Lista 1 - Eletro I

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Lista de Exercı́cios 1
Nos exercı́cios que seguem, subı́ndices latinos representam as componentes cartesianas de um
vetor e a convenção de soma é utilizada, isto é, ı́ndices repetidos são somados. Por exemplo
aibi = axbx + ayby + azbz .
1. Considere o produto vetorial ~c = ~a × ~b. Mostre que a componente i do vetor ~c pode ser
escrita como
ci = εijkajak,
sendo o tensor de Levi-Civita definido como εijk = 1 se i, j, k é tomado como qualquer
permutação par de x, y, z, εijk = −1 se i, j, k é tomado como qualquer permutação ı́mpar
de x, y, z e εijk = 0 se dois ı́ndices quaisquer são iguais.
2. Prove que
εijkεlmk = δilδjm − δimδjl.
Usando este resultado, prove a relação
aibj − ajbi = εijk
(
~a×~b
)
k
.
3. Seja ~F um campo vetorial qualquer, cujo fluxo é
Φ =
∫
S
~F · d~a,
sendo S uma superfı́cie que gera um contorno arbitrário C. Considerando que o tamanho,
a posição e a geometria de C muda com o tempo prove que
d
dt
∫
S
~F · d~a =
∫
S
d~F
dt
· d~a.
4. Considere um campo vetorial ~F com primeiras derivadas contı́nuas em uma região do
espaço de volume V e limitada por uma suprefı́cie S. Use a definição do divergente para
mostar que ∮
S
~F · d~a =
∫
V
(
∇ · ~F
)
dV.
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5. Considere um campo vetorial ~F com primeiras derivadas contı́nuas em uma região do
espaço onde e C é um contorno arbitrário que gera uma superfı́cie S. Prove que∮
C
~F · d~l =
∫
S
(
∇× ~F
)
· d~a.
6. Use o teorema de Stokes e o teorema de Gauss para mostrar que uma condição necessária
e suficiente para que um campo vetorial ~F seja obtido como o rotacional de um potencial
vetor (~F = ∇× ~A) é que seu divergente se anule.
7. Use o teorema de Stokes para mostrar que uma condição necessária e suficiente para que
um campo vetorial ~F seja obtido como do gradiente de um potencial (~F = ∇Φ) é que seu
rotacional se anule.