analise combinatoria apol 3

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Questão 1/10 - Análise Combinatória
De um total de 120 alunos que se destinam aos cursos de Matemática, Física e Química sabe-se que:
I.  40 destinam-se à Matemática e, destes, 20 são do sexo masculino. 
II. O total de alunos do sexo masculino é 60, dos quais 10 destinam-se à Química. 
III. Existem 30 moças que se destinam ao curso de Química. 
Nessas condições, sorteando um aluno ao acaso do grupo total e sabendo que é do sexo feminino, assinale a alternativa que apresenta a probabilidade de que esse aluno destine ao curso de Matemática.
Nota: 10.0
	
	A
	1313
Você acertou!
Sejam AA o evento  "sortear aluno que se destina à Matemática" e BB o evento "sortear aluno do sexo feminino". O total de alunos do sexo feminino é 120−60=60120−60=60 e, destes, 40−20=2040−20=20 destinam-se à Matemática. Assim, P(A∩B)=20120P(A∩B)=20120. Além disso, P(B)=60120P(B)=60120. Portanto, a probabilidade de que o aluno sorteado destina-se à Matemática sabendo que é do sexo feminino é P(A∖B)=P(A∩B)P(B)=13.P(A∖B)=P(A∩B)P(B)=13.
	
	B
	1616
	
	C
	112112
	
	D
	1414
	
	E
	512512
Questão 2/10 - Análise Combinatória
O número do cartão de crédito é composto de 16 algarismos. Eduardo teve seu cartão quebrado, perdendo a parte que contém os quatro últimos dígitos. Apenas consegue lembrar que o número formado por eles é par, começa com 3 e tem todos os algarismos distintos. Assinale a alternativa que apresenta a quantidade exata de números satisfazendo essas condições.
Nota: 10.0
	
	A
	120
	
	B
	280
Você acertou!
Para o último algarismo, existem 5 modos possíveis: 0, 2, 4, 6 e 8. Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, existem 1×8×7×5=2801×8×7×5=280 números satisfazendo as condições apresentadas.
	
	C
	420
	
	D
	580
	
	E
	840
Questão 3/10 - Análise Combinatória
Brasil e Alemanha participam de um campeonato internacional de futebol no qual competem oito seleções. Na primeira rodada serão realizadas quatro partidas, nas quais os adversários são escolhidos por sorteio. Assinale a alternativa que apresenta a probabilidade de Brasil e Alemanha se enfrentarem na primeira rodada.
Nota: 10.0
	
	A
	1818
	
	B
	3838
	
	C
	1212
	
	D
	1717
Você acertou!
São 7 possíveis adversários para o Brasil com a mesma chance de serem escolhidos. Com isso, a probabilidade da Alemanha ser adversária do Brasil na primeira rodada é 1717.
	
	E
	4747
Questão 4/10 - Análise Combinatória
Marcam-se 5 pontos sobre uma reta rr e 8 pontos sobre uma reta ss paralela a rr. Assinale a alternativa que apresenta o número exato de triângulos que existem com vértices em 3 desses 13 pontos.
Nota: 10.0
	
	A
	38
	
	B
	80
	
	C
	144
	
	D
	220
Você acertou!
Para formar um triângulo, ou tomamos um vértice em rr e dois em ss ou tomamos um vértice em ss e dois em rr. O número de triângulos do 1º tipo é 5⋅C8,25⋅C8,2 e o do 2º tipo é 8⋅C5,2.8⋅C5,2. Portanto, existem 5⋅C8,2+8⋅C5,2=140+80=2205⋅C8,2+8⋅C5,2=140+80=220 triângulos.
	
	E
	448
Questão 5/10 - Análise Combinatória
Assinale a alternativa que apresenta o coeficiente de x2x2 no desenvolvimento de (x+2)5(x+2)5:
Nota: 10.0
	
	A
	60
	
	B
	70
	
	C
	80
Você acertou!
O termo geral do desenvolvimento de (x+2)5(x+2)5 é dado por Tp+1=(5p)2px5−pTp+1=(5p)2px5−p com 0≤p≤50≤p≤5. Como queremos o coeficiente de x2x2, devemos impor que 5−p=25−p=2, isto é, p=3p=3. Portanto, T4=(53)23x2=80x2.T4=(53)23x2=80x2.
	
	D
	90
	
	E
	100
Questão 6/10 - Análise Combinatória
Considere dois números reais positivos xx e yy satisfazendo x−y=1x−y=1 e x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4=16.x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4=16. Assinale a alternativa que apresenta o valor de xx:
Nota: 10.0
	
