Irodov - Problemas de Física Geral 93975

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1
Problemas 
de Física 
Geralí
Igor Evguienievitch Irodov
~0 TABELA DOS tLtffltN l us
Grupos de
VIVIIIII
I 1
BLi
II 2
III 3
Ti
4
IV
5
Y
6
V
Cd
7
8
ID
VI TI
9
VII 10
Nd 60 
Neodímio 
144.24
Np 93 
Netúnio 
[237]
Pm 61 
Promécio 
[145]
Sm 62 
Samário 
150.35
Am 95 
Americio 
[243]
Th 90
Tório 
232.038
Ce 58 
Cério 
140.12
Pr 59 
Praseodimio 
140.907
Pu 94 
Plutônio 
[244]
Eu 63 
Európio 
151.96
.81
o
5 o>
"ACTINlDIOS
Cm 96 
Cúrio
[247]
39 
Itrio 
88.906
49 In 
Indio 
114.82
La 57 FT 
Lantânio 2 
138.91 
81 
Tálio 
______ 204.37 
Ac 89 
Actinidios 
[227]
Pa 91 
Protactinio 
231.0359
•LANTANlDIOS 
Gd 64 
Gadolínio 
151.96
Be 4 
Berilio 
9.0122 
Mg 12 
Magnésio 
24.305 
Ca 20 
Cálcio 
40.08______
30 Zn 
Zinco 
______ 65.38 
Sr 38 
Estrôncio 
87.62 
48 
Cádmio 
112.40 
Ba 56 
Bário 
137.34
80 Hg 
Mercúrio 
200.59 , 
Ra 88
Rádio 
226.0254
U 92
Urânio
238.03
3
Litio 
6.94_______
Na 11
Sódio 
22.9898 
K 19 
Potássio 
39.098 
29 Cu
Cobre 
63.546 
Rb 37 
Rubídio 
85.47______
47 Ag
Prata 
107.868
Cs 55
Césio 
132.905 
79 Au 
Ouro 
196.967
Fr 87
Frâncio 
[223]
5 
Boro 
______10.811 
13 Al 
Alumínio 
26.9815 
Sc 21 
Escândio
44.956______
31 Ga
Gálio 
69.72
7 N
Nitrogênio 
14.0067 
15 P
Fósforo 
30.9376
V 23
Vanádio 
50.942 
14 As
Arsênico 
74.9216 
Nb 41
Nióbio 
92.906
51 Sb
Antimônio 
121.75 
Ta 73
Tântalo 
180.948
83 Bi
Bismuto 
208.980 
105
6 C 
Carbono 
12.01115 
14 Si 
Silício 
28.086 
22 
Titânio 
47.90_______
32 Ge 
Germânio 
72,59
Zr 40 
Zircônio 
91.22 
50 Sn 
Estanho 
118.69 
Hf 72 
Háfnio 
178.49 
82 Pb 
Chumbo 
207.19 
Ku 104 
Rutherfórdio 
[261]
PERIÓDICOS DE MENDELEEVS
Elementos
VI VIII
F
At
Cf 98 
Califómio 
[251]
Es 99 
Einstênio
[254]____
Ho 67 
Hôlmio 
164.930
Rh 45
Ródio 
102.905
Pt 78
Platina
196.09
Yb 70
Itérbio 
173.04
Lr 103 
Laurêncio 
[256]
DES 
Bk 97 
Berquélio 
[247]
Dy 66 
Disprósio 
162.50
Fe 26
Ferro
55.847
Ru 44
Rutênio
101.07
Fm 100 
Fêrmio 
[257]
Co 27
Cobalto
58.9332
Md 101 
Mendelévio 
[258]
Tm 69
Túlio 
168.934
Ni 28
Níquel
58.71
Pd 46
Paládio
106.4
(No)102
Nobélio 
[255]
Kr 36
Criptõnio
83.80
Xe 54
Xenônio
131.30
Rn 86
Radônio 
[222]
DES
Tb 65
Térbio
158.925
Er 68 
Érbio 
167.26
Lu 71
Lutécio 
174.97
Os 76
Ôsmio
190,2
VII 
H 1 
Hidrogênio 
1.00797 
9 
Flúor 
18.9984
17 Cl
Cloro 
35.453 
Mn 25 
Manganês 
54.9380
35 Br
Bromo 
79.904 
Tc 43 
Tecnécio 
[99]
He 2
Hélio 
4.00260 
Ne 10
Neônio 
20.179 
Ar 18
Argõnio 
39.948
8 O 
Oxigênio 
15.9994
16 S 
Enxofre 
32.064 
Cr 24 
Crômio 
51.996
34 Se 
Selênio 
78.96 
Mo 42
Molibdênio 
95.94______
52 Te
Telúrio
127.60 
W 74 
Tungstênio 
183.85
84 Po 
Polônio
[209]
53 I 
lodo 
126.9045
Re 75 
Rênio 
186.2 
85
Astato 
[210]
Ir 77
Iridio
192.2
Prefácio
As principais tabelas e ccnstantes de Fisica sãc apresentadas no final do
livro.
I. E. Irodov
Em conclusão, o autor deseja expressar sua profunda gratidão aos colegas 
do MlPhl e aos leitores que enviaram suas notas em relação a alguns problemas, 
ajudando, portanto, a melhorar o livro.
Todas as fórmulas e respostas no texto estão no Sistema Internacional de 
Unidades, exceto na Sexta Parte, onde o sistema de Gauss é utilizado. Dados 
quantitativos e respostas são apresentados de acordo com as regras de 
aproximação e precisão numérica.
Para a conveniência dos estudantes, cada capitulo inicia com um resumo 
rápido das principais fórmulas da área de Física estudada. Como regra geral, as 
fórmulas são apresentadas sem explicações detalhadas, uma vez que supõe-se 
que o estudante, ao começar a resolver um problema, já saiba o significado dos 
parâmetros que aparecem nas fórmulas. Notas explicativas são fornecidas 
somente naqueles casos onde possa haver mais dificuldade.
A Tabela Periódica dos Elementos está impressa no verso da primeira 
página e a Tabela das Partículas Elementares na última página do livro.
O livro contém cerca de 1900 problemas, com dicas de resolução daqueles 
mais complicados.
Este livro de problemas é dirigido como um livro texto a estudantes em 
Instituições de ensino superior em cursos Avançados de Física.
Apesar disso, devido ao grande número de problemas simples, ele pode ser 
utilizado por estudantes de cursos de Fisica geral.
Na presente edição, alguns erros de impressão estão corrigidos, e uma 
quantidade de problemas foi substituída por outros novos, ou os dados 
quantitativos estão mudados ou refinados (1.273, 1.361, 2.189, 3.249, 3.97, 4.194 
e 5.78).
Fortaleza, 04 de março de 2014
No Brasil, carinhosamente cunhado de "Irodov", esse livro é amplamente cultuado 
entre professores e estudantes do segmento de preparação para vestibulares IME ITA 
e Olimpíadas, tendo tornado-se, compreensivelmente, um mito editorial, em virtude de 
seu excepcional conteúdo.
A Editora VestSeller assume, honrada e cônscia da grande responsabilidade, a missão 
de difundir e divulgar os livros russos entre os professores e estudantes brasileiros 
Precisamente por isso, é com muito orgulho e satisfação que se publica a primeira 
edição da presente obra em língua portuguesa, a fim de eliminar os obstáculos do 
idioma estrangeiro, restando ao leitor apenas a prévia prazerosa missão de dominar 
todos os rudimentos da Física Teórica e o ferramental matemático requeridos para a 
plena assimilação maravilhosa obra, introduzida no Brasil graças à obstinação da 
Editora Vestseller em disseminar o "estado-da-arte" da Física mundial.
Prof. Renato Brito
Editor / Diretoria VestSeller
Apresentação da 1- Edição em Língua 
Portuguesa
A presente obra é considerada uma das que contempla questões mais complexas e 
desafiantes dentre todos os livros de Física no mundo todo, exigindo do estudante 
uma ampla base conceituai. É mundialmente indicada tanto para a preparação para a 
Olimpíada Mundial de Física (IPHO), quanto para o exames de admissão do IIT-JEE 
(Exame de admissão do Instituto Indiano de Tecnologia), considerado um dos 
vestibulares mais difíceis do mundo.
Sobre o Autor
Igor Yevgenyevich Irodov (16/11/1923 - 22/10/2002)
Igor Yevgenyevich Irodov foi um físico russo mundialmente conhecido pela presente 
obra - Problemas em Física Geral - de alto prestigio e recomendada nos cinco 
continentes para estudantes em preparação para a IPHO (Olimpíada Internacional de 
Física). Também são de sua autoria os livros Leis básicas do eletromagnetismo e 
Leis fundamentais da mecânica.
Nascido em 1923, em Muron, em 1931 sua família emigra para Moscou.
Serviu o exercito russo durante a segunda guerra mundial entre 16 de outubro de 1941 
e 23 de novembro de 1945. Em 1946, foi admitido no Instituto Nacional de Pesquisa 
Nuclear e, em 1954, recebeu seu grau de ciência (primeira pós-graduação grau 
cientifico na Rússia) do Instituto de Engenharia Fisica de Moscou, tendo como 
orientador, Lev Artsimovich. Tornou-se membro da Instituto de Engenharia Física de 
Moscou, desde então, até sua morte. Desde 1977, atuou como professor da cadeira 
de Física Geral, tendo dedicado 26 anos de sua vida à criação e implantação do curso 
completo de Fisica Geral.
índice
Prefácio .5
Pequenas Dicas para Resolver os Problemas. 11
Notação 12
Primeira Parte: Fundamentos Físicos da Mecânica
1.8.
Segunda Parte: Termodinâmica e Física Molecular
Terceira Parte: Eletrodinâmica
Quarta Parte: Oscilações e Ondas
Quinta Parte: Ótica
202
212
218
Fotometria e Ótica Geométrica 
Interferência da Luz .........
Difração da Luz ............
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
5.1.
5.2.
5.3.
Campo eletrostático no Vácuo
Condutores e Dielétricos num Campo Elétrico
Capacitância Elétrica. Energia de um Campo Elétrico
Corrente Elétrica
Campo Magnético estático. Magnetismo
Indução Eletromagnética Equações de Maxwell 
Movimento de Partículas Carregadas em Campos Elétricos e Magnéticos.
Oscilações Mecânicas
Oscilações Elétricas
Ondas Elásticas. Acústica
Ondas Eletromagnéticas. Radiação 
108
114
121
127
139
150
163
..77
..80
..84
..90
..96..99
103
169
183
190
196
13 
22 
.31
45 
.49 
.60 
.64 
69
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3 7.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2 6.
2.7.
1.1.
1.2.
1.3.
1.5.
1.6.
Equação de Estado de um Gás. Processos
Primeira lei da Termodinâmica. Capacidade Térmica 
Teoria Cinética dos Gases. Lei de Boltzmann e Distribuição de Maxwell.
