EBOOK_1_2020_2_EPIDEMIOLOGIA_BIOESTATISTICA-1

Prévia do material em texto

E-BOOK 1 
 
 
EPIDEMIOLOGIA E BIOESTATÍSTICA 
 
MÓDULO 1. INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Autora: Profa. Thays Souza 
 
 
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM: 
• Compreender a importância da Estatística. 
• Entender como transformar os dados em informação por meio das ferramentas 
estatísticas. 
• Representar os dados de forma gráfica. 
 
INTRODUÇÃO 
 
Neste módulo, estudaremos o que diz respeito especificamente à disciplina 
Probabilidade e Estatísticas, bem como de que modo podemos utilizar as 
ferramentas estatísticas no nosso dia a dia. Por essa razão, podemos dizer que 
abordaremos os seguintes tópicos: 
• Conceitos estatísticos e suas aplicações. 
• Medidas de localização e dispersão. 
• Frequências e classes. 
• Representação de dados em gráficos. 
• Medidas de associação. 
 
Sabe-se que a Estatística é uma área extremamente importante; assim, 
perceberemos, ao final deste módulo, que ela não é um bicho de sete cabeças! 
Notaremos também que já estamos a par de alguns conhecimentos estatísticos, os 
quais são usados no nosso cotidiano, mas que ainda não nos demos conta disso. 
Então, mãos à obra e vamos começar! 
 
CONCEITOS BÁSICOS SOBRE ESTATÍSTICA 
 
AFINAL, O QUE É ESTATÍSTICA? 
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO 
2 
 
A esse respeito, Bonafini (2015) informa que, embora a Estatística seja tão 
temida pelos alunos e muitas vezes muito complexa, ela não é nada mais do que a 
ciência que trabalha com os dados dos quais dispomos e a partir dos quais 
interpretamos. Por sua vez, Larson e Farber (2016) definem a Estatística como a 
ciência que trata da coleta, organização, análise e interpretação de dados para a 
tomada de decisões. 
Temos, ainda, a definição de Costa Neto (2002), que considera a Estatística 
uma ciência cuja preocupação é a organização, descrição, análise e interpretação 
dos dados experimentais, visando à tomada de decisões. 
Em síntese, foi dito que a estatística é uma ciência cujo principal objeto de 
estudo são os dados. Esses dados são colhidos, analisados e interpretados por 
meio de ferramentas estatísticas. Após o uso da estatística, somos capazes de 
tomar as decisões necessárias com base na interpretação correta dos dados. 
A Estatística é uma ferramenta importante para a tomada de decisões, dado 
que não deve ser considerada um fim para isso, mas o meio, um instrumento capaz 
de fornecer as informações que darão subsídios para que tomemos as melhores 
decisões com bases em fatos e dados (COSTA NETO, 2002). O autor reforça sua 
ideia, ao afirmar que a Estatística é uma ciência-meio, ou seja, uma ciência de apoio 
para outros campos do conhecimento. Em outras palavras, a Estatística nunca deve 
ser considerada uma ciência-fim. 
Em relação à essência da Estatística, pode-se dizer que 
 
[...] é a observação e que seu objetivo básico é a inferência, que 
pode ser dedutiva (na qual se argumenta das premissas às 
conclusões) ou indutiva (por meio da qual se vai do específico ao 
geral) (BUSSAB; MORETTIN, 2010, p. 1). 
 
Nas definições anteriores, falou-se muito sobre dados. Mas o que, de fato, 
são esses dados que foram mencionados em todas as definições apresentadas? 
Os dados são informações provenientes de observações, contagens, 
medições ou respostas. No geral, trabalhamos com dois tipos de dados na 
Estatística (LARSON; FABER, 2016, p. 3): 
I. População ou universo: coleção de todos, resultados, medições ou 
contagens que são do nosso interesse. 
II. Amostra: subconjunto ou parte de uma população. 
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO 
3 
 
Na Tabela 1, temos exemplos de população e amostra: 
 
População Amostra 
Conjunto de 200 moradores de um edifício 
com 50 apartamentos 
Amostra de 6 moradores de 6 apartamentos que 
possuem dois carros 
Conjunto com os alunos da FAM de todos os 
cursos, um total de aproximadamente 6 mil 
alunos 
 
