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Modulo de Cálculo Infinitesimal
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Manual Cálculo Infinitesimal Direitos de autor (copyright) Este Módulo não pode ser reproduzido para fins comerciais. Em caso de reprodução, deve ser mantida a referência à Universidade Pedagógica e aos Autores do Módulo. Universidade Pedagógica Rua Comandante Augusto Cardoso, n.º 135 Telefone: 21-320860/2 Telefone: 21 – 306720 Fax: +258 21-322113 Agradecimentos À COMMONWEALTH of LEARNING (COL), pela disponibilização do Template usado na produção dos Módulos. Ao Instituto Nacional de Educação à Distância (INED), pela orientação e apoio prestados. Ao Magnífico Reitor, Directores de Faculdade e Chefes de Departamento, pelo apoio prestado em todo o processo. Ficha Técnica Autor: Vasco Agostinho João Cuambe Desenho Instrucional: Revisão Linguística: Jerónimo Simão Maquetização: Edição: Cálculo Infinitesimal i Índice Visão geral 1 Bem-Vindo ao estudo do Módulo de Cálculo Infinitesimal ........................................... 1 Objectivos do curso .......................................................................................................... 2 Quem deveria estudar este módulo ................................................................................... 2 Como está estruturado este módulo .................................................................................. 3 Ícones de actividade .......................................................................................................... 4 Avaliação .......................................................................................................................... 5 Unidade I 7 O Corpo do Números Reais .............................................................................................. 7 Introdução ................................................................................................................ 7 Lição Nº 1 8 Generalidades sobre estruturas Algébricas ....................................................................... 8 Introdução ................................................................................................................ 8 Sumário ........................................................................................................................... 12 Exercícios ........................................................................................................................ 12 Lição nº 2 14 Grupoide, Semi Grupo e Grupo ...................................................................................... 14 Introdução .............................................................................................................. 14 Sumário ........................................................................................................................... 18 Exercícios ........................................................................................................................ 18 Lição nº 3 21 Generalidades sobre os Números Reais .......................................................................... 21 Introdução .............................................................................................................. 21 Sumário ........................................................................................................................... 28 Exercícios ........................................................................................................................ 28 Unidade II 31 Sucessões Numéricas ...................................................................................................... 31 Introdução .............................................................................................................. 31 Introdução ao estudo de Sucessões ................................................................................. 32 Introdução .............................................................................................................. 32 ii Índice Sucessões de Números Reais .......................................................................................... 32 Sumário ........................................................................................................................... 37 Exercícios ........................................................................................................................ 38 Lição nº 5 40 Sucessões Enquadradas. Estudo da Sucessão (un )=a n .................................................... 40 Introdução .............................................................................................................. 40 Sumário ........................................................................................................................... 44 Exercícios ........................................................................................................................ 45 Lição nº 6 47 Estudo da Sucessão 1 1 n n .......................................................................................... 47 Introdução .............................................................................................................. 47 Sumário ........................................................................................................................... 52 Exercícios ........................................................................................................................ 52 Unidade III 53 Limite e Continuidade de Funções ................................................................................. 53 Introdução .............................................................................................................. 53 Lição nº 7 54 Generalidades sobre Funções .......................................................................................... 54 Introdução .............................................................................................................. 54 Sumário ........................................................................................................................... 62 Exercícios ........................................................................................................................ 62 Lição nº 8 64 Tipos de Funções ............................................................................................................ 64 Introdução .............................................................................................................. 64 Tipos de Funções ................................................................................................... 64 Sumário ........................................................................................................................... 74 Exercício ......................................................................................................................... 74 Lição nº 9 77 Limite de Funções ........................................................................................................... 77 Introdução .............................................................................................................. 77 Sumário ........................................................................................................................... 85 Exercícios ........................................................................................................................ 85 Propriedades de Limites .................................................................................................. 87 Introdução .............................................................................................................. 87 Cálculo Infinitesimal iii Sumário ........................................................................................................................... 92 Exercícios ........................................................................................................................ 92 Lição nº 12 93 Cálculo de limite de uma função .................................................................................... 93 Introdução .............................................................................................................. 93 Sumário ........................................................................................................................... 97 Exercícios ........................................................................................................................ 