Questões resolvidas sobre Cônicas

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1) Estabeleça a equação de cada uma das parábolas a seguir, sabendo que: 
 
a. É simétrica em relação ao eixo 𝒚, tem vértice 𝑽 = (𝟎, 𝟎) e contém o 
ponto 𝑷 = (𝟐, −𝟑); 
 
A equação da parábola é dada por 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, com 𝑎 ≠ 0. 
Sabemos que as coordenadas do vértice dessa parábola são 𝑉 = (−
𝑏
2𝑎
, −
∆
4𝑎
). Então, 
−
𝑏
2𝑎
= 0 → 𝑏 = 0 
 
−
∆
4𝑎
= 0 → ∆ = 0 
 
Como ∆ = 0, temos duas raízes reais e iguais: 
𝑥1 = 𝑥2 = 0 
O termo independente da parábola é igual a 0, pois a parábola não toca o eixo 𝑦. 
Vamos agora, descobrir o valor do coeficiente dominante. Sabemos que o ponto 𝑃 =
(2, −3) pertence à parábola 𝑦 = 𝑎𝑥2, logo 
 
−3 = 𝑎 ∗ 22 
−3 = 4𝑎 
𝑎 = −
3
4
 
 
A equação da parábola é dada por 𝑦 = −
3
4
𝑥2. 
 
 
b. tem vértice em 𝑽 = (−𝟐, 𝟑) e foco em 𝑭 = (−𝟐, 𝟏); 
 
Como 𝑉 = (−2,3) e 𝐹 = (−2,1), a reta focal é 𝑙: 𝑥 = −2 e, nessa reta 𝐹 está abaixo de 
𝑉 e, portanto, abaixo da diretriz 𝑟. Logo, a equação da parábola é da forma 
𝜌: (𝑥 + 2)2 = −4𝑝(𝑦 − 3) 
Temos que a 𝑝 = 𝑑(𝑉, 𝐹) = 𝑑((−2,3), (−2,1)) = 2. 
Logo, a diretriz é 𝑟: 𝑦 = 5 e 
𝜌: (𝑥 + 2)2 = −8(𝑦 − 3) 
é a equação da parábola. 
 
 
 
 
 
 
c. tem foco em 𝑭 = (𝟑, −𝟏) e diretriz 𝒙 =
𝟏
𝟐
 
 
Como 𝐹 = (3, −1) e a reta diretriz 𝑟: 𝑥 =
1
2
, a reta focal é 𝑙: 𝑦 = −1 e, nessa reta 𝐹 está 
à direita de 𝑉 e, portanto, a direita da diretriz 𝑟. Logo, a equação da parábola é da forma 
𝜌: (𝑦 − 𝑦𝑜)
2 = 4𝑝(𝑥 − 𝑥𝑜) 
O ponto 𝐷 = (
1
2
, −1) pertence à reta 𝑥 =
1
2
. 
O vértice da parábola 𝑉 = (𝑥𝑉 , −1) é o ponto médio entre os pontos 𝐷 = (
1
2
, −1) e 𝐹 =
(3, −1) 
𝑥𝑉 =
1
2 + 3
2
=
7
4
= 1,75 
Então, 𝑉 = (1,75, −1). 
Logo, o valor de 𝑝 = 3 − 1,75 = 1,25 e 
 
𝜌: (𝑦 + 1)2 = 5(𝑥 − 1,75) 
 
é a equação da parábola. 
 
 
 
2) Estabeleça a equação de cada uma das elipses a seguir, sabendo que: 
 
a. seu eixo maior mede 10 unidades de medida e os focos são 𝑭𝟏 =
(−𝟒, 𝟎) e 𝑭𝟐 = (𝟒, 𝟎). 
 
