Revisão 1 - Sistemas Hidráulicos e Térmicos - 1_ 2018

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Curso de Engenharia Elétrica
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Sistemas Hidráulicos e Térmicos
Revisão Sistemas Hidráulicos
José Wagner Maciel Kaehler
Professor Dr. Eng.
wagnerkaehler@gmail.com josekaehlerj@unipampa.edu.br
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAMPA
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
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mailto:josekaehlerj@unipampa.edu.br
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Mecânica dos Fluidos – Hidrodinâmica
✓Leis Básicas e Equações
➢princípios de conservação: 
▪ conservação da massa, 
▪ conservação da quantidade de movimento e 
▪ conservação da energia, etc.
✓Conservação da massa (Continuidade)
➢Um sistema por definição possui massa 
constante. Matematicamente isto é expresso por
0
dt
dm
=
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Mecânica dos Fluidos – Hidrodinâmica
✓ Leis Básicas e Equações
➢ Conservação da quantidade de movimento (2a Lei de Newton)
▪ A segunda lei de Newton estabelece que a força resultante 
sobre um sistema é igual a variação da quantidade de 
movimento do sistema.
▪ O momento das forças resultantes é expresso pelo 
produto vetorial 
▪ O momento resultante sobre um sistema também pode ser 
expresso em função da variação do momento angular do 
sistema, ou seja
dt
Hd
M


=
= F*rM

 =
dt
)V*m(d
F


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Mecânica dos Fluidos – Hidrodinâmica
✓Leis Básicas e Equações
➢Conservação da energia (1a Lei da Termodinâmica)
▪ A variação da energia de um sistema é igual soma de calor 
e trabalho trocados com o meio:
▪ Onde Q e W são as taxas de calor e trabalho trocados com 
o meio 
W
dt
dE
Q  +=
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Mecânica dos Fluidos – Hidrodinâmica
✓ Equação de Bernoulli
➢ A equação de Bernoulli é obtida a partir da equação de Euler, 
considerando o escoamento incompressível e integrando entre 
dois pontos quaisquer pertencentes a uma linha de corrente.
➢ Equação de Euler para fluido incompressível (=cte):
➢ Integrando entre os pontos 1 e 2, e rearranjando, temos a Equação 
de Bernoulli:
➢ Para uma dada linha de corrente a quantidade
.ConstH
g*2
VP
Z
2
==+

+
g*2
VP
Z
g*2
VP
Z
2
22
2
2
11
1 +

+=+

+
0
g*2
VdP
dZ
2
=+

+
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Mecânica dos Fluídos – Hidrodinâmica
✓ Equação de Bernoulli
➢ Energia específica de pressão
▪ Altura representativa de 
pressão, altura de 
pressão estática, cota 
piezométrica ou 
piezocarga
▪ Energia cinética específica
• Altura representativa de velocidade, Altura de pressão 
dinâmica, Energia Atual ou Taquicarga
▪ Energia potencial específica
• Altura representativa da posição ou cota
▪ Energia Total específica
• Queda Hidráulica ou Altura de Elevação , Carga Dinâmica
z
E

p
g*2
V2
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Mecânica dos Fluídos – Hidrodinâmica
✓Teorema de Bernoulli para 
Líquidos Perfeitos
➢Sendo o líquido incompressível:
➢e a soma dos trabalhos das forças 
externas 
▪ empuxo e gravidade — não há atrito por 
se tratar de líquido perfeito será:
Vol*dS*A*dS*A* 2211 ==
)ZZ(*Vol*dS*A*pdS*A*p 21222111 −+−
( ) )ZZ(*Vol*Vol*PPV*Vol*
g
*
2
1
V*Vol*
g
*
2
1
2121
2
1
2
2 −+−=

−

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Mecânica dos Fluidos – Hidrodinâmica
✓ Teorema de Bernoulli para Líquidos Perfeitos
➢ Simplificando:
➢ Conclusão:
▪ Ao longo de qualquer linha de corrente é 
constante a soma das alturas cinética (V2/2g), 
piezométrica (p/) e geométrica (z).
▪ O teorema de Bernoulli é a aplicação do princípio 
da conservação da energia. 
( ) ( )
.ConstV*
g*2
1
P*
1
ZV*
g*2
1
P*
w
1
Z
)ZZ(
1
*PPVV*
g*2
1
2
222
2
111
2121
2
1
2
2
=+

+=++
−+

−=−
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Máquinas de Fluxo ou Cinéticas
✓Máquinas de Fluido
➢Máquinas de fluxo ou 
máquinas dinâmicas, 
▪ O fluido nunca está 
confinado mas sim em fluxo 
contínuo através da máquina 
e é submetido a trocas de 
energia devido a efeitos 
dinâmicos.
– Exemplos :
» turbinas hidráulicas
» ventiladores
» bombas centrífugas
» turbinas a vapor
» turbinas a gás, turbo-
compressores,etc.
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Sistemas de Bombeamento
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Máquinas de Fluxo ou Cinéticas : Bombas
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Sistemas de Bombeamento
✓ Tubulações, órgãos e dispositivos auxiliares
➢ Válvula de retenção:
▪ destinada a manter o fluxo numa só direção, é instalada na 
linha de recalque para evitar que numa inesperada paralisação 
do bombeamento, a água retorne com grande impacto (golpe 
de aríete) e atue diretamente contra a bomba.
▪ São peças robustas fabricadas em ferro fundido ou aço e 
de dimensões avantajadas.
➢ Tubulação de recalque.
▪ Curva de raio longo.
➢ Manômetro: 
▪ indica a pressão na saída da bomba. Tem o significado da 
carga positiva conferida pela bomba à água, observada no 
ponto de medição.
➢ Ampliação concêntrica: 
▪ estabelece a ligação entre a saída da bomba e a tubulação de 
recalque.
➢ Registro de gaveta
▪ colocado na tubulação de recalque, logo após a válvula de 
retenção.
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Sistemas de Bombeamento
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Máquinas de Fluxo ou Cinéticas : Bombas
✓ - Escorva
➢As turbobombas comuns, embora possam bombear 
fluido de um nível inferior ao do seu bocal de sucção, 
necessitam para isto serem escorvadas.
➢Constitui-se no processo de preparação da bomba 
para funcionamento, no qual o ar e os gases 
contidos no seu interior e na tubulação de sucção 
são extraídos e substituídos pelo fluido a ser 
bombeado.
➢Portanto, antes de começar a operação, a bomba 
bem como a tubulação de sucção devem estar cheias 
de líquido.
➢A escorva pode ser feita por meio de:
▪ - válvula de pé;
▪ - tanque de escorva;
▪ - ejetor;
▪ - bomba de vácuo;
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Perdas Hidráulicas
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Sistemas de Bombeamento
Esquema de uma estação recalque.
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Máquinas de Fluxo ou Cinéticas
✓Perdas
➢As perdas ocasionam uma diferença entre 
as energias entregue à máquina e a 
fornecida pela mesma.
➢As perdas podem ser internas ou externas.
▪ Perdas Internas – Li
– Perdas Hidráulicas – Perda de Pressão – Lh
» Atrito na superfície dos canais das pás, caracol;
– Perdas Volumétricas – Lv
» Fuga de fluído por labirintos e gaxetas
– Perda por atrito (mecânica) na superfície externa do 
rotor – La
▪ Perdas Externas – Le
– Perdas Mecânicas – Lm
» Atrito nos mancais e gaxetas;
» Atrito do ar contra as partes rotativas
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Sistemas de Bombeamento
✓Perdas de Energia
➢Teorema de Bernoulli 
▪ princípio físico da conservação da energia.
▪ 1. Líquidos perfeitos (sem atrito).
– onde:
» V = velocidade de fluxo (m/s)
» p = pressão (Pa = N/m²)
» h = altura geométrica em relação a um plano de 
referência (m)
2 2
1 1 2 2
1 2
V p V p
h h
2 * g 2 * g
+ + = + +
 
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Sistemas de Bombeamento✓ Perdas de Energia
➢ Teorema de Bernoulli 
▪ princípio físico da conservação da energia.
▪ 1. Líquidos perfeitos (sem atrito).
▪ = carga relativa a energia cinética (carga dinâmica) (m)
▪ = carga relativa a energia piezométrica (carga de pressão) (m)
h = carga relativa a energia potencial (carga geométrica ou de 
posição) (m)
V1<V2
h1=h2
então p1>p2
1 2
2V
2 * g
p

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Sistemas de Bombeamento
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Sistemas de Bombeamento
✓Perdas de Energia
➢Perda de Carga Contínua
▪ DARCY - WEISBACH (1850)-
– Válida para qualquer diâmetro
– Equação universal 
– onde:
» f = Coeficiente adimensional de perda de carga 
distribuída – depende da rugosidade do encanamento-
(tabelas 1 e 2)
» V = Velocidade (m/s);
» g = Força gravitacional (m/s²);
» D= Diâmetro (m)
» L= Comprimento da tubulação (m);
» hf= Perda de carga (m)
L*
D*g*
V*f
hf
2
2
=
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Sistemas de Bombeamento
✓Perdas de Energia
➢Perda de Carga Contínua
▪HAZZEN-WILLIANS (1903) 
▪Recomendada para diâmetro maior do que 50 mm.
▪
▪
▪Onde:
–
–Q = Vazão(m³/s)
–D = Diâmetro (m)
–L = Comprimento(m)
–hf = Perda de carga contínua(m)
–C = Coeficiente de rugosidade - adimensional (valor tabelado –
tabela 3)
1,85 1,85 4,87
fh 10,641*C *Q *D *L
− −=
874
851
64110
,
,
f
D
L
*
C
Q
*,h 





=
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Sistemas de Bombeamento
✓Perdas de Energia
➢ Alternativas de Formulários
851
6322780
,
,
f
D*C*,
Q
L
h
J 





