Exercícios de Derivadas em Matemática

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Cálculo 1
4ª Lista de Exercícios – Derivadas
1) Calcular as derivadas das expressões abaixo, usando as fórmulas de derivação:
a) xxy 42  R: 42  x
dx
dy
 
b)   2
2
x
xf  R:   3
4
x
xf 
c) 
2
3
2
3 xx
y  R:  1
2
3 2  x
dx
dy
d) 3 xy  R : 3 23
1
xdx
dy

e)    1613 




  x
x
xxf R : 
 
3
1
36
2

x
x
dx
xdf
f) x
ba
x
ba
x
y 




25
 R: 1
25 4





ba
x
ba
x
dx
dy
g) 
 
2
3
31
x
x
y

 R: 
   
2
52
1213 2
x
xx
dx
dy 

h)   2312  xxxy R:  192 2  xx
dx
dy
i) 
22
42
xb
x
y

 R: 
 
 222
223 24
xb
xbx
dx
dy



j) 
xa
xa
y


 R:  2
2
xa
a
dx
dy



k) 
3









xa
xa
y R: 
 
 4
26
xa
xaa
dx
dy



l) 
x
x
y



1
1
 R:   211
1
xxdx
dy


m)  331 xy  R: 
2
3
11









xxxdx
dy
n) 
2
2
1
12
xx
x
y


 R:  322
2
1
41
xx
x
dx
dy



o)  522 axy  R:  42210 axx
dx
dy

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2) Nos exercícios abaixo encontrar a derivada das funções dadas. 
a) f(r) =  r²
b) f(x) = 14 – ½ x –3
c) f(x) = (3x5 – 1) ( 2 – x4)
d) f(x) = 7(ax² + bx + c)
e) f(t) = 
1
15²3


t
tt
f) f(s) = (s² - 1) (3s-1)(5s² + 2s)
g) f(t) = 
2
²2


t
t
h) 64
2
2
1
)(
xx
xf 
3) Calcular a derivada.
a) f(x) = 10 (3x² + 7x +3)10
b) f(x) = 3 )²26²3(  xx
c) f(x) = 13
)13(2
²7
5


x
x
x
d) f(x) = 2e3x² + 6x + 7 
e) f(x) = 
xx
x
b
a
6²3
3

f) f(s) = 
2
1
 (a + bs)In(a + bs)
g) f(x) = sen³ (3x² + 6x)
h) f(t) = 
1
1


t
t
e
e
i) f(x) = 1/a (bx² + c) – Inx
j) f(x) = sen² x + cos² x
k) f(x) = e2x cos 3x
l) f(x) = sen² (x/2).cos² (x/2)
m) f(x) = log2 (3x – cos 2x)
n) f(t) = e2 cos 2t
4) Nos exercícios abaixo calcular as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.
a) y = 3x4 – 2x; n = 5
b) y = 1/ex; n = 4
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5) Calcule as derivadas abaixo através da definição 
   
.lim 00
0 x
xfxxf
x 


a) f(x) = 3x + 2 
c) f(x) = 1 – 4x2 
b) f(x) = 
2
1
x
d) f(x) = 2x2 – x – 1
Respostas: 
a) 3 b) - 8x c)  22
1


x
 d) 4x - 1
e)   34  xxf 
f)   xxf 25 
g)   32  xxf , no ponto x = 2
h)   xxxf 22  , no ponto x = 3
 i)   3xxf 
6) Utilize a definição de derivada nas atividades abaixo:
a) Determine a derivada de f(x) = 5x2 no ponto x0 = 5.
b) Determine a derivada de f(x) = -3x + 2 no ponto x0 = 2.
c) Determine a derivada de f(x) = x2 – 6x + 2 no ponto x0 = 3.
d) Determine a derivada de f(x) = x2 + 3x + 7 no ponto x0 = 0.
e) Determine a derivada de f(x) = 3 x no ponto x0 = 0.
7) Para cada função f(x), determine a derivada f’(x) no ponto x0 indicado:
643)()
5
5
935
)()
2
1
)()
04965)()
04)()
23)()
13)()
332)()
4)()
0
2
02
2
0
0
234
0
2
0
2
0
0
0
2












xparaxxxfi
xpara
x
xx
xfh
xpara
x
xfg
xparaxxxxxff
xparaxxfe
xparaxxxfd
xparaxxfc
xparaxxfb
xparaxxfa
Respostas: a) 8 b)2 c) - 3 d) 1 e) 0 f) 9 g) - 1/4 h) 14/45 i) 9
7) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x3 + x + 3 no ponto de abscissa x0 = 0.
8) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x2 - 3 + 4 no ponto (1, f(1)).
9) Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = 2x2 + 3 que seja paralela reta
y = 8x + 3.
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10) Encontre a reta tangente à curva 
x
x
y



