Física - Apostila Completa de Fisica II

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Apontamentos de aula de Física p/ Computação II versão 2007. Prof: MSC. Elias Ribeiro Silva Martins 1
 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E 
FÍSICA 
PLANO DE CURSO 2007/1 
 
Disciplina: FÍSICA PARA COMPUTAÇÃO II 
Cursos: Ciência & Eng. da Computação 
Código da Disciplina: MAF 4123 
Carga Horária Semanal: Teoria (04) 
 Laboratório (02) 
Docente: Prof. MSC. Elias R. da Silva Martins 
 
1- OBJETIVOS 
 
OBJETIVOS GERAIS – Desenvolver a eletrônica 
ao novel básico, dando suporte para disciplinas 
posteriores do curso. 
OBJETIVOS ESPECÍFICOS – Proporcionar ao 
aluno após o termino de cada unidade do programa: 
entender os princípios fundamentais dos dispositivos 
semicondutores; conhecer algumas aplicações 
básicas dos diodos, transistor e outros dispositivos 
eletrônicos. 
 
2- PROCEDIMENTO DE ENSINO 
a) Aulas expositivas; 
b) Aulas práticas em laboratório; 
c) Aula de resolução de exercícios. 
d) Questões de estudo a serem discutidos 
em sala de aula; 
e) Exercícios e questões propostos. 
 
3- RECURSOS DIDÁTICOS 
Serão utilizados os recursos didáticos 
disponíveis, tais como: Bibliografia com ênfase no 
livro texto, quadro negro, giz, tópicos apostilados e 
etc. 
 
4- FORMAS DE AVALIAÇÃO 
a) Provas individuais1 e exercícios; 
b) Relatórios sobre as experiências realizadas no 
LABORATÓRIO DE FÍSICA 
 
1 Durante a realização das provas, somente será permito o uso 
de calculadoras cientificas simples. 
 
Nota Durante o semestre letivo será realizada no 
mínimo 4 (quatro) provas (P1, P2, P3 e P4), com 
assuntos previamente especificados dentro do 
conteúdo programático. 
As notas, N1 e N2, serão calculadas da seguinte 
forma: 
N1 = (P1 + P2)/2 + L1, onde L1 é a primeira média 
do laboratório, 
N2 = (P3 + P4)/2 + L2, onde L2 é a segunda média 
do laboratório. 
 
OBS.: P1, P2, P3 e P4 valem no máximo 8 (oito) 
pontos e L1 e L2 valem no máximo 2 (dois) pontos 
cada. Será aprovado, o aluno que atingir a nota 
FINAL (N = 0,4 x N1 + 0,6 x N2), maior ou igual a 
5 (cinco) pontos e freqüência mínima de 75%. 
 
 
5- CONTEUDO PROGRAMÁTICO 
 
1 – Teorema de Thévenin e Norton 
2 – Diodos semicondutores 
3 – Aplicações dos diodos 
4 – Fontes de tensão 
5 – Transistores bipolares de junção 
6 – Polarização DC – TBJ 
7 – Modelo do transistor TBJ 
8 – Análise do TBJ para pequenos sinais 
 
 
6- BIBLIOGRAFIAS RECOMENDADAS 
 
1 - BOGART, Theodore F. Dispositivos e 
circuitos eletrônicos, Ed. Makron Books. 
2 - BOYLESTAD, Robert L. Dispositivos 
eletrônicos e teoria de circuitos, Ed. PHB. 
3 - EDUARDO, Angelo et al. Dispositivos 
semicondutores: Diodos e Transistores, Ed. 
Érica. 
4 - MALVINO, Albert Paul. Eletrônica, vol. 1, 
Ed. Makron Books. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PARTE I – REVISÃO 
 
1. CORRENTE ELÉTRICA 
 
Considere um condutor metálico em equilíbrio 
eletrostático (Fig. 1.1). Sabemos que seus elétrons 
livres estão em movimento desordenado, com 
velocidades em todas as direções, porém sem saírem 
do condutor, não produzindo efeito externo. Todos 
os pontos do condutor possuem o mesmo potencial 
elétrico. 
 
 
Figura 1.1 – Condutor metálico em equilíbrio. 
 
Ligando-se a esse condutor metálico uma fonte 
de tensão (Fig. 1.2), o que origina um campo 
elétrico E
r
, cujo sentido é do pólo positivo para o 
negativo. Nesse campo elétrico cada elétron fica 
sujeito a uma força F qE=
r r
 de sentido oposto ao 
campo E
r
, pois os elétrons possuem cargas negativas 
(-1,6 10-19C). Sob a ação da força F
r
, os elétrons 
alteram suas velocidades; no comportamento médio 
adquirem um movimento ordenado, cuja velocidade 
média tem direção da força F
r
. Este movimento 
ordenado dos elétrons constitui a corrente elétrica. 
 
 
Figura 1.2 – Condutor ligado a uma fonte de 
tensão. 
 
2. INTENSIDADE DE CORRENTE ELÉTRICA 
 
Os elétrons apresentam carga elementar e, logo a 
carga que passa através de um fio condutor é 
múltipla da carga elementar de modo que: 
q ne∆ = 
Defini-se intensidade de corrente elétrica, 
a quantidade de carga que passam pela secção 
transversal de um fio condutor no intervalo de 
tempo (t , t + ∆t) o quociente: 
 
dqi
dt
= ou nei
dt
= 
 
Corrente continua (DC) é toda a corrente de 
sentido constante no tempo (Fig. 1.3). Um exemplo 
bem simples de corrente continua é uma pilha 
comum. 
 
Figura 1.3 – Corrente continua (DC). 
 
Corrente alternada (AC) é toda a corrente que 
muda, periodicamente de sentido e de intensidade no 
tempo (Fig. 1.4). Nos terminais das tomadas 
residenciais aqui no Brasil temos a corrente 
alternada senoidal de freqüência 60Hz. 
 
 
Figura 1.4 – Corrente alternada (AC). 
 
A unidade de intensidade de corrente elétrica é a 
unidade fundamental elétrica do sistema 
internacional de unidades (SI) e denomina-se 
ampère (símbolo A). Como o ampère é uma 
unidade relativamente “grande” é muito comum o 
uso de seus submúltiplos. 
miliampère (mA) 1mA = 10-3A 
 microampère (µA) 1µA = 10-6A 
 
A partir de ampère define-se no (SI) a unidade de 
carga elétrica: o coulomb (C), como ∆q = i∆t,, onde 
1C = 1A x 1s. 
3. SENTIDO DA CORRENTE ELÉTRICA 
 
O sentido do movimento dos elétrons é oposto ao 
sentido do campo elétrico no interior do condutor 
metálico, pois F qE=
r r
, e q é negativo. Contudo o 
sentido convencional da corrente elétrica por 
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motivos históricos é igual ao sentido do campo 
elétrico, isto é, sentido contrário ao movimento dos 
elétrons. De modo que a corrente convencional pode 
ser imaginada como sendo constituídas de cargas 
positivas em movimento (Fig 1.5). 
 
Figura 1.5 – Corrente elétrica (AC). 
 
4. ENERGIA E POTÊNCIA DA CORRENTE 
ELÉTRICA 
 
A Fig. 1.6 mostra um circuito constituído por 
uma fonte de tensão e um dispositivo elétrico ab 
qualquer. Ao passa pelo dispositivo elétrico a 
energia da corrente elétrica diminui uma quantidade 
WAB = ∆qV num intervalo de tempo ∆t. Essa energia 
consumida (potência) pelo dispositivo pode ter sido 
transformada em energia térmica, energia mecânica, 
energia química etc. A potência elétrica consumida 
pelo dispositivo ab é dada pelo quociente do 
trabalho de a até b WAB pelo tempo ∆t: 
 
 
Figura 1.6 – Potência elétrica dissipada. 
 
ABW qP P V ou P=iV
t t
∆
= ⇒ =
∆ ∆
 
 
Observe que a última equação não especifica o 
tipo ou qual aparelho elétrico. Assim a equação é 
válida para qualquer dispositivo elétrico. 
 
Resistores: São elementos de circuito cuja função 
principal é limitar o valor da corrente, além de seu 
efeito Joule ou efeito térmico. Os símbolos gráficos 
usuais dos resistores em circuitos são: 
 
Figura 1.7 – Símbolos de resistores em circuito. 
 
5. RESISTORES E 1a LEI DE OHM 
 
 Considere o resistor da Fig. 1.8 mantido a 
uma temperatura constante e sendo percorrido por 
uma corrente elétrica i, devido a aplicação de uma 
tensão V entre seus terminais. 
 
Figura 1.8 – Resistor mantido a temperatura 
constante. 
 
 Mudando-se a tensão V, sucessivamente para 
V1, V2,..., Vn o resistor passa a ser percorrido por 
corrente de intensidade i1, i2,..., in. 
 Ohm verificou experimentalmente que 
mantida a temperatura constante, o quociente da 
tensão V aplicada pela respectiva intensidade de 
corrente era uma constante característica de cada 
resistor: 
31 2
1 2 3
...VV V V constante R
i i i i
= = = = = = 
 
A grandeza R assim introduzida foi denominada 
de resistência elétrica do resistor. A resistência 
elétrica não depende de tensão V aplicada a seus 
terminais e nem da corrente que o percorre, porem 
depende da temperatura. Assim podemos enunciar 
na forma matemática a 1a lei de Ohm. 
R
i
V
= ou V iR= 
 
Um resistor que obedece a lei de Ohm é chamado 
de resistor ôhmico. No sistema internacional a 
unidade de resistência elétrica é denominada ohm 
(símbolo Ω), sendo 1Ω = 1V/1A.Como o ohm é 
uma unidade de resistência elétrica relativamente 
pequena, é muito comum o uso de múltiplos: 
 
quiloohm (kΩ) 1k Ω = 103 Ω 
megaohm (MΩ) 1M Ω=106 Ω. 
 
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Os resistores quando estão ligados a um circuito 
são percorridos por correntes elétricas e estão em 
geral ligados entre si e/ou ligados a outros elementos 
de circuito. Existem vários tipos de ligações 
possíveis entre resistores, mas algumas destas 
ligações mais utilizadas recebem nomes específicos, 
relacionados com a forma em que a corrente as 
atravessam. Estas ligações são chamadas: associação 
em série e associação em paralelo. Quando o 
circuito possui as duas configurações, está e 
chamada de associação mista. 
 
Associação em série 
 
Neste tipo de associação, representada na Fig. 
1.9, a mesma corrente atravessa todos os resistores. 
Podemos calcular o resistor equivalente a uma dada 
associação em série, para isto basta lembrarmos que 
a corrente que atravessa o resistor equivalente, para 
uma dada ddp entre seus extremos, deve ser a 
mesma que atravessa toda a associação, enquanto a 
ddp é a soma. 
 
Figura 1.9 – Associação de resistores em série 
 
Assim, em cada resistor podemos escrever: 
 
Vi = Ri . I ⇒ ΣVi = Σ Ri . I = (Σ Ri) . I, 
 
ou ainda, 
 
V = Req .I, onde, Req = Σ Ri. 
 
Associação em paralelo 
 
Este tipo de associação, representada na Fig. 
1.10 tem como característica a mesma ddp entre 
seus extremos. A corrente que chega à associação se 
divide percorrendo "paralelamente" cada elemento. 
 
Figura 1.10 – Associação de resistores em 
paralelo. 
 
