analise combinatoria apol

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Questão 1/10 - Análise Combinatória
Analise o triângulo de Pascal abaixo e assinale a alternativa que apresenta o desenvolvimento de (x+a)4(x+a)4 com a∈R, a≠0.a∈R, a≠0.
111121133114641111121133114641
Nota: 10.0
	
	A
	x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4
Você acertou!
Para obtermos os coeficientes do desenvolvimento de (x+a)4,(x+a)4, consideramos a quinta linha do triângulo de Pascal. Como o termo geral é Tp+1=(4p)apx4−p,Tp+1=(4p)apx4−p, concluímos que o desenvolvimento deste binômio é dado por x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4.x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4.
	
	B
	x4+4a3x+6a2x2+4a3x+a4x4+4a3x+6a2x2+4a3x+a4
	
	C
	x4+6ax3+4a2x2+4a3x+a4x4+6ax3+4a2x2+4a3x+a4
	
	D
	a4+4a3x3+6a2x2+4ax3+x4a4+4a3x3+6a2x2+4ax3+x4
	
	E
	a4+4ax3+6a2x2+4a3x+axa4+4ax3+6a2x2+4a3x+ax
Questão 2/10 - Análise Combinatória
Eduardo tem cinco camisas: uma preta de mangas curtas, uma preta de mangas longas, uma azul, uma cinza e uma branca, e quatro calças: uma preta, uma azul, uma verde e uma marrom. Assinale a alternativa que apresenta o número de maneiras que ele pode se vestir com uma camisa e uma calça de cores diferentes.
Nota: 10.0
	
	A
	12
	
	B
	15
	
	C
	17
Você acertou!
Eduardo tem 5 possibilidades de escolha de camisas e 4 de calças. Assim, sem levar em conta as cores, existem 5×4=205×4=20 modos de se vestir. Destes, devemos descontar os casos em que se repetem as cores de calça e camisa, que são apenas 3: camisa preta de mangas curtas com calça preta, camisa preta de mangas longas com calça preta e camisa azul com calça azul. Logo, teremos 20−3=1720−3=17 maneiras de Eduardo vestir uma camisa e uma calça de cores diferentes.
	
	D
	18
	
	E
	20
Questão 3/10 - Análise Combinatória
O número do cartão de crédito é composto de 16 algarismos. Eduardo teve seu cartão quebrado, perdendo a parte que contém os quatro últimos dígitos. Apenas consegue lembrar que o número formado por eles é par, começa com 3 e tem todos os algarismos distintos. Assinale a alternativa que apresenta a quantidade exata de números satisfazendo essas condições.
Nota: 10.0
	
	A
	120
	
	B
	280
Você acertou!
Para o último algarismo, existem 5 modos possíveis: 0, 2, 4, 6 e 8. Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, existem 1×8×7×5=2801×8×7×5=280 números satisfazendo as condições apresentadas.
	
	C
	420
	
	D
	580
	
	E
	840
Questão 4/10 - Análise Combinatória
Em um grupo de 14 pessoas, existem 5 médicos, 6 advogados e 3 engenheiros. Assinale a alternativa que apresenta o número exato de comissões de 7 pessoas que podem ser formadas, cada qual constituída de 3 médicos, 2 advogados e 2 engenheiros.
Nota: 10.0
	
	A
	360
	
	B
	450
Você acertou!
O número total de comissões de 7 pessoas que podem ser formadas considerando 3 médicos, 2 advogados e 2 engenheiros é dado por C5,3×C6,2×C3,2=10×15×3=450.C5,3×C6,2×C3,2=10×15×3=450.
	
	C
	640
	
	D
	720
	
	E
	810
Questão 5/10 - Análise Combinatória
Considere dois números reais positivos xx e yy satisfazendo x−y=1x−y=1 e x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4=16.x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4=16. Assinale a alternativa que apresenta o valor de xx:
Nota: 10.0
	
	A
	7676
	
	B
	6565
	
	C
	5454
	
	D
	4343
	
	E
	3232
Você acertou!
Notamos que x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4=(x+y)4x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4=(x+y)4. Como xx e yy são números positivos e (x+y)4=16(x+y)4=16, garantimos que x+y=2x+y=2. Assim, resolvendo o sistema: {x-y=1,x+y=2,{x-y=1,x+y=2, encontramos x=32x=32 e y=12.y=12.
Questão 6/10 - Análise Combinatória
Duas pessoas praticam tiro ao alvo. A probabilidade de a 1ª atingir o alvo é P(A)=13P(A)=13 e a probabilidade de a 2ª atingir o alvo é P(B)=23.P(B)=23. Admitindo AA e BB independentes, assinale a alternativa que apresenta a probabilidade de ao menos um atingir o alvo, se os dois atiram.
Nota: 10.0
	
