Provas + Lista

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1. Responda de forma breve:
a) O que é processo de Weiner? 
b) O que é um movimento browniano geométrico?
c) O que significa dizer que um processo estocástico é um martingale?
d) Quais parâmetros são necessários para a fórmula de Black Scholes?
2. Diferencie as seguintes funções com relação ao processo de Weiner e, se aplicável, com relação a .
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
m) 
3. Suponha que , , sejam dois processos Wiener. Obtenha a equação diferencial estocástica para as transformações abaixo:
a) 
b) 
c) 
d) 
4. Seja , onde é um processo de Wiener.
a) Encontre a equação diferencial estocástica .
b) Encontre a equação diferencial estocástica de , onde é uma constante positiva.
5. Considere ser um processo de Wiener. Considere o processo geométrico .
a) Calcule .
b) Qual é a taxa de mudança instantânea de ?
c) Se o termo exponencial na definição de não contém o termo , como ficaria ? Qual seria a mudança esperada em ?
6. Seja , onde é um processo de Wiener e , e são constantes positivas. Encontre sendo como valor inicial. (Dica: diferencie )
7. O preço de uma ação segue a equação diferencial estocástica e representa o preço de um derivativo - é função de e de . Quanto você espera que irá variar o preço do derivativo entre e , dado que a ação está R$10? Você sabe que e .
8. O preço de uma ação segue a equação diferencial estocástica e representa o preço de um derivativo – é função de e de . Use um argumento de não arbitragem e derive a equação diferencial parcial que tem que respeitar.
9. Considere a SDE: 
a) Escreva a SDE na forma de integral.
b) Qual é o valor da integral: ?
10. Considere a SDE geométrica: , onde (o valor atual do equity index). 
Vol = 0,15; Risk-free: 5%; Não há dividendos; Você considera um período de 8 dias, mas não vê nenhum problema em dividir esse período em quatro intervalos de 2 dias, denotado por .
a) Utilize uma moeda para gerar erros aleatórios que aproximarão , com .
b) Como você pode ter certeza de que limitando a média e a variância dos processos aleatórios gerados pela moeda você chegará a quando ?
11. You are given a function of three variables,. The following PDE is called Laplace’s equation: 
According to this, in Laplace’s equation, the sum of second partials with respect to the variables in the function must equal zero. Do the following equations satisfy Laplace’s equation? 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) Why is it that more than one function satisfies Laplace’s equation? Is it “good” to have many solutions to an equation in general? 
12. A function of four variables, that satisfy the following PDE is called the heat equation: 
where a is a constant. 
According to the heat equation, first partial with respect to t is proportional to the sum of second partials with respect to the variables in the function. Do the following functions satisfy the heat equation?
a) 
b) 
13. Consider the PDE: 
with and . 
a) What is the unknown in this equation? 
b) Explain this equation using plain English.
c) How many functions can you find that will satisfy such an equation?
d) Now suppose you know the boundary condition: 
Can you find a solution to the PDE? Is the solution unique? 
14. Consider the PDE: 
with the boundary condition 
Let and . 
a) Is the single boundary condition sufficient for calculating a numerical approximation to ?
b) Impose additional boundary conditions of your choice on and .
c) Choose grid sizes of and and calculate a numerical approximation to under the boundary conditions you have imposed.
15. What does the Black–Scholes–Merton stock option pricing model assume about the probability distribution of the stock price in one year? What does it assume about the probability distribution of the continuously compounded rate of return on the stock during the year?
16. Explain the principle of risk-neutral valuation. 
17. Calculate the price of a 3-month European put option on a non-dividend-paying stock with a strike price of $50 when the current stock price is $50, the risk-free interest rate is 10% per annum, and the volatility is 30% per annum. 
18. What difference does it make to your calculations in Problem 17 if a dividend of $1.50 is expected in 2 months?
19. Prove that a 95% confidence interval for is between e .
20. What is the price of a European call option on a non-dividend-paying stock when the stock price is $52, the strike price is $50, the risk-free interest rate is 12% per annum, the volatility is 30% per annum, and the time to maturity is 3 months?
21. What is the price of a European put option on a non-dividend-paying stock when the stock price is $69, the strike price is $70, the risk-free interest rate is 5% per annum, the volatility is 35% per annum, and the time to maturity is 6 months?
22. 
a) What is ? 
b) Show that, where is the stock price at time and
c) Calculate and .
d) Show that when , it follows that
where c is the price of a call option on a non-dividend-paying stock. 
e) Show that .
f) Show that c satisfies the Black–Scholes–Merton differential equation.
g) Show that c satisfies the boundary condition for a European call option, i.e., that .
23. Você que simular uma trajetória com 10 anos de dados diários para o preço de um ativo que segue a equação diferencial estocástica . Você escreve o seguinte código no R. O que está no lugar de XXX, YYY e ZZZ?
24. Você quer simular uma trajetória com 10 anos de dados diários para o preço de um ativo que segue a equação diferencial estocástica e cujo preço no instante inicial (t=1) é 35. Algum “amigo” quer te ajudar e te mostra o seguinte código no R. Você acredita que o código vai funcionar? (caso identifique erro(s), mostre o que deveria estar no lugar)