PLE2020 1--03-transcal_Convecção_ForcadaInterna

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Transmissão de Calor - DEM/EE/UFRJ – PLE 2020.1 
PLE: 24/08. --- 14/11 (12 semanas)
1ª parte: Gabriel Verissimo (24/08 --- 2/10)
2ª parte: Carolina Cotta (5/10 --- 14/11)
Média 5,0 pra aprovação
Informações iniciais:
Aulas Virtuais pela plataforma Google Meet
Terças/Quintas. 15h – 17h
NÃO ESTÁ AUTORIZADA A GRAVAÇÃO DAS AULAS
e/ou
DISPONIBILIZAÇÃO DESTE MATERIAL A TERCEIROS
Ementa do Curso
Transmissão de Calor - DEM/EE/UFRJ – PLE 2020.1 
1) Condução de Calor
1.1) Condução de calor permanente
1.2) Condução de calor transiente
2) Convecção de Calor
2.1) Convecção forçada externa
2.2) Convecção forçada interna
2.3) Convecção Natural
3) Trocadores de Calor
4) Radiação
2ª parte do curso (5/10 --- 14/11)
CONVECÇÃO FORÇADA 
INTERNA
Prof. Carolina P. Naveira Cotta
Programa de Engenharia Mecânica, COPPE
carolina@mecanica.coppe.ufrj.br
Convecção : Classificação
4
Convec. 
Mista
Escoam. Interno
Co
nv
ec
. F
or
ça
da
Co
nv
ec
. N
at
ur
al
Escoam. Externo
Convecção : Classificação
5
Escoam. Externo Escoam. Interno
Co
nv
ec
. F
or
ça
da
Co
nv
ec
. N
at
ur
al
Co
nv
ec
. F
or
ça
da
Valores típicos esc. interno
em dutos circulares 
Re < 2100-2300 Laminar
2300 < Re < 10 000 Transição
10 000 < Re Turbulento
Convecção Forçada Interna
REGIÃO DE ENTRADA HIDRODINAMICA :
A região da entrada do duto até o ponto em que a camada limite cinética se funde na parte central é chamada de REGIÃO DE 
ENTRADA HIDRODINAMICA, assim o seu comprimento é chamado de COMPRIMENTO DE ENTRADA 
HIDRODINAMICA, 𝐿!.
O escoamento na região de entrada é chamado ESCOAMENTO EM DESENVOLVIMENTO HIDRODINAMICO, o perfil 
de velocidade esta se desenvolvendo e ainda varia ao longo do comprimento do duto.
A região além da entrada hidrodinâmica é chamada REGIÃO DE ESCOAMENTO DESENVOLVIDO 
HIDRODINAMICAMENTE, nesta região o perfil de velocidade esta completamente desenvolvido e não se altera mais ao 
longo do comprimento do duto
Convecção Forçada Interna
A região da entrada do duto até o ponto em que a camada limite cinética se funde na parte central é chamada de REGIÃO DE 
ENTRADA HIDRODINAMICA, assim o seu comprimento é chamado de COMPRIMENTO DE ENTRADA 
HIDRODINAMICA, 𝐿!.
O escoamento na região de entrada é chamado ESCOAMENTO EM DESENVOLVIMENTO HIDRODINAMICO, o perfil 
de velocidade esta se desenvolvendo e ainda varia ao longo do comprimento do duto.
A região além da entrada hidrodinâmica é chamada REGIÃO DE ESCOAMENTO DESENVOLVIDO 
HIDRODINAMICAMENTE, nesta região o perfil de velocidade esta completamente desenvolvido e não se altera mais ao 
longo do comprimento do duto
REGIÃO DE ENTRADA HIDRODINAMICA :
Convecção Forçada Interna
A região da entrada do duto até o ponto em que a camada limite cinética se funde na parte central é chamada de REGIÃO DE 
ENTRADA HIDRODINAMICA, assim o seu comprimento é chamado de COMPRIMENTO DE ENTRADA 
HIDRODINAMICA, 𝐿!.
O escoamento na região de entrada é chamado ESCOAMENTO EM DESENVOLVIMENTO HIDRODINAMICO, o perfil 
de velocidade esta se desenvolvendo e ainda varia ao longo do comprimento do duto.
A região além da entrada hidrodinâmica é chamada REGIÃO DE ESCOAMENTO DESENVOLVIDO
HIDRODINAMICAMENTE, nesta região o perfil de velocidade esta completamente desenvolvido e não se altera mais ao 
longo do comprimento do duto
REGIÃO DE ENTRADA HIDRODINAMICA :
Convecção Forçada Interna
REGIÃO DE ENTRADA TÉRMICO :
A região da entrada do duto até o ponto em que a camada limite térmica se funde na parte central é chamada de REGIÃO DE 
ENTRADA TERMICA, assim o seu comprimento é chamado de COMPRIMENTO DE ENTRADA TERMICO, 𝐿".
O escoamento na região de entrada é chamado ESCOAMENTO EM DESENVOLVIMENTO TERMICO, o perfil de temperatura 
esta se desenvolvendo e “FORMA” DE TROCAR CALOR (isto é: o Coef. de Transf. de Calor ou Numero de Nusselt) ainda varia 
ao longo do comprimento do duto.
A região além da entrada térmica é chamada REGIÃO DE ESCOAMENTO DESENVOLVIDO TERMICAMENTE, nesta região 
“FORMA” DE TROCAR CALOR (isto é: o Coef. de Transf. de Calor ou Numero de Nusselt) não se altera mais ao longo do 
comprimento do duto.
Convecção Forçada Interna
A região da entrada do duto até o ponto em que a camada limite térmica se funde na parte central é chamada de REGIÃO DE 
ENTRADA TERMICA, assim o seu comprimento é chamado de COMPRIMENTO DE ENTRADA TERMICO, 𝐿".
O escoamento na região de entrada é chamado ESCOAMENTO EM DESENVOLVIMENTO TERMICO, o perfil de temperatura 
esta se desenvolvendo e “FORMA” DE TROCAR CALOR (isto é: o Coef. de Transf. de Calor ou Numero de Nusselt) ainda varia 
ao longo do comprimento do duto.
A região além da entrada térmica é chamada REGIÃO DE ESCOAMENTO DESENVOLVIDO TERMICAMENTE, nesta região 
“FORMA” DE TROCAR CALOR (isto é: o Coef. de Transf. de Calor ou Numero de Nusselt) não se altera mais ao longo do 
comprimento do duto.
REGIÃO DE ENTRADA TÉRMICO :
Convecção Forçada Interna
A região da entrada do duto até o ponto em que a camada limite térmica se funde na parte central é chamada de REGIÃO DE 
ENTRADA TERMICA, assim o seu comprimento é chamado de COMPRIMENTO DE ENTRADA TERMICO, 𝐿".
O escoamento na região de entrada é chamado ESCOAMENTO EM DESENVOLVIMENTO TERMICO, o perfil de temperatura 
esta se desenvolvendo e “FORMA” DE TROCAR CALOR (isto é: o Coef. de Transf. de Calor ou Numero de Nusselt) ainda varia 
ao longo do comprimento do duto.
A região além da entrada térmica é chamada REGIÃO DE ESCOAMENTO DESENVOLVIDO TERMICAMENTE, nesta região 
“FORMA” DE TROCAR CALOR (isto é: o Coef. de Transf. de Calor ou Numero de Nusselt) não se altera mais ao longo do 
comprimento do duto.
REGIÃO DE ENTRADA TÉRMICO :
Convecção Forçada Interna
Desenvolvimento simultaneo
Pr > 1 
(liquidos em geral)
x
y
δ (y) δ T(y)
Convecção Forçada Interna
Desenvolvimento simultaneo
Pr > 1 
(liquidos em geral)
x
y
δ (y) δ T(y)
x
y
δ (y)δ T(y)
Desenvolvimento simultaneo
Pr < 1 
(gases em geral)
Convecção Forçada Interna
Desenvolvimento simultaneo
Pr > 1 
(liquidos em geral)
x
y
δ (y) δ T(y)
x
y
δ (y)δ T(y)
Desenvolvimento simultaneo
Pr < 1 
(gases em geral)
x
y
δ (y) δ T(y)
Desenvolvido 
hidrodinamicamente e 
em desenvolvimento 
termico
Convecção Forçada Interna
Resumindo ...
Se ... 𝐿 < 𝐿# e 𝐿 < 𝐿" em DESENSVOLVIMENTO SIMULTANEO
Convecção Forçada Interna
Resumindo ...
Se ... 𝐿 < 𝐿# e 𝐿 < 𝐿" em DESENSVOLVIMENTO SIMULTANEO
Se ... 𝐿 > 𝐿# e 𝐿 < 𝐿" DESENVOLVIDO HIDRODINAMICAMENTE
em DESENSVOLVIMENTO TÉRMICO
Convecção Forçada Interna
Resumindo ...
Se ... 𝐿 < 𝐿# e 𝐿 < 𝐿" em DESENSVOLVIMENTO SIMULTANEO
Se ... 𝐿 > 𝐿# e 𝐿 < 𝐿" DESENVOLVIDO HIDRODINAMICAMENTE
em DESENSVOLVIMENTO TÉRMICO
Se ... 𝐿 > 𝐿# e 𝐿 > 𝐿" COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO
Convecção Forçada Interna
Resumindo ...
Se ... 𝐿 < 𝐿# e 𝐿 < 𝐿" em DESENSVOLVIMENTO SIMULTANEO
Se ... 𝐿 > 𝐿# e 𝐿 < 𝐿" DESENVOLVIDO HIDRODINAMICAMENTE
em DESENSVOLVIMENTO TÉRMICO
Se ... 𝐿 > 𝐿# e 𝐿 > 𝐿" COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO
Convecção Forçada Interna
Resumindo ...
Se ... 𝐿 < 𝐿# e 𝐿 < 𝐿" em DESENSVOLVIMENTO SIMULTANEO
Se ... 𝐿 > 𝐿# e 𝐿 < 𝐿" DESENVOLVIDO HIDRODINAMICAMENTE
em DESENSVOLVIMENTO TÉRMICO
Se ... 𝐿 > 𝐿# e 𝐿 > 𝐿" COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO
Convecção Forçada Interna
FLUXO PRESCRITO: 𝑞$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Quando o escoamento esta 
hidrodinamicamente e termicamente 
desenvolvido dizemos que ele esta 
COMPLETAMENTE 
DESENVOLVIDO.
ℎ! =
𝑞"
𝑇"(𝑥) − 𝑇#(𝑥)
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
ℎ! =
𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
(𝑇"𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 ⁄𝑐 𝑥 ; 𝑇#𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 ⁄𝑐 𝑥) 𝑚𝑎𝑠 𝑜 ∆𝑇 é 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
c
TEMP. PRESCRITA: 𝑇$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Convecção Forçada Interna
FLUXO PRESCRITO: 𝑞$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Quando o escoamento esta 
hidrodinamicamente e termicamente 
desenvolvido dizemos que ele esta 
COMPLETAMENTE 
DESENVOLVIDO.
ℎ! =
𝑞"
𝑇"(𝑥) − 𝑇#(𝑥)
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
ℎ! =
𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
(𝑇"𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 ⁄𝑐 𝑥 ; 𝑇#𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎⁄𝑐 𝑥) 𝑚𝑎𝑠 𝑜 ∆𝑇 é 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
TEMP. PRESCRITA: 𝑇$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Convecção Forçada Interna
FLUXO PRESCRITO: 𝑞$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Quando o escoamento esta 
hidrodinamicamente e termicamente 
desenvolvido dizemos que ele esta 
COMPLETAMENTE 
DESENVOLVIDO.
ℎ! =
𝑞"
𝑇"(𝑥) − 𝑇#(𝑥)
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
ℎ! =
𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
(𝑇"𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 ⁄𝑐 𝑥 ; 𝑇#𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 ⁄𝑐 𝑥) 𝑚𝑎𝑠 𝑜 ∆𝑇 é 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
TEMP. PRESCRITA: 𝑇$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Convecção Forçada Interna
FLUXO PRESCRITO: 𝑞$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Quando o escoamento esta 
hidrodinamicamente e termicamente 
desenvolvido dizemos que ele esta 
COMPLETAMENTE 
DESENVOLVIDO.
ℎ! =
𝑞"
𝑇"(𝑥) − 𝑇#(𝑥)
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
ℎ! =
𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
(𝑇"𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 ⁄𝑐 𝑥 ; 𝑇#𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 ⁄𝑐 𝑥) 𝑚𝑎𝑠 𝑜 ∆𝑇 é 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
TEMP. PRESCRITA: 𝑇$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
ℎ! =
)𝑞"(𝑥
𝑇" − 𝑇#(𝑥)
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
ℎ! =
𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 ⁄𝑐 𝑥
(𝑇"𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. ; 𝑇#𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 ⁄𝑐 𝑥)∆𝑇 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎
= 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Convecção Forçada Interna
FLUXO PRESCRITO: 𝑞$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Quando o escoamento esta 
hidrodinamicamente e termicamente 
desenvolvido dizemos que ele esta 
COMPLETAMENTE 
DESENVOLVIDO.