	A
	2929
	
	B
	3939
	
	C
	5959
	
	D
	7979
Você acertou!
Essa probabilidade é dada por P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B).P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). Como os eventos AA e BB são independentes, temos P(A∩B)=P(A)⋅P(B)=29.P(A∩B)=P(A)⋅P(B)=29. Portanto, P(A∪B)=13+23−29=79.P(A∪B)=13+23−29=79.
	
	E
	11
Questão 7/10 - Análise Combinatória
Uma bandeira é formada por quatro listras que devem ser coloridas usando-se apenas as cores amarela, branca e cinza, não devendo as listras adjacentes ter a mesma cor. Assinale a alternativa que contém o número de modos da bandeira ser colorida:
Nota: 10.0
	
	A
	81
	
	B
	54
	
	C
	36
	
	D
	24
Você acertou!
A primeira listra pode ser colorida de 3 modos, a segunda de 2 modos (não podemos usar a cor empregada na primeira listra), a terceira de 2 modos (não podemos usar a cor empregada na segunda listra) e a quarta de 2 modos (não podemos usar a cor empregada na terceira listra). Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, teremos 3×2×2×2=243×2×2×2=24 modos.
	
	E
	16
Questão 8/10 - Análise Combinatória
Uma carta é sorteada de um baralho comum, que possui 13 cartas (AA, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K) de cada naipe (ouros - ♢♢, copas - ♡♡, paus - ♣♣ e espadas - ♠♠). Com base nesse experimento, analise as afirmativas:
I. O espaço amostral ΩΩ associado a esse experimento possui exatamente 52 eventos elementares. 
II. A probabilidade de que a carta sorteada seja um AA é 152152.
III. Sabendo que a carta sorteada é de copas, a probabilidade de que ela seja um AA é 113.113. 
São corretas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
Você acertou!
O baralho possui 4×13=524×13=52 cartas. Logo, o espaço amostral possui 52 eventos elementares e a afirmativa I é correta. Consideremos AA o evento  "sortear AA". Logo, #A=4#A=4 e a probabilidade da carta sorteada ser um AA é P(A)=452=113P(A)=452=113. Com isso, a afirmativa II é incorreta. Passamos para a afirmativa III. Trata-se de uma probabilidade condicional. Seja BB o evento "sortear copas". Então, P(A∩B)=152P(A∩B)=152 e P(B)=1352.P(B)=1352. Portanto, a probabilidade da carta sorteada ser AA, dado que é de copas é P(A∖B)=P(A∩B)P(B)=113.P(A∖B)=P(A∩B)P(B)=113.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 9/10 - Análise Combinatória
Analise o triângulo de Pascal abaixo e assinale a alternativa que apresenta o desenvolvimento de (x+a)4(x+a)4 com a∈R,a≠0.a∈R,a≠0.
111121133114641111121133114641
Nota: 10.0
	
	A
	x4+4a3x+6a2x2+4a3x+a4x4+4a3x+6a2x2+4a3x+a4
	
	B
	x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4
Você acertou!
	
	C
	x4+6ax3+4a2x2+4a3x+a4x4+6ax3+4a2x2+4a3x+a4
	
	D
	a4+4a3x3+6a2x2+4ax3+x4a4+4a3x3+6a2x2+4ax3+x4
	
	E
	a4+4ax3+6a2x2+4a3x+axa4+4ax3+6a2x2+4a3x+ax
Questão 10/10 - Análise Combinatória
Assinale a alternativa que apresenta o coeficiente de x2x2 no desenvolvimento de (x+2)5(x+2)5:
Nota: 10.0
	
	A
	60
	
	B
	70
	
	C
	80
Você acertou!
O termo geral do desenvolvimento de (x+2)5(x+2)5 é dado por Tp+1=(5p)2px5−pTp+1=(5p)2px5−p com 0≤p≤50≤p≤5. Como queremos o coeficiente de x2x2, devemos impor que 5−p=25−p=2, isto é, p=3p=3. Portanto, T4=(53)23x2=80x2.T4=(53)23x2=80x2.
	
	D
	90
	
	E
	100