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Dependência da condutividade elétrica com a temperatura
Instituto de F́ısica - UFG
F́ısica Experimental V
Jackeline Ribeiro Figueredo
Victor Matheus Oliveira de Andrade
Neste experimento foi estudada a dependência com a temperatura da condutividade e da resistividade
de dois materiais distintos, um semicondutor (Ge tipo p) e um metal (Cu), respectivamente. Para o
semicondutor foi determinado o valor do gap de energia para uma certa faixa de temperatura, e para o
metal foi verificado a dependência linear da resistividade com a temperatura.
Introdução e Objetivo
Alguns resultados que dizem respeito aos elétrons de condução em metais podem ser obtidos a partir de
ideias clássicas. Na ausência de um campo elétrico aplicado, esses elétrons se movem em direções aleatórias.
Isso ocorre pelo fato de os elétrons frequentemente colidirem com imperfeições da rede cristalina do metal,
produzidas pela a agitação térmica dos ı́ons de impurezas da rede. Ao colidir com essas imperfeições, os
elétrons mudam de direção e velocidade, o que torna seu movimento aleatório. Como no caso de colisões
moleculares num gás clássico, podemos descrever a frequência das colisões elétron-imperfeições da rede
através de um livre caminho médio λ, onde λ é a distância média percorrida por um elétron entre colisões.
Quando um campo elétrico é aplicado ao metal, os elétrons modificam seus movimentos aleatórios, de
modo que eles se deslocam lentamente na direção oposta à do campo, pois suas cargas são negativas, com
uma velocidade dita de deriva vd. Esta velocidade é muito menor do que a velocidade instantânea real v̄,
do movimento aleatório. No cobre, v̄ é da ordem de 102 cm/s, enquanto que v̄ é de cerca de 107 cm/s.
A velocidade de deriva pode ser calculada em termos do campo elétrico aplicado E, de v̄ e de λ.
Quando se aplica um campo sobre um elétron num metal ele sofrerá um força de intensidade eE, que
produzirá uma aceleração de módulo a, dada por:
a =
eE
m
(1)
Considerando agora um elétron que acabou de colidir com um imperfeição da rede. Em geral, a colisão
destruirá momentaneamente a tendência ao deslocamento na direção antiparalela ao campo e o elétron se
movimentará de forma puramente aleatório, após a colisão. Pouco antes de sua próxima colisão, o elétron
terá variado sua velocidade, em média de, onde τ = λ/v̄ é o tempo médio entre as colisões:
v =
aλ
v̄
(2)
Definimos a velocidade de arrastamento como:
vd =
aλ
v̄
=
eEλ
mv̄
(3)
Se n for o número de elétrons de condução por unidade de volume e j for a densidade de corrente:
vd =
j
ne
=
eEλ
mv̄
(4)
Combinando a equação (4) com a definição de velocidade de resistividade ρ = E/j, teremos:
ρ =
mv̄
ne2λ
(5)
1
A equação 5 pode ser considerada como uma afirmação de que os metais obedecem a lei de Ohm, pois
as grandezas v̄ e λ que determinam a resistividade ρ não dependem do campo elétrico aplicado, critério
necessário para que a lei seja válida.
Com frequência operamos com a condutividade:
σ =
1
p
=
ne2λ
mv̄
=
ne2τ
m
(6)
sendo τ = λ/v̄ (tempo médio entre as colisões), onde e e m são respectivamente a carga e a massa do
elétron. O parâmetro τ é caracteŕıstico de cada material e depende fundamentalmente da temperatura e
da presença de defeitos e impurezas.
Com relação a teoria clássica da condução de eletricidade (modelo de Drude) os elétrons livres de um
metal são tratados como um gás de part́ıculas clássicas que obedecem à estat́ıstica de Boltzmann. Isto
resulta que a energia cinética média de uma part́ıcula é 32kbT . O modelo considerado mais simples para os
elétrons livres de um metal é o de gás de part́ıculas não interagentes confinados a uma caixa. A diferença
do modelo de Drude é que se tem que usar a estat́ıstica de Fermi e não a estat́ıstica de Boltzmann.
