Análise de Sistema de Potência I_37

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11
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE 
POTÊNCIA I (ASP I) / FEN 04-00272
1 – APRESENTAÇÃO
PROF. CARLOS APARECIDO FERREIRA
2
APRESENTAÇÃO
• Professor
• Alunos
• Cadeira 
* Requisito: Corrente Alternada II – GELE 7075
* Bibliografia:
Elementos de Análise de Sistemas Elétricos de
Potência, Stevenson, W.D.
Analylis of Falted Power System , Paul Anderson
3
* Tópicos
1- Apresentação
2- Conceitos básicos
3- Modelos dos componentes do SEP em redes
de sequência
4- Estudos de curtos-circuito
* Essa matéria poderia se chamar “Circuitos X”,
assim como ASP II “Circuitos Y” ou “Aplicação de
Circuitos Elétricos”.
5- Método Computacional para o cálculo de 
curto-circuitos
1 P 2
2
P
media


• Avaliação
- Se media >= 7: aprovado
- Se 4 <= media < 7: final
- Se media < 4: reprovado
* Se media final >= 5: aprovado
 
2
media PF
media final


* Se media final < 5: reprovado 
* P3 somente com atestado e matéria
toda
• Informações Gerais
55
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE 
POTÊNCIA I (ASP I) / FEN 04-00272
2 – CONCEITOS BÁSICOS
PROF. CARLOS APARECIDO FERREIRA
66
TÓPICOS
1 – Motivação
3 – Componentes Simétricas
2 – Sistemas em Por Unidade (p.u.)
7
1 – MOTIVAÇÃO
8
9
• Participação de renováveis na matriz de energia
elétrica (BEN/EPE/MME/2017):
- Renováveis: 81,7%
* Hidráulica (68,1%); Biomassa (8,2%); Eólica (5,4%); Solar (0,01%)
- Não- Renováveis: 18,3%
* Gás Natural (9,1%); Derivados do petróleo (3,7%); Carvão Mineral
e Derivados (2,9%); Nuclear (2,6%).
10
• Consumo de Energia Elétrica no Mundo em TWh em
2012 (EPE/2016):
11
Renováveis: 84,5%
Brasil: Geração de 509,2 TWh em 2010
12
13
Por que diferente do gráfico sobre geração?
• Estimativa de Perdas (transmissão, subtransmissão e
distribuição): 90 TWh (17,7%) !!!
• Na verdade 17,7% é apenas uma estimativa inicial
(análise não é tão simples)
14
• Sistema Elétrico de Potência (SEP):
15
- O objetivo de um SEP é gerar, transmitir e
distribuir a energia elétrica, atendendo, dentre
outros, aos padrões de:
* Qualidade
* Segurança
* Eficiência
* Modicidade tarifária
* Disponibilidade
16
• Principais estudos nos SEP’s:
- Fluxo de Potência (ASP II)
- Estabilidade
- Curto-Circuito
- Estudos relacionados
- Transitórios
17
• O que é um 
curto-circuito?
- Curtos-circuitos são um tipo de contigência no SEP e também
costumam ser chamados de faltas.
Caminho de baixa (ou de menor)
impedância para a corrente devido, em
regra, a alguma condição anormal não
desejada, provocando elevação de seu
valor. Obs.: curtos-circuitos podem ser
intencionais no caso fornos elétricos.
Israel
Nota
Prova
• Causas
- Falha mecânica
* Rompimento ou corte de condutor (es)
* Contato acidental entre condutores
* Contato em condutores através de agentes
externos
- Falha de isolamento
* Devido a temperatura, umidade ou corrosão
* Devido a sobretensões internas ou de origem
atmosférica
→ Ruptura do dielétrico dos isoladores
• Curtos-circuitos:
20
• Consequências:
- Corrente elevada !
* Atuação da proteção
→ Ideal é isolar somente o local do defeito
→ Risco de blackout (sobrecarga do
sistema não desligado; efeito “dominó”,
perda do equilíbrio oferta demanda
causando variação da frequência etc)
* Prejuízos materiais (elevação da
temperatura, esforços mecânicos etc) e risco
para a vida das pessoas
- Nenhuma outra consequência???
21
• Preocupações principais?
• Corrente elevada e... decaimento da componente CC e
duração da falta
- Desequilíbrio (se curto assimétrico) !
- Possibilidade de perda da estabilidade (o curto é
uma perturbação)
• Ex.: curto-circuito no terminal de um gerador síncrono:
- Regimes ou períodos de curto-circuito: 
I=Subtransitório; II Transitório e III=Permanente
* Corrente de curto decrescente: reatância
do gerador varia durante o curto (reatância
subtransitória, transitória e síncrona)
- Corrente de curto-circuito: superposição de
componente CA com componente CC
Israel
Nota
Prova
- Onde X e R são as reatância e resistências e
quivalente vistas do ponto da falta
- QUANTO MAIOR A RELAÇÃO X/R MAIS LENTO
É O DECAIMENTO DA COMPONENTE DA
CORRENTE DE CORRENTE CONTÍNUA
cc 0- Quando t = i 0,37. cci  
Israel
Nota
Prova
25
• Qual(is) o(s) objetivo(s) dos estudos de curto-circuito?
- Obter a corrente de falta (If) ...só isso?
- Correntes nos demais ramos
- Tensões nas diversas barras
- Decaimento da componente de corrente contínua 
e duração da falta
Israel
Nota
Prova
26
• Aplicações
- Dimensionamento da proteção e de condutores
- Análise de contingências no SEP
- Estudos de estabilidade
- Cálculo da malha de terra
- Estudos no planejamento e na operação
27
• Quais seriam os tipos de curto-circuito num sistema 
3φ?
FZ FZ FZ FZ
FZ
FZ FZ FZ
gZ gZ
a
b
c
5%
70 %15 % 10 %
Faltas Simétricas Faltas Assimétricas
Fonte: Paul Anderson
 e = 0 ou com valores baixosF GZ Z
Israel
Nota
Prova
28
• Estudos de curto-circuito são feitos em todo o SEP 
(circuito elétrico)
• Porém, curtos na baixa tensão também são analisados
• Normas para análises de curtos-circuitos
* ANSI/IEEE
* IEC
• Existem programas para cálculo de faltas em SEP’s
• Normalmente se associa ASP I à alta tensão
- Indústrias: grande número de motores. Se potências
elevadas são considerados até para faltas no SEP.
- Ex.: ANAFAS (Análise de Faltas Simultâneas) /
Eletrobras Cepel
30
• Cálculo de curtos-circuitos: solução de circuitos
elétricos (mais reais):
- Circuitos 3φ’s com geradores, LT’s, trafos (com
diferentes ligações), motores e cargas
modeladas por impedâncias.
* Algumas vezes reatâncias dos
equipamentos (impedâncias)
fornecidos em percentual ou não
fornecidos
* Sistemas em Por Unidade (pu)
- Felizmente são utilizadas ferramentas na
engenharia que simplificam os cálculos:
* Componentes Simétricas
* Prá complicar mais a situação, o
curto-circuito pode trazer desequilíbrio
(se falta assimétrica)
31
2 – Sistemas em Por Unidade (p.u.)
• O valor de uma grandeza (G) em p.u. é a razão entre o
seu valor real e o valor base (b) desta grandeza.
pu
b
G
G
G

• Como obter o valor base? 
- Unidade: p.u. ou % (se x 100)
32
• Em sistemas elétricos de potência, arbitra-se os
valores base para potência aparente e tensão
(normalmente valores nominais).
- Nos sistemas com trafos, arbitra-se a tensão base
em um único trecho. As demais devem ser obtidas
utilizando-se as relações de transformação.
• As demais grandezas são as correntes e impedâncias
e podem ser obtidas utilizando-se relações
fundamentais de circuitos elétricos.
• Quais seriam as outras grandezas? Como podem ser
obtidas?
33
• Sistema 1φ
bV
bI
bS
bZ
- Arbitra-se Vb e Sb
b
b
b
S
I
V

2
b
b
b
V
Z
S

- Demais grandezas:
34
• Sistema 3φ
bV
bI
bS
bZ
- Arbitra-se Vb (fase-fase) e Sb (3φ)
3
b
b
b
S
I
V

2
b
b
b
V
Z
S

- Demais grandezas:
bV
bV
bI
bI
35
- Obs.1: é considerada ligação Y 
bV
bI bS
bZ
13bS S 
bV
bV
bI
bI
bZ
bZ
3
bV
2
3
3
b
b
b
V
S
Z
 
 
 
2
b
b
b
V
S
Z
 
2
b
b
b
V
Z
S
 
• Se Δ: passar para Y
36
3b b bS V I
3
b
b
b
S
I
V

- Obs.2: caso opte-se por arbitrar Vb (fase-neutro), 
como na solução do Stevenson sobre exemplo de 
curto-circuito fase-terra, deve-se usar:
13bS S 
2
3 bb
b
V
S
Z

