Lista 1_ Cinemática Relativística

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Lista de Cinemática Relativística 
 
 
Prof. Thunder 
 
1 
USE: 
g=10m/s2 
K0=9.109Nm2/C2 
c=3.108m/s 
vsom=300m/s 
 
01. Uma régua cujo comprimento é de 50cm está se movendo 
paralelamente à sua maior dimensão com velocidade 0,6c em relação 
a certo observador. Sobre isso, é correto afirmar que o comprimento 
da régua, em centímetros, para esse observador vale 
a) 35 
b) 40 
c) 62,5 
d) 50 
e) 100 
 
02. (ITA 2013) Considere as seguintes relações fundamentais da 
dinâmica relativística de uma partícula: a massa relativística 
0m m ,= γ o momentum relativístico 0p m v= γ e a energia relativística 
2
0E m c ,= γ em que 0m é a massa de repouso da partícula e 
2 21 1 v cγ = − é o fator de Lorentz. Demonstre que 
( )
2
2 2 2 2
0E p c m c− = e, com base nessa relação, discuta a afirmação: 
“Toda partícula com massa de repouso nula viaja com a velocidade 
da luz c”. 
 
03. Considere que, no ano de 2085, um trem expresso passa por uma 
estação à velocidade de 0,2c, em que c é a velocidade da luz. 
Um observador A está dentro desse trem, em um vagão que mede 
30m de comprimento. Quando o trem está passando pela estação, 
este observador liga um Iaser situado no fundo do vagão. Esse laser 
emite um pulso de luz, que é refletido por um espelho posicionado na 
frente do vagão, retorna e atinge um detector situado junto ao laser. 
a) No referencial de A, calcule o intervalo de tempo entre o pulso sair 
do laser e atingir o detector. 
b) Enquanto isso, um observador B, parado na estação, vê o trem 
passar. 
Considerando essa informação, responda: qual é a velocidade do 
pulso de luz do laser medida no referencial de B? Justifique sua 
resposta. 
 
04. No interior de um veículo espacial, encontramos dois capacitores 
isolados de placas finas planas paralelas, com capacitância C1 = 10F, 
C2 = 30F e cargas Q1 = 1C, Q2 = 3C, respectivamente. A distância 
entre as placas para cada um dos capacitores é d = 1mm. Após o 
lançamento, esse veículo apresenta um vetor velocidade constante 
de módulo 36.000km/h e de direção paralela ao vetor distância d
�
 
entre as placas. Sabendo que as placas planas paralelas dos 
capacitores são perpendiculares ao vetor velocidade, determine: 
a) a capacitância total do sistema antes do lançamento, quando se 
associam os capacitores em paralelo; 
b) a tensão entre as placas do capacitor com carga Q1 antes do 
lançamento; 
c) a capacitância C2, após o lançamento, para um observador fixo na 
terra; 
d) a velocidade do foguete para que a capacitância de C1 aumente 
em 2%. 
 
05. A Relatividade Especial é uma teoria muito bem consolidada 
experimentalmente, inclusive tendo aplicações dela no cotidiano. Um 
exemplo bastante expressivo é o aparelho de navegação GPS, o qual 
está baseado na Relatividade Especial, e é construído com a 
finalidade de proporcionar orientação espacial com precisão. 
Com base nos conceitos da Relatividade Especial, identifique as 
afirmativas corretas: 
( ) A velocidade da luz no vácuo é a mesma em todas as direções 
e em todos os referenciais inerciais e não depende do movimento da 
fonte ou do observador. 
( ) As leis da Física dependem do referencial inercial escolhido. 
( ) Dois observadores em movimento relativo não concordam, em 
geral, quanto à simultaneidade entre dois eventos. 
( ) O tempo próprio é o intervalo de tempo entre dois eventos que 
ocorrem no mesmo ponto em um determinado referencial inercial, 
medido nesse referencial. 
( ) O comprimento próprio de um objeto é aquele medido em um 
referencial no qual ele está em repouso. 
 