97 Lição nº 13 98 Limites Notáveis ............................................................................................................. 98 Introdução .............................................................................................................. 98 Sumário ......................................................................................................................... 102 Exercícios ...................................................................................................................... 102 Lição nº 14 104 Limite notável exponencial e Logarítmica ................................................................... 104 Introdução ............................................................................................................ 104 Sumário ......................................................................................................................... 107 Exercícios ...................................................................................................................... 107 Lição nº 15 109 Continuidade de Funções .............................................................................................. 109 Introdução ............................................................................................................ 109 Sumário ......................................................................................................................... 112 Exercícios ...................................................................................................................... 112 Unidade IV 116 Cálculo Diferencial ....................................................................................................... 116 Introdução ............................................................................................................ 116 Lição nº 16 118 Derivada de uma função num ponto ............................................................................. 118 Introdução ............................................................................................................ 118 Sumário ......................................................................................................................... 125 Exercícios ...................................................................................................................... 125 Lição nº 17 127 Derivadas Laterais ........................................................................................................ 127 Introdução ............................................................................................................ 127 iv Índice Sumário ......................................................................................................................... 128 Exercícios ...................................................................................................................... 129 Lição nº 18 130 Regras de derivação ...................................................................................................... 130 Introdução ............................................................................................................ 130 Sumário ......................................................................................................................... 134 Exercícios ...................................................................................................................... 134 Lição nº 19 136 Derivada de Funções Compostas .................................................................................. 136 Introdução ............................................................................................................ 136 Sumário ......................................................................................................................... 140 Exercícios ...................................................................................................................... 140 Lição nº 20 142 Derivada de Funções Elementares ................................................................................ 142 Introdução ............................................................................................................ 142 Sumário ......................................................................................................................... 145 Exercícios ...................................................................................................................... 146 Lição nº 21 149 Derivada de Funções Trigonométricas Inversas ........................................................... 149 Introdução ............................................................................................................ 149 Sumário ......................................................................................................................... 153 Exercícios ...................................................................................................................... 153 Lição nº 22 155 Derivadas de Funções Hiperbólicas e Implicitas .......................................................... 155 Introdução ............................................................................................................ 155 Sumário ......................................................................................................................... 158 Exercícios ...................................................................................................................... 159 Lição nº 23 161 Derivada de Funções Paramétricas. Diferencial de uma Função .................................. 161 Introdução ............................................................................................................ 161 Sumário ......................................................................................................................... 166 Exercícios ...................................................................................................................... 166 Lição nº 24 169 Velocidade e Aceleração .............................................................................................. 169 Introdução ............................................................................................................ 169 Cálculo Infinitesimal v Sumário ......................................................................................................................... 175 Exercícios ...................................................................................................................... 176 Lição nº 25 180 Máximo e Mínimo de uma Função ............................................................................... 180 Introdução ............................................................................................................ 180 Sumário ......................................................................................................................... 189 Exercícios ...................................................................................................................... 189 Lição nº 26 191 Assimptotas Verticais e não Verticais .......................................................................... 191 Introdução ............................................................................................................ 191 Sumário ......................................................................................................................... 199 Exercícios ...................................................................................................................... 199 Lição nº 27 202 Aplicações de derivadas na Resolução de Problemas de Optimização ........................ 202 Introdução ............................................................................................................ 202 Sumário ......................................................................................................................... 207 Exercícios ...................................................................................................................... 208 Lição nº 28 210 Teoremas sobre Derivadas. Regra de L´Hospital ......................................................... 210 Introdução ............................................................................................................ 210 Sumário ......................................................................................................................... 215 Exercícios ...................................................................................................................... 