ℎ! =
𝑞"
𝑇"(𝑥) − 𝑇#(𝑥)
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
ℎ! =
𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
(𝑇"𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 ⁄𝑐 𝑥 ; 𝑇#𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 ⁄𝑐 𝑥) 𝑚𝑎𝑠 𝑜 ∆𝑇 é 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
TEMP. PRESCRITA: 𝑇$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
ℎ! =
)𝑞"(𝑥
𝑇" − 𝑇#(𝑥)
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
ℎ! =
𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 ⁄𝑐 𝑥
(𝑇"𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. ; 𝑇#𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 ⁄𝑐 𝑥)∆𝑇 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎
= 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Convecção Forçada Interna
Analise térmica geral :
Onde:
𝑄: é a taxa de transferência de calor [𝑊]
�̇� : é a vazão mássica [$%
&
]
𝑐' : calor especifico [
(
$% )
]
𝑇* : temperatura de entrada (INLET) [℃]
𝑇+ : temperatura de saída (EXIT) [℃]
Convecção Forçada Interna
Analise térmica geral : TEMP. PRESCRITA: 𝑇$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
𝑄 = ℎ 𝐴% ∆𝑇&'= �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*)
𝑇) = 𝑇$ − 𝑇$ − 𝑇* exp[−
ℎ 𝐴%
�̇�𝑐(
]
Temperatura 
de saída (EXIT) [℃] :
FLUXO PRESCRITO: 𝑞$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑇) = 𝑇* +
𝑞$ 𝐴%
�̇�𝑐(
𝑇$(𝑥) = 𝑇+(𝑥) +
𝑞$
ℎ,
Temperatura 
de saída (EXIT) ℃ :
Temperatura 
de parede ℃ :
𝑄 = 𝑞$ 𝐴% = �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*)
Balanço 
de energia 𝑊 :
Balanço 
de energia 𝑊 :
𝑇+)- =
𝑇) + 𝑇*
2
Propriedades devem ser 
avaliadas na temperatura meda 
da massa de fluido:
∆𝑇!"=
∆𝑇# − ∆𝑇$
ln '∆𝑇# ∆𝑇$
Onde:
Convecção Forçada Interna
Analise térmica geral : TEMP. PRESCRITA: 𝑇$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
𝑄 = ℎ 𝐴% ∆𝑇&'= �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*)
𝑇) = 𝑇$ − 𝑇$ − 𝑇* exp[−
ℎ 𝐴%
�̇�𝑐(
]
Temperatura 
de saída (EXIT) [℃] :
FLUXO PRESCRITO: 𝑞$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑇) = 𝑇* +
𝑞$ 𝐴%
�̇�𝑐(
𝑇$(𝑥) = 𝑇+(𝑥) +
𝑞$
ℎ,
Temperatura 
de saída (EXIT) ℃ :
Temperatura 
de parede ℃ :
𝑄 = 𝑞$ 𝐴% = �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*)
Balanço 
de energia 𝑊 :
Balanço 
de energia 𝑊 :
𝑇+)- =
𝑇) + 𝑇*
2
Propriedades devem ser 
avaliadas na temperatura meda 
da massa de fluido:
∆𝑇!"=
∆𝑇# − ∆𝑇$
ln '∆𝑇# ∆𝑇$
Onde:
Convecção Forçada Interna
Analise térmica geral : TEMP. PRESCRITA: 𝑇$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
𝑄 = ℎ 𝐴% ∆𝑇&'= �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*)
𝑇) = 𝑇$ − 𝑇$ − 𝑇* exp[−
ℎ 𝐴%
�̇�𝑐(
]
Temperatura 
de saída (EXIT) [℃] :
FLUXO PRESCRITO: 𝑞$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑇) = 𝑇* +
𝑞$ 𝐴%
�̇�𝑐(
𝑇$(𝑥) = 𝑇+(𝑥) +
𝑞$
ℎ,
Temperatura 
de saída (EXIT) ℃ :
Temperatura 
de parede ℃ :
𝑄 = 𝑞$ 𝐴% = �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*)
Balanço 
de energia 𝑊 :
Balanço 
de energia 𝑊 :
𝑇+)- =
𝑇) + 𝑇*
2
Propriedades devem ser 
avaliadas na temperatura meda 
da massa de fluido:
∆𝑇!"=
∆𝑇# − ∆𝑇$
ln '∆𝑇# ∆𝑇$
Onde:
Convecção Forçada Interna
Analise térmica geral : TEMP. PRESCRITA: 𝑇$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
𝑄 = ℎ 𝐴% ∆𝑇&'= �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*)
𝑇) = 𝑇$ − 𝑇$ − 𝑇* exp[−
ℎ 𝐴%
�̇�𝑐(
]
Temperatura 
de saída (EXIT) [℃] :
FLUXO PRESCRITO: 𝑞$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑇) = 𝑇* +
𝑞$ 𝐴%
�̇�𝑐(
Temperatura 
de saída (EXIT) ℃ :
Temperatura 
de parede ℃ :
𝑄 = 𝑞$ 𝐴% = �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*)
Balanço 
de energia 𝑊 :
Balanço 
de energia 𝑊 :
𝑇+)- =
𝑇) + 𝑇*
2
Propriedades devem ser 
avaliadas na temperatura meda 
da massa de fluido:
∆𝑇!"=
∆𝑇# − ∆𝑇$
ln '∆𝑇# ∆𝑇$
Onde:𝑞$ = ℎ, 𝑇$ 𝑥 − 𝑇+ 𝑥 → 𝑇$(𝑥) = 𝑇+(𝑥) +
𝑞$
ℎ,
Convecção Forçada Interna
Analise térmica geral : TEMP. PRESCRITA: 𝑇$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
𝑄 = ℎ 𝐴% ∆𝑇&'= �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*)
𝑇) = 𝑇$ − 𝑇$ − 𝑇* exp[−
ℎ 𝐴%
�̇�𝑐(
]
Temperatura 
de saída (EXIT) [℃] :
FLUXO PRESCRITO: 𝑞$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑇) = 𝑇* +
𝑞$ 𝐴%
�̇�𝑐(
Temperatura 
de saída (EXIT) ℃ :
Temperatura 
de parede ℃ :
𝑄 = 𝑞$ 𝐴% = �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*)
Balanço 
de energia 𝑊 :
Balanço 
de energia 𝑊 :
𝑇+ =
𝑇) + 𝑇*
2
Propriedades devem ser 
avaliadas na temperatura 
media da massa de fluido:
∆𝑇!"=
∆𝑇# − ∆𝑇$
ln '∆𝑇# ∆𝑇$
Onde:𝑞$ = ℎ, 𝑇$ 𝑥 − 𝑇+ 𝑥 → 𝑇$(𝑥) = 𝑇+(𝑥) +
𝑞$
ℎ,
Convecção Forçada Interna
Analise térmica geral : TEMP. PRESCRITA: 𝑇$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
𝑄 = ℎ 𝐴% ∆𝑇&'= �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*)
𝑇) = 𝑇$ − 𝑇$ − 𝑇* exp[−
ℎ 𝐴%
�̇�𝑐(
]
Temperatura 
de saída (EXIT) [℃] :
FLUXO PRESCRITO: 𝑞$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑇) = 𝑇* +
𝑞$ 𝐴%
�̇�𝑐(
Temperatura 
de saída (EXIT) ℃ :
Temperatura 
de parede ℃ :
𝑄 = 𝑞$ 𝐴% = �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*)
Balanço 
de energia 𝑊 :
Balanço 
de energia 𝑊 :
𝑇+ =
𝑇) + 𝑇*
2
Propriedades devem ser 
avaliadas na temperatura 
media da massa de fluido:
∆𝑇!"=
∆𝑇# − ∆𝑇$
ln '∆𝑇# ∆𝑇$
Onde:𝑞$ = ℎ, 𝑇$ 𝑥 − 𝑇+ 𝑥 → 𝑇$(𝑥) = 𝑇+(𝑥) +
𝑞$
ℎ,
Convecção Forçada Interna
Analise térmica geral : TEMP. PRESCRITA: 𝑇$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
𝑄 = ℎ 𝐴% ∆𝑇&'= �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*)
𝑇) = 𝑇$ − 𝑇$ − 𝑇* exp[−
ℎ 𝐴%
�̇�𝑐(
]
Temperatura 
de saída (EXIT) [℃] :
FLUXO PRESCRITO: 𝑞$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑇) = 𝑇* +
𝑞$ 𝐴%
�̇�𝑐(
Temperatura 
de saída (EXIT) ℃ :
Temperatura 
de parede ℃ :
𝑄 = 𝑞$ 𝐴% = �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*)
Balanço 
de energia 𝑊 :
Balanço 
de energia 𝑊 :
𝑇+ =
𝑇) + 𝑇*
2
Propriedades devem ser 
avaliadas na temperatura 
media da massa de fluido:
∆𝑇!"=
∆𝑇# − ∆𝑇$
ln '∆𝑇# ∆𝑇$
Onde:𝑞$ = ℎ, 𝑇$ 𝑥 − 𝑇+ 𝑥 → 𝑇$(𝑥) = 𝑇+(𝑥) +
𝑞$
ℎ,
Convecção Forçada Interna
Analise térmica geral : TEMP. PRESCRITA: 𝑇$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
𝑄 = ℎ 𝐴% ∆𝑇&'= �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*)
𝑇) = 𝑇$ − 𝑇$ − 𝑇* exp[−
ℎ 𝐴%
�̇�𝑐(
]
Temperatura 
de saída (EXIT) [℃] :
FLUXO PRESCRITO: 𝑞$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑇) = 𝑇* +
𝑞$ 𝐴%
�̇�𝑐(
Temperatura 
de saída (EXIT) ℃ :
Temperatura 
de parede ℃ :
𝑄 = 𝑞$ 𝐴% = �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*)
Balanço 
de energia 𝑊 :
Balanço 
de energia 𝑊 :
𝑇+ =
𝑇) + 𝑇*
2
Propriedades devem ser 
avaliadas na temperatura 
media da massa de fluido:
∆𝑇!"=
∆𝑇# − ∆𝑇$
ln '∆𝑇# ∆𝑇$
Onde:𝑞$ = ℎ, 𝑇$ 𝑥 − 𝑇+ 𝑥 → 𝑇$(𝑥) = 𝑇+(𝑥) +
𝑞$
ℎ,
Correlações Convecção Forçada Interna
Numero de Nusselt para ESCOAM. LAMINAR 
COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO
Correlações Convecção Forçada Interna
Numero de Nusselt para ESCOAM. LAMINAR 
COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO
Correlações Convecção Forçada Interna
Numero de Nusselt para ESCOAM. LAMINAR 
TERMICAMENTE EM DESENVOLVIMENTO e HIDRODINAMICAMENTE DESENVOLVIDO
𝐺𝑧./ =
𝑥
𝐷ℎ
𝑅𝑒 𝑃𝑟
Número de 
Graetz
Numero de Nusselt para ESCOAM. LAMINAR 
COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO
Correlações Convecção Forçada Interna
Numero de Nusselt para ESCOAM. LAMINAR 
TERMICAMENTE EM DESENVOLVIMENTO e HIDRODINAMICAMENTE DESENVOLVIDO
𝐺𝑧./ =
𝑥
𝐷ℎ
𝑅𝑒 𝑃𝑟
Número de 
Graetz
Numero de Nusselt para ESCOAM. LAMINAR 
COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO
Correlações Convecção Forçada Interna
Numero de Nusselt para ESCOAM. LAMINAR 
TERMICAMENTE EM DESENVOLVIMENTO e HIDRODINAMICAMENTE DESENVOLVIDO
𝐺𝑧./ =
𝑥
𝐷ℎ
𝑅𝑒 𝑃𝑟
Número de 
Graetz
Numero de Nusselt para ESCOAM. LAMINAR 
COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO
Correlações Convecção Forçada Interna
Numero de Nusselt para ESCOAM. LAMINAR 
EM DESENVOLVIMENTO SIMULTANEO
𝑇$ = constante
Numero de Nusselt para ESCOAM. LAMINAR 
COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO
Correlações Convecção Forçada Interna
Numero de Nusselt para ESCOAM. LAMINAR 
EM DESENVOLVIMENTO SIMULTANEO
𝑇$ = constante
Numero de Nusselt para ESCOAM. LAMINAR 
COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO
Correlações Convecção Forçada Interna
Numero de Nusselt para ESCOAM. LAMINAR 
EM DESENVOLVIMENTO SIMULTANEOCorrelação Empíricas Aplicabilidade correlação
Hausen
(tubos longos) 𝑁𝑢+ = 3.66 +
0.0668 𝐺𝑧
1 + 0.04𝐺𝑧0/2
𝐺𝑧 ≤ 100
Sieder e Tate
(tubos curtos) 𝑁𝑢+ = 1.86 𝐺𝑧
//2 𝜇3
𝜇$
4./6
(quando a variação das propriedades é
grande devido a uma grande diferença de
temperatura)
0.48 < 𝑃𝑟 < 16700
0.0044 <
𝜇3
𝜇$
< 9.75
2 < 𝐺𝑧//2
𝜇3
𝜇$
4./6
Em DUTOS CIRCULARES e 𝑇$ = constante :
𝐺𝑧 =
𝑅𝑒 𝑃𝑟
𝐿/𝐷
Onde:
𝜇3 : é a viscosidade calculada na temperatura media global (bulk)
𝜇$ : é a viscosidade calculada na temperatura da parede do duto
Correlações Convecção Forçada Interna
Numero de Nusselt para ESCOAM. TURBULENTO
COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO
Correlação Empíricas Aplicabilidade correlação
Colburn 𝑁𝑢+ = 0.023 𝑅𝑒4.7 𝑃𝑟//2 0.7 ≤ 𝑃𝑟 ≤ 160
𝑅𝑒 ≥ 10000
Dittus e Boelter 𝑁𝑢+ = 0.023 𝑅𝑒4.7 𝑃𝑟' 0.7 ≤ 𝑃𝑟 ≤ 160
𝑅𝑒 ≥ 10000
𝑛 = 0.4 para aquecimento do dluido
𝑛 = 0.3 para resfriamento do dluido
Sieder e Tate
𝑁𝑢+ = 0.027 𝑅𝑒4.7 𝑃𝑟//2
𝜇
𝜇$
4./6
(quando a variação das propriedades é
grande devido a uma grande diferença
de temperatura)
0.7 ≤ 𝑃𝑟 ≤ 160
𝑅𝑒 ≥ 10000
Em DUTOS CIRCULARES :
Correlações Convecção Forçada Interna
Numero de Nusselt para ESCOAM. TURBULENTO
COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO
Correlação Empíricas Aplicabilidade correlação
Colburn 𝑁𝑢+ = 0.023 𝑅𝑒4.7 𝑃𝑟//2 0.7 ≤ 𝑃𝑟 ≤ 160
𝑅𝑒 ≥ 10000
Dittus e Boelter 𝑁𝑢+ = 0.023 𝑅𝑒4.7 𝑃𝑟' 0.7 ≤ 𝑃𝑟 ≤ 160
𝑅𝑒 ≥ 10000
𝑛 = 0.4 para aquecimento do dluido
𝑛 = 0.3 para resfriamento do dluido
Sieder e Tate
𝑁𝑢+ = 0.027 𝑅𝑒4.7 𝑃𝑟//2
𝜇
𝜇$
4./6
(quando a variação das propriedades é
grande devido a uma grande diferença
de temperatura)
0.7 ≤ 𝑃𝑟 ≤ 160
𝑅𝑒 ≥ 10000
Essas correlações 
são bastante 
simples mas 
podem dar erros 
tão grandes quanto 
25%. 