06. De acordo com a Teoria da Relatividade quando objetos se 
movem através do espaço-tempo com velocidades da ordem da 
velocidade da luz, as medidas de espaço e tempo sofrem alterações. 
A expressão da contração espacial é dada por ( )
1
2 2 2
oL L 1 v / c= − , 
onde v é a velocidade relativa entre o objeto observado e o 
observador, c é a velocidade de propagação da luz no vácuo, L é o 
comprimento medido para o objeto em movimento, e L0 é o 
comprimento medido para o objeto em repouso. 
A distância Sol-Terra para um observador fixo na Terra é 
L0=1,5.1011m. Para um nêutron com velocidade v = 0,6c, essa 
distância é de: 
a) 101,2 10 m.× b) 107,5 10 m.× 
c) 111,0 10 m.× d) 111,2 10 m.× 
e) 111,5 10 m.× 
 
07. Qual das afirmações a seguir é correta para a teoria da 
relatividade de Einstein? 
a) No vácuo, a velocidade da luz depende do movimento da fonte de 
luz e tem igual valor em todas as direções. 
b) Elétrons são expulsos de uma superfície quando ocorre a 
incidência de uma radiação eletromagnética (luz). 
c) Em determinados fenômenos, a luz apresenta natureza de partícula 
e, em outros, natureza ondulatória. 
d) Na natureza, não podem ocorrer interações de velocidades 
superiores à velocidade da luz c. 
 
08. Os cientistas do mundo todo se uniram para construir o maior 
acelerador de partículas do mundo, o Grande Colisor de Hádrons 
(Large Hadron Collider). Supondo que dois prótons provenientes 
deste acelerador de partículas se aproximem frontalmente, cada um 
com velocidade 0,9c, onde c é a velocidade da luz no vácuo, encontre 
o módulo da velocidade relativa de aproximação dos dois prótons. 
 
09. Um astronauta é colocado a bordo de uma espaçonave e enviado 
para uma estação espacial a uma velocidade constante v 0,8 c= , 
onde c é a velocidade da luz no vácuo. No referencial da espaçonave, 
o tempo transcorrido entre o lançamento e a chegada na estação 
espacial foi de 12 meses. Qual o tempo transcorrido no referencial da 
Terra, em meses? 
 
 2
 
10. A posição de um ponto material que está em repouso em relação 
ao sistema de referência S se determina pelas coordenadas x=400m, 
y=25m, z=12m. No instante t=0 as origens dos sistemas de 
coordenadas dos sistemas S e S´coincidem. Determine a velocidade 
do sistema de referência inercial S´, se quando t=50s a posição do 
ponto material em relação a S´ é dada pelas coordenadas x´=150m, 
y´=25m, z´=12m. 
 
11. Um sistema de referência inercial S´se encontra em movimento 
em relação ao sistema S, adotado como imóvil, com velocidade 
v=0,8c. Admitindo que em t=0 as origens dos sistemas de referência 
são coincidentes, determine as coordenadas de um evento medido 
em S´ no instante t=5s, sendo que para o sistema S as coordenadas 
medidas para o mesmo evento são: x=3.108m, y=z=0. Determine 
também o instante em que se produz o evento em S´. 
 
12. A que velocidade deve se mover uma barra rígida dirigida ao longo 
de sua longitude, para que a mesma experimente uma redução de 
20% em relação a um observador imóvel? 
 
13. Uma nave espacial sai da Terra com velocidade v=0,8c, e se move 
em direção à estrela XYZ que se encontra a 20 anos-luz da Terra. 
a) Determine o tempo de viagem da nave espacial medido por um 
observador fixo na Terra. 
b) Calcule a distância percorrida e o tempo decorrido durante a 
viagem para um tripulante da nave espacial. 
 
14. Admita dois gêmeos A e B de 20 anos de idade. O gêmeo B faz 
uma viagem à estrela LZC com velocidade v=(12/13)c. De acordo com 
um observador fixo na Terra, a estrela LZC se encontra a 39 anos-luz 
de distância. Determine: 
a) As idades de A e B quando terminar a viagem de B à referida 
estrela. 
b) Em que consiste esse paradoxo. 
 
