190099330_Q1

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Universidade de Brasília
Faculdade de Tecnologia
Departamento de Engenharia Elétrica
Nome: Fábio Oliveira Guimarães
Matrícula: 19/0099330 
Disciplina e Turma: Princípios de Comunicação – Turma A 
Questionário Semanal 1 – 24/08/2020
Questão 1 ____________________________________________________________________
Considere o sinal g(t) mostrado na Figura 1.
(a) (1,00) Esboce y (t )=3g (
1−t
2
) Justifique apropriadamente sua resposta ;
O esboço do sinal y(t) será realizado em quatro etapas: Deslocamento Temporal, Escalonamento
Temporal, Reversão Temporal e Ganho de Amplitude. Para facilitar o passo a passo descrito
anteriormente, rearranjamos o y(t) de tal forma: y (t )=3g (
−t
2
+
1
2
)
1 – Deslocamento Temporal: Atrasa-se o sinal em 0,5 unidades de tempos conforme esboço 1
g1(t)=g (t+
1
2
) (1)
Esboço 1 – Deslocamento Temporal
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2 – Escalonamento Temporal: Estendemos a escala temporal por 2 conforme esboço 2
g2(t)=g1(
1
2
t) (2)
Esboço 2 – Escalonamento Temporal
3 – Reversão Temporal: Revertemos o esboço no tempo, trazendo os valores negativos para o
eixo positivo conforme esboço 3
g3(t )=g2(−t) (3)
Esboço 3 - Reversão Temporal
4 – Ganho de Amplitude: Por último, multiplicamos a amplitude por 3 conforme esboço 4
y (t )=3g3(t) (4)
Esboço 4 – Ganho de Amplitude
Simplificando a equação 4 encontramos o y(t) solicitado
y (t )=3g (
1−t
2
) (5)
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(b) (2,00) Determine Ey , a energia média de y(t) ;
Para o cálculo da energia média do sinal y(t) utiliza-se a equação 6 que é a integral do módulo do
sinal y(t) no tempo.
E y=∫
−∞
∞
|y (t)|2dt (6)
A integral de y(t) é a área abaixo da curva evidenciada no esboço 4. Como a curva está toda
acima do eixo x, não é necessário se preocupar com o módulo, além disso só existem valores de
y(t) diferentes de zero entre o intervalo [-1,3].
É possível verificar que a área abaixo da curva y(t) é simétrica no intervalo de tempo de [-1,1] e
[1,3], logo podemos calcular apenas a parte crescente de y(t) e multiplicarmos por 2 o resultado,
conforme equação 7.
E y=∫
−1
3
y (t)2dt=2∫
−1
1
(1,5 t+1,5)2dt (7)
 E y=2∫
−1
1
9
4
(t 2+2 t+1)dt (8)
 E y=4,5(
t 3
3
+t 2+ t)entre(−1,1) (9)
 E y=4,5((
13
3
+12+1)−(
−13
3
+−12−1)) (10)
 E y=12 (11)
(c) (2,00) Determine Py , a potência média de y(t) ;
A potência é calculada conforme equação 12 que é Ey dividido pelo período do sinal, no caso de
y(t) o período é 3 - (-1) = 4.
 P y= lim
T→∞
∫
−T /2
T /2
|y (t )|2dt (12)
Logo a potência Py é 
 P y=
E y
T
=12/ 4=3 (13)
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(d) (1,00) Determine o valor de ∫
−∞
∞
g( t)δ(−2 t−1)dt .
O sinal g(t) é a onda triangular evidencia na figura 1, para o cálculo da integral acima temos que
deslocar o sinal g(t) levando em consideração δ(−2t−1), para isso utiliza-se a equação 14
δ(−2t−1)=
1
|−2|
δ( t+
1
2
) (14)
assumindo δ( t−t0) t 0=−(
1
2
) assim temos:
1
|−2|∫−∞
∞
g(
−1
2
)δ(t+
1
2
)dt=
1
2
g(
−1
2
) (15)
Como g(-1/2) = 0,5 temos que 0,5/0,5 = 1
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Questão 2 ____________________________________________________________________
Considere a função x(t) mostrada na Figura 2.
Deseja-se aproximar tal função no intervalo dado por −1 ≤ t ≤ 1 utilizando o seguinte conjunto
de polinômios: φ1(t)=1 ,φ2( t)=t eφ3(t)=
3
2
t2−
1
2
,
(a) (1,00) O conjunto de polinômios em questão forma uma base ortogonal para a aproximação?
Em caso afirmativo, tal base é ortonormal?
Para os polinômios φ1(t) ,φ2(t )e φ3(t) serem ortogonais o produto interno, dentro do intervalo
de tempo da onda {-1,1}, deve ser 0 considerando par a par.
∫
−1
1
φ1(t)φ2(t)dt=∫
−1
1
1. t .dt=0 (16)
∫
−1
1
φ1(t)φ3(t )dt=∫
−1
1
1.(
3
2
t2−
1
2
) .dt=0 (17)
∫
−1
1
φ2(t)φ3(t )dt=∫
−1
1
t .(
3
2
t 2−
1
2
).dt=0 (18)
Como o produto interno é 0 par a par as funções de base φ(t ) são mutuamente ortogonais. Agora
para dizermos que são ortonormais o produto interno de cada base com ela mesma deve ser igual
a 1, vamos analisar o φ1(t)
∫
−1
1
φ1(t)φ1(t )dt=∫
−1
1
1.1 .dt=0 (19)
Logo, não são ortonormais.
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(b) (2,00) Determine o valor dos coeficientes da aproximação utilizando o critério de minimizar
a energia do erro da aproximação;
Como as bases são mutuamente ortogonais utiliza-se a equação 20 para encontrar os coeficientes
que minimização a energia do erro de aproximação.
C k=
1
Eφk
∫
−1
1
f (t)φk∗(t )dt (20)
Para o cálculo da Energia utiliza-se a equação 21
E y=∫
−∞
∞
|y (t)|2dt (21)
Dessa forma temos que Eφ1(t) = 2, Eφ2(t) = 2/3 e Eφ3(t ) = 2/5
Substituindo os valores de Energia na equação 20 encontramos os valores de coeficiente 
C1=
1
2
∫
−1
1
f (t)1dt=
1
2
.0=0 (22)
C2=
3
2
∫
−1
1
f (t) t .dt=
3
2
.−1=
−3
2
 (23)
C1=
5
2
∫
−1
1
f (t )1dt=
5
2
.0=0 (24)
(c) (1,00) Calcule a energia do erro da aproximação segundo o critério utilizado no item “b”.
Para determinar o a energia do erro de aproximação, calcularemos apenas para C2 conforme equação 25.
Ee=∫
−1
1
|x (t)−
−3
2
t|
2
dt=
1
2
 (25)
Por conta do comportamento do sinal da figura 2 e o módulo do cálculo da Energia, foi realizado
a integral por segmento da curva, primeiro de {-1,0} e depois de {0,1} gerando uma energia de
erro de 0,5.
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