2
3 bb
b
V
Z
S

37
• Utilizar base única e efetuar mudanças de base 
- Em pu, numa base antiga (A), tem-se
puA
bA
Z
Z
Z

 em Z 
puA bAZ Z Z 
2
bA
puA
bA
V
Z Z
S
 
- Para uma nova base (N), tem-se
puN
bN
Z
Z
Z
 puN bNZ Z Z 
2
bN
puN
bN
V
Z Z
S
 
• As impedâncias dos equipamentos são fornecidas em
p.u., mas com valores base diferentes. Solução ???
38
- Igualando-se as duas expressões para Z, chega-se
a:
2
bA
bN
bN
puN puA
bA
VS
Z Z
S V
 
   
 
• Abordagem fasorial 
Z Z R jX  
- Impedância
pu
b b b
Z R X
Z j
Z Z Z
  
39
S S P jQ 
- Potência
pu
b b b
S P Q
S j
S S S
  
r mV V V jV  
- Tensão
mr
pu
b b b
VV V
V j
V V V
  
r mI I I jI  
- Corrente
mr
pu
b b b
II I
I j
I I I
  
40
• Vantagens da representação em p.u. 
i) As impedâncias em p.u. de equipamentos do
mesmo tipo variam pouco
* Máquina síncrona 30 MVA / 13,8 KV tem Xs=0,08 p.u.
* Máquina síncrona 5 KVA / 220 KV tem Xs=0,06 p.u.
* Obs.: os fabricantes de equipamentos especificam
as impedâncias em pu. Os valores bases são V e S
nominais.
* Assim, quando não se conhece a impedância, é
possível utilizar valores médios tabulados
41
ii) Valores 1φ = valores 3φ
1
1
1
pu
b
V
V
V




3
ff
pu
bff
V
V
V
  3 1pu puV V  
1
1
1
pu
b
S
S
S




1
3
1
3
3
pu
b
S
S
S



  3 1pu puS S  
1
3
1
3
3
pu
b
V
V
V



 
3
3
3
pu
b
S
S
S




42
- Assim, em p.u., os sistemas são
representados por seus monofásicos
equivalentes.
* Ligações dos transformadores trifásicos
irrelevantes nas representações (exceto
para sequência zero).
43
iii) Em transformadores (sem taps ou com taps nos valores
nominais), os valores totais das impedâncias em p.u.,
referidas ao primário ou secundário, são iguais, desde que na
escolha dos valores base de tensão, seja obedecida a relação
de transformação do trafo.
2TZ1I
1V 2V 2
1
1 2
2
T T
V
Z Z
V
 
  
 
1TZ1I
1V 2V
1 2T TZ Z
44
2TZ1I
1V 2V1bV 2bV
bS
1TZ1I
1V 2V1bV 2bV
bS
2
2
2
pu
T
T
b
Z
Z
Z

2
2 2
2
pu
T
T
b
b
Z
Z
V
S

1
1
1
pu
T
T
b
Z
Z
Z

1
1 2
1
pu
T
T
b
b
Z
Z
V
S

45
2
22
1
1
1 2
pu
pu
T b
T
T
bT
Z
Z V
Z V
Z
 
 
 
1 1
2 2
Se b
b
V V
V V
 2
1
1
1
pu
pu
T
T T
T
Z
Z Z
Z
 
2 1pu puT T
Z Z
• Assim, o transformador ideal não precisa ser usado em 
sistemas representados em pu. 
2 2
2 2
1
1 2
1
pu
pu
b
T
T b
bT
T
b
S
Z
Z V
SZ
Z
V

46
• E se o transformador tem tap variável (o que é bastante 
comum em SEP’S) ???
47
• A cada modificação do tap, deveríamos mudar os
valores base
• Esse procedimento seria inviável
• Solução (modelo mundialmente usado, proposto, ao
mesmo tempo, por 2 artigos da GE de 1929)
• a=Vm/Vk e é dado em p.u.
• Exemplo: trafo com relação nominal 13,8:138kV
-Se trafo opera em condições nominais 13,8:138kV:
138
10
13,8
a  
138
10
13,8
ba  
1pu
b
a
a
a
  
-Se 13,8:124,2 kV:
124,2
9
13,8
a   0,9pu
b
a
a
a
  
• Principal sistema do Doutorado
• Curva do Nariz
V
P ou Q ou S
A
B
C
NORMAL
ANORMAL
Ponto de 
Colapso
Nova curva após 
ação de controle 
de tensão
- inserção de capacitor em paralelo com a
carga;
- aumento do valor de V0;
- inserção de outra linha de transmissão
paralela à já existente;
- inclusão de compensação série capacitiva;
- inclusão de transformador com troca de
taps, como abordado nesta tese.
• Exemplo de ações de controle de tensão:
52
1 2a a
53
• Simulação Laboratorial:
• Inversão do Fluxo com mesmo comportamento
qualitativo:
• Conclui-se que o modelo mundialmente usado é
inconsistente
56
• Modelo proposto (tese de doutorado) de transformador com
tap variável
- Fisicamente:
- Impedâncias não podem ser obtidas separadamente
57
' ( )( ) ( )
2
k m
Z
Z Z

   
2
( )
( )
2
k
k
m
NZ
Z
N
 
   
 
- Porém, de [Westinghouse 1964; Staff of MIT, 1965 etc]:
- Por outro lado:
 
2
m
m
base
base
base
V
Z
S

 
2 2
m
k
base k
base
base m
V N
Z
S N
 
  
 
58
 
2
( )
( . .) ( . .)
2
m
base
k m
base
SZ
Z p u Z p u
V

 
( . .) ( . .)
2
k m
Z
Z p u Z p u 
▪ Assim:
59
▪ Refletindo a impedância:
▪ Modelo proposto de transformador com tap variável 
(Ferreira e Prada, 2011):
60
• Efetuando as mesmas simulações
61
iv) Em p.u., as tensões em todo o sistema são
próximas a 1 p.u.
- Método de Newton Raphson para solução do
problema de fluxo de potência (ASP II):
sensibilidade em relação às condições
iniciais.
63
• Problema: determinar a tensão e a potência na carga:
V0= 13 kV
- Dados:
T1 LT T2G C
* G: 50 MVA; 13,8kV; 10% 
* T1: 20 MVA; 13,8:138 kV; 0,08 p.u.
* LT = (10+j20) Ω
* T2: 25 MVA; 140:30 kV; 6%
* C = (60+j10) Ω
• Solução
Vb1=13,8 kV Vb2=138 kV
13,8:138 kV 140:30 kV
3
138 140
30bV

Vb3=?
3 29,57bV V
i) Arbitrar valores base de potência e tensões: 
Sb=50MVA
ii) Mudar de bases (se necessário):
- Gerador: 50 MVA; 13,8kV; 10% 
- T1: 20 MVA; 13,8:138 kV; 0,08 p.u.
2
bA
bN
bN
puN puA
bA
VS
Z Z
S V
 
   
 
50
0,08
20
puNZ 
0,2 . .puNZ p u
0
13
13,8
V 
0 0,942 . .V p u 
- LT = (10+j20) Ω
- T2: 25 MVA; 140:30 kV; 6%
2
bA
bN
bN
puN puA
bA
VS
Z Z
S V
 
   
 
2
50 140
0,06
25 138
puNZ
 
  
 
0,125 . .puNZ p u
2 2
2
2
138
380,88
50
b
b
b
V
Z
S
   
010 20 0,058 63,4
380,88
LTpu
j
Z

 
67
- C = (60+j10) Ω
2 2
3
3
29,57
17,49
50
b
b
b
V
Z
S
   
060 10 3,477 9,46
17,49
Cpu
j
Z

 
iii) Montar e resolver o circuito em p.u. (próxima 
tela)
68
00,942 0 . .p u
0,1gX j
1 0,2 . .TZ j pu
00,058 63,4LTZ  2 0,125 . .TZ j pu
03,477 9,46CZ  CV
I
0
0 0
0,942 0
0,1 0,2 0,058 63,4 0,125 3,477 9,46
I
j j j