15. Duas partículas se movem de forma uniforme e retilínea, em 
trajetórias paralelas e no mesmo sentido, com uma mesma 
velocidade v=0,6c em relação à Terra. A primeira partícula mede o 
tempo decorrido entre dois eventos sucessivos em t=8h. Determine o 
intervalo de tempo medido entre os eventos sucessivos: 
a) Para a segunda partícula. 
b) Para um observador fixo na Terra. 
 
16. Dois mésons apresentam velocidades v1=0,8c e v2=0,6c. 
Determine a velocidade do méson 1 em relação ao méson 2, se 
ambos se movem: 
a) Na mesma direção: 1 à frente de 2. 
b) Na mesma direção: sentidos opostos. 
c) Em direções perpendiculares. 
 
17. Considere um neutrino que viajacom velocidade da luz (v1=c). Um 
observador se move em direção ao neutrino com velocidade v2=v. 
Determine a velocidade do neutrino em relação ao observador em 
movimento. 
 
18. Um sistema de referência inercial S´se move com velocidade 
vx=0,8c em relação à outro referencial fixo S. Se um observador fixo 
em S´detecta o movimento de um objeto paralelo ao eixo X com 
velocidade v´x=0,5c, determine a velocidade deste objeto para um 
observador fixo em S. 
 
19. Duas réguas A e B de longitude L=1m se movem com velocidade 
iguais a v=0,6c numa mesma direção, em sentidos opostos. 
Determine a longitude da régua A, medida por um observador que 
viaja fixo na régua B. 
 
20. Dois eventos ocorrem no mesmo ponto x0´do referencial S´ nos 
instantes t1´ e t2´. Mostre que, no referencial S, o intervalo de tempo 
decorrido entre os eventos é igual a γ.(t2´-t1´). 
 
21. Considere que um evento ocorra no referencial inercial S no ponto 
de coordenadas x=75m, y=18m, z=4m e t=2.10-5s. O referencial S´ se 
move no sentido positivo do eixo x com uma velocidade v=0,85c. As 
origens de S e S´ coincidem em t=t´=0. 
a) Determine as coordenadas do evento em S´. 
b) Use a transformação inversa dos resultados do item (a) para obter 
as coordenadas originais. 
 
22. Considere duas naves espaciais que estão em rota de colisão. 
a) Se a velocidade das naves espaciais é v=0,9c em relação à Terra, 
determine a velocidade de uma em relação à outra. 
b) Se a velocidade das naves espaciais é dez vezes maior que a 
velocidade do som no vácuo (vsom), determine a velocidade de uma 
em relação à outra. Compare o resultado com o obtido no item (a). 
 
23. Considere um relógio em repouso no referencial do laboratório. 
Um foguete se move com velocidade v=0,8c em relação ao 
laboratório. Um intervalo de tempo de 10s medido pelo relógio do 
foguete corresponde a um intervalo de quantos segundos pelo relógio 
do laboratório? Por quê? 
 
24. Admita que um raio luminoso se propaga ao longo do eixo y´ com 
velocidade c no referencial S´, que se move para a direita com 
velocidade v em relação ao referencial S. 
a) Determine os valores das componentes x e y da velocidade do raio 
luminoso no referencial S. 
b) Mostre que o módulo da velocidade do raio luminoso no referencial 
S é igual a c. 
 
25. Uma partícula está se movendo com velocidade 0,9c ao longo do 
eixo x´´ do referencial S´´, que se move com velocidade 0,9c no 
sentido positivo do eixo x´ do referencial S´. O referencial S´ se move 
com velocidade 0,9c no sentido positivo do eixo x do referencial S. 
a) Determine a velocidade da partícula em relação ao referencial S´. 
b) Determine a velocidade da partícula em relação ao referencial S. 
 
26. Qual deve ser a velocidade relativa de dois observadores para 
que a diferença entre suas medidas de intervalos de tempo seja de 
1%? 
 
27) Uma régua de um metro está se movendo paralelamente a sua 
maior dimensão com uma velocidade v=0,6c em relação ao 
referencial S. 
a) Determine o comprimento da régua medido por um observador fixo 
em S. 
b) Quanto tempo a régua leva para passar pelo observador? 
 