Amostra com 10 alunos do curso de Medicina 
Conjunto de 1 mil funcionários de uma 
empresa de tecidos 
Amostra de 16 funcionárias com idade menor do 
que 30 anos de idade 
 
Conjunto de todas as escolas de ensino 
infantil da cidade de São Paulo 
Amostra com 50 escolas públicas do ensino 
infantil, sendo que 10 escolas são do centro de 
São Paulo, 10 escolas são da Zona Sul, 10 
escolas são da Zona Leste, 10 escolas são da 
Zona Norte e 10 escolas são da Zona Oeste 
Conjunto de todas as microempresas 
brasileiras na modalidade tipo MEI 
(microempreendedor individual) 
 
 
Amostra com 100 empresas tipo MEI que são 
das áreas de estética e saúde 
Tabela 1. Exemplos de população e amostra. 
Fonte: Elaborada pela autora (2020). 
 
 
Deve ficar claro também que a Estatística é dividida em duas partes a fim de 
facilitar os estudos (BUSSAB; MORETTIN, 2010; COSTA NETO, 2002): 
• Estatística Descritiva: sua preocupação é descrever e organizar os 
dados experimentais. 
• Estatística Indutiva: sua finalidade é cuidar da análise e interpretar os 
dados. 
 
A Figura 1 mostra a relação entre os dois tipos de estatística: 
 
Figura 1. Relação entre os ramos da Estatística. 
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO 
4 
 
 
Fonte: Adaptado de Costa Neto (2002, p. 4). 
 
Com base nessa figura, podemos dizer que coletamos amostras de uma 
população, nosso objeto de estudo. Feito isso, usamos a estatística descrita, que 
nada mais é do que “o ramo da estatística que envolve a organização, o resumo e a 
representação dos dados” (LARSON; FARBER, 2016, p. 6). 
Após darmos o tratamento da estatística descritiva aos dados amostrados, 
fazemos uso da estatística indutiva, a qual “consiste em um ramo da estatística que 
envolve o uso de uma amostra para chegar a conclusões sobre uma população” 
(LARSON; FARBER, 2016, p. 6). Assim, a estatística indutiva utiliza-se de uma 
ferramenta muito importante: o cálculo de probabilidades (Figura 1). 
O cálculo de probabilidades será mais bem desenvolvido posteriormente. Por 
ora, devemos ressaltar apenas que é uma ferramenta essencial para a Estatística 
Indutiva. 
 
EXEMPLOS DE ESTATÍSTICAS 
 
Vamos abordar, neste tópico, alguns exemplos de pesquisas estatísticas mais 
recentes, que tratam de assuntos cotidianos que nos cercam. 
Segundo a Época Negócios (2019), o Brasil é o segundo país onde as 
pessoas passam mais tempo conectados às redes sociais. Em média, os brasileiros 
costumavam ficar 219 minutos (3 horas e 39 minutos) interagindo por meio de redes 
Estatística indutiva
Cálculo de 
probabilidades
Amostragem
Estatística 
Descritiva
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO 
5 
 
sociais durante o ano de 2018; em 2019, os brasileiros passaram, em média, 225 
minutos (3 horas e 45 minutos) conectados. A Tabela 2 mostra o ranking dos países 
em que os usuários de redes sociais gastam mais tempo realizando suas atividades: 
 
Ranking País Minutos (2019) Minutos (2018) 
1 Filipinas 241 248 
2 Brasil 225 219 
3 Colômbia 216 214 
4 Nigéria 216 206 
5 Argentina 207 197 
6 Indonésia 195 203 
7 Emirados Árabes 191 180 
8 México 190 194 
9 África do Sul 190 178 
10 Egito 186 185 
12 Arábia Saudita 186 172 
13 Turquia 185 172 
18 Rússia 148 141 
19 Índia 145 148 
22 China 139 120 
25 EUA 117 125 
Tabela 2. Ranking dos países que mais usam as redes sociais: tempo médio gasto. 
Fonte: GlobalWebIndex (2019 apud ÉPOCA NEGÓCIOS, 2019). 
 