Em DUTOS CIRCULARES :
Correlações Convecção Forçada Interna
Numero de Nusselt para ESCOAM. TURBULENTO
COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO
Correlação Empíricas Aplicabilidade correlação
Colburn 𝑁𝑢+ = 0.023 𝑅𝑒4.7 𝑃𝑟//2 0.7 ≤ 𝑃𝑟 ≤ 160
𝑅𝑒 ≥ 10000
Dittus e Boelter 𝑁𝑢+ = 0.023 𝑅𝑒4.7 𝑃𝑟' 0.7 ≤ 𝑃𝑟 ≤ 160
𝑅𝑒 ≥ 10000
𝑛 = 0.4 para aquecimento do dluido
𝑛 = 0.3 para resfriamento do dluido
Sieder e Tate
𝑁𝑢+ = 0.027 𝑅𝑒4.7 𝑃𝑟//2
𝜇
𝜇$
4./6 0.7 ≤ 𝑃𝑟 ≤ 160
𝑅𝑒 ≥ 10000
Petukhov
𝑁𝑢+ =
𝑓
8 𝑅𝑒 𝑃𝑟
1.07 + 12.7 𝑓8
4.8
( 𝑃𝑟
0
2−1)
0.5 ≤ 𝑃𝑟 ≤ 2000
3×103 ≤ 𝑅𝑒 ≤ 5×106
Onde 𝑓 é	o	fator	de	atrito
Em DUTOS CIRCULARES :
Essas correlações 
são bastante 
simples mas 
podem dar erros 
tão grandes quanto 
25%. 
Erro reduzido para 
menos de 10%. 
Considerações Gerais – Escoamento Interno
Em DUTOS CIRCULARES : … Quando adotadas algumas Hipóteses ….
H1: Regime permanente;
H2: Fluido Newtoniano;
H3: Fluido condutor Fourier;
H4: Propriedades constantes;
H5: Forças de corpo despresíveis;
H6: Sem geração de calor;
H7: Dissipação viscosa desprezível;
H8: Desprezando a condução axial;
H9: Dissipação viscosa desprezível;
H10: Escoamento bidimensional;
H11: Hidrodinamicamente desenvolvido
Mais hipóteses.... nas interfaces
H12: Não deslizamento junto a parede
H13: Impenetrabilidade na parede
1
𝑟
𝑑
𝑑𝑟
𝑟
𝑑𝑢
𝑑𝑟
=
1
𝜇
𝑑𝑝
𝑑𝑥
Principio de Consevação 
da QUANTIDADE DE 
MOVIMENTO LINEAR
Principio de Conservação 
de ENERGIA
1
𝛼 𝑢(𝑟)
𝜕𝑇
𝜕𝑥 =
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟 𝑟
𝜕𝑇
𝜕𝑟
onde:
𝑢 𝑟 = 𝑅 = 0 em 𝑟 = 𝑅
p-9
-: :;4
= 0 em 𝑟 = 0
Considerações Gerais – Escoamento Interno
Em DUTOS CIRCULARES : … Quando adotadas algumas Hipóteses ….
H1: Regime permanente;
H2: Fluido Newtoniano;
H3: Fluido condutor Fourier;
H4: Propriedades constantes;
H5: Forças de corpo despresíveis;
H6: Sem geração de calor;
H7: Dissipação viscosa desprezível;
H8: Desprezando a condução axial;
H9: Dissipação viscosa desprezível;
H10: Escoamento bidimensional;
H11: Hidrodinamicamente desenvolvido
Mais hipóteses.... nas interfaces
H12: Não deslizamento junto a parede
H13: Impenetrabilidade na parede
Principio de Consevação 
da QUANTIDADE DE 
MOVIMENTO LINEAR
Principio de Conservação 
de ENERGIA
1
𝛼 𝑢(𝑟)
𝜕𝑇
𝜕𝑥 =
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟 𝑟
𝜕𝑇
𝜕𝑟
onde:
𝑢 𝑟 = 𝑅 = 0 em 𝑟 = 𝑅
p-9
-: :;4
= 0 em 𝑟 = 0
𝑢 𝑟 = −
1
4𝜇
𝑑𝑝
𝑑𝑥 𝑅
0 1 −
𝑟0
𝑅0
Tem-se que a solução para QML:
1
𝑟
𝑑
𝑑𝑟
𝑟
𝑑𝑢
𝑑𝑟
=
1
𝜇
𝑑𝑝
𝑑𝑥
Considerações Gerais – Escoamento Interno
A vazão mássica num duto pode ser escrita como :
�̇� = 𝜌𝑢+)-𝐴< = r
=!
𝜌 𝑢 𝑟 𝑑𝐴<
Onde:
�̇� : é a vazão mássica [>?
%
]
𝜌 : massa especifica [>?
+!
]
𝐴< : área da seção transversal [𝑚0]
𝑢 𝑟 : velocidade local [+
%
]
Em DUTOS CIRCULARES :
𝑢 𝑟 = −
1
4𝜇
𝑑𝑝
𝑑𝑥 𝑅
0 1 −
𝑟0
𝑅0
… Quando adotadas algumas Hipóteses ….
H1: Regime permanente;
H2: Fluido Newtoniano;
H3: Fluido condutor Fourier;
H4: Propriedades constantes;
H5: Forças de corpo despresíveis;
H6: Sem geração de calor;
H7: Dissipação viscosa desprezível;
H8: Desprezando a condução axial;
H9: Dissipação viscosa desprezível;
H10: Escoamento bidimensional;
H11: Hidrodinamicamente desenvolvido
Mais hipóteses.... nas interfaces
H12: Não deslizamento junto a parede
H13: Impenetrabilidade na parede
Tem-se que a solução para QML:
Tal que:
𝑢+)- =
�̇�
𝜌𝐴<
=
∫4
@ 𝜌 𝑢 𝑟 2𝜋𝑟 𝑑𝑟
𝜌 [𝜋𝑅0]
Considerações Gerais – Escoamento Interno
A vazão mássica num duto pode ser escrita como :
�̇� = 𝜌𝑢+)-𝐴< = r
=!
𝜌 𝑢 𝑟 𝑑𝐴<
Em DUTOS CIRCULARES :
𝑢 𝑟 = −
1
4𝜇
𝑑𝑝
𝑑𝑥 𝑅
0 1 −
𝑟0
𝑅0
… Quando adotadas algumas Hipóteses ….
H1: Regime permanente;
H2: Fluido Newtoniano;
H3: Fluido condutor Fourier;
H4: Propriedades constantes;
H5: Forças de corpo despresíveis;
H6: Sem geração de calor;
H7: Dissipação viscosa desprezível;
H8: Desprezando a condução axial;
H9: Dissipação viscosa desprezível;
H10: Escoamento bidimensional;
H11: Hidrodinamicamente desenvolvido
Mais hipóteses.... nas interfaces
H12: Não deslizamento junto a parede
H13: Impenetrabilidade na parede
Tem-se que a solução para QML:
Tal que:
𝑢+)- =
�̇�
𝜌𝐴<
=
∫4
@ 𝜌 𝑢 𝑟 2𝜋𝑟 𝑑𝑟
𝜌 [𝜋𝑅0]
Onde:
�̇� : é a vazão mássica [>?
%
]
𝜌 : massa especifica [>?
+!
]
𝐴< : área da seção transversal [𝑚0]
𝑢 𝑟 : velocidade local [+
%
]
Considerações Gerais – Escoamento Interno
A vazão mássica num duto pode ser escrita como :
�̇� = 𝜌𝑢+)-𝐴< = r
=!
𝜌 𝑢 𝑟 𝑑𝐴<
Em DUTOS CIRCULARES :
𝑢 𝑟 = −
1
4𝜇
𝑑𝑝
𝑑𝑥 𝑅
0 1 −
𝑟0
𝑅0
… Quando adotadas algumas Hipóteses ….
H1: Regime permanente;
H2: Fluido Newtoniano;
H3: Fluido condutor Fourier;
H4: Propriedades constantes;
H5: Forças de corpo despresíveis;
H6: Sem geração de calor;
H7: Dissipação viscosa desprezível;
H8: Desprezando a condução axial;
H9: Dissipação viscosa desprezível;
H10: Escoamento bidimensional;
H11: Hidrodinamicamente desenvolvido
Mais hipóteses.... nas interfaces
H12: Não deslizamento junto a parede
H13: Impenetrabilidade na parede
Tem-se que a solução para QML:
Tal que:
𝑢+)- = −
𝑅0
8𝜇
𝑑𝑝
𝑑𝑥𝑢+)- =
�̇�
𝜌𝐴<
=
∫4
@ 𝜌 𝑢 𝑟 2𝜋𝑟 𝑑𝑟
𝜌 [𝜋𝑅0]
Onde:
�̇� : é a vazão mássica [>?
%
]
𝜌 : massa especifica [>?
+!
]
𝐴< : área da seção transversal [𝑚0]
𝑢 𝑟 : velocidade local [+
%
]
Considerações Gerais – Escoamento Interno
A vazão mássica num duto pode ser escrita como :
�̇� = 𝜌𝑢+)-𝐴< = r
=!
𝜌 𝑢 𝑟 𝑑𝐴<
Em DUTOS CIRCULARES :
𝑢 𝑟 = −
1
4𝜇
𝑑𝑝
𝑑𝑥 𝑅
0 1 −
𝑟0
𝑅0
… Quando adotadas algumas Hipóteses ….
H1: Regime permanente;
H2: Fluido Newtoniano;
H3: Fluido condutor Fourier;
H4: Propriedades constantes;
H5: Forças de corpo despresíveis;
H6: Sem geração de calor;
H7: Dissipação viscosa desprezível;
H8: Desprezando a condução axial;
H9: Dissipação viscosa desprezível;
H10: Escoamento bidimensional;
H11: Hidrodinamicamente desenvolvido
Mais hipóteses.... nas interfaces
H12: Não deslizamento junto a parede
H13: Impenetrabilidade na parede
Tem-se que a solução para QML:
Tal que:
𝑢+)- = −
𝑅0
8𝜇
𝑑𝑝
𝑑𝑥
𝑢+A, = 2𝑢+)-
𝑢 𝑟 = 2𝑢+)- 1 −
𝑟0
𝑅0
A velocidade max. ocorre
na linha de centro 𝑟 = 0
𝑢+)- =
�̇�
𝜌𝐴<
=
∫4
@ 𝜌 𝑢 𝑟 2𝜋𝑟 𝑑𝑟
𝜌 [𝜋𝑅0]
Onde:
�̇� : é a vazão mássica[>?
%
]
𝜌 : massa especifica [>?
+!
]
𝐴< : área da seção transversal [𝑚0]
𝑢 𝑟 : velocidade local [+
%
]
Considerações Gerais – Escoamento Interno
Balanço de forças de pressão e cisalhantes
(𝑝 𝐴<),− 𝑝 𝐴< ,B∆, = 𝑆 ∆𝑥 𝜏$
O gradiente de pressão ,'
,-
associado ao escoamento
forçado interno é uma grandeza de importante, pois
a perda de carga (queda de pressão) ao longo de um
dado comprimento de tubo poder determinado pela
integração de ,'
,-
sobre o comprimento, e esta
diretamente relacionado as exigências de potencia
de ventilador ou bomba para manter o escoamento.