   
00,26 16,83 . .I pu 
00,904 7,37 . .C CV Z I pu   0,904 29,57CpuV  
26,76CV kV
69
* 00,235 9,46 . .cS V I pu 
 0,23 0,038 . .S j pu 
0,23 50 11,6RP MW  
0,38 50 1,93RQ MVAr  
70
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE 
POTÊNCIA I (ASP I) / FEN 04-00272
2 – CONCEITOS BÁSICOS 
(CONTINUAÇÃO)
PROF. CARLOS APARECIDO FERREIRA
71
• Cálculo de curtos-circuitos: solução de circuitos
elétricos (mais reais):
- Circuitos 3φ’s com geradores, LT’s, trafos (com
diferentes ligações), motores e cargas
modeladas por impedâncias.
* Algumas vezes reatâncias dos
equipamentos (impedâncias)
fornecidos em percentual ou não
fornecidos
* Sistemas em Por Unidade (pu)
- Felizmente são utilizadas ferramentas na
engenharia que simplificam os cálculos:
* Componentes Simétricas
* Prá complicar mais a situação, o
curto-circuito traz desequilíbrio (se
falta assimétrica)
72
3 – Componentes Simétricas
• Seja o seguinte sistema 3Φ equilibrado:
aE bE
cE
aI
bI
cI
0NI 
sZ
sZ
sZ
mZ
mZ
mZ lZ l
Z
lZ
aE
sZa
I
sZ
Quanto vale In ?
Ea, Eb, Ec = ?
73
• Da teoria de circuitos (LTK), matricialmente:
a s m m a la
b m s m b lb
c m m s c lc
E Z Z Z I V
E Z Z Z I V
E Z Z Z I V
       
       
         
       
       
• Problema: matriz cheia, acoplamento entre as
fases...não consigo resolver a, b e c separadamente...
• Deseja-se: matriz diagonal, desacoplamento...
74
• Porém, manipulando o sistema anterior, considerando
que o sistema é equilibrado, é possível chegar a:
0 0
0 0
0 0
a s m a la
b s m b lb
c s m c lc
E Z Z I V
E Z Z I V
E Z Z I V
       
       
          
              
• Matriz diagonal, não há acoplamento entre as fase: é
possível trabalhar com cada fase separadamente !!!
75
• Circuitos 1Φ’s equivalente:
aE
aIaI s mZ Z
lZlaV- Fase a
bE
aI bI s mZ Z
lZlbV- Fase b
cE
aI cI s mZ Z
lZlcV- Fase c
76
• Obs.:
Se Zl=0 ou Zl=Zf: CURTO CIRCUITO TRIFÁSICO, FALTA
SIMÉTRICA!!!
• Porém, basta resolver para uma única fase e defasar
os resultados (1200) para as demais fases.
O problema são os outros tipos de falta...
77
• Quais seriam os tipos de curto-circuito num sistema
3φ?
FZ FZ FZ FZ
FZ
FZ FZ FZ
gZ gZ
a
b
c
5%
70 %15 % 10 %
Faltas Simétricas Faltas Assimétricas
Fonte: Paul Anderson
 e = 0 ou com valores baixosF GZ Z
78
• E se o sistema for desequilibrado ???
• Desequilíbrio (em termos práticos) ???
• Carga
• Curto-circuito assimétrico
• Solução: MÉTODO DOS COMPONENTES SIMÉTRICOS
• Charles L. Fortescue, "Method of Symmetrical Co-
Ordinates Appliedto the Solution of Polyphase
Networks". Presented at the 34th annual convention of
the AIEE (American Institute of Electrical Engineers) in
Atlantic City, N.J. on 28 July 1918. Published in: AIEE
Transactions, vol. 37, part II, pages 1027-1140 (1918).
79
• É possível decompor 1 circuito “n-fásico”
desequilibrado em n circuitos “n-fásicos” equilibrados.
- 1 dos circuitos terá fasores iguais;
- (n-1) circuitos igualmente espaçados;
- Somando (ou superpondo) os n conjuntos
temos o original desequilibrado !
• Essa ousadia não foi aceita inicialmente, o que é
comum (outros exemplos: Park, Modelo de
Transformador com Tap Variável, etc).
- Condição: n é nº primo
80
• SOLUÇÃO DE 1 CIRCUITO 3φ DESEQUILIBRADO =???
- 1 dos circuitos terá fasores iguais: chamado de 
circuito de sequência 0;
- 2 circuitos igualmente espaçados (sequências + 
e -);
- Somando (ou superpondo) os 3 conjuntos temos 
o original desequilibrado !
- Condição satisfeita: 3 é nº primo
•SOMA DA SOLUÇÃO DE 3 CIRCUITOS 3φ
EQULIBRADOS.
81
• Fasorialmente:
0 1 2
0 1 2
0 1 2
a a a a
b b b b
c c c c
V V V V
V V V V
V V V V
  
  
  
POSSO TRABALHAR COM 1φ’s EQUIVALENTES EM CADA SEQUÊNCIA
, , ???a b cV V V 
82
• Definindo-se , e tomando
como referência a fase a, tem-se:
01120 0,5 0,866a j   
=Va0
=Va0 =aVa1
= a2Va1
=aVa2 =a2Va2
0 1 2
0 1 2
0 1 2
a a a a
b b b b
c c c c
V V V V
V V V V
V V V V
  
  
  
0 1 2
2
0 1 2
2
0 1 2
a a a a
b a a a
c a a a
V V V V
V V a V aV
V V aV a V
  
  
  

• Matricialmente:
0
2
1
2
2
1 1 1
1
1
a a
b a
c a
V V
V a a V
V a a V
    
    
    
        
• Define-se:
2
2
1 1 1
1
1
T a a
a a
 
 

 
  
•T é chamada de Matriz de Transformação (de rede de
fases para redes de sequências)
• Simplificadamente, é comum escrever:
012
 
abc
aV TV
• T é inversível (condição importante), de forma que é
possível escrever:
• Onde:
012 1
 
abc
aV T V

1 2
2
1 1 1
1
1
3
1
T a a
a a

 
 

 
  
• Analogamente, pode se escrever:
0
2
1
2
2
1 1 1
1
1
a a
b a
c a
I I
I a a I
I a a I
    
    
    
        
•Ou, simplificadamente:
012
 
abc
aI TI
012 1
 
abc
aI T I

• Como apresentado anteriormente:
012 1
 
abc
aV T V

0
2
1
2
2
1 1 1
1
1
3
1
a a
a b
a c
V V
V a a V
V a a V
    
    
    
        
0
1
( )
3
a a b cV V V V  
• Logo, se o sistema é equilibrado, não há tensão de
sequência zero.
• Para tensões de linha (referência: Vab):
0
2
1
2
2
1 1 1
1
1
3
1
ab ab
ab bc
ab ca
V V
V a a V
V a a V
    
    
    
        
0
1
( )
3
ab ab bc caV V V V  
• Independente de o sistema ser equilibrado ou não, ou
da ligação (Y ou Δ), a tensão de linha de sequência zero
é nula (Lei das Tensões de Kirchhoff)
• Analogamente: 012 1 abc
aI T I

0
2
1
2
2
1 1 1
1
1
3
1
a a
a b
a c
I I
I a a I
I a a I
    
    
    
        
0
1
( )
3
a a b cI I I I  
• Logo, se o sistema é equilibrado, não há corrente de
sequência zero.
• E, ainda, se a ligação é Y ou delta (ligações sem
caminho de retorno para a corrente), não há corrente de
linha sequência zero, independente de o sistema ser
equilibrado ou não (Lei das Correntes de Kirchhoff).
- Obs.: em trafos com algum enrolamento ligado em Δ, não
há corrente de linha de sequência zero neste enrolamento,
mas pode haver corrente de fase (fica “presa” no Δ)
Israel
Nota
Prova
• Se o sistema é Y desequilibrado com neutro (caminho
para a corrente):
0
1
( )
3
a a b cI I I I  
• Logo, a corrente de neutro vale o triplo da corrente de
sequência zero!
0N a b cI I I I   
• Como:
0
3
N
a
I
I 
• Desequilíbrio é uma condição necessária, mas não
suficiente para haver sequência zero.
• Temos:
• Ex.: dados os fasores abaixo das sequências positiva, negativa e
zero de tensões desequilibradas, obter fasorialmente as tensões
das fases a, b e c:
92
• Potência:
* * *
3 0 0 1 1 2 23 3 3a a a a a aS V I V I V I   
*
2 2 23 a aS V I
*
0 0 03 a aS V I
*
1 1 13 a aS V I
3 13S S 
Israel
Nota
Prova
93
0
3 0 1 2 1
2
3
*
a
a a a a
a
I
S V V V I
I

 
 
    
 
 
*
012 012
3 3
t
a aS V I        
- Matricialmente:
- Simplificadamente:
090 240
095,5125,2
• Problema Proposto
94
• Obs.1: condições da transformação ABC-012
proposta por Fortescue:
- 012
3 3
abcS S 
- Matriz T inversível
- Desacoplamento entre as sequências (matrizes
diagonais como será mostrado adiante).
• Obs.2: seja o circuito 3φ equilibrado (a-b-c):
0
2 2
1
2
2
1 1 1 1
1
1
3
1
a
a a
a
I
I a a a I
I a a a
     
     
      
         
00aI I
2
b aI a I
0120cI I
0
2
1
2
2
1 1 1
1
1
3
1
a a
a b
a c
I I
I a a I
I a a I
    