Outro exemplo de pesquisa estatística importante foi feito pela TIC Domicílios 
(PORTAL G1, 2019) sobre o uso da internet no Brasil. Segundo essa pesquisa, 70% 
da população brasileira tem acesso à internet, o que equivale a 126,9 milhões de 
pessoas. Os resultados revelaram que 97% dos usuários têm acesso à internet por 
meio do celular; apenas 30% possuem Smart TV; e 51% de usuários utilizam o 
computador para acessar a internet (Figura 2): 
 
Figura 2. O Brasil na internet. 
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO 
6 
 
 
Fonte: TIC Domicílios (2019 apud PORTAL G1, 2019). 
 
Vamos a um último exemplo de pesquisa estatística. Todos nós sabemos que 
o Sistema Único de Saúde (SUS) apresenta problemasdecorrentes da superlotação 
dos hospitais e postos de saúde. Mas qual será o nível de satisfação dos usuários 
do SUS? 
Dados levantados pela Pesquisa Nacional de Saúde revelaram que 82,6% 
estão satisfeitas com os serviços de internação hospitalar do SUS; 80,2% dos 
usuários dos serviços de emergência estão satisfeitos com os tratamentos que 
foram prestados pelo SUS. Cabe ainda explicar que 71,1% da população brasileira 
utiliza o SUS, e 47,9% dessa população faz uso das Unidades Básicas de Saúde. 
Com base nessa pesquisa, podemos dizer que, apesar dos problemas 
existentes no SUS, ele ainda tem um serviço de qualidade reconhecida. 
 
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO 
7 
 
FIQUE ATENTO 
Procure mais pesquisas estatísticas nas mídias. Pode ser qualquer pesquisa que você ache 
interessante: as melhores empresas para se trabalhar, as melhores universidades para um 
determinado curso, pesquisas de opinião sobre um determinado serviço ou sobre 
estabelecimentos comerciais, pesquisas eleitorais etc. Vamos começar a nos familiarizar com 
os termos estatísticos a partir de agora. 
 
 
MEDIDAS DE LOCALIZAÇÃO E DISPERSÃO 
Neste item, vamos estudar as medidas de localização e de dispersão; sejam 
três conjuntos de dados quantitativos: 
 
Conjunto 1 17 17 17 17 17 
Conjunto 2 7 10 17 22 29 
Conjunto 3 0 13 17 25 30 
Tabela 3. Conjunto de dados para cálculo de medidas de localização e dispersão. 
Fonte: Elaborada pela autora (2020). 
 
Assim, temos a seguinte definição de medidas de localização: 
 
Medidas de localização de uma amostra (ou coleção) de dados de 
tipo quantitativo são estatísticas que resumem a informação da 
amostra, dando indicação quer do centro da distribuição dos dados, 
de que são exemplos a média e a mediana, quer de outros pontos 
importantes dessa distribuição, de que são exemplos os quartis 
(MARTINS, 2015a). 
 
Segundo Bonafini (2015, p. 22), “média, mediana e moda são chamadas de 
medidas de tendência central que servem como símbolo de um conjunto de dados”. 
Essas medidas representam os dados como um todo. 
Vamos obter, então, a média para os três conjuntos (Tabela 3). A média 
aritmética para cada conjunto é obtida pela somatória dos elementos de cada 
conjunto dividida pelo número total de elementos. Matematicamente, nós temos o 
seguinte (BUSSAB; MORETTIN, 2010, p. 33): 
1
n
i
i
x
media
n
==

 (1) 
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO 
8 
 
Para essa equação, xi corresponde a cada elemento do conjunto de dados. O 
termo n corresponde ao total de elementos no conjunto de dados. E o termo 
1
n
i
i
x
=
 
corresponde à somatória de todos os elementos do conjunto de dados. 
Para o conjunto de dados (1), obtém-se a média aritmética do seguinte modo: 
1
1
1
17 17 17 17 17
5
85
5
17
m
m
m
+ + + +
=
=
=
 
Para o conjunto de dados (2), obtém-se a média aritmética do seguinte modo: 
2
2
2
0 13 17 25 30
5
85
5
17
m
m
m
+ + + +
=
=
=
 
Para o conjunto de dados (3), obtém-se a média aritmética do seguinte modo: 
3
3
3
7 10 17 22 29
5
85
5
17
m
m
m
+ + + +
=
=
=
 