215 Lição nº 29 217 Formula de Taylor ........................................................................................................ 217 Introdução ............................................................................................................ 217 Sumário ......................................................................................................................... 222 Exercícios ...................................................................................................................... 223 Unidade v 225 Aplicações Geométricas da Derivada. Curvaturas ....................................................... 225 Introdução ............................................................................................................ 225 Sumário ......................................................................................................................... 230 Exercícios ...................................................................................................................... 230 Lição nº 31 231 Curvatura ...................................................................................................................... 231 Introdução ............................................................................................................ 231 vi Índice Sumário ......................................................................................................................... 234 Exercícios ...................................................................................................................... 234 Cálculo Infinitesimal 1 Visão geral Bem-Vindo ao estudo do Módulo de Cálculo Infinitesimal Caro estudante! Neste módulo, você vai aprender sobre o Cálculo Infinitesimal. Este módulo permitir-lhe-á desenvolver as suas habilidades matemáticas para resolução de problemas matemáticos. O presente módulo está subdividido em cinco unidades principais, nomeadamente: A unidade I: Aborda o conjunto dos Números Reais onde se pode encontrar as operações sobre os Números Reais, módulo de um número real e alguns teoremas básicos sobre os números reais. A Unidade II: aborda questões relacionadas com sucessões dos números reais, onde pode se encontrar os teoremas fundamentais sobre convergência e divergências de sucessões, sucessões enquadradas e o número de Neper. A unidade III: aborda o estudo da função de uma variável real na sua generalidade; trata, também, do estudo de limite de funções nas suas diversas vertentes, bem como do estudo de continuidade de funções. A unidade IV: versa essencialmente sobre o estudo de derivadas de uma função. Esta constitui a unidade fundamental no que diz respeito a introdução à Análise Matemática. Nesta unidade, estão destacados os vários aspectos ligados ao cálculo diferencial em R, bem como as suas respectivas aplicações. A Unidade V: Versará sobre os estudos de algumas curvas contínuas em R, nela poder-se-á encontrar o estudo das curvaturas, equações da tangente e da normal. 2 Objectivos do curso Quando terminar o estudo deste Módulo, o estudante deverá ser capaz de: Objectivos Realizar as operações básicas no domínio dos Números Reais; Calcular os limites de funções de variável real nas suas diferentes vertentes; Analisar a continuidade de uma função num ponto; Calcular as derivadas de diversas funções aplicando as regras fundamentais de derivação; Aplicar o conceito de derivada na resolução de problemas; Classificar as diferentes curvas contínuas; Achar as curvaturas de uma curva. Quem deveria estudar este módulo Este Módulo foi concebido para todos aqueles que tenham concluído a 12 a classe do ESG ou equivalente e se tenham inscrito no Curso à Distância fornecido pela Universidade Pedagógica. Cálculo Infinitesimal 3 Como está estruturado este módulo Todos os módulos dos cursos produzidos pela Universidade Pedagógica encontram-se estruturados da seguinte maneira: Páginas introdutórias Um índice completo. Uma visão geral detalhada do curso / módulo, resumindo os aspectos- chave que você precisa de conhecer para completar o estudo. Recomendamos vivamente que leia esta secção com atenção antes de começar o seu estudo. Conteúdo do curso / módulo O curso está estruturado em unidades. Cada unidade incluirá uma introdução, objectivos, conteúdo, incluindo actividades de aprendizagem, um sumário e uma ou mais actividades para auto- avaliação. O módulo de Cálculo Infinitesimal é constituído por V Unidades Temáticas. Cada unidade apresenta: Uma introdução que dá uma orientação geral sobre o aspecto central de estudo; Os objectivos gerais; Um conjunto de lições, variáveis de unidade para unidade. Cada lição possui por sua vez: Uma introdução; As horas necessárias para o estudo de cada lição; Os objectivos; Os conteúdos, onde é apresentada a matéria essencial da lição; Um sumário, onde você pode encontrar os eixos centrais de cada lição; 4 Exercícios de auto-avaliação, onde você pode testar a compreensão da lição; As referências complementares identificadas como leituras onde se encontram indicados os livros a que você pode recorrer para aprofundar os seus conhecimentos. Outros recursos Se você está interessado em aprender mais, preste atenção à lista de recursos adicionais e explore-os. Esses recursos podem incluir livros, artigos ou sites na Internet. Tarefas de avaliação e/ou Auto-avaliação As tarefas de avaliação para este módulo encontram-se no final de cada unidade. Sempre que necessário, dão-se folhas individuais para desenvolver as tarefas, assim como instruções para as completar. Estes elementos encontram-se no final do módulo. Comentários e sugestões Esta é a sua oportunidade para nos dar sugestões e fazer comentários sobre a estrutura e o conteúdo do módulo. Os seus comentários serão úteis para nos ajudar a avaliar e melhorar este módulo. Ícones de actividade Ao longo deste manual, irá encontrar uma série de ícones nas margens das folhas. Estes ícones servem para identificar diferentes partes do processo de aprendizagem. Podem indicar uma parcela específica de texto, uma nova actividade ou tarefa, uma mudança de actividade, etc. Acerca dos ícones Os ícones usados neste manual são símbolos africanos, conhecidos por adrinka. Estes símbolos têm origem no povo Ashante de África Ocidental, datam do século 17 e ainda se usam hoje em dia. Pode ver o conjunto completo de ícones deste manual já a seguir, cada um com uma descrição do seu significado e da forma como nós interpretámos esse significado para representar as várias actividades ao longo deste curso / módulo. Cálculo Infinitesimal 5 Comprometimento/ perseverança Actividade Resistência, perseverança Auto-avaliação “Qualidade do trabalho” (excelência/ autenticidade) Avaliação / Teste “Aprender através da experiência” Exemplo / Estudo de caso Paz/harmonia Debate Unidade/relações humanas Actividade de grupo Vigilância / preocupação Tome Nota! “Eu mudo ou transformo a minha vida” Objectivos [Ajuda-me] deixa- me ajudar-te” Leitura “Pronto a enfrentar as vicissitudes da vida” (fortitude / preparação) Reflexão “Nó da sabedoria” Terminologia Apoio / encorajamento Dica Avaliação Durante o curso, serão feitas duas avaliações parciais e um exame. Essas avaliações serão realizadas na Universidade Pedagógica. Cálculo Infinitesimal 7 Unidade I O Corpo dos Números Reais Introdução Caro estudante e futuro professor de Matemática, tem pela frente a primeira unidade sobre os números reais, trata-se de uma unidade que sintetiza a construção dos números reais. Contudo, a construção mais detalhada irá aprender na cadeira de teoria de grupos. Para o caso deste módulo, iremos fornecer os elementos essenciais para que possa perceber o desenvolvimento das lições que você vai aprender ao longo do módulo. Estimamos em 7 horas o tempo necessário para o estudo desta unidade e será estudada em três lições. Ao completar esta unidade, você será capaz de: Objectivos Enunciar os axiomas sobre os Números Reais; Analisar os intervalos de Números Reais; Definir o conceito de módulo de um Número Real; Aplicar as propriedades de módulos na resolução de equações e inequações modulares. 