A elipse 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 
𝑎 ≥ 𝑏 > 0 
 
Tem focos (±𝑐, 0), onde 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2, e vértices (±𝑎, 0). 
De acordo com a definição acima, temos que 𝑐 = 4 e 𝑎 = 5. Então, obtemos 
𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 = 25 − 16 = 9 
Logo, uma equação para elipse é 
𝑥2
25
+
𝑦2
9
= 1 
 
b. tem centro 𝑪 = (𝟐, 𝟒), um foco em 𝑭 = (𝟓, 𝟒) e tem excentricidade 𝒆 =
𝟑
𝟒
. 
A excentricidade de uma elipse é um número real positivo (𝑒 > 0) que é definida como 
o quociente entre a metade da distância focal e a metade da medida do eixo maior da 
elipse. Ou seja: 
𝑒 =
𝑐
𝑎
 
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
3
4
 
Temos 𝑐 = 3 e 𝑎 = 4 
𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 = 16 − 9 = 7 
Como 𝑎 > 𝑏, uma equação para a elipse é 
 
(𝑥 − 2)2
16
+
(𝑦 − 4)2
7
= 1 
 
 
3) Estabeleça a equação de cada uma das hipérboles a seguir, sabendo que: 
 
a. tem assíntotas de equações 𝒚 = 𝟐𝒙 e 𝒚 = −𝟐𝒙 e vértices em 𝑽𝟏 =
(−𝟑, 𝟎) e 𝑽𝟐 = (𝟑, 𝟎); 
 
O eixo maior é o segmento que une os vértices (−3, 0) e (3, 0) e tem comprimento 6; 
assim 𝑎 = 3. 
Os focos da hipérbole estão no eixo 𝑥, então possui assíntotas 𝑦 = ± (
𝑏
𝑎
) 𝑥 
𝑦 = ±2𝑥 = ±
𝑏
𝑎
 
2 =
𝑏
𝑎
 
Sabemos que o valor de 𝑎 = 3, logo o valor de 𝑏 = 6. 
Além disso, 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 = 9 + 36 = 45, portanto 𝑐 = 3√5, e os focos são (±3√5, 0). 
A equação da hipérbole é 
𝑥2
9
−
𝑦2
36
= 1 
 
b. tem focos em 𝑭𝟏 = (𝟑, −𝟐) e 𝑭𝟐 = (𝟑, 𝟒) e excentricidade 𝒆 = 𝟐. 
 
A excentricidade de uma hipérbole é um número real positivo (𝑒 > 0) que é definida por: 
𝑒 =
𝑐
𝑎
= 2 → 𝑐 = 2𝑎 (I) 
Os focos da hipérbole estão no eixo 𝑦, então obtemos a forma canônica da equação da 
hipérbole com centro no ponto 𝐶 = (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜) 
 
(𝑦 − 𝑦𝑜)
2
𝑎2
−
(𝑥 − 𝑥𝑜)
2
𝑏2
= 1 
Onde 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 (II) 
O ponto 𝐶 = (3,1) é ponto médio entre 𝐹1 = (3, −2) e 𝐹2 = (3,4). 
A distância entre os focos é 𝑑((3, −2), (3,4)) = 6, logo 𝑐 =
6
2
= 3. 
Se 𝑐 = 3, substituindo em (I) encontramos que 𝑎 =
3
2
. 
Substituindo os valores de 𝑎 e 𝑐 em (II) encontramos o valor de 𝑏: 
𝑏2 = 9 −
9
4
=
27
4
 → 𝑏 =
√27
2
 
 
A equação da hipérbole é 
(𝑦 − 1)2
9
4
−
(𝑥 − 3)2
27
4
= 1 
 
4) Classifique, dê todos os elementos, escreva a equação reduzida e faça o 
gráfico de cada uma das curvas com as equações dadas a seguir. 
 
a. 𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟗𝒚𝟐 − 𝟗𝟔𝒙 + 𝟕𝟐𝒚 + 𝟏𝟒𝟒 = 𝟎 
 
Completando o quadrado, obtemos 
16(𝑥2 − 6𝑥) + 9(𝑦2 + 8𝑦) = −144 
16(𝑥2 − 6𝑥 + 9) + 9(𝑦2 + 8𝑦 + 16) = −144 + 144 + 144 
16(𝑥 − 3)2 + 9(𝑦 + 4)2 = 144 
(𝑥 − 3)2
9
+
(𝑦 + 4)2
16
= 1 
 
Logo, a equação representa uma elipse com 
 
• 𝑎 = 4, 𝑏 = 3 e 𝑐 = √16 − 9 = √7 
• centro: 𝐶 = (3, −4) 
• reta focal: 𝑙: 𝑥 = 3, paralela ao eixo 𝑂𝑌 
• reta não-focal: 𝑙′: 𝑦 = −4, paralela ao 
eixo 𝑂𝑋 
• vértices sobre a reta focal: 
𝐴1 = (3, −8) e 𝐴2 = (3,0) 
• vértices sobre a reta não-focal: 
𝐵1 = (0, −4) e 𝐵2 = (6, −4) 
• focos: 𝐹1 = (3, −4 − √7) e 
𝐹2 = (3, −4 + √7). 
 