Segunda Lei da Termodinâmica. Entropia
Líquidos. Efeitos Capilares
Transformações de Fase
Fenômenos de Transporte
Cinemática 
Equação Fundamental da Dinâmica 
Leis de Conservação de Energia, Momento e Momento Angular 
Gravitação Universal 
Dinâmica do Corpo Rígido 
Deformações Elásticas de um Corpo Rigido 
Hidrodinâmica 
Mecânica Relativistica
Sexta Parte: Física Atômica e Nuclear
286Respostas e Soluções
Apêndices
.398 
.399 
.399 
.400 
.400 
402 
.403 
.403 
.404 
.404 
.405 
.405 
.406 
.406 
.406 
.407 
.407 
.408 
.408 
.408 
.409 
.409 
.410
.410 
.413 
.417
.228
.236
.240
.243
.249
.255
.261
.268
.274
.278
283
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6
6.7.
4.
5.
6. Dados Astronômicos....................................................................
7. Densidade de Substâncias......................................................... .
8. Coeficientes de Expansão Térmica..................... ......................
9. Constantes Elásticas. Força Tênsil..............................................
10. Pressão de Vapor Saturado........................................................
11. Constantes de Gases..................................................................
12. Alguns Parâmetros de Líquidos e Sólidos...................................
13. Permissividades...........................................................................
14. Resistividades de Condutores.....................................................
15. Suscetibilidades Magnéticas de Para- e Diamagnéticos............
16. índices de Refração.....................................................................
17. Rotação do Plano de Polarização................................................
18. Função de Trabalho de Vários Metais........................................
19. Borda de Absorção da Banda K..................................................
20. Coeficientes de Absorção de Massa...........................................
21. Potenciais de lonizaçâo dos Átomos..........................................
22. Massa de Átomos Leves..............................................................
23. Valores de Vida Média de Radionuclídeos..................................
24. Unidades de Quantidades Físicas...............................................
25. As Fórmulas Básicas da Eletrodinâmica nos Sistemas SI e Gaussiano
26. Constantes Fundamentais..........................................................
1. Fórmulas Básicas de Trigonometria
2. Alfabeto Grego................................
3. Aproximações..................................
Alguns dados sobre Vetores...........
Derivadas e Integrais.......................
Polarização da Luz............................................
Dispersão e Absorção da Luz..........................
Ótica e Fontes de Movimento..........................
Radiação Térmica. Natureza Quântica da Luz.
Dispersão de Partículas. Átomo de Rutherford-Bohr...................
Propriedades de Onda das Partículas. Equação de Schrõdinger.
Propriedades dos Átomos. Espectro............................................
Moléculas e Cristais.......................................................................
Radioatividade................................................................................
Reações Nucleares........................................................................
Partículas Elementares..................................................................
Pequenas Dicas para Resolver os Problemas
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Tendo obtido a solução na forma literal, veja se ela tem as dimensões corretas. As 
dimensões incorretas são uma óbvia indicação de uma solução errada. Se 
possível, investigue o comportamento da solução em alguns casos especiais 
extremos. Por exemplo, independente do modo de expressar a força gravitacional 
entre dois corpos extensos, ela deve se transformar na bem conhecida lei 
gravitacional de interação entre pontos de massa, quando a distância entre os 
corpos aumenta. Caso contrário, deve-se concluir imediatamente que a solução 
está errada.
Em primeiro lugar, olhe as tabelas no Apêndice, porque muitos problemas não 
podem ser resolvidos sem elas. Além disso, os dados de referência indicados nas 
tabelas deixarão o seu trabalho mais fácil e economizará seu tempo.
Comece o problema reconhecendo o seu significado e sua formulação. Tenha 
certeza de que os dados apresentados são suficientes para resolver o problema. 
Dados que estejam faltando podem ser encontrados nas tabelas do Apêndice. 
Sempre que possível, desenhe um diagrama elucidando a essência do problema; 
em muitos casos isso simplifica a procura pela solução e a própria solução.
Resolva cada problema na forma geral, ou seja, de forma literal, assim o resultado 
procurado será expresso nos mesmos termos dos dados apresentados. Uma 
solução na forma literal é particularmente valiosa uma vez que ela torna claro o 
relacionamento entre o resultado procurado e os dados apresentados. E mais; uma 
resposta obtida na forma literal permite-nos fazer um julgamento bastante acurado 
na própria correção da solução (veja o próximo item)
Tendo obtido a resposta numérica, avalie se ela faz sentido. Em alguns casos, 
essa avaliação pode revelar um erro no resultado obtido. Por exemplo, uma pedra 
não pode ser atirada por um homem a uma distância superior a 1 km; a veiocidade 
de um corpo não pode ultrapassar a da luz no vácuo, etc.
Quando começar os cálculos, lembre-se de que os valores numéricos de 
quantidades físicas são sempre conhecidos de uma maneira aproximada. Portanto, 
nos cálculos, você deve empregar as regras de operação com números 
aproximados. Em particular, ao apresentar os dados quantitativos e respostas, a 
atenção estrita deve ser empregada para as regras de aproximação e precisão 
numérica.
Notação
Vetores Unitários
Vetores são escritos de maneira destacada, na vertical, por exemplo, r. F; as 
mesmas letras impressas em tipo itálico sem destaque (r, F) denotam os módulos de 
um vetor.
i, j, k são os vetores unitários das coordenadas Cartesianas x, y, z (algumas 
vezes, os vetores unitários são denominados como ev, e„, e-),
ep, e^ e; são os vetores unitários das coordenadas cilíndricas p, <p, z. n, t são 
os vetores unitários de uma normal e uma tangente.
Valores médios são mostrados entre parênteses angulares ( ), por exemplo, 
<v>, <P>.
Símbolos A, d e 8 na frente das quantidades denotam:
A, a variação finita de uma quantidade, por exemplo, Ar = r2 - ri, At/ = Uz - Ui,
d, o diferencial (variação infinitesimal), por exemplo, dr, dU,
8, valor elementar de uma quantidade, por exemplo, 8A, trabalho elementar.
Derivada em relação ao tempo de uma função arbitrária f é denotado por djldt, 
ou por um ponto sobre a letra, f.
Vetor operador V ("nabla"). É utilizado para denotar as seguintes operações:
V<p, o gradiente de <p (grad <p).
V ■ E, o divergente de E (div E),
V x E, o rotacional de E (rot E).
Integrais de qualquer multiplicidade são denotados por um único sinal J e 
diferem unicamente pelo elemento integral dV, um elemento de volume. dS, um 
elemento de superfície, e dr, um elemento de linha. O sinal <f> denota uma 
integral sobre uma superfície fechada, ou ao redor de um circuito fechado.
Problemas em Física Geral
PRIMEIRA PARTE
FUNDAMENTOS FÍSICOS DA MECÂNICA
CINEMÁTICA1.1.
(1.1a)
(1.1b)
Aceleração de um ponto expressa em projeções sobre a tangente e a normal a
uma trajetória:
(1.1c)
(1.1d)
(1.1e)
1.1.
1.2.
13
Um móvel atravessou a metade de uma certa distância com velocidade vo. 
A parte restante da distância foi percorrida da seguinte forma: metade do tempo 
com velocidade e a outra metade dotempo com velocidade V2. Determine a 
velocidade média do móvel ao longo do percurso total.
Relação entre quantidades linear e angular para um corpo rigido em rotação:
v = [wr], n„ = ra2R, |n,s| = 0R, (1.1f)
onde f é o raio vetor do ponto considerado em relação a um ponto arbitrário 
num eixo de rotação, e R é a distância a partir do eixo de rotação.
Um barco a motor movendo-se rio abaixo ultrapassou uma balsa no ponto A. 
Após um tempo t = 60 minutos ele voltou e, depois de algum tempo, passou 
pela balsa a uma distância L = 6.0 km do ponto A. Determine a velocidade da 
correnteza, considerando que o motor trabalhe num ritmo constante.
a'° ’ dt ' a" ’ R ' (
onde R é o raio de curvatura da trajetória no ponto considerado. 
Distância percorrida por um ponto:
s = J v dt, 
onde ;> é o módulo do vetor velocidade de um ponto. 
Velocidade angular e aceleração angular de um corpo rígido:
„ dq> n d<p 
dt dt
Vetores velocidade média e aceleração média de um ponto: 
(v) = — , (a> = ^., 
X ' At X ' At
onde Ar é a variação do vetor posição.
Velocidade e aceleração de um ponto:
dr dvv = — , a = — , 
dt dt
Problemas em Física Geral
1.3.
Figura 1.11.0
10 20 t.s
1.5.
1.6.
1.8.
14
s.m
2.0
Um automóvel parte do repouso, em movimento retilíneo, com aceleração 
a = 5,0 m/s2. Num dado momento, segue em movimento retilíneo uniforme e, 
finalmente, desacelera à mesma taxa a, até parar. O tempo total de movimento 
é t = 25 s. A velocidade média durante esse tempo é igual a <i>) = 72 km/h. 
Durante quanto tempo o carro se move com velocidade constante?
Um móvel move-se retilineamente numa certa direção. A Figura 1.1 mostra a 
distância s percorrida pelo móvel, em função do tempo f.
0
Usando o gráfico, calcule:
(a) a velocidade média do móvel durante o tempo de movimento
(b) a velocidade máxima atingida pelo móvel.
(c) o instante to no qual a velocidade instantânea coincide com a velocidade 
média do móvel durante os primeiros to segundos.
Duas partículas 1 e 2 movem-se com velocidades constantes e v2. 
No instante inicial, seus vetores posição são iguais a ri e r2. Qual a relação 
entre esses quatro vetores para as partículas colidirem?
Um navio move-se ao longo do equador para o Leste com velocidade 
i>o = 30 km/h. O vento, que vem do sudeste, sopra com um ângulo <p = 60° em 
relação ao equador, com velocidade n = 15 km/h. Determine a velocidade do 
vento bwnio em relação ao navio e o ângulo <p‘ entre o equador e a direção da 
velocidade do vento, no referencial do navio.
Dois nadadores partem de um ponto A (numa margem do rio) em direção a um 
ponto B diametralmente oposto, na outra margem. Um deles atravessa o rio ao 
longo da linha reta AB. enquanto o outro nada perpendicularmente à correnteza 
e então, após atingir a margem oposta, caminha a distância que ele havia sido 
arrastado pela correnteza até chegar ao ponto B Qual foi a velocidade u de sua 
caminhada se ambos alcançaram o destino simultaneamente? A velocidade da 
correnteza é t>o = 2,0 km/h e a velocidade v' de cada nadador com relação á 
água é 2,5 km/h.
Dois barcos A e B afastam-se de uma bóia, ancorada no meio de um rio. ao 
longo de linhas retas perpendiculares entre si. O barco A move-se ao longo do
Problemas em Física Geral
1.9.
1.10.
1.11.
1 12.
1.13.
1.14.
1.15.