8 Lição Nº 1 Generalidades sobre estruturas Algébricas Introdução Caro estudante, tens aqui a primeira lição deste módulo, trata-se de generalidades sobre estruturas algébricas, onde vai aprender os conceitos de operações, grupoídes, semi-grupos e grupos. Esta lição poderá ser estuda em duas horas e meia, sendo uma hora para o estudo do texto e uma hora e meia para a resolução de exercícios Ao completar esta lição, você será capaz de: Objectivos Definir o conceito de operações; Realizar as operações binárias; Resolver exercícios sobre operações. Nesta lição, veja como se define o conceito de operação, acompanha. Operações Binárias Seja um conjunto qualquer e n um nº natural maior ou igual a 1. Entende- se por operação n ária em A, a uma aplicação do conjunto An de todas as n-úplas 1, 2 , , nx x x dos elementos de A no conjunto A. é a operação n-ária: : nA A As mais importantes (ou as mais usadas) são as operações binárias. Cálculo Infinitesimal 9 é a operação binária 2: : A A Exemplo A multiplicação e adição são operações binárias em : Multiplicação: 2 ,a b a b Observe: 3 3 4, 4 2 6 6 Adição: 2 ,a b a b Observe: 3 3 27 9 4, 4 6 6 6 2 Como já vimos a maneira como se define uma operação, veja caro estudante, as propriedades fundamentais das operações: Propriedades 1. A operação" "é comutativa: , : ( )x y A x y y x ; 2. A operação " "é Associativa: , , : ( ) ( )x y z A x y z x y z ; 3. A operação 1" "é distributiva à esquerda e à direita de 2" " 1 2 1 2 1, , : ( ) ( ) ( )x y z A x y z x y x z 2 1 1 2 1, , : ( ) ( ) ( )x y z A y z x y x z x ; 4. A operação" " goza da propriedade de Idepotência: :x A x x x ; 5. Tem um elemento neutro à direita e à esquerda; :x A u x x u x então u é elemento neutro dos dois lados. 6. Elemento oposto 1x é um elemento oposto: 1 1x x x x u . Tenha em consideração que 1x é símbolo de elemento oposto, então representa o inverso de x. 10 Exemplo Seja , 0u Assim, 1 1x x u x x o 7. Tem um elemento absorvente x é um elemento absorvente em “ ”: :x A x x x x x 8. Tem um elemento regular. Um elemento x A é regular (ou simplificável) à esquerda em relação à operação “ ”se e ex a x b a b . à direita em relação á operação “ ” se d da x b x a b Veja mais um exemplo de como se aplicam estas propriedades. Estudo de caso / Exemplo Considere a seguinte operação sobre E definida da seguinte maneira: E e x y x y a) Verifique se a operação é associativa; b) Verifique se a operação tem um elemento neutro; c) Verifique se a operação é comutativa; d) Determine os elementos simetrizáveis Resolução a) ( ) ( ) ( ) ( ) x y z x y Z x y z x y z x y z x y z A operação é associativa Cálculo Infinitesimal 11 Exemplo (continuação) b) Elemento Neutro 0 0 x u x x u x u x x u y y u y y u y y O elemento neutro da operação é zero c) A operação é comutativa x y y x x y y x Como a adição é comutativa, então x y y x x y x y d) Elemento simetrizáveis ou oposto 1 1 1 1 1 1 0 0 x x u x x x x y y u y y y y Assim os elementos opostos são x e y Depois de estudado o texto bem como o exemplo apresentado, queira resolver a actividade que se segue como forma de verificar o seu grau de compreensão da lição. Em caso de dificuldade, significa que ainda não entendeu o texto pelo que, aconselhamos uma nova leitura. Só depois de concluir que já percebeu poderás partir para a resolução de exercícios Actividade Em 2 está definida a operação comutativa , definida por , , 1, 2a b c d a c b d a) Mostre que o elemento neutro é 1,2 b) Qual é o oposto de 1 3, 2 ? c) Determine o oposto de qualquer elemento ,a b Confira a sua resposta b) 1,2 c) 2, 4a b 12 Sumário Nesta lição, caro estudante, aprendeu o conceito de operação binária que diz: se “ ” é operação binária 2: : A A Aprendeu também as propriedades das operações que são: associativa, comutativa, distributiva à esquerda e à direita, idepotência, elemento neutro, elemento oposto, elemento absorvente e elemento regular. Exercícios Vimos um exemplo de como se aplicam as propriedades das operações. Em seguida, tem pela frente os exercícios de consolidação. Os mesmos não terão as respectivas respostas visto que a sua resolução baseia-se fundamentalmente em verificar as propriedades e não calcular. São exercícios simples que julgamos que não haverá muitas dificuldades. Contudo, caso existirem queira rever os exemplos dados. Auto-avaliação Em cada caso, considere a operação sobre E, e verifique se é associativa, se existe o elemento neutro, se é comutativa e determine o elemento oposto. a) E e x y x y b) E e x y x y xy c) xy E x y x y d) ( , ) ( , ) ( ,0)E e a b c d ac e) d) ( , ) ( , ) ( , )E e a b c d a c b d Confira as suas respostas a) é associativa, tem um elemento neutro, não é comutativa; b) é associativa, tem um elemento neutro, é comutativa; c) é associativa; d) é associativa, não tem elemento neutro, não tem elemento oposto; e) é associativa, tem um elemento neutro, é comutativa. Cálculo Infinitesimal 13 14 Lição nº 2 Grupoide, Semi-Grupo e Grupo Introdução Nesta lição, você vai aprender as noções básicas sobre Grupos. São noções básicas porque o estudo mais aprofundado efectuará na cadeira de Teoria de Grupos. Mas como queremos aprender sobre os números reais, é imprescindível que tenhamos alguns conhecimentos básicos sobre estruturas algébricas. Esta lição poderá ser estudada em duas horas incluindo a resolução de exercícios. Ao completar esta lição, você será capaz de: Objectivos Definir os conceitos de grupoide, semi-grupo e grupo; Resolver exercícios de aplicação sobre grupoides, semi-grupos e grupos. Na lição anterior, você aprendeu sobre as operações bem como as respectivas propriedades. Veja, caro estudante, como é que isso se manifesta no estudo de estruturas algébricas. Para tal, vamos começar por definir a chamada lei de composição interna. Lei de Composição Interna, Grupoide, Semi-grupo e Grupo Lei de Composição Interna Ao conjunto vamos buscar dois números: sejam eles 2 e 3. Adicionando os números, obtemos o número 5 que é também um número natural. Assim, partimos de dois elementos do mesmo conjunto, efectuámos a operação e ainda obtivemos um elemento desse mesmo Cálculo Infinitesimal 15 conjunto. Por essa razão e como esta situação se verifica sempre, diz-se que a adição em é uma operação interna ou uma lei de operação interna. Definição Dado o conjunto E não vazio e a operação , é uma lei de composição interna no conjunto E, se e só faz corresponder a cada par ordenado ,a b de elementos de E um só elemento pertencente a E. : , E E E a b c a b Se os elementos de que partimos ou o resultado não pertencem ao mesmo conjunto não se trata de uma operação interna. Exemplo Diga justificando se é lei de composição interna: A operação que a cada par de números reais ,a b , faz corresponder o número 2a b Resolução: Se a e b são números reais também 2a b é um número real (a soma de dois números reais é um número real e o produto de dois números reais é um número real. Como já definimos o conceito de Lei de Composição interna, vamos de seguida definir o conceito e grupoide: Grupoide Definição Um conjunto E é um grupoide em relação à operação , se e só se é uma lei de composição interna em E. Semi-grupo Definição: Se num conjunto E, não vazio, está definida uma operação interna e esta é associativa, então diz-se que E tem estrutura de um semi-grupo. ,E é semi-grupo, então ,E é grupoide é associativa 16 Grupo Se ,E é um semi-grupo e tem um elemento neutro e todos os elementos têm um oposto, então ,E é um grupo. ,E é um grupo então , . E é semigrupo temelemento Neutro todos os elementos têmopsto N.B. Se para além destas propriedades é comutativa, o grupo diz-se Comutativo ou Abeliano Caro estudante, já viu as definições de grupoide, semi-grupo e grupo. Veja, de seguida, alguns exemplos de como se classificam algumas operações: Exemplo Seja ,0 com 4x y x y . Estudar a estrutura desta operação. Resolução 1º - Vamos verificar se é um grupoide. Para isso, deve-se verificar a lei de composição interna. Seja 1 2x e x 1 2 1 2 1 24 ,x x x x x x Trata-se de um grupoide. 2º - Verifiquemos se é Associativa ( ) ( 4) 4 4 4 4 4 4 4 x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z Assim, x y z x y z A operação é um semi-grupo 3º - Vamos verificar se é um grupo Elemento Neutro 4 4 4u x x u x x u o u Tem um elemento neutro que é 4 Elemento oposto 1 1 14 4 8x x u x x x x Tem um Elemento Oposto. Desta maneira, a operação definida é um grupo. Cálculo Infinitesimal 17 Veja mais um exemplo: Exemplo Em define-se a seguinte operação 3, ,a b a b a b Admitindo que , é um grupo, determine x , tal que: 2 1 1 2x x x Resolução 2 1 1 2x x x 2 1 1 2x x x 2 1 3 1 2x x x 2 2 2 1 3 1 3 2 2 6 2 0 2 8 0 4 2 x x x x x x x x x Caro estudante, você compreendeu a lição? Avalie a sua aprendizagem realizando a seguinte actividade: Actividade No conjunto 1.2.3.4.5.6A , defina a operação de modo que ,A seja grupo comutativo. A operação está explícita na seguinte tabela onde foram apagados alguns números. Descubra os números em falta. 