 
b. 𝒚𝟐 − 𝟏𝟔𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝟗 = 𝟎 
 
Completando o quadrado, obtemos 
𝑦2 + 2𝑦 − 16𝑥 = −49 
(𝑦 + 1)2 − 16𝑥 = −49 + 1 
(𝑦 + 1)2 = 16𝑥 − 48 
(𝑦 + 1)2 = 16(𝑥 − 3) 
 
Que representa uma parábola com: 
• vértice: 𝑉 = (3, −1) 
• reta focal: 𝑙: 𝑦 = −1, paralela ao eixo 𝑂𝑋 
• parâmetro: 𝑝 = 4 
• foco: 𝐹 = (7, −1), à direita da diretriz 𝑟 
• diretriz: 𝑟: 𝑥 = −1 
 
 
 
 
 
c. 𝟒𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 − 𝟑𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟐𝟒 = 𝟎 
 
Completando quadrado, obtemos 
4𝑥2 − 32𝑥 + 64 − (𝑦2 − 4𝑦 + 4) = −24 + 64 − 4 
4(𝑥 − 4)2 − (𝑦 − 2)2 = 36 
(𝑥 − 4)2
9
−
(𝑦 − 2)2
36
= 1 
 
Logo, a equação representa uma hipérbole com: 
• 𝑎 = 3, 𝑏 = 6 e 𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √9 + 36 = √45 = 3√5 
• 𝐶 = (4,2) 
• Reta focal: 𝑙: 𝑦 = 2, paralela ao eixo 𝑂𝑋 
• Reta não focal: 𝑙: 𝑥 = 4, paralela ao eixo 𝑂𝑌 
• Vértices: 𝐴1 = (1,2) e 𝐴2 = (7,2) 
• Vértices imaginários (na reta não focal): 𝐵1 = (4, −4) e 𝐵2 = (4,8) 
• Focos: 𝐹1 = (4 − 3√5, 2) e 𝐹2 = (4 + 3√5, 2) 
• Assíntotas: 6(𝑥 − 4) − 3(𝑦 − 2) = 0 e 6(𝑥 − 4) + 3(𝑦 − 2) = 0. 
 
 
 
5) Uma ponte suspensa de 400 m de comprimento é sustentada por um cabo 
principal parabólico. 
 
 
O cabo principal está 100 m acima da ponte nos extremos e 4 m acima da ponte 
em seu centro. Calcule o comprimento dos cabos de sustentação que são 
colocados a intervalos de 50 m ao longo da ponte. (Sugestão: Utilize o sistema de 
coordenadas retangulares em que a ponte é o eixo x e a origem está no meio da 
ponte). 
 
O vértice da parábola é dado por 𝑉 = (0,4) 
Sabendo que a ponte possui 400 𝑚 e a origem está no meio da ponte pelo sistema de 
coordenadas acima, cada extremo está a 200 𝑚 da origem e o cabo principal está 100 𝑚 
acima da ponte nos extremos. Temos os pontos 𝐸1 = (−200, 100) e 𝐸2 = (200, 100) 
que pertencem à parábola. 
A equação da parábola é dada por 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
Substituindo 𝑉 = (0,4) na equação da parábola 
4 = 𝑎(0)2 + 𝑏(0) + 𝑐 → 𝑐 = 4 
Substituindo 𝐸1 = (−200,100) na equação da parábola 
100 = 𝑎(−200)2 + 𝑏(−200) + 4 
96 = 40 000𝑎 − 200𝑏 (I) 
Substituindo 𝐸2 = (200,100) na equação da parábola 
100 = 𝑎(200)2 + 𝑏(200) + 4 
96 = 40 000𝑎 + 200𝑏 (II) 
Somando (I) e (II) 
2 . 96 = 2 . 40 000𝑎 
𝑎 =
96
40 000
=
3
1250
 
 
Substituindo o valor de a em (II) 
96 = 40 000 .
96
40 000
+ 200𝑏 → 𝑏 = 0 
Então, a equação da parábola é dada por 
𝑦 =
3
1250
𝑥2 + 4