15
rio e o barco 8 move-se perpendicularmente à direção da correnteza. Tendo se 
afastado igualmente em relação à bóia, os barcos retornam até alcançarem 
novamente a mesma. Determine a razão entre os tempos de movimento dos 
barcos tA/ta. se a velocidade de cada barco em relação à água é q = 1,2 vezes 
maior do que a velocidade da correnteza.
Um barco move-se. em relação â água, com velocidade n = 2.0 vezes menor 
do que a velocidade da correnteza Com qual ângulo em relação à direção da 
correnteza o barco deve se mover para minimizar o arrasto?
Dois corpos foram atirados simultaneamente a partir de um mesmo ponto: 
o primeiro, direto para cima, e o segundo formando um ângulo 0 = 60° com 
a horizontal. A velocidade inicial de cada corpo é i>o = 25 m/s Desprezando 
a resistência do ar. calcule a distância d entre os corpos após um tempo 
t = 1,70 s.
Duas partículas movem-se num campo gravitacional uniforme com uma 
aceleração g. No inicio as partículas partem de um mesmo ponto, com 
velocidades horizontais ;’i = 3.0 m/s e e>? = 4.0 m/s, em sentidos opostos. 
Calcule a distância d entre as partículas no instante em que seus vetores 
velocidade tornam-se perpendiculares entre si.
Três pontos estão localizados nos vértices de um triângulo equilátero, cujos 
lados são iguais a L Todos eles começam a mover-se simultaneamente com 
velocidade :> constante, em módulo, com o primeiro apontando sempre em 
direção ao segundo, o segundo apontando sempre em direção ao terceiro e o 
terceiro sempre apontando em direção ao primeiro. Após quanto tempo os 
pontos irão se encontrar ?
Um ponto A move-se uniformemente com velocidade v. de modo que o vetor v 
está continuamente 'apontado" para um ponto 8 que, por sua vez. move-se 
retilineamente e umformemente com velocidade u < v. No instante inicial, as 
velocidades sâo perpendiculares entre si, vl u. eos pontos estão separados 
por uma distância d. Após quanto tempo os pontos irão se encontrar ?
Um trem de comprimento L = 350 m parte do repouso, em movimento retilineo, 
com aceleração constante a = 3.0 ■ W2 m/s2. Passados tt = 30 s do inicio do 
movimento, a luz dianteira da locomotiva é ligada (evento 1) e t. = 60 s depois 
desse evento, a luz traseira também é ligada (evento 2).
(a) Determine a distância entre esses eventos em referenciais fixos, no trem e 
na Terra.
(b) Como e com qual velocidade constante V, em relação à Terra, um 
determinado referencial K deve se mover para que os dois eventos (nesse 
referencial) ocorram no mesmo ponto?
Um elevador, cuja distância do piso ao teto é de 2,7 m, começa a subir com 
uma aceleração constante de 1,2 m/s2. Passados 2.0 s do inicio da subida, um 
parafuso começa a cair do teto do elevador. Determine:
(a) o tempo de queda livre do parafuso.
(b) o deslocamento e a distância percorrida pelo parafuso, durante a queda 
livre, em relação a um referencial fixo ao piso do elevador.
Problemas em Física Geral
1.18.
D
4^52 3 61 7t
Figura 1.3.
1.19.
1.21.
16
A
O
v, 
1 
0\ /
\b
Figura 1.2.
Um ponto atravessou metade de um círculo de raio R = 160 cm durante um 
intervalo de tempo t = 10,0 s. Calcule, em função tempo:
(a) a velocidade média (i>>.
(b) o módulo do vetor velocidade vetorial média I <v> |.
(c) o módulo do vetor aceleração total média I (a) I, se o ponto moveu-se com 
aceleração tangencial de módulo constante.
1.20. O vetor posição r de uma partícula varia com o tempo t conforme a expressão 
r = A f (1 - at), onde A é um vetor constante e a é um fator positivo. Calcule:
(a) a velocidade v e a aceleração a da partícula, em função do tempo.
(b) o intervalo de tempo Af, gasto pela partícula, para retornar ao ponto inicial e 
a distância s percorrida durante esse intervalo de tempo.
No instante t = 0, uma partícula deixa a origem e move-se na direção positiva do 
eixo x. Sua velocidade varia com o tempo conforme a expressão v = v0 (1 - th), 
onde t = 5,0 s e vo é o vetor velocidade inicial, cujo módulo é igual a 
t’o = 10,0 cm/s. Calcule:
(a) a coordenada x da partícula nos instantes t = 6,0 s, t = 10 s e t = 20 s.
(b) os instantes t nos quais a partícula está a uma distância de 10,0 cm da 
origem.
(c) a distância s percorrida pela partícula durante os primeiros 4,0 s e 8,0 s de 
movimento. Desenhe o gráfico aproximado de s (f).
1.16. Duas partículas 1 e 2 movem-se com velocidades constantes i>, e uj. ao longo de 
linhas retas perpendiculares entre si, em direção a um ponto de intersecção O 
No instante t = 0, as partículas estavam localizadas às distâncias Li e Lj, 
respectivamente, do ponto O
(a) Após quanto tempo t a distância entre as partículas será mínima?
(b) Calcule dmin, a distância mínima entre as partículas.
1.17. Um motorista deve partir deum ponto A. localizado numa estrada (Figura 1 2), 
e atingir o ponto B localizado no campo a uma distância L da estrada, num 
intervalo de tempo mínimo. Sabe-se que a velocidade do carro, ao longo da 
estrada, é rj vezes maior que a velocidade dele através do campo. Determine a 
que distância do ponto D ele deve desviar-se da estrada, a fim de atingir o 
ponto B no minimo intervalo de tempo?
Um ponto viaja, ao longo do eixo x, com velocidade cuja projeção u, é 
apresentada, em função do tempo t, no gráfico da Figura 1.3. Considerando 
x = 0 a coordenada do ponto no instante t = 0, desenhe os gráficos, em função 
do tempo t, da aceleração da coordenada x e da distância percorrida s.
C
Problemas em Física Geral
1 22
1.23.
1.24.
1.25.
1.26.
1.28.
17
aceleração.
Um móvel move-se num plano xy de acordo com a lei x = n sen mt e 
1/ = n (1 - cos rol), onde n e <o são constantes positivas. Determine:
(a) a distância s percorrida pelo ponto durante um tempo t.
(b) o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração.
1.27. Uma partícula move-se num plano xy com aceleração constante w dirigida ao 
longo de um eixo y negativo. A equação do movimento da partícula tem a forma 
y = nx - bx2, onde n e b são constantes positivas. Calcule a velocidade da 
partícula ao passar pela origem do sistema de coordenadas.
Um pequeno corpo é atirado com um ângulo a em relação à horizontal e com 
uma velocidade inicial vo. Desprezando a resistência do ar, determine:
(a) o deslocamento vetorial r do corpo em função do tempo l.
(b) o vetor velocidade média, (v), entre os primeiros f segundos e entre o tempo 
total de movimento.
Um ponto move-se num plano xy de acordo com a lei x = a t e y = abfi - a»), 
onde « e a são constantes positivas eléo tempo. Determine:
(a) a equação da trajetória i/ (x) do ponto e faça o gráfico dessa função.
(b) a velocidade ve a aceleração tedo ponto, em função do tempo.
(c) o instante to no qual o vetor velocidade forma um ângulo de — com o vetor
4
A velocidade de uma partícula, movendo-se na direção positiva do eixo x. varia 
conforme a expressão t> = aVx . onde a é uma constante positiva. 
Considerando que no instante t = 0 s a partícula estava localizada no ponto 
x = 0, determine:
(a) a função horária da velocidade e a aceleração da partícula.
(b) a velocidade média da partícula, medida no intervalo de tempo que ela leva 
para percorrer os primeiros s metros do caminho.
Um ponto move-se em linha reta com desaceleração de módulo 
dependendente da velocidade v da partícula conforme a expressão 
w = a Jv, onde a é uma constante positiva. No instante inicial, a velocidade do 
ponto é igual a t>o. Qual é a distância que ele percorrerá até parar’ Quanto 
tempo levará para percorrer essa distância?
O vetor posição de um ponto A, em relação à origem, varia com o tempo t 
conforme a expressão r = n-fi - bf2j, onde a e b são constantes positivas, i e j 
são os vetores unitários dos eixos x e y. Determine:
(a) a equação da trajetória y (x) do ponto e faça o gráfico dessa função.
(b) a função horária dos vetores velocidade v e aceleração w, bem como dos 
módulos dessas grandezas.
(c) a função horária do ângulo a entre os vetores w e v.
(d) a velocidade vetorial média nos primeiros f segundos de movimento e o 
módulo desse vetor
Problemas em Física Geral
1.29.
1.30.
1.31.
1.33.
1.34.
1.36.
18
Um corpo é atirado da superfície da Terra com velocidade inicial vo, formando 
um ângulo a com a horizontal. Considerando que a resistência do ar seja 
desprezível, determine:
(a) o tempo de movimento.
(b) a altura máxima atingida e o alcance horizontal. Para qual ângulo a eles 
terão o mesmo valor?
(c) a equação da trajetória y(x), onde y e x são coordenadas do corpo ao longo 
da vertical e da honzontal, respectivamente.
(d) os raios de curvatura da trajetória em seu ponto inicial e em seu ponto mais 
alto.
Utilizando as condições do problema anterior, faça o gráfico aproximado dos 
módulos dos vetores: aceleração centrípeta wctJ, e aceleração tangencial wlg, em 
função do tempo, bem como da projeção do vetor aceleração total wT ao longo da 
direção do vetor velocidade.
Uma esfera começa a cair verticalmente, a partir do repouso, de uma altura h 
acima de um plano inclinado liso e fixo, que forma um ângulo a com a 
horizontal. Tendo percorrido a altura /i, a esfera colide elasticamente com a 
rampa, retornando em trajetória parabólica A que distância do ponto de 
impacto a esfera colidirá com a rampa pela segunda vez?
1.32 Um canhão e um alvo estão separados a 5,10 km e localizados no mesmo nivel 
de altura. Em quanto tempo o projétil, lançado com velocidade inicial de 
240 m/s, alcançará o alvo? Despreze a resistência do ar.
Um canhão atira sucessivamente dois projéteis com velocidade vo = 250 m/s. 
O primeiro é lançado com um ângulo 0, = 60° e o segundo com um ângulo 
0z = 45°. todos em relação à horizontal. Considere que as trajetórias e o canhão 
estão contidos num mesmo plano vertical. Desprezando a resistência do ar, 
calcule o intervalo de tempo entre os tiros, a fim de que ocorra a colisão entre 
os projéteis.
Um balão começa a subir a partir da superfície da Terra. A velocidade de 
ascensão é constante e igual a v0 Devido ao vento, o balão ganha uma 
componente de velocidade horizontal vx = a.y, onde a é uma constante e y é a 
altura de ascensão. Encontre quais das seguintes grandezas dependem da altura 
de ascensão:
(a) o posição horizontal x(y) do balão.