A variação com a temperatura da resistividade elétrica ρ de metais que é igual a 1/σ é usualmente
descrita pela seguinte expressão de origem emṕırica:
ρ = ρ0[1 + α(T − T0)] (7)
sendo α denominado de coeficiente de temperatura da resistividade, T0 é uma temperatura de referência
arbitrária e ρ0 é a resistividade nessa temperatura. Essa relação é uma aproximação linear válida geral-
mente em faixas limitadas de variação de temperatura dependente do material.
Como é posśıvel ver na tabela 1, há uma grande variação nas resistividades, desde valores muito baixos
para bons condutores, tais como o cobre a prata, até valores muito elevados para bons isolantes, tais como o
vidro. Um condutor ideal ou perfeito teria resistividade nula e um isolante ideal teria resistividade infinita.
Material Resistividade (Ω · m) Coeficiente de Temperatura (K−1)
Prata 1, 59 · 10−8 3, 8 · 10−3
Cobre 1, 72 · 10−8 3, 9 · 10−3
Germânio 0, 46 −4, 8 · 10−2
Vidro 10−10 ∼ 10−14 -
Quartzo 7, 5 · 1015 -
Tabela 1: Resistividade e coeficiente de temperatura de alguns materiais.
Considerando um material de comprimento L e seção transversal de área A submetido a um campo
elétrico uniforme que induz uma densidade de corrente j ao longo de seu comprimento e estabelece uma
diferença de potencial eletrostático U nos terminais, e definindo a corrente elétrica como i = j ·A, se pode
calcular a condutividade como segue:
σ =
1
ρ
=
iL
UA
(8)
A condutividade elétrica de semicondutores pode ser descrita por uma expressão similar à equação 7,
mas com a diferença de que pode haver mais de um tipo de portador de carga, inclusive com diferentes
massas efetivas. A concentração de portadores n, varia fortemente com a temperatura, devido à excitação
térmica de portadores nas bandas de valência e/ou de condução.
É posśıvel mostrar que a condutividade elétrica dos semicondutores apresenta em determinadas faixas
de temperatura uma variação térmica (em geral acima da temperatura ambiente) da forma:
σ = σ0e
−Eg/2KBT (9)
onde σ é a condutividade intŕınseca, σ0 uma constante, KB a constante de Boltzmann e T a temperatura.
A largura da banda proibida pode ser determinada a partir da variação da condutividade com a
temperatura na faixa intŕınseca de temperatura. A equação 10 pode ainda ser escrita na forma:
lnσ = lnσ0 −
Eg
2KBT
(10)
2
Quando consideramos um potencial cristalino entramos no estudo de teoria de bandas e conseguimos
um explicação bem detalhada dos diversos tipos de materiais, classificando-os em metais, semicondutores
e isolantes. Em um sólido temos um grande número de átomos, consequentemente um grande número de
ńıveis de energia próximos uns dos outros formando uma banda de energia praticamente cont́ınua.
A principal diferença entre um metal e um semicondutor é o gap de energia, que é a diferença entre o
máximo da banda de valência e o mı́nimo da banda de condução. Para um metal o gap de energia é nulo,
já para um semicondutor é da ordem de KBT e para um isolante é maior que KBT , sendo mostrada na
figura 1 uma representação ilustrativa do gap de energia entre a banda de condução e a banda de valência
para o metal, semicondutor e isolante.
Figura 1: Ilustração do gap de energia para o metal, semicondutor e isolante.
O objetivo deste relatório é discutir as diferenças básicas entre metais e semicondutores, observando
a condutividade em função da temperatura, calcular a energia do gap de energia do semicondutor e
comparar o valor esperado com o obtido experimentalmente. Aqui foi estudada a dependência com a
temperatura da condutividade e da resistividade de dois materiais distintos, um semicondutor (Ge) e um
metal (Cu). Para o semicondutor foi determinado o valor do gap de energia para uma certa faixa de
temperatura, e para o metal foi verificado a dependência linear da resistividade com a temperatura.