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 1 5 3 3 2 5 1 4 4 1 5 6 3 5 5 3 1 6 6 6 2 1 18 Confira A sua resposta: 2ª Linha: 3 3ª linha: 6 4ª linha:2 5ª Linha: 4 e 2 6ª linha 5, 4 e 3 Sumário Nesta lição, você aprendeu os conceitos de grupoide, semi-grupo e grupo. Onde se destacou o seguinte: Um conjunto E é um grupoide em relação a operação , se e só se é uma lei de composição interna em E. ,E é Semi-grupo então ,E é grupoide é associativa ,E é um grupo então , . E é semigrupo temelemento Neutro todos os elementos têmopsto Exercícios Já apresentámos tudo sobre as noções básicas relativamente aos grupos. Em seguida, vamos apresentar os exercícios de modo a consolidar os seus conhecimentos. Todos os exercícios resolvem-se, essencialmente, com apoio dos exemplos dados anteriormente. Esperamos que não tenha muitas dificuldades. Resolva todos eles e confronte as suas soluções e caso as dificuldades persistam consulte o seu Tutor. Cálculo Infinitesimal 19 Auto-avaliação 1- Analise se é ou não um Grupo, cada uma das seguintes estruturas: a) , b) , c) 0( , ) ; d) ,p sendo P o conjunto dos inteiros pares; e) \ 0 , . 2- Complete a tabela, sabendo que ,A é um Grupo Comutativo, sendo 2, 1,0A e que 1 é o elemento neutro. 2 1 0 2 0 1 0 2 3- Mostre que o conjunto é a operação definida por: 3 2x y x x a) Mostre que , é grupoide; b) Averigúe se , é um grupo; 4- Considere a operação definida em , ,A a b c pela tabela. a b c a b a b b a b c c b c c a) Qual é o elemento neutro? b) Todos os elementos têm opostos? c) Mostre que , não é um semi-grupo. 5- Seja \ 1F e a seguinte operação : F F F e x y x y xy . Mostre que a operação é um Grupo Abeliano. 20 Confira as suas Soluções Exercício 1 a) Não; b) Não; c)Não; d) Não ; e) Sim Exercício 2 2 1 0 2 0 -2 -1 1 -2 -1 0 0 -1 0 2 Exercicio 3 b) Não Exercício 4 a); b); c) Todos os elementos têm opostos Cálculo Infinitesimal 21 Lição nº 3 Generalidades sobre os Números Reais Introdução Uma vez estudadas algumas estruturas algébricas, vamos nesta lição apresentar as generalidades sobre números reais. Esta lição é fundamental para a nossa cadeira, visto que desenvolveremos ao longo das aulas um estudo sobre funções reais de variável real. É uma lição que pode ser estudada em 3 horas, sendo hora e meia para a leitura e outra hora e meia para a resolução de exercícios. Ao completar esta lição, você será capaz de: Objectivos Realizar as operações em ; Definir axiomaticamente o conjunto ; Enunciar as propriedades dos números Reais; Enunciar e aplicar os subconjuntos de . Ao longo das lições anteriores mencionámos várias vezes o conjunto dos números reais, contudo em nenhum momento referenciámos como é que este conjunto apareceu. Nesta lição, havemos de nos ocupar com esta análise, isto é, como se constrói o conjunto dos números reais. Acompanhe! Números Reais Definição Axiomática do conjunto O conjunto é um conjunto munido de duas operações, Adição e Multiplicação, cujas propriedades são tomadas como axiomas. 1.1 Axiomas do Corpo 1 : , , ! :A x y z z x y (a adição é uma lei de composição interna). 22 2 : , , : )A x y z x y z x y z 3 : , :A x y x y y x 4 : : 0 0A o x x x x 5 : : 0A x y x y y x 6 : , ! :A x y z z x y (a multiplicação é uma lei de composição interna). 7 : , , : )A x y z x y z x y z 8 : , :A x y x y y x 9 : 1 : 1 1A x x x x 10 : \ 0 : . 1A x x x x x x 11 : , , :A x y z x y z x y x z Estes axiomas conferem à , , a estrutura de um corpo. 1.2 Axioma de Ordem Admite-se que existe que verifica os seguintes axiomas: 12 : ,A x y x y x y 13 : \ 0A x x x Estes axiomas conferem à a estrutura do corpo ordenado. Os símbolos , , e definem-se da seguinte maneira: 0x y y x y x x y x y x y x y y x x y Exemplo Prove que , , ,a b c a b b c a c Resolução Se 0a b b a Se b c c b o Assim: ( ) ( ) 0 ( ) 0b a c b a c o c a c a Cálculo Infinitesimal 23 Subconjuntos de Limites Superiores ou Majorante Seja S um subconjunto de não vazio e suponhamos que exista um número b tal que: , .x b x S O número b, diz-se Limite superior ou Majorante de S. Supremo ou extremo Superior Um número b, diz-se Extremo superior ou Supremo de um conjunto S, não vazio se: a) b é um Majorante de S; b) Nenhum número menor que b é Majorante de S. Máximo Um número b, diz-se máximo de um conjunto S, não vazio, se b é supremo de S e pertence a S. Limites Inferiores ou Minorantes Seja S, um subconjunto de Ø . Suponhamos que existe um número d tal que ,x d x S . O número d diz-se Limite inferior ou Minorante de S. Ínfimo ou Extremo Inferior O nº d diz-se Extremo inferior ou Ínfimo de S Ø se: a) d é um Limite inferior de S. b) Nenhum nº maior que d é Minorante de S. Mínimo Um nº d diz-se mínimo dum conjunto S, não vazio se d é extremo inferior de S e .d S 24 Estudo de caso / Exemplo 1- Dado o conjunto 2 , 1A , indique: a) O conjunto dos Majorados de A Solução: 1, b)O supremo de A Solução: 1 c) O máximo de A Solução: 1 2- Dado o conjunto C= 1 ,5 2 , indique a) o conjunto dos majorantes de C Solução: 5, b) O supremo de C Solução: 5 c) O máximo de C Solução: O conjunto C não tem máximo Estimado estudante, tem pela frente uma actividade que servirá de impulso para poder resolver os exercícios relativos aos subconjuntos de R. Veja se você percebeu os conteúdos propostos. Actividade Dado o conjunto 2: 1 2 1A x x , indique caso exista, o Supremo, Ínfimo, Máximo e Mínimo. Confira a sua resposta SupA= 3 Max A= 3 ìnf A = - 3 Mín A= - 3 No início desta lição vimos a definição axiomática dos números reais. Vamos agora apresentar o axioma de Completude e de Arquimedes, bem como o valor absoluto de um número real. Siga-nos! Cálculo Infinitesimal 25 Axioma de Completude Todo o conjunto S não vazio de números reais, que é limitado superiormente, tem um supremo em . Exemplo Dado o conjunto 2: 2A x x e 2: 2B x x Assim: Os conjuntos A e B admitem um Majorante; O conjunto A não possui Supremo; O conjunto B possui um Supremo que é 2 . Axioma de Arquimedes O conjunto dos Números Naturais ( ) não é majorante em Representação dos números Reais na recta A representação geométrica dos números reais como pontos de uma recta, chamada eixo real. A cada nº real corresponde a um e um só ponto da recta e inversamente: há uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos números Reais e o conjunto dos pontos da recta. Valor Absoluto de um Número Real Definição Sendo x um nº real, o valor absoluto de ou módulo de x é um número real não negativo que se designa por x e é assim definido: 0 0 x se x x x se x Igualdade e Valor Absoluto Se 1. 0 :a x a x a x a Demonstração Se 0x x a x a Se 0x x a x a x a 2. .x y x y , ,x y 26 Demonstração: 1º) Caso 0 0x y x x y y Como . 0x y x y x y x y 2º Caso 0 0x y x x e y y e como 0 . . ( ).( ) .x y x y x y x y x y 3º Caso 0 0x y x x y y e como 0 . ( ). .x y x y xy x y x y O 4º Caso fica como exercício Desigualdade e Valor absoluto 3. x x x x Demonstração 1º) se 0x x x . Assim, x é negativo x x x 2º Se 0x x x x x . Como x é positivo x x Desta maneira conclui-se que x x x x 4- x a a x a Demonstração fica como exercício! 5- x y x y Demonstração Sabe- se que: x x x y y y Assim: x y x y x y x y x y x y x y x y Cálculo Infinitesimal 27 6- x y x y Demonstração Atendendo que: ( )x x y y x x y y x y y x y x y (I) 7. x y x y Demonstração de y y x x y y x x y x y x y x x y (II) De I e II resulta que x y x y Uma vez estudadas as propriedades sobre os módulos, veja se percebeu a essência destas demonstrações que em simultâneo são exercícios, realizando as actividades que lhe propomos. Só poderá resolver os exercícios propostos quando realmente concluir que já percebeu. Actividade Prove que: a) 1 1 y y b) xx y y 2- Represente na forma de intervalos: a) 6 5x x b) 1 2 1 5x x Confira as suas respostas Exercicio 2 a) , 6 1,0 0,1 6, b) 5 5 ; 3 3 28 Sumário Nesta lição você aprendeu sobre os números reais, onde destacámos a construção axiomática dos números reais. Aprendeu também os subconjuntos dos números reais, onde se destaca os conceitos de Limites Superiores ou Majorante, Supremo ou Extremo Superior, Máximo, Limites Inferiores ou Minorantes, Ínfimo ou Extremo Inferior e Mínimo. Foi objecto de estudo, o conceito de Módulo de um número real que se define da seguinte maneira 0 0 x se x x x se x Exercícios Os exercícios que lhe apresentamos exibem um grau menor de dificuldade, contudo a sua realização depende do nível de percepção dos conteúdos estudados. Resolva todos os exercícios e confronte sempre com as soluções propostas. Caso tenha dificuldades não desanime pois, a aprendizagem é feita por persistência. Queira consultar aos seus colegas de estudo bem como ao seu Tutor se as dificuldades persistirem. Cálculo Infinitesimal 29 Auto-avaliação 1- Dados os