(b) as acelerações total, tangencial e centrípeta do balão.
1.35. Uma partícula move-se num plano xy com velocidade v = ni + b-xj, onde i e j 
são os vetores unitários dos eixos x e y, n e b são constantes. No instante 
inicial, a partícula estava localizada no ponto (x,ij) - (0,0). Determine:
(a) a equação da trajetória y (x) da partícula.
(b) o raio de curvatura da trajetória em função de x.
Uma partícula A move-se, numa direção ao longo de uma dada trajetória, com 
uma aceleração tangencial w, = |a|r, onde a é um vetor constante com a 
mesma direção do eixo x (Figura 1.4), e t é um vetor unitário com a mesma 
direção do vetor velocidade num determinado ponto. Encontre como a
Problemas em Física Geral
a
o
0 •5
Figura 1.5.
1.37.
1.38.
1.39.
1.40
1.41.
1.42.
19
velocidade da partícula depende de x, considerando que sua velocidade é nula 
no ponto x = 0.
Uma partícula move-se ao longo de um arco de um círculo de raio R de acordo 
com a lei / = n senrot, onde Z é o deslocamento a partir da posição inicial 
medida ao longo do arco e n e to são constantes. Considerando R = 1,00 m, 
a = 0,80 m, e o> = 2,00 rad/s, determine:
(a) a módulo aceleração total da partícula nos pontos / = 0 e 1= ± a.
(b) o valor mínimo da aceleração total e a correspondente posição /,„.
Um móvel move-se no plano de modo que sua aceleração tangencial <t>, = <i e 
sua aceleração centripeta wclf, = bt\ onde a e b são constantes positivas e f é o 
tempo. No instante l = 0, o ponto estava em repouso. Determine a expressão 
do raio de curvatura R da trajetória do ponto e da aceleração total wT dele em 
função da distância percorrida s.
Uma partícula move-se ao longo da trajetória plana y(x) com velocidade t>. cujo 
módulo é constante Calcule a aceleração da partícula no ponto ,v = 0 e o raio 
de curvatura da trajetória no mesmo ponto se a trajetória tem a forma:
(a) de uma parábola i/ = nx2.
(b) de uma elipse (.r/<i)2 + (y/b)2 = 1, onde n e b são constantes
Figura 1.4.
Um ponto move-se, ao longo de um circulo, com velocidade v = n-t, onde 
a = 0,50 m/s2. Calcule a aceleração total do ponto no instante, após o inicio do 
movimento, em que ele tiver percorrido a n-ésima parte (h = 0,10) do círculo.
Um ponto move-se com desaceleração ao longo de um círculo de raio R de 
maneira que, em qualquer instante f, suas acelerações tangencial e centripeta 
são iguais em módulo. No momento inicial t = 0, a velocidade do ponto é igual 
a ;’o. Determine
(a) a velocidade do ponto em função do tempo l e em função da distância 
percorrida s.
(b) a aceleraçãototal do ponto em função da velocidade e em função da 
distância percorrida.
Um ponto move-se ao longo de um arco de um circulo de raio R. Sua velocidade 
depende da distância percorrida s conforme a expressão v = av's, onde a é uma 
constante Determine, em função de s, o ângulo a entre o vetor aceleração total e 
o vetor velocidade.
Problemas em Física Geral
1.43.
1.44.
1.46.
1.47
1.48.
1.49.
1 30.
1.51.
y,,
Figura 1.6O *
20
Uma partícula A move-se ao longo de um círculo de raio R = 50 cm de modo 
que seu vetor posição r, em relação ao ponto O (Figura 1.5), gira com 
velocidade angular constante ra = 0,40 rad/s. Calcule o módulo da velocidade 
da partícula e o módulo e direção de sua aceleração total.
Uma roda gira ao longo de um eixo estacionário, de modo que o ângulo 
de rotação <p varia com o tempo conforme a expressão <p = nt2, onde 
a = 0,20 rad/s2. Determine a aceleração total wT do ponto A na borda no 
instante t = 2,5 s, sabendo que a velocidade linear do ponto A nesse instante é 
i> = 0,65 m/s.
1 45. Um projétil adquire uma velocidade inicial v = 320 m/s, tendo feito n = 2,0 voltas 
dentro de um barril cujo comprimento é / = 2,0 m. Considerando que o projétil 
se move dentro do barril com uma aceleração uniforme, determine a velocidade 
angular de sua rotação axial no momento em que o projétil escapa do barril.
Um sólido gira em torno de um eixo estacionário de acordo com a lei 
<p = nt - bt3, onde a = 6,0 rad/s e b = 2,0 rad/s3. Calcule:
(a) o valore médio da velocidade angular e a aceleração angular média em 
relação ao intervalo de tempo entre o instante 1 = 0 ea parada total.
(b) a aceleração angular no momento que o corpo pára.
Um sólido começa a girar em torno de um eixo estacionário com uma 
aceleração angular |3 = nt, onde n = 2,0 ■ 10“2 rad/s3 Quanto tempo após o 
inicio da rotação o vetor aceleração total de um ponto arbitrário formará um 
ângulo a - 60° com seu vetor velocidade?
Um sólido gira em movimento retardado em torno de um eixo estacionário com 
uma desaceleração angular p « Võ , onde <o é sua velocidade angular. Calcule 
a velocidade angular média do corpo durante o tempo total de rotação,sabendo 
que no instante inicial sua velocidade angular era igual a too.
Um sólido gira em torno de um eixo estacionário de modo que sua 
velocidade angular depende do ângulo de rotação <p de acordo com a 
expressão <o = too - ntp, onde too e n são constantes positivas. No instante t = 0, 
o ângulo <p = 0. Determine, em função do tempo:
(a) o ângulo de rotação.
(b) a velocidade angular
Um sólido começa a oirar sobre um eixo estac.onário com uma aceleração 
angular cot- , cr.de Po é um vetor constante e <p é o ângulo de rotação 
e.n reiaçàc è posição inicial. Determine a velocidade angular do corpo em 
função do ãnguio <p. Desenhe o gráfico dessa função.
Um disco girante (Figura 1.6) move-se na direção positiva do eixo x.
cr.de
Problemas em Física Geral
1.52.
1.53.
B
Figura 1.7.
1.54.
1.55
1.56.
1.57.
21
L
Encontre a equação y(.v) que descreve a posição do eixo instantâneo de 
rotação do disco, sabendo que no momento inicial o eixo C do disco estava 
localizado no ponto O. a partir do qual ele se moveu:
(a) com uma velocidade constante enquanto o disco começou a girar no 
sentido anti-horário com uma aceleração angular constante [t (a velocidade 
angular inicial é nula);
(b) com uma aceleração constante r<> e velocidade inicial nula, enquanto o disco 
gira no sentido anti-horário com uma velocidade angular constante co.
Um ponto A está localizado na borda de uma roda de raio R - 0.50 m. a qual 
gira sem escorregar ao longo de uma superfície horizontal com velocidade 
i>=1,00m/s Encontre:
(a) o módulo e a direção do vetor aceleração do ponto A;
(b) a distância total s percornda pelo ponto A entre os instantes sucessivos nos 
quais o ponto toca a superfície.
Uma esfera de raio R = 10,0 cm rola ao longo de um plano horizontal, sem 
escorregar, de modo que seu centro se move com aceleração constante 
w = 2.50 cm/s2. Após t = 2,0 s do inicio do movimento, sua posição 
corresponde àquela mostrada na Figura 1.7. Encontre:
(a) as velocidades dos pontos A, B e O.
(b) a aceleração desses pontos.
A
Figura 1.8.
Um cilindro gira sem escorregar sobre um plano horizontal. O raio do cilindro é 
igual a r. Encontre os raios de curvatura das trajetórias percorridas pelos pontos 
A e 8 (veja a Figura 1.7).
Dois sólidos giram sobre eixos estacionários cruzados e perpendiculares entre si. 
com velocidades angulares constantes o>i = 3,0 rad/s e w? = 4.0 rad/s. Encontre a 
velocidade angular e a aceleração angular de um corpo em relação ao outro.
Um sólido gira com velocidade angular w= nfi + f>t2j, onde n = 0.50 rad/s2, 
/> = 0,060 rad/s3,1 e j sâo os vetores unitános dos eixos .v e y. Encontre
(a) o módulo da velocidade angular e a aceleração angular no instante 
I = 10,0 s:
(b) o ângulo entre os vetores velocidade angular e aceleração angular naquele 
instante.
Um cone circular com ângulo a = 30“ e o raio da base R = 5,0 cm gira 
uniformemente e sem escorregar sobre um plano horizontal, como mostra 
a Figura 1 8. O ápice do cone está dobrado no ponto O, o qual está no 
mesmo nível do ponto C, centro da base do cone. A velocidade do ponto C é 
t> = 10,0 cm/s. Encontre os módulos:
Problemas em Física Geral
1.58.
1.2.
(1.2a)
d 2b)
1.59.
1.60.
2
1
Figura 1.9.
22
___
Figura 1.10.
(a) do vetor velocidade angular do cone e o ângulo que ele forma com a 
vertical;
(b) do vetor aceleração angular do cone.
Um sólido gira com uma velocidade angular constante coo = 0.50 rad/s sobre um 
eixo horizontal AB. No instante t = 0, o eixo AB começa a girar sobre a vertical 
com uma aceleração angular constante Po = 0,10 rad/s2. Encontre a velocidade 
angular e a aceleração angular do corpo após t = 3,5 s.
EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA DINÂMICA
A equação fundamental da dinâmica de um ponto de massa m (segunda lei de 
Newton):
A mesma equação expressa em projeções sobre a tangente e a normal da 
trajetória do ponto;
A equação da dinâmica de um ponto no referencial nâo-inercial K', o qual gira 
com velocidade angular constante <o sobre um eixo de translação com uma 
aceleração woé:
inw' = F - mwo + m<o2R + 2m [v'ra] (1.2c)
onde R è o vetor posição do ponto em relação ao eixo de rotação do referencial 
K‘.
[S
dv 
m — = r .
dt
dv, _ v2 c m —- = Ft , m — = F„.dt ’ R
Um aerostato (grande balão cheio de ar quente) de massa m começa a descer 
com uma aceleração constante w. Determine a massa do lastro a ser 
abandonado pelo aerostato para alcançar a aceleração de subida de mesma 
intensidade w. A resistência do ar é desprezível.
No arranjo da Figura 1.9, as massas mo, m, e ma dos corpos são iguais; as 
massas da polia e dos fios são desprezíveis e não há atrito na polia. Encontre a 
aceleração w com a qual o corpo mo desce e a tensão do fio ligado aos corpos 
mi e ma, sabendo que o coeficiente de atrito entre esses corpos e a superfície 
horizontal é igual a k. Considere os casos possíveis.
in, >n, 
j H I
Problemas em Física Geral
1.61.
1.62.
1.63
1.64.
1.65.
Figura 1.11. Figura 1.12.