    
    
        
c aI a I
0240bI I
2
0
1
2
2
1
1
1 1 1
3
1
a
a a
a
I a a
I I
I a a
    
   
      
      
• Logo, para esse sistema equilibrado, só sequência
positiva.
0
1
2
0
1
3
3
0
a
a a
a
I
I I
I
   
   
   
     
0
1
2
0
0
a
a a
a
I
I I
I
   
   
    
     
0
2 2
1
2
2
1 1 1 1
1
1
3
1
a
a a
a
I
I a a a I
I a a a
     
     
     
         
• Ex.: Um condutor de uma linha trifásica está aberto. A
corrente que flui para uma carga ligada em Δ pela linha a
é de 10 A. Tomando a corrente da linha a como
referência e supondo que seja c a linha aberta,
determine os componentes simétricos das correntes de
linha.
010 0 AaI 
010180 AbI 
0 AcI 
0
2
1
2
2
1 1 1
1
1
3
1
a a
a b
a c
I I
I a a I
I a a I
    
    
    
        
0
0
2 0
1
2
2
1 1 1 10 0
1
1 10180
3
1 0
a
a
a
I
I a a
I a a
    
    
    
        
0
0
0
1
0
2
0
5,78 30
5,78 30
a
a
a
I
I
I
   
   
    
   
  
0
0
0
1
0
2
0
5,78 30
5,78 30
a
a
a
I
I
I
   
   
    
   
  
=Ia0
=Ia0 =aIa1
= a2Ia1
=aIa2 =a2Ia2
0
0
0
1
0
2
0
5,78 150
5,78150
b
b
b
I
I
I
   
   
    
   
  
0
0
0
1
0
2
0
5,78 90
5,78 90
c
c
c
I
I
I
   
   
   
     
• Não há corrente de linha de sequência 0, como
esperado (ligação Δ)
• Ic=0, mas tem componentes de sequência + e -
• A soma das correntes da linha a é 10A. Idem para
linha b, que tem sentido oposto.
101101
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE 
POTÊNCIA I (ASP I) / FEN 04-00272
3 – MODELOS DOS COMPONENTES DO SEP EM 
REDES DE SEQUÊNCIA
PROF. CARLOS APARECIDO FERREIRA
• Cálculo de curtos-circuitos: solução de circuitos
elétricos (mais reais):
- Circuitos 3φ’s com geradores, LT’s, trafos (com
diferentes ligações), motores e cargas
modeladas por impedâncias.
* Algumas vezes reatâncias dos
equipamentos (impedâncias)
fornecidos em percentual ou não
fornecidos
* Sistemas em Por Unidade (pu)
- Felizmente são utilizadas ferramentas na
engenharia que simplificam os cálculos:
* Componentes Simétricas
* Prá complicar mais a situação, o
curto-circuito traz desequilíbrio (se
falta assimétrica)
→ Modelos em redes de sequência
103103
TÓPICOS
1 – Linhas de Transmissão
2 – Geradores (e Motores) Síncronos
3 – Motor de Indução
4 – Cargas (Impedâncias)
5 – Transformadores
104
▪ Da matéria Linhas de Transmissão, tem-se o modelo 1φ
geral de LT (circuito ¶ equivalente)
'Z'
2
Y '
2
Y
sV rV Carga
sI rIsI sI
' ( )cZ Z sh l
' 1 ( ) 1
2 ( )c
Y ch l
Z sh l


 
  
 
- Zc e γ são a impedância característica e a constante
de propagação da LT1 – Linhas de Transmissão
▪ LT curta (l < 80Km):
Z
sV Carga
sI rI
rV
▪ LT média (80km < l < 240km):
Z
2
Y
2
Y
sV rV Carga
sI rI
- Esse é o modelo (circuito ¶ nominal) usualmente
usado em SEP (ASP II)
Z R jX 
2
Y
2
Y
sV rV Carga
sI rI
• Em estudo de curto-circuito, despreza-se as
resistências e susceptâncias shunts das LT.
107
• Seja o seguinte sistema 3Φ, considerando-se também
as impedâncias mútuas da LT:
aE bE
cE
aI
bI
cI
NI
sZ
sZ
sZ
mZ
mZ
mZ l
Z lZ
lZ
aE
sZa
I
sZ
sZ
sZ
mZmZ
• Consideração: LT transposta (mútuas iguais)
108
• Da teoria de circuitos, matricialmente:
a a la
b b lb
s m m
m s m
m m sc c lc
ZE I V
E I V
E I V
Z Z
Z Z Z
Z Z Z
 
 

     
     
       
     
  


 

 
• Problema (aula anterior): matriz cheia, acoplamento
entre as fase...não consigo resolver a, b e c
separadamente...
• Deseja-se: matriz diagonal, com desacoplamento...
109
a a la
b b lb
s m m
m s m
m m sc c lc
ZE I V
E I V
E I V
Z Z
Z Z Z
Z Z Z
 
 

     
     
       
     
  


 

 
• Simplificadamente:
 
aab bcabc cc ab
lE IZ V 
• Mas
012
 
abc
l laV TV
012
 
abc
aI TI
110
 
aab bcabc cc ab
lE IZ V 
012
 
abc
l laV TV
012
 
abc
aI TI
• Substituindo:
012 012
 
abc
a a
a c
l
bE TI TZ V 
• Multiplicando por T-1:
1 1 012 012
 
abc
a l
bc
a
aT E T TZ I V  
012
aE
012
aZ
111
• Tem-se então:
01 12 abc
a T TZ Z

012 2 2
2 2
1 1 1 1 1 1
1
1 1
3
1 1
s m m
a m s m
m m s
a a a a
a a
Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z a a
 
 
 
 

   
   

   
     
• Matricialmente:
012
2 0 0
0 0
0 0
s m
a s m
s m
Z Z
Z Z Z
Z Z
 
 
 
 


• Chega-se a:
112
• Comentários:
012
2 0 0
0 0
0 0
s m
a s m
s m
Z Z
Z Z Z
Z Z
 
 
 
 


• Não há acoplamento entre as sequências +, - e 0
(matriz diagonal)
• Se sistema equilibrado, só sequência positiva:
Zs-Zm, conforme aula anterior.
• Impedância de sequência positiva igual à de
sequência negativa.
• Desconsiderando-se as mútuas: Z0=Z1=Z2
• Circuitos:
Sequência + 
1 S mZ Z Z 
Sequência -
2 S mZ Z Z 
Sequência 0
0 2S mZ Z Z 
2 – Geradores (ou Motores) Síncronos
• Da matéria Conversão de Energia, tem-se o 1Φ
equivalente de gerador (ou motor) síncrono em regime
permanente:
aE
S s sZ R jX 
aV
aI
Motor
aI
Gerador
- Rs normalmente é desprezado
• Seja a seguinte representação 3Φ de um gerador,
ligado em Y (com Zn):
aE bE
cE
aI
bI
cI
aE
aI
NI
SZ SZ
SZ
aV
bV
cV
NZ
Quanto vale In 
genericamente?
N a b cI I I I  
, , ???a b cV V V 
• Aplicando a LTK, matricialmente:
0 0 1 1 1
0 0 1 1 1
0 0 1 1 1
a a s a a
b b s b n b
c c s c c
V E Z I I
V E Z I Z I
V E Z I I
          
          
             
                    
a a s n n n a
b b n s n n b
c c n n s n c
V E Z Z Z Z I
V E Z Z Z Z I
V E Z Z Z Z I
       
       
          
              
abc abc abc abcV E Z I 
• Simplificadamente:
• Usando:
0 0
1 1
2 2
0 3
0
a s n a
a a s a
a s a
V Z Z I
V E Z I
V Z I
      
      
       
            
012
 
abc
aV TV
012
 
abc
aI TI
• Chega-se a:
• Circuitos:
1aE
1 SZ Z
1aV
1aI
Sequência + 
2 SZ Z
2aV2a
ISequência -
0 3S nZ Z Z 
0aV0a
I
Sequência 0
119
• Comentários:
• Para motores síncronos, basta inverter o sentido
da corrente (e mudar o sinal do sistema de
equações)
• A impedância referente ao neutro (Zn) está na
sequência zero e é multiplicada por 3 (o que é
recorrente para outros equipamentos, como será
visto adiante)
• Tensão gerada só aparece na sequência +:
projeto dos geradores
• Se Y: Zn= 
• Se Y aterrado: Zn= 0
• Com relação ao Zs, despreza-se a resistência,
utilizando-se somente a reatância síncrona (Xs)
Israel
Nota
Prova
120
• Parâmetros dos geradores e motores síncronos:
'' '
1 ou ou d d dX X X X
Dependendo do estudo realizado
'' ''
2 
2
d qX X
X