28. O tempo de vida próprio de um méson π é 2,6.10-8s. Se um feixe 
dessas partículas se movem com velocidade 0,9c; 
a) Qual a vida média de um méson π no referencial do laboratório? 
b) Qual a distância percorrida, em média, por um méson π antes de 
se desintegrar? 
c) Qual seria a resposta do item (b) se a dilatação dos tempos fosse 
desprezada? 
 
29. Duas espaçonaves viajam numa mesma direção, e passam uma 
pela outra viajando em sentidos opostos. Para um tripulante da nave 
A, a nave A tem 100m de comprimento e a nave B, que se move com 
velocidade 0,92c em relação a A, tem 36m de comprimento. 
Determine o comprimento das duas naves de acordo com um 
tripulante da nave B. 
 
 3
 
30. Uma régua de um metro está em repouso no referencial S´ 
fazendo um ângulo de 30° com o eixo x´(dado ao longo do referencial 
S´). Se S´ se move com uma velocidade v ao longo do eixo x em 
relação a S, sendo que (v/c)=0,8, determine: 
a) O comprimento da régua no referencial S. 
b )O ângulo formado pela régua em relação ao eixo x (dado ao longo 
do referencial S). 
 
31. Ache a velocidade de uma partícula que leva dois anos a mais 
do que a luz para percorrer a distância de 6,0 anos-luz. 
32. A vida média de múons freados num bloco de chumbo, fixo num 
laboratório, é 2,2 m s. A vida média dos múons com grande 
velocidade, numa explosão de raios cósmicos, observada da Terra, é 
16 m s. Ache a velocidade destes múons dos raios cósmicos em 
relação à Terra. 
33. Os píons são criados na alta atmosfera da Terra, quando 
partículas de alta energia, de raios cósmicos, colidem com núcleos 
atômicos. Um píon assim formado desce em direção à Terra com a 
velocidade de 0,99c. Num referencial onde estejam em repouso, os 
píons decaem com a vida média de 26 ns. Num referencial fixo na 
Terra, qual é a distância percorrida (em média) pelos píons na 
atmosfera, antes de decaírem? 
34. Desejamos fazer uma viagem de ida e volta, viajando numa 
espaçonave com velocidade constante e em linha reta, durante seis 
meses, e, então, retornar com a mesma velocidade. Desejamos, além 
disso, ao retornar, encontrar a Terra como ela seria após 1.000 anos 
contados do início da viagem. (a) Com que velocidade devemos 
viajar? (b) Importa, ou não, que a viagem se faça em linha reta? Se, 
por exemplo, viajássemos em círculo durante um ano, ainda assim, 
ao retornarmos, teriam decorridos 1.000 anos pelos relógios da 
Terra? 
35. Uma barra mantém-se paralela ao eixo x de um referencial S, 
movendo-se ao longo deste eixo com velocidade 0,630c. O seu 
comprimento de repouso é 1,70 m. Qual será seu comprimento 
medido em S. 
36. Um elétron com v/c = 0,999 987 move-se ao longo do eixo de um 
tubo no qual se fez um vácuo, e que tem o comprimento de 3,00 m 
medido por um observador S no laboratório, em relação ao qual o 
tubo está em repouso. Um observador S', que se move com o elétron, 
veria o tubo passando por ele com uma velocidade escalar v. Que 
comprimento este observador mediria para o tubo? 
37. Uma nave espacial, com um comprimento de repouso de 130 m, 
passa por uma estação de observação com a velocidade de 0,740c. 
(a) Qual é o comprimento da nave medido pela estação? (b) Qual é o 
intervalo de tempo registrado pelo monitor da estação entre a 
passagem da parte dianteira e a da parte traseira da nave? 
38. Um astronauta parte da Terra com destino à estrela Vega, distante 
26 anos-luz, deslocando-se com a velocidade de 0,99c. Qual o tempo 
decorrido medido pelos relógios da Terra? (a) quando o astronauta 
chega a Vega? e (b) quando os observadores, na Terra, recebem o 
aviso de sua chegada à Vega? (c) Quantos anos mais velho os 
observadores na Terra julgam que o viajante estará ao chegar a 
Vega?