23
Duas barras que se tocam 1 e 2 estão colocadas num plano inclinado formando 
um ângulo a com a horizontal (Figura 1.10). As massas das barras são iguais a 
im e rii2, e os coeficientes de atrito entre o plano inclinado e essas barras são 
iguais a fri e fez respectivamente, com Jq > kí. Encontre:
Uma prancha de massa >ni, com uma barra de massa 1112 colocada sobre ela, 
está num plano horizontal liso. Uma força horizontal crescente com o tempo f 
conforme F = nf (n é constante) é aplicada à barra Encontre as acelerações da 
prancha w, e da barra t<>2 em função de t, sabendo que o coeficiente de atrito 
entre a prancha e a barra é igual a k. Desenhe os gráficos dessas funções.
Um pequeno corpo foi lançado ladeira acima ao longo de um plano inclinado 
que forma um ângulo a = 15° com a horizontal. Encontre o coeficiente de atrito 
sabendo que o tempo de subida do corpo é q = 2,0vezes menor do que o 
tempo de descida ao longo da rampa.
Os seguintes parâmetros do arranjo da Figura 1.11 estão disponíveis: o ângulo 
a que o plano inclinado forma com a horizontal e o coeficiente de atrito k entre o 
corpo e o plano inclinado. As massas da polia e dos fios, bem como o atrito 
na polia, são desprezíveis. Considerando que ambos os corpos estão parados 
no momento inicial, encontre a razão entre as massas mjnh para a qual o 
corpo mi'.
(a) começa a descer
(b) começa a subir
(c) está em repouso.
O plano inclinado da Figura 1.11 forma um ângulo a = 30° com a horizontal. 
A razão entre as massas vale m2/»ni = q = 2/3. O coeficiente de atrito entre o 
corpo mi e o plano inclinado é igual a k - 0,10. As massas da polia e dos fios 
são desprezíveis. Encontre a intensidade e a direção da aceleração do corpo 
i«2 quando o sistema estacionário formado pelas massas começa a se mover.
(a) a força de interação das barras durante o movimento:
(b) o valor mínimo do ângulo a que permite com que as barras comecem a 
deslizar para baixo.
Problemas em Física Geral
1.66.
1.67.
m
1.68
1.69.
1.70.
2
Figura 1.15.
24
Figura 1.13. Figura 1.14.
No instante t = 0, a força F = até aplicada a um corpo de massa m em repouso 
sobre um plano horizontal liso (a é constante). A direção permanente dessa 
força forma um ângulo a com a horizontal (Figura 1.14) Encontre:
(a) a velocidade do corpo no instante de sua saida do plano;
(b) a distância percorrida pelo corpo até esse instante.
Um corpo de massa m repousando num plano horizontal liso começa a 
mover-se devido à força F = nig/3, de módulo constante. Ao longo de seu 
movimento retilineo, o ângulo a entre a direção dessa força e a horizontal varia 
conforme a = as, onde a é uma constante, eséa distância percorrida pela barra 
a partir de sua posição inicial. Encontre a velocidade da barra em função do 
ângulo a.
Um plano horizontal com o coeficiente de atrito k suporta dois corpos: uma 
barra e um motor elétrico com uma bateria num bloco. Um fio amarrado â barra 
é enrolado ao eixo do motor elétrico. A distância entre a barra e o motor elétrico 
é igual a /. Quando o motor é ligado, a barra, cuja massa é duas vezes maior do 
que aquela do outro corpo, começa a se mover com uma aceleração constante 
w. Após quanto tempo, a partir do instante que o motor é ligado, os corpos irão 
colidir?
Um pequeno corpo A começa a deslizar do topo de uma cunha (Figura 1.12), 
cuja base tem comprimento / = 2,10 m. O coeficiente de atrito entre o corpo e a 
superfície da cunha é k = 0,140. Para qual valor do ângulo a o tempo de 
deslizamento de A ao longo da cunha será mínimo? E qual será o valor desse 
tempo?
Uma barra de massa m é puxada por meio de um fio ladeira acima ao longo de 
um plano inclinado que forma um ângulo a com a horizontal (Figura 1.13). 
O coeficiente de atrito entre a barra e o plano é igual a k. Encontre o ângulo p 
que o fio deve formar com o plano inclinado para que a tração no fio seja 
mínima. E qual é o valor dessa tração?
Figura 1.16.
w/0
I I-
Problemas em Física Geral
1 71.
1.72.
1.73.
1.74.
M
/m
22r
Figura 1.19.Figura 1.17.
1.75.
1.76.
25
1ò
Figura 1.18.
No arranjo mostrado na Figura 1.18, a massa da esfera 1 é n = 1.8 vezes maior 
do que a massa da haste 2 O comprimento desta última é / = 100 cm. 
As massas das polias e dos fios, bem como do atrito, são desprezíveis. 
A esfera é colocada no mesmo nível da extremidade inferior da haste e, então, 
é liberada. Após quanto tempo a esfera estará nivelada com a extremidade 
superior da haste?
No arranjo mostrado na Figura 1.19, a massa do corpo 1 é rj = 4.0 vezes maior 
do que aquela do corpo 2. A altura h - 20 cm. As massas das polias e dos fios, 
bem como o atrito, são desprezíveis. Num determinado instante, o corpo 2 é 
liberado e o arranjo começa a se mover. Qual é a altura máxima que o corpo 2 
subirá?
Uma polia fixada ao teto de um elevador suporta um fio, cujas extremidades 
estão ligadas às cargas de massas wi e »«2- O elevador começa a subir com 
uma aceleração wo Considerando que as massas da polia e do fio, bem como 
o atrito, sejam desprezíveis, encontre:
(a) a aceleração da carga »ni em relação ao piso do elevador e em relação ao 
teto do elevador,
(b) a força exercida pela polia no teto do elevador.
Encontre a aceleração w do corpo 2 no arranjo mostrado na Figura 1.15, 
sabendo que sua massa é rj vezes maior do que a massa da barra 1 e o 
ângulo que o plano inclinado forma com a horizontal é igual a a. As massas 
das polias e dos fios, bem como o atrito, são desprezíveis. Examine os 
possíveis casos.
No arranjo mostrado na Figura 1.16, os corpos têm massas mo. mi, mz. há 
ausência de atrito ; as massas das polias e dos fios são desprezíveis. Encontre 
a aceleração do corpo Examine os possíveis casos.
No arranjo mostrado na Figura 1.17, a massa da haste M excede a massa m da 
esfera. A esfera possui uma abertura, permitindo que essa deslize ao longo do 
fio com pouco atrito. A massa da polia e o atrito no seu eixo são desprezíveis. 
No instante inicial, a esfera estava nivelada com a extremidade inferior da 
haste. Quando o conjunto é liberado, ambos os corpos começam a mover-se 
com acelerações constantes. Encontre a força de atrito entre a esfera e o fio 
sabendo que t segundos após o início do movimento a esfera ficou nivelada 
com a extremidade superior da haste. O comprimento da haste é igual a /.
Problemas em Física Geral
1.77.
a.
Figura 1.20. Figura 1.21.
1.79.
1 80.
1.81.
1A
Figura 1.23.Figura 1.22
nr
Figura 1.24.M
a
26
Encontre as acelerações da haste A e da cunha 8 no arranjo mostrado na 
Figura 1.20, sabendo que a proporção de massa da cunha em relação à haste 
é igual a n e o atrito entre todas as superfícies de contato é desprezível.
1.78 No arranjo mostrado na Figura 1.21, as massas da cunha M e do corpo m são 
conhecidas. Um atrito considerável existe somente entre a cunha e o corpo m, 
com o coeficiente de atrito igual a k. As massas da polia e dos fios são 
desprezíveis. Encontre a aceleração do corpo m em relação à Terra.
Qual é a aceleração horizontal mínima com a qual a barra A (Figura 1 22) 
deveria se mover para manter os corpos 1 e 2 em repouso em relação á barra? 
As massas dos corpos são iguais e o coeficiente de atrito entre a barra e os 
corpos é igual a k. Desconsidere as massas da polia e dos fios e o atrito na 
polia.
O prisma 1, com a barra 2 de massa m colocada em cima dele, ganha uma 
aceleração horizontal u> dirigida â esquerda (Figura 1.23). Até qual valor 
máximo dessa aceleração a barra ainda estará estacionária em relação ao 
prisma, sabendo que o coeficiente de atrito entre eles vale k < cotg a?
O prisma 1 de massa m, e ângulo a com a horizontal (veja a Figura 1.23) 
repousa numa superfície horizontal. O corpo 2 de massa im é colocado em 
cima do prisma. Considerando que o atrito seja desprezível, encontre a 
aceleração do prisma em relação à Terra.
rn
1.82. No arranjo mostrado na Figura 1.24, as massas m da barra e M da cunha, bem 
como o ângulo a da cunha, são conhecidos. As massas da polia e do fio são 
desprezíveis. O atrito é ausente. Encontre a aceleração da cunha M.
Problemas em Física Geral
1.83.
1.84.
1.85.
1.86
1.87.
Figura 1.25.
1.88
Figura 1.26.
27
Um dispositivo (Figura 1.26) é constituído por uma haste lisa em forma de L, 
localizada num plano horizontal, e uma extremidade dobrada /A, de massa m, 
presa a uma mola leve ao ponto 8. A constante elástica da mola é igual a x. 
Todo o sistema gira com uma velocidade angular constante o> em relação a um 
eixo vertical passando através do ponto O. Encontre a deformação da mola. 
Como o resultado é influenciado pela direção de rotação?
Uma partícula de massa m se move ao longo de um círculo de raio R. Encontre 
o módulo do vetor médio da força que atua na partícula sobre a distância igual 
a um quarto do círculo, sabendo que a partícula se move:
(a) uniformemente com velocidade n;
(b) com aceleração tangencial constante u>,e com velocidade inicial nula.
Um avião faz um loop de raio R = 500 m com uma velocidade constante 
v = 360 km/h. Encontre o peso aparente do aviador de massa m = 70 kg nos 
pontos inferior, superior e mediano do loop.
Uma pequena esfera de massa m suspensa por um fio é primeiramente deixada 
na horizontal de modo que o fio forma um ângulo reto com a vertical e é. então, 
liberada. Encontre:
(a) a aceleração total da esfera e a tensão do fio em função de 0. o ângulo de 
desvio do fio em relação à vertical;
(b) a tensão do fio no instante em que a componente vertical da velocidade da 
esfera é máxima;
(c) o ângulo 0 entre o fio e a vertical no instante em que o vetor da aceleração 
total da esfera está dirigido horizontalmente.
Uma esfera suspensa por um fio oscila num plano vertical, de modo que seus 
valores de aceleração nas posições mais alta e mais baixa do fio são iguais. 
Encontre o ângulo de inclinação 0 do fio na posição mais alta.
