Exercícios resolvidos Nise

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Dado o circuito elétrico da figura 1. 
 
 
 
 
 
 
a) Escreva a equação diferencial do circuito para v(t) = u(t), um degrau 
unitário. 
b) Resolva a equação diferencial para a corrente, i(t), considerando que 
não haja energia inicial no circuito. 
c) Faça um gráfico de sua solução para R/L = 1. 
 
Resolução 
a) ( )
di
L Ri u t
dt
+ = 
b) Suponha que uma solução de estado estacionário iss = B. Substituindo 
isso na equação diferencial resulta RB = 1, ao qual B =
1
R
. A equação 
característica é LM+R=0 do qual 
1
M
R
= − . Assim a solução geral é: 
( )
1
R
t
Li t Ae
R
−
= + 
Resolvendo as constantes arbitrarias, 
( )
1
0i A
R
= + . 
 Assim 
1
A
R
= − 
A solução final é: 
( )
1 1
R
t
Li t e
R R
−
= − + 
 
Reescrevendo, 
( )
1 1 1
1
R R
t t
L Li t e e
R R R
− − 
= − → − 
 
 
 
c) 
 
Repita o Problema anterior utilizando o circuito mostrado na Figura 2. Admita 
que R = 2 Ω, L = 1 H e 1/LC = 25 
 
 
 
 
 
 
Resolução. 
a) 
1
( ) (0) ( )c
di
L i t dt v Ri v t
dt C
+ + + = 
Reescrevendo temos: 
1
( ) (0) ( )c
di
L Ri i t dt v v t
dt C
+ + + = 
b) Substituindo os valores temos: 
2 25 ( ) 0 ( )
di
i i t dt v t
dt
+ + + = 
2 25 ( )
di
i it v t
dt
+ + = →derivando novamente i em relação a t temos: 
2
2
2 25 0
d i di
i
dtdt
+ + = 
Escrevendo a equação característica e fatoração 
: 
" 2 ' 25 0i i i+ + = 
2 2 25 0
² 2 1 24 0
( 1)² 24
( 1)² 24
1 24
1 24
M M
M M
M
M
M
M i
+ + =
+ + + =
+ +
+ = −
+ =  −
= −  
 
A equação geral e sua derivada é: 
( ) ( )cos 24 24t ti Ae t Be sen t− −= + 
( ) ( ) ( ) ( )24 cos 24 24 24t t
di
A B e t A B e sen t
dt
− −= − + − + 
Usando ( )
( )0 1
0 0; (0) 1
Lvdi
i
dt L L
= = = = 
( )0 0i A= = 
( )
`
0 24 1
di
A B
dt
= − + = 
Assim 
1
0
24
A e B= = 
Logo a solução é: 
( )
1
24
24
ti e sen t−= 
 
c) 
 
 
 
 
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