	A
	7676
	
	B
	6565
	
	C
	5454
	
	D
	4343
	
	E
	3232
Você acertou!
Notamos que x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4=(x+y)4x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4=(x+y)4. Como xx e yy são números positivos e (x+y)4=16(x+y)4=16, garantimos que x+y=2x+y=2. Assim, resolvendo o sistema: {x-y=1,x+y=2,{x-y=1,x+y=2, encontramos x=32x=32 e y=12.y=12.
Questão 7/10 - Análise Combinatória
Lança-se um dado perfeito (com seis faces, numeradas de 1 a 6, todas com a mesma probabilidade de serem obtidas) e verifica-se o número voltado para cima. Com base nesse experimento aleatório, coloque V quando for verdadeira e F quando falsa.
I.  (   ) A probabilidade de tirar um 3 é 1616.
II. (   ) A probabilidade de tirar um número ímpar é 1212. 
III.  (   ) A probabilidade de tirar um 3 ou um 5 é 1313. 
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V – V – V
Você acertou!
O espaço amostral é dado por Ω={1,2,3,4,5,6}Ω={1,2,3,4,5,6} e #Ω=6#Ω=6. Considere AA o evento "tirar um 3". Então, A={3}A={3} com #A=1#A=1. Logo, a probabilidade de tirar um 3 é P(A)=#A#Ω=16P(A)=#A#Ω=16 e a afirmativa I é verdadeira. Seja BB o evento "tirar um número ímpar". Então, B={1,3,5}B={1,3,5} com #B=3#B=3. Assim, P(B)=36=12P(B)=36=12 e a afirmativa II é verdadeira. Para a afirmativa III, seja CC o evento "tirar um 5". Logo, a probabilidade de tirar um 3 ou um 5 é dada por P(A∪C)=P(A)+P(C)=16+16=13P(A∪C)=P(A)+P(C)=16+16=13, uma vez que os eventos AA e CC são mutuamente exclusivos (A∩C=∅A∩C=∅). Assim, a afirmativa III é verdadeira.
	
	B
	V – F – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	V – F – F
	
	E
	F – V – V
Questão 8/10 - Análise Combinatória
Com base na palavra CAPÍTULO, analise as afirmativas:
I. O número de anagramas dessa palavra é igual a 5040.
II. O número de anagramas dessa palavra que começam por consoante e terminam por vogal é igual a 11520. 
III. O número de anagramas dessa palavra que têm as letras C, A, P juntas nessa ordem é igual a 120. 
São corretas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
Você acertou!
O número de anagramas da palavra CAPÍTULO é igual a 8!=403208!=40320. Logo, a afirmativa I é incorreta. Observamos que há 4 maneiras de escolher a consoante que será a primeira letra do anagrama e 4 maneiras de escolher a vogal que será a última letra do anagrama. Depois disso, há 6!6! modos de arrumar as demais letras entre a primeira e a última. Portanto, o número de anagramas que começam por consoante e terminam por vogal é igual a 4×4×6!=115204×4×6!=11520. Assim, a afirmativa II é correta. Para a afirmativa III, consideramos CAP como se fosse uma única letra. Assim, devemos permutar 6 objetos: CAP, I, T, U, L, O. Portanto, o número de anagramas que podemos formar com as letras C, A, P juntas nessa ordem é igual a 6!=7206!=720 e a afirmativa III é incorreta.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 9/10 - Análise Combinatória
Considere o triângulo de Pascal parcialmente apresentado abaixo:
1a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:13311a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:1331
Com base nesse triângulo, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I. (   ) A terceira linha do triângulo de Pascal contém os números binomiais com n=2n=2, isto é, (20),(21)(20),(21) e (22).(22).
 
II. (   ) A quinta linha do triângulo de Pascal é formada pelos números 1, 4, 6, 4 e 1, dispostos da esquerda para a direita, nessa ordem. 
III. (   ) Os coeficientes que aparecem no desenvolvimento do binômio (x+a)5(x+a)5 com a∈R,a≠0a∈R,a≠0 são 1, 5 e 10. 
 
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 0.0
	
	A
	V – V – V
A terceira linha do triângulo de Pascal é formada pelos números (20)=1,(21)=2(20)=1,(21)=2 e (22)=1.(22)=1. Logo, a afirmativa I é verdadeira. A 5ª linha é formada pelos números binomiais: (40)=1,(41)=4,(42)=6,(43)=4(40)=1,(41)=4,(42)=6,(43)=4 e (44)=1.(44)=1. Assim, a afirmativa II é verdadeira. Notamos também que a 6ª linha do triângulo de Pascal contém os coeficientes do desenvolvimento de (x+a)5(x+a)5. Calculando os números binomiais com n=6n=6, encontramos os coeficientes: 1, 5 e 10. Portanto, a afirmativa III é verdadeira.
	
	B
	V – F – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	V – F – F
	
	E
	F – V – V
Questão 10/10 - Análise Combinatória
Uma combinação simples de nn elementos (distintos), tomados pp a pp, é qualquer escolha de pp elementos dentre os nn elementos dados. Escrevemos Cn,pCn,p para indicar a quantidade de combinaçõesde nn elementos, tomados pp a pp. Com base nesta noção, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I.  (   ) Deseja-se formar uma equipe de três membros e dispõe-se de sete funcionários. O número de equipes que podem ser formadas é 35. 
II.  (   ) Na primeira fase de um campeonato de futebol com 6 times, cada time jogou exatamente uma vez contra cada um dos outros. Nesta fase, foram realizados 15 jogos.
III. (   ) A equação Cn,2=28Cn,2=28 é satisfeita para n=8.n=8. 
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V, V, V
Você acertou!
Cada equipe é uma escolha de três funcionários dentre os sete disponíveis. Logo, o número de equipes é C7,3=7!3!(7−3)!=35.C7,3=7!3!(7−3)!=35. A afirmativa I é verdadeira. O número de jogos realizados corresponde à quantidade de maneiras de escolhermos 2 times dentre os 6. Este número é C6,2=15C6,2=15 e a afirmativa II é verdadeira. Notamos que
(n2)=28⟹n!2!(n−2)!=28⟹n2−n−56=0⟹n=−7 ou n=8.(n2)=28⟹n!2!(n−2)!=28⟹n2−n−56=0⟹n=−7 ou n=8.
Como n=−7n=−7 não é permitido, garantimos que n=8n=8 e a afirmativa III também é verdadeira.
	
	B
	V, F, V
	
	C
	V, V, F
	
	D
	V, F, F
	
	E
	F, V, V