==
380
5402780
,
,J*C*,
Q
D 





=
58731
5403550
,
,J*C*,
V
D 





= 5406303550 ,, J*D*C*,V =
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Sistemas de Bombeamento
✓ Perdas de Energia
➢ Perdas Contínuas 
➢ Perdas Localizadas
➢ Igualando uma à outra
➢ A Tabela seguinte expressa o comprimento fictício em 
metros das principais peças especiais, para os diâmetros 
comerciais mais usados.
▪ Este método adiciona ao trecho retilíneo real da canalização, 
um trecho retilíneo fictício, gerando um comprimento virtual 
maior que o real. Este comprimento virtual é o que deve ser 
usado na fórmula de perda contínua de carga total. O valor de 
carga por este procedimento já inclui as perdas localizadas.
L*
D*g*
V*f
hf
2
2
=
g*
V
*Kh
2
2
=
D*
f
K
L
g*
V
KL*
D*g*
V*f
hhf =→=→=
22
22
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Sistemas de Bombeamento
✓Perdas de Energia
➢ Método dos Diâmetros Equivalentes
▪ É uma particularidade do método anterior. 
▪ O comprimento vai depender do diâmetro e de uma relação K/f. 
▪ Esta razão depende do número de Reynolds, K e f dependem dele. 
▪ Porém, em regimes plenamente turbulentos, K e f passam a ficarem constantes 
com o número de Reynolds. 
▪ A relação K/f fica dependente apenas da rugosidade de cada material. Em termos 
práticos, e como as perdas localizadas são pequenas em relação às contínuas, 
pode-se considerar que K e f são constantes. 
▪ O comprimento fictício a ser adicionado ao comprimento real poderá ser expresso 
em um número de diâmetro:
▪ n expressa o comprimento fictício de cada peça em 
números de diâmetros
D*nLContante =→= n
f
K
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Sistemas de Bombeamento
Diámetros Equivalentes 
Peças Número de diâmetros 
ampliação brusca 30 
ampliação gradual 12 
cotovelo 90 45 
cotovelo 45 20 
curva 90 raio curto 30 
curva 45 raio curto 15 
curva 90 raio longo 20 
curva 45 raio longo 10 
entrada normal 17 
entrada de borda 35 
junta de dilatação 30 
redução brusca 20 
redução gradual 6 
registro de ângulo aberto 170 
registro de gaveta aberto 8 
registro de globo aberto 350 
saida de canalização 35 
Te de passagem direta 20 
Te de saida de lado 50 
Te de saida bilateral 65 
válvula de pé com crivo normal 250 
válvula de pé com crivo leve 100 
válvula de retenção 100 
 Verifica-se que a relação entre o comprimento equivalente (L) das diversas peças e seu 
diâmetro (D) é praticamente constante. Desta forma, o comprimento equivalente (L) das 
diversas peças pode ser expresso em número diâmetros [metros] da tubulação.
D*nL =
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Sistemas de Bombeamento
✓ Velocidade de Escoamento
➢ Nos problemas práticos, a vazão Q é quase sempre um elemento 
conhecido. 
➢ Normalmente o diâmetro é um elemento incógnito e seu valor deve 
ser minimizado, pois reflete diretamente nos custos da 
canalização. 
➢ Se o escoamento não é por gravidade, um menor diâmetro 
provocará uma maior perda de carga que implicará em um maior 
consumo de energia. 
➢ Valores práticos de velocidade existem e podem orientar o 
projetista na definição do melhor diâmetro. A literatura cita limites 
e valores de velocidade média recomendados para as mais 
diferentes situações:
▪ - água com material em suspensão.............v > 0,60 m/s
▪ - para instalações de recalque..........0,55 < v < 2,40 m/s
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Máquinas de Fluxo ou Cinéticas : Bombas
✓ Pré-dimensionamento de turbo-bombas centrífugas
➢ Dados Básicos
▪ - Q (m3 ): vazão para o ponto de trabalho
▪ - H (m): altura de elevação nominal
▪ - hs (m): altura máxima de sucção
➢ Cálculos preliminares
▪ - Trabalho específico ( Y )
▪ - Rotação específica ( nqa )
▪ - Rendimentos ( nm, nn, nt)
▪ - Potências (Pn, Pef)
▪ - Correção da descarga Q
➢ Escolha do tipo
▪ - Baseada em nqa e hmax , levando-se em conta o coeficiente de 
cavitação ( γmin );
▪ - Determinar o tipo de motor de acionamento;
▪ - Determinar o tipo de rotor e o nº de estágios;
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Máquinas de Fluxo: Geradoras
Diagrama de Velocidades
Máquinas de Fluxo
Érico HENN
https://www.youtube.com/watch?v=BaEHVpKc-1Q
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Máquinas de Fluxo
Diagrama de Velocidades
Máquinas de Fluxo
Érico HENN
v
v
w
w
UWV

+=
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
Simplifica-se a máquina…
Demasiado complicado modelizar 
el fluxo entre a entrada e a 
saída.
Consideramos que a Hm se ganha 
no rotor
Entrada
Saída
Foco em Bombas Centrifugas, V ⊥ W (prática)
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
Algumas Definições
Re
Rs
Triângulos
de velocidades
Ue
We
Us
Ws
Ve
W
Vs
Ui = W*Ri, velocidade de arraste
Vi = velocidade absoluta
Wi = velocidade relativa (% rotor)
Vi = Ui + Wi
bs as
be ae
Ue
We Ve
ENTRADA
Us
Ws Vs
SAIDA
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
Equação de Euler
Re
Rs
Sem perdas, Fluxo incompressível, Aplicação do Teorema de Bernoulli ao rotor:
2Ps/ + Ws
2 – Rs
2W2 = 2Pe/ + We
2 - Re
2W2
W g*Ht = Rs*W*Vs*Cos*as – ReW Ve *Cos ae
Equação de Euler – Independente da forma da pá
Ue
We
Us
Ws
Ve
Vs
W = V – U, implica W2 – U2 = V2 – 2 V.U
[2P/ + W2 – R2W2]=0  [2P/ + W2 – U2]
Ou seja de forma abreviada:
[P/ + V2/2] = [U*V]
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Máquinas de Fluxo: Geradoras
Diagrama de Velocidades
As componentesnormais da velocidade absoluta (V) e da velocidade relativa (W) são denominadas 
componentes meridianas (Vm, Wm). As componentes tangenciais da velocidade absoluta e da velocidade relativa 
são denominadas velocidades periféricas (Vu, Wu).
O ângulo a, representa o ângulo formado entre a velocidade absoluta V, e a velocidade periférica U rotor.
O ângulo b é ângulo formado entre a velocidade relativa (W) e o sentido contrário da velocidade periférica do 
rotor (-U). É denominado ângulo da pá.
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Máquinas de Fluxo
Diagrama de Velocidades
v4
w4
u4
a4β4
v4 w4
u4
a4
β4
Relações Trigonométricas 
à Entrada do Rotor
Relações Trigonométricas 
à Saída do Rotor
v5
w5
u5
a5β5
v5 w5
u5
a5 β5
555
555
555
555
2
5555
2
55 2
a=
a=
b=
a=
+a−=
tg*vv
sen*vv
sen*wv
cos*vv
ucos*v*u*vw
tr
r
r
t
444
444
444
444
2
4444
2
44 2
a=
a=
b=
a=
+a−=
tg*vv
sen*vv
sen*wv
cos*vv
ucos*v*u*vw
tr
r
r
t
t
r
t
r
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Máquinas de Fluxo: Motoras
Diagrama de Velocidades
Máquinas de Fluxo
Érico HENN
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Máquinas de Fluxo: Motoras
ENTRADA
MONTANTE
SAÍDA
JUSANTE
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Máquinas de Fluxo: Geradoras
Diagrama de Velocidades
Os eixos de referência são: 
• Meridianos – radiais
• Tangenciais - periféricas
Entrada da MF
Saída da MF
A componente meridiana da velocidade absoluta é 
igual à componente meridiana da velocidade 
relativa (Vm=Wm). 
Ambas apontam radialmente em relação ao rotor e 
são perpendiculares à velocidade periférica (U).
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Máquinas de Fluxo: Geradoras
ENTRADA
SUCÇÃO
SAÍDA
RECALQUE
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Máquinas de Fluxo: Geradoras – Diagrama de Velocidades
✓ A componente periférica da velocidade absoluta ( Vu ) e a 
componente periférica da velocidade relativa ( Wu ) são 
respectivamente projeções tangenciais da velocidade absoluta e 
da velocidade relativa. Isto significa que são velocidades 
paralelas à direção da velocidade periférica do rotor (U).
✓ Variáveis Envolvidas nos Polígonos de Velocidades
➢ D – Diâmetro do rotor
➢ b – Largura do canal
➢ V – Velocidade absoluta do fluido
➢ Vu – Componente de V na direção da velocidade tangencial U
➢ Vm – Componente meridional de V (na direção radial)
➢ W – Velocidade relativa do fluido em relação ao rotor
➢ Wu – Componente de W na direção da velocidade tangencial U.
➢ U – Velocidade tangencial do rotor no ponto de análise da pá
➢ a – ângulo entre (V,U)
➢ b – ângulo entre (W,-U) conhecido como ângulo de inclinação da pá
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Máquinas de Fluxo: Geradoras – Diagrama de Velocidades
✓ A área da superfície cilíndrica na entrada e na saída é dada por:
✓ Pela equação da conservação da massa temos que:
✓ Para fluido incompressível a vazão na entrada e na saída do 
impelidor é dada por:
✓ Da mesma forma pode-se definir a velocidade periférica em função 
da velocidade angular do rotor.
➢ Onde n é a rotação do impelidor (rotor) em rpm.
✓ Com o polígono de velocidades e as relações complementares 
podemos determinar a energia transferida pelo rotor ao fluido 
considerando número infinito de pás.
eee b*D*A = sss b*D*A =
mssssmeeee C*b*D**C*b*D**m ==
msssmeee C*b*D*C*b*D*Q ==
60
n*D*
U ss

