Resumo Matemática 3

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Problema 12: Concavidade
Definições:
· 
· Conjunto Convexo: D é convexo se
, e.
· Conjunto Côncavo: é côncavo se não for convexo.
· Função Côncava: 
é côncava se é convexo e 
 ,
 e. 
· Função Convexa: é convexa se é côncava, ou seja, é convexo e 
e
· Função Estritamente Côncava: é estritamente cˆoncava se D é convexo e 
, .
· Função Estritamente Convexa: ´e estritamente convexa se é estritamente côncava, ou seja, ´e convexo e
, .
· Contraexemplo de função estritamente Côncava ou Convexa:
Propriedades:
· Uma função é côncava se a regi˜ao abaixo de seu gr´afico é convexa: Seja . Uma fun¸c˜ao é côncava se, e somente se, o conjunto
e,
o hypograph de , é convexo. 
· Uma fun¸ção é convexa se a regi˜ao acima de seu gr´afico é convexa: Seja . Uma fun¸c˜ao é convexa se, e somente se, o conjunto
,
o epigraph de é convexo. 
· 
· Propriedade 3: Seja convexo. Suponha que é diferenciável em Ent˜ao é côncava se, e somente se,
para todo .
Demonstra¸c˜ao: Suponha que é côncava e fixe . Temos:
para todo .
Logo:
para todo .
Quando : 
Agora, suponha que:
 
Fixe e. Defina .
Usando a propriedade , temos:
 e . Assim:
Logo, é côncava.
· Se e são côncavas (ou convexas), também é côncava (ou convexa):
Sendo e 
Assumindo , com e temos 
Como e são côncavas, sabemos que e são cojuntos convexos. Assim,
, e.
, e.
, e.
Portanto, é um conjunto convexo. Assim, como temos que é côncava.
· Se e são côncavas (ou convexas) e é crescente (ou decrescente), ent˜ao é côncava (ou convexa).
Problema 13: Quase-Concavidade
· Função Quse-Côncava: Uma fun¸c˜ao é quase-côncava se é convexo e
para todo e 
· Função Quase-Convexa: Uma fun¸c˜ao é quase-convexa se é quase-côncava, ou seja, convexo e 
para todo e .
	É fácil mostrar que toda função côncava também é quase-côncava, assim como toda função convexa é quase-convexa. O contrário não é verdade.
· Função Estritamente Quase-Côncava: Uma fun¸c˜ao é estritamente quase-côncava se é convexo e 
para todo, , e .
· Função Estritamente Quase-Convexa: Uma fun¸c˜ao é estritamente quase-convexa se é estritamente quase-côncava, ou seja, é convexo e 
para todo, , e .
	É fácil mostrar que toda função estritamente côncava também é estritamente quase-côncava, assim como toda função estritamente convexa é estritamente quase-convexa. O contrário não é verdade.
· Proposição:Seja convexo. Uma fun¸c˜ao é quase-côncava se, se somente se, o conjunto é convexo para todo .
	 é um upper contour set de . O valor define uma curva de nível, se considera todos os pontos do domínio acima dessa curva de nível.
Demonstra¸c˜ao: Suponha que é quase-côncava.
Fixe , e .
Observe que se , então e é convexo.
Agora suponha é convexo . Fixe e .
Escolha .
Temos que . Como é convexo,.
Assim, , sendo quase-côncava.
Problema 14 - CAP 5.1 – Formulação e Terminologias do Modelo: aqui formularemos um problema de otimização dinâmica que é frequente em economia. Até agora, assumimos que o sistema econômico é descrito por um conjunto finito de variáveis do sistema. Assim, podemos distinguir dois tipos de variáveis do sistema: 
1- Variáveis de Estado: descrevem o estado do sistema no começo do período antes do tomador de decisão fazer qualquer escolha. O estado da economia no período é denotado por , onde é um conjunto arbitrário não vazio chamado de espaço de estado do modelo.
	O estado inicial no período , , é dado exogenamente, ou seja, as variáveis de estado são pré-determinadas. O estado do sistema pode mudar a cada período.
2- Variáveis Controle: o tomador de decisão controla as transições de estado através da escolha de um vetor de variáveis controle em cada período . O conjunto de possíveis valores para os controles quando o estado do sistema no período é igual a , é denotado por , o qual assumimos não ser vazio e . Uma vez que pode ser escolhida no período , ela não é uma variável pré-determinada, mas sim uma “jump variable”.