Do Princípio de Conservação da carga elétrica, 
vemos que a quantidade de cargas que chega deve 
ser igual à quantidade que sai logo a quantidade de 
carga por unidade de tempo e a mesma, ou seja, 
corrente. Para cada resistor da associação podemos 
escrever: 
 
Ii = V/ Ri ⇒ Σ I i = Σ V/ Ri = V. [Σ (1/ Ri)] 
 
ou ainda, 
 
I = ∆V/Req , onde, (1/Req ) = Σ (1/ Ri) 
 
6. RESISTORES E 2a LEI DE OHM 
 
Verifica-se experimentalmente que a resistência 
elétrica de um resistor depende do material que o 
constitui e de suas dimensões, cuja relação e dada 
pela segunda lei de Ohm: 
LR ρ
A
=
 
onde ρ é a resistividade do material, L o 
comprimento do fio e A área de secção transversal 
do fio. 
 
 7. LEIS DE KIRCHHOFF 
 
Quando um circuito não pode ser reduzido a um 
circuito simples ao qual se pode aplicar a lei de 
Ohm-Pouillet, recorremos às chamadas leis de 
Kirchhoff. Considere a rede elétrica da Fig.1.11 
constituída por vários resistores, geradores e 
receptores. 
 
Figura 1.11 – Rede elétrica. 
 
Numa rede elétrica chama-se nó o ponto no qual a 
corrente elétrica se divide, isto é, ponto do circuito 
comum a dois ou mais condutores. Na Fig. 1.11 os 
pontos B e E são nós. Os trechos de circuito entre 
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dois nós consecutivos são denominados ramos. Na 
rede elétrica da Fig. 1.11 são ramos os trechos 
BAFE, BE, e BCDE. 
Qualquer conjunto de ramos formando um 
circuito fechado recebe o nome de malha. A cada 
ramo do circuito, atribui-se um sentido de corrente 
arbitrário, se o sentido adotado for incorreto o valor 
da intensidade da corrente será negativo. 
A primeira lei de Kirchhoff ou leis dos nós 
estabelece que: 
 
A soma das intensidades de correntes que 
chegam a qualquer nó deve ser igual a soma 
das intensidades de correntes que saem do 
mesmo nó. 
 
A lei dos nós aplicada no ponto B do circuito da 
Fig.1.11 fornece: i1 + i2 = i3 (1), observe que se 
aplicarmos a lei dos nós no ponto E nos levará ao 
mesmo resultado. 
 A segunda lei de Kirchhoff ou leis das 
malhas estabelece que: 
 
A soma algébrica das variações de potencial 
encontradas ao longo de uma malha fechada 
de qualquer circuito deve ser nula. 
 
 Para a aplicação da lei das malhas observe 
que a tensão obedece a duas “regras” para sua 
determinação, são elas. 
Regra da resistência: Percorrendo-se um resistor 
no sentido da corrente, a variação no potencial é –
Ri; no sentido oposto +Ri. Num análogo 
gravitacional: andando-se no sentido corrente num 
riacho, nossa elevação diminui; andando-se contra 
corrente a elevação aumenta. 
Regra da FEM: Percorrendo-se um dispositivo de 
fem ideal, o sinal de saída da fem é igual ao sinal da 
tensão conforme a Fig.1.12. 
 
 
Figura 1.12 – Regra da FEM. 
 
Como aplicar as leis de Kirchhoff? Primeiro 
adota-se um sentido para corrente (α, β...) e em 
seguida percorre a malha conforme a Fig 1.12. Ao 
percorrer a malha use a “regra” das resistências e a 
“regra” das fems. 
 
Figura 1.12 – Rede elétrica. 
 
 Percorrendo a malha α, partindo do ponto A 
obtemos a equação: 
 
1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 0R i r i E R i E ri− + − − + − = (2) 
 
Percorrendo a malha β, partindo do ponto B 
obtemos a equação: 
 
3 3 3 3 3 2 2 2 0R i E r i E r i− − − + − = (3) 
 
Assim temos três equações (1), (2), e (3); que 
formam um sistema de três equações e três variáveis 
desde que os valores das resistências e das fems 
sejam conhecidos é possível obter as soluções. 
1 2 3
1 1 2 2 2 2 1 1 1 1
3 3 3 3 3 2 2 2
(1)
0 (2)
0 (3)
i i i 
R i r i E R i E ri 
R i E r i E r i 
+ =⎧
⎪− + − + + − =⎨
⎪− − − + − =⎩
 
Resolvendo esse sistema encontramos os valores 
de i1, i2 e i3. 
 
8. CAPACITORES 
 
Capacitores são dispositivos que armazenam 
energia elétrica em um campo elétrico. Um capacitor 
é constituído por duas placas condutoras metálicas 
paralelas separadas por um material isolante. A 
tensão aplicada sobre as placas origina o campo 
elétrico no qual a energia é armazenada. 
Ligando-se uma bateria ao capacitor, o mesmo é 
carregado até atingir o seu limite, tal limite de carga 
é dado por: q = CV. Onde C é a capacitância, a qual 
depende do fator geométrico. 
 
Utilidades do capacitor: 
 
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1. Pode ser utilizado para produzir campos 
elétricos de diferentes intensidades em um 
circuito. 
2. Acúmulo de energia entre suas placas no 
campo E. 
3. Dispositivos AC: reduz flutuações de 
voltagens em fontes de tensão; transmitir 
sinais pulsados e ainda produzir atrasos em 
sinais. 
 
Capacitores de placas paralelas 
 
Como q = CV e V = Ed, logo temos que 
 
q = CEd. 
 
Sabendo que E = q/ε0A, podemos reescrever. 
 
q = qdC/ ε0A 
 
Portanto, C = ε0A/d. 
 
Associação de capacitores 
 
Na associação em série, os capacitores 
apresentam a mesma carga. 
 
Figura 1.13 – Circuito capacitivo em série. 
 
Desta forma temos do circuito (Fig 13) que: 
 
 
C1 = q1/V1, C2 = q2/V2 e C3 = q3/V3 
 
V = V1 + V2 + V3 onde V = q/C 
logo 
q/C = q/C1 + q/C2 + q/C3 
ou 
1/C = 1/C1 + 1/C2 + 1/C3 = Σ (1/Cn) 
 
 
Na associação em Paralelo, os capacitores 
apresentam a mesma ddp. 
 
Figura 1.14 – Circuito capacitivo em paralelo. 
 
Da Fig. 1.14 temos: 
 
q1= C1V, q2= C2V e q3= C3V 
e 
q = q1 + q2 + q3 
assim 
CV = C1V + C2V + C3V 
ou 
C = C1 + C2 + C3 = Σ (C) 
 
9. INDUTORES 
 
Quando se aprosima um imã (variação de campo 
magnético)de uma espira, surge uma corrente 
elétrica induzida na espira. Esta corrente é 
proviniente de uma fem induzinda devido a variação 
do campo magnético e podemos calcular esta fem da 
seguinte maneira: 
dt
dN ϕε −= 
onde N é o número de espiras da bobina e φ é o 
fluxo do campo magnético. O fluxo é dado pelo 
produto do campo magnético B pela área da espira A 
(φ =BA). Geralmente B = B(i), onde i é a corrente 
que passa pelo fio. Assim: 
dt
di
di
d
dt
d ϕϕ
= 
 
Para uma espira (N = 1) temos: 
dt
dϕε −= , assim 
temos que 
dt
diLL −=ε , onde i
NL Bφ= . 
L é a indutancia da bobina e εL a força eletromotriz 
induzida. Que aparece na bobina enquanto a corrente 
no fio varia. OBS: se i for consntante a feminduzida 
εL desaparece. 
 
 
Figura 1.15 – Indutor. 
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9. TRANSFORMADORES 
 
A indutância de uma bobina pode ser 
maximizada quando colocamos no seu interior com 
um material ferromagnético, isso ocorre devido os 
átomos desses materiais se alinharem com o campo 
induzido na bobina e assim reforçando o campo. 
 
 
Figura 1.16 – Transformador –núcleo de ferro. 
 
Onde N1 e N2 são o número de espiras do 
enrolamento primário e secundário respectivamente 
e V1 e V2 são as tensões de entrada e saída 
respectivamente. 
Em um transformador o campo magnético é 
conduzido através do núcleo de ferro da bobina de 
entrada para a bobina de saída de forma que a 
variação do campo magnético em ambas as bobinas 
são iguais, assim temos: 
2
2
1
1
N
V
N
V
dt
dN =⇒= ϕε 
ou 
1
1
2
2 VN
N
V = 
 Desta forma se N2 > N1 temos um transformador 
elevador e se N2 < N1 temos um transformador 
redutor. 
 
Exercícios de Aprendizagem I 
 
1) Explique o que e corrente elétrica? 
 
2) Um fio percorrido por uma corrente de 1,0A 
deve conduzir, através de uma secção 
transversal, uma carga de 3,6C. Qual o intervalo 
de tempo necessário para isso? 
 
3) Sabendo que 20 lâmpadas de 100W e 10 de 
200W permanecem acesas 5 horas por dia, 
pergunta-se qual o consumo de energia elétrica, 
em kWh, no período de 30 dias. 
 
4) Diferencie corrente continua (DC) de corrente 
alternada (AC). 
 
5) O gráfico da Fig 1.17 representa a intensidade de 
corrente em função do tempo. Determine a carga 
elétrica que atravessa uma secção transversal 
entre os instantes t =1s e t = 3s. 
 
Figura 1.17 – Gráfico de corrente. 
 
6) Em um aparelho lê-se: 600W – 120V. Estando o 
aparelho ligado corretamente, calcule: a) a 
intensidade da corrente elétrica que o atravessa. 
b) a energia consumida em 5h. 
 
7) Um resistor de resistência elétrica R = 20Ω é 
percorrido por uma corrente de elétrica de 
intensidade de 3,0A. Determine: a) a potencia 
elétrica consumida pelo resistor. b) a energia 
elétrica consumida pelo resistor no intervalo de 
tempo de 20s. 
 
8) Em 0,5kg de água contida em um recipiente 
mergulha-se durante 7min um resistor de 
resistência de 2Ω. Dados: calor especifico da 
água 1cal/gºC e 1cal = 4,2 J. Se o resistor é 
percorrido por uma corrente elétrica de 0,5A, 
calcule a temperatura de elevação da água, 
supondo que não haja mudança de estado. 
Sugestão: observe que (Ri2 = mc∆θ). 
 
9) Um resistor tem seus terminais submetidos à 
certa tensão elétrica. Reduzindo à metade a 
resistência elétrica do resistor e mantida a 
mesma tensão elétrica, o que acontece com a 
potência dissipada por ele. 
 
10) Um fio de cobre tem comprimento de 120m e a 
área de sua secção transversal é 0,50mm2. 
Sabendo que a resistividade do cobre é 1,72 10-
2Ωmm2/m, determine a resistência desse fio. 
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11) Um resistor em forma de fio tem resistência de 
100Ω. Se a ele foi acrescentado um fio idêntico, 
mas com 0,5m de comprimento, a resistência 
passa a ser 120 Ω. Determine o comprimento do 
resistor original. 
 
12) Dados os circuitos a seguir, calcule a resistência 
equivalente entre os pontos A e B para cada 
circuito. 
 