0 X testes
• Regimes ou períodos de curto-circuito: 
I=Subtransitório; II Transitório e III=Permanente
122
• Mais comentários:
- Xo apresenta baixo valor (representa os fluxos
magnéticos de dispersão, não produzindo FMM
rotacional);
- X1 apresenta alto valor em regime permanente
(os fluxos magnéticos de seqüência positiva estão
em sincronismo com o giro do rotor e assim
penetram completamente o circuito magnético da
máquina);
- X2 apresenta baixo valor valor (os fluxos
magnéticos de sequência negativa giram em
sentido contrário ao giro do rotor );
Israel
Nota
Prova
3 –Motor de Indução
• Da matéria Conversão de Energia, tem-se o modelo 1 φ
equivalente de um motor de indução (regime
permanente):
• A partir do modelo apresentado, pode-se chegar ao
seguinte 1 φ equivalente simplificado (adequado para
estudos de curto-circuito):
mE
( )s rj X X
aV
aI
- Xs e Xr: reatâncias 
do estator e rotor
- Em = Força 
eletromotriz induzida 
devido ao movimento 
do rotor
abc abcabc abc
mV Z I E 
• Matematicamente em sequência de fases:
• Usando:
0 0
1 1 1
2 2
0
( )
0 ( )
a a
a a s a
a s a
V I
V E j Xr X I
V j Xr X I
      
      
        
            
012
 
abc
aV TV
012
 
abc
aI TI
• Chega-se a:
• Circuitos:
Sequência + 
2aV 2a
ISequência -
0aV 0aISequência 0
mE
( )s rj X X
1aV
1aI
( )s rj X X
Israel
Nota
Prova
127
• Comentários:
- Nos ciclos iniciais do curto, o motor de indução
alimenta o curto, o que pode ser visto tanto no
modelo abc, quanto no 012 (sequência positiva)
* Tendo movimento (inércia) e magnetismo
(remanescente), funciona (temporariamente)
como um gerador;
* Assim os maiores motores (e até os menores
quando em grande quantidade) devem ser
representados nos estudos e em análises de
curtos-circuitos nas indústrias;
- Não há sequência zero: do Eletromagnetismo, o
motor de indução precisa de correntes defasadas
para gerar o campo girante, além do que, analisando
o circuito elétrico, o estator (única alimentação do
motor de indução) é ligado em estrela ou triângulo
(sem caminho de retorno para a corrente);
128
• Parâmetros para o motor de indução:
Potência (HP) (Xs+Xr) (p.u)
Até 5 0,10 a 0,14
5 a 25 0,12 a 0,16
> 25 0,15 a 0,17
4- Carga (Impedância)
Z Z
Z
aV
bV
cV
N a b cI I I I  
abc abc abc
NV Z I E 
• Matematicamente em sequência de fases:
cI
bI
aI
nZ
• Usando:
0 0
1 1
2 2
3a N a
a a
a a
V Z Z I
V Z I
V Z I
     
     
     
     
     
012
 
abc
aV TV
012
 
abc
aI TI
• Chega-se a:
• Circuitos:
Sequência + 
Z1aI1aV
Sequência -
Z2aI2aV
Sequência 0 
Z0aI0aV 3 NZ
• Comentários:
Sequência 0:
Z0aI0aV 3 NZ
-Se Y: Zn= 
-Se Y aterrado: Zn=0
-Se delta: Passar para Y
* Não terá sequência 0
• Problema proposto: por analogia aos modelos apresentados e à
LCK, montar os circuitos de sequência positiva, negativa e zero
para transformadores, com diferentes possibilidades de ligações
dos enrolamentos dos trafos.
-A impedância relacionada ao neutro é multiplicada
novamente por 3 (como nos geradores síncronos)
Israel
Nota
Prova
133133
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE 
POTÊNCIA I (ASP I) / FEN 04-00272
3 – MODELOS DOS COMPONENTES DO SEP EM 
REDES DE SEQUÊNCIA (CONTINUAÇÃO)
PROF. CARLOS APARECIDO FERREIRA
134134
TÓPICOS
1 – Linhas de Transmissão
2 – Geradores (e Motores) Síncronos
3 – Motor de Indução
4 – Cargas (Impedâncias)
5 – Transformadores
5- Transformadores
• Da matéria conversão de energia, tem-se o modelo 1φ
equivalente para o trafo:
• Simplificadamente:
• Em p.u. 
(tap nominal): jX
' ’ ’
• Analogamente às deduções anteriores (LT), é possível
chegaraos seguintes circuitos (1φ equivalente) de
sequência:
Sequência + 
1jX
Sequência -
2jX
• E para a sequência zero ???
• O circuito acima deve ser complementado de acordo
com a ligação em cada lado do trafo:
Y ou Δ
NZ
I
Primário
Y ou Δ
MZ
Secundário
0jX
???
Analogia: multiplicação por 3 na 
sequência zero (geradores síncronos, 
motores síncronos e cargas)
LCK
Y
NZ
Y
0jX3 NZI
Y Y
MZ
0jX 3 MZI
Y
NZ
Y
MZ
0jX3 NZ 3 MZI
Y
NZ
Y
0jX3 NZ
• Y: não tem caminho para corrente de sequência zero,
como visto em aula anterior.
3 circuito abertoNZ   •
Y Y
MZ
0jX 3 MZ
Y Y
0jX
Y Y
0jX
Y Δ
0'aI
0aI
0aI
0aI
03 aI
- Como representar ?
• Δ: não tem caminho para corrente de linha de
sequência zero, como visto em aula anterior.
Y Δ
0jXI
ΔΔ
0jX
Y
NZ
Δ
0jX3 NZI
Δ Y
0jX
Δ Y
MZ
0jX 3 MZ
Δ Y
0jX
ΔY
0jX
• Problema: montar um único circuito para a sequência zero, que
modele um trafo de 2 enrolamentos, utilizando chaves, que são
conectadas, de acordo com as diferentes possibilidades de
ligações de cada enrolamento (Δ ou Y aterrado por impedância).
0jX
3 NZ 3 MZ Y
MZ
Y
NZ
Δ Δ
I
0 NZ  
0 MZ 
Israel
Nota
Prova
• Comentários:
- Considera-se X1=X2=X0
- As defasagens podem ou não ser consideradas,
dependendo do estudo
- Nas deduções, considera-se que os transformadores
são de núcleos envolvente
• Problema proposto: montar esquema com chaves para
transformador de 3 enrolamentos (com as diferentes
possibilidades de ligações em cada enrolamento).
- Modelo do trafo de 3 enrolamentos em redes de fase:
PjX SjX
TjX
- Modelo do trafo de 3 enrolamentos em redes de
sequência:
Sequência + 
1P
jX 1SjX
1TjX
Sequência -
2P
jX 2SjX
2TjX
Sequência 0: problema proposto
0P
jX 0SjX
0TjX
3 NZ
Y
NZ
I
3 MZ Y
MZ
3 lZ
Y
lZ
Δ
Δ
Δ
0 , ,N M lZ Z Z  
Israel
Nota
Prova
159
• Problema: Determine o circuito de sequência 0
T1 LT T2G
M1
M2
Δ Y Y ΔY
Y
M1 é síncrono
M2 é de indução
160
13 nGZ
1SGZ
0T1Z LTZ
M2
Δ
T1
Y
T2
Y Δ
G
Y
M1
Y
LT
0T2Z
13 nMZ
1SMZ
• Problema: para o mesmo sistema, determine os
circuitos de sequência + e -.
161
• Problema: montar os circuitos de sequência positiva,
negativa e zero para o SEP a seguir
1 2 3 4
5
Y
Δ
Y Y
Y Y
162162
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE 
POTÊNCIA I (ASP I) / FEN 04-00272
4 – ESTUDOS DE CURTOS-CIRCUITO
PROF. CARLOS APARECIDO FERREIRA
163163
TÓPICOS
2 – Curtos-Circuito Simétricos
3 – Curtos-Circuito Assimétricos
1 – Introdução
4 – Curtos-Circuito em Sistemas Multi-Nó
164
1 – INTRODUÇÃO
• Sistema Elétrico de Potência (SEP):
165
- O objetivo de um SEP é gerar, transmitir e
distribuir a energia elétrica, atendendo, dentre
outros, aos padrões de:
* Qualidade
* Segurança
* Eficiência
* Modicidade tarifária
* Disponibilidade
166
• Principais estudos nos SEP’s:
- Fluxo de Potência (ASP II)
- Estabilidade
- Curto-Circuito
- Estudos relacionados
- Transitórios
167
• O que é um 
curto-circuito?
- Curtos-circuitos são um tipo de contigência no SEP e também
costumam ser chamados de faltas.
Caminho de baixa (ou de menor)
impedância para a corrente devido, em
regra, a alguma condição anormal não
desejada, provocando elevação de seu
valor. Obs.: curtos-circuitos podem ser
intencionais no caso fornos elétricos.
• Causas
- Falha mecânica
* Rompimento ou corte de condutor (es)
* Contato acidental entre condutores
* Contato em condutores através de agentes
externos
- Falha de isolamento
* Devido a temperatura, umidade ou corrosão
* Devido a sobretensões internas ou de origem
atmosférica
→ Ruptura do dielétrico dos isoladores
• Curtos-circuitos:
170
• Consequências:
- Corrente elevada !
* Atuação da proteção
→ Ideal é isolar somente o local do defeito
→ Risco de blackout (sobrecarga do
sistema não desligado; efeito “dominó”,
perda do equilíbrio oferta demanda
causando variação da frequência etc)
* Prejuízos materiais (elevação da
temperatura, esforços mecânicos etc) e risco
para a vida das pessoas
- Nenhuma outra consequência???
171
• Preocupações principais?
• Corrente elevada e... decaimento da componente CC e
duração da falta
- Desequilíbrio (se curto assimétrico) !
- Possibilidade de perda da estabilidade (o curto é
uma perturbação)
• Ex.: curto-circuito no terminal de um gerador síncrono:
- Regimes ou períodos de curto-circuito: 
I=Subtransitório; II Transitório e III=Permanente
* Corrente de curto decrescente: reatância do
gerador varia durante o curto (reatância
subtransitória, transitória e síncrona)
- Corrente de curto-circuito: superposição de
componente CA com componente CC
- Onde X e R são as reatância e resistências e
quivalente vistas do ponto da falta
- QUANTO MAIOR A RELAÇÃO X/R MAIS LENTO
É O DECAIMENTO DA COMPONENTE DA
CORRENTE DE CORRENTE CONTÍNUA
cc 0- Quando t = i 0,37. cci  
175
• Qual(is) o(s) objetivo(s) dos estudos de curto-circuito?
- Obter a corrente de falta (If) ...só isso?
- Correntes nos demais ramos
- Tensões nas diversas barras
- Decaimento da componente de corrente contínua 
e duração da falta
17
6
• Aplicações
- Dimensionamento da proteção e de condutores
- Análise de contingências no SEP
- Estudos de estabilidade
- Cálculo da malha de terra
- Estudos no planejamento e na operação
177
• Estudos de curto-circuito são feitos em todo o SEP
• Porém, curtos na baixa tensão também são analisados
• Normas para análises de curtos-circuitos
* ANSI/IEEE
* IEC
• Existem programas para cálculo de faltas em SEP’s
• Normalmente se associa ASP I à alta tensão
- Indústrias: grande número de motores. Se potências
elevadas são considerados até para faltas no SEP.
- Ex.: ANAFAS (Análise de Faltas Simultâneas) /
Eletrobras Cepel
179
• Cálculo de curtos-circuitos: solução de circuitos
elétricos (mais reais):
- Circuitos 3φ’s com geradores, LT’s, trafos (com
diferentes ligações), motores e cargas
modeladas por impedâncias.
* Algumas vezes reatâncias dos
equipamentos (impedâncias)
fornecidos em percentual ou não
fornecidos
* Sistemas em Por Unidade (pu)
- Felizmente são utilizadas ferramentas na
engenharia que simplificam os cálculos:
* Componentes Simétricas
* Prá complicar mais a situação, o
curto-circuito pode trazer desequilíbrio
(se falta assimétrica)
180
• Tipos de curto-circuito num sistema 3φ:
FZ FZ FZ FZ
FZ
FZ FZ FZ
gZ gZ
a
b
c
5%
70 %15 % 10 %
Faltas Simétricas Faltas Assimétricas
181
2 – FALTAS SIMÉTRICAS
FZ
FZ
FZ
G
a
b
c
Y
Condições iniciais:
0a b c nI I I I   
2
1a
b a
c
V
V a E
V a
   