	Definamos o conjunto . Dado o estado e o controle no período , e , respectivamente, o estado no período é determinado por
onde é uma dada função.
	A trajetória de estado e a trajetória controle são chamadas de par possível dado o estado inicial se , e a equação é verdadeira .
	Por fim, suponha que o tomador de decisão derive a utilidade no período , onde é chamada de Função Utilidade Instantânea. Assumimos que o tomador de decisão busca escolher um par ótimo, ou seja, um par possível que maximiza a função objetiva
ao longo do conjunto de todos os possíveis pares.
	Para que a função objetiva seja bem definida, assumimos que existe como um número finito para todos os pares possíveis. 
· Problema de Otimização Dinâmica na forma reduzida: o problema de otimização descrito até aqui é chamado de “Forma Primitiva” do problema de otimização, e se fundamente no espaço estado , o espaço de possíveis controles , a função que descreve as transições, a função instantânea , e o estado inicial . Quando eliminamos as variáveis controle, obtemos o problema reduzido.
		No modelo reduzido, definimos
	que é o conjunto de todos os estados possíveis que podem ser atingidos no período de o estado no período é e se um controle possível for aplicado. Em particular, temos que e que . Nos referimos a como o conjunto de todos os possíveis estados sucessores de ou como o conjunto de transições possíveis. 
		Com essas definições, escrevemos como
		Toda trajetória de estado que satisfaz a condição e que começa no estado inicial é chamado de trajetória possível de . 
		A forma reduzida da função utilidade é definido no conjunto por
	onde a maximização é em relação a .
		Assim, é valor máximo que a função utilidade instantânea pode assumir se o estado no período for igual a , o estado do período é igual a , e um possível controle é aplicado. 	Por enquanto, apenas assumimos que possui um máximo. 
		Dessa forma, temos que a função objetiva na forma reduzida do problema de otimização pode ser escrito como
		Ou seja, no problema reduzido, o tomador de decisão busca maximizar sujeito a dado um estado inicial . Uma trajetória possível que atende a esse máximo é chamada de trajetória ótima. 
		O problema reduzido fundamenta-se em e .
Problema 15: Condic¸˜ao de Inada na Origem
Afirma¸c˜ao: Seja o problema de otimiza¸c˜ao:
. .
E e os estados e os controles ´otimos, respectivamente. 
Assuma que:
1- é crescente, côncava e continuamente diferenciável.
2- 
Então .
Demonstra¸c˜ao: Vamos separar a demonstra¸c˜ao em duas partes.
Primeiramente, suponha que e são as sequências ótimas de estado e controle.
(a) .
Assuma, por contradic¸˜ao, que esse n˜ao ´e o caso. Ent˜ao tal que e .
Isso implica em e .
Vamos montar outra trajet´oria de estado e controle e mostrar que ela
´e melhor do que e
Sejam e iguais a, respectivamente, e , a n˜ao ser por: 
Sejam e iguais a, respectivamente, e , a n˜ao ser por: 
Para algum .
Ou seja, tiramos um pouco de consumo em t e transferimos para . A diferen¸ca de utilidade entre os dois cen´arios ´e:
Assim:
Passando o limite:
Ou seja, para ε pequeno o suficiente, ´e positivo. Assim, e s˜ao melhores do que e . Contradic˜ao.
(b) 
Assuma, por contradi¸c˜ao, que esse n˜ao ´e o caso. Ent˜ao existe algum per´ıodo em que o consumo ´e nulo.
Observe que n˜ao pode ocorrer de existir um tal que , , já que (com certeza seria melhor gastar em algum momento!).
Assim, existe um per´ıodo tal que e.
Sejam e iguais a, respectivamente, e , a n˜ao ser por: 
Onde 
Ou seja, vamos consumir um pouco em e tirar consumo de para compensar.
A diferen¸ca de utilidade entre as duas opc˜oes ´e:
Assim:
Passando o limite:
Ou seja, para ε pequeno o suficiente, ´e positivo. Assim, e s˜ao melhores do que e . Contradic˜ao.
Problema 16 e 17 – CAP 5.2 – Equação de Euler e Condição de Transversalidade:
As condicoes de otimalidade sao derivadas sob duas suposições: Diferenciabilidade da função de utilidade e interioridade da trajetoria ótima.Assumiremos , em que tem interior não vazio e que tem interior nao vazio. Uma trajetoria factível é dita interior se está no interior de . Existe uma trajetoria interior para todos os .
	Assumimos também que
existe como número finito para toda trajetória factível 
	Dada a suposição, dizemos que uma trajetória factível será ótima se
for válido para toda trajetória factível saindo de .