Um pequeno corpo A começa a escorregar do topo de uma esfera lisa de raio 
R. Encontre o ângulo 0 (Figura 1.25) correspondente ao ponto no qual o corpo 
perde o contato com a esfera, bem como a velocidade do corpo nesse ponto.
Problemas em Física Geral
1.89.
1 90.
1.91.
1.92.
1.95.
1.96.
28
(a) o variação do momento Ap que o corpo adquire nos primeiros í segundos 
de movimento;
(b) o módulo da variação do momento Ap durante o tempo total do movimento.
1.97. A partir do instante t = 0, uma partícula estacionária de massa m sofre uma 
força dependente do tempo F = af (t - t), onde a é um vetor constante er éo 
tempo durante o qual a força citada atua. Encontre'
(a) o momento linear da partícula quando a ação da força cessou;
(b) a distância percorrida pela partícula enquanto a força agiu.
Um ciclista pedala ao longo de uma circunferência em um plano circular 
horizontal de raio R. com o coeficiente de atrito k sendo dependente somente 
da distância r a partir do centro O do plano, conforme a expressão 
A = Ao (1 - r/R). onde Ao é uma constante. Encontre o raio do circulo com o 
centro em O ao longo do qual o ciclista pode pedalar com a velocidade máxima 
Qual é essa velocidade?
Um automóvel move-se com uma aceleração tangencial constante 
n>, = 0,62 m/s2 ao longo de uma superfície horizontal, circunscrevendo um 
circulo de raio R = 40 m. O coeficiente de atrito de derrapagem entre os pneus 
do carro e a superfície é A = 0,20 Qual é a distância que o automóvel 
percorrerá sem derrapar se no instante inicial de tempo sua velocidade é nula?
Um automóvel move-se uniformemente ao longo da curva senoidal 
y = n sen (.r/a), onde n e a são constantes positivas. O coeficiente de atrito entre 
os pneus e a estrada é igual a A. A qual velocidade o automóvel poderá trafegar 
sem derrapar?
Uma corrente de massa m formando um círculo de raio R é deslizada sobre um 
cone liso circular com ângulo médio 0. Encontre a tensão da corrente se ela 
gira com uma velocidade angular constante w sobre um eixo vertical, 
coincidindo com o eixo de simetria do cone.
1.93. Uma polia fixa suporta um fio leve com massas mi e mz nas suas extremidades. 
Há atrito entre o fio e a polia. O atrito é tal que o fio começa a deslizar quando a 
proporção inj/mi = qo Encontre:
(a) o coeficiente de atrito;
(b) a aceleração das massas quando mz/m, = q > q0.
1.94. Uma partícula de massa m move-se ao longo da superfície interna lisa de um 
cilindro vertical de raio R. Encontre a força F com a qual a partícula age sobre a 
parede do cilindro sabendo que no instante inicial de tempo sua velocidade é 
igual a t>o e forma um ângulo a com a horizontal.
Encontre o módulo e a direção da força que age sobre a partícula de 
massa m durante o seu movimento no plano xy de acordo com a lei 
x—a sen <oí, y = b cos <ot, onde n, b, e n> sâo constantes.
Um corpo de massa m é atirado obliquamente em relação à horizontal com 
velocidade inicial Vo. Considerando que a resistência do ar seja desprezível, 
encontre:
Problemas em Física Geral
29
1.98. A partir do instante t = 0, uma partícula de massa m começa a mover-se devido 
â força F = Fo sen cof, onde Fo e a são constantes. Encontre a distância 
percorrida pela partícula em função de f. Escreva o gráfico dessa função.
1.99. A partir instante t = 0, uma partícula de massa m começa a mover-se devido à 
força F = Fo cos wf. onde Fo e o> são constantes. Por quanto tempo ela irá se 
mover até que pare pela primeira vez? Qual é a distância que ela percorrerá 
durante esse tempo? Qual é a velocidade máxima da partícula durante esse 
trajeto?
1.100. Um barco a motor de massa m move-se ao longo de um lago com velocidade 
vo. No instante t = 0, o motor do barco é desligado. Considerando que a 
resistência da água é proporcional à velocidade do barco F = -rv, encontre:
(a) por quanto tempo o barco moveu-se com o motor desligado;
(b) a velocidade do barco em função da distância percorrida com o motor 
desligado, bem como a distância total percorrida até a parada total;
(c) a velocidade média do barco em relação ao intervalo de tempo (a partir do 
instante t = 0) durante o qual sua velocidade diminui n vezes.
1.101. Tendo atravessado uma prancha de espessura h, uma bala mudou sua 
velocidade de vo para v Encontre o tempo de movimento da bala na prancha, 
considerando que a força de resistência é proporcional ao quadrado da 
velocidade
1.102 Uma pequena barra começa a deslizar para baixo de um plano inclinado que 
um ângulo a com a horizontal. O coeficiente de atrito depende da distância x 
percorrida conforme k = ax, onde a é uma constante. Encontre a distância 
percorrida pela barra até o instante no qual ela para e sua velocidade máxima 
ao longo desse trajeto.
1.103. Um corpo de massa m repousa sobre um plano horizontal com o coeficiente de 
atrito k No instante t = 0, uma força horizontal é aplicada a ele, a qual varia 
com o tempo conforme F = af, onde a é um vetor constante. Encontre a 
distância percorrida pelo corpo durante os primeiros t segundos após o instante 
inicial.
1.104 Um corpo de massa nt é atirado direto para cima com velocidade t>o. Encontre a 
velocidade v' com a qual o corpo desce, sabendo que a resistência do ar é igual 
a kv2, onde k é uma constante e v é a velocidade do corpo.
1.105 Uma partícula de massa m move-se num determinado plano P devido à força F, 
cuja intensidade é constante e cujo vetor gira no plano com uma velocidade 
angular constante co. Considerando que a partícula está em repouso no instante 
t = 0, encontre:
(a) sua velocidade em função do tempo;
(b) a distância percorrida pela partícula entre duas paradas sucessivas e a 
velocidade média nesse intervalo de tempo.
1.106. Um pequeno disco A é colocado num plano inclinado que forma um ângulo a 
com a horizontal (Figura 1.27) e é comunicada a ele uma velocidade inicial 
Encontre a velocidade do disco em função do ângulo <p, sabendo que o 
coeficiente de atrito ék = tan a e no instante inicial cpo = n/2.
Problemas em Física Geral
Figura 1.27. Figura 1.28.
1.108. Um pequeno corpo é colocado no topo de uma esfera lisa de raio R. Então, é
30
1.107. Uma corrente de comprimento l é colocada numa superfície esférica lisa de raio 
R com uma de suas extremidades fixadas ao topo da esfera. Qual será a 
aceleração w de cada elemento da corrente quando a sua extremidade superior 
é liberada? Assuma que o comprimento da corrente / < i nR.
comunicada à esfera uma aceleração constante w0 na direção horizontal e o 
corpo começa a deslizar para baixo. Encontre:
(a) a velocidade do corpo em relação à esfera no momento em que ele perde o 
contato com a esfera;
(b) o ângulo 0o entre a vertical e o vetor raio atraído do centro da esfera para o 
ponto no qual o corpo perde o contato e calcule 0o para wo = g.
1.109. Uma partícula move-se num plano sob a ação de uma força a qual é sempre 
perpendicular à velocidade da partícula e depende da distância r a um 
determinado ponto do plano conforme a expressão 1/r", onde n ê uma 
constante. Para qual valor de ir o movimentoda partícula ao longo de uma 
circunferência estará equilibrado?
1.110. Uma haste A pode deslizar livremente ao longo de uma haste dobrada na forma 
de meio círculo de raio R (Figura 1.28). O sistema é colocado em rotação com 
uma velocidade angular constante m sobre um eixo vertical OO'. Encontre o 
ângulo 0 correspondente à posição de equilíbrio da haste A.
1.111. Uma espingarda foi apontada para a linha vertical sobre um alvo localizado 
precisamente na direção norte e, então, disparada Considerando que a 
resistência do ar seja desprezível, encontre quanto fora da linha vertical e em 
que direção a bala atingirá o alvo. O tiro foi disparado na direção horizontal na 
latitude <p = 60°. A velocidade da bala é v = 900 m/s e a distância a partir do 
alvo é igual a s = 1,0 km.
1.112. Um disco horizontal gira com velocidade angular constante o> = 6.0 rad/s 
sobre um eixo vertical passando através de seu centro. Um pequeno corpo de 
massa m = 0,50 kg move-se ao longo do diâmetro do disco com velocidade 
v' = 50 cm/s, a qual é constante em relação ao disco. Encontre a força que o 
disco exerce sobre o corpo no instante em que ele está localizado à distância 
r = 30 cm do eixo de rotação.
Problemas em Física Geral
LEIS DE CONSERVAÇÃO DE ENERGIA, MOMENTO, E MOMENTO ANGULAR1.3.
(1.3a)
31
Trabalho e potência da força F:
A = j F dr = J Fs ds. P = Fv.
Variação da energia cinética de uma partícula:
T2-T, =A, (13b)
onde A é o trabalho realizado pela resultante de todas as forças que atuam 
sobre a partícula.
1.113. Uma haste horizontal lisa AB gira com uma velocidade angular constante 
<o = 2,00 rad/s sobre um eixo vertical passando através de sua extremidade A. 
Um corpo livremente deslizante de massa m = 0,50 kg move-se ao longo da 
haste a partir do ponto A com uma velocidade inicial v0 = 1,00 m/s. Encontre a 
força de Coriolis que age sobre o corpo (no referencial fixado à haste rotatória) 
no instante em que ele está localizado a uma distância r = 50 cm do eixo de 
rotação.
1.114. Um disco horizontal de raio R gira com uma velocidade angular constante ai
1.116. Um trem de massa m = 2000 t move-se na latitude <p = 60° Norte. Encontre:
(a) o módulo e direção da força lateral que o trem exerce sobre os trilhos 
sabendo que ele se move ao longo de um meridiano com uma velocidade 
v = 54 km/h;
(b) em que direção e com que velocidade o trem deveria mover-se para que a 
resultante das forças inerciais que agem sobre ele, no referencial fixo na 
Terra, seja nula.
1.117. No equador, um corpo estacionário (em relação à Terra) cai de uma altura 
h = 500 m. Considerando que a resistência do ar seja desprezível, encontre 
quanto fora da vertical e em que direção o corpo irá se desviar quando ele 
atinge o solo.
sobre um eixo vertical estacionário passando através de sua extremidade. Ao 
longo da circunferência do disco, uma partícula de massa m move-se com uma 
velocidade constante em relação ao disco. No instante em que a partícula está 
à máxima distância do eixo de rotação, a resultante das forças inerciais, Fin, 
agindo sobre a partícula no referencial fixado ao disco, é nula. Encontre:
(a) a aceleração «>'da partícula em relação ao disco;
(b) F,„ em função da distância a partir do eixo de rotação.