   
   
     
Condições da falta:
2
1a
b a
c
I
I a I
I a
   
   
   
     
0nI 
2
1a
b a
c
V
V a V
V a
   
   
   
     
182
• Como o a falta é simétrica, pode ser resolvida pelo
equivalente monofásico:
aE
a faI IsZ
fZ
a
faa
s f
I
E
I
Z Z



• As correntes nas outras fase são defasadas de 1200
183
FZ
FZ
FZ
G
a
b
c
Y
gZ
• Os valores de Zg e ou Zn (ligação ou não à terra) são
irrelevantes (não modificam o monofásico equivalente
apresentado na tela anterior), considerando que, para
falta simétrica, sob as condições iniciais apresentadas:
'0 0a b c n nnI I I I V     
nZ
n
'n
184
3 – FALTAS ASSIMÉTRICAS
G
a
b
c
Y
Condições iniciais:
0a b c nI I I I   
2
1a
b a
c
V
V a E
V a
   
   
   
     
• Falta φ-T: f aI I
Condições da falta:
0b cI I 
0aV 
0fZ 
• Sabe-se que:
012 1 abc
aI T I

0
2
1
2
2
1 1 1
1
1
3
1
a a
a b
a c
I I
I a a I
I a a I
    
    
    
        
• Como:
0b cI I 
0 1 2
1
3
a a a aI I I I  
• Correntes iguais...redes de sequência em série...
• Lembrando que a fI I
• Por outro lado, analisando as redes de sequência do
gerador:
1aE
1Z
1aV
1aI
Sequência + 
2Z
2aV2a
ISequência-
0 0 3g nZ Z Z 
0aV0a
I
Sequência 0
1 1 1a aE Z I 
2 20 aZ I 
0 00 aZ I 
1 1 1 2 2 0 0a a a a aV E Z I Z I Z I   
1 2 0a a a aV V V V  
• Como Va=0 e as correntes são iguais:
1 1 2 0 10 ( )a a aV E Z Z Z I    
1
1
1 2 0( )
a
a
E
I
Z Z Z

 
•Circuito resultante (interligação das redes de sequência):
1aE
1Z1aI
2Z
2aI
0 0 3g nZ Z Z 
0aI
1
1 2 0( )
a
a
E
I
Z Z Z

 
0 1 2
1
3
a a a aI I I I  
a fI I
1 2 0
3
( )
a
f
E
I
Z Z Z

 
1aV
2aV
0aV
• Problema Proposto (Stevenson):
- Lembrete nas 3 próximas telas
190
• Parâmetros dos geradores e motores síncronos:
'' '
1 ou ou d d dX X X X
Dependendo do estudo realizado: subtransitório
'' ''
2 
2
d qX X
X


0 X testes
AULAS PASSADAS
Dados do problema
191
• P.U. em sistemas 3φ’s
bV
bI
bS
bZ
- Arbitra-se Vb (fase-fase) e Sb (3φ)
3
b
b
b
S
I
V

2
b
b
b
V
Z
S

- Demais grandezas:
bV
bV
bI
bI
192
- Caso opte-se por arbitrar Vb (fase-neutro), como
na solução do Stevenson, deve-se usar:
3b b bS V I
3
b
b
b
S
I
V

* Na solução do Stevenson:
20.000
13,8
3
3
bI 
20.000
3 13,8
bI 
0b cI I 
198198
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE 
POTÊNCIA I (ASP I) / FEN 04-00272
4 – ESTUDOS DE CURTOS-CIRCUITO 
(Continuação)
PROF. CARLOS APARECIDO FERREIRA
199
G
a
b
c
Y
Condições iniciais:
0a b c nI I I I   
2
1a
b a
c
V
V a E
V a
   
   
   
     
• Zf ǂ 0
Condições da falta:
0b cI I 
a f aV Z I
f aI I
fZ
• Agora Va ǂ 0, mas a condição referente à corrente não
mudou:
1 2 0 1( )a f a a aV Z I E Z Z Z I    
1
1 2 0( 3 )
a
a
f
E
I
Z Z Z Z

  
0 1 2
1
3
a a a aI I I I  
1 1 2 0 1
3 ( )a f a a aV Z I E Z Z Z I    
• Tem-se, então:
• Circuito resultante:
1aE
1Z1aI
2Z
2aI
0 0 3g nZ Z Z 
0aI
1
1 2 0( 3 )
a
a
f
E
I
Z Z Z Z

  
0 1 2
1
3
a a a aI I I I  
a fI I
1 2 0
3
( 3 )
a
f
f
E
I
Z Z Z Z

  
3 fZ
Obs.: este circuito
resultante também
poderia ter sido obtido
por inspeção
202
G
a
b
c
Y
Condições iniciais:
0a b c nI I I I   
2
1a
b a
c
V
V a E
V a
   
   
   
     
• Falta φ- φ:
fI
Condições da falta:
b c fI I I  
b cV V
0fZ 
0aI 
• Sabe-se que:
012 1 abc
aI T I