	Definimos . Assumimos que para todo , a função é contínua e contínuamente diferenciável no interior de .
	Escrevemos 
	Se é trajetória ótima, então deve seguir que resolve o problema de maximização:
e
	Se é trajetória ótima interior e a função utilidade é continuamente diferenciável:
Teorema 5.1: Considere o problema de otimização dinâmica na forma reduzida e assuma que e são subconjuntos de com interiores não vazios sempre que . Além disso, assuma que a função utilidade é continuamente diferenciável com respeito aos seus dois primeiros argumentos no interior de e que o limite em (1) existe para todas as trajetórias factíveis. Se é trajetória ótima interior, então a equação de Euler vale para todo .
	A condição de tranversalidade frequentemente nos auxilia a obter condições de fronteira adicionais, além das proporcionadas por , com o objetivo de encontrarmos solução única para a equação de Euler.
Teorema 5.2: Considere o problema de otimização dinâmica na forma reduzida e assuma que as condições no teorema 5.1 são satisfeitas. Além disso, suponha que é um subconjunto convexo de e que para todo , é subconjunto convexo de que contém a origem . Finalmente, suponha que para todo é côncava em relação a . Se é trajetória ótima tal que vale para todo , então segue que
	Os teoremas 5.1 e 5.2 mostram que a equação de Euler e a condição de transversalidade são necessárias para a otimalidade de uma dada trajetória interior. Veremos agora que, sob nossas suposições, essas duas condições são também suficientes.
Teorema 5.3: Considere o problema de otimização dinâmica na forma reduzida e sejam as suposições do teorema 5.2 satisfeitas. Se for uma trajetória factivel que satisfaz a equação de Euler, a Condição de Transversalidade, e para todo , então segue que é uma trajetória ótima.
Problema 19 e 21 – CAP 5.4 – Abordagem Recursiva:
	A abordagem recursiva não requer argumentos variáveis ou premissas interiores e retorna condições ótimas, necessárias e suficientes sem premissas de convexidade, diferente da abordagem lagrangiana e da equação de Euler.
	Retome o problema de otimização dinâmica na forma reduzida da seção 5.1 (problema 14). O espaço de estado é um conjunto arbitrário não-vazio e o conjunto de transições é não-vazio para todo e todo . Isso nos garante que para todo e para todo estado inicial , existe, ao menos, uma sequência satisfazendo e . Ou seja, existe ao menos uma trajetória factível para o problema , onde é definido como a maximização de 
Denotamos o conjunto de todas as trajetórias factíveis do problema por . Além disso, mantemos a premissa de que 
existe para todas as trajetórias factíveis, o que garante que a função objetiva seja um número real bem definido quando . No coração da abordagem recursiva para a otimização dinâmica está a função valor ótima , definida por
e a equação de Bellman
TEOREMA 5.7: a função valor ótima satisfaz a equação de bellman.
PROVA: Tome como uma trajetória factível qualquer para . Note que
e que . Assim, temos que 
TEOREMA 5.8: suponha que a função satisfaz a equação de Bellman e que a condição é satisfeita para todas as trajetórias factíveis e todo . Assim, temos que é a função valor ótima.
PROVA: tome como uma solução arbitrária da equação de Bellman e tome como uma trajetória factível arbitrária. Assim, temos:
Com , essa desigualdade, em conjunto com implica que . Como a trajetóra foi escolhida arbitrariamente de , temos que 
	Isso demonstra que é ao menos tão grande quanto o valor ótimo do problema de otimização dinâmica. Para completar a prova, basta que mostremos que não pode ser estritamente maior que o valor ótimo. Para isso, suponha, por contradição, que essa essa propriedade é falsa. Ou seja, que existe um estado e um número positivo real tal que para toda trajetória factível é verdade que
	Em particular, é verdade para a trajetória factível , que é construída da seguinte forma:
Tome como uma sequência de números positivos tais que
Como é solução da equação de Bellman e porque é positiva, existe um tal que
Agora substituímos na desigualdade e combinamos os resultados com .
Subtraindo de ambos os lados, temos
Podemos repitir esse processo indefinidamente para , e obteremos
Tomando , temos que, devido à e e ao fato de é um número finito,
o que é uma contradição.
LEMA 5.1 – Princípio da Otimalidade: Tome como uma trajetória ótima para o problema . Para todo , temos que é uma trajetória ótima para o problema .