Os três conjuntos têm a mesma média aritmética; ainda assim, não podemos 
concluir nada sobre eles, por enquanto. Vamos então à definição de moda. 
“A moda é uma medida de localização, definida como sendo a realização 
mais frequente do conjunto de valores observados” (BUSSAB; MORETTIN, 2010, p. 
35). Traduzindo, a moda é o valor que mais se repete em uma sequência de dados. 
Para o Conjunto 1, a moda será igual a 17. Os conjuntos 2 e 3 não têm moda, pois 
os cinco valores aparecem o mesmo número de vezes. 
Quanto à mediana, esta é “uma medida de localização, que ocupa a posição 
central da série de observações, quando os dados desta série estão ordenados em 
ordem crescente” (BUSSAB; MORETTIN, 2010, p. 35). 
Para o Conjunto 1, com 5 elementos, a mediana é o elemento que está na 3° 
posição; logo, a mediana é o número 17. O mesmo raciocínio aplica-se aos 
Conjuntos 2 e 3, que têm cinco elementos. A mediana encontra-se na 3° posição. 
Para os conjuntos 2 e 3, a mediana também é igual a 17. 
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO 
9 
 
Observe que os conjuntos estudados têm um número ímpar de elementos, e 
a mediana está na posição do meio para tais conjuntos. Mas e se tivéssemos 1 
conjunto com 6 elementos, como calcularíamos a mediana? 
Vamos a um exemplo de conjunto com 6 elementos (Tabela 4): 
 
Conjunto 4 12 13 17 18 20 22 
Tabela 4. Conjunto de dados com 6 elementos. 
Fonte: Elaborada pela autora (2020). 
 
A média para o Conjunto 4 é calculada assim: 
3
3
3
12 13 17 18 20 22
6
102
6
17
m
m
m
+ + + + +
=
=
=
 
Costumamos usar o símbolo x quando nos referimos à média. Esse conjunto 
não tem moda, pois todos os elementos se repetem com a mesma frequência. Para 
o Conjunto 4, obtém-se a mediana somando o elemento que está na posição 
2
n
 com 
o elemento que se encontra na posição 1
2
n 
+ 
 
. Para esse conjunto, teremos o 
elemento que ocupa a 3ª posição somado com o elemento que ocupa a 4ª posição, 
pois temos 6n = . 
O cálculo da mediana para o conjunto de dados com 6 elementos fica assim: 
17 18
2
35
2
17,5
mediana
mediana
mediana
+
=
=
=
 
Conforme observamos nos exemplos estudados para os conjuntos 1 a 4, o 
cálculo da mediana para uma variável X é definido, portanto, como (BUSSAB; 
MORETTIN, 2010, p. 36): 
𝑚𝑑(𝑋) = {
𝑥
(
𝑛+1
2
)
, 𝑠𝑒 𝑛 í𝑚𝑝𝑎𝑟
𝑥
(
𝑛
2
)
+𝑥
(
𝑛
2
+1)
2
, 𝑠𝑒 𝑛 𝑝𝑎𝑟
 (2) 
 
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO 
10 
 
Embora os Conjuntos 1, 2 e 3 tenham a mesma média e a mesma mediana, 
têm um aspecto bem diferente no que diz respeito à variabilidade ou à dispersão 
(Figura 3): 
 
Figura 3. A variabilidade dos dados dos conjuntos 1, 2 e 3. 
 
Fonte: Elaborada pela autora (2020). 
Segundo Martins (2015b), como as medidas média e mediana não falam nada 
sobre a variabilidade dos dados; assim, para estudarmos esses conjuntos de dados, 
é necessário definir antes outras medidas, denominadas medidas de dispersão. A 
autora define ainda medidas de dispersão como medidas que medem a variabilidade 
dos dados ou a dispersão presente nos dados. 
Sobre a relação entre as medidas de localização e as medidas de dispersão, 
temos uma colocação extremamente interessante: 
 
A informação fornecida pelas medidas de posição necessita em geral 
ser complementada pelas medidas de dispersão. Estas servem para 
indicar o quanto os dados se apresentam dispersos em torno da 
região central. Caracterizam, portanto, o grau de variação existente 
no conjunto de valores. As medidas de dispersão que nos interessam 
são a amplitude, a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de 
variação (COSTA NETO, 2002, p. 24). 
 