𝑑𝑝
𝑑𝑥 = −
𝑆
𝐴<
𝜏$
Onde:
𝑝 : é a pressão [𝑃𝑎 = D
+"
]
𝐴< : área da seção transversal [𝑚2]
𝑆: é o perímetro [𝑚]
𝜏$ : é a tensão cisalhante [
D
+"
]
QUEDA DE PRESSÃO E PERDA DE CARGA : Em DUTOS CIRCULARES :
Considerações Gerais – Escoamento Interno
Balanço de forças de pressão e cisalhantes
(𝑝 𝐴<),− 𝑝 𝐴< ,B∆, = 𝑆 ∆𝑥 𝜏$
O gradiente de pressão ,'
,-
associado ao escoamento
forçado interno é uma grandeza de importante, pois
a perda de carga (queda de pressão) ao longo de um
dado comprimento de tubo poder determinado pela
integração de ,'
,-
sobre o comprimento, e esta
diretamente relacionado as exigências de potencia
de ventilador ou bomba para manter o escoamento.
𝑑𝑝
𝑑𝑥 = −
𝑆
𝐴<
𝜏$
Tensão cisalhante foi definida por: 
𝜏$ 𝑥 = −𝜇 x
𝜕𝑢(𝑥)
𝜕𝑟 (A:)-)
QUEDA DE PRESSÃO E PERDA DE CARGA : Em DUTOS CIRCULARES :
Considerações Gerais – Escoamento Interno
Balanço de forças de pressão e cisalhantes
(𝑝 𝐴<),− 𝑝 𝐴< ,B∆, = 𝑆 ∆𝑥 𝜏$
O gradiente de pressão ,'
,-
associado ao escoamento
forçado interno é uma grandeza de importante, pois
a perda de carga (queda de pressão) ao longo de um
dado comprimento de tubo poder determinado pela
integração de ,'
,-
sobre o comprimento, e esta
diretamente relacionado as exigências de potencia
de ventilador ou bomba para manter o escoamento.
𝑑𝑝
𝑑𝑥 = −
𝑆
𝐴<
𝜏$
𝜏$ 𝑥 = −𝜇 x
𝜕𝑢(𝑥)
𝜕𝑟 (A:)-)
𝑑𝑝
𝑑𝑥 =
4𝜇
𝐷 x
𝜕𝑢(𝑥)
𝜕𝑟 (A:)-)
QUEDA DE PRESSÃO E PERDA DE CARGA : Em DUTOS CIRCULARES :
Considerações Gerais – Escoamento Interno
Balanço de forças de pressão e cisalhantes
(𝑝 𝐴<),− 𝑝 𝐴< ,B∆, = 𝑆 ∆𝑥 𝜏$
O gradiente de pressão ,'
,-
associado ao escoamento
forçado interno é uma grandeza de importante, pois
a perda de carga (queda de pressão) ao longo de um
dado comprimento de tubo poder determinado pela
integração de ,'
,-
sobre o comprimento, e esta
diretamente relacionado as exigências de potencia
de ventilador ou bomba para manter o escoamento.
𝑑𝑝
𝑑𝑥 = −
𝑆
𝐴<
𝜏$
𝜏$ 𝑥 = −𝜇 x
𝜕𝑢(𝑥)
𝜕𝑟 (A:)-)
𝑑𝑝
𝑑𝑥 =
4𝜇
𝐷 x
𝜕𝑢(𝑥)
𝜕𝑟 (A:)-)
QUEDA DE PRESSÃO E PERDA DE CARGA :
Mas na pratica de engenharia é 
conveniente expressar o gradiente pressão 
para todos os tipo de escoamento interno 
completamente desenvolvido (laminar ou 
turbulento, duto circular ou não-circular, 
superfície lisa ou rugosa, tubos 
horizontais ou inclinados ...) como:
GERAL: Em qualquer duto ...
𝑑𝑝
𝑑𝑥 = −𝑓
𝜌𝑢+)-0
2𝐷
Onde:
𝑓 : é fator de atrito [𝑃𝑎 = D
+"
]
Considerações Gerais – Escoamento Interno
Balanço de forças de pressão e cisalhantes
(𝑝 𝐴<),− 𝑝 𝐴< ,B∆, = 𝑆 ∆𝑥 𝜏$
O gradiente de pressão ,'
,-
associado ao escoamento
forçado interno é uma grandeza de importante, pois
a perda de carga (queda de pressão) ao longo de um
dado comprimento de tubo poder determinado pela
integração de ,'
,-
sobre o comprimento, e esta
diretamente relacionado as exigências de potencia
de ventilador ou bomba para manter o escoamento.
𝑑𝑝
𝑑𝑥 = −
𝑆
𝐴<
𝜏$
𝜏$ 𝑥 = −𝜇 x
𝜕𝑢(𝑥)
𝜕𝑟 (A:)-)
𝑑𝑝
𝑑𝑥 =
4𝜇
𝐷 x
𝜕𝑢(𝑥)
𝜕𝑟 (A:)-)
QUEDA DE PRESSÃO E PERDA DE CARGA :
Mas na pratica de engenharia é 
conveniente expressar o gradiente pressão 
para todos os tipo de escoamento interno 
completamente desenvolvido (laminar ou 
turbulento, duto circular ou não-circular, 
superfície lisa ou rugosa, tubos 
horizontais ou inclinados ...) como:
GERAL: Em qualquer duto ...
𝑑𝑝
𝑑𝑥 = −𝑓
𝜌𝑢+)-0
2𝐷
Onde:
𝑓 : é fator de atrito [𝑃𝑎 = D
+"
]
𝑓 = −
8𝜇
𝜌𝑢+)-0
x
𝜕𝑢(𝑥)
𝜕𝑟 (A:)-)
Considerações Gerais – Escoamento Interno
O gradiente de pressão ,'
,-
associado ao escoamento
forçado interno é uma grandeza de importante, pois
a perda de carga (queda de pressão) ao longo de um
dado comprimento de tubo poder determinado pela
integração de ,'
,-
sobre o comprimento, e esta
diretamente relacionado as exigências de potencia
de ventilador ou bomba para manter o escoamento.
QUEDA DE PRESSÃO E PERDA DE CARGA :
Mas na pratica de engenharia é 
conveniente expressar o gradiente pressão 
para todos os tipo de escoamento interno 
completamente desenvolvido (laminar ou 
turbulento, duto circular ou não-circular, 
superfície lisa ou rugosa, tubos 
horizontais ou inclinados ...) como:
GERAL: Em qualquer duto ...
𝑑𝑝
𝑑𝑥 = −𝑓
𝜌𝑢+)-0
2𝐷
Onde:
𝑓 : é fator de atrito [𝑃𝑎 = D
+"
]
𝑓 = −
8𝜇
𝜌𝑢+)-0
x
𝜕𝑢(𝑥)
𝜕𝑟 (A:)-)
∆𝑝 = 𝑝1 − 𝑝2 = 𝑓
𝐿
𝐷
𝜌 𝑢+)-0
2 [
𝑁
𝑚0]
PERDA DE PRESSÃO 
Considerações Gerais – Escoamento Interno
O gradiente de pressão ,'
,-
associado ao escoamento
forçado interno é uma grandeza de importante, pois
a perda de carga (queda de pressão) ao longo de um
dado comprimento de tubo poder determinado pela
integração de ,'
,-
sobre o comprimento, e esta
diretamente relacionado as exigências de potencia
de ventilador ou bomba para manter o escoamento.
QUEDA DE PRESSÃO E PERDA DE CARGA :
Mas na pratica de engenharia é 
conveniente expressar o gradiente pressão 
para todos os tipo de escoamento interno 
completamente desenvolvido (laminar ou 
turbulento, duto circular ou não-circular, 
superfície lisa ou rugosa, tubos 
horizontais ou inclinados ...) como:
GERAL: Em qualquer duto ...
𝑑𝑝
𝑑𝑥 = −𝑓
𝜌𝑢+)-0
2𝐷
Onde:
𝑓 : é fator de atrito [𝑃𝑎 = D
+"
]
𝑓 = −
8𝜇
𝜌𝑢+)-0
x
𝜕𝑢(𝑥)
𝜕𝑟 (A:)-)
∆𝑝 = 𝑝1 − 𝑝2 = 𝑓
𝐿
𝐷
𝜌 𝑢+)-0
2 [
𝑁
𝑚0]
Tal que a potencia da bomba exigida para movimentar o 
fluido no duto conta a perda de carga ∆𝑝 é :
𝑃𝑜𝑡3E+3A = �̇� ∆𝑝 [
𝑁 𝑚
𝑠
𝑜𝑢 𝑊]
PERDA DE PRESSÃO 
Onde:
�̇� = 𝑢+)- 𝐴< : é a vazão volumétrica [
+!
%
]
Considerações Gerais – Escoamento Interno
O gradiente de pressão ,'
,-
associado ao escoamento
forçado interno é uma grandeza de importante, pois
a perda de carga (queda de pressão) ao longo de um
dado comprimento de tubo poder determinado pela
integração de ,'
,-
sobre o comprimento, e esta
diretamente relacionado as exigências de potencia
de ventilador ou bomba para manter o escoamento.
QUEDA DE PRESSÃO E PERDA DE CARGA :
Mas na pratica de engenharia é 
conveniente expressar o gradiente pressão 
para todos os tipo de escoamento interno 
completamente desenvolvido (laminar ou 
turbulento, duto circular ou não-circular, 
superfície lisa ou rugosa, tubos 
horizontais ou inclinados ...) como:
GERAL: Em qualquer duto ...
𝑑𝑝
𝑑𝑥 = −𝑓
𝜌𝑢+)-0
2𝐷
Onde:
𝑓 : é fator de atrito [𝑃𝑎 = D
+"
]
𝑓 = −
8𝜇
𝜌𝑢+)-0
x
𝜕𝑢(𝑥)
𝜕𝑟 (A:)-)
∆𝑝 = 𝑝1 − 𝑝2 = 𝑓
𝐿
𝐷
𝜌 𝑢+)-0
2 [
𝑁
𝑚0]
Tal que a potencia da bomba exigida para movimentar o 
fluido no duto conta a perda de carga ∆𝑝 é :
𝑃𝑜𝑡3E+3A = �̇� ∆𝑝 [
𝑁 𝑚
𝑠
𝑜𝑢 𝑊]
Onde:
�̇� = 𝑢+)- 𝐴< : é a vazão volumétrica [
+!
%
]
PERDA DE PRESSÃO 
PERDA DE CARGA (head) 𝐻F =
∆𝑝
𝜌𝑔
[𝑚]
Considerações Gerais – Escoamento Interno
Mas na pratica de engenharia é 
conveniente expressar o gradiente pressão 
para todos os tipo de escoamento interno 
completamente desenvolvido (laminar ou 
turbulento, duto circular ou não-circular, 
superfície lisa ou rugosa, tubos 
horizontais ou inclinados ...) como:
GERAL: Em qualquer duto ...
𝑑𝑝
𝑑𝑥 = −𝑓
𝜌𝑢+)-0
2𝐷
Onde:
𝑓 : é fator de atrito [𝑃𝑎 = D
+"
]
𝑓 = −
8𝜇
𝜌𝑢+)-0
x
𝜕𝑢(𝑥)
𝜕𝑟 (A:)-)
Em DUTOS CIRCULARES :
𝑢 𝑟 = 2𝑢+)- 1 −
𝑟0
𝑅0
Tem-se que a solução para QML:
x
𝜕𝑢(𝑥)
𝜕𝑟 :;@
= −
4𝑢+)-
𝑅 = −
8𝑢+)-
𝐷
Tal que :
𝑓 =
64𝜇𝜌 𝑢+)-𝐷
=
64
𝑅𝑒
para escoamento interno completamente desenvolvido 
DUTOS CIRCULARES (laminar , liso, horizontal)
Considerações Gerais – Escoamento Interno
Mas na pratica de engenharia é 
conveniente expressar o gradiente pressão 
para todos os tipo de escoamento interno 
completamente desenvolvido (laminar ou 
turbulento, duto circular ou não-circular, 
superfície lisa ou rugosa, tubos 
horizontais ou inclinados ...) como:
GERAL: Em qualquer duto ...
𝑑𝑝
𝑑𝑥 = −𝑓
𝜌𝑢+)-0
2𝐷
Onde:
𝑓 : é fator de atrito [𝑃𝑎 = D
+"
]
𝑓 = −
8𝜇
𝜌𝑢+)-0
x
𝜕𝑢(𝑥)
𝜕𝑟 (A:)-)
Em DUTOS CIRCULARES :
𝑢 𝑟 = 2𝑢+)- 1 −
𝑟0
𝑅0
Tem-se que a solução para QML:
x
𝜕𝑢(𝑥)
𝜕𝑟 :;@
= −
4𝑢+)-
𝑅 = −
8𝑢+)-
𝐷
Tal que :
𝑓 =
64𝜇
𝜌 𝑢+)-𝐷
=
64
𝑅𝑒
para escoamento interno completamente desenvolvido 
DUTOS CIRCULARES (laminar , liso, horizontal)
para escoamento interno completamente desenvolvido 
DUTOS CIRCULARES (TURBULENTO , liso, horizontal) 𝑓 = 0.184 𝑅𝑒
.4.0
Considerações Gerais – Escoamento Interno
𝑓 = −
8𝜇
𝜌𝑢+)-0
x
𝜕𝑢(𝑥)
𝜕𝑟 (A:)-)
𝑓 =
64𝜇
𝜌 𝑢+)-𝐷
=
64
𝑅𝑒
para escoamento interno completamente desenvolvido 
DUTOS CIRCULARES (laminar , liso, horizontal)
para escoamento interno completamente desenvolvido 
DUTOS CIRCULARES 
(TURBULENTO , liso, horizontal)
𝑓 = 0.184 𝑅𝑒.4.0
para escoamento interno completamente desenvolvido 
em qualquer duto 
para escoamento interno completamente desenvolvido 
DUTOS CIRCULARES (e NÃO CIRCULARES - 𝐷.) 