PROVA: suponha, por com tradição, que não é uma trajetória ótima do problema . Então existe uma trajetória factível tal que 
Considere a trajetória definida por
Essa definição faz sentido pois ela advém de para que . É óbvio que e que
Isso é uma contradição à otimalidade de para .
TEOREMA 5.9: Se é a função valor ótima do peoblema de otimização e se é uma trajetória ótima, então temos que a equação 
PROVA: Uma vez que é a função valor ótima e dado quye é uma trajetória ótima, temos 
Do princípio da otimalidade, temos que é uma trajetório ótima para tal que
Com essas duas equações provamos o teorema para . Além disso, como é ótima para , podemos repetir todo esse argumento para . Fazendo isso podemos provar que é verdade para todo .
TEOREMA 5.10: Se é a função valor ótima do peoblema de otimização e se é uma trajetória factível para tal problema e satisfaz e , então temos que é uma trajetória ótima.
PROVA: De , temos que, para todo ,
Tomando e utilizando , temos que . Uma vez que é a função valor ótima, temos que é uma trajetória ótima do problema .
Problema 22 – CAP 5.5 – Stationary Discounted Problems: 
· Problemas de otimização dessa classe são caracterizados por um conjunto de possibilidades independente de e por uma função utilidade que depende o tempo apenas por um fator de desconto , onde é um fator de preferência no tempo.
· Assim, temos:
· Conjunto Possibilidade: (diferente de antes, quando era dependente de - )
· Função Utilidade: (diferente de antes, quando era “diretamente” dependente de - U)
· Portanto, consideramos o seguinte problema de otimização:	OBS.: representa a utilidade do período avaliada no presente, enquanto representa a utilidade do período avaliada no tempo . Assim, podemos escrever:
Como podemos utilizar apenas a função “Valor Corrente”, podemos reescrever a equação de Euler da seguinte maneira
· TEOREMA 5.11: tome como um ponto fixo na equação de Euler e assuma que o valor corrente da função utilidade seja duplamente diferenciável ao redor deste ponto fixo. Além disso, tome como não-singular. Se for um autovalor da matriz jacobiana da equação avaliada no ponto , então e também é um autovalor.
· O teorema 5.11 constata que a matriz jacobiana de um ponto ótimo pode possuir um número de autovalores no máximo igual ao de variáveis de estado. A literatura também mostra que o número de variáveis de estado é igual a dado que está significativamente perto de . Esses resultados são chamados de Turnpike Theorems e podemos compreender a intuição podemos pensar no caso unidimensional, sintetizado no lema 5.2.
· LEMA 5.2: considere um “stationary discounted dynamic optimization problem” no espaço e tome como um ponto fixo na equação de Euler: . O valor do ponto depende de , neste caso . Por simplicidade, assumimos que existe um , existe um ponto e a relação é contínua. Além disso, assuma que o conjunto é um conjunto convexo e compacto e que a função utilidade é côncava e duplamente diferenciável. Por fim, assuma que e é verdade que satisfaça . Com tudo isso, existe um a matriz jacobiana avaliada no pontopossui um autovalor estável e outro instável.
· Partindo para a abordagem recursiva, assumimos que , estacionário, e que o conjunto não é vazio e é compacto para todo e que a correspondência é contínua. Por fim, assumimos que a função utilidade é limitada e contínua em seu domínio . Assumindo tudo isso, é claro que o conjunto de trajetórias factíveis do problema , , não é vazio e e que existe e é finito. Assim, tudo o que estudamos até agora continua válido e podemos adicionar o teorema a seguir.
· TEOREMA 5.12: Existe uma única função contínua e limitada que satisfaz a euação de Bellman
Essa função é o valor corrente ótimo da função valor. Toda trajetória satisfazendo é uma trajetória ótima, ondeEste teorema nos mostra que, sob as premissas dadas, a função valor ótima é a única limitada e contínua que satisfaz a equação de Bellman. Além disso ela caracteriza o conjunto da trajetórias ótimas como o conjunto de todas as trajetórias da “política de correspondência ótima”.
· O teorema de Banach (usado para provar o teorema 5.12) nos dá um algoritmo de aproximação dos pontos fixos. Essa aproximação é conhecida como “value iteration algorithm” e é feita da seguinte forma: Escolhemos um valor arbitrário da função valor e computamos as funções através da fórmula
 ,
onde é o operador de Bellman. Assim, o lema 5.3 nos mostra que a sequência converge uniformemente para o valor ótimo da função .