 
 
 
 
 
 
13) Dados os circuitos a seguir, calcule a corrente 
em cada resistor dos circuitos. 
 
 
 
 
 
 
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PARTE II – FONTES DE TENSÃO 
 
1. FONTES DE CORRENTE 
 
Fonte de tensão ideal: produz uma tensão VS de 
saída que não depende do valor da resistência de 
carga RL, isto é o valor da resistência interna RS = 0 
conforme a Fig. 2.1. 
 
Apontamentos de aula de Física p/ Computação II versão 2007. Prof: MSC. Elias Ribeiro Silva Martins 9
Fonte de tensão real: produz uma tensão VS de 
saída que depende do valor da resistência de carga 
RL, porque possui resistência interna RS ≠ 0. RS 
possui valores tipicamente menores que 1Ω. Uma 
fonte eletrônica deve ter uma resistência interna de 
menos de 0,01 Ω . 
 
Figura 2.1 – Fonte de tensão real. 
 
Corrente de carga em curto circuito: É a 
corrente de carga máxima que uma fonte de tensão 
real pode liberar. Ocorre quando a resistência de 
carga RL do circuito e zero. 
Aplicando a lei de Ohm ao circuito da Fig. 2.1 
temos: 
 
S
L
S L
VI =
R +R
 
 
se fizermos RL = 0 temos L S SI =V R que é o valor da 
corrente de curto circuito enquanto que se fizermos 
RL→ ∞ IL tende a zero conforme o gráfico da Fig. 
2.2 
 
Figura 2.2 – Corrente de carga versus resistência 
de carga. 
Tensão de carga: E a tensão aplicada sob a 
carga. A tensão da carga aproxima-se da tensão da 
fonte à medida que a carga RL→ ∞ como pode ser 
visto a seguir. A tensão da carga VL é dada por 
L L LV R I= (lei de Ohm), mas como ( )L S S LI =V R +R , 
podemos escrever. 
L
L S
S L
RV V
R +R
= 
Observe que quando RL for 100 vezes maior que 
RS a tensão na carga é aproximadamente 99% da 
tensão da fonte VS. Quando RL→ ∞, a tensão na 
carga se tornará uma tensão ideal. Assim 
consideraremos neste curso que quando RL≥100RS a 
fonte de tensão será ideal, onde a diferença entre a 
tensão de carga e a real é menos de 1%. Veja o 
gráfico da Fig. 2.3. 
 
 
Figura 2.3 – Tensão de carga versus resistência 
de carga. 
 
2. FONTES DE CORRENTE 
 
Fontes de corrente real: produz uma corrente IS 
de saída que não depende do valor da resistência de 
carga RL, isto é o valor da resistência interna RS é 
muito grande. 
 
Figura 2.4 – Fonte de corrente. 
 
Temos do circuito da Fig. 2.4 que a corrente de 
saída IS = VS/RS, mas como ( )L S S LI =V R +R , 
podemos escrever. 
S
L S
S L
RI I
R +R
= 
 
Observe que quando RS e 100vezes maior que RL, 
IL é aproximadamente 99% de IS. Assim 
consideraremos neste curso quando RS ≥ 100RL que 
esta fonte de corrente é uma fonte de corrente ideal. 
Uma fonte de corrente ideal em um circuito e 
comumente representada pelo símbolo da Fig. 2.5. 
Apontamentos de aula de Física p/ Computação II versão 2007. Prof: MSC. Elias Ribeiro Silva Martins 10
Veja que a resistência interna RS de uma fonte de 
corrente real e sempre colocada em paralelo com a 
fonte de corrente ideal. 
 
Figura 2.5 – Fonte de corrente. 
 
3. TEOREMA DE THÉVENIN 
 
O teorema de Thévenin diz que qualquer rede 
linear com saídas a-b pode ser substituída por uma 
única fonte de tensão em série com uma resistência, 
conforme a Fig. 2.6. 
 
 
Figura 2.6 – Teorema de Thévenin. 
 
Assim o teorema de Thévenin consiste em 
reduzir um circuito com malhas múltiplas com uma 
resistência de carga RL (Fig. 2.7) a um circuito 
equivalente formado por uma única malha com a 
mesma resistência de carga. Neste circuito o resistor 
de carga “vê” uma única resistência da fonte em 
série com uma fonte de tensão conforme a Fig. 2.8. 
 
Figura 2.7 – Circuito de malhas múltiplas. 
 
Para aplicação do teorema de Thévenin os 
seguintes passos são fundamentais: 
1. Determine os terminais de saída a-b (onde 
esta ligada a resistência de carga RL); 
2. Desconecte a resistência de carga RL do 
circuito, deixando-a aberta no terminal; 
3. Calcule a corrente que passa pelos terminais 
a-b; 
4. Calcule a tensão entre os terminais a-b, 
chamada tensão de Thévenin VTh; 
5. Curto-circuite a fonte e encontre a resistência 
equivalente do circuito, chamada resistência 
de Thévenin RTh; 
6. Conecte a resistência de carga RL em série 
com uma fonte de valor VTh e a resistência de 
carga RL. 
 
Figura 2.8 – Equivalente de Thévenin de um 
circuito linear. 
 
Tensão de Thévenin: é aquela tensão que aparece 
através dos terminais da carga quando você abre o 
resistorde carga. Às vezes essa tensão é chamada de 
tensão de circuito aberto ou de carga aberta. 
 
Resistência de Thévenin: é a resistência que se 
obtém para os terminais da carga quando todas as 
fontes de tensão forem curto-circuitada, isto é 
(VS = 0). 
 
4. TEOREMA DE NORTON 
 
Teorema de Norton: afirma que o circuito 
equivalente de Thévenin pode ser substituído por 
uma fonte de corrente ideal em paralelo com a 
resistência de Thévenin RTH, onde a fonte de 
corrente produz uma corrente de Norton IN conforme 
a Fig. 2.9. 
 
Figura 2.9 – a) Equivalente de Thévenin; b) 
Equivalente de Norton. 
 
Resistência de Norton: A resistência de Norton 
possui o mesmo valor da resistência de Thévenin. 
Corrente de Norton: A corrente de Norton IN é 
dada pelo quociente da tensão de Thévenin pela 
resistência de Thévenin (IN = VTH/RTH). Observe que 
a corrente de Norton é a corrente de curto circuito da 
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resistência de carga (RL). O cálculo da corrente de 
Norton pode ser feito diretamente em circuito, para 
isso curto circuito a resistência de carga e calcule a 
corrente de curto pela carga. 
 
Exercícios de aprendizagem II 
 
1. A resistência interna de uma fonte de tensão é 
igual a 0,05Ω. Qual a queda de tensão através 
dessa resistência interna quando a corrente que 
passa por ela for de 2A? 
 
2. Uma fonte de tensão é colocada em curto 
temporariamente. Se a tensão da fonte ideal for 
de 6 V e a corrente de carga em curto for de 
150A, qual a resistência interna da fonte? 
 
3. Na Fig. 2.10, a tensão da fonte ideal é de 10V e 
a resistência de carga é de 75Ω. Se a tensão da 
carga for igual a 9V, quanto vale a resistência 
interna? A fonte de tensão é quase ideal? 
 
Figura 2.10 – Fonte de tensão. 
 
4. A tensão da fonte ideal é de 12 V na Fig. 2.10. 
Se a resistência interna for de 0,5Ω, qual a 
corrente de carga quando a resistência de carga 
for igual a 50Ω? E a tensão da carga? 
 
5. Repita o Prob. 4 para RS de 5Ω. 
6. Uma fonte de tensão tem uma resistência interna 
de 2Ω. Para que a fonte seja estabilizada, qual a 
mínima resistência de carga permitida? 
 
7. A tensão da fonte ideal é 15V e a resistência 
interna é 0,03Ω na Fig. 2.10. Para que faixa de 
resistência de carga a fonte de tensão é ideal? 
 
8. Uma resistência de carga pode ser ajustada de 
20Ω a 200kΩ. Se uma fonte de tensão age como 
ideal para a faixa toda de resistência de carga, o 
que se pode dizer a respeito da resistência 
interna? 
 
9. Na Fig. 2.11, a corrente da fonte ideal é de 
10mA e a resistência interna é de 100kΩ. Se a 
resistência da carga for igual à zero, qual o valor 
da corrente de carga? 
 
Figura 2.11 – Fonte de corrente. 
 
10. A corrente da fonte ideal é de 5mA e a 
resistência interna de 250kΩ na Fig. 2.11. Se a 
resistência de carga for de 10kΩ, qual a corrente 
de carga? Esta é uma fonte de corrente ideal? 
 
11. Uma fonte de corrente tem uma resistência 
interna de 150kΩ. Para que faixa de resistência 
de carga a fonte de corrente é ideal? 
 
12. Calcule a corrente de carga da Fig.2.12 para cada 
uma das seguintes resistências de carga 0,1kΩ, 
2kΩ, 3kΩ, 4kΩ, 5kΩ e 6kΩ. Aplique o teorema 
de Thèvenin. 
 
Figura 2.12 – Circuito de várias malhas. 
 
13. Repita o problema 12 sem aplicar o teorema de 
Thévenin, isto é, utilize as leis de Ohm e 
Kirchhoff. 
 
14. Um circuito de Thévenin tem uma tensão de 
Thévenin de 10V e uma resistência de Thévenin 
de 5kΩ. Qual a corrente de Norton? E a 
resistência de Norton? 
 
15. Calcule a corrente de carga da Fig. 2.13 para 
cada uma das seguintes resistências de carga 
0,1kΩ, 2kΩ, 3kΩ, 4kΩ, 5kΩ e 6kΩ. Aplique o 
teorema de Thévenin. 
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Figura 2.13 – Circuito de várias malhas. 
 
16. Encontre a corrente de Norton e a resistência de 
Norton do Prob. 15. Faça o desenho do circuito 
equivalente de Norton. 
 
17. Calcule a corrente de carga da Fig. 2.14 para 
cada uma das seguintes resistências de carga: 
0,1kΩ; 2kΩ; 3kΩ; 4kΩ; 5kΩ e 6kΩ. 
 
 
Figura 2.14 – Circuito de malhas múltiplas. 
 
Anotações 
__________________________________________
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PARTE III – TEORIA DOS 
SEMICONDUTORES (SC) 
 
1. SEMICONDUTORES 
 
O Si possui número atômico 14 (14 prótons e 
14 elétrons) À temperatura ambiente, o silício 
encontra-se no estado sólido. O silício é o segundo 
elemento mais abundante da face da terra, 
perfazendo 25.7% do seu peso. 
 
ESTRUTURA ATÔMICA, modelo atômico 
de Bohr para um átomo de Silício (Si), 
 
Figura 3.1. Modelo atômico de Bohr 
 
• NÍVEIS DE ENERGIA, somente certas 
dimensões de órbitas são permitidas. O tamanho 
da órbita e proporcional a energia do elétron. 
 
 
Figura 3.2. Níveis de energia em um átomo. 
 
• CRISTAIS, os átomos para serem quimicamente 
estáveis precisam fazer ligações químicas para se 
completarem a última camada com oito elétrons. 
Quando os átomos de Si se unem para formar um 
sólido, eles se organizam de uma forma ordenada 
chamada cristal. 
 