1.115. Um pequeno corpo de massa m = 0,30 kg começa a deslizar para baixo a partir 
do topo de uma esfera lisa de raio R = 1,00 m. A esfera gira com uma 
velocidade angular constante w = 6,0 rad/s sobre um eixo vertical passando 
através de seu centro. Encontre, no referencial fixo na esfera, a força centrífuga 
de inércia e a força de Coriolis no instante em que o corpo escapa da superfície 
da esfera.
Problemas em Física Geral
(1.3c)
(1.3Í)
(13g)
(1.3h)
(1.31)
(1-3j)
32
Relação entre a força de um campo e a energia potencial de uma partícula no 
campo:
F = -W. (1.3d)
isto é, a força é igual ao gradiente negativo da energia potencial.
Variação da energia mecânica total de uma partícula num determinado campo 
potencial:
Trabalho realizado pelas forças de um campo é igual ao decréscimo da energia 
potencial de uma partícula nesse campo:
A = U, - U2.
E2-E\=Aexlr (13e)
onde é a soma algébrica dos trabalhos realizados por todas as forças não 
conservativas, isto é, pelas forças que não pertencem aquelas de um 
determinado campo.
Variação da energia mecânica total de um sistema:
e2-&= A,„+A',7‘wí.
onde E = T+ Ue Ué a energia potencial inerente do sistema
Lei da variação do momento linear de um sistema:
dp/dt - F,
onde F é a resultante de todas as forças externas
Equação do movimento do centro de inércia do sistema:
’"^r=F'
onde F é a resultante de todas as forças externas.
Energia cinética de um sistema:
T = T+^ç, 
2 
onde? é a energia interna do sistema (relativa ao centro de massa).
Equação da dinâmica de um corpo com massa variável: 
d v dmm — = F + — u, 
dt dt
onde u é a velocidade da substância separada (ou ganha) em relação ao corpo
considerado.
Lei da variação do momento angular de um sistema:
^ = N, (1.3k)
dt
onde M é o momento angular do sistema, e N é o momento (torque) total de 
todas as forças externas.
Problemas em Física Geral
Figura 1.29.
33
• Momento angular de um sistema:
M = M + rcxp, (1.31)
onde M é seu momento angular interno (relativo ao centro de massa), rc é o 
vetor posição do centro de massa, e p é o momento do sistema.
1.118. Uma partícula mudou, ao longo de uma trajetória no plano xy, do ponto 1, cujo 
vetor posição é r, = i + 2j, para o ponto 2 cujo vetor posição é rj = 2i - 3j. 
Durante esse tempo, a partícula sofreu a ação de certas forças, uma das quais 
sendo F = 3i + 4j. Encontre o trabalho realizado pela força F. (Aqui, n, n e F 
são apresentadas em unidades do Sistema Internacional).
1.119 Uma locomotiva de massa m começa a mover-se de modo que sua velocidade 
varia de acordo com a lei v = «Vs. onde n é uma constante e s é a distância 
percorrida. Encontre o trabalho total realizado por todas as forças, as quais 
estão agindo sobre a locomotiva durante os primeiros t segundos após o inicio 
do movimento.
1.120. A energia cinética de uma partícula movendo-se ao longo de um circulo de raio
R depende da distância percorrida s conforme a expressão T = ns2, onde n é 
uma constante. Encontre a força que age na partícula em função des.
1.121. Um corpo de massa m foi lentamente arrastado para cima de uma colina 
(Figura 1.29) por uma força F, a qual em cada ponto estava dirigida ao longo de 
uma tangente â trajetória. Encontre o trabalho realizado por essa força, 
sabendo que a altura da colma é h, o comprimento de sua base é / e o 
coeficiente de atrito é k.
1.122. Um disco de massa m = 50 g desliza a partir do repouso ladeira abaixo ao 
longo de uma rampa que forma um ângulo a = 30° com a horizontal. Ao atingir 
a superfície horizontal, o disco ainda percorre a distância l = 50 cm até parar. 
Encontre o trabalho realizado pelas forças de atrito ao longo de todo o 
percurso, considerando k = 0,15 o coeficiente de atrito entre o disco e as 
superfícies inclinada e horizontal.
1.123. Duas barras de massas m, e m, ligadas por uma mola leve não deformada, 
repousam sobre um plano horizontal. O coeficiente de atrito entre as barras e a 
superfície é igual a k. Qual é a mínima força constante que deve ser aplicada na 
direção horizontal à barra de massa nn a fim de que a mesma troque de 
posição com a outra barra?
1.124. Uma corrente de massa m = 0,80 kg e comprimento l = 1,5 m repousa sobre uma 
mesa de superfície áspera, de modo que uma de suas extremidades está 
pendurada na borda da mesa. A corrente começa a deslizar da mesa por si 
própria quando a parte pendurada é q = 1/3 do comprimento da corrente. Qual
ProbIem as em Física Geral
34
será o trabalho total realizado pela força de atrito agindo sobre a corrente do 
instante inicial até o momento em que ela perde o contato com a mesa?
1.125. Um corpo de massa m é atirado a um ângulo a em relação à horizontal com 
uma velocidade inicial vo. Encontre a potência média desenvolvida pelaforça 
peso durante todo o movimento do corpo e a potência instantânea desenvolvida 
pela força peso em função do tempo.
1.126. Uma partícula de massa »i move-se ao longo de um círculo de raio R com uma
aceleração normal variando com o tempo conforme n>„ = at2. onde n é uma 
constante. Encontre a expressão da potência desenvolvida por todas as forças 
agindo sobre a partícula em função do tempo e o valor médio dessa potência 
medido ao longo dos primeiros l segundos após o início do movimento.
1.127. Um pequeno corpo de massa m está localizado sobre um plano horizontal no 
ponto O. O corpo adquire uma velocidade horizontal i>o. Encontre:
(a) a potência média desenvolvida pela força de atrito durante o tempo total de 
movimento, se o coeficiente de atrito é k = 0,27, m = 1,0 kg e :>o = 1.5 m/s.
(b) a potência instantânea máxima desenvolvida pela força de atnto, sabendo 
que o coeficiente de atrito varia conforme a expressão k = a x. onde a é 
uma constante eié a distância a partir do ponto O.
1.128. Um pequeno corpo de massa m = 0,10 kg move-se girando sobre um eixo 
estacionário com velocidade angular constante m = 5,0 rad/s Qual o trabalho 
realizado pela força centrifuga durante a transferência desse corpo ao longo de 
um caminho arbitrário do ponto 1 ao ponto 2, os quais estão localizados às 
distâncias ri = 30 cm e r? = 50 cm do eixo de rotação?
1.129. Um sistema consiste de duas molas conectadas em série com constantes 
elásticas ki e ka. Encontre o trabalho mínimo a ser realizado a fim de elongar 
esse sistema em zV.
1.130. Um corpo de massa m é arrastado da superfície da Terra pela aplicação de 
uma força F, variando com a altura de ascensão y conforme a expressão 
F = 2(ny - 1) mg, onde n é uma constante positiva. Encontre o trabalho 
realizado por essa força e a variação da energia potencial do corpo no campo 
gravitacional terrestre durante a primeira metade do percurso de subida.
1.131. A energia potencial de uma partícula num determinado campo tem a forma 
U = aJr2 - blr, onde n e b são constantes positivas, r é a distância a partir do 
centro do campo. Encontre.
(a) o valor de r0 correspondente à posição de equilíbrio da partícula. Examine 
se essa posição é estável;
(b) a intensidade máxima da força de atração. Desenhe os gráficos (7(r) e 
Fr(r) (as projeções da força sobre o vetor posição r).
1.132. Num determinado campo de força bidimensional, a energia potencial de uma 
partícula tem a forma J = a.r2 + (3y2. onde a e p são constantes positivas cujos 
valores sâo diferentes. Descubra;
(a) se esse campo é central,
(b) qual é a forma das superfícies equipotencíais e também das superfícies 
pelas quais a intensidade do vetor de força F é constante.
Problemas em Física Geral
7i/2
h
Figura 1.30.
0
Figura 1.33.Figura 1.32.
35
T
1.136. Um pequeno corpo A começa a deslizar de uma altura h para baixo, em direção 
a uma colina inclinada, passando por um trecho semicircular de raio fi/2 
(Figura 1.31). Desconsiderando o atrito, encontre a velocidade do corpo no ponto 
mais alto de sua trajetória (após escapar da colina).
A
1.133. Há dois campos de força estacionários F = rryi e F = axi + byi, onde i e j são 
vetores unitários dos eixos r e y, ea eh são constantes. Descubra se esses 
campos são potenciais
1 134. Um corpo de massa m é lançado com a velocidade inicial v0 ladeira acima ao 
longo de um plano inclinado formando um ângulo a em relação à horizontal. 
O coeficiente de atrito é igual a k. Qual a distância que o corpo irá percorrer até 
parar e qual trabalho realizado pela força de atrito nesse percurso?
1.135. Um pequeno disco A desliza para baixo, com velocidade inicial igual a zero, 
a partir do topo de uma colina lisa de altura H cujo trecho final é horizontal 
(Figura 1.30). Qual deve ser a altura h do trecho final a fim de garantir máximo 
alcance horizontal s ao longo do solo ? E qual é o valor desse alcance s?
Figura 1.31.
1.137. Uma esfera de massa m é suspensa por um fio de comprimento /. Com que 
velocidade horizontal mínima o ponto de suspensão deve passar a se mover 
uniformemente a fim de que a esfera do pêndulo consiga dar uma volta 
completa num looping circular em torno daquele ponto ? Qual será a tensão no 
fio no momento que a esfera passar pela posição horizontal?
1.138. Um plano horizontal suporta um cilindro vertical estacionário de raio R e 
um disco A amarrado ao cilindro pelo fio horizontal AB de comprimento fo 
(Figura 1.32, vista de cima). Uma velocidade inicial vo é comunicada ao disco 
como mostrado na figura. Por quanto tempo ele irá mover-se ao longo do plano 
até chocar-se contra o cilindro? Desconsidere o atrito no plano.
Problemas em Física Geral
O
l.
m
B
36
1.139. Uma corda lisa de borracha, de comprimento I e constante elástica k. 
encontra-se suspensa ao teto por uma extremidade O e passa através de um 
orifício existente no corpo de um objeto A (Figura 1.33). Sua outra extremidade 
encontra-se livre e está equipada com um batedor 8 que impede a passagem 
do objeto. Desprezando as massas do fio e do batedor, encontre a deformação 
máxima atingida pela corda quando o objeto é abandonado do repouso da 
posição O. A gravidade local vale g.
1.140. Uma pequena massa A, repousando num plano horizontal liso, encontra-se 
conectada ao ponto P (Figura 1.34) e a um peso B de mesma massa de A 
através de polia e fios ideais. Também encontra-se conectada ao ponto O por 
meio de uma mola leve não deformada, de comprimento Io = 50 cm e constante 
elástica k = 5 mgllo, onde m é a massa de A. O fio PA é queimado e a massa 
começa a mover-se. Encontre sua velocidade no instante em que ela perde 
contato com o plano horizontal.