conjuntos: 2 2:16 49 : 10A x n B x x , indique, caso exista, o supremo e o ínfimo de cada conjunto; 2- Considere o conjunto dos termos da sucessão do termo geral 1 n e determine: a) O conjunto dos Majorantes b) O conjunto dos minorantes c) O supremo; d) O máximo e) O ínfimo f) O mínimo; 3- Responda às questões anteriores, relativamente ao conjunto 3 2,2 4- Relativamente ao conjunto 2: 5 0x x , indique, se existirem: a) O supremo b) O ínfimo c) o máximo d) O mínimo; 5- Determine os valores de x tais que 1 2 4 1x x ; 6- Considere o conjunto 3 1 : , 2 n A x x n n . Indique, caso exista, o Sup A, max A, inf A e min A; 7- Dado o conjunto 2 , 0 1,5A , indique: a) o conjunto dos Majorados de A; b) o conjunto dos Minorados de A. Confira as suas soluções A) Supremo: 7; Ínfimo: 5 B) Supremo: não existe; Ínfimo: Não existe Exercício 2 ) 1, ) ,0 )1 )1 ) )a b c d e o f não existe Exercício 3 ) 2, ) , 3 )2 )2 ) 3 ) 3a b c d e f Exercício 4 ) 5 ) 5 )a b c Não tem d) Não tem. Exercício 5 4 4 3 x 30 Exercício 6 Inf A = mín A= 4 3 ; SupA = 3 e max A: Não existe Exercício 7 a) 5, b) , 2 Terminamos o estudo da primeira unidade, de seguida, apresentamos a bibliografia básica para o Estudo desta Unidade. Leitura 1- Neves Maria Augusta & Brito Maria Luísa, Matemática 12º Ano de escolaridade, livro de Texto 2º volume, porto Editora (ANO?) 2- Viera, Teresa Coutinho; Ventura, Maria Teresa Vieira & Vieira, Maria Isabel Coutinho; Matemática 12º Ano livro teoria e exercícios, Porto Editora (ANO?) 3- Freitas, Alfredo & Bastos, Francisco, Cálculo Avançado, Colecção Schaum, Editora McGraw-Hill,1971 Cálculo Infinitesimal 31 Unidade II Sucessões Numéricas Introdução Esta é a unidade número dois na qual vamos apresentar as sucessões numéricas. É uma unidade que não é nova, contudo alguns aspectos serão apresentados com um maior grau de aprofundamento. Serão abordados aspectos relacionados com convergência e divergência de sucessões, cálculo de limites de sucessões. Será também feito o estudo aprofundado do número de Nepper bem como as sucessões enquadradas. Esta unidade vai ser dada em quatro lições com uma carga horária total de cerca de 10 horas. Ao completar esta unidade, você será capaz de: Objectivos Classificar as sucessões quanto à convergência e divergência; Calcular os limites de sucessões. 32 Lição nº4 Introdução ao estudo de Sucessões Introdução Na primeira lição desta unidade, vamos apresentar as generalidades sobre as sucessões numéricas bem como os complementos sobre as sucessões numéricas. Serão apresentados os teoremas fundamentais e as respectivas demonstrações. Esta lição poderá ser estudada em duas horas e meia, uma hora e meia para a leitura do texto e uma hora para resolução de exercícios. Ao completar esta lição, você será capaz de: Objectivos Definir o conceito de Sucessão Numérica; Classificar as sucessões quanto à convergência; Demonstrar os teoremas básicos sobre convergência e divergência de sucessões. Estimado estudante, apresentamos em seguida a lição sobre as sucessões numéricas. Esperamos que você goste e acompanhe com interesse esta lição. Sucessões de Números Reais Caro estudante, vamos começar por definir o conceito de sucessão e depois desenvolveremos a teoria subordinada a esta definição Definição Sucessão de números reais é toda aplicação de em : nn u ou : ( )n f n n Indica a ordem do termo e nu ou ( )f n indica o termo geral A sucessão representa-se normalmente por nu Lição nº4 33 Exemplo São sucessões: 1 n n u n 21nv n e 1 1 5 5 2n n u u u n Sucessões Convergentes Definição: uma sucessão de termo geral nu converge para um número real a se para todo o número positivo , existe um correspondente número p , tal que: nnn p u a Em termos simbólicos a definição anterior pode ser escrita da seguinte maneira: lim :n nnn u a p n p u a Nota: , ( )n n nu a u a a u V a (vizinhança delta de a) Exemplo Prove que 1 3 3 2 2 n n Vamos provar aplicando a definição: ( ) nn n p u a 1 3 3 2 6 6 1 2 2 2 2 n n n n n n 1 1 2 2 n n Isto mostra que 1 2 p Definição Uma sucessão de temo geral nu é um infinitésimo se ela converge para zero. Uma sucessão que não é convergente diz-se divergente Depois destas definições, vamos apresentar alguns teoremas fundamentais sobre sucessões. Teorema 1: 34 Se uma sucessão é convergente, qualquer das suas subsucessões tem o mesmo limite. Demonstração Seja nu uma sucessão convergente para um nº real a e seja ( nv ) uma subsucessão de nu . Sendo nu convergente para a , tem-se 0 : np n p u a . Este facto é suficiente para garantir que também 0 : nr n r u a , pois (vn) é uma subsucessão de nu , isto é, todos os termos de ( )nv são elementos do conjunto dos termos de nu . Sucessões Monótonas Sucessões Crescentes Sentido Lato 1: n nn u u Sentido estrito 1: n nn u u Sucessões Decrescentes Sentido Lato 1: n nn u u Sentido estrito 1: n nn u u Sucessões Limitadas Uma sucessão nu é limitada se e somente se : nl u l . Observe que dizer n nu l l u l Teorema 2: Toda a sucessão monótona e limitada é convergente. Consideremos dois casos possíveis: a) Toda a sucessão crescente e limitada é convergente. Hipótese: nu é limitada Tese: nu é convergente Demonstração Seja um número positivo qualquer e a o menor dos majoranrtes do conjunto dos termos de nu (supremo). Então a não é majorante. Lição nº4 35 Então, existe, pelo menos, um termo da sucessão compreendido entre a e a ; seja p a ordem desse termo. Como nu é crescente, todos os termos de ordem superior a p pertencem ao intervalo ,a a logo nn p u a e como delta é qualquer, temos 0 : np n p u a lim nu a b) Toda a sucessão decrescente e limitada é convergente. Seja 0 e b o maior dos minorantes do conjunto dos termos da sucessão (ínfimo). Então, b não é minorante. b Logo, existe, pelo menos, um termo da sucessão entre b e b ; seja p a ordem desse termo. Mas como a sucessão é decrescente, todos os termos de ordem superior a p pertencem ao intervalo ,b b ou seja nn p u b . Como delta é qualquer, temos 0 : np n p u b lim nu b Teorema 3: Se a sucessão nu é tal que lim nu a , então a sucessão nu é tal que lim nu a Demonstração Seja nu uma sucessão convergente para a e seja um nº positivo. Atendendo à hipótese, existe uma ordem p tal que nn p u a . Mas de acordo com as regras de adição e subtracção dos números reais, tem-se n nu a u a . Assim, temos nn p u a . Como delta é qualquer nº positivo, é verdadeira a proposição 0 : np n p u a . Isto significa que lim nu a a up a b up 36 A lição já vai longa, visto que é muito abstracta. É uma lição basicamente de demonstrações de certas propriedades que não são normalmente demonstradas no ensino secundário. Esperamos que tenha acompanhado com atenção. Em seguida, vamos apresentar alguns exemplos de aplicação de algumas destas propriedades. Exemplo 1- Verifique se a seguinte sucessão é ou não convergente 2 2 3 5 n n a n n Resolução: Coloquemos em vidência a potência máxima do numerador e do denominador: 2 2 2 2 2 2 3 35 5 3 5 3 11 11 n n n n na n n n nn . A sucessão é convergente. 3- Dada a sucessão de termo geral 2 5nu n . Determine o termo a partir da qual 1000nu Resolução Como 1000nu 2 5 1000 2 5 1000n n 1005 2 1005 502,5 2 n n 502,5n O primeiro valor natural que satisfaz a desigualdade anterior é 503. Assim, 503 1001u Uma vez vistos os exemplos, vamos de seguida apresentar uma actividade para que você possa avaliar se compreendeu ou não a lição anterior. Actividade 1- Demonstre que o inverso de um infinitésimo é um infinitamente grande; 2- Dada a sucessão de c termo geral 1 3 2 nu n . Determine a ordem a partir da qual 1 2000 nu 3- Prove por definição que 3 1 2 5 2 n n Lição nº4 37 Confira as suas soluções Exercício 2: 668n Sumário Nesta lição, você aprendeu as generalidades sobre sucessões numéricas. Fundamentalmente, apresentámos a definição da sucessão numérica, como uma aplicação de em . Foram também apresentados os teoremas sobre convergência de sucessões, sucessões monótonas e limitadas. Quanto à monotonia, vimos que: Sucessões Crescentes Sentido Lato 1: n nn u u Sentido estrito 1: n nn u u Sucessões Decrescentes Sentido Lato 1: n nn u u Sentido estrito 1: n nn u u Quanto à sucessão limitada vimos que, uma sucessão nu é limitada se e somente se : nl u l . 38 Exercícios Caro estudante, vamos em seguida apresentar os exercícios de consolidação. Neste grupo de exercícios, os do tipo mostre e demonstre não terão logicamente, pela natureza da própria resposta, uma solução, daí que aconselhamos que leia cuidadosa e atenciosamente o texto de modo a abstrair-se. Quanto ao outro tipo de exercícios, apresentaremos, como tem sido hábito, as soluções possíveis. Auto-avaliação 1- Demonstre que o produto duma constante por um infinitésimo é um infinitésimo; 2- Demonstre que a soma de dois infinitésimos é outro infinitésimo; 3- O inverso de um infinitésimo é um infinitamente grande e vice- versa. 