Procedimento Experimental
O arranjo experimental para esta etapa se encontra esquematizado na figura 2 e as conexões elétricas
estão mostradas na figura 3. Ele consiste de uma placa degermânio, uma placa de cobre, um volt́ımetro,
um ampeŕımetro, um termopar e uma fonte de tensão.
Figura 2: Aparato experimental para realização das medidas de condutividade elétrica.
Se conectou a amostra de germânio com dimensão de 20 × 10 × 1 mm3 à sáıda de tensão cont́ınua
da fonte através de um resistor e proteção e aplica-se uma corrente de até 30 mA. A amostra é então
aquecida até uma temperatura na faixa de 130− 140 oC, com a tensão Vterm em torno de 5-6 mV e então
se registrou os valores de da tensão, temperatura e corrente durante o resfriamento livre da amostra.
Na parte traseira da placa de circuito impresso se encontra o enrolamento responsável pelo aquecimento
da amostra, o qual é alimentado pela tensão (AC) da fonte de tensão. Então se aumentou progressivamente
a voltagem de aquecimento para permitir um lento aquecimento da amostra.
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Figura 3: Conexões elétricas para realização das medidas de condutividade elétrica.
Resultados e Discussão
Com os dados coletados calculamos as médias das 3 medidas realizadas, obtemos a resistência e
condutividade para o cobre e germânio. Os resultados para o cobre são apresentados na tabela 2.
Temperatura (K) Tensão (V) Corrente (A) Resistência (Ω)
403,15 0,178 0,1033 1,72
398,15 0,175 0,1033 1,69
393,15 0,173 0,1034 1,67
388,15 0,171 0,1033 1,66
383,15 0,169 0,1033 1,64
378,15 0,167 0,1033 1,62
373,15 0,165 0,1033 1,60
368,15 0,163 0,1034 1,58
363,15 0,161 0,1032 1,56
358,15 0,159 0,1032 1,54
353,15 0,160 0,1033 1,55
348,15 0,154 0,1033 1,49
343,15 0,152 0,1033 1,47
338,15 0,149 0,1034 1,44
333,15 0,147 0,1034 1,42
328,15 0,145 0,1033 1,40
323,15 0,142 0,1032 1,38
318,15 0,140 0,1031 1,36
313,15 0,138 0,1031 1,34
308,15 0,136 0,1031 1,32
303,15 0,133 0,1032 1,29
Tabela 2: Dados de tensão, corrente, temperatura e resistência obtidos para o cobre.
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Com os cálculos realizados, foi posśıvel plotar o gráfico 1 de resistência em função da temperatura
com os dados da tabela 2 referentes ao cobre.
Gráfico 1: Resistência pela temperatura.
Da regressão linear do cobre encontramos os seguintes valores, relacionado com a equação 7:
ρ = (2, 47 · 10−8 ± 1, 32 · 10−9) + (3, 63 · 10−3 ± 2, 01 · 10−4)T
Obtemos para o cobre de ρ0 = (2, 47 · 10−8± 1, 32 · 10−9)Ω ·m e α = (3, 63 · 10−3± 2, 01 · 10−4)K−1. O
valor do coeficiente de temperatura para o cobre é de 3, 9 ·10−3K−1, que resulta numa diferença percentual
de 4α = 6, 92%.
Os resultados para o germânio são apresentados na tabela 3. Com os cálculos realizados, foi posśıvel
plotar o gráfico 2 de resistência em função da temperatura, o gráfico 3 da condutividade pelo inverso da
temperatura e o gráfico 4 do logaritmo natural da condutividade pela inverso da temperatura.