=
60
1 n*D*Ue

=
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Máquinas de Fluxo: Geradoras – Diagrama de Velocidades
✓ Princípio da Quantidade de Movimento- Qm
➢ Qm = Massa * Velocidade = M * V
✓ Momento da Quantidade de Movimento
➢ MQm = Qm*Raio = Massa * Velocidade * Raio
✓ Torque Motor
✓ Momento da Quantidade de Movimento de um Elemento de Massa
✓ O momento Total será:
✓ O torque aplicado ao rotor é igual à diferença entre os Momentos 
das Quantidade de Movimento à saída e à entrada do rotor
R*V*Q*T
Raio*Velocidade*
t
Volume
*
t
Raio*Velocidade*Massa
t
MQ
T
m
m
m
=
===
Q – Vazão 
r*)cos*V(*Q* a
Componente Tangencial 
da Velocidade Absoluta
dQ*cos*V*M
Q
T  a=
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Máquinas de Fluxo: Geradoras – Diagrama de Velocidades
✓ O Torque em Escoamento Contínuo e Fluxo 
Uniforme será:
✓ Potência Motriz da Bomba
✓ A Potência Útil é função da altura e da vazão
✓ A Potência Útil será








a−a= 
Q
eee
Q
sss dQ*cos*V*RdQ*cos*V*R*T
)cos*V*Rcos*V*R(*Q*T eeesss a−a=
)cos*V*Rcos*V*R(**Q*T*P eeesss a−aW=W=
z
g*
p
g*
V
H +

+=
2
2






+

+== z
p
g*
V
*Q*H*Q*Pu
2
2
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Máquinas de Fluxo: Geradoras – Diagrama de Velocidades
✓ Caso Simplificado - Fluido entrando no Rotor 
Radialmente
➢ Os filetes de fluido que deveriam entrar tangenciais às pás 
sofrem um desvio devido a que as pás se estendem até uma 
certa distância na boca da bomba em direção ao tubo de 
aspiração. 
➢ Para reduzir o efeito de pré-rotação se utiliza, por exemplo, 
um indutor, que é uma peça helicoidal colocada antes do 
rotor
➢ Nestas condições ideais (a=90⁰) a resistência ao escoamento 
será mínima, já que não existe momento angular na entrada 
porque Vme=Ve e Vue=0 e, portanto R*Vue =0 desta forma a 
Equação de Euler fica simplificada dependendo das 
condições de saída do rotor.
g
V*U
H usst =
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Requisito típico em sistemas de bombeamento: Hm
0, Q0
B
Q (m3/s)
Pe
Ve
Ps
Vs
De Ds
g*Hm  (Vs
2 - Ve
2)/2 + (Ps – Pe)/
Q
Hm
h
Projetar uma bomba atendendo uma 
altura Hm
0 com vazão nominal Q0.
Q0
Hm
0
Bombas Centrífugas: Equações de Performance
e – Entrada
s – Saída
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
Simplificamos la maquina…
Demasiado complicado modelizar el
fluxo entre a entrada e a saída.
Consideramos que a Hm se ganha no rotor
Entrada
Saída
Foco em Bombas Centrifugas, V ⊥ W (prática)
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
Algumas Definições
Re
Rs
Triângulos
de velocidades
Ue
We
Us
Ws
Ve
W
Vs
Ui = W*Ri, velocidade de arraste
Vi = velocidade absoluta
Wi = velocidade relativa (% rotor)
Vi = Ui + Wi
bs as
be ae
U1
We Ve
ENTRADA
Us
Ws Vs
SAIDA
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
Equação de Euler
Re
Rs
Sem perdas, Fluxo incompressível, Aplicação do Teorema de Bernoulli ao rotor:
2Ps/ + Ws
2 – Rs
2W2 = 2Pe/ + We
2 - Re
2W2
W g*Ht = Rss*W*Vs*Cos*as – ReW Ve *Cos ae
Equação de Euler – Independente da forma da pá
Ue
We
Us
Ws
Ve
Vs
W = V – U, implica W2 – U2 = V2 – 2 V.U
[2P/ + W2 – R2W2]=0  [2P/ + W2 – U2]
Ou seja de forma abreviada:
[P/ + V2/2] = [U*V]
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
Teoria unidimensional
Teoria de Euler aplicada a uma altura desejada em uma linha de corrente
Como calcular a altura imposta a TODO o fluxo?
Para um rotor qualquer, será necessário integrar sobre todas as linhas.
Assumindo a “Teoria Unidimensional”. 
Hipóteses Teoria 1D:
As quantidades só variam como a distância ao eixo.
Igual, número infinito de pás.
TODAS as linhasrecebem a mesma Ht, que chega a ser a 
altura comunicada al conjunto do fluido:
Falta introduzir a Vazão na parte direita da equação.
eeessst cos*V**Rcos*V**RH*g aW−aW=
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
Curva característica 1D
g Ht = RsW Vs Cos as – ReW Ve Cos ae
Não há “pré-rotação do fluxo”: ae = 90°.
Ws
bs as
V
m
s
Ue
Ve
Us =(Rs *W)
Vs
Q = Ss *Vms
s
ms
sss
tg
V
*Rcos*V
b
−W=a






b
−W= W
sss
s*st
tg*b*R**
Q
*R*RH*g
2
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
Comprovação das leis de semelhança física
Segundo as Leis da Semelhança Física, existe uma função F que determina
Sendo os xi variáveis constantes para máquinas homotéticas








b
−WW=
sss
sst
tg*b*R**
Q
R**R*H*g
2
Família de
Máquinas
homotéticas
= c.te na família






W
=
W
ix,
R*
Q
F
R*
H*g
322








bW
−=
W

s
s
sss
t
b
R
*
tg**
*
R*
Q
R*
H*g
2
1
1
322
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
✓ Energia na Equação de Euler para Turbomáquinas
➢ Parcelas de energia na forma de energia de pressão 
(potencial) e na forma de energia cinética em turbomáquinas
➢ Do triângulo de velocidade:
➢ Igualando os termos:
( )ueeusst V*UV*U*
g
H −=
1
)WUV(V*U
VV*U*UWVV
u
uuu
222
22222
2
1
2
−+=
−+−=−
2222
22222
222
2 uum
uum
um
VV*U*UWV
)VU(WWWV
VVV
−+−=
−−=−=
−=
( ) ( )  




 −
+




 −
+




 −
=−+−−+=
g*
WW
g*
UU
g*
VV
WUVWUV*
g*
H eseseseeessst
2222
1 222222222222
U
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
( ) ( )  




 −
+




 −
+




 −
=−+−−+=
g*
WW
g*
UU
g*
VV
WUVWUV*
g*
H eseseseeessst
2222
1 222222222222
Variação da energia cinética do fluido ao escoar no 
interior da turbomáquina pela variação da velocidade 
absoluta.
Variação da energia de pressão devido à força 
centrífuga dando às partículas do fluido um 
movimento circular em torno do eixo
Variação da energia de pressão provocada pela 
redução da velocidade relativa ao passar pelo canal 
divergente (difusor)do rotor. Representa a variação 
de pressão estática dentro do rotor
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
✓ Equação de Euler e a Equação de Energia
➢ Onde:
▪ HA - Energia adicionada ao fluido pela bomba.
▪ hL - Energia dissipada pelo sistema devido ao atrito no interior da turbomáquina.
➢ Considerando a energia teórica adicionada pela bomba (HA=Ht), as velocidades 
absolutas na entrada e saída do rotor ( V ) e fazendo desprezível o atrito no 
interior da turbomáquina (hL=0):
➢ Explicitando a Energia Teórica adicionada pela bomba:
➢ Verifica-se que a altura teórica pode ser representada por uma parcela de 
energia de pressão e outro de energia cinética:
▪ Ht = Hp + Hc
s
ss
LAe
ee z
g*
u
g*
p
hHz
g*
u
g*
p
++

=−+++
 22
22
s
ss
te
ee z
g*
V
g*
p
Hz
g*
V
g*
p
++

=+++


22
22
( )
g*
VV
zz
g*
pp
H eses
es
t
2
22 −
+





−+

−
=
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
✓ Por comparação com a Equação de Euler
✓ Grau de Reação
➢ A relação entre a energia de pressão e a 
pressão total é denominada grau de reação.
➢ G é maior quanto maior for a parcela de energia 
de pressão (Hp) fornecida pelo rotor ao fluido.
➢ Está relacionado com a forma do rotor e com a 
eficiência no processo de transferência de 
energia:
( )





−+

−
=











 −
+
−
=





 −
=











 −
+
−
+





 −
=
es
eseses
p
es
c
eseses
t
zz
g*
pp
g*
WW
g*
UU
H
g*
VV
H
g*
WW
g*
UU
g*
VV
H
22
2
222
2222
22
222222

=
t
p
H
H
G
Ângulo da pá na Saída Grau de Reação
bs < 90⁰ G >½
bs = 90⁰ G =½
bs > 90⁰ G <½
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
✓ O conceito do grau de reação é utilizado, inclusive, para 
classificar máquinas de fluxo.
➢Turbomáquinas de Reação:
▪ Uma bomba, ou máquina de fluxo em geral, é denominada "de reação" se o seu 
grau de reação é maior que zero (G > 0), isto é, se a pressão de saída do 
escoamento é maior que a pressão de entrada.
▪ Representa o caso geral das bombas.
➢Turbomáquinas de Ação:
▪ Quando o processo de transferência de energia ocorre a pressão constante, (G=0 ), 
a máquina de fluxo é denominada "de ação" como o caso das turbinas Pelton.