1.141. Um solo horizontal suporta uma prancha com uma barra de massa m = 1.0 kg 
colocada sobre ela e amarrada por uma corda elástica leve não deformada, de 
compnmento /o = 40 cm, ao ponto O (Figura 1.35). O coeficiente de atrito entre a 
barra e a prancha é igual a k = 0,20. A prancha é lentamente deslocada para a 
direita até que a barra fica na iminência de deslizar sobre ela. situação na qual o 
fio forma um ângulo 0 = 30° com a vertical Encontre o trabalho realizado pela 
força de atrito, que age sobre a barra, no referencial fixo ao plano.
Figura 1.34. Figura 1.35.
1.142. Uma haste horizontal leve e lisa AB pode girar sobre um eixo vertical, passando 
através de sua extremidade A. A haste é encaixada a uma pequena massa m, 
amarrada à extremidade A por uma mola leve, de comprimento Io e constante 
elástica x. Qual trabalho deve ser realizado para lentamente deslocar esse 
sistema, alcançando uma velocidade angular ®?
1.143. Uma polia fixada ao teto suporta um fio com corpos de massas mi e i»2 
amarrados as suas extremidades As massas da polia e do fio são 
desprezíveis. Há ausência de atrito. Encontre a aceleração wc do centro de 
massa desse sistema.
1.144. Duas partículas que interagem entre si formam um sistema fechado cujo centro 
de massa está em repouso. A Figura 1.36 ilustra as posições de ambas as 
partículas num determinado instante e a trajetória da partícula de massa i»i. 
Desenhe a trajetória da partícula de massa mz, sabendo que mz = »h/2.
Problemas em Física Geral
Figura 1.36.
Figura 1.37. Figura 1.38.
37
1.145. Uma corrente fechada A de massa m = 0,36 kg é amarrada a um eixo vertical 
rotatório por meio de um fio (Figura 1.37) que gira com uma velocidade angular 
constante o> = 35 rad/s. O fio forma um ângulo 0 = 45° com a vertical. Encontre 
a distância entre o centro de gravidade da corrente e o eixo de rotação. Calcule 
também a tensão do fio.
1.147. No referencial K, duas partículas viajam ao longo do eixo x, uma de massa m, 
com velocidade vi, e a outra de massa im com velocidade vj. Encontre:
(a) a velocidade V do referencial K‘ no qual a energia cinética acumulada 
dessas partículas é mínima;
(b) a energia cinética acumulada dessas partículas no referencial K'.
1.148. O referencial no qual o centro de massa de um determinado sistema de 
partículas está em repousorealiza um movimento de translaçâo, com uma 
velocidade V, em relação a um referencial inercial K. A massa do sistema de 
partículas é igual ainea energia total do sistema no referencial do centro de 
massa é igual a È. Encontre a energia total E desse sistema de partículas no 
referencial K.
1.146. Um cone circular A, de massa m = 3,2 kg e meio ângulo a = 10°, rola 
uniformemente e sem escorregar ao longo de uma superfície cônica circular B, de 
modo que seu ápice O permanece estacionário (Figura 1.38) O centro de 
gravidade do cone A está ao mesmo nível do ponto O e a uma distância / = 17 cm 
do mesmo. O eixo do cone move-se com velocidade angular w. Encontre:
(a) a força de atrito estático agindo sobre o cone A. sabendo que to = 1.0 rad/s;
(b) a quais valores de w o cone A rolará sem escorregar, se o coeficiente de 
atrito entre as superfícies é igual a k = 0,25.
Problemas em Física Geral
F
Figura 1.40.
e
UI
Figura 1.41.
ill
38
Os cubos estão também conectados por um fio, o qual é queimado em um 
determinado instante. Encontre:
(a) para quais valores de Al, a compressão inicial da mola, o cubo inferior irá 
saltar após o fio ter sido queimado;
(b) a qual altura h o centro de gravidade desse sistema subirá se a compressão 
inicial da mola Al = 7 mglx.
1 xhAAAWA[~
1.149. Dois pequenos discos de massas m, e 1112, interconectados por uma mola leve, 
repousam num plano horizontal liso. Os discos são colocados em movimento 
com velocidades iniciais t>i e V2, cujas direções são perpendiculares entre si e 
situadas num plano horizontal. Encontre a energia total È desse sistema no 
referencial do centro de massa.
1.150. Um sistema consiste de duas pequenas esferas de massas íííi e 1112 
interconectadas por uma mola leve. No instante t = 0, as esferas são colocadas 
em movimento com velocidades iniciais v, e Vj, após as quais 0 sistema começa 
a mover-se no plano gravitacional uniforme da Terra. Desprezando a resistência 
do ar, encontre, em função do tempo, o momento total desse sistema e 0 vetor 
posição do seu centro de massa em relação à posição inicial do centro.
1.151. Duas barras de massas mi e »iz, conectadas por uma mola leve de constante 
elástica x (Figura 1.39), repousam sobre um plano horizontal liso. A barra 2 é 
deslocada a uma pequena distância x para a esquerda e é, então, liberada. 
Encontre a velocidade do centro de massa do sistema após a barra 1 perder 0 
contato com a parede.
in, r m2
Figura 1.39.
1.152. Duas barras conectadas por uma mola leve de constante elástica 
comprimento (no estado não-deformado) (o. repousam sobre um plano 
horizontal. Uma força horizontal constante F começa a agir sobre uma das 
barras, como mostrado na Figura 1.40 Encontre as distâncias máxima e 
minima entre as barras durante 0 subsequente movimento do sistema, se as 
massas das barras são
(a) iguais;
(b) iguais a »n e mz, e a força F é aplicada sobre a barra de massa mi.
1.153. Um sistema é constituído por dois cubos idênticos, com massa 111 cada um, 
ligados por uma mola leve comprimida de constante elástica x (Figura 1.41).
Problemas em Física Geral
39
1.160. Uma polia estacionária suporta uma corda a qual suporta, numa de suas 
extremidades, um homem e na outra extremidade o contrapeso de massa M. 
O homem de massa m sobe a escada a uma distância 1' e, então, para. 
Desprezando a massa da corda e o atrito do eixo da polia, encontre o posição 1 
do centro de massa desse sistema.
1.155. Dois carrinhos abertos idênticos movem-se um após o outro devido à inércia 
(sem atrito) com a mesma velocidade v0. Um homem de massa m dirige o 
carrinho de trás. Num determinado instante, o homem pula para o carrinho da 
frente com uma velocidade u em relação ao seu carrinho. Sabendo-se que a 
massa de cada carrinho é igual a M, encontre as velocidades com as quais os 
carrinhos irão mover-se depois do salto.
1.156. Dois homens, cada um com massa m, estão de pé na borda de um carrinho 
aberto estacionário de massa M. Considerando que o atrito seja desprezível, 
encontre a velocidade do carrinho após ambos os homens pularem para 
fora dele com a mesma velocidade horizontal u em relação ao carrinho: 
(1) simultaneamente; (2) um após o outro. Em qual caso a velocidade do 
carrinho será maior e em quantas vezes?
1.157. Uma corrente está pendurada por um fio e toca a superfície de uma mesa 
através de sua extremidade inferior. Mostre que, após o fio ter sido queimado, a 
força exercida sobre a mesa pela parte que está caindo da corrente num 
determinado momento é duas vezes maior do que a força da pressão exercida 
pela parte que já estava sobre a mesa.
1.158 Uma esfera de aço de massa m = 50 g cai de uma altura h = 1,0 m sobre a 
superfície horizontal de uma prancha maciça. Encontre o momento cumulativo 
que a esfera comunica à prancha após numerosos saltos, se cada impacto 
diminui a velocidade da esfera em q = 1,25 vezes
1.159. Uma balsa de massa M, transportando um homem de massa m, permanece 
sem movimento sobre a superfície de um lago O homem move-se a uma 
distância 1', em relação á balsa, com velocidade v' (f) e, então, para. 
Considerando que a resistência da água seja desprezível, encontre:
(a) o posiçãoda balsa 1 em relação à margem;
(b) a componente horizontal da força que o homem aplicou à balsa durante o 
movimento.
1.154. Dois carrinhos abertos e idênticos 1 e 2, com um homem em cada um deles, 
movem-se sem atrito devido à inércia ao longo de caminhos paralelos, um em 
direção ao outro. Quando os carrinhos estão contrários um ao outro, os homens 
trocam seus lugares pulando em direção perpendicular à direção do movimento. 
Como consequência, o carrinho 1 para e o carrinho 2 continua a mover-se na 
mesma direção, com velocidade igual a v. Encontre as velocidades iniciais dos 
carrinhos v, e v? se a massa de cada um (sem os homens) é igual a M e a massa 
de cada homem é m.
Problemas em Física Geral
m
in
Figura 1.43.
Figura 1.44.
M
40
Devido ao atrito entre o disco e a prancha, o disco desacelera e, a partir de 
determinado instante, move-se juntamente com a prancha.
(1) Encontre o trabalho total realizado pelas forças de atrito nesse processo.
(2) Pode-se afirmar que o resultado obtido independe da escolha do nível de 
referência?
o—>■ i , i
Figura 1.42.
1.164. Um pequeno disco de massa m desliza para baixo de uma colina lisa de 
altura h, com velocidade inicial nula, e depara-se com uma prancha de massa 
M, a qual repousa sobre um plano horizontal na base da colina (Figura 1.44).
1.161. Um canhão de massa M começa a deslizar livremente para baixo de um plano 
liso inclinado de um ângulo a em relação à horizontal. Depois que o canhão 
percorreu a distância I, um tiro foi disparado e a bala deixou o canhão na 
direção horizontal com um momento p. Como consequência disso, o canhão 
parou. Considerando que a massa da bala seja desprezível, quando comparada 
àquela do canhão, determine a duração do disparo.
1.162. Uma bala de massa m voando horizontalmente fica presa a um corpo de massa 
M suspenso por dois fios idênticos de comprimento / (Figura 1.42). Como 
resultado, os fios desviam-se a um ângulo 0. Considerando m « M encontre;
(a) a velocidade da bala antes de atingir o corpo.
(b) a fração da energia cinética inicial da bala que transformou-se em calor.
1.163. Um corpo de massa M (Figura 1.43), com um pequeno disco da massa m 
localizado em cima dele, repousa sobre um plano horizontal liso. O disco é 
colocado em movimento na direção horizontal com velocidade v. A que altura 
(em relação ao nível inicial) o disco subirá após escapar do corpo M? O atrito é 
considerado ausente.
1.165. Uma pedra cai, com velocidade inicial nula, de uma altura /i em direção á 
superfície da Terra A resistência do ar é considerada desprezível. A pedra atinge 
o solo com velocidade r>0 = ^2^/1 em relação à Terra. Obtenha a mesma fórmula 
em relação ao referencial “caindo" em direção à Terra com uma velocidade 
constante vo.
I I
M
Problemas em Física Geral
41
1.166. Uma partícula