3
6
 no ponto  2,0P
11) Encontre a reta tangente à curva 
2
2
2 24





 
x
xx
 no ponto  4,1P
12) Obter a derivada da função 35 23  xxy em um ponto genérico.
13) Obter a derivada da função  22 32  xy no ponto  1,1P
14) Obter a derivada da função 22 axy  em um ponto genérico.
15) Obter a derivada da função     2
1
1
1
1 

 v
v
vf no ponto  1,2P
16) Uma partícula se move sobre uma trajetória segundo a equação abaixo onde S é dado em metros e t em
segundos. Determine a velocidade e aceleração nos valores indicados:
a)   1102 2  tttS . Determine a velocidade no instante t = 3 s.
b)   tttS 32  . Determine a velocidade no instante t = 2 s.
c)   1223  ttttS . Determine a velocidade no instante t = 1 s e aceleração em t = 2 s.
17) O movimento de um objeto ocorre ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a função horária:
s = f(t) = t2 + 2t - 3
sabendo-se que a unidade de comprimento é o metro e de tempo, o segundo, calcule a velocidade no
instante t0 = 2 s.
18) Dada a função horária de um movimento retilíneo s = f(t) = 2t2 – t, determine a distância em km percorrida
e a velocidade em km/h ao fim de 5 h.
19) Determine a aceleração de uma partícula no instante t0 = 5, sabendo que sua velocidade obedece à
função v(t) = 2t2 + 3t + 1. (velocidade: m/s; tempo: s)
20) Determine a aceleração, no instante t = 1 s, de um móvel que tem velocidade variável segundo a
expressão v(t) = t (t em segundos e v em metros/segundo).
21) O lucro de uma empresa pela venda diária de x peças, é dado pela função: L(x) = -x 2 + 14x - 40. Quantas
peças devem ser vendidas diariamente para que o lucro seja máximo?
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Solução: Calculando a derivada da função encontramos y' = -2x + 14. A função tem valor máximo quando a derivada
y' = 0. Assim, resolvendo -2x + 14 = 0 encontramos x = 7 peças.
22) O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado por   19253 2  xxxC . Quantas unidades
deverão ser fabricadas para que o custo médio seja mínimo?
23) Em um retângulo de área igual a 64 m², determine o menor perímetro possível.
Regras de Derivação
1) y = k à y’ = 0
2) y = ax à y’ = a
3) y = ax + b à y’ = a
4) y = un à y = n.u n-1. u’
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 y = xn à y’ = n.x n-1
5) y = k.u à y’ = k.u’
6) y = u + v à y’ = u’ + v’
7) y = u.v à y’ = u.v’ + u’. v
 y = 
v
u
 à y’ = 2
''
v
uvvu 
8) y = a u à y = au.lna.u’
 y = k u à y’ = k kuk
u
1
'

9) y = ualog à y’ = au
u
ln
'
 y = ln u à y’ = 
u
u'
 
 y = axlog à y’ = x
a
ln
ln
10) y = cos u à y’ = -sen u . u’
11) y = sen u à y’ = cos u . u’
12) y = tg u à y’ = sec2 u . u’
13) y = cotg u à y’= sec u . tg u . u’
14) y = sec u à y’ = sec u . tg u . u’
15) y = cosec u à y’ = - cosc u . cotg u . u’
16) y = arc sen u à y’ = 21
'
u
u

17) y = arc cos u  y’ = 21
'
u
u

 
18) y = arc tg u  y’ = 21
'
u
u

19) y = arc cotgu  y’ = 21
'
u
u


20) y = arc cosu  y’ = 
1
'
2 uu
u
 
21) y = arc cosu  y’ =
1
'
2 

uu
u
 22) y = uv  y’ = v . uv-1 . u’ + uv . lnu . v