4- Encontre o termo geral das seguintes sucessões: a) 1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16 b) 1 1 1 1 , , , , 2 4 6 8 c) 2,7,12,17… d) 1 2 3 4 , , , , 4 9 16 25 e)1 2 4 8 1, , , , 3 9 27 5- Das seguintes sucessões, indique as que são convergentes. Das convergentes indique o seu limite. a) ( 1)n n b) 1 3 1 n n c) 3 3 3 5 2 n n n d) 1 n n e) 1 2 1 1 n n n f) 2 1 ! 2 1 ! n n g) ln 2 ln 2n 6- Se 1000 meticais forem investidos a uma taxa de juros de 6%, compostos anualmente depois de n anos o investimento valerá 1000. 1.06 n na meticais. a) Ache os cinco primeiros termos da sucessão, b) A sucessão é convergente ou divergente? Justifique 7- Mostre que a sucessão definida por 1 1a , 1 1 3n n a a e crescente e 3na para todo o número. Deduza que na é convergente e calcule o limite. Lição nº4 39 Auto - avaliação (continuação) 8- Prove por definição que a) 2 2 4 3 1 4 3 n n b) 3 1 3 5 3 n n 9- Considere a sucessão 1 4 7 ; , , 2 6 10 Sabendo que o limite é 3 4 determine a ordem e o termo da sucessão a partir da qual a diferença para o limite é em valor absoluto menor que 0,01. Confira as suas soluções Exercício 4 a) 1 2 n n u b) 1 2 nu n c) 2 3nu n d) 21 ( 1) n n n e) 1 2 3 n Converge para zero Exercícios 5 a) Diverge b) converge para 1 3 c ) Converge para 5 2 d) Converge para 1 e) Diverge f) Converge para zero g) converge para zero Exercício 6 a)1060; 1123,60 ; 1191,02 ; 1262,48; 1338,23 b) Diverge Exercício 7: 3 5 2 Exercício 9: 14n 40 Lição nº 5 Sucessões Enquadradas. Estudo da Sucessão (un )=an Introdução Nesta lição, vamos apresentar o estudo das sucessões enquadradas, bem como o estudo da sucessão ( ) n nu a . Também serão apresentados os teoremas correspondentes às operações com sucessões. Esta lição poderá ser estudada em duas horas e meia incluindo a resolução de exercícios. Ao completar esta lição, você será capaz de: Objectivos Calcular os limites de sucessões enquadradas; Levantar indeterminações do tipo ,0 , e outros. Na lição anterior, apresentámos generalidades sobre sucessões reais. Nesta lição, vamos estudar o cálculo de limites de sucessões tendo como base os teoremas estudados. Vamos começar o nosso estudo com as sucessões enquadradas. Sucessões Enquadradas Vamos enunciar em forma de um teorema: Teorema 4 Se nu e nv são sucessões convergentes com o mesmo limite a e se, a partir de certa ordem, a sucessão nw é tal que n n nu w v , então lim nu a Demonstração Sendo lim nu a e lim nv a é lim 0n nv u ora, n n nu w v , conclui-se que é 0 n n n nw u v u . Como para todo 0 , existe uma ordem p tal que n nn p v u pois, lim 0n nv u , também Lição nº4 41 para todo 0 , se tem n nn p w v . Podendo concluir-se que lim lim limn n nw u w a Veja um exemplo: Estudo de caso / Exemplo Calcular o 2 1 lim 3 n n k n n k Resolução: Designemos por 2 1 3 n n k n w n k Para 2 2 2 2 2 1: 3 3 3 3 3 n n n n n n k u n n n n n n Assim, 2 2 lim lim 1 3 n n v n Para k n temos: 2 2 2 2 23 3 3 3 3 n n n n n n v n n n n n n n n n n n Assim, 2 2 lim lim 1 3 n n u n n Como 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 3 3 3 lim lim 3 3 3 n k n k n n n n n k n n n n n n n k n n Desta maneira, 2 2 1 lim 1 3 n k n n k Caro estudante, veja se você percebeu realizando a seguinte actividade: Actividade Calcule 2 3 1 2 lim 2 5 n k n n k 42 Confira as suas soluções Sol: 1 Estudo da Sucessão n nu a Esta sucessão já foi objecto de estudo no ensino secundário. Nesta lição, vamos apenas sintetizar o que já foi estudado. Quadro I Valores de a Monotonia de Sucessão n nu a 1a Sucessão crescente 1a Sucessão constante 0 1a Sucessão decrescente 0a Sucessão constante 0a Sucessão não monótona Quadro II Valores de a Limite da exponencial n nu a 1a 1a 1 1a 0 1a Não existe 1a Não existe nnu a é um infinitamente grande Exemplo ) lim 2na b) 2 lim 0 3 n c) 2 lim 0 5 n d) 2 4 1 2 4 44 lim lim lim 0 8 8 8 n n n n n n n n Caro estudante, esperamos que tenha percebido o exemplo anterior e, para isso, realize a seguinte actividade. Lição nº4 43 Actividade Calcule: a) lim 2 1 n n n n b) 4 lim 2 1 n n n n Confira a sua resposta a) 0 b) Operações com limite de Sucessões Se nu e nv forem sucessões convergentes e k uma constante então, 1- lim lim limn n n nu v u v 2- lim( ) lim limn n n nu v u v 3- lim lim lim n n n n u u v v se lim 0nv 4- lim( ) limn nku k u 5. lim limn nu u 6. lim limn nu u 7. lim lim k k n nu u Para fixarmos as ideias, vamos demonstrar algumas das proposições anteriores: 1-Demonstre que lim lim limn n n nu v u v Vamos considerar o caso de adição. A subtracção ficará como exercício. lim lim limn n n nu v u v Hipótese: seja lim limn nu a v b Tese: lim lim limn n n nu v u v a b Se: lim nu a 1 1 1n nn p u a a u a Se: lim nv b 1 2 2n nn p u b b u b Somando membro a membro 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )n na b u v a b Atendendo que a soma de dois infinitésimos é um infinitésimo teremos: ( ) ( )n na b u v a b n nu v a b 44 O que significa lim lim lim limn n n n n nu v a b u v u v Exemplo Calcule os limites: 1- 3 3 3 16 5 1 lim 2 7 n n n Aqui está apresentada uma indeterminação do tipo Assim, 3 3 33 3 3 3 3 16 5 1 16 5 1 16 lim lim 8 2 2 7 2 7 2 n n n n n n 2- lim 1n n A indeterminação é do tipo ( ) 1 1 lim 1 lim 1 1 1 lim lim 0 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n Caro estudante, tem pela frente uma actividade de modo a testar a sua percepção. Actividade Calcular os seguintes limites de sucessões: a) lim 2n n b) 2 1 lim 1n n n n c) 2 lim 1 n nn e e Confira as suas soluções a) 0 b) 1 2 c) 2 Sumário Nesta lição aprendeu sobre sucessões enquadradas que consiste no seguinte: Lição nº4 45 Se nu e nv são sucessões convergentes com o mesmo limite a e se, a partir de certa ordem, a sucessão nw é tal que n n nu w v , então lim nu a . Aprendeu a levantar as indeterminações aplicando as operações sobre as sucessões. Exercícios Vamos, de seguida, apresentar alguns exercícios de modo a consolidar a sua aprendizagem. Esperamos que não tenha muitas dificuldades visto que as técnicas de cálculo são similares às técnicas estudadas no ensino secundário. Os exemplos colocados são suficientes para resolver os exercícios que se seguem. Em caso de dificuldades volte a repetir a lição, analisando cuidadosamente os exemplos colocados. Auto-avaliação 1- Calcule a) 2 2 3 7 lim 5 3 1 n n n b) 3 3 7 lim 5 3 1 n n n c) 2 1 lim 2 5 n n d) 4 2 9 lim 3 11 n n e) 3 3 2 2 1 2 1 lim 3 1 n n n f) 3 31lim 1 27 2 1 n n g) 2 1 lim 2 1 n n n n h) 12 3 lim 2 5 n n 2- Calcule os limites pela regra de sucessões enquadradas a) 1 2 3 2 lim 2 n k k n b) 1 1 2 3 lim 3 2 n p p n n c) 24 2 2 cos lim n k n n n k Confira as suas soluções Exercício 1 46 a) 3 5 b) 0 c) d) 16 81 e) 8 f) 3 2 g) h) 2 Exercício 2 a) 3 b) 3 2 c) 0 Lição nº 6 47 Lição nº 6 Estudo da Sucessão 11 n n Introdução Na presente lição, vamos apresentar o estudo da sucessão 1 1 n n , bem como o levantamento da indeterminação do tipo 1 . O estudo será feito fazendo a análise quanto à monotonia e convergência. A presente lição poderá ser estudada em duas horas incluindo a resolução de exercícios. Ao completar esta lição, você será capaz de: Objectivos Classificar a sucessão quanto à monotonia; Analisar a sucessão quanto à convergência; Levantar a indeterminação do tipo 1 Nesta lição, como já foi dito na parte introdutória, vamos estudar a sucessão 1 1 n n , mostrando que ela é convergente e que converge para o número e . Estudo da sucessão do termo geral 1 1 n n . Definição do número e Caro estudante, vamos primeiro estudar a sucessão quanto à monotonia. Desenvolvamos o termo geral 1 1 n n com ajuda do desenvolvimento do Binómio de Newton. 0 1 2 2 0 1 2 n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b n Binómio de Newton 48 ! ! ! n n r r n r Cálculo de combinações Assim, 2 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 2 n n n n n n u nn n n n 2 3 1 2 1 2 2 1( 1) 1 1 2! 3! !n n n n n n nn n n n n n 2 1 21 1 1 1 1 1 2 2! 3! ! n nn n n n n n n n n n n n n 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2! 3! ! n n n n n n n n (1) Do mesmo modo, 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 ... 1 2! 1 3! 1 1 1 1 1 1 1 ! 1 1 n nu n n n n n n n n (2) Comparando os termos nu e 1nu , observamos que 1 1 1 1 1 1 n n n n , para qualquer que seja o número natural n. Provámos que a sucessão é estritamente crescente. Vamos, de seguida, provar que a sucessão é limitada. Observe que 2 1 1 1 1 1 2 2 2 n n n 3 2 1 1 1 2 1 1 1 1 3 3! 