0
2
1
2
2
1 1 1
1
1
3
1
a a
a b
a c
I I
I a a I
I a a I
    
    
    
        
• Aplicando-se a condição da falta referente às correntes:
0
2
1
2
2
1 1 1 0
1
1
3
1
a
a b
a b
I
I a a I
I a a I
     
     
     
         
• Chega-se a:
0 0aI 
1 2a aI I 
• Aplicando-se a condição da falta referente às tensões:
b cV V
0 1 2 0 1 2b b b c c cV V V V V V    
• Tem-se
1 2a aV V
2 2
1 2 1 20 0a a a aa V aV a V a V    
• Tensões iguais...redes de sequência em paralelo...
→ Não há envolvimento com a terra
• Circuito resultante:
1aE
1Z1aI
2Z
2aI
0 0 3g nZ Z Z 
0aI
1aV
2aV
0aV
1 2a aI I 
1 2a aV V
0 0aI 
• Circuito resultante:
1aE
1Z
1aI
2Z
2aI
1aV 2aV
0 1 2f b b b b
I I I I I   
2
1 2
0f a aI a I aI  
2
1 1
0f a aI a I aI  
2
1
( )f aI a a I 
1 2a aI I 
1 2a aV V
0 0aI 
• Problema Proposto (Stevenson):
2
1
( )f aI a a I 
• Mas:
1
1
1 2
a
a
E
I
Z Z


• Então:
2
1
1 2
( ) a
f
a a E
I
Z Z



211
G
a
b
c
Y
Condições iniciais:
0a b c nI I I I   
2
1a
b a
c
V
V a E
V a
   
   
   
     
b c f bV V Z I 
Condições da falta:
b c fI I I  
0aI 
• Zf ǂ 0
fI
fZ
• Como a condição referente às correntes não foi
modificada, mantém-se:
0 0aI 
1 2a aI I 
• Com a nova condição referente às tensões:
b c f bV V Z I 
0 1 2 0 1 2( )b b b c c c f bV V V V V V Z I     
2 2
1 2 1 20 (0 )a a a a f ba V aV a V a V Z I     
1 2 2
f b
a a
Z I
V V
a a
 

2
1
( )f b aI I a a I  
• Como
1 2 2
f b
a a
Z I
V V
a a
 

2
1
( )b aI a a I 
2
1
1 2 2
( )f a
a a
Z a a I
V V
a a

 

1 2 1a a f a
V V Z I 
• Tem-se:
• Circuito resultante:
1aE
1Z
1aI
2Z
2aI
1aV 2aV
1 2a aI I 
2
1
( )f aI a a I 
1 2 1a a f a
V V Z I 
fZ
0 0aI 
2
1
1 2
( ) a
f
f
a a E
I
Z Z Z

 

215
Condições iniciais:
0a b c nI I I I   
2
1a
b a
c
V
V a E
V a
   
   
   
     
• Falta φ- φ - T:
Condições da falta:
b c f nI I I I  
0b cV V 
0fZ 
0aI 
fI
G
a
b
c
Y
nI
nZ
• Sabe-se que:
012 1 abc
aV T V

0
2
1
2
2
1 1 1
1
1
3
1
a a
a b
a c
V V
V a a V
V a a V
    
    
    
        
• Aplicando-se a condição da falta referente às tensões:
0
2
1
2
2
1 1 1
1
1 0
3
1 0
a a
a
a
V V
V a a
V a a
    
    
    
        
• Chega-se a
0
2
1
2
2
1 1 1
1
1 0
3
1 0
a a
a
a
V V
V a a
V a a
    
    
    
        
0 1 2
3
a
a a a
V
V V V  
• Tensões iguais...redes de sequência em paralelo...
• E ainda
0 1 2 0a a a aI I I I   
• Circuito resultante:
1aE
1Z
1aI
2aI
1aV 0aV2aV
0 0 3g nZ Z Z 
0aI
0 1 2
3
a
a a a
V
V V V  
0 1 2 0a a aI I I  
2Z
- Note que agora tem sequência 0...envolvimento 
com a terra
f b cI I I 
0 1 2 0 1 2f b b b c c cI I I I I I I     
2 2
0 1 2 0 1 2f a a a a a aI I a I aI I aI a I     
0 1 22 ( )( 1)f a a aI I aI aI a   
• Por outro lado:
0
2
1
2
2
1 1 1
1
1
3
1
a a
a b
a c
I I
I a a I
I a a I
    
    
    
        
• Aplicando divisor de corrente:
0
1
( )
3
a a b cI I I I  
• Na falta fase b – fase c – terra:
0 e a b c fI I I I  
0
1
(0 )
3
a fI I 
03f a nI I I 
2
0 1
2 0 3
a a
g n
Z
I I
Z Z Z
 
 
• Mas: 1
1
1 2 0//( 3 )
a
a
g n
E
I
Z Z Z Z

 
2
0 1
2 0 3
a a
g n
Z
I I
Z Z Z
 
 
1
1
1 2 0//( 3 )
a
a
g n
E
I
Z Z Z Z

 
03f a nI I I 
• Então:
12
2 0 1 2 0
3
3 //( 3 )
a
f n
g n g n
EZ
I I
Z Z Z Z Z Z Z
  
   
• Problema Proposto (Stevenson):
225
Condições iniciais:
0a b c nI I I I   
2
1a
b a
c
V
V a E
V a
   
   
   
     
• Zf ǂ 0:
b c f fV V Z I 
Condições da falta:
b c f nI I I I  
0aI 
fIfZ
G
a
b
c
Y
nZ
&
nI
• Circuito resultante com Zf:
1aE
1Z
1aI
2aI
1aV 0'aV2aV
0 0 3g nZ Z Z 
0aI
0 1 2'a a aV V V 
0 1 2 0a a aI I I  
0 1 22 ( )( 1)f a a aI I aI aI a   
3 fZ
2Z
03f n aI I I 
2
0 1
2 0 33
a a
g n f
Z
I I
Z Z Z Z

  

1
1
1 2 0// 3 3( )
a
a
g n f
E
I
Z Z Z Z Z 


03f a nI I I 
• Então:
12
2 0 1 2 0
3
3 //( 33 3 )f
a
f n
g n g n f
EZ
I I
Z Z Z Z Z ZZ ZZ
  
    
G
a
b
c
Y
G
r
s
t
Y
229
4– CURTOS-CIRCUITOS EM SISTEMAS 
MULTI-NÓ
• As situações apresentadas anteriormente são
referentes a curtos em geradores operando a vazio
• É possível aplicá-las aos sistemas multi-nós,
referentes aos sistemas elétricos de potência ???
• SIM, utilizando-se circuitos equivalentes de
Thévenin!!!
230
• Circuito equivalente de Thévenin:
- Qualquer circuito elétrico (linear) pode ser
substituído por um circuito elétrico de Thévenin,
que consiste numa fonte de tensão (Vth) em série
com uma impedância (Zth)...como no modelo do 1
φ equivalente de um gerador.
* Zth é a impedância equivalente dos pontos
A e B analisados, com as fontes de corrente e
de tensão inoperantes, ou seja, V’s=0 (curto-
circuito) e I’s=0 (circuito aberto);
* Vth é a tensão de circuito aberto, entre os
pontos A e B analisados
231
• Exemplo:
A
B
E
AZ
BZ fZ
- Zth:
A
B
AZ
BZ
//A Bth ZZ Z
232
• Vth:
A
B
E
AZ
BZ
B
B
th
A
Z
E
Z Z
V 