Vamos estudar cada uma das medidas de dispersão mencionadas a saber: 
amplitude, variância, desvio-padrão e coeficiente de variação. 
Bonafini (2015) e Costa Neto (2002) definem a amplitude como a diferença 
existente entre o maior e o menor valor entre os dados que nos foram apresentados. 
Em conformidade com esses autores, representamos a amplitude matematicamente 
assim: 
minmáxR x x= − (3) 
Onde temos: 
R = amplitude. 
x máx = valor máximo da série de dados. 
x mín = valor mínimo da série de dados. 
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO 
11 
 
 
Façamos o cálculo da amplitude para os 3 conjuntos de 5 elementos. Com isso, para 
o Conjunto 1 temos: 
1 min
1
1
17 17
0
máxR x x
R
R
= −
= −
=
 
Para o Conjunto 2 temos: 
2 min
2
2
29 7
22
máxR x x
R
R
= −
= −
=
 
Para o conjunto 3 temos: 
3 min
3
3
30 0
30
máxR x x
R
R
= −
= −
=
 
 
Com base nos cálculos anteriores, podemos dizer que o Conjunto 3 
apresentou a maior amplitude em seus dados. 
Passamos então à definição de variância, que usamos “para saber como a 
distribuição de valores ocorre em uma amostra ou na população como um todo” 
(BONAFINI, 2015, p. 29). A fórmula para a variância de uma amostra está descrita 
na equação (4);a fórmula para a população, na equação (5): 
( )
2
2 1
1
n
i
i
x x
s
n
=
−
=
−

 (4) 
 
( )
2
2 1
1
n
i
i
x x
s
n
=
−
=
−

 (5) 
 
 
Vamos, antes, considerar os Conjuntos 1, 2 e 3 como três amostras de uma 
população qualquer; então, calculamos a variância para os três conjuntos por meio 
da equação (4). O cálculo para os três conjuntos consta na Tabela 5: 
 
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO 
12 
 
Conjunto 1 - 17x = Conjunto 2 - 17x = Conjunto 3 - 17x = 
ix ix x− ( )
2
ix x−
 
ix
 
ix x− ( )
2
ix x− i
x 
ix x− ( )
2
ix x− 
17 17-17=0 02 = 0 7 (7-17) = (-10) (-10)2=100 0 (0-17) = (-17) (-17)2=289 
17 17-17=0 02 = 0 10 (10-17) = (-7) (-7)2=49 13 (13-17) = (-4) (-4)2=16 
17 17-17=0 02 = 0 17 (17-17) = 0 (0)2=0 17 (17-17) = 0 (0)2=0 
17 17-17=0 02 = 0 22 (22-17) = (5) (5)2=25 25 (25-17) = (8) (8)2=64 
17 17-17=0 02 = 0 29 (29-17) = (12) (12)2=144 30 (30-17) = (13) (13)2=169 
 
( )
5 2
1
i
i
x x
=
−
 
0 319 538 
 1 4n− =
 
 1 4n− = 1 4n− = 
 ( )
5 2
1
4
i
i
x x
=
−
 
0
0
4
= 
 319
79,75
4
= 
 538
134,5
4
=
 
Tabela 5. Cálculo da variância para dados amostrais. 
Fonte: Elaborada pela autora (2020). 
 
Considerando os Conjuntos 1, 2 e 3 como três populações, o cálculo da 
variância para é demonstrado na Tabela 6: 
 
Conjunto 1 - 17x = Conjunto 2 - 17x = Conjunto 3 - 17x = 
ix ix x− ( )
2
ix x−
 
ix ix x− ( )
2
ix x− i
x 
ix x− ( )
2
ix x− 
17 17-17=0 02 = 0 7 (7-17) = (-10) (-10)2=100 0 (0-17) = (-17) (-17)2=289 
17 17-17=0 02 = 0 10 (10-17) = (-7) (-7)2=49 13 (13-17) = (-4) (-4)2=16 
17 17-17=0 02 = 0 17 (17-17) = 0 (0)2=0 