=
t
p
H
H
G
Ângulo da pá na Saída Grau de Reação
bs < 90⁰ G >½
bs = 90⁰ G =½
bs > 90⁰ G <½
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
✓ Influência da Curvatura das Pás
➢ A energia teórica cedida pelo rotor ao fluido, em bombas 
centrífugas, pode ser analisada em função do ângulo das pás 
na saída (bs) com as seguintes relações e simplificações:
▪ Escoamento com entrada radial: ae = 90⁰
▪ Seções iguais na entrada e saída com o qual Vme = Vms e Vue = 0
➢ As relações obtidas com tais simplificações são:
ctp
us
c
uset
cpt
HHH
g*
V
H
V*U*
g
H
HHH
−=
=
=
+=



2
1
2
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✓ Influência da Curvatura das Pás
➢ Ht: Altura teórica de elevação para número infinito de pás. 
▪ Representa a energia cedida ao fluido que atravessa uma bomba ideal.
➢ Hp: Altura de pressão que representa a energia cedida pelo 
rotor ao fluido em forma de pressão.
➢ Hc: Altura que representa a energia cedida pelo rotor ao fluido 
em forma de energia cinética.
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
✓ Influência da Curvatura das Pás
(2) Pás radiais na saída:
Caso em que bs = 90⁰ 
Desta Forma Vus=Us.
(1) Pás voltadas para trás:
Caso em que bs < 90⁰ 
Situação limite Vus=0.
(3) Pás voltadas para frente:
Caso em que bs > 90⁰ 
Situação limite Vus= 2*Us.
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
✓ Influência da Curvatura das Pás
➢ Caso 1 - Pás Voltadas para Trás
▪ Considerando que bs é menor que 90⁰ e na 
situação limite em que a componente periférica 
da velocidade absoluta seja nula (Vus = 0). 
▪ Para satisfazer esta condiçãoas = 90⁰.
(1) Pás voltadas para trás:
Caso em que bs < 90⁰ 
Situação limite Vus=0.
0
0
2
0
1
2
=−=
==
==
+=



ctp
us
c
usst
cpt
HHH
g*
V
H
V*U*
g
H
HHH
Conclusão: Quando, bs < 90⁰ tal que as=90⁰, observa-se que as parcelas de energia na forma 
de pressão e de energia cinética são ambas nulas. 
Portanto, a energia cedida pela bomba ao fluido é nula.
• Em tal situação bs se conhece como ângulo critico inferior. 
• O líquido, ao deixar o rotor não possui energia para o desejado escoamento.
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
✓ Influência da Curvatura das Pás
➢ Pás Radiais na Saída
▪ Quando bs = 90⁰ se obtém um polígono de 
velocidades em que Vus=Us.
g*
U
HHH
g*
U
g*
V
H
g
U
V*U*
g
H
HHH
s
ctp
sus
c
s
usst
cpt
2
22
1
2
22
2
=−=
==
==
+=



Conclusão: Na situação em que bs = 90⁰ a componente periférica da velocidade absoluta na 
saída Vus torna-se a velocidadetangencial do rotor (Vus = Us).
• Isto faz com que a energia cedida pela bomba ao fluido seja da 50% na forma de energia de 
pressão e 50% na forma de energia cinética.
(2) Pás radiais na saída:
Caso em que bs = 90⁰ 
Desta Forma Vus=Us.
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
✓ Influência da Curvatura das Pás
➢ Pás Voltadas para Frente
▪ Escolhemos na análise um valor de bs > 90⁰
na condição limite em que torne Vus= 2*Us
0
2
2
2
1
22
2
=−=
==
==
+=



ctp
sus
c
s
usst
cpt
HHH
g
U
*
g*
V
H
g
U
*V*U*
g
H
HHH
Conclusão: Na situação em que bs > 90⁰ de tal forma que torne Vus = 2*Us
a energia de pressão é nula, e a energia total é igual a energia cinética. 
Em tal situação bs : ângulo crítico superior
(3) Pás voltadas para frente:
Caso em que bs > 90⁰ 
Situação limite Vus= 2*Us.
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
✓ Influência da Curvatura das Pás
➢ Gráfico dos Resultados
▪ (1) Pás voltadas para Trás: bs < 90⁰
– [Hp > Hc] a energia cedida pela bomba ao 
fluido predomina na forma de energia de 
pressão.
▪ (2) Pás Radiais na Saída: bs = 90⁰
– [Hp= Hc]: A energia cedida pela bomba ao 
fluido se faz igualmente na forma de energia 
de pressão e energia cinética.
▪ (3) Pás voltadas para Frente: bs > 90⁰
– [Hc > Hp]: A energia cedida pela bomba ao 
fluido predomina na forma de energia 
cinética
Recomendações para Ângulo das Pás
• As bombas são empregadas para vencer desníveis energéticos. 
• Isto deve ser obtido às expensas da energia de pressão e não da energia cinética.
• Pás com bs > 90⁰ (curvadas para frente) fazem com que a energia predominante seja 
do tipo cinética, o que envolve altas velocidades e portanto maiores perdas de carga.
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
✓ Influência da Curvatura das Pás
➢Recomenda-se sempre pás inclinadas para trás 
(bs<90⁰) encontradas nas seguintes faixas:
➢Para bombas o ângulo da pá na entrada be pode ter a 
seguinte faixa: 15⁰  be ⁰  50 ⁰
➢Macintyre: “Esses motivos levaram a fabricantes a 
adotar pás para trás na quase totalidade das bombas 
centrífugas, estando bs compreendido entre 17⁰ e 30⁰, 
sendo aconselhado como regra o valor de 22,30⁰
Bombas Centrífugas Ventiladores
Faixa de Operação: 15⁰  bs ≤ 40⁰
Normalmente: 20⁰ bs ≤ 25 ⁰ Normalmente: 40⁰ bs≤45⁰
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
✓ Efeito da Curvatura das Pás na Altura Teórica de Elevação (Ht-Q)
➢ Considerando um rotor com velocidade angular constante ( = c.te) e 
com entrada radial (as = 90⁰) a equação de Euler é dada de maneira 
simplificada:
➢ Do polígono de velocidades:
➢ Substituindo Wus em Vus:
➢ onde
➢ Substituindo Vus e Us em Ht:
s
ms
us
ussus
tg
V
W
WUV
b
=
−=
usst V*U*
g
H
1
=
s
ms
sus
tg
V
UV
b
−=
s
sss
st U*
tg*b*D**g
Q
U*
g
H 





b
−=
1
ss
ms
b*D*
Q
V

=
Q*
tg*b*D**g
U
g
U
H
sss
ss
t
b
−=
2
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
✓ Efeito da Curvatura das Pás na Altura Teórica de Elevação (Ht-Q)
➢ A expressão pode ser simplificada considerando Us proporcional à 
rotação “n”, que é constante. Ds e bs também são valores 
constantes, podendo a expressão depender somente da vazão (Q) e 
do ângulo da pá bs.
➢ Com auxilio de esta última expressão da altura teórica é possível 
realizar um estudo da influencia das pás quando são estas radiais, 
inclinadas para trás e inclinadas para frente.
g
U
k
onde
Q*kkH
s
t
2
1
21
=
−=
sss
s
tg*b*D**g
U
k
b
=2
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
✓ Efeito da Curvatura das Pás na Altura Teórica de Elevação (Ht-Q)
➢ Rotor com pás radiais na saída
▪ bs = 90⁰ o termo 1/tanbs tende a zero sendo assim k2 = 0. Desta forma: H = k1
▪ Ht torna-se independente da vazão, sendo representado graficamente por uma reta 
que corta o eixo de H no ponto Us / g
➢ Rotor com pás inclinadas para trás
▪ bs = 90⁰ o termo 1/tanbs dá um valor positivo (+). Desta forma: H = k1 – k2*Q
▪ Ht diminuirá com o aumento da vazão, sendo representada como uma reta inclinada 
para baixo, cruzando pela ordenada no ponto Us
2 / g
➢ Rotor com pás inclinadas para 
frente
▪ bs > 90⁰ o termo termo 1/tanbs dá um 
valor negativo (-). Desta forma: H = 
k1 + k2*Q
▪ Ht aumenta com o aumento da 
vazão, sendo representada como 
uma reta ascendente que cruza na 
origem o ponto Us
2 / g.
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
✓ Efeito da Curvatura das Pás na Altura Teórica de Elevação (Ht-Q)
➢ Observa-se que as pás inclinadas para frente (bs > 90⁰) cedem mais energia 
cinética que energia de pressão.
➢ Da curva Ht – Q mostra-se outra inconveniência deste tipo de curvatura das pás.
➢ O aumento de Ht apresenta o fenômeno de instabilidade de funcionamento 
quando realizados ensaios em bancadas de laboratório.
➢ A instabilidade do funcionamento para pás com (bs > 90⁰) é outro motivo para 
evitar trabalhar com bombas centrífugas com pás voltadas para frente.
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
✓ Efeito da Curvatura das Pás na Curva de Potência (P – Q)
➢ Considerando a potência teórica:
➢ onde a altura teórica é dada por:
➢ A qual como foi visto pode ser simplificada
➢ Introduzida esta última expressão da altura na
➢ equação de potência se tem:
Q*kkHt 21 −=
Q*
tg*b*D**g
U
g
U
H
sss
ss
t
b
−=
2
 = tt H*Q*g*P
2
21
2
21 Q*kQ*kQ*k*g*Q*k*g*P
**
t −=−=
2
21 Q*kQ*kP
**
t −=
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
✓ Efeito da Curvatura das Pás na Curva de 
Potência (P – Q)
➢ Pás com Saída Radial
▪ bs = 90⁰ desta forma tan (90 ⁰) =
▪ K2 = 0 e a potência neste caso fica dada por:
▪ Isto significa que a potência varia linearmente com 
a vazão 
➢ Pás Voltadas para Trás
▪ Neste caso bs < 90⁰ e tanbs toma valores (+). 
Portanto k2 toma um valor positivo (+)
▪ Aumentando a vazão (com n=c.te) a potência 
descreve uma parábola tangente à reta anterior na 
origem e sempre com valor menor a esta quando Q 
aumenta.
➢ Pás Voltadas para Frente
▪ Com bs > 90⁰ e tanbs toma valores negativos (-). 
Portanto k2 toma um valor (-)
Q*kQ*kQ*kP ***t 1
2
21 =−=
2
21 Q*kQ*kP
**
t +=
2
21 Q*kQ*kP
**
t −=
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
✓ Efeito da Curvatura das Pás na Curva de 
Potência (P – Q)
➢ Pás Voltadas para Frente
▪ Graficamente é representada por uma parábola que 
passa pela origem quando Q=0, e é tangente à reta 
na origem, aumentando o valor em função do 
aumento da vazão
➢ Tanto as pás voltadas para frente como as 
pás radiais na saída apresentam maiores 
requerimentos de potência para a mesma 
vazão de trabalho. 
➢ A medida que aumenta a vazão a potência 
requerida aumenta.
➢ No caso dos rotores com pás voltadas para trás a potência requerida 
aumenta até um certo ponto e posteriormente decresce. 
➢ Geralmente neste tipo de bombas o rendimento máximo ocorre quando 
a potência de acionamento atinge o máximo. 
➢ A bomba poderia trabalhar com vazões maiores que a vazão de projeto 
sem prejudicar o funcionamento do motor elétrico que aciona a bomba.
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
Mas além da teoria 1D, efeitos 2D
No sistema ligado ao rotor, o perfil de velocidade 
entre duas pás tenderá a ter a forma mostrada na 
figura:
Isso resulta em una altura menor:
Determinação
experimental
ssstt sen*
N
*),N(*R*H*gH*g b