• Circuito equivalente de Thevenin:
A
B
thV
thZ
fZ
Como o modelo do gerador: 
fonte em série com impedância.Para faltas assimétricas, 
necessário obter os circuitos de 
Thevenin para seq. – e 0 
também !
233
• Metodologia:
i) Abrir o sistema na barra em que aconteceu o
curto e calcular as impedâncias equivalentes de
Thévenin, para as sequências +, - e 0 (se curto
simétrico: só +);
* Computacionalmente para cada sequência
(se curto na barra i):
, onde Z = matriz Zbarrath iiZ Z
* Analiticamente: obtenção da impedância
equivalente para cada sequência no ponto
onde ocorreu a falta (fontes de tensão
inoperantes)
234
iii) Obter o circuito resultante e a corrente de falta,
de acordo com o tipo do curto-circuito (aulas
anteriores), além das tensões em todas as barras e
correntes em todos os ramos.
ii) Obter Vth (para sequência +)=Vpré-falta=V(0);
* Computacionalmente: obtido através de
fluxo de potência (antes da falta):
0
th i iV V 
* Analiticamente: tensão de circuito aberto
(antes da falta)
235
• Exemplo
1 2 3 4
5
Y
Δ
Y Y
Curto-circuito 1φ
Y Y
236
• Diagrama de sequência +:
1 2 3 4
5
11g
X
112TR
X
134TR
X
123LT
X
124LT
X
134LT
X
14g
X
thE
237
• Zth / sequência +:
1 2 3 4
5
11g
X
112TR
X
134TR
X
123LT
X
124LT
X
134LT
X
14g
X
thZ
AX BX
CX
1 1 1 1 11 12 4 34
( ( ) //( ))th c g TR A g TR BZ j X X X X X X X     
238
• Diagrama de sequência -:
1 2 3 4
5
21g
X
212TR
X
234TR
X
223LT
X
224LT
X
234LT
X
24g
X
0thE 
239
• Zth / sequência -:
1 2 3 4
5
21g
X
212TR
X
234TR
X
223LT
X
224LT
X
234LT
X
24g
X
thZ
AX BX
CX
2 2 2 2 21 12 4 34
( ( ) //( ))th c g TR A g TR BZ j X X X X X X X     
240
• Diagrama de sequência 0:
1 2 3 4
5
01g
X
012TR
X
034TR
X
023LT
X
024LT
X
034LT
X
04g
X
0thE 
0 034
( )th M L TRZ j X X X  
KX LX
MX
• Finalmente:
1th
E
1th
Z
1aI
2th
Z
2aI
0th
Z
0aI
0 1 2
1
3
a a a aI I I I  
a fI I
1
1 2 0
3
( )
th
f
th th th
E
I
Z Z Z

 
1
1 2 0
1
( )
th
a
th th th
E
I
Z Z Z

 
242242
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE 
POTÊNCIA I (ASP I) / FEN 04-00272
5 – MÉTODO COMPUTACIONAL PARA CÁLCULO 
DE CURTO-CIRCUITO
PROF. CARLOS APARECIDO FERREIRA
243243
TÓPICOS
1 – Matrizes Y e Z Barra 
2 – Interpretação do Elementos
3 – Método Computacional
244
1 – Matrizes Y e Z Barra
• Sejam os circuitos a seguir:
• Circuitos equivalentes se:
• Seja, agora, o seguinte circuito multi-nó (motor
síncrono na barra 3):
• Utilizando-se os modelos de cada elementos, tem-se o
seguinte circuito (sequência positiva) em p.u.:
• Transformando-se cada fonte de tensão em série com
impedância em fonte de corrente em paralelo com
admitância e as impedâncias das linhas em admitâncias:
Equação linearmente dependente das demais
• Agrupando os termos das equações tem-se: 
• Colocando matricialmente: 
251
• Simplificadamente:
Vetor de 
injeção de 
corrente
Vetor de 
tensões nas 
barras (nodais) 
em relação à 
referência
Matriz de 
admitância de 
barra ou matriz 
de admitância 
nodal
252
• Pode-se também escrever por:
• Onde: 
Matriz de 
impedância de 
barra ou matriz 
de impedância 
nodal
• Características da matriz Y-Barra:
Permite montagem direta da matriz Y-Barra, por inspeção
• Características da matriz Z-Barra:
Exceto quando há trafo defasador no circuito
jBGY  G: matriz de condutâncias; B: matriz de susceptâncias
Maior a rede, maior a
esparsidade
Exceto quando há trafo defasador no circuito
• Problema 1
- Diagrama de impedâncias
- Diagrama de admitâncias
- Da teoria de circuitos elétricos:
- De acordo com a regra de montagem da Y Barra 
por inspeção:
Não há 
admitância 
entre as 
barras 1 e 2
- Sistema de equações:
- Observações:
* No exemplo anterior, os cálculos são
simplificados considerando que as resistências
foram desprezadas
* Diagonal principal negativa e elementos fora da 
diagonal positivos
260
2 – Interpretação dos Elementos
• Seja o circuito a seguir:
• Matematicamente, em 
termos da Y Barra:
Os elementos da Y Barra podem ser obtidos por 
ensaios de curto-circuito !
• Ensaio de curto-circuito da barra 1: curto-circuito em
todas as barras (tensões=0), exceto na 1:
Admitância própria
Admitância de transferência
• Genericamente, para um curto em todas as barras,
exceto na k:
• Representando matematicamente por meio da Z Barra:
Os elementos da Z Barra podem ser obtidos por 
ensaios de circuito aberto !
• Ensaio de circuito aberto da barra 1: fontes de
corrente inoperantes em todas as barras (correntes = 0),
exceto na 1:
Impedância própria
Impedância mútua
Impedância própria
• Da teoria de circuitos elétrico que impedância é essa?
Impedância vista da barra 1 com I2 e I3 inoperantes?
• É A IMPEDÂNCIA DE THÈVENIN !!! Vista entre a barra 
1 e a referência.
• Genericamente, estando todas as fontes de corrente
inoperantes exceto a da barra k:
Impedância 
equivalente da rede 
vista entre a barra k e 
a referência, com as 
demais fontes de 
corrente inoperantes, 
ou seja é a 
impedância do 
equivalente de 
Thèvenin entre a 
barra k e a referência. 
Utilizada em estudos 
de curto-circuito
• Problema 2: calcule a matriz Z Barra do Problema 1 e
calcule as tensões nas barras.
• Problema 3: Um capacitor com reatância de 5 p.u. é
conectado entre a barra 4 e a referência desse mesmo
circuito do Problema 1. Calcular a corrente que passa
pelo capacitor e a nova tensão na barra 4.
- Para os objetivos deste curso, este capacitor,
didaticamente, pode ser considerado uma
impedância de curto-circuito.
• Solução do problema 2:
Z Barra (nenhum elemento =0 diferentemente da Y barra)
• Solução do problema 3:
- Alternativamente poderia ter sido modificada e
invertida a Y Barra do problema 1 (modificação só em
Y(4,4)), obtendo-se a as novas Z barra e tensões.
- Em ASP II veremos que a inserção de capacitor pode
ter como consequência redução da tensão
- Analogia do problema 2 com cálculo de curto-
circuito: em vez da conexão de um capacitor na barra
5 (ou em qualquer outra barra), um curto-circuito na
barra 5 (ou em qualquer outra barra) com uma
impedância de curto-circuito Zf.
272
3 – Método Computacional
• Objetivo: tornar os cálculos dos curtos-circuitos
sistemáticos, visando à utilização computacional
• Seja uma falta 3φ na barra 3, através da impedância Zf:
• Circuito equivalente:
Zth
• Aplicação do teorema da superposição para obter as
tensões durante a falta:
• Tensões antes da falta:
Aplicação do teorema da 
superposição: Vth e I3(f)
Pelo circuito de
Thévenin é como
se Vbar(0) fosse
criado por Vth e
ΔVbar pela
corrente de falta
• Como
• Tem-se
• Simplificadamente
• Mas, como apresentado, do teorema da superposição:
• Tem-se então:
• Tem-se, então, as tensões em cada barra, devido à
falta na barra 3:
• Do circuito original:
3(0)V
33Z
fZ
3( )I f
thV
thZ
ou
ou
I3(F)=corrente de falta
Obs.: lembrando
que deseja-se obter
as correntes em
todos os ramos
(não só a corrente
de falta) e as
tensões em todas
as barras.
• As correntes em cada linha são as seguintes:
- Obs.: os z’s (minúsculos) são as respectivas
impedâncias das linhas de transmissão, enquanto
o Z’s (maiúsculos) são os respectivos elementos
da matriz Z Barra. Ex.: z23 é a impedância da linha
de transmissão entre as barras 2 e 3, enquanto
Z23 é o elemento (2,3) da matriz Z Barra.
• Generalizando, para um SEP com n barras onde ocorre
a falta 3φ na barra k:
- Tensão numa barra i, qualquer:
- Corrente numa linha i-j, qualquer:
- Corrente de falta
• Para faltas desbalanceadas:
- A corrente da falta na barra k é obtida por meio
do circuito com as redes de Thevenin de
sequência +, - e 0 (obter Zth+ = Zkk+; Zth- = Zkk- e
Zth0 = Zkk0), convenientemente conectadas, de
acordo com o tipo da falta (aulas passadas);
- Tensão na barra i:
- Corrente numa linha i-j, qualquer:
• Problema 4: voltando ao Problema 1, considere
inicialmente as tensõese Z barra calculados no
Problema 2. Ocorreu um curto-circuito trifásico na barra
4 com reatância de 0,1 p.u.. Calcule: i) a corrente de
falta; ii) as tensões em todas as barras posteriormente à
falta; iii) as correntes em todos os ramos
posteriormente à falta.
• Problema 5: Repetir a solução anterior, considerando
um curto-circuito fase-fase-terra, com reatância de falta
de mesmo valor. Considere os valores das impedâncias
de sequência negativa e zero, tendo os mesmo valores
da sequência positiva (valores dos problemas
anteriores). Além disso, considere todos os
enrolamentos dos transformadores ligados em estrela
aterrado.