(LAMINAR e TURBULENTO , liso e rugoso, horizontal)
Considerações Gerais – Escoamento Interno
Resumindo ...
𝑢+)- =
�̇�
𝜌𝐴<
[
𝑚
𝑠 ]
VAZÃO MASSICA: �̇� = 𝜌�̇� >?
%
�̇� = 𝑢+)- 𝐴< [
+!
%
]
VAZÃO VOLUMÉTRICA:
Considerações Gerais – Escoamento Interno
Resumindo ...
PERDA DE PRESSÃO: 
𝑢+)- =
�̇�
𝜌𝐴<
[
𝑚
𝑠 ]
𝑃𝑜𝑡3E+3A = �̇� ∆𝑝 =
�̇�∆𝑝
𝜌 [
𝑁 𝑚
𝑠 𝑜𝑢 𝑊]
POTENCIA NECESSARIA NA BOMBA
∆𝑝 = 𝑓
𝐿
𝐷!
𝜌 𝑢+)-0
2 [
𝑁
𝑚0]
�̇� = 𝑢+)- 𝐴< [
+!
%
]
VAZÃO VOLUMÉTRICA:
PERDA DE CARGA (head) : 
𝐻F =
∆𝑝
𝜌𝑔 [𝑚]
VAZÃO MASSICA: �̇� = 𝜌�̇� >?
%
Considerações Gerais – Escoamento Interno
PERDA DE PRESSÃO: 
𝑢+)- =
�̇�
𝜌𝐴<
[
𝑚
𝑠 ]
𝑃𝑜𝑡3E+3A = �̇� ∆𝑝 =
�̇�∆𝑝
𝜌 [
𝑁 𝑚
𝑠 𝑜𝑢 𝑊]
POTENCIA NECESSARIA NA BOMBA
Resumindo ...
∆𝑝 = 𝑓
𝐿
𝐷!
𝜌 𝑢+)-0
2 [
𝑁
𝑚0]
�̇� = 𝑢+)- 𝐴< [
+!
%
]
VAZÃO VOLUMÉTRICA:
PERDA DE CARGA (head) : 
𝐻F =
∆𝑝
𝜌𝑔 [𝑚]
O escoamento interno pode ocorrer em
dutos circulares e não-circulares....
para escoamento interno completamente desenvolvido 
em qualquer duto 
𝑓 = −
8𝜇
𝜌𝑢+)-0
x
𝜕𝑢(𝑥)
𝜕𝑟 (A:)-)
𝑓 =
64𝜇
𝜌 𝑢+)-𝐷
=
64
𝑅𝑒
para escoamento interno completamente desenvolvido 
DUTOS CIRCULARES (laminar , liso, horizontal)
para escoamento interno completamente desenvolvido 
DUTOS CIRCULARES 
(TURBULENTO , liso, horizontal)
𝑓 = 0.184 𝑅𝑒.4.0
para escoamento interno completamente desenvolvido 
DUTOS CIRCULARES 
(LAMINAR e TURBULENTO , liso e Rugoso, horizontal)
VAZÃO MASSICA: �̇� = 𝜌�̇� >?
%
Considerações Gerais – Escoamento Interno
Resumindo ...
Em DUTOS CIRCULARES :
𝑢 𝑟 = 2𝑢+)- 1 −
𝑟0
𝑅0
𝑢+A, = 2𝑢+)-
𝑢+)- =
�̇�
𝜌𝐴<
[
𝑚
𝑠 ]
�̇� = 𝑢+)- 𝐴< [
+!
%
]
VAZÃO VOLUMÉTRICA:
PERDA DE PRESSÃO: 
𝑃𝑜𝑡3E+3A = �̇� ∆𝑝 =
�̇�∆𝑝
𝜌 [
𝑁 𝑚
𝑠 𝑜𝑢 𝑊]
POTENCIA NECESSARIA NA BOMBA
∆𝑝 = 𝑓
𝐿
𝐷!
𝜌 𝑢+)-0
2 [
𝑁
𝑚0]
PERDA DE CARGA (head) : 
𝐻F =
∆𝑝
𝜌𝑔 [𝑚]
VAZÃO MASSICA: �̇� = 𝜌�̇� >?
%
Considerações Gerais – Escoamento Interno
Exemplo: Um óleo de maquina (novo) escoa a 65℃ com uma velocidade de 𝑢+)- = 0.15 𝑚/𝑠
dentro de um tubo circular com diâmetro interno de 2.5 𝑐𝑚 . Calcule o fator de atrito e a perda 
de carga no comprimento 𝐿 = 100𝑚 do tubo. 
Considerações Gerais – Escoamento Interno
Exemplo: Um óleo de maquina (novo) escoa a 65℃ com uma velocidade de 𝑢+)- = 0.15 𝑚/𝑠
dentro de um tubo circular com diâmetro interno de 2.5 𝑐𝑚 . Calcule o fator de atrito e a perda 
de carga no comprimento 𝐿 = 100𝑚 do tubo. 
𝜌 = 806.92
kg
m3
𝑐( = 2069 [
J
kg K]
𝑘 = 0.1398 [
W
m K
]
𝛼 = 7.85×10.7
m2
s2
𝜇 = 0.0636 [
kg
m s
]
𝑃𝑟 = 934.82
a 65℃
Propriedades
1º passo:
Considerações Gerais – Escoamento Interno
Exemplo: Um óleo de maquina (novo) escoa a 65℃ com uma velocidade de 𝑢+)- = 0.15 𝑚/𝑠
dentro de um tubo circular com diâmetro interno de 2.5 𝑐𝑚 . Calcule o fator de atrito e a perda 
de carga no comprimento 𝐿 = 100𝑚 do tubo. 
𝜌 = 806.92
kg
m3
𝑐( = 2069 [
J
kg K]
𝑘 = 0.1398 [
W
m K
]
𝛼 = 7.85×10.7
m2
s2
𝜇 = 0.0636 [
kg
m s
]
𝑃𝑟 = 934.82
2º passo:
𝑅𝑒 =
𝜌𝑢+)-𝐷
𝜇 =
(806.92)(0.15)(0.025)
(0.0636) = 47.6
LAMINAR
𝑅𝑒 ≤ 2100
Propriedades
1º passo:
a 65℃
Valores típicos esc. interno
em dutos circulares 
Re < 2100-2300 Laminar
2300 < Re < 10 000 Transição
10 000 < Re Turbulento
Considerações Gerais – Escoamento Interno
Exemplo: Um óleo de maquina (novo) escoa a 65℃ com uma velocidade de 𝑢+)- = 0.15 𝑚/𝑠
dentro de um tubo circular com diâmetro interno de 2.5 𝑐𝑚 . Calcule o fator de atrito e a perda 
de carga no comprimento 𝐿 = 100𝑚 do tubo. 
𝜌 = 806.92
kg
m3
𝑐( = 2069 [
J
kg K]
𝑘 = 0.1398 [
W
m K
]
𝛼 = 7.85×10.7
m2
s2
𝜇 = 0.0636 [
kg
m s
]
𝑃𝑟 = 934.82
2º passo:
𝑅𝑒 =
𝜌𝑢+)-𝐷
𝜇 =
(806.92)(0.15)(0.025)
(0.0636) = 47.6
LAMINAR
𝑅𝑒 ≤ 2100
Propriedades
1º passo:
a 65℃
Valores típicos esc. interno
em dutos circulares 
Re < 2100-2300 Laminar
2300 < Re < 10 000 Transição
10 000 < Re Turbulento
3º passo:
𝑓 =
64
𝑅𝑒 = 1.34
Considerações Gerais – Escoamento Interno
Exemplo: Um óleo de maquina (novo) escoa a 65℃ com uma velocidade de 𝑢+)- = 0.15 𝑚/𝑠
dentro de um tubo circular com diâmetro interno de 2.5 𝑐𝑚 . Calcule o fator de atrito e a perda 
de carga no comprimento 𝐿 = 100𝑚 do tubo. 
𝜌 = 806.92
kg
m3
𝑐( = 2069 [
J
kg K]
𝑘 = 0.1398 [
W
m K
]
𝛼 = 7.85×10.7
m2
s2
𝜇 = 0.0636 [
kg
m s
]
𝑃𝑟 = 934.82
2º passo:
𝑅𝑒 =
𝜌𝑢+)-𝐷
𝜇 =
(806.92)(0.15)(0.025)
(0.0636) = 47.6
LAMINAR
𝑅𝑒 ≤ 2100
Propriedades
1º passo:
a 65℃
Valores típicos esc. interno
em dutos circulares 
Re < 2100-2300 Laminar
2300 < Re < 10 000 Transição
10 000 < Re Turbulento
3º passo:
𝑓 =
64
𝑅𝑒 = 1.34
4º passo:
∆𝑝 = 𝑓
𝐿
𝐷!
𝜌 𝑢+)-0
2 = 48657,3 ≈ 50 [
𝑘𝑁
𝑚2]
Convecção Forçada Interna
Exemplo: Considere o escoamento de óleo a 20C em um oleoduto de 30cm de diâmetro com uma velocidade média de 2m/s. A 
seção horizontal de 200m de comprimento do oleoduto passa por um lago de agua gelada a 0C. Não considerando a resistência 
térmica do material do tubo, determinar :
(a) A temperatura do óleo quando o tubo sai do lago;
(b) A taxa de transferência de calor a partir do óleo;
(c) A potencia de bombeamento necessária para superar a perda de pressão e manter o escoamento de óleo na tubulação.
1º passo:
Convecção Forçada Interna
Exemplo: Considere o escoamento de óleo a 20C em um oleoduto de 30cm de diâmetro com uma velocidade média de 2m/s. A 
seção horizontal de 200m de comprimento do oleoduto passa por um lago de agua gelada a 0C. Não considerando a resistência 
térmica do material do tubo, determinar :
(a) A temperatura do óleo quando o tubo sai do lago;
(b) A taxa de transferência de calor a partir do óleo;
(c) A potencia de bombeamento necessária para superar a perda de pressão e manter o escoamento de óleo na tubulação.
𝑇+)- =
𝑇* + 𝑇)
2
Propriedades devem ser 
avaliadas na temperatura meda 
da massa de fluido:
1º passo:
Convecção Forçada Interna
Exemplo: Considere o escoamento de óleo a 20C em um oleoduto de 30cm de diâmetro com uma velocidade média de 2m/s. A 
seção horizontal de 200m de comprimento do oleoduto passa por um lago de agua gelada a 0C. Não considerando a resistência 
térmica do material do tubo, determinar :
(a) A temperatura do óleo quando o tubo sai do lago;(b) A taxa de transferência de calor a partir do óleo;
(c) A potencia de bombeamento necessária para superar a perda de pressão e manter o escoamento de óleo na tubulação.
𝑇+)- =
𝑇* + 𝑇)
2
Chute inicial ...
Processo 
iterativo 
Propriedades devem ser 
avaliadas na temperatura 
media da massa de fluido:
𝑇+)-
(4) = 20 𝐶
1º passo:
Convecção Forçada Interna
Exemplo: Considere o escoamento de óleo a 20C em um oleoduto de 30cm de diâmetro com uma velocidade média de 2m/s. A 
seção horizontal de 200m de comprimento do oleoduto passa por um lago de agua gelada a 0C. Não considerando a resistência 
térmica do material do tubo, determinar :
(a) A temperatura do óleo quando o tubo sai do lago;
(b) A taxa de transferência de calor a partir do óleo;
(c) A potencia de bombeamento necessária para superar a perda de pressão e manter o escoamento de óleo na tubulação.
𝑇+)- =
𝑇* + 𝑇)
2
Chute inicial ...
Processo 
iterativo 
Propriedades 𝑇+)-
(4) = 20 𝐶
𝜌 = 888.1
kg
m3
𝑐( = 1881 [
J
kg K]
𝑘 = 0.1450 [
W
m K
]
𝛼 = 8.680×10.7
m2
s2
𝜇 = 0.8374 [
kg
m s
]
𝑃𝑟 = 10863
20℃
2º passo:
𝑅𝑒 =
𝜌𝑢+)-𝐷
𝜇 =
(888.1)(2)(0.30)
(0.8374) = 636.32
LAMINAR (𝑅𝑒 ≤ 2100)
Propriedades
1º passo:
Valores típicos esc. interno
em dutos circulares 
Re < 2100-2300 Laminar
2300 < Re < 10 000 Transição
10 000 < Re Turbulento
Convecção Forçada Interna
Exemplo: Considere o escoamento de óleo a 20C em um oleoduto de 30cm de diâmetro com uma velocidade média de 2m/s. A 
seção horizontal de 200m de comprimento do oleoduto passa por um lago de agua gelada a 0C. Não considerando a resistência 
térmica do material do tubo, determinar :
(a) A temperatura do óleo quando o tubo sai do lago;
(b) A taxa de transferência de calor a partir do óleo;
(c) A potencia de bombeamento necessária para superar a perda de pressão e manter o escoamento de óleo na tubulação.