bW−= 
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
Curva real
Q
Hm
Como se transforma numa curva?
Com as perdas
1D, Analítico
2D, Semi
empírico








b
−WW=
sss
sst
tg*b*R**
Q
R**R*H*g
2
ssstt sen*
N
*),N(*R*H*gH*g b

bW−= 
22
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
Perdas por atrito e localizadas
2
0
2
2 )QQ(*KQ*KH*gH*g seD,t −−−=
Perdas por Atrito: atrito na bomba.
Perdas Localizadas: perdas fora da vazão nominal.
O ângulo bs varia com Q.
Mas NÃO o Ângulo ba de ataque da pá móvel.
O ângulo as varia com Q.
Mas NÃO o ângulo aa de ataque da pá fixa.
Projeto da bomba: bs(Q0)=ba y as(Q0)=aa
Determinação experimental
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Bombas Centrífugas: Equações de Performance
Uma Hierarquia de modelos
Q
Hm
Perdas, calculadas empíricamente
1D, Analítico
2D, Semi
empírico
Real








b
−WW=
sss
sst
tg*b*R**
Q
R**R*H*g
2
ssstt sen*
N
*),N(*R*H*gH*g b

bW−= 
22
2
0
2
2 )QQ(*KQ*KH*gH*g seD,t −−−=
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Máquinas de Fluxo ou Cinéticas : Bombas
✓ Curvas Características
➢ A equação geral das máquinas de fluxo foi desenvolvida 
considerando uma única rotação. 
➢ A velocidade tangencial u é, entretanto, função de n. 
➢ A função f(H,Q,n), em condições reais, é uma superfície, 
chamada de superfície característica, que é um parabolóide 
hiperbólico, cuja formula geral é :
➢ Com rotação n constante, a curva (H,Q) será uma parábola;
➢ Com altura H constante, a curva (Q,n) será uma hipérbole na 
qual o eixo da assíntota passa pelo centro do sistema de 
coordenadas;
➢ Com vazão Q constante a curva (H,n) também será uma 
parábola.
2 2Q QnA B CH n* * * *= + −
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Máquinas de Fluxo ou Cinéticas : Bombas
✓ Curvas Características Fornecidas pelos Fabricantes
➢ Como máquina primária se utilizam motores de indução assíncronos para a 
movimentação da bomba.
➢ A variação de rotação deste tipo de motor envolve a utilização de 
equipamentos extras, tais como inversores de freqüência ou banco de 
resistências, o mais comum é a utilização da bomba na rotação fornecida 
pelo motor 
▪  3600 rpm para motores com um par de pólos
▪  1800 para aqueles com dois pares de pólos 
➢ A utilização da variação de rotação nas curvas características não é 
normalmente encontrada nos catálogos (principalmente em catálogos mais 
antigos). 
➢ Os fabricantes fornecem nestes diagramas as curvas de famílias de 
bombas, que são compostas por bombas de mesmas características 
construtivas e com rotores de diâmetros diferentes. 
➢ A variação do diâmetro tem um efeito similar à variação de rotação, pois a 
velocidade tangencial no rotor depende diretamente do produto destas 
duas variáveis. 
➢ Assim, os diagramas encontrados nos catálogos dos fabricantes possuem 
forma similar ao diagrama de colina, com a inclusão do diâmetro do rotor 
como variável, mantendo-se a rotação fixa. 
➢ As curvas de potência consumida em função da vazão podem vir separadas 
das curvas HxQ e de iso-rendimento, 
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Máquinas de Fluxo ou Cinéticas : Bombas
✓ Curvas Características 
Fornecidas pelos Fabricantes
➢ KSB Meganorm 100-200
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Curvas 
Características de 
Bombas Centrífugas
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Máquinas de Fluxo ou Cinéticas : Bombas
✓ Curvas Características
➢ Para permitir uma escolha 
rápida de uma família de 
bombas dentre aquelas 
disponíveis, o fabricante 
fornece um diagrama, 
chamado de diagrama de 
quadrículas, no qual se entra 
com a vazão e a altura 
manométrica desejadas e se 
determina qual a família 
mais adequada.
➢ A construção deste 
diagrama leva em 
consideração a rotação da 
bomba, e uma faixa de 
rendimentos considerada 
adequada pelo fabricante 
para a classe de bombas em 
questão 
A junção das quadrículas de uma série de bombas num único diagrama 
permite a visualização global de toda a série. 
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✓ Curvas 
Características 
Fornecidas pelos 
Fabricantes
➢ Na Figura temos o 
diagrama de 
quadrículas da 
série KSB –
Meganorm para 
3500rpm-60Hz. 
➢ O número dentro 
das quadrículas 
representa a 
família de bombas, 
sendo que, neste 
caso específico, o 
primeiro número 
se refere ao 
diâmetro da boca 
de recalque e o 
segundo a classe 
de diâmetros das 
bombas que 
compõem a família 
de bombas.
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✓Fatores que Modificam as Curvas 
Características
➢A variação na rotação e no diâmetro do rotor, 
➢A natureza do líquido que está sendo bombeado e 
➢O tempo de serviço da máquina 
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Máquinas de Fluxo ou Cinéticas : Bombas
✓ Fatores que Modificam as Curvas Características
➢ Influência da Variação de Rotação
▪ Mantendo-se as propriedades do fluido constantes, 
▪ a vazão varia linearmente com a rotação (n), 
▪ a carga varia com o quadrado da rotação (n), 
▪ a potência com o cubo da rotação (n):
▪ Nestas expressões optou-se por utilizar a rotação da máquina ao invés 
da velocidade angular. 
▪ Como as duas estão relacionadas estas relações continuam 
adimensionais (o que não ocorreria nos ’s).
▪ Como os parâmetros relacionam razões entre grandezas de mesma 
dimensões, pode-se utilizá-las em diferentes sistemas de unidades, 
sem necessidade de quaisquer transformações.
2 2
1 1
2
2 2
2
1 1
3
2 2
3
1 1
Q n
Q n
H n
H n
N n
N n
=
=
=
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✓ Fatores que Modificam as Curvas Características
➢ Influência da Variação de Rotação
▪ A relação para a potência é válida supondo que o rendimento 
da máquina permanece constante. 
▪ Entretanto, a variação da rotação irá alterar o rendimento. 
▪ A correção pode ser feita introduzindo os rendimentos na 
expressão de potência na seguinte forma:
com 
▪ Além desta, existem outras expressões empíricas para a 
estimativa da eficiência, tal como a recomendada por Comolet:
3
2 2 1
3
1 1 2
N n
N n
*
h
=
h
0 1
2
2 1
1
n
1 1
n
,
( )
 
h = − − h  
 
1
2 0 17
1
1 1
2
n
1
n
,
( )
h
h =
 
h + − h  
 
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Máquinas de Fluxo ou Cinéticas : Bombas
✓ Fatores que Modificam as Curvas Características
➢ Influência do Diâmetro do Rotor
▪ Caso 1:
– Bombas geometricamente semelhantes, isto é, bombas cujas dimensões físicas têm 
um fator de proporcionalidade constante: 
▪ Caso 2:
– Redução no diâmetro externo do rotor, permanecendo as outras características físicas 
constantes. 
– Esta alternativa é utilizada pelos fabricantes de bombas para ampliara faixa de 
operação de suas máquinas. 
– São montadas bombas com volutas idênticas, porém com rotores de diâmetro 
diferentes. 
– A redução é limitada, pois a redução grande do diâmetro do rotor faz com que a 
eficiência da bomba seja bastante reduzida.
– Na prática esta redução está limitada a cerca de 20% do maior rotor.
– A análise não pode ser feita diretamente pelos parâmetros adimensionais. 
– Existem autores que propõem que o expoente da relação de diâmetros na expressão 
de Q deva ser entre 0,9 e 1,1 e outros autores afirmam que este expoente deve ser 2. 
3 2 5
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
Q D H D N D
e
Q D H D N D
;
     
= = =     
     
2 3
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
Q D H D N D
e
Q D H D N D
;
     