• BANDAS DE ENERGIA, quando os átomos de 
Si se juntam para formar um cristal (1023 
átomos), os níveis de energia se superpõem 
formando as bandas de energia. Na Fig. 3.3. é 
mostrado as bandas de energia a uma 
temperatura de 0K para um isolante, um 
semicondutor e um condutor. Observe que os 
isolantes a 0K diferem dos SC apenas pela gap2 
de energia entre a banda de valência e a banda de 
condução (vazia), pois nos SC o gap é bem 
menor que nos isolantes. 
 
2 Termo inglês (brecha, lacuna) o qual são níveis de energia 
não permitidos “regiões proibida”. 
Apontamentos de aula de Física p/ Computação II versão 2007. Prof: MSC. Elias Ribeiro Silva Martins 13
 
Figura 3.3. Bandas de energia. 
 
• CORRENTE EM SEMICONDUTORES, 
corrente das lacunas na BV e corrente de 
elétrons na BC. 
 
Figura 3.4. Banda de valência e condução num 
cristal semicondutor. 
 
• PARES DE ELÉTRONS-LACUNAS, em um 
semicondutor puro (intrínseco) o nº de elétrons 
na BC e igual ao nº de lacunas na BV, de modo 
que sempre são formados aos pares. Quando um 
elétron cai na BV ocorre à eliminação de um par 
elétron-lacuna, isto é, a RECOMBINAÇÃO, a 
taxa de criação e recombinação de pares elétron-
lacuna são praticamente iguais de modo a 
permanecer constante o nº pares elétron-lacuna. 
O tempo médio de vida é da ordem de 10-9s. 
 
• FLUXO DE CORRENTE EM UM SC PURO, 
tanto as lacunas quanto os elétrons se movem em 
um SC puro, entretanto em sentidos contrários, 
assim diferente dos metais a corrente em SC 
puros é formada não só pelos elétrons mais 
também pelas lacunas. 
 
• Os semicondutores INTRÍNSECOS não são de 
grande utilidade na eletrônica, por isso e muito 
comum aumentar o Nº de portadores de carga 
tanto na BV quanto na BC. Como? Injetando 
impurezas (outros elementos químicos) no 
cristal semicondutor (processo chamado de 
Dopagem). A injeção de impurezas no silício, 
por exemplo, é feita através da fusão do silício e 
a inserção de impurezas (átomos diferentes). A 
dopagem de um semicondutor intrínseco pode 
ser feita de dois modos. 
 
• SC do tipo-p, são dopados com impurezas 
trivalentes (família 3A, átomo receptor), 
geralmente por alumínio, boro e gálio. Um SC 
do tipo-p possui mais lacunas na BV que elétrons 
na BC. Num SC do tipo-p, dizemos que os 
elétrons são portadores de carga minoritários 
(minoria) e as lacunas de portadores majoritários 
(maior quantidade). 
 
• SC do tipo-n, são dopados com impurezas 
pentavalentes da família 5ª (antimônio, fósforo, 
arsênio), átomos doadores,pois átomos 
pentavalentes doam elétrons extras para o cristal. 
Possuem mais elétrons na BC que lacunas na 
BV. De forma análoga aos SC do tipo-p, 
dizemos que os elétrons são portadores de carga 
majoritários (maiorias) e as lacunas de 
portadores minoritários (quantidade menor). 
 
Figura 3.5. a) Rede bidimensional de um SC do 
tipo-n e b)Rede bidimensional de um SC tipo-p. 
 
• A CONDUTIBILIDADE DE UM SC DOPADO 
é proporcional à quantidade de impurezas 
adicionada ao SC puro, assim quanto maior a 
dopagem, maior a condutibilidade. 
 
• RESISTÊNCIA DE CORPO, resistência que um 
semicondutor possui quando sob tensão externa. 
Um material SC dopado a ser colocado sob 
tensão externa, seja to tipo-n ou do tipo-p se 
comportam simplesmente como um resistor 
comum de carbono, porém essa resistência 
depende do grau de dopagem (resistência 
ôhmica). 
 
• JUNÇÃO P-N, é a transição brusca de um 
material do tipo-p para um material do tipo-n 
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(Fig 3.6a), logo após de feita a junção p-n ocorre 
a difusão das cargas, os elétrons se deslocam do 
lado n para o lado p (Fig 3.6b). Os elétrons 
chegam do lado p e cai em uma lacuna de modo 
a formar um par de íons fixos através de ligações 
covalentes (elétron de valência no lado p e 
lacuna no lado n). 
 
Figura 3.6. Junção p-n. 
 
• Cada par de íons fixo é chamado de DIPOLO. À 
medida que as cargas vão se difundindo o 
número de dipolos aumenta em torno da junção 
criando uma região vazia de portadores a qual é 
denominada CAMADA DE DEPLEÇÃO (Fig 
3.7a). Os dipolos geram um campo elétrico que 
tentam empurrar os elétrons livres vindos da 
região n de volta. Esse campo elétrico aumente 
até que seja estabelecido o equilíbrio. 
 
• BARREIRA POTENCIAL (ddp). Os campos 
elétricos criado pelos dipolos geram uma ddp, a 
barreira aumenta até um valor máximo atingindo 
o equilíbrio, cessando a corrente líquida (Fig 
3.7b). A temperatura ambiente (25ºC) a barreira 
de potencial do Si é aproximadamente de 0,7V e 
a do Ge 0,3V. A barreira de potencial aumenta 
com a temperatura, praticamente utiliza-se a 
regra de que a cada aumento de 1°C a barreira 
aumenta 2mV. 
 
 
Figura 3.7. a) Camada de depleção de uma 
Junção p-n e b) Equilíbrio das correntes. 
 
 
2. POLARIZAÇÃO DE UMA JUNÇÃO P-N 
 
DIRETA é quando se liga o terminal positivo de 
uma fonte de tensão continua (cc) ao material do 
tipo-p e o terminal negativo no lado do material tipo-
n (Fig 3.8). 
 
Figura 3.8. Polarização direta de um diodo. 
Análise: 
 A tensão externa V força os elétrons e lacunas a 
se moverem em direção à junção p-n3 fazendo 
com que a camada de depleção diminua. 
 Quando os elétrons movem para a junção, íons 
positivos são gerados na extrema direita do 
cristal tipo n, fazendo assim com o cristal receba 
elétrons externo advindos do circuito. 
 Os elétrons ao entrarem na junção se 
recombinam com as lacunas e se tornam elétrons 
de valência na região p e se movem através das 
lacunas até o terminal positivo da fonte. 
 A corrente passa pelo diodo diretamente (ID) na 
polarização direta, desde que a tensão direta VS 
seja maior que 0,7V da barreira potencial do 
silício a qual e subtraída da tensão externa. 
 
REVERSA é quando se liga o terminal negativo de 
uma fonte de tensão continua (cc4) ao material do 
tipo-p e o terminal positivo no lado do material tipo-
n (Fig 3.9). 
 
Figura 3.9. Polarização reversa de um diodo. 
 
 
3 Fluxo de portadores majoritários (elétrons em n, lacuna em p) 
4 Corrente continua, comumente também (DC). 
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Análise: 
 A tensão externa V força os elétrons e lacunas a 
se afastarem da junção da junção p-n. 
 O afastamento de elétrons e lacunas da junção 
forma íons na camada de depleção de modo a 
provocar o alargamento dessa camada e a 
medida alarga, a barreira de potencial também 
aumenta. 
 O aumenta da camada de depleção aumenta até 
que a barreira de potencial da junção se iguale à 
tensão reversa aplicada a junção e quando isso 
ocorre a corrente cessa, pois a tensão externa VS 
é somada a tensão da zona de depleção que 
possui o mesmo valor. 
 
• CORRENTE REVERSA, após a estabilização 
da camada de depleção a corrente de fato não é 
zero, pois existe uma pequena corrente reversa5 
devido aos pares de elétron-lacuna gerados pela 
energia térmica6. 
Análise: 
 Quando um par elétron-lacuna é gerado pela 
energia térmica a camada de depleção força o 
elétron a se deslocar para a extrema direita do 
cristal n (Fig. 3.9) e de forma semelhante a 
lacuna para extrema esquerda fazendo com que 
um elétron ocupe seu lugar. 
 A quantidade de pares elétron-lacuna gerado 
pela energia térmica é pequena e, portanto a 
corrente reversa e pequena de ordem de 10-9A 
(nA). 
 Existe ainda uma pequena corrente de fuga IFS 
que ocorre na superfície do cristal devido a 
impurezas que criam trajetos ôhmicos. 
 Verifica-se na prática que o valor de IR dobra a 
cada aumento de 10ºC na temperatura. 
 
• TENSÃO RUPTURA é o valor máximo de 
tensão reversa que o diodo pode suportar após 
esse valor o diodo passa a conduzir uma corrente 
intensa por meio do efeito avalanche. Para 
diodos retificadores possui valores típicos de 
mais de 50V ou mais. 
 
Exercícios de aprendizagem III 
 
 
5 Corrente de saturação. 
6 Energia térmica advindo do ambiente, aqui considerado 25°C 
1) Um semicondutor intrínseco possui 
algumas lacunas à temperatura ambiente. 
Como foram geradas essas lacunas? 
2) Explique com suas palavras o que é 
recombinação. 
3) O que acontece com o número de elétrons 
livres e lacunas em um semicondutor 
intrínseco quando aumentamos a 
temperatura? 
4) Para se produzir um semicondutor tipo-p 
devemos usar qual tipo de impureza? 
Explique o porquê. 
5) Em qual tipo de semicondutor as lacunas 
são os portadores de cargas minoritários? 
6) Suponha que um diodo esteja diretamente 
polarizado. Se a corrente no lado n do diodo 
for de 5 mA, determine qual a corrente no 
lado p do diodo. 
7) Um diodo de Silício tem uma corrente de 
saturação de 2nA a 25ºC. Qual o valor de IS a 
75ºC? E em 125ºC? 
8) Quando a tensão reversa numa junção p-n 
aumenta de 5V para 10V, o que acontece com 
a camada de depleção? 
9) O que origina as poucas lacunas que um 
semicondutor possui a temperatura 
ambiente? 
10) Em termo de bandas o que diferencia um 
material semicondutor de um material 
isolante a temperatura ambiente? 
11) Se a temperatura de uma junção p-n de 
silício elevar de 25°C para 100ºC, de qual 
será aproximadamente o valor da barreira 
potencial? Sabe-se que a barreira potencial 
do silício a temperatura ambiente é de 0,7V. 
12) Para que se obtenha uma corrente direta em 
uma junção p-n de germânio, qual é a 
mínima tensão aplicada? 
PARTE IV – TEORIA DOS DIODOS 
 
1 DIODO 
 
• DIODO, (DI = dois, ODO = eletrodo), é um 
dispositivo formado pela junção de dois SC 
dopados um, do tipo-p e outro do tipo-n, isto é, 
uma junção p-n. 
 
• Os diodos não são componentes lineares, isto é, 
seu comportamento é diferente de um resistor 
ôhmico o qual a corrente que o atravessa é 
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proporcional à tensão aplicada sobre o mesmo. 
O gráfico I – V de um resistor ôhmico é linear. 
 
• O símbolo de um diodo em um circuito é 
( ), onde o sinal positivo representa o 
material do tipo p e o sinal negativo o material 
do tipo n. Observe que o símbolo sugere a 
passagem de corrente em um sentido e bloqueio 
no outro. 
 