· Lema 5.3: Tome uma função contínua arbitrária e limitada e defina a sequência através de . Com isso, temos que ,
onde é a função valor ótima. A sequência converge uniformemente pra .
PROVA: combinando as propriedades do ponto fixo com as equações e , temos que
Obviamente isso implica que é verdade para todo . Isso prova a convergência uniforme de para a função valor ótima .O lema mostra que o erro de aproximação do algoritmo decresce ao menos tão rápido quanto a sequência geométrica (exponencialmente). Apesar de este algoritmo ser utilizado para a solução numérica da equação de Bellman, ele também é muito útil para obter soluções analíticas da equação de Bellman.
Problema 23 – Hamiltoniano:
Um problema típico de otimização dinâmica tem a seguinte forma:
Onde,
1. é o valor da função objetivo, avaliada no momento inicial.
2. é a média da taxa de desconto entre o período e .
3. é o conjunto de variáveis de estado, e sua derivada em relação ao tempo é uma função , dependente de . (tornando uma equação diferencial, chamada de equação de transição).
4. é o conjunto de variáveis de controle.
5. A restrição apenas declara que o valor presente de seja não negativo, impossibilitando morrer endividado.
Derivação do Hamiltoniano: Para chegar no hamiltoniano, o livro começa apresentando o seguinte lagrangiano para derivar a condição de primeira ordem
A integração de é feita por partes, para evitar trabalho desnecessário:
Sendo que a expressão dentro da primeira integral é chamada de Hamiltoniano:
Que captura a contribuição total para a utilidade da escolha de consumir , tanto por quanto por . Com isso, podemos reescrever o lagrangiano substituindo o Hamiltoniano:
Sejam trajetórias ótimas, podemos gerar trajetórias próximas para as variáveis de controle e estado por meio de perturbações da forma:
Porém, se as trajetórias iniciais eram ótimas, segue que a derivada do lagrangiano quanto à perturbação deve ser nula. Para verificar isso, primeiro reescrevemos o lagrangiano em termos de :
Derivando o lagrangiano e igualando a zero:
Pela regra da cadeia, temos que:
Logo, podemos reorganizar a expressão:
Tal equação vai ser consistente apenas se:
Sendo que a condição de primeira ordem na variável de controle garante que são soluções do problema dinâmico (pricipio do máximo). E a segunda equação é comumente chamada de equação de Euler. 
Condição de transversalidade: se a quantidade de capital restante for positiva, , seu preço deve ser , pois . De forma alternativa, se o capital na data final possui um valor positivo, , o agente deve se livrar do capital, . 	No problema dinâmico, há uma restrição que diz que o valor final do capital, descontado pela taxa , não pose ser negativo, ou seja, . A condição associada à essa restrição é que , com . Por , podemos escrever . 
Comportamento intertemporal do Hamiltoniano: Apenas derive em , a partir das condições do ponto ótimo () é possível notar que no ponto ótimo a derivada total é igual a derivada parcial em (se a função objetivo e restrições não dependerem diretamente de )
Problema 25 – CAP 6.1 – Inconsistância Dinâmica:
	Definição de Consistência Dinâmica: denote a sequência de problemas de otimização. Considere uma trajetória factível e assuma que é uma solução ótima para . Dizemos que essa solução ótima é consistente dinamicamente relativo à sequência de otimização se, para todo a subsequência é uma solução ótima para o problema .
	Vamos relembrar o problema de otimização que já vimos, onde era a maximização de:
Pelo Princípio da Otimalidade, sabemos que, para um dado ótimo, relativo a que a sequência também é ótima, tal que não há incentivos para uma mudança de escolhas do indivíduo ao longo do tempo.
Nesse sentido, o período em que o agente faz suas escolhas, seja ele no início ou ao longo do período, não muda seu comportamento perante as variáveis de controle.
Reconsidere o problema de otimização definido pela maximização de:
que difere de apenas pelo fato de que nenhuma condição inicial é imposta (note que está em função de e está apenas em função de ). Conduzindo o mesmo exercício mental para o problema , suponha que para todo é uma solução ótima para . Dada a condição de Euler podemos ver que a otimalidade de para o problema requer que para cada deve ser a solução do problema de maximização:
onde tanto quanto são fixos. Quando o agente reconsidera sua decisão sobre segue que a maximização se torna:
O primeiro termo não importa, uma vez que é uma variável pré-determinada tal que pode existir uma inconsistência dinâmica, dado os diferentes problemas de maximização e .
A solução inconsistente só pode ser implementada com Commitment.