= = =     
     
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Máquinas de Fluxo
Cavitação
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Máquinas de Fluxo: Cavitação
✓Os fluidos podem passar do estado líquido 
para o gasoso dependendo das condições 
de pressão e temperatura a que estão 
submetidos. 
✓A pressão na qual se ocorre este processo é 
denominada pressão de vapor ou de 
vaporização (Pvap).
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Máquinas de Fluxo: Cavitação
LÍQUIDO
SÓLIDO
GÁS
Ponto Triplo
Vaporização
Liquefação
(Condensação)
Fusão
Solidificação
Sublimação
105
Pressão
[Pa]
Temperatura
[ºC]
100
104
103
610 Pa
0,01 ºC
102
10
0
À pressão atmosférica, 
a água vaporiza (ferve) 
quando a temperatura 
atinge em torno de 
100ºC
A pressão de 
vaporização da 
água é 10,133 kPa
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Máquinas de Fluxo: Cavitação
✓ As bombas em operação aspiram o fluido, e nesse processo, a pressão 
diminui até atingir um valor mínimo na boca de entrada da bomba. 
✓ Se esta pressão atinge a pressão de vapor do fluido, o fluido vaporiza e 
inicia um processo de formação de bolhas as quais são arrastadas no 
interior da bomba, provocando dados irreparáveis. 
✓ O estudo de cavitação permite avaliar, se nas condições de operação do 
sistema, a pressão na boca de entrada da bomba pode atingir pressões 
inferiores à pressão de vaporização..
Cavitação: 
Processo de vaporização do 
fluido quando a pressão 
absoluta baixa até alcançar a 
pressão de vapor (Pvap) do 
líquido na temperatura em 
que se encontra.
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Máquinas de Fluxo: Cavitação
Tubo de 
sucção Pressão 
absoluta 
da agua
Bolhas de 
Vapor de 
água
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Máquinas de Fluxo: Cavitação
✓ O fenômeno de cavitação provoca:
➢ Corrosão.
▪ Ocorrência de pedaços de rotor e tubulação junto à entrada da 
bomba.
▪ Afeta o rendimento.
– Aumento da potência de eixo (bombas);
– Queda da potência de eixo (turbinas);
▪ Marcha irregular, trepidação e vibração das máquinas, pelo 
desbalanceamento que acarreta;
▪ Presença de ruídos e implosão, provocado pelo fenômeno de 
implosão das bolhas.
▪ No caso da água, a cavitação tem maiores efeitos para acima 
dos 45ºC.
✓ Materiais que resistem à corrosão por cavitação:
➢ Ferro Fundido, Alumínio, Bronze, Aço Fundido, Aço doce 
laminado.
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Máquinas de Fluxo: Cavitação
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Máquinas de Fluxo: Cavitação
✓ Determinação do NPSH (Net Positive Suction Head) Disponível
➢ Aplicando a Equação da Energia – Teorema de Bernoulli à superfície 
livre do líquido no reservatório de captação (plano 0-0) e na boca de 
entrada a bomba (plano 1-1).
mas
Laa
2
1atm
a1
La)10(L
o
o
atmo
hh
g*2
v
g*
p
g*
p
olog
hz
hh
0z
0v
pp
1 +++

=

=
=


=
−
1
2
11
)10(Lo
2
oo z
g*2
v
g*
p
hz
g*2
v
g*
p
++

=−++

−
 
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Máquinas de Fluxo: Cavitação
✓ Determinação do NPSH (Net Positive Suction Head) Disponível
➢ Para não ocorrer cavitação a energia total na entrada na bomba deve 
ser maior que a energia de vaporização, desta forma ET1 > Evap. 
➢ Como segurança define-se a energia disponível pelo sistema como 
sendo a diferença entre a energia total absoluta e a energia da 
pressão de vapor do líquido.
Para não ocorrer Cavitação: ET1>EVap
Energia Disponível pelo Sistema NPSHDisp
Vap1TDispDisp EEENPSH −==
EVap
TTx
EVap
ET1
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Máquinas de Fluxo: Cavitação
✓ Determinação do NPSH (Net Positive Suction Head) 
Disponível
➢ Representa a disponibilidade da energia com que o líquido 
penetra na boca de entrada da bomba. 
➢ Nos sistemas de bombeamento denomina-se Altura Positiva 
Líquida de Aspiração (NPSH) Disponível. Trata-se da 
energia de segurança do sistema para não ocorrer 
cavitação.
VapLaaAtmDisp
Vap
2
11
Disp
hhhHNPSH
h
g*2
v
g*
p
NPSH
−−−=
−





+

=
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Máquinas de Fluxo: Cavitação
✓ Condições de aspiração e afluência em carga
➢ NPSH disponível na instalação (=NPSHdisp)
▪ Para determinar o valor do NPSH da instalação, o ponto de referencia é o 
centro da tubulação de aspiração da bomba.
▪ Em bombas normalizadas de carcaça espiral e disposição horizontal, entre 
o centro da tubulação de aspiração e o centro do rotor, a altura geodésica 
é igual a zero
▪ Qualquer desvio com relação ao indicado deverá ser tida em conta. 
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Máquinas de Fluxo: Cavitação
✓ Condições de aspiração e afluência em 
carga
➢ NPSH disponível na instalação 
(=NPSHdisp)
▪ Serviço em aspiração
– A bomba esta instalada num nível 
superior ao liquido a ser bombeado
– Com líquidos frios como p.ex. a água 
em depósito aberto, ou seja com
» pb = 1 bar (= 10
5 N/m')
» pe= 0 bar
»  = 1000 kg/m3
» g = 9,81 m/s2  10 m/s2
– v2/2g pode ser suprimido, devido à 
reduzida altura dinâmica na aspiração 
assim como no depósito.
– Na prática, a fórmula fica reduzida a: 
2
e b D e
disp v,s s,geo
p p p v
NPSH H H
* g 2 * g
+ −
= + − −

disp v,s s,geoNPSH 10 H H − −
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Máquinas de Fluxo: Cavitação
✓Melhora do NPSH da bomba
➢Em casos especiais cabe a possibilidade de 
acoplar um rotor auxiliar prévio (indutor) em frente 
ao rotor próprio da bomba centrífuga com o qual 
se reduz o NPSH requerido entre 50% e 60% do 
seu valor inicial. 
▪ Por exemplo quando requisitos de última hora obrigam a 
ampliações na instalação que reduzem o valor disponível 
inicialmente com resultado de um NPSH insuficiente, ou 
que razões do tipo econômico não permitem ampliar o 
NPSH da instalação. (Elevar o nível do depósito de 
alimentação) ou utilizar uma bomba de tamanho superior 
à velocidade específica (com seu correspondente menor 
NPSH requerido)
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Máquinas de Fluxo: Cavitação
✓Melhora do NPSH da bomba
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Máquinas de Fluxo
Associação de Bombas
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Máquinas de Fluxo ou Cinéticas : Bombas
✓ Sistemas Múltiplos das Bombas
➢ Duas ou mais bombas podem ser instaladas em série ou em 
paralelo. 
➢ Bombas em série
▪ A carga total combinada é a soma de cada bomba individualmente,ao 
mesmo fluxo. 
▪ A taxa de fluxo em cada bomba é a mesma. 
➢ Bombas em paralelo
▪ O fluxo combinado é a soma dos fluxos das bombas individualmente 
em pontos de carga igual. 
▪ O aumento da carga em cada bomba é idêntico. 
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Bombas Centrífugas em Série
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Bombas Centrífugas em Paralelo
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Máquinas de Fluxo ou Cinéticas : Bombas
✓ - Ponto de Trabalho
➢ Se colocarmos a curva do sistema, no mesmo gráfico onde estão as 
curvas características das bombas, obteremos o ponto de trabalho na 
intersecção da curva Q x H da bomba com a curva do sistema,
➢ Deve-se considerar que existem diversos recursos para modificar o 
ponto de trabalho e deslocar o ponto de encontro das curvas Q x H da 
bomba e do sistema.
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Transmissão de Potência
Polias e Correias
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Transmissão de Potência: Polias & Correias
✓ Polias: 
➢ Peças cilíndricas, movimentadas pela rotação do eixo do motor e pelas 
correias.
➢ Os tipos são determinados pela forma da superfície na qual a correia se 
assenta.
✓ Correias
➢ Elementos de máquinas que transmitem movimento de rotação entre dois eixos 
(motor e movido) por intermédio de polias. 
➢ São empregadas quando se pretende transmitir potência de um veio para o 
outro a uma distância em que o uso de engrenagens é inviável.
1. Aro plano;
2. Aro abaulado;
3. Escalonada de aro plano;
4. Escalonada de aro abaulado;
5. Com guia;
6. Em "V" simples;
7. Em "V" múltipla;
8. Para correia dentada;
9. Para correia redonda.
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Transmissão de Potência: Correias
✓ As correias mais usadas são planas e as trapezoidais. 
✓ A correia em V ou trapezoidal é inteiriça, fabricada com seção 
transversal em forma de trapézio. 
➢ Feita de borracha revestida de lona, formada no seu interior por cordoalha 
vulcanizada para suportar as forças de tração.
➢ O emprego da correia trapezoidal ou em V é preferível ao da correia plana 
porque:
▪ Praticamente não apresenta deslizamento;
▪ Permite o uso de polias bem próximas;
▪ Elimina os ruídos e os choques, típicos das correias emendadas (planas).
✓ Critérios de Seleção
➢ Potência a ser transmitida;
➢ Tipos de máquinas motoras e movidas;
➢ Velocidade angular da polia motora e da polia movida;
➢ Distância entre os eixos das polias.
▪ O comprimento máximo admitido deve ser igual a três o produto da soma dos 
diâmetros da polia motora e movida.
➢ Tipos de cargas:
▪ uniforme, choques moderados, choques intensos
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Transmissão de Potência
✓ É a transmissão de força e velocidade de um eixo a outro, uma 
vez que a potência é igual ao produto da força pela velocidade 
de deslocamento. 
✓ Os mecanismos de transmissão de potência são divididos em 
classes e gêneros.
➢ Gêneros
▪ Transmissão por contato direto:
– Rodas de aderência (embreagem)
– Engrenagens
▪ Transmissão por contato indireto:
– Intermediário rígido (biela e eixo cardan)
– Intermediário flexível (correia, cabo e corrente)
➢ Para grandes distâncias usam-se cabos e não correias. 
➢ O diâmetro de uma polia deve ser no máximo 5 vezes o diâmetro 
da outra, mais do que isto causa deslizamento (patinagem).
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Transmissão de Potência
➢Classes
▪ Relação de transmissão constante em sinal e grandeza e 
relação de transmissão constante em sinal e variável em 
grandeza:
▪ Relação de transmissão constante em grandeza e 
variável em sinal e relação de transmissão variável em 
sinal e grandeza
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Relação de Transmissão de Potência
✓ A velocidade linear v de uma correia é a mesma para todos os 
pontos periféricos, pois não há escorregamento. 
✓ Para a polia motora:
✓ onde 
➢ r1 é o raio da polia motora, 
➢ ϕ1 é o diâmetro da polia motora, 
➢ ω1 sua velocidade angular em rad/s e 
➢ n1 é a sua velocidade angular em rpm. 
✓ Analogamente, para a polia movida, temos:
✓ Onde
➢ r2 é o raio da polia movida, 
➢ ϕ2 é o diâmetro da polia movida, 
➢ ω2 sua velocidade angular em rad/s e 
➢ n2 é a sua velocidade angular em rpm. 
6060
2 111111
n**n
*r***r