• CIRCUITO SIMPLES COM DIODO, Na Fig 
4.1, VS é a tensão de saída da fonte, RS é o 
resistor limitador de corrente e V é a queda de 
tensão no diodo onde o lado p é chamado anodo 
e o lado n é o catodo. 
 
Figura4.1. Diodo em circuito simples. 
 
• GRÁFICO DE UM DIODO, variando-se a 
tensão de saída no circuito (Fig 4.1) e medindo a 
corrente no diodo, observa-se um gráfico (I – V) 
como na Fig. 4.2. 
 
Figura 4.2. Gráfico I – V de um diodo de silício. 
 
• TENSÃO DE JOELHO é a tensão na qual a 
corrente começa aumentar rapidamente, essa 
tensão é igual a ddp da barreira potencial criada 
na junção. Para o Si essa barreira potencial é em 
torno de 0,7V e para o Ge 0,3V. 
 
• RETA DE CARGA, método utilizado para 
medir a corrente e a tensão exata no diodo em 
um circuito simples. Aplicando a lei das malhas 
no circuito (Fig 4.1) obtemos: 
 
VS - RSI - V= 0 ou I = (VS – V)/ RS Eq. 4.1 
 
Através da Eq. 4.1, podemos determinar a reta de 
carga do diodo conforme a Fig. 4.3. 
 
Figura 4.3. Reta de carga de um diodo em série 
com uma fonte de 2V e um resistor de 100Ω. 
 
Pontos a serem observados na reta de carga: 
 PONTO DE SATURAÇÃO é a corrente 
máxima. 
 PONTO DE CORTE é a corrente mínima. 
 PONTO DE OPERAÇÃO (Q) é o ponto que 
representa a corrente através do diodo e do 
resistor, veja que ele é o ponto de intersecção das 
duas curvas. 
Observe que 
S
S
VI
R
= (saturação) Eq. 4.2 
SV V= (corte) Eq. 4.3 
são os extremos da reta de carga. 
 
2. APROXIMAÇOES DOS DIODOS 
 
• DIODO IDEAL é um dispositivo elétrico que 
conduz corrente perfeitamente em um sentido 
(tensão sob o diodo é zero) quando polarizado 
diretamente e um isolante perfeito quando 
polarizado reversamente (R→∞), isto é, o diodo 
ideal (Fig. 4.4) em um circuito age como se fosse 
uma chave. (polarização direta = chave fechada) 
e (polarização reversa = chave aberta). 
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Figura 4.4. Gráfico I – V de um diodo ideal e o 
equivalente do diodo ideal como chave. 
 
• SEGUNDA APROXIMAÇÃO DO DIODO, na 
segunda aproximação considera-se a tensão de 
joelho do diodo, que para o Si é de 0,7V. Na 
segunda aproximação não passa nenhuma 
corrente no diodo até que a tensão atinja a tensão 
de joelho (0,7V Si). Veja a Fig. 4.5. 
 
 
Figura 4.5. Gráfico I – V de um diodo pela 2ª 
aproximação e o equivalente do diodo pela 2ª 
aproximação como chave e bateria polarizada no 
sentido contrário a corrente elétrica. 
 
• TERCEIRA APROXIMAÇÃO DO DIODO, na 
terceira aproximação considera-se a tensão de 
joelho do diodo, que para o Si é de 0,7V e 
também leva em conta o valor da resistência de 
corpo rB. Na terceira aproximação não passa 
nenhuma corrente no diodo até que a tensão 
atinja a tensão de joelho (0,7V Si) e após atingir 
a tensão de joelho a corrente e a tensão varia 
linearmente com a resistência de corpo rB. . Veja 
a Fig. 4.6. 
 
Figura 4.6. Gráfico I – V de um diodo pela 3ª 
aproximação e o equivalente do diodo pela 3ª 
aproximação como uma chave em série com uma 
bateria polarizada no sentido contrário a 
corrente elétrica e um resistor. 
 
Exercícios de aprendizagem IV 
 
1) Qual a potência dissipada por um diodo de 
Silício com polarização direta se a tensão no 
diodo for de 0,7V e a corrente de 100mA? 
2) Esboce um gráfico I – V de um diodo de Silício 
com uma compensação de 0,7V e uma tensão de 
ruptura de 50V. Explique cada parte de do 
gráfico. 
3) No circuito da Fig. 4.7 complete a tabela com os 
valores das correntes no amperímetro, usando a 
segunda aproximação, onde Vs é a tensão da 
fonte. 
 
Figura 4.7 
 
Vs (V) 0.00 0.70 0.75 0.80 1.50 
I (mA) 
 
4) Na Fig. 4.8 calcule, usando a primeira 
aproximação, a corrente na carga, a tensão na 
carga, a potência na carga, a potência no diodo e 
a potência total. 
 
Figura 4.8 
 
5) Repita o exercício (4) usando a segunda 
aproximação. 
6) Repita o exercício (4) com a terceira 
aproximação sabendo que a resistência de corpo 
para o 1N4001 vale 0,23 Ω . 
7) Se VS é 12V e RS é 47kΩ. Qual a corrente no 
diodo da Fig. 4.9? 
 
Figura 4.9 
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8) Observe a Fig. 4.10 e calcule a corrente através 
do diodo e a potência dissipada. Dado: VS=200V, 
R1=10kΩ, R2=10kΩ e R3=5kΩ (utilize a 
primeira aproximação). 
 
Figura 4.10 
 
9) Repita o exercício (8) utilizando a segunda 
aproximação. 
 
10) Repita o exercício (8) utilizando a terceira 
aproximação, sabendo que rB = 0,25Ω. 
 
11) Determine a corrente e a potência dissipada pelo 
diodo da Fig 4.11 utilizando a 1ª e a 2ª 
aproximação. (sugestão thevenize o circuito). 
 
 
Figura 4.11 
 
 
 
 
 
 
PARTE V – CIRCUITOS COM DIODOS 
 
1.CORRENTES ALTERNADAS 
 
É uma corrente varia senoidalmente com 
tempo, trocando de sentido7 (no Brasil comumente 
60 ciclos/segundos ou 60Hz). A tensão que produz a 
corrente alternada é dada por. 
( )t Pv V senθ= Eq. 5.1 
 
7 É quando varia o sinal da tensão 
 
onde v é o valor instantâneo da tensão, VP é 
amplitude da onda (comumente chamado de tensão 
de pico) e θ (teta) é uma função do tempo dada por 
tθ ω= , sendo ω a freqüência angular. 
 
Figura 5.1 Tensão senoidal 
 
VALOR DE PICO A PICO8 (VPP). É muito comum 
utilizar o termo tensão de pico a pico, cujo seu valor 
é dado pela diferença entre o valor máximo e o valor 
mínimo da tensão alternada. 
max minPPV V V= − ou 2PP PV V= Eq. 5.2 
 
VALOR EFICAZ (RMS)9, é um valor médio da 
tensão senoidal a qual ao passar por um resistor 
dissipa uma potência equivalente a de uma fonte de 
tensão continua, é muito comum representar um 
valor de tensão RMS por Vac. 
0,707RMS PV V= Eq. 5.3 
 
2.TRANSFORMADOR ELÉTRICO 
 
Um transformador ideal consiste em duas 
bobinas, com números de espiras diferentes 
enrolados em torno de um núcleo de ferro. O 
enrolamento primário, com N1 espiras, está ligado a 
um gerador (cc) cuja fem é dada por Pv V sen tω= , 
essa tensão alternada no enrolamento primário cria 
uma campo magnético variável o qual é transferido 
para o enrolamento secundário (N2 espiras) através 
de um núcleo10. 
Pela lei de indução de Faraday, a fem 
induzida por espira Vesp, é a mesma nos 
enrolamentos primários e secundários, deste modo: 
 
 
8 Também chamada de tensão de pico a pico. 
9 Termo inglês (Root Mean Square). 
10 Geralmente o núcleo é de ferro ou ferrite. 
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1 2
1 2
B P P
esp
d V VV
dt N N
Φ
= = = Eq. 5.4 
Com um pouco de álgebra podemos 
reescrever de forma mais conveniente a Eq. 5.4 
como: 
2
2 1
1
P P
NV V
N
= Eq. 5.5 
onde N1:N2 é chamado de relação de espiras. 
Observe que de acordo com a Eq. 5.5 se 
N2>N1, o transformador eleva a tensão no 
secundário enquanto que N2<N1 o transformador 
abaixa a tensão no secundário. 
 
 
Figura 5.2. Transformador. 
 
3. RETIFICADOR DE MEIA ONDA 
 
É o circuito elétrico mais simples capaz de 
converter uma (ca) em uma (cc), veja Fig. 5.3. 
 
 
Figura 5.3 (a) Circuito retificador de meia onda. 
(b) Sinal retificado na carga. 
No circuito retificador de meia onda o diodo 
deixa passar à corrente quando está diretamente 
polarizado, assim os semiciclos positivos (diodo 
diretamente polarizado) a corrente circula por ele, 
enquanto que semiciclos negativos (diodo 
reversamente polarizado) não há passagem de 
corrente. Por convenção, o 1º semiciclo positivo tem 
sentido horário e o 1º semiciclo negativo sentido 
anti-horário. O sinal de saída Fig. 5.3(b) é chamado 
sinal de meia onda. 
 
VALOR CC OU TENSÃO MÉDIA, valor medido 
com o voltímetro sobre a carga RL o qual é dado por 
VPL/π (VPL é a tensão de pico na carga) que pode ser 
escrito como. 
0,318cc PLV V= Eq.5.6onde VPL = VP2 Eq.5.7 
 
e o fator π vem em decorrência de ter apenas metade 
de um ciclo completo (ciclo completo possui um 
comprimento 2π). 
 
A CORRENTE DE CARGA (Icc) pode ser 
calculada através da lei de Ohm, isto é, 
 
CC
CC
L
VI
R
= Eq.5.8 
 
FREQÜÊNCIA DE SAÍDA, a freqüência de saída 
de um circuito meia onda é igual à freqüência de 
linha (entrada), isto é, o tempo gasto para a onda 
começar a se repetir (período) é o mesmo da linha. 
 
ANÁLISE GRÁFICA DO RETIFICADOR DE 
MEIA ONDA, no primeiro semiciclo positivo o 
diodo está diretamente polarizado e conduz corrente 
elétrica (chave fechada) de modo que a tensão sobre 
ele é zero e toda tensão fica então aplicada sobre a 
carga RL enquanto que no primeiro semiciclo 
negativo o diodo esta reversamente polarizado e não 
conduz corrente elétrica (chave aberta). Assim toda 
a tensão da fonte está aplicada sobre o diodo e a 
tensão na carga RL é zero, veja Fig. 5.4 e compare as 
tensões no diodo e na carga. Observe que a soma da 
tensão sobre o diodo mais a tensão sobre a carga é 
igual à tensão da fonte, visto que a tensão da fonte é 
distribuída para o diodo e para a resistência de carga 
(RL). 
Apontamentos de aula de Física p/ Computação II versão 2007. Prof: MSC. Elias Ribeiro Silva Martins 20
 
Figura 5.4 As tensões aplicadas sobre o diodo e a 
resistência de carga 
 
4. RETIFICADOR DE ONDA COMPLETA 
COM TOMADA CENTRAL (CENTERTRAP) 
 
 Esse tipo de retificador é a união de dois 
retificadores de meia onda conforme a Fig 5.5. Na 
parte superior circuito temos a retificação do 
semiciclo positivo enquanto que na parte inferior do 
circuito a retificação do semiciclo negativo. 
 A tensão no primário e no secundário é a 
mesma do circuito meia onda, porém, devido à 
tomada central está aterrada cada semiciclo do 
secundário tem apenas a metade do seu valor de 
pico. 
P2
PL
VV = 
2
 Eq.5.9 
 
Figura 5.5 (a) Circuito retificador de onda 
completa (centertrap), (b) Sinal retificado. 
 