Temperatura (K) Tensão (V) Corrente (A) Resistência (Ω) Condutividade (Ω · m)−1
403,15 0,175 0,00703 24,89 80,34
398,15 0,193 0,00694 27,81 71,92
393,15 0,214 0,00683 31,33 63,83
388,15 0,237 0,00671 35,32 56,62
383,15 0,263 0,00657 40,03 49,96
378,15 0,283 0,00646 43,81 45,65
373,15 0,305 0,00527 57,87 34,56
368,15 0,325 0,00624 52,08 38,40
363,15 0,343 0,00614 55,86 35,80
358,15 0,356 0,00606 58,75 34,04
353,15 0,365 0,00602 60,63 32,99
348,15 0,370 0,00600 61,67 32,43
343,15 0,371 0,00600 61,83 32,35
338,15 0,370 0,00601 61,56 32,49
5
Temperatura (K) Tensão (V) Corrente (A) Resistência (Ω) Condutividade (Ω · m)−1
333,15 0,366 0,00602 60,80 32,90
328,15 0,360 0,00606 59,41 33,67
323,15 0,353 0,00609 57,96 34,50
318,15 0,345 0,00610 56,56 35,36
313,15 0,336 0,00619 54,28 36,85
308,15 0,327 0,00623 52,49 38,10
303,15 0,317 0,00629 50,40 39,68
Tabela 3: Dados de tensão, corrente, temperatura, resistência e condutividade obtidos para o germânio.
Gráfico 2: Resistência pela temperatura.
Gráfico 3: Condutividade pelo inverso da temperatura.
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Gráfico 4: Logaritmo natural da condutividade pela inverso da temperatura
Para a segunda parte foi feito os cálculos da forma semelhante, porém iniciamos o cálculo da resistivi-
dade para a obtenção da condutividade. Plotamos o gráfico Da equação 9 temos a condutividade de um
semicondutor com uma dependência exponencial, com isto plotamos um gráfico da condutividade pelo
inverso da temperatura e obtivemos o seguinte resultado apresentado no gráfico 3.
Assim, a partir dos dados considerados, calculamos a logaritmo natural da equação 9, o que resultou
na equação 10, de posse desse resultado conseguimos obter um gráfico linear do logaritmo natural da
condutividade com a dependência de 1/T, sendo este o gráfico 4. Com os coeficiente angular do gráfico 4
calculado com o método de regressão linear, foi posśıvel obter a energia de gap para o germânio. O valor
experimental para a energia de gap foi de Eg = 0, 37 eV. Este resultado em relação ao valor da literatura
de Eg ≈ 0, 7 eV, tem uma diferença percentual de ∆Eg = 47, 1%.
As posśıveis causas de erro, em ambas as partes do experimento podem ser atribúıdas ao mal contato
entre as conexões e um sistema de medida de temperatura não muito eficiente.
Conclusão
Conforme as definições deste relatório, foi observado diferentes comportamentos entre um condutor
e um semicondutor quando a temperatura influencia nas propriedades da resistividade e condutividade.
Conseguimos observar o comportamento linear da resistividade com a variação de temperatura para o
metal, o cobre, e o comportamento exponencial decrescente da condutividade para o semicondutor, o
germânio. Assim os resultados obtidos pela análise da condutividade do germânio foram condizentes
com a previsão teórica somente para uma faixa limitada de temperatura (superior a 70 ◦C), pois para
temperaturas menores a condutividade se comportou de maneira inesperada como é posśıvel ver no gráfico
4. Já para o cobre, a condutividade apresentou o comportamento linear esperado pois o mesmo possui
essa caracteŕıstica fundante em sua configuração.
Bibliografia
[1] J.F. Carvalho, L.J. Queiroz, R.C. Santana. Roteiros dos Experimentos. IF-UFG, 2020.
[2] R. Robert, H. David. Fundamentos de F́ısica. 8 ed. LTC, 2009. Vol. 03.
[3] M. N. Herch. Curso de F́ısica Básica: Eletromagnetismo, 4 ed. Edgard Blücher, 2002. Vol. 3.
[4] Y. D. Hugh F́ısica III: Eletromagnetismo. São Paulo: Addison Wesley, 2009.
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