===
6060
2 222222
n**n
*r***r

===
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Relação de Transmissão de Potência
6060
2 111111
n**n
*r***r

===
2211
222
222
6060
2
n*n*
n**n
*r***r
=

===
✓ Comparando as duas Equações, pois a velocidade angular é a mesma:
✓ A rotação de uma polia e o seu diâmetro são grandezas inversamente 
proporcionais.
✓ Frequência “f” e Período “T” de Rotação
1221
2211
22221111
1
22
2
T*rT*r
T
f
f*rf*r
f***r*rf***r*r
f**
=
=
=
====
=
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Relação de Transmissão de Potência
✓ Relação de transmissão “i “ a razão entre o diâmetro 
da polia movida pelo diâmetro da polia motora
✓ Transmissão do Momento Torsor ou Torque “
2
1
1
2
n
n
i
Motora
Movida
i
=
=


=
2
2
1
1
11
1
1
11
30
30
r
M
r
M
F
r*FM
r*n*
P*
F
r*
n*
*Fr**F*FP
t
t
t
ttt
==
=

=

===
M – Torque Motor
F – Força Tangencial
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Sistemas de Bombeamento
Variação de Velocidade
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Inversores: Acionamentos de velocidade variável
( )
p
S1f120
n
−
=
velocidade
frequência
Nº de pólos
escorregamento
Podemos observar que, para se variar a rotação do motor, deveremos ou 
variar a frequência (f), ou o escorregamento (S) ou o número de pólos.
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Inversores: Acionamentos de velocidade variável
Variação da frequência: 
2m IC 
f
U
m 
Como o torque precisa ser 
mantido adequado e este só 
se mantém constante se o 
fluxo (m) permanecer 
constante, teremos que variar 
então a tensão (U) juntamente 
com a frequência (f).
O torque (C) será 
constante se o fluxo (m) 
permanecer constante
K
f
U
=
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Inversores: Acionamentos de velocidade variável
Curva TORQUE x VELOCIDADE quando o motor é 
alimentado com frequência variável: 
Para cada frequência, teremos 
uma velocidade síncrona, 
mantendo-se uma diferença 
constante do escorregamento
Motor 4 pólos/60Hz/S=50rpm
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Inversores: Acionamentos de velocidade variável
✓ O que é um inversor de frequência?
O inversor de freqüência é um equipamento eletrônico 
desenvolvido para variar a velocidade de motores de indução 
trifásicos, composto de três etapas distintas: retificação, 
filtragem e inversão.
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Máquinas de Fluxo ou Cinéticas : Bombas
✓ Variação da Curva Característica do Sistema em decorrência do 
fechamento parcial da válvula de gaveta de controle da vazão
Rendimento: 31 %
Motor
( Rendimento 90 %)
Válvula
( 66 %)
Tubulação (69 %)
Acoplamento
( 98 %)
Trabalho Útil 31
( Unidades Arbitrárias)
Alimentação em Energia: 100 ( Unidades Arbitrárias)1
2
Fechamento 
da Válvula 
de Controle
Vazão [m3/h]
A
lt
u
ra
 M
a
n
o
m
é
tr
ic
a
 H
m
[m
c
a
]
Bomba
( 77 %)
Curva do Sistema 
posição 2
Curva do Sistema 
posição 1
Curva da Bomba 1-2
Rendimento : 31 %
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Máquinas de Fluxo ou Cinéticas : Bombas
✓ Economia de Energia decorrente do uso de inversor de 
freqüência no controle de velocidade para variação da 
vazão frente ao controle pela válvula
Rendimento : 61 %
Motor
(90 %)
Tubulação Eficiente 
com atrito interno
reduzido (87 %)
Acoplamento
( 99 %)
Trabalho Útil 31
( Unidades Arbitrárias)
Variador de
velocidade
(95 %)
Alimentação em Energia: 51 ( Unidades Arbitrárias)
Bomba Eficiente
( 83 %)
1
2
Fechamento 
da Válvula 
de Controle
Vazão [m3/h]
A
lt
u
ra
 M
a
n
o
m
é
tr
ic
a
 H
m
[m
c
a
]
Curva do Sistema 
posição 2
Curva do Sistema 
posição 1
Curva da Bomba 1-2
Nova Curva 
da Bomba
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Máquinas de Fluxo ou Cinéticas : Bombas
✓ Variação do ponto de trabalho da bomba sob redução da 
rotação para controle de pressão e economia potencial de 
energia
1
2
Fechamento 
da Válvula 
de Controle
Vazão [m3/h]
A
lt
u
ra
 M
a
n
o
m
é
tr
ic
a
 H
m
[m
c
a
]
3
Qo
Curva do Sistema 
posição 2
Curva do Sistema 
posição 1
Curva da Bomba 1-2
Curva da 
Bomba 3
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Central Hidrelétricas – Layout Físico
Casa de 
Força
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Central Hidrelétricas – Formas de Energia
Casa de 
Força
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PRINCÍPIOS DA GERAÇÃO HIDRELÉTRICA
POTÊNCIA 
•no Eixo: Pe = 9,81 . . Q . H . ht = Y . Q . ht (kW)
•Elétrica: Pel = Pe . hel (kW)
T G
Q
Total do Aproveitamento Hidráulico
P = 9,81 . . Q . H . hsa . ht . hel
P = Y . Q . hsa . ht . hel
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PRINCÍPIOS DA GERAÇÃO HIDRELÉTRICA
✓ A relação entre Ph e Pb fornece o rendimento 
do sistema de adução ou do conduto 
forçado:
✓ A relação entre Pel e Pe fornece o rendimento 
do gerador:
✓ A relação entre Pe e Ph fornece o rendimento 
da turbina:
✓ A relação entre Pel e Pb fornece o rendimento 
total do aproveitamento hidráulico:
bb
h
sa
H
H
P
P
==h
e
el
eg
P
P
=h=h
h
e
t
P
P
=h
tgsa
b
el
ag **
P
P
hhh==h
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Caracterização da Turbina numa Usina Hidrelétrica 
✓As turbinas hidráulicas convertem a energia 
potencial da água em energia cinética, pela 
utilização de diferenças entre dois níveis de 
água resultando numa altura (H). 
✓Essa diferença entre dois níveis de água é 
usualmente obtida com a construção de uma 
estrutura especial, chamada de Barragem, 
cuja altura dependerá das condições do 
local. 
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TIPO DE USINA 
✓QUANTO A SUA FUNÇÃO NO SISTEMA
➢Usinas de base
➢Usinas de ponta
➢Usinas de semi-base (ou Flutuantes)
➢Usinas Reversíveis 
▪ de Bombeamento
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José Agüera Soriano 2011 128
Canal de Acesso
Tubulação Forçada
Vertedouro
Central
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SEMI-BASE 
(FLUTUANTE) 
TIPO DE USINA: FUNÇÃO NO SISTEMA 
Reversível
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TURBINAS HIDRÁULICAS
Aplicadas às Micro, Pequenas e Mini 
Centrais
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Turbinas Hidráulicas
✓ A grande variedade de combinações de alturas e 
descargas em instalações hidrelétricas, possibilita 
um grande número e uma considerável variação das 
dimensões das turbinas. 
✓ As turbinas podem ser divididas em três classes:
TURBINA DE REAÇÃO
TURBINA DE AÇÃO
TURBINA DE GRAVIDADE
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Classificação 
Turbinas 
Hidráulicas
Micro Hidro Turbinas
Parafuso de Arquimedes Turbinas Rodas d’Água
Impulso ou Ação Reação Encadeada
Pelton
Turgo
Fluxo Cruzado
Francis
Propulsora
Kaplan
Tubular ou Sifão
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Tipos Históricos de Turbinas Hidráulicas ainda Operacionais
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TURBINA DE REAÇÃO
✓ O trabalho mecânico é obtido pela transformação 
das energias cinética e de pressão da água em 
escoamento, através do elemento do sistema 
rotativo hidromecânico (rotor).
✓ São as mais usuais,
✓ Cobrem uma faixa maior de alturas para as 
instalações hidrelétricas (2 a 100 m).
✓ Elas podem ser subdivididas em: 
➢ pás ajustáveis (Kaplan)
➢ pás fixas ou axial radial (Francis).
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TURBINA DE REAÇÃO
FRANCIS KAPLAN ou PROPULSORA
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TURBINA DE REAÇÃO
✓Caixa espiral
➢Guia a água totalmente e uniformemente por toda 
a circunferência através do distribuidor. 
✓Distribuidor
➢ Dirige a vazão de água diretamente para a roda e, 
regular a descarga através da turbina. 
✓Tubo de sucção
➢Nos mais diferentes tipos, reduz a velocidade da 
água na saída da turbina. 
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Turbina de 
Reação: 
KAPLAN
Fluxo de 
Água
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Turbina Hidráulica Tipo FRANCIS
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TURBINA DE GRAVIDADE
✓Elas podem ser subdivididas em:
➢Rodas d’água
➢Espirais
✓Nas turbinas de gravidade a água aciona a 
turbina pelo seu peso. 
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TURBINA DE AÇÃO
✓São aquelas em que o trabalho mecânico é 
obtido pela transformação da energia 
cinética da água em escoamento, através do 
elemento do sistema rotativo hidromecânico 
(rotor).
✓ Essas turbinas são operadas sobre pressão 
atmosférica por um jato livre. 
✓A altura encontrada é convertida em 
velocidade de queda
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TURBINA DE AÇÃO
✓Elas podem ser subdivididas em:
➢ conchas fixas (Pelton),
➢ jatos inclinados ou
➢ jatos duplos. 
✓Nas turbinas de ação a água não passa por 
toda a circunferência da roda, mas através 
dos jatos. 
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TURBINAS DE AÇÃO: PELTON
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TURBINA DE AÇÃO
✓Elas podem ser subdivididas em:
➢ conchas fixas (Pelton),
➢ jatos inclinados ou
➢ jatos duplos. 
✓Nas turbinas de ação a água não passa por 
toda a circunferência da roda, mas através 
dos jatos. 
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TURBINA PELTON
✓O gerador é acoplado diretamente ao eixo da 
turbina, por meio de acoplamentos rígidos. 
✓No caso da utilização de correias, para 
pequenas potências dá-se preferência as 
correias padronizadas em V, que são mais 
versáteis e baratas que as correias planas, 
recomendadas para potências maiores.
✓Basicamente a turbinaconsiste das 
seguintes partes consideradas principais: 
➢o rotor, o bocal e a caixa. 
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TURBINA PELTON
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Turbina Pelton
✓ u – Velocidade Tangencial;
✓ w – Velocidade Relativa;
✓ c – Velocidade Absoluta
✓ Fj – Força do Jato
 