VALOR CC OU TENSÃO MÉDIA, a tensão média 
com retificação completa é o dobro do valor medido 
em um retificador de meia onda. Observe que a 
tensão (VCC) sobre a carga RL é dada por 2VPL/ π que 
pode ser escrito como. 
0,636cc PLV V= Eq.5.10 
 
Observe que o valor médio na retificação completa é 
o dobro da retificação meia onda. 
 
A CORRENTE DE CARGA (Icc) pode ser 
calculada através da lei de Ohm, isto é, 
 
CC
CC
L
VI
R
= Eq.5.11 
 
FREQÜÊNCIA DE SAÍDA, a freqüência de onda 
completa é igual ao dobro da freqüência de linha 
(entrada), isto é, o tempo gasto para a onda começar 
a se repetir (período) é a metade da freqüência de 
linha. Por quê? Porque no retificador de onda 
completa temos condução nos dois semiciclos de 
modo que a onda repete na carga a cada semiciclo do 
primário. 
2out inf f= Eq.5.12 
 
ANÁLISE GRÁFICA DO RETIFICADOR DE 
ONDA COMPLETA COM TOMADA CENTRAL, 
devido à tomada central o diodo D1 tem o sinal 
adiantado 90º em relação ao sinal no diodo D2. 
Assim, quando D1 está no semiciclo positivo (passa 
corrente), D2 está no semiciclo negativo, isto é, 
reverso (bloqueia a corrente) e vice-versa de modo 
que sempre metade da tensão do secundário está 
aplicada sobre a carga RL. 
Seguindo passo a passo o que ocorre no 
retificador de onda completa (Fig. 5.6), observa-se 
que inicialmente D1 (diretamente polarizado) a 
tensão sobre ele é zero de modo que a tensão está 
aplicada diretamente na carga e D2 (reversamente 
polarizado) a ddp da outra metade da derivação 
central está toda sobre ele. Assim a tensão na carga é 
simplesmente a metade da ddp no secundário esse 
processo é invertido quando o sinal de entrada 
inverte a polaridade resultando nos gráficos da 
Fig.5.6. Note que a soma das tensões sobre o diodo 
D1, sobre o diodo D2 e sobre a carga para qualquer 
instante é igual à tensão da fonte, isto já era de se 
esperar visto que a tensão da fonte está distribuída 
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para os diodos (D1 e D2) e para a resistência de 
carga (RL) e que todos os semiciclos negativos são 
ceifados11 pelos diodos. 
 
 
Figura 5.6. Os sinais de tensão em cada 
componente do circuito retificador de onda 
completa tomada central. 
 
Exemplo 
O transformador da Fig. 5.7 tem uma relação de 
espiras 3:1. Utilizando diodos ideais (VD = 0) 
calcule a tensão de carga cc. Ache também a 
corrente direta através de cada diodo Io e a tensão 
reversa de pico nos diodos (VIP). 
 
Figura 5.7 retificador de onda completa tomada 
central (centertrap). 
Primeiramente devemos calcular a tensão RMS no 
secundário V2 
2
2 1 2 2
1
1120 40
3 RMS
NV V V V V
N
= ⇒ = ⇒ = 
a partir de V2, podemos calcular a tensão de pico VP2 
2
2
40 56,6
0,707 0,707P
VV V= = = 
 
11 Bloqueados pelo diodo. 
Desprezando a queda de tensão através do diodo (1ª 
aproximação), a tensão de pico na carga VPL é a 
metade deste valor devido à derivação central: 
2 56,6 28,3
2 2
P
PL
VV V= = = 
A tensão de carga cc de carga é dada por: 
0,636(28,3) 18CCV V= = 
A corrente de carga cc é dada pela lei de ohm. 
18 265
68
CC
CC
L
VI mA
R
= = = 
A corrente direta Io através do diodo é a metade 
desta, pois cada diodo conduz metade do tempo: 
0
265 132
2 2
CCII mA= = = 
A tensão inversa de pico VIP de um centertrap é 
sempre igual à tensão de pico no secundário VP2. 
56,6IPV V= 
 
5. RETIFICADOR DE ONDA COMPLETA EM 
PONTE. 
 
O Retificador em ponte com 4 diodos é a 
forma mais eficiente de se fazer uma retificação de 
onda completa, pois ele alcança a tensão de pico de 
um retificador de meia onda (VP2=VPL) e 
conseqüentemente um valor médio mais alto de 
retificador de onda completa. A Fig. 5.8 mostra um 
retificador em ponte com quatro diodos. Nos 
semiciclos positivos os diodos D2 e D3 estão 
diretamente polarizados, enquanto que os diodos D1 
e D4 estão reversamente polarizados já nos 
semiciclos negativos ocorre o inverso, observe que 
para qualquer que seja o semiciclo a tensão aplicada 
na carga RL é a mesma. 
 
Figura 5.8. Circuito retificador em ponte e a onda 
retificada. 
Apontamentos de aula de Física p/ Computação II versão 2007. Prof: MSC. Elias Ribeiro Silva Martins 22
A tensão de pico na carga no retificador em ponte 
VPL é a mesma tensão de pico do secundário, pois 
toda tensão do secundário aparece sobre a carga RL. 
 
VPL = VP2 Eq.5.13 
 
Como o retificador e de onda completa ele possui o 
mesmo valor médio ou cc do tomada central. 
 
Vcc = 0,636 VPL Eq.5.14 
 
A freqüência de saída de um retificador em ponte é 
o dobro da freqüência de linha. 
2out inf f= Eq.5.15 
6. QUADRO COMPARATIVO DE EQUAÇÕES 
DOS RETIFICARES DE ONDA 
 
 
Meia Onda 
 1ª aproxi... 2ª aproxi... 
Nº de diodos 1 1 
VPL VP2 VP2 – 0,7 
VCC 0,318 VPL 0,318 VPL 
Icc Vcc/RL Vcc/RL 
VIP VP2 VP2 
fout fin fin 
Onda Completa Tomada Central 
 1ª aproxi... 2ª aproxi... 
Nº de diodos 2 2 
VPL VP2/2 (VP2 –1,4)/2
VCC 0,636 VPL 0,636 VPL 
Icc Vcc/RL Vcc/RL 
VIP VP2 VP2 
fout 2fin 2fin 
Onda Completa em Ponte 
 1ª aproxi... 2ª aproxi... 
Nº de diodos 4 4 
VPL VP2 VP2 – 1,4 
VCC 0,636 VPL 0,636 VPL 
Icc Vcc/RL Vcc/RL 
VIP VP2 VP2 
fout 2fin 2fin 
 
 
 
 
7. FILTRAGEM DE ONDA COM CAPACITOR 
DE ENTRADA 
 
Como foi visto anteriormente, a tensão de um 
retificador apesar de ser continua é uma corrente 
pulsante, para converter essa corrente para corrente 
continua mais constante precisamos utilizar um 
filtro, isto é, um capacitor. 
 
FILTRAGEM DA MEIA ONDA 
 
Com a introdução do capacitor no circuito 
retificador meia onda a tensão torna-se praticamente 
constante conforme a Fig. 5.9. Por quê? A fonte de 
tensão senoidal com tensão de pico VP conduz 
corrente diretamente até no primeiro quartode ciclo 
quando atinge o valor VP. Atingido o valor máximo 
nesse instante o capacitor está carregado com uma 
tensão VP, como o valor da tensão na fonte começa a 
cair o capacitor começa a descarregar devido seu 
valor de tensão ser ligeiramente maior do que a 
fonte, assim o capacitor polariza o diodo 
reversamente e o diodo para de conduzir. 
 
Figura 5.9. Circuito meia onda com filtro e a 
onda filtrada. 
 
Estando o diodo reversamente polarizado (chave 
aberta), o capacitor descarrega na carga RL, porém 
antes que a tensão do capacitor chegue a um valor 
baixo a tensão da fonte já atingiu a tensão de pico VP 
novamente de forma a recarregar o capacitor. Esse 
fenômeno ocorre devido a constante de tempo de 
descarga do capacitor (τ = RC) ser muito maior que 
o período T do sinal de linha. 
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FILTRAGEM DE ONDA COMPLETA 
 
Em um retificador de onda completa a freqüência 
de ondulação é o dobro da freqüência de um 
retificador meia onda, logo o capacitor é carregado 
com uma freqüência duas vezes maior, isto é, o 
tempo de descarga é duas vezes menor que o meia 
onda, o que implica em uma ondulação menor e uma 
tensão de saída cc mais próxima da tesão de pico VP. 
 
 
Figura 5.10. Circuito onda completa (tomada 
central) com filtro e a onda filtrada. 
 
Em um retificador onda completa em ponte 
 (Fig. 5.11) o sinal de saída filtrado é igual ao 
retificador tomada central. 
 
Figura 5.11. Circuito onda completa (ponte) com 
filtro e a onda filtrada. 
 
Comercialmente o sistema retificador utilizado é 
o retificador em ponte devido ele ser onda completa, 
a tensão ideal de pico é praticamente igual à tensão 
de pico no secundário e não necessita de um 
enrolamento secundário com derivação central. 
A tensão de ondulação, isto é, a diferença entre o 
valor máximo e mínimo de tensão no sinal de saída 
filtrado VOND12 é dado pela equação: 
 
12 Essa tensão é comumente chamada de tensão de ripple. 
DC
OND
out
IV
f C
= Eq.5.16 
Ex. 5.1 
Um retificador em ponte com filtro capacitivo tem 
uma tensão de entrada de 220VRMS. Se a relação de 
espiras do transformador é de 2200:127, a 
capacitância de 470µF e a resistência de carga 1kΩ. 
Qual a corrente media na carga e a tensão de 
ondulação de saída? Considere a queda dos diodos 
Solução 
A tensão RMS no secundário V2 é dada por 
2
2 1 2
1
127 220 12,7
2200
NV V V V
N
= ⇒ = = 
O valor de pico da tensão no secundário VP2 é 
2
2 2
12,7 17,96
0,707 0,707P P
VV V V= ⇒ = 
Considerando a queda dos diodos, temos que a 
tensão média na carga VDC é. 
17,96 1, 4 16,56DCV V= − = 
De posse do valor da tensão média na carga, 
podemos calcular a corrente média de carga. 
16,56 16,56
1
DC
DC DC
L
VI I mA
R k
= ⇒ = = 
Com o valor da corrente media e utilizando a 
Eq. 5.16 podemos calcular a tensão de ondulação na 
saída do retificador. 
16,56 0, 293
120 470OND
mV V
µ
= =
⋅ 
Observe que a freqüência não é dada no 
problema, mas supomos a freqüência padrão de rede 
no Brasil que é de 60Hz, e como o retificador é onda 
completa em ponte a freqüência de saída é o dobro. 
Se quisermos um valor mais preciso ainda da 
tensão média calculamos a tensão média levando em 
consideração a ondulação, a tensão com ondulação 
(VCC) é dada por: 
2
OND
CC DC
VV V= − Eq.5.17 
 
Se aplicarmos a Eq. 5.17 para o exmplo acima 
obtemos VCC= 16,41V. Como a ondulação é de um 
modo geral bem pequena, quase não altera o valor da 
tensão média, isto é, CC DCV V . 
 
