) A circunferência centrada em (9 , 5) e raio 120 . 
 
32. (IME 1988) Mostre que por todo ponto não situado no eixo OX 
passam exatamente duas parábolas com foco na origem e eixo de 
simetria OX e que estas parábolas interceptam-se ortogonalmente. 
 
33. (IME - 1996) Um triângulo ABC tem base AB fixa sobre uma 
reta r. O vértice C desloca-se ao longo de uma reta s, paralela a r e 
a uma distância h da mesma. Determine a equação da curva 
descrita pelo ortocentro do triângulo ABC. 
 
34. (IME 1982) 
a) Seja (d) a diretriz e F o foco de uma parábola. Seja MM' uma 
corda focal qualquer . Mostre que as tangentes em M e M’ 
encontram-se em P m pertencente a (d) e que a reta PF é 
perpendicular a MM’. 
b) Sejam uma elipse (e) e uma hipérbole (h) tendo os mesmos 
focos e o mesmo eixo não focal. Estabeleça a relação na forma 
 f , ' 0   , sendo e '  as excentricidades de (e) e de (h) , 
respectivamente. 
 
35. (IME – 1964) Dada a curva cuja equação é y = -2x2 + 2x + 12, 
determine: 
a) A equação da reta tangente a esta curva, que é paralela à 
corda comum aos círculos 
x2 - 4x + y2 - 10y + 4 = 0 
x2 + 8x + y2 - 16y + 76 = 0 
A área da superfície limitada pela curva dada e a reta 2x - y + 4 = 0 
(em cm2), usando o cálculo integral.