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Ecuaciones de Cauchy-Riemann en el origen
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Considere la función f (z) =
{
0 si z = 0
z5
|z4| si z 6= 0
,demuestre que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se satisfacen en el
origen.
Solución:
Las derivadas parciales de primer grado de la función en coordenadas polares son:
ur (r,θ) =
{
0 , si z = 0
cos(5θ) , si z 6= 0 vr (r,θ) =
{
0 , si z = 0
si n(5θ) , si z 6= 0
uθ(r,θ) =
{
0 , si z = 0
−5r si n(5θ) , si z 6= 0 vθ(r,θ) =
{
0 , si z = 0
5r cos(5θ) , si z 6= 0
Ahora veamos si satisface las ecuaciones de C-R:
ur = 1
r
vθ vr =−
1
r
uθ
Vemos que:
ur (r,θ) =
{
0 , si z = 0
cos(5θ) , si z 6= 0 =
1
r
vθ =
{
0 , si z = 0
5cos(5θ) , si z 6= 0
vr (r,θ) =
{
0 , si z = 0
si n(5θ) , si z 6= 0 = −
1
r
uθ =
{
0 , si z = 0
5si n(5θ) , si z 6= 0
Se observa de que cuando z=0 se satisface las ecuaciones de C-R.
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