MATERIAL 3 - Métodos Quantitativos em Economia

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UNIP - Matemática para Economia Módulo 3 – Aplicações das derivadas em Matemática pág. 1 
Módulo 3 – Aplicações das derivadas em Matemática 
 
1. Interpretação geométrica da derivada 
 
Como vimos no módulo 2 a definição de taxa de variação média de uma função é: 1 0
1 0
( ) ( )f x f xf
x x x


  
 
 
E a definição de derivada de uma função num ponto é: f ’(x0) = 
1 0
1 0
1 0
( ) ( )
lim 
x x
f x f x
x x


 
 
No gráfico, esta relação equivale à tangente do ângulo correspondente à reta que une os pontos x0 e x1. 
 
Então, graficamente a derivada de uma função num ponto x0 é igual ao coeficiente angular da reta tangente 
no ponto x0. 
 
 
Vejamos um exemplo: 
 
O gráfico abaixo corresponde a função f(x)=x
2 
e a derivada dessa função é f´(x)=2x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f´(-2)=2.(-2)=-4 
 
O coeficiente angular da 
reta que tangencia o 
gráfico no ponto x = -2 é 
igual a -4. Isso indica 
que a reta tangente é 
decrescente. 
 
f´(-1)=2.(-1)=-2 
O coeficiente angular da 
reta que tangencia o 
gráfico no ponto x = -1 é 
igual a -2. Isso indica 
que a reta tangente é 
decrescente. 
f´(2)=2.(2)=4 
O coeficiente angular da 
reta que tangencia o 
gráfico no ponto x = 2 é 
igual a 4. Isso indica 
que a reta tangente é 
crescente. 
f´(1)=2.(1)=2 
O coeficiente angular da 
reta que tangencia o 
gráfico no ponto x = 1 é 
igual a 2. Isso indica 
que a reta tangente é 
crescente. 
f´(0)=2.(0)=0 
O coeficiente angular da reta que 
tangencia o gráfico no ponto x = 0 é 
igual a 0. Isso indica que a reta 
tangente é horizontal. 
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2. Máximos e mínimos 
 
Por meio do estudo da primeira derivada é possível identificar intervalos de crescimento e decrescimento da 
função, a partir dos pontos de máximos e mínimos. 
 
Funções crescentes e decrescentes 
Se, para todo ]a, b[x tivermos f ’(x) > 0, então f(x) é crescente em todo intervalo ]a, b[ . 
Se, para todo ]a, b[x tivermos f ’(x) < 0, então f(x) é decrescente em todo intervalo ]a, b[ . 
 
Vejamos o exemplo a seguir: 
A primeira derivada da função: 
3
2( ) 2 3 10
3
x
f x x x    é 2'( ) 4 3f x x x   
As raízes da equação f’(x) (pontos onde a primeira derivada se anula) são x = 1 e x = 3. Ao fazer o estudo do sinal de 
f’(x) temos que a função f’(x) é crescente em ] , 1 [ , decrescente em ]1, 3[ e crescente em[3, [ , como mostra
 
a figura abaixo: 
 
Como a função é crescente à esquerda de x = 1 e decrescente à direita de x = 1 significa que x = 1 é um ponto de 
máximo relativo de f, isto, é este ponto maximiza localmente a função. 
Aplicando o mesmo raciocínio no ponto x= 3 pode-se concluir que x=3 é ponto de mínimo local de f 
 
Os 
x
lim f(x) = 

 e 
x
lim f(x) = -


 
indicam que a função não tem pontos de mínimo e máximo absolutos. 
 
Agora, se f for contínua em [a, b], então f assume um valor máximo absoluto f(c) e um valor mínimo absoluto f(d) 
em algum c e d em [a, b]. 
Uma condição necessária para um ponto c, pertencente ao domínio de uma função, ser máximo ou mínimo local é 
que f ‘(c) = 0. 
 
3. Concavidade e Ponto de Inflexão 
 
O ponto de inflexão indica onde a concavidade da função muda, isto é, um ponto d é ponto de inflexão,se f ‘‘(d) = 0 e 
f ´´ tem um sinal à esquerda de d e outro à direita de d. 
 
Concavidade e Ponto de Inflexão 
Se f ’‘(x) > 0 para todo ]a, b[x , gráfico de f(x) é côncavo para cima em [a, b]. 
Se f ’‘(x) < 0 para todo ]a, b[x , gráfico de f(x) é côncavo para baixo em [a, b]. 
 
Vejamos o exemplo a seguir: 
 
Vamos estudar concavidade da função . Para isso, primeiro vamos determinar a primeira e 
segunda derivada da função: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estudo do sinal de f’’ 
 
 
Comportamento de concavidade de f 
 
 
 
Conclusão: a função f é côncava para baixo no intervalo e côncava para cima em , e x = 2 é um 
ponto de inflexão, pois 
 
 
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4. Máximos e Mínimos por meio da segunda derivada 
 
 
 
 
 
 
 
Vejamos um exemplo: 
 
Vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo da função 
 
 
 
 
 
 
Para isso vamos determinar a primeira derivada da função , e obter as suas raízes, que são x = 
1 e x = 4 
 
Em seguida, vamos determinar a segunda derivada da função . E calcular o valor da f´´(x) para x = 1 e 
x = 4 (raízes da primeira derivada): 
 
 
 
 
 
Sejam f, f ’, f ’’ contínuas em [a, b] e [a, b]c com f ’(c) = 0. 
Se f ‘‘(c) > 0, então c é um ponto de mínimo e, se f ‘‘(c) < 0, então c é ponto de máximo de f.