 
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Exercícios de aprendizagem V 
 
Circuitos retificadores. 
 
Questões 
 
1) O que são correntes alternadas? 
2) Explique o funcionamento de um transformador 
elétrico. 
3) Explique o que é tensão RMS e tensão de pico. 
4) O que são circuitos retificadores? 
5) Dado um retificador de meia onda com fonte 
senoidal. Desenhe as formas de onda da fonte, 
do diodo e da carga em um único gráfico. Faça 
uma análise bem detalhada. 
6) Qual é a principal diferença em termos de 
circuito entre um retificador de meia onda e um 
retificador de onda completa tomada central? 
7) Qual a vantagem de se usar um retificador de 
ponte ao invés de um retificador tomada central? 
8) Explique o processo de filtragem da onda em um 
retificador com filtro (capacitor). 
 
Problemas 
 
1. Sabendo que o transformador da Fig. 5.12 tem 
uma relação de espiras 22:2 e que RL=3kΩ. Calcule 
usando a primeira aproximação: 
a)A tensão de pico no secundário e a tensão de 
pico na carga; 
b)O valor cc (VCC) e a freqüência de saída; 
c)A corrente média na carga e a corrente direta 
através do diodo (I0). 
d)A potência no diodo e a potência no circuito. 
e)Ache a tensão inversa de pico (VIP) no diodo. 
f)Desenhe a forma de onda desse retificador 
indicando os valores calculados no gráfico. 
 
 
Figura 5.12 Circuito retificador meia onda. 
 
2. Repita o exercício anterior utilizando a 
segunda aproximação, isto é, considerando a queda 
de tensão no diodo. 
3. No transformador da Fig. 5.13 de relação 
11:3 a tensão de pico no primário é 155,58V com 
freqüência de 50Hz. Sabendo que a resistência de 
carga vale 50Ω. Calcule: 
a)A corrente direta no diodo e a tensão inversa 
de pico. 
b)A potência total do circuito. 
 
Figura 5.13 Retificador Tomada central 
 
4. Se a tensão do secundário for de 60VRMS na 
Fig. 5.14, qual dos diodos da tabela tem 
especificações I0 e VIP suficiente para serem 
utilizados no circuito. 
Diodo I0 VI P 
1N914 50mA 20V 
1N3070 100mA 175V 
1N4002 1A 100V 
1N1183 35A 50V 
 
Figura 5.14 Retificador tomada central. 
 
5. Na Fig. 5.15, a tensão no secundário é de 40 
VRMS. Determine utilizando a primeira 
aproximação: 
a)a tensão e a corrente de carga cc; 
b)a corrente média através de cada diodo; 
c)a tensao inversa de pico em cada diodo; 
d)a potência total do circuito e a freqüência de 
saída. 
 
Figura 5.15 Retificador em ponte. 
 
 
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6. Repita o exercício anterior utilizando a 
segunda aproximação. 
 
7. Quais dos diodos do exercício 4 tem 
especificações suficientes para serem utilizados no 
circuito da Fig.5.15. 
 
8. Supondo que a corrente de carga cc seja de 
aproximadamente 10mA e a capacitância 470µF. 
Admitindo um retificador em ponte e uma 
freqüência de linha de 60Hz. Calcule a tensão de 
pico a pico da ondulação (VOND) de saída. 
 
9. Dadas as mesmas condições do exercício 
anterior. Calcule a tensão de pico a pico da 
ondulação que sai de um retificador de meia onda. 
Compare os valores. 
 
10. Um retificador em ponte com filtro com 
capacitor de entrada tem uma tensão na saída de 
25V. Se a resitência de carga for de 220Ω e a 
capacitância de 500µF, qual a ondulação de pico a 
pico? 
11. Sendo a tensão no secundário no circuito da 
Fig.5.16 de 21,2VRMS. Determine: 
a)a tensão de carga cc sendo C = 220µF; 
b)a ondulação de pico a pico; 
c)as especificações mínimas I0 e VIP dos diodos. 
d)a tensão media com ondulação (veja ex. 5.1) 
Figura 5.16. Retificador ponte com filtro. 
 
12. No circuito da Fig. 5.17 a tensão no secundário 
é de 60 VRMS e a capacitância 470µF. Calcule a 
tensão média com ondulação de saída. 
 
Figura 5.17 Retificador tomada central com 
filtro. 
 
PARTE VI – DIODOS COM FINALIDADES 
ESPECÍFICAS 
 
1. DIODOS ZENER 
Os diodos Zener são diodos especiais projetados 
para trabalharem na região de ruptura, também 
chamados de diodos de ruptura. O diodo Zener tem 
grande aplicação na eletrônica, eles funcionam como 
reguladores de tensão. Variando-se o nível de 
dopagem desses diodos podemos obter diodos Zener 
com tensões de ruptura de 2V até 200V. 
A Fig. 6.1 mostra o símbolo de circuito de um 
diodo Zener em um circuito regulador de tensão, 
observeque o símbolo de um Zener é muito 
semelhante a um retificador, porém com uma linha 
assemelhada com a letra Z de Zener. 
 
Figura 6.1 Circuito simples com diodo Zener. 
 
É fácil de perceber que o diodo Zener do circuito 
da Fig. 6.1 está reversamente polarizado, visto que 
ele trabalha na região Zener (localizada na zona 
reversa), apesar de operar também nas regiões direta 
e de fuga. 
 
Gráfico I–V e especificações de um diodo Zener 
O gráfico I–V de um diodo Zener pode ser 
visto na Fig. 6.2. Observe que a tensão Vz é 
praticamente constante para quase toda região 
Zener ruptura. 
 
 
Figura 6.2. Gráfico I – V de um diodo Zener. 
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As folhas de dados geralmente especificam a 
tensão Zener VZ para uma determinada corrente de 
teste IZT conforme vista no gráfico I–V e IZM é a 
máxima corrente Zener especificada. A corrente IZM 
pode ser calculada através do quociente da potência 
Zener máxima (PZM) pela tensão Zener VZ, 
conforme a Eq. 6.1 abaixo. 
ZM
ZM
Z
PI
V
= Eq.6.1 
Apesar da curva I–V na região Zener ser quase 
vertical13 ela possui uma pequena inclinação, tal 
inclinação se deve ao fato do diodo Zener possuir 
uma pequena resistência Zener ou impedância Zener 
que é representada por RZ ou ZZ. 
 
2. CIRCUITO REGULADOR DE TENSÃO 
Como visto anteriormente no gráfico I–V do 
diodo Zener a região de ruptura mantém uma tensão 
quase constante mesmo que a corrente varie, isto é, 
o diodo Zener estabiliza a tensão sobre ele. 
Devido esta propriedade da região Zener do 
diodo Zener ele é chamado também de diodo 
regulador de tensão. Em funcionamento normal um 
diodo Zener deve ser polarizado reversamente, pois 
ele trabalha na região reversa, além disso, a tensão 
VS da fonte deve ser maior que a tensão VZ do Zener 
para ativar o diodo. Nos circuitos Zener o diodo 
Zener sempre deve estar ligado em série com uma 
resistência limitadora de corrente RS conforme a Fig. 
6.3. 
 
Figura 6.3. Circuito Zener simples. 
 
Aplicando a lei das malhas no circuito da Fig 6.3. 
encontramos a seguinte Eq. 
 S ZZ
S
V VI
R
−
= (2) 
Observe que a corrente que passa pela resistência 
é a mesma do Zener. A Eq. 2 pode ser usada para 
fazer a reta de carga como foi feita para os diodos 
retificadores. Suponha que VS = 20V e RS =1kΩ, 
 
13 Curva quase paralela ao eixo das correntes 
então podemos fazer a reta de carga a partir da Eq. 2 
que se reduz a: 
20
1000
Z
Z
VI −= (3) 
Da Eq. 3 temos a seguinte reta de carga mostrada 
na Fig. 6.4, observe que possui duas retas de carga 
na Fig 6.4, pois uma VS = 20V e a outra VS = 30V. 
 
Figura 6.4 Reta de carga de um diodo Zener. 
 
Analisando o gráfico da Fig. 5.4, vê se que apesar 
da fonte VS aumentar seu valor de 20V para 30V o 
ponto de operação teve sua tensão quase inalterada. 
Assim podemos dizer que o diodo Zener funciona 
como um regulador de tensão. 
 
Aproximações de um diodo Zener 
 
Como a tensão de ruptura Zener é quase 
constante mesmo que a corrente varie, podemos 
considerar em um caso ideal (especial) que a tensão 
de ruptura Zener seja constante para qualquer 
corrente de modo que podemos aproximar o diodo 
Zener a uma fonte de tensão de valor VZ conforme a 
Fig 6.5. 
 
Figura 6.5. Aproximação de um diodo Zener 
ideal 
 
Em alguns projetos elétricos precisa-se de uma 
melhor precisão, assim recorremos a uma melhor 
aproximação, a segunda aproximação. Na segunda 
aproximação a pequena inclinação do gráfico I – V 
se dá devido à resistência Zener, que apesar de ser 
pequena, faz com que a tensão varie alguns décimos 
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de volt para variações consideráveis de corrente. Na 
segunda aproximação, o diodo Zener pode ser 
imaginado como uma fonte de tensão em série com 
a resistência Zener, veja Fig 6.6. 
 
Figura 6.6. Segunda aproximação de um diodo 
Zener. 
 
Na segunda aproximação à queda de tensão sobre 
o diodo Zener aumenta por um fator IRZ à medida 
que a corrente aumenta. É fácil verificar que nesta 
aproximação a variação de tensão em função da 
corrente é dada pela equação: 
 
Z Z ZV I R∆ = ∆ (4) 
 
Circuito regulador Zener 
 
No circuito regulador com a carga devemos 
colocar a carga em paralelo com o diodo Zener 
conforme a Fig 6.7. 
 
Figura 6.7. Circuito regulador Zener. 
 
Apesar do circuito regulador Zener ser de duas 
malhas, suas características I – V permanecem a 
mesma. Em um circuito regulador a primeira coisa a 
fazer é verificar se está reversamente polarizado e 
em funcionamento na região de ruptura. Para 
verificar o funcionamento do diodo Zener é preciso 
calcula a tensão aplicada aos terminais do diodo. 
Calculando a tensão de Thèvenin através do diodo 
encontramos: 
L
TH S
S L
RV V
R R
=
+
 (5) 
Como vimos, a tensão Zener deve ser menor que 
a tensão da fonte, isto é, VTH>VZ. Se o circuito não 
satisfizer esta condição, o Zener não está em 
funcionamento. 
Se o diodo estiver funcionando, então devemos 
verificar a corrente que passa por ele, para isto 
calculamos primeiro a corrente através da resistência 
limitadora RS, aplicando a lei das malhas no circuito 
da Fig 6.7 temos que a corrente IS através da 
resistência RS é dada por: 
S Z
S
S
V VI
R
−
= (6) 
Como o diodo Zener e a resistência de carga estão 
em paralelo, sendo a resistência Zener muito 
pequena, podemos dizer que a tensão Zener é 
aproximadamente igual à tensão na carga. 
L ZV V≅ (7) 
Pela lei de Ohm, temos então que a corrente de 
carga através de RL é: 
L
L
L
V
I
R
= ou ZL
L
VI
R
= (8) 
Aplicando a lei dos nós no circuito da Fig 6.7 
temos que a corrente que passa no Zener mais a 
corrente de carga é igual a corrente da resistência 
série. Assim podemos equacionar a corrente Zener 
como sendo: 
Z S LI I I= − (9) 
A ondulação da tensão pelo resistor de carga 
alimentado pelo circuito regulador Zener se deve ao 
fato da fonte ser um sinal retificado e filtrado, porém 
com uma pequena ondulação. Devido a ondulação 
da fonte há uma ondulação de tensão na resistência 
série de forma que a corrente também varia. 
 