𝜌 = 888.1
kg
m3
𝑐( = 1881 [
J
kg K]
𝑘 = 0.1450 [
W
m K
]
𝛼 = 8.680×10.7
m2
s2
𝜇 = 0.8374 [
kg
m s
]
𝑃𝑟 = 10863
20℃
2º passo:
𝑅𝑒 =
𝜌𝑢+)-𝐷
𝜇 =
(888.1)(2)(0.30)
(0.8374) = 636.32
LAMINAR (𝑅𝑒 ≤ 2100)
Propriedades
1º passo:
Convecção Forçada Interna
Exemplo: Considere o escoamento de óleo a 20C em um oleoduto de 30cm de diâmetro com uma velocidade média de 2m/s. A 
seção horizontal de 200m de comprimento do oleoduto passa por um lago de agua gelada a 0C. Não considerando a resistência 
térmica do material do tubo, determinar :
(a) A temperatura do óleo quando o tubo sai do lago;
(b) A taxa de transferência de calor a partir do óleo;
(c) A potencia de bombeamento necessária para superar a perda de pressão e manter o escoamento de óleo na tubulação.
𝜌 = 888.1
kg
m3
𝑐( = 1881 [
J
kg K]
𝑘 = 0.1450 [
W
m K
]
𝛼 = 8.680×10.7
m2
s2
𝜇 = 0.8374 [
kg
m s
]
𝑃𝑟 = 10863
20℃
3º passo:
𝐿# = 0.056 𝑅𝑒 𝐷 = 10.69 [𝑚]
𝐿" = 0.033 𝑃𝑒 𝐷 = 68432,20 [𝑚]
𝐿# ≤ 200m Hidrod. desenvolvido
𝐿" ≫ 200m Term. em desenvolvimento
TEMP. PRESCRITA: 𝑇$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. = 0°𝐶
Convecção Forçada Interna
Exemplo: Considere o escoamento de óleo a 20C em um oleoduto de 30cm de diâmetro com uma velocidade média de 2m/s. A 
seção horizontal de 200m de comprimento do oleoduto passa por um lago de agua gelada a 0C. Não considerando a resistência 
térmica do material do tubo, determinar :
(a) A temperatura do óleo quando o tubo sai do lago;
(b) A taxa de transferência de calor a partir do óleo;
(c) A potencia de bombeamento necessária para superar a perda de pressão e manter o escoamento de óleo na tubulação.
4º passo:
𝐺𝑧./ =
𝑥
𝐷ℎ
𝑅𝑒 𝑃𝑟
Numero de 
Graetz
𝐺𝑧/0 =
200
0.3
(636.32) (10863)
= 9.7×10/1
𝑁𝑢 = 33
Numero de Nusselt para ESCOAM. LAMINAR TERM. EM DESENVOLVIMENTO e HIDROD. DESENVOLVIDO
�ℎ =
𝑘
𝐷𝑁𝑢 =
0.1450
0.3 33 = 15.95
Convecção Forçada Interna
Exemplo: Considere o escoamento de óleo a 20C em um oleoduto de 30cm de diâmetro com uma velocidade média de 2m/s. A 
seção horizontal de 200m de comprimento do oleoduto passa por um lago de agua gelada a 0C. Não considerando a resistência 
térmica do material do tubo, determinar :
(a) A temperatura do óleo quando o tubo sai do lago;
(b) A taxa de transferência de calor a partir do óleo;
(c) A potencia de bombeamento necessária para superar a perda de pressão e manter o escoamento de óleo na tubulação.
𝐺𝑧./ =
𝑥
𝐷ℎ
𝑅𝑒 𝑃𝑟
Numero de 
Graetz
𝐺𝑧/0 =
200
0.3
(636.32) (10863)
= 9.7×10/1
𝑁𝑢 = 33
TEMP. PRESCRITA: 𝑇$= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. = 0°𝐶
𝑇) = 𝑇$ − 𝑇$ − 𝑇* exp[−
ℎ 𝐴%
�̇�𝑐(
]
Temperatura 
de saída (EXIT) [℃] :
𝑇) = 0 − 0 − 20 exp −
15.95 188.5
125.6 1881
= 19.74 [℃]
�ℎ =
𝑘
𝐷𝑁𝑢 =
0.1450
0.3 33 = 15.95�̇� = 𝜌𝐴< 𝑢+)- = 888.1
/
6
𝜋 0.3 0 2 = 125.6 [𝑘𝑔/𝑠]
Onde:
𝐴% = 𝜋𝐷𝐿 = 𝜋 0.3 200 = 188.5 [m2]
(a) 
Convecção Forçada Interna
Exemplo: Considere o escoamento de óleo a 20C em um oleoduto de 30cm de diâmetro com uma velocidade média de 2m/s. A 
seção horizontal de 200m de comprimento do oleoduto passa por um lago de agua gelada a 0C. Não considerando a resistência 
térmica do material do tubo, determinar :
(a) A temperatura do óleo quando o tubo sai do lago;
(b) A taxa de transferência de calor a partir do óleo;
(c) A potencia de bombeamento necessária para superar a perda de pressão e manter o escoamento de óleo na tubulação.
TEMP. PRESCRITA: 𝑇$= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. = 0°𝐶
𝑇) = 𝑇$ − 𝑇$ − 𝑇* exp[−
ℎ 𝐴%
�̇�𝑐(
]
Temperatura 
de saída (EXIT) [℃] :
𝑇) = 0 − 0 − 20 exp −
15.95 188.5
125.6 1881
= 19.74 [℃]
�̇� = 𝜌𝐴< 𝑢+)- = 888.1
/
6
𝜋 0.3 0 2 = 125.6 [𝑘𝑔/𝑠]
Onde:
𝐴% = 𝜋𝐷𝐿 = 𝜋 0.3 200 = 188.5 [m2]
(a) 
Chute inicial ...
𝑇+)-
(4) = 20 𝐶
𝜌 = 888.1
kg
m3
𝑐( = 1881 [
J
kg K]
𝑘 = 0.1450 [
W
m K
]
𝛼 = 8.680×10.7
m2
s2
𝜇 = 0.8374 [
kg
m s
]
𝑃𝑟 = 10863
20℃Não 
precisamos 
voltar e 
reavaliar as 
propriedades
Convecção Forçada Interna
Exemplo: Considere o escoamento de óleo a 20C em um oleoduto de 30cm de diâmetro com uma velocidade média de 2m/s. A 
seção horizontal de 200m de comprimento do oleoduto passa por um lago de agua gelada a 0C. Não considerando a resistência 
térmica do material do tubo, determinar :
(a) A temperatura do óleo quando o tubo sai do lago;
(b) A taxa de transferência de calor a partir do óleo;
(c) A potencia de bombeamento necessária para superar a perda de pressão e manter o escoamento de óleo na tubulação.
𝑇) = 0 − 0 − 20 exp −
15.95 188.5
125.6 1881
= 19.74 [℃]
�ℎ =
𝑘
𝐷𝑁𝑢 =
0.1450
0.3 33 = 15.95�̇� = 𝜌𝐴< 𝑢+)- = 888.1
/
6
𝜋 0.3 0 2 = 125.6 [𝑘𝑔/𝑠]
Onde:
𝐴% = 𝜋𝐷𝐿 = 𝜋 0.3 200 = 188.5 [m2]
(b) 𝑄 = ℎ 𝐴% ∆𝑇&'= �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*) 𝑄 = �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*) = (125.6) 1881 (19.74 − 20) = −6.14×106 [𝑊]
Convecção Forçada Interna
Exemplo: Considere o escoamento de óleo a 20C em um oleoduto de 30cm de diâmetro com uma velocidade média de 2m/s. A 
seção horizontal de 200m de comprimento do oleoduto passa por um lago de agua gelada a 0C. Não considerando a resistência 
térmica do material do tubo, determinar :
(a) A temperatura do óleo quando o tubo sai do lago;
(b) A taxa de transferência de calor a partir do óleo;
(c) A potencia de bombeamento necessária para superar a perda de pressão e manter o escoamento de óleo na tubulação.
(b) 𝑄 = ℎ 𝐴% ∆𝑇&'= �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*) 𝑄 = �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*) = (125.6) 1881 (19.74 − 20) = −6.14×106 [𝑊]
(c) 
PERDA DE PRESSÃO: 
𝑃𝑜𝑡3E+3A =
�̇�∆𝑝
𝜌 [𝑊]
POTENCIA NECESSARIA NA BOMBA
∆𝑝 = 𝑓
𝐿
𝐷!
𝜌 𝑢+)-0
2 [
𝑁
𝑚0]
�̇� = 𝜌𝐴< 𝑢+)- = 888.1
/
6
𝜋 0.3 0 2 = 125.6 [𝑘𝑔/𝑠]
Onde:
Convecção Forçada Interna
Exemplo: Considere o escoamento de óleo a 20C em um oleoduto de 30cm de diâmetro com uma velocidade média de 2m/s. A 
seção horizontal de 200m de comprimento do oleoduto passa por um lago de agua gelada a 0C. Não considerando a resistência 
térmica do material do tubo, determinar :
(a) A temperatura do óleo quando o tubo sai do lago;
(b) A taxa de transferência de calor a partir do óleo;
(c) A potencia de bombeamento necessária para superara perda de pressão e manter o escoamento de óleo na tubulação.
(b) 𝑄 = ℎ 𝐴% ∆𝑇&'= �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*) 𝑄 = �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*) = (125.6) 1881 (19.74 − 20) = −6.14×106 [𝑊]
(c) 
PERDA DE PRESSÃO: 
𝑃𝑜𝑡3E+3A =
�̇�∆𝑝
𝜌 [𝑊]
POTENCIA NECESSARIA NA BOMBA
∆𝑝 = 𝑓
𝐿
𝐷!
𝜌 𝑢+)-0
2 [
𝑁
𝑚0]
�̇� = 𝜌𝐴< 𝑢+)- = 888.1
/
6
𝜋 0.3 0 2 = 125.6 [𝑘𝑔/𝑠]
Onde: 𝑓 =
64
𝑅𝑒 =
64
636.32 = 0.1006
para escoamento interno completamente desenvolvido 
DUTOS CIRCULARES (laminar , liso, horizontal)
Convecção Forçada Interna
Exemplo: Considere o escoamento de óleo a 20C em um oleoduto de 30cm de diâmetro com uma velocidade média de 2m/s. A 
seção horizontal de 200m de comprimento do oleoduto passa por um lago de agua gelada a 0C. Não considerando a resistência 
térmica do material do tubo, determinar :
(a) A temperatura do óleo quando o tubo sai do lago;
(b) A taxa de transferência de calor a partir do óleo;
(c) A potencia de bombeamento necessária para superar a perda de pressão e manter o escoamento de óleo na tubulação.
(b) 𝑄 = ℎ 𝐴% ∆𝑇&'= �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*) 𝑄 = �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*) = (125.6) 1881 (19.74 − 20) = −6.14×106 [𝑊]
(c) 
PERDA DE PRESSÃO: 
𝑃𝑜𝑡3E+3A =
�̇�∆𝑝
𝜌
=
(125.6)(1.19×108)
888.1
= 16.8 [𝑘𝑊]
POTENCIA NECESSARIA NA BOMBA
∆𝑝 = 𝑓
𝐿
𝐷!
𝜌 𝑢+)-0
2 = (0.1006)
200
0.3
888.1 2 0
2 = 1.19×10
8[
𝑁
𝑚0]
�̇� = 𝜌𝐴< 𝑢+)- = 888.1
/
6
𝜋 0.3 0 2 = 125.6 [𝑘𝑔/𝑠]
Onde: 𝑓 =
64
𝑅𝑒 =
64
636.32 = 0.1006
para escoamento interno completamente desenvolvido 
DUTOS CIRCULARES (laminar , liso, horizontal)
Convecção Forçada Interna
Exemplo: A água deve ser aquecida de 15C a 65C, à medida que escoa através de um tubo de 3cm de diâmetro interno e 5m de
comprimento. O tubo esta equipado com um aquecedor de resistência elétrica que fornece um aquecimento uniforme em toda
a superfície do tubo. A superfícies externa do aquecedor está bem isolada, de modo que em funcionamento permanente todo o
calor gerado pelo aquecedor é transferido para a água do tubo. Se o sistema fornecer agua quente a uma taxa de 10L/min,
determinar a potencia da resistência do aquecedor. Além disso, estimar a temperatura da superfície interna do tubo na saída.
Convecção Forçada Interna
Exemplo: A água deve ser aquecida de 15C a 65C, à medida que escoa através de um tubo de 3cm de diâmetro interno e 5m de
comprimento. O tubo esta equipado com um aquecedor de resistência elétrica que fornece um aquecimento uniforme em toda
a superfície do tubo. A superfícies externa do aquecedor está bem isolada, de modo que em funcionamento permanente todo o
calor gerado pelo aquecedor é transferido para a água do tubo. Se o sistema fornecer agua quente a uma taxa de 10L/min,
determinar a potencia da resistência do aquecedor. Além disso, estimar a temperatura da superfície interna do tubo na saída.
1º passo: 𝑇+)- =
𝑇* + 𝑇)
2 =
15 + 65
2 = 40℃
Propriedades devem ser 
avaliadas na temperatura meda 
da massa de fluido:
Convecção Forçada Interna
Exemplo: A água deve ser aquecida de 15C a 65C, à medida que escoa através de um tubo de 3cm de diâmetro interno e 5m de
comprimento. O tubo esta equipado com um aquecedor de resistência elétrica que fornece um aquecimento uniforme em toda
a superfície do tubo. A superfícies externa do aquecedor está bem isolada, de modo que em funcionamento permanente todo o
calor gerado pelo aquecedor é transferido para a água do tubo. Se o sistema fornecer agua quente a uma taxa de 10L/min,
determinar a potencia da resistência do aquecedor. Além disso, estimar a temperatura da superfície interna do tubo na saída.