 
 
)cos1(*
c
*)
c
1(*c
Q*
P
Y
)cos1(*
c
*)
c
1(*c*Q*F*P
cos1*)c(*Q*F
cos*)c()c(*Q*F
)cos*(c*Q*F
ccc
)cc(*Q*F
5
2
pá
5
2
j
5j
5j
5j
44u
54
5u4uj
b+

−=

=
b+

−==
b+−=
b−+−=
b+−=
+===
==
−=
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Turbina Pelton
✓ u – Velocidade Tangencial;
✓ w – Velocidade Relativa;
✓ c – Velocidade Absoluta
✓ Fj – Força do Jato
✓ Para o Máximo Trabalho:
( ) ( )5
2
5
2
pá
pá
cos1*cos1*
4
c
Y
Assim
2
c
0
c
Y
b+=b+=
==





 


✓ Pelo Princípio da Conservação da 
Massa:
c*
4
D
*Q
S*cQ
cc
SSS
S*c*S*c*Q*m
2
j
m
5m4m
54
55m44m
=
=
=
==
===
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TURBINA DE FLUXO CRUZADO
✓Também chamada de fluxo transversal, ou 
simplesmente Banki, tem o comportamento 
de uma turbina de ação, estando no mesmo 
nível de classificação das turbinas Pelton e 
Turgo.
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TURBINA DE FLUXO CRUZADO
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Componentes 
Básicos da 
Turbina Banki de 
Fluxo Cruzado
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TURBINAS: BANKI
✓ VALORES CARACTERÍSTICOS MÉDIOS DO CAMPO 
DE COBERTURA HIDRÁULICO DAS TURBINAS 
BANKI EM FUNÇÃO DO DIÂMETRO.
D x L [cm – cm] hmed [m] Qmed [l / s] n [rps] nqa h [%]
15 - 15 32 66 25,4 84 31
15 - 27 22 125 18,1 114 46
20 - 35 22 255 15,3 129 49
30 - 35 22 450 10,2 122 52
40 -45 17 725 6,6 121 66
40 - 65 17 1.100 6,6 149 57
40 - 100 17 1.650 6,6 183 55
D - diâmetro do rotor; L - altura do rotor e h - rendimento neste ponto 
h
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TURBINAS: BANKI
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O Rendimento em três 
Estágios da Turbina 
Banki
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TURBINA FRANCIS
✓Tem sido aplicada largamente, pelo fato das 
suas características cobrirem um grande 
campo de rotação específica. 
✓Atualmente se constroem para grandes 
aproveitamentos, podendo ultrapassar a 
potência unitária de 750 MW. 
✓Antigamente ( entre 1930 a 1950 ) não 
possuíam rendimentos superiores a 85%, 
hoje ultrapassam a 92% para grandes 
máquinas. 
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TURBINA FRANCIS
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TURBINA FRANCIS
✓A turbina Francis pode ser executada 
tanto com eixo na horizontal quanto na 
vertical. 
➢Horizontal: 
▪ a roda trabalhando verticalmente é utilizada 
para pequenas unidades, nesse caso apoiados 
em mancais de deslizamentos radiais (não 
utiliza mancais guia)
➢Vertical: 
▪ utiliza-se mancais guias, além da utilização do 
mancal de escora axial.
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TURBINA AXIAL – KAPLAN
✓Também chamada de propeller consiste 
basicamente de um rotor, similar a hélice de 
navio, ajustada internamente na continuação 
de um conduto, com o eixo saindo do 
conjunto no ponto em que a tubulação muda 
de direção. 
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TURBINA AXIAL 
– KAPLAN
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Turbina Fluxo Cruzado x Kaplan
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TURBINA TIPO “S”
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TURBINAS BULBO
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Turbina KAPLAN
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Corte Longitudinal e Cilíndrico em Turbinas Tipo 
Hélice: KAPLAN, SIFÃO, S
1,2,3,4,5 e 6 – Pontos de Escoamento
D, Di e De – Diâmetros genérico, interno e externo
u – velocidade tangencial
w – Velocidade relativa
c – Velocidade Absoluta
cu – projeção de c na direção u
cm – projeção de c na direção meridional (longitudinal)
 – velocidade angular
a e b - ângulos
f – passo 
Fu – projeção da força resultante na direção u
Fm – projeção da força resultante na direção 
meridional (Axial)
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Protipagem de Modelos: Semelhanças e 
Grandezas Dimensionais
Modelo Real
Modelo 
Reduzido
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Protipagem de Modelos: Semelhanças e 
Grandezas Dimensionais
Modelo Real
[p]
Modelo 
Reduzido
[m]
D4
D5
b5
b4
D4
D5
b5
b4
V v
u
vnVn
vuVu
a b
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Semelhanças e Grandezas Dimensionais
✓ Semelhança Geométrica – Geometrical Similarity
➢ Proporcionalidade das dimensões lineares
➢ Igualdade dos ângulos
➢ Nenhuma omissão ou adição de partes
✓ Semelhança Cinemática- Kenetic Similarity
mp
mp
G
m
p
m
p
m
p
m
p
te.ck
b
b
D
D
b
b
D
D
55
44
4
4
4
4
5
5
5
5
b=b
b=b
→====
V u
u
unVn
uuVu
a b
Fator de Escala ou
Escala Geométrica
te.ck
b
b
u
u
V
V
V
V
c
m
p
mn
pn
mn
pn
mn
pn
→====
5
5
5
5
4
4
5
5
Escala de Velocidades
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Semelhanças e Grandezas Dimensionais
✓ Semelhança Dinâmica – Dynamic Similarity
➢ Dinamicamente ocorre semelhança quando:
▪ = Número de Reynolds
▪ = Número de Mach
▪ = Número de Froude
▪ = Número de Weber
▪ = Número de Euler
te.ck
F
F
F
F
D
atrito
atrito
inércia
inércia
m
p
m
p
→== Escala Dinâmica
ne H*g**
D
R 2

=
 - Viscosidade Cinemática [m2/s]
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Semelhanças e Grandezas Dimensionais
✓Correções do Rendimento
➢Fórmulas Empíricas
▪ Bombas – Fórmula de Moddy
– htp – Rendimento Total Ótimo do Protótipo
– htm – Rendimento Total Ótimo do Modelo
– Dm – Diâmetro Característico do Modelo
» D5 – Rotores Radiais
» Dc – Rotores Axiais
– Dp – Diâmetro Característico do Protótipo
– Hm – Altura de Elevação do Modelo
– Hp – Altura de Elevação do Protótipo
10
1
4
1
1
1

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



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

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Curso de Engenharia Elétrica
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Máquinas de Fluxo ou Cinéticas : Bombas
✓ Classificação do tipo da Turbobomba
➢ a) lentas (ns < 90)
▪ Bombas centrífugas puras, com pás 
cilíndricas, radiais, para pequenas e médias 
descargas, sendo 2,0*d1 < d2 < 2,5*d1.
➢ b) normais (90 < ns < 130)
▪ Bombas semelhantes as anteriores, com 
1,5*d1 < d2 < 2,0*d1.
➢ c) rápidas (130 < ns < 220)
▪ Possuem pás de dupla curvatura; 
descargas médias e com 1,3*d1 < d2 < 1,8*d1.
➢ d) extra-rápidas ou hélio centrífugas (220 < 
ns < 440)
▪ Possuem pás de dupla curvatura, descargas 
médias e grandes e com 1,3*d1 < d2 < 1,5*d1
➢ e) helicoidais (440 < ns < 500)
▪ Para descargas grandes e com d2≅1,2*d1.