 
Figura 6.8. Circuito regulador. 
Demonstra-se facilmente que essa variação de 
tensão em função da variação de corrente é dada por: 
S S SV I R∆ ≅ ∆ (10) 
A proporção entre a variação de tensão na 
resistência série e a variação de tensão no Zener 
pode ser escrita como: 
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Z Z Z
S S S
V I R
V I R
∆ ∆
≅
∆ ∆ (11) 
Para uma resistência de carga constante a 
variação de corrente Zener é igual à variação 
corrente na fonte. Assim podemos reescrever a Eq. 
11 como: 
Z Z
S S
V R
V R
∆
≅
∆ (12) 
Observe que ∆VS é a ondulação de entrada e ∆VZ 
a ondulação de saída do regulador, como a 
resistência Zener RZ é muito menor que a resistência 
limitadora RS, logo a ondulação de saída é muito 
menor que a ondulação de entrada. Assim está 
provado que o diodo Zener é um regulador de 
tensão. 
É importante verificar se o Zener está ou não 
fazendo regulação no circuito, principalmente 
quando a tensão da fonte baixa, pois o Zener sai da 
região de ruptura, isto é o Zener desliga. Quando 
isto ocorre temos que; 
(min)
(min)
(max)
S Z
S
S
V V
I
R
−
= (13) 
que pode ser rescrito como 
(min)
(max)
(min)
S Z
S
S
V V
R
I
−
= (14) 
Como visto anteriormente, 
Z S LI I I= − (15) 
Que em um caso extremo de funcionamento de 
baixa tensão pode ser escrito na forma 
(min) (min) (max)Z S LI I I= − (16) 
 
O ponto mais crítico ocorrerá quandoa corrente 
Zener mínima chegar a zero, o que indica que 
(max) (min)L SI I= (17) 
Substituindo a Eq. 17 na Eq. 14 obtemos uma 
relação muito útil em projetos elétricos. 
(min)
(max)
(max)
S Z
S
L
V V
R
I
−
= (18) 
Onde RS(max) é a resistência crítica, isto é, a 
máxima resistência em série que pode ser usada no 
circuito regulador. 
 
Exercícios de aprendizagem V 
Reguladores de Tensão. 
 
1) Um regulador Zener sem carga (RL) tem uma 
tensão de alimentação de 20 V, uma resistência 
de série de 330 Ω e uma tensão Zener de 12 V. 
Qual a corrente no diodo Zener? 
2) Se o resistor em série do problema anterior 
possuir uma tolerância de ± 10 %, qual será a 
corrente máxima no Zener? 
3) O diodo Zener da Fig 6.9 abaixo tem VZ = 10V. 
Utilize a aproximação ideal para calcular a 
corrente Zener mínima é máxima. 
 
Figura 6.9 
4) Suponha que no exercício anterior o diodo Zener 
tenha uma resistência de 7Ω. Utilize a segunda 
aproximação para calcular a variação de tensão 
Zener quando a tensão da fonte variar de 20 a 
40V. 
5) Faça as análises preliminares do regulador Zener 
da Fig 6.10 abaixo, isto é, calcule VTH, IS, IL e IZ. 
 
Figura 6.10 
6) Suponha que a tensão no circuito da Fig. 6.11 
possa variar até 0 V. Em algum lugar desta faixa 
o diodo Zener não manterá a regulagem. Calcule 
a tensão de alimentação no qual a regulagem será 
perdida. 
 
Figura 5.11 
 
Apontamentos de aula de Física p/ Computação II versão 2007. Prof: MSC. Elias Ribeiro Silva Martins 29
7) Qual será a dissipação de potência nos resistores 
e no diodo Zener do circuito da Fig. 6.11? 
 
8) No circuito pré-regulador da Fig. 6.12 encontre s 
ondulação final de saída. 
Figura 6.12 
9) Um diodo Zener tem uma tensão de 10 V e uma 
corrente de 20 mA. Qual a dissipação de 
potência no diodo? 
10) Se o diodo Zener for desconectado do circuito 
do exercício 6, qual será a tensão na carga? 
11) O diodo Zener possui uma resistência Zener de 
11,5 Ω. Se a fonte de alimentação tiver uma 
ondulação de 1 V, qual será a ondulação no 
resistor de carga (circuito do exercício 6). 
12) Um regulador Zener tem uma tensão de entrada 
de 15 a 20V e uma corrente de carga de 5 a 
20mA. Se a tensão Zener for de 6,8V, que valor 
deverá ter o resistor em serie? 
13) Desenhe o diagrama elétrico de um regulador 
Zener com uma fonte de alimentação de 25 V, 
uma resistência em série de 470 Ω, uma tensão 
Zener de 15 V e uma resistência de carga de 
15kΩ. Qual é a tensão na carga e a corrente no 
Zener? 
14) Projete uma fonte que deve ser ligada a corrente 
de Goiânia e que tenha um sinal retificado, o 
mais constante possível e regulado. Após o 
projeto calcule: a tensão de ondulação se houver 
uma ondulação na saída do filtro de 5 V. 
15) O que faz o circuito da Fig. 6.13? 
 
Figura 6.13 
 
 
 
PARTE VI – TRANSISTORES 
 
Introdução 
 
Os transistores, inventados em 1948, são os 
dispositivos mais importantes da atualidade. Os 
transistores são os dispositivos que realmente 
iniciaram a revolução da eletrônica da qual somos 
testemunhas. 
Os transistores são dispositivos: 
 
• de três terminais. 
 
• utilizados para controlar sinais elétricos, cuja 
função é de amplificação e chaveamento da 
corrente. 
 
• que amplificam e controlam correntes grandes 
a partir de correntes ou voltagens pequenas. 
 
• que fazem chaveamento e são utilizados como 
interruptores eletrônicos para permitir ou 
bloquear a passagem de corrente sem ações 
mecânicas. 
 
• basicamente de dois tipos bipolares de junção 
e ou de junção e os transistores de efeito de 
campo ou FET (Field effect transistor). 
 
1. TRANSISTOR BIPOLAR DE JUNÇÃO (TBJ) 
 
Os transistores bipolares são os transistores 
propriamente ditos e são controlados por uma 
corrente de entrada, enquanto que os transistores de 
efeito de campo são dispositivos controlados por 
voltagem (campo). 
Fisicamente o transistor é formado por três 
camadas semicondutoras dopadas e pode ser feito de 
duas formas, duas camadas do tipo n intercaladas 
por uma camada do tipo p (transistor do tipo npn) ou 
duas camadas do tipo p intercaladas por uma do tipo 
n (transistor do tipo pnp). Ambos desempenham a 
mesma função, porém com sentidos de correntes 
invertidos. O termo transistor bipolar de junção se dá 
ao fato de que lacunas e elétrons participam do 
processo de injeção no material opostamente 
polarizado. A Fig. 7.1 mostra o aspecto construtivo 
dos transistores. 
 
Apontamentos de aula de Física p/ Computação II versão 2007. Prof: MSC. Elias Ribeiro Silva Martins 30
 
Figura 7.1. Aspectos construtivos dos 
transistores bipolar de junção TBJ. Observe que 
seus terminais são representados pelas letras 
maiúsculas E (emissor), B (base) e C (coletor) (a) 
tipo npn e (b) tipo pnp. 
 
 Emissor Camada fortemente dopada cuja 
função é emitir portadores de carga para a base 
(elétrons no npn e lacunas no pnp). 
 Base Tem uma dopagem média e é muito 
fina, pois sendo fina possibilita que a maioria 
dos portadores de carga lançados pelo emissor 
passem para o coletor. 
 Coletor Camada levemente dopada e muito 
mais espessa que o emissor, sua função é coletar 
os portadores de cargas da base emitidos pelo 
emissor. 
 
Operação do transistor 
 
Para entendermos o funcionamento do transistor, 
vamos basear em um transistor npn, visto que o 
transistor npn é mais utilizado na prática e os 
fenômenos em um transistor npn e um pnp são os 
mesmo, invertendo apenas os sentidos de corrente. 
 
Figura 7.2. Polarização direta. 
 
Observando a Fig. 7.2 e lembrando dos 
fenômenos que ocorrem em um diodo diretamente 
polarizado e um reversamente polarizado é fácil 
perceber que se polarizamos na junção Emissor-
Base e na junção Coletor-Base com polarização 
direta, isso resultará numa grande corrente Emissor-
Base e uma grande corrente Coletor-Bases as quais 
se juntaram na base, tal corrente é formada pelos 
portadores de cargas majoritários (elétrons livres) 
conforme Fig 7.2. 
Se polarizarmos ambas as junções reversamente 
(Fig. 7.3) isso resultará em uma pequena corrente de 
reversa de portadores de carga minoritários 
composta pela corrente de saturação (portadores de 
carga produzidos termicamente) e corrente 
superficial de fuga. Desta forma vemos que ou 
temos uma grande corrente quando os “diodos” 
estão diretamente polarizados ou uma pequena 
corrente reversa quando os “diodos” estiverem 
reversamente polarizados. 
 
Figura 7.3. Polarização reversa. 
 
2. POLARIZAÇÃO DIRETA-REVERSA. 
 
Quando se polariza um transistor com a 
polarização direto reversa ocorre um fenômeno 
inesperado, de fato ocorre o fenômeno transistor 
“transfer –resistor”. Assim o “diodo emissor” 
(emissor-base) é polarizado diretamente e o “diodo 
coletor” (base coletor) é polarizado reversamente. 
Da configuração direta-reversa o que é natural de 
se esperar e que haja uma corrente considerável no 
diodo emissor e uma baixa corrente reversa no diodo 
coletor. Tal fato não ocorre, pois se verifica que a 
corrente coletor é considerável e de magnitude 
próxima da corrente do emissor. 
 
Análise 
 
Quando polarizamos o diodo emissor 
diretamente, com uma tensão VEB conforme a Fig. 
7.4., a junção emissor-base funciona como um diodo 
polarizado diretamente, ou seja, circula uma corrente 
considerável IB de portadores majoritários (elétrons 
livres), além de uma pequena corrente em sentido 
contrário devido aos portadores minoritários 
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(lacunas), “tal corrente é desprezível e na maioria 
das vezes é desprezada na prática”. 
 
Figura 7.4. Polarização direta da junção 
Emissor-Base. 
 
Polarizando agora o diodo coletor reversamente 
com uma tensão VCB > VEB, observa-se que a 
barreira potencial aumenta e assim diminuindo 
drasticamente o fluxo de corrente de portadores 
majoritários. Porém os portadores minoritários 
atravessam a barreira com facilidade