1º passo: 𝑇+)- =
𝑇* + 𝑇)
2 =
15 + 65
2 = 40℃
Propriedades devem ser 
avaliadas na temperatura meda 
da massa de fluido:
𝜌 = 992.1
kg
m3
𝑐( = 4179 [
J
kg K]
𝑘 = 0.631 [
W
m K]
𝜇 = 0.653×10.2 [
kg
m s]
𝑃𝑟 = 4.32
40℃
Convecção Forçada Interna
Exemplo: A água deve ser aquecida de 15C a 65C, à medida que escoa através de um tubo de 3cm de diâmetro interno e 5m de
comprimento. O tubo esta equipado com um aquecedor de resistência elétrica que fornece um aquecimento uniforme em toda
a superfície do tubo. A superfícies externa do aquecedor está bem isolada, de modo que em funcionamento permanente todo o
calor gerado pelo aquecedor é transferido para a água do tubo. Se o sistema fornecer agua quente a uma taxa de 10L/min,
determinar a potencia da resistência do aquecedor. Além disso, estimar a temperatura da superfície interna do tubo na saída.
1º passo: 𝑇+)- =
𝑇* + 𝑇)
2 =
15 + 65
2 = 40℃
Propriedades devem ser 
avaliadas na temperatura meda 
da massa de fluido:
𝜌 = 992.1
kg
m3
𝑐( = 4179 [
J
kg K]
𝑘 = 0.631 [
W
m K]
𝜇 = 0.653×10.2 [
kg
m s]
𝑃𝑟 = 4.32
40℃
2º passo: FLUXO PRESCRITO: 𝑞$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑄 = 𝑞$ 𝐴% = �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*) = (0.1654)(4179)(65 − 15) = 34.6 [kW]
Balanço 
de energia 𝑊 :
VAZÃO MASSICA: �̇� = 𝜌�̇� = 992.1 1.66×10.6 = 0.1654 >?
%
Onde:
VAZÃO VOLUMÉTRICA �̇� = 10
𝐿
𝑚𝑖𝑛
= 0.01
𝑚3
𝑚𝑖𝑛
= 1.66×10'(
𝑚3
𝑠
Convecção Forçada Interna
Exemplo: A água deve ser aquecida de 15C a 65C, à medida que escoa através de um tubo de 3cm de diâmetro interno e 5m de
comprimento. O tubo esta equipado com um aquecedor de resistência elétrica que fornece um aquecimento uniforme em toda
a superfície do tubo. A superfícies externa do aquecedor está bem isolada, de modo que em funcionamento permanente todo o
calor gerado pelo aquecedor é transferido para a água do tubo. Se o sistema fornecer agua quente a uma taxa de 10L/min,
determinar a potencia da resistência do aquecedor. Além disso, estimar a temperatura da superfície interna do tubo na saída.
3º passo:
𝜌 = 992.1
kg
m3
𝑐( = 4179 [
J
kg K]
𝑘 = 0.631 [
W
m K]
𝜇 = 0.653×10.2 [
kg
m s]
𝑃𝑟 = 4.32
40℃
Balanço 
de energia 𝑊 :
𝑇$(𝑥) = 𝑇+(𝑥) +
𝑞$
ℎ,
Temperatura 
de parede ℃ :
𝑞$ =
𝑄
𝐴%
=
34.6 [𝑘𝑊]
𝜋𝐷𝐿 = 73.46 [
𝑘𝑊
𝑚2 ]
FLUXO PRESCRITO: 𝑞$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑄 = 𝑞$ 𝐴% = �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*) = (0.1654)(4179)(65 − 15) = 34.6 [kW]
Convecção Forçada Interna
Exemplo: A água deve ser aquecida de 15C a 65C, à medida que escoa através de um tubo de 3cm de diâmetro interno e 5m de
comprimento. O tubo esta equipado com um aquecedor de resistência elétrica que fornece um aquecimento uniforme em toda
a superfície do tubo. A superfícies externa do aquecedor está bem isolada, de modo que em funcionamento permanente todo o
calor gerado pelo aquecedor é transferido para a água do tubo. Se o sistema fornecer agua quente a uma taxa de 10L/min,
determinar a potencia da resistência do aquecedor. Além disso, estimar a temperatura da superfície interna do tubo na saída.
3º passo:
𝜌 = 992.1
kg
m3
𝑐( = 4179 [
J
kg K]
𝑘 = 0.631 [
W
m K]
𝜇 = 0.653×10.2 [
kg
m s]
𝑃𝑟 = 4.32
40℃
𝑇$(𝑥) = 𝑇+(𝑥) +
𝑞$
ℎ,
Temperatura 
de parede ℃ :
𝑞$ =
𝑄
𝐴%
=
34.6 [𝑘𝑊]
𝜋𝐷𝐿 = 73.46 [
𝑘𝑊
𝑚2 ]
FLUXO PRESCRITO: 𝑞$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑇$(𝐿) = 𝑇+(𝐿) +
73460
ℎ,
𝑇$(𝐿) = 𝑇) +
73460
ℎ,
Convecção Forçada Interna
Exemplo: A água deve ser aquecida de 15C a 65C, à medida que escoa através de um tubo de 3cm de diâmetro interno e 5m de
comprimento. O tubo esta equipado com um aquecedor de resistência elétrica que fornece um aquecimento uniforme em toda
a superfície do tubo. A superfícies externa do aquecedor está bem isolada, de modo que em funcionamento permanente todo o
calor gerado pelo aquecedor é transferido para a água do tubo. Se o sistema fornecer agua quente a uma taxa de 10L/min,
determinar a potencia da resistência do aquecedor. Além disso, estimar a temperatura da superfície interna do tubo na saída.
3º passo:
𝜌 = 992.1
kg
m3
𝑐( = 4179 [
J
kg K]
𝑘 = 0.631 [
W
m K]
𝜇 = 0.653×10.2 [
kg
m s]
𝑃𝑟 = 4.32
40℃
𝑇$(𝑥) = 𝑇+(𝑥) +
𝑞$
ℎ,
Temperatura 
de parede ℃ :
FLUXO PRESCRITO: 𝑞$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑇$(𝐿) = 𝑇+(𝐿) +
73460
ℎ,
𝑇$(𝐿) = 𝑇) +
73460
ℎ,
Correlações... ℎ =
𝑘
𝐷𝑁𝑢
𝑅𝑒 =
𝜌𝑢+)-𝐷
𝜇 =
(992.1)(0.236)(0.03)
(0.653×10.2) = 10760
TURBULENTO
(𝑅𝑒 > 10 000)
Valores típicos esc. interno
em dutos circulares 
Re < 2100-2300Laminar
2300 < Re < 10 000 Transição
10 000 < Re Turbulento
Onde:
�̇� = 𝑢#$% 𝐴& [
#!
' ]
𝑢#$% =
)̇
*!
= 0.236 [#' ]
�̇� = 10
𝐿
𝑚𝑖𝑛 = 0.01
𝑚3
𝑚𝑖𝑛 = 1.66×10
+, 𝑚
3
𝑠
𝐴& =
1
4𝜋 𝐷
" = 7.069×10+, [𝑚2]
Convecção Forçada Interna
Exemplo: A água deve ser aquecida de 15C a 65C, à medida que escoa através de um tubo de 3cm de diâmetro interno e 5m de
comprimento. O tubo esta equipado com um aquecedor de resistência elétrica que fornece um aquecimento uniforme em toda
a superfície do tubo. A superfícies externa do aquecedor está bem isolada, de modo que em funcionamento permanente todo o
calor gerado pelo aquecedor é transferido para a água do tubo. Se o sistema fornecer agua quente a uma taxa de 10L/min,
determinar a potencia da resistência do aquecedor. Além disso, estimar a temperatura da superfície interna do tubo na saída.
3º passo:
𝑇$(𝑥) = 𝑇+(𝑥) +
𝑞$
ℎ,
Temperatura 
de parede ℃ :
FLUXO PRESCRITO: 𝑞$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑇$(𝐿) = 𝑇+(𝐿) +
73460
ℎ,
𝑇$(𝐿) = 𝑇) +
73460
ℎ,
Correlações... ℎ =
𝑘
𝐷𝑁𝑢
𝑅𝑒 =
𝜌𝑢+)-𝐷
𝜇 =
(992.1)(0.236)(0.03)
(0.653×10.2) = 10760
TURBULENTO
(𝑅𝑒 > 10 000)𝐿# ≈ 𝐿" ≈ 10 𝐷 = 0.3 [𝑚]
Completamente
desenvolvido
𝐿# e 𝐿" ≪ 𝐿 = 5𝑚
Correlação Empíricas Aplicabilidade 
correlação
Colburn 𝑁𝑢+ = 0.023 𝑅𝑒4.7 𝑃𝑟//2 0.7 ≤ 𝑃𝑟 ≤ 160
𝑅𝑒 ≥ 10000
para escoamento interno TURBULENTO
COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO DUTOS CIRCULARES
Correlação Empíricas Aplicabilidade 
correlação
Colburn 𝑁𝑢+ = 0.023 𝑅𝑒4.7 𝑃𝑟//2 0.7 ≤ 𝑃𝑟 ≤ 160
𝑅𝑒 ≥ 10000
Convecção Forçada Interna
Exemplo: A água deve ser aquecida de 15C a 65C, à medida que escoa através de um tubo de 3cm de diâmetro interno e 5m de
comprimento. O tubo esta equipado com um aquecedor de resistência elétrica que fornece um aquecimento uniforme em toda
a superfície do tubo. A superfícies externa do aquecedor está bem isolada, de modo que em funcionamento permanente todo o
calor gerado pelo aquecedor é transferido para a água do tubo. Se o sistema fornecer agua quente a uma taxa de 10L/min,
determinar a potencia da resistência do aquecedor. Além disso, estimar a temperatura da superfície interna do tubo na saída.
3º passo:
𝑇$(𝑥) = 𝑇+(𝑥) +
𝑞$
ℎ,
Temperatura 
de parede ℃ :
FLUXO PRESCRITO: 𝑞$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑇$(𝐿) = 𝑇+(𝐿) +
73460
ℎ,
𝑇$(𝐿) = 𝑇) +
73460
ℎ,
ℎ =
𝑘
𝐷
𝑁𝑢 = 1460 [
𝑊
𝑚2℃
]
para escoamento interno TURBULENTO
COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO DUTOS CIRCULARES
𝑁𝑢+ = 0.023(10760)4.7 (4.32)//2 = 69.4
Convecção Forçada Interna
Exemplo: A água deve ser aquecida de 15C a 65C, à medida que escoa através de um tubo de 3cm de diâmetro interno e 5m de
comprimento. O tubo esta equipado com um aquecedor de resistência elétrica que fornece um aquecimento uniforme em toda
a superfície do tubo. A superfícies externa do aquecedor está bem isolada, de modo que em funcionamento permanente todo o
calor gerado pelo aquecedor é transferido para a água do tubo. Se o sistema fornecer agua quente a uma taxa de 10L/min,
determinar a potencia da resistência do aquecedor. Além disso, estimar a temperatura da superfície interna do tubo na saída.
3º passo:
𝑇$(𝑥) = 𝑇+(𝑥) +
𝑞$
ℎ,
Temperatura 
de parede ℃ :
FLUXO PRESCRITO: 𝑞$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑇$(𝐿) = 𝑇+(𝐿) +
73460
ℎ,
𝑇$(𝐿) = 𝑇) +
73460
ℎ,
ℎ =
𝑘
𝐷
𝑁𝑢 = 1460 [
𝑊
𝑚2℃
]
para escoamento interno TURBULENTO
COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO DUTOS CIRCULARES
𝑇$ 𝐿 = 65 +
73460
1460 = 115 [℃]
Correlação Empíricas Aplicabilidade 
correlação
Colburn 𝑁𝑢+ = 0.023 𝑅𝑒4.7 𝑃𝑟//2 0.7 ≤ 𝑃𝑟 ≤ 160
𝑅𝑒 ≥ 10000
𝑁𝑢+ = 0.023(10760)4.7 (4.32)//2 = 69.4
Convecção Forçada Interna
Exemplo: Air quente à pressão atmosférica e 80C entra em um duto não isolado de 8m de comprimento, de seção transversal
quadrada de 0.2m x 0.2m, que passa através do sótão de uma casa com uma taxa de 0.15 m3/s. O duto é quase isotérmico a
60C. Determinar a temperatura do air na saída e a taxa de perda de calor a partir do duto para o espaço do sótão.
Convecção Forçada Interna
Exemplo: Air quente à pressão atmosférica e 80C entra em um duto não isolado de 8m de comprimento, de seção transversal
quadrada de 0.2m x 0.2m, que passa através do sótão de uma casa com uma taxa de 0.15 m3/s. O duto é quase isotérmico a
60C. Determinar a temperatura do air na saída e a taxa de perda de calor a partir do duto para o espaço do sótão.
1º passo:
Propriedades devem ser 
avaliadas na temperatura meda 
da massa de fluido:
𝑇+)- =
𝑇* + 𝑇)
2
Chute inicial ...
Processo 
iterativo 
𝑇+)-
(4) = 70 𝐶
Convecção Forçada Interna
Exemplo: Air quente à pressão atmosférica e 80C entra em um duto não isolado de 8m de comprimento, de seção transversal
quadrada de 0.2m x 0.2m, que passa através do sótão de uma casa com uma taxa de 0.15 m3/s. O duto é quase isotérmico a
60C. Determinar a temperatura do air na saída e a taxa de perda de calor a partir do duto para o espaço do sótão.