3! 2 n n n n 4 3 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 4 4! 4! 2 n n n n n ……………………………………………………………. Lição nº 6 49 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ! ! 2n n n n n n n n n n n Assim sendo, 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 n nn Mas a soma 2 3 4 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2n é uma progressão geométrica. Assim, 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 1 12 2 2 2 2 2 1 2 n n n Deste modo, 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 n nn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 n n n nn n (3) A partir de (1) e (3) chegámos à conclusão de que: 1 2 1 3 n n O que significa que a sucessão 1 1 n n é limitada. Se uma sucessão é limitada, então ela é convergente logo, a sucessão estudada é convergente. O limite da sucessão 1 1 n n , supremo do conjunto dos seus termos, chama-se número de NEPER e representa-se pela letra e (símbolo usado por EULER). Este número, de grande importância em matemática, é um número irracional entre 2 e 3. Assim, 1 lim 1 n n e n onde 2,71828e Caro estudante, acabámos de ver como é que se chegou a este famoso número de Nepper. De seguida, vamos apresentar alguns teoremas 50 subsidiários que nos vão ajudar a calcular os limites com ajuda do número de Nepper. Teorema Se nu então, 1 lim 1 nu n e u Demonstração Se nu é um infinitamente grande positivo, então p a partir do qual todos os termos da sucessão são maiores que l . Seja nk ,o maior nº inteiro. Assim, 1n n nn p k u k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1n n n n n nk u k k u k 1 1 1 1 1 1 1 n n nk u k n n nk u k Como 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n nk k n n n e k k k e 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n nk k n n n e k k k Então, pelo teorema de sucessões enquadradas, 1 lim 1 nu n e u Teorema Se n u então, lim 1 0 nu x n x e x u Demonstração 1 lim 1 lim 1 lim 1 n n x u x xu x x x nn n x x e uu u x Lição nº 6 51 A seguir, vamos apresentar alguns exemplos de cálculo deste limite notável. Observe que ao calcular o limite, estamos a levantar a indeterminação do tipo 1 . Exemplo 1-Calcule o limite 3 1 lim 1 2 n n Resolução 3 3 1 2 1 1 1 2 2lim 1 lim 1 lim 1 1 2 1 1 n n e n n n e e Exemplo Calcule 1 lim 2 n n n Resolução Sabe-se que 1 1 1 2 2 n n n (verifique fazendo a divisão) Então: 2 2 2 2 1 1 1 1 lim lim 1 lim 1 2 2 2 1 1 lim 1 1 2 2 n n n n n n n n e n n Caro estudante, uma vez vistos estes exemplos, vamos de seguida apresentar uma actividade como forma de você verificar o seu grau de compreensão. Actividade Calcule: a) ln 1 lim 1 ln n n n b) 2 1 2 2 3 lim 1 n n n n Confira a sua Resposta a) 1 e b) 2e 52 Sumário Nesta lição, você aprendeu o limite notável 1 lim 1 n n e n . A sua convergência bem como o seu estudo como uma sucessão limitada. Exercícios Assim, vamos apresentar os exercícios de consolidação desta lição. Esperamos que não tenha muitas dificuldades pois foram apresentados os exemplos para que você possa tirar as suas dúvidas. Resolva-os todos e confira sempre as suas respostas com as soluções sugeridas. Em caso de dificuldade, queira repetir a lição, repetindo os exercícios apresentados. Não desista pois, só assim poderá alcançar os seus objectivos. Auto-avaliação Calcule os seguintes limites de sucessões: a) 2 lim 1 n n b) lim 1 n n n c) 5 lim 2 n n n d) 3 6 6 4 lim n n n e) 5 lim 5 n n n f) 5 10 10 5 lim n n n g) 2 1 2 3 lim n n h) 1 lim 1 ln n n i) 2 2 3 1 lim 3 n n n n j) 1 lim 1 ne n n e e k) ( 1)! 1 lim 1 ! n n l) 2 5 1 lim 3 n n n a) 2e b) 1 e c) 7e d) 1 e) 10e f) 1 g) 1 2 h) i) 3e j) e k)1 l) 4 5e Lição nº 6 53 Unidade III Limite e Continuidade de Funções Introdução A unidade III aborda o estudo da função de uma variável real na sua generalidade; trata também do limite de funções nas suas diversas vertentes, bem como o estudo de continuidade de funções. Esta unidade é composta por 7 lições e serão necessárias no total 30 horas de estudo. Ao completar esta unidade, você será capaz de: Objectivos Definir o conceito de função e dar os respectivos exemplos; Calcular os diversos tipos de limites de funções (levantar indeterminações); Classificar as funções quanto à continuidade num ponto. 54 Lição nº 7 Generalidades Sobre Funções Introdução Nesta lição, introduziremos um dos conceitos fundamentais da Matemática, o de função. O conceito de função refere-se essencialmente à correspondência entre conjuntos. Uma função associa a elementos de um conjunto, um elemento de outro conjunto. Esta lição poderá ser estudada num tempo máximo de quatro horas. Sendo duas para a leitura da parte teórica e duas para exercícios. Ao completar esta lição, você será capaz de: Objectivos Definir os conceitos de função; Identificar funções, classificá-las quanto à continuidade; Calcular o valor das funções num determinado ponto. Nesta primeira lição sobre generalidades de funções, vamos definir os conceitos básicos sobre funções. Deve prestar muita atenção, pois constitui a base para o estudo posterior das funções. Tome Nota! Definição 1 Sejam A e B subconjuntos de R. Uma função BAf : é uma lei ou regra que a cada elemento de A faz corresponder um único elemento de B. O conjunto A é chamado domínio de f e é denotado por D (f); B é chamado contradomínio. Veja, de seguida, os exemplos: Lição nº 6 55 Exemplo 1. Sejam 4,3,2,1A e 5,4,3,2B . a) BAf : dada pelo diagrama abaixo é uma função de A em B b) BAg : 1 xx É uma função de A em B. Em diagrama, a função g representa- se da seguinte maneira: O outro exemplo para o caso em que não estamos perante uma função é o seguinte: . 1 . 2 . 3 . 4 . 2 . 3 . 4 .. 5 A B B . 1 . 2 .3 .4 . 2 . 3 .4 .5 A 56 Exemplo 2. Sejam 5,4,3A e 2,1B . a) BAf : dada pelo diagrama a seguir não é uma função de A em B, pois o elemento A4 tem dois correspondentes em B. b) 3 : xx BAg não é função de A em B, pois o elemento A3 não tem correspondente em B. Depois de termos definido o conceito de função, vamos, de seguida, apresentar duas definições que nos ajudam a perceber os conceitos de imagens e de gráfico de uma função. .3 .4 . 5 .1 .2 A B 5 .2 . 1 .2 A B 4 5 2 Lição nº 6 57 Tome Nota! Definição 2 Seja BAf : Dado Ax , o elemento Bxf )( é chamado o valor da função f no ponto x ou imagem de x por f . Ao conjunto dos valores assumidos pela função é chamado conjunto imagem de f e é denotado por )Im( f . Definição 3 Seja f uma função. O gráfico de f é o conjunto de todos os pontos ))(,( xfx de um plano coordenado, onde x pertence ao domínio da função f . Os exemplos que vão ser apresentados de seguida vão ajudá-lo a perceber o conceito de gráfico de uma função. Exemplo a) O gráfico da função 2)( xxf . x 2xy -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 2 -1 1 4 2 -2 1 x y 58 Exemplo Consideremos a função xxf )( . Os pontos do seu gráfico é o conjunto dos pares ordenados ),( yx , como mostra a figura. x y Operações com Funções Já vimos o que é de facto um gráfico de uma função e representámos duas funções como exemplos ilustrativos de como se pode construir alguns gráficos de funções. Caro estudante, assim como podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números, também podemos produzir novas funções através de operações. Estas operações são definidas como se segue: Dadas duas funções f e g i) )()())(( xgxfxgf ii) )()())(( xgxfxgf iii) )()())(( xgxfxgf iv) )( )( )( xg xf x g f Os domínios das operações são a intersecção dos domínios de f e g . O domínio de g f é a intersecção dos domínios de f e g , excluindo os pontos Para os quais 0)( xg . v) Se f é uma função e k é um nº real, )())(( xkfxkf . Lição nº 6 59 Exemplo Seja 3)(5)( xxgexxf . Então, 35))(( xxxgf 35))(( xxxgf 35))(.( xxxgf 3 5 )( x x x g f Determinação do domínio: Como o ,35, DgeDf , então o domínio de gfegfgf ., será 5,3 . O domínio de g f é o 5,3 . O ponto 3 é excluído porque 0)( xg quando 3x Uma vez vistos estes exemplos, resolva a actividade que se segue: Actividade Dada as funções 2( ) 4f x x e ( ) 1g x x . Ache: a) f g ; b) f g ; c) f g d) O domínio das operações indicadas Confira as suas soluções a) 2 4 1x x ; b) 2 4 1x x ; c) 2 4 1 x x d) ; 2f g f gD D ; ; 2f g D Vamos, em seguida, dar a definição de funções compostas, de modo a podermos fazer operações com ajuda de composições de funções. 60 Tome Nota! Dadas duas funções f e g , a função composta de g com f . Denotada por fg é definida por: )())(( xfgxfg O domínio de fg é o conjunto de todos os pontos x no domínio de f , tais que )(xf está no domínio de g . A composição
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