POLÍGONOS LISTA DE EXERCÍCIOS

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Lista de Exercícios de Polígonos 
 
4.1 – Definição 
 
 Seja (P1, P2, ..., Pn) um conjunto ordenado de n pontos de um plano, 3n  , de modo que três pontos consecutivos 
quaisquer, P1P2P3, P2P3P4, ..., Pn-1PnP1 e PnP1P2 sejam não-colineares, e considere os segmentos 21PP , 32PP , ... n1n PP − e 1nPP . 
 Chama-se polígono P1P2...Pn à união dos segmentos e 21PP , 32PP , ... n1n PP − e 1nPP os quais são chamados de lados do 
polígono, enquanto os pontos são os vértices do polígono. 
 Assim, cada figura abaixo representa um polígono, e cada um deles corresponde a um conjunto ordenado de cinco pontos 
(P1, P2, P3, P4, P5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Um polígono é também chamado de contorno poligonal fechado. 
 Dois lados de um polígono são consecutivos quando têm uma extremidade comum. Por exemplo: P1 P2 e P2P3, ou P1P2 e 
PnP1. 
 Um polígono é simples, se quaisquer dos lados não-consecutivos não se interceptam. 
 Assim, as figuras 1 e 2 representam polígonos simples. 
 A figura 3 não representa um polígono simples. Esse tipo de polígono é chamado de polígono estrelado ou polígono 
entrelaçado. 
 O nosso estudo limita-se apenas aos polígonos simples, que serão daqui por diante chamados simplismente de polígonos. 
 Num polígono, o número de vértices é igual ao número de lados. 
 Perímetro é a soma das medidas dos lados do polígono. 
 
4.2 – Nomenclatura 
 
 De acordo com o número de lados, alguns polígonos recebem nomes especiais. 
 
3 Triângulo 
4 Quadrilátero 
5 Pentágono 
6 Hexágono 
7 Heptágono 
8 Octógono 
9 Eneágono 
10 Decágono 
11 Undecágono 
12 Dodecágono 
13 Tridecágono 
20 Icoságono 
P1 
P2 
P3 
P4 
P5 P1 
P2 P3 
P4 
P5 
P1 
P2 
P3 
P4 
P5 
figura 1 figura 2 figura 3 
 
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4.3 – Polígono Convexo 
 
 Um polígono é convexo se sua região poligonal é um conjunto convexo de pontos, ou seja, o segmento que liga dois 
pontos quaisquer desse conjunto está contido nele. 
 Assim o polígono ABCDE da figura é um polígono convexo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso contrário, é chamado de não-convexo. Assim, o polígono FGHLM é um polígono não-convexo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.4 – Ângulos de um polígono convexo 
 
• Ângulo interno de um polígono é convexo é um ângulo formado por dois lados consecutivos do polígono. 
• Ângulo externo de um polígono convexo é um ângulo adjacente a um ângulo interno desse polígono. 
 
 
 
 
 
 
 
 Na figura, o ângulo ADC é um ângulo interno, e o ângulo CDE é um ângulo externo do quadrilátero ABCD. 
 Decorre dessas definições que º180EDCCDA =+

. 
 
 
4.5 – Ângulos internos 
 
 A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é ( ) º1802n − . 
 Unindo um dos vértices aos outros n – 3, convenientemente escolhidos, obteremos n – 2 triângulos. A soma das medidas 
dos ângulos internos do polígono é igual a soma das medidas dso ângulos internos dos n – 2 triângulos. 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G H 
L 
M 
A 
B 
C 
E 
D 
 
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 Portanto: 
 
 
 Assim, um quadrilátero é decomposto em 2 triângulos, um pentágono, em três triângulos, e assim por diante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.6 – Ângulos externos 
 
 Em todo polígono convexo, tomando-se um ângulo externo para cada vértice, a soma de suas medidas é 360º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como cada ângulo externo é suplementar do ângulo interno adjacente, a soma dos ângulos internos com os ângulos 
externos dá 180º. n . Subtraindo a soma dos ângulos internos, que é (n – 2) . 180º , resulta que a soma dos ângulos externos é 2 . 
180º, ou seja, 360º. 
 
 Conclusão: 
 
 
 
 
 
4.7 – Polígono regular 
 
 Um polígono é equilátero se possui os lados congruentes entre si, e equiângulo, se possui os ângulos congruentes entre si. 
 Assim, o quadrilátero da figura 1 é equilátero e o da figura 2 é equiângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si = (n – 2) . 180º 
P1 
P2 
P3 
P4 
P5 
P6 
P7 
i2 
i3 
i4 
i5 
i6 
i7 i1 
P1 
i1 P2 
i2 
P3 
i3 
P4 
i4 
P5 
i5 
e1 
e2 
e3 
e4 
e5 
e6 
e7 
P6 
P7 
i6 
i7 
Se = 360º 
figura 1 
B C 
figura 2 
A D 
A 
B 
C 
D 
 
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Um polígono convexo é regular se ele é equilátero e equiângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observação: 
 Num polígono regular existe um ponto que dista igualmente dos vértices; ele é chamado centro do polígono. 
 
4.8 – Ângulos num polígono regular 
 
• Ângulo interno 
Um polígono regular é equiângulo. Sendo ai a medida de um ângulo interno, como ele é suplementar do ângulo 
externo, temos: 
 
 
 
 
• Ângulo externo 
Os ângulos externos têm medidas iguais. Sendo ae a medida de um ângulo externo, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Diagonal 
A diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não-consecutivos desse polígono. 
Nas figuras abaixo, os segmentos AD e CE são diagonais dos polígonos ABCDE. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Número de diagonais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B C 
D 
C 
A 
B 
n
º180)2n(
a i
−
= ai = 
n
Si  
n
º360
a e = 
A 
B 
C 
D 
E A 
B 
C D 
E 
Se um polígono tem n lados, então ele possui 
2
)3n.(n − diagonais 
 
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Na figura, tem-se um polígono de 7 lados e suas 14 diagonais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Nota: 
 Nessa fórmula, o número (n-3) representa o número de diagonais que partem de um vértice. 
 
 
40) Um polígono regular possui a partir de um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Ache: 
 
a) O polígono; 
b) O total de diagonais; 
c) A soma dos ângulos internos; 
d) A soma dos ângulos externos; 
e) A medida de cada ângulo interno e de cada ângulo externo. 
 
41) Calcule a soma dos ângulos internos de um eneágono. 
 
42) Calcule a soma dos ângulos internos de um decágono. 
 
43) Calcule a soma dos ângulos internos de um icoságono. 
 
44) Qual é o polígono cuja soma dos ângulos internos vale 1800º? 
 
45) Calcule o número de diagonais de um decágono. 
 
46) Calcule o número de diagonais de um icoságono. 
 
47) Determine o polígono cujo número de diagonais é o triplo do número de lados. 
 
48) Determine o polígono cujo número de diagonais é o quádruplo do número de lados. 
 
49) Determine o polígono que tem 9 diagonais distintas. 
 
 
 
 
 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
 
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GABARITO 
 
40) Em classe 
41) 1260º 
42) 1440º 
43) 3240º 
44) Dodecágono (12 lados) 
45) 35 
46) 170 
47) Eneágono (9 lados) 
48) Undecágono (11 lados) 
49) Hexágono (6 lados)