1º passo:
Propriedades devem ser 
avaliadas na temperatura meda 
da massa de fluido:
𝑇+)- =
𝑇* + 𝑇)
2
Chute inicial ...
Processo 
iterativo 
𝑇+)-
(4) = 70 𝐶
𝜌 = 1.028
kg
m3
𝑐( = 1007 [
J
kg K]
𝑘 = 0.02881 [
W
m K]
𝛼 = 2.780×10.8
m2
s2
𝜇 = 2.780×10.8[
kg
m s]
𝑃𝑟 = 0.7177
70 𝐶
Convecção Forçada Interna
Exemplo: Air quente à pressão atmosférica e 80C entra em um duto não isolado de 8m de comprimento, de seção transversal
quadrada de 0.2m x 0.2m, que passa através do sótão de uma casa com uma taxa de 0.15 m3/s. O duto é quase isotérmico a
60C. Determinar a temperatura do air na saída e a taxa de perda de calor a partir do duto para o espaço do sótão.
1º passo:
Propriedades devem ser 
avaliadas na temperatura meda 
da massa de fluido:
𝑇+)- =
𝑇* + 𝑇)
2
Chute inicial ...
Processo 
iterativo 
𝑇+)-
(4) = 70 𝐶
𝜌 = 1.028
kg
m3
𝑐( = 1007 [
J
kg K]
𝑘 = 0.02881 [
W
m K]
𝛼 = 2.780×10.8
m2
s2
𝜇 = 2.780×10.8[
kg
m s]
𝑃𝑟 = 0.7177
TEMP. PRESCRITA: 𝑇$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
𝑇) = 𝑇$ − 𝑇$ − 𝑇* exp[−
ℎ 𝐴%
�̇�𝑐(
]
Temperatura 
de saída (EXIT) [℃] :
Correlações... ℎ =
𝑘
𝐷𝑁𝑢
Laminar ou 
Tubulento ??
𝐿# ??		 𝐿" ??
Passo final:
Convecção Forçada Interna
Exemplo: Air quente à pressão atmosférica e 80C entra em um duto não isolado de 8m de comprimento, de seção transversal
quadrada de 0.2m x 0.2m, que passa através do sótão de uma casa com uma taxa de 0.15 m3/s. O duto é quase isotérmico a
60C. Determinar a temperatura do air na saída e a taxa de perda de calor a partir do duto para o espaço do sótão.
2º passo:
Propriedades devem ser 
avaliadas na temperatura meda 
da massa de fluido:
𝑇+)- =
𝑇* + 𝑇)
2
Chute inicial ...
Processo 
iterativo 
𝑇+)-
(4) = 70 𝐶
𝜌 = 1.028
kg
m3
𝑐( = 1007 [
J
kg K]
𝑘 = 0.02881 [
W
m K]
𝛼 = 2.780×10.8
m2
s2
𝜇 = 2.780×10.8[
kg
m s]
𝑃𝑟 = 0.7177
Passo final: TEMP. PRESCRITA: 𝑇$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
𝑇) = 𝑇$ − 𝑇$ − 𝑇* exp[−
ℎ 𝐴%
�̇�𝑐(
]
Temperatura 
de saída (EXIT) [℃] :
Correlações... ℎ =
𝑘
𝐷𝑁𝑢
𝑅𝑒 =
𝜌𝑢+)-𝐷
𝜇
=
(1.028)(3.75)(0.2)
(2.780×10.8)
= 27733.81
TURBULENTO
(𝑅𝑒 > 10 000)
Laminar ou 
Tubulento ??
𝐿# ??		 𝐿" ??
Onde:
�̇� = 𝑢#$% 𝐴& [
#!
' ]
𝑢#$% =
)̇
*!
= -./0(-.")(-.") = 3.75 [
#
' ]
𝐷. =
23#
'+4*#.
= 2(7.8)(7.8)
2(7.8)
= 0.2[𝑚]
1º passo:
Convecção Forçada Interna
Exemplo: Air quente à pressão atmosférica e 80C entra em um duto não isolado de 8m de comprimento, de seção transversal
quadrada de 0.2m x 0.2m, que passa através do sótão de uma casa com uma taxa de 0.15 m3/s. O duto é quase isotérmico a
60C. Determinar a temperatura do air na saída e a taxa de perda de calor a partir do duto para o espaço do sótão.
1º passo:
Propriedades devem ser 
avaliadas na temperatura meda 
da massa de fluido:
𝑇+)- =
𝑇* + 𝑇)
2
Chute inicial ...
Processo 
iterativo 
𝑇+)-
(4) = 70 𝐶
𝜌 = 1.028
kg
m3
𝑐( = 1007 [
J
kg K]
𝑘 = 0.02881 [
W
m K]
𝛼 = 2.780×10.8
m2
s2
𝜇 = 2.780×10.8[
kg
m s]
𝑃𝑟 = 0.7177
TEMP. PRESCRITA: 𝑇$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
𝑇) = 𝑇$ − 𝑇$ − 𝑇* exp[−
ℎ 𝐴%
�̇�𝑐(
]
Temperatura 
de saída (EXIT)[℃] :
Correlações... ℎ =
𝑘
𝐷𝑁𝑢
𝑅𝑒 =
𝜌𝑢+)-𝐷
𝜇
=
(1.028)(3.75)(0.2)
(2.780×10.8)
= 27733.81
TURBULENTO
(𝑅𝑒 > 10 000)
Laminar ou 
Tubulento ??
𝐿# ??		 𝐿" ??
𝐿# ≈ 𝐿" ≈ 10 𝐷 = 2 [𝑚]
Completamente desenvolvido 𝐿# e 𝐿" ≪ 𝐿 = 8𝑚
2º passo:
Passo final:
3º passo:
Convecção Forçada Interna
Exemplo: Air quente à pressão atmosférica e 80C entra em um duto não isolado de 8m de comprimento, de seção transversal
quadrada de 0.2m x 0.2m, que passa através do sótão de uma casa com uma taxa de 0.15 m3/s. O duto é quase isotérmico a
60C. Determinar a temperatura do air na saída e a taxa de perda de calor a partir do duto para o espaço do sótão.
1º passo:
Propriedades devem ser 
avaliadas na temperatura meda 
da massa de fluido:
𝑇+)- =
𝑇* + 𝑇)
2
Chute inicial ...
Processo 
iterativo 
𝑇+)-
(4) = 70 𝐶
TEMP. PRESCRITA: 𝑇$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
𝑇) = 𝑇$ − 𝑇$ − 𝑇* exp[−
ℎ 𝐴%
�̇�𝑐(
]
Temperatura 
de saída (EXIT) [℃] :
Correlações... ℎ =
𝑘
𝐷𝑁𝑢
Laminar ou 
Tubulento ??
𝐿# ??		 𝐿" ??
para escoamento interno TURBULENTO
COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO DUTOS CIRCULARES
𝑅𝑒 =
𝜌𝑢+)-𝐷
𝜇
=
(1.028)(3.75)(0.2)
(2.780×10.8)
= 27733.81
2º passo:
Passo final:
4º passo:
Correlação Empíricas Aplicabilidade 
correlação
Colburn 𝑁𝑢+ = 0.023 𝑅𝑒4.7 𝑃𝑟//2 0.7 ≤ 𝑃𝑟 ≤ 160
𝑅𝑒 ≥ 10000
Convecção Forçada Interna
Exemplo: Air quente à pressão atmosférica e 80C entra em um duto não isolado de 8m de comprimento, de seção transversal
quadrada de 0.2m x 0.2m, que passa através do sótão de uma casa com uma taxa de 0.15 m3/s. O duto é quase isotérmico a
60C. Determinar a temperatura do air na saída e a taxa de perda de calor a partir do duto para o espaço do sótão.
1º passo:
Propriedades devem ser 
avaliadas na temperatura meda 
da massa de fluido:
𝑇+)- =
𝑇* + 𝑇)
2
Chute inicial ...
Processo 
iterativo 
𝑇+)-
(4) = 70 𝐶
TEMP. PRESCRITA: 𝑇$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
𝑇) = 𝑇$ − 𝑇$ − 𝑇* exp[−
ℎ 𝐴%
�̇�𝑐(
]
Temperatura 
de saída (EXIT) [℃] :
Correlações... ℎ =
𝑘
𝐷𝑁𝑢
Laminar ou 
Tubulento ??
𝐿# ??		 𝐿" ??
Correlação Empíricas Aplicabilidade 
correlação
Colburn 𝑁𝑢+ = 0.023 𝑅𝑒4.7 𝑃𝑟//2 0.7 ≤ 𝑃𝑟 ≤ 160
𝑅𝑒 ≥ 10000
para escoamento interno TURBULENTO
COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO DUTOS CIRCULARES
ℎ =
𝑘
𝐷
𝑁𝑢 = 10.6 [
𝑊
𝑚2℃
]𝑁𝑢+ = 0.023 (27733.81)4.7(0.7177)//2 = 73.81
𝑅𝑒 =
𝜌𝑢+)-𝐷
𝜇
=
(1.028)(3.75)(0.2)
(2.780×10.8)
= 27733.81
2º passo:
Passo final:
4º passo:
Convecção Forçada Interna
Exemplo: Air quente à pressão atmosférica e 80C entra em um duto não isolado de 8m de comprimento, de seção transversal
quadrada de 0.2m x 0.2m, que passa através do sótão de uma casa com uma taxa de 0.15 m3/s. O duto é quase isotérmico a
60C. Determinar a temperatura do air na saída e a taxa de perda de calor a partir do duto para o espaço do sótão.
1º passo:
Propriedades devem ser 
avaliadas na temperatura meda 
da massa de fluido:
𝑇+)- =
𝑇* + 𝑇)
2
Chute inicial ...
Processo 
iterativo 
𝑇+)-
(4) = 70 𝐶
TEMP. PRESCRITA: 𝑇$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
𝑇) = 𝑇$ − 𝑇$ − 𝑇* exp[−
ℎ 𝐴%
�̇�𝑐(
]
Temperatura 
de saída (EXIT) [℃] :
ℎ =
𝑘
𝐷
𝑁𝑢 = 10.6 [
𝑊
𝑚2℃
]
Passo final:
𝑇) = 60 − 60 − 80 exp[−
(10.6) (6.4)
(0.1542)(1007)]
Onde:
�̇� = 𝜌�̇� = 1.028 0.15 = 0.1542
𝑘𝑔
𝑠
𝐴% = 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚. 𝐿 = 4 0.2 8 = 6.4 [𝑚2]
Convecção Forçada Interna
Exemplo: Air quente à pressão atmosférica e 80C entra em um duto não isolado de 8m de comprimento, de seção transversal
quadrada de 0.2m x 0.2m, que passa através do sótão de uma casa com uma taxa de 0.15 m3/s. O duto é quase isotérmico a
60C. Determinar a temperatura do air na saída e a taxa de perda de calor a partir do duto para o espaço do sótão.
1º passo:
Propriedades devem ser 
avaliadas na temperatura meda 
da massa de fluido:
𝑇+)- =
𝑇* + 𝑇)
2
Chute inicial ...
Processo 
iterativo 
𝑇+)-
(4) = 70 𝐶
TEMP. PRESCRITA: 𝑇$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
𝑇) = 𝑇$ − 𝑇$ − 𝑇* exp[−
ℎ 𝐴%
�̇�𝑐(
]
Temperatura 
de saída (EXIT) [℃] :
Passo final:
𝑇) = 60 − 60 − 80 exp[−
(10.6) (6.4)
(0.1542)(1007)]
Onde:
�̇� = 𝜌�̇� = 1.028 0.15 = 0.1542
𝑘𝑔
𝑠
𝐴% = 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚. 𝐿 = 4 0.2 8 = 6.4 [𝑚2]
𝑇) = 72.9 [℃]
Convecção Forçada Interna
Exemplo: Air quente à pressão atmosférica e 80C entra em um duto não isolado de 8m de comprimento, de seção transversal
quadrada de 0.2m x 0.2m, que passa através do sótão de uma casa com uma taxa de 0.15 m3/s. O duto é quase isotérmico a
60C. Determinar a temperatura do air na saída e a taxa de perda de calor a partir do duto para o espaço do sótão.
1º passo:
Propriedades devem ser 
avaliadas na temperatura meda 
da massa de fluido:
𝑇+)- =
𝑇* + 𝑇)
2
Chute inicial ...
Processo 
iterativo 
𝑇+)-
(4) = 70 𝐶
TEMP. PRESCRITA: 𝑇$ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
𝑇) = 𝑇$ − 𝑇$ − 𝑇* exp[−
ℎ 𝐴%
�̇�𝑐(
]
Temperatura 
de saída (EXIT) [℃] :
Passo final:
𝑇) = 60 − 60 − 80 exp[−
(10.6) (6.4)
(0.1542)(1007)]
𝑇) = 72.9 [℃]
𝑄 = ℎ 𝐴% ∆𝑇&'= �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*)
Balanço 
de energia 𝑊 :
𝑄 = �̇�𝑐((𝑇) − 𝑇*) = (0.1542)(1007) (72.9 − 80) = −1102.5 [W]
Onde:
�̇� = 𝜌�̇� = 1.028 0.15 = 0.1542
𝑘𝑔
𝑠
𝐴% = 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚. 𝐿 = 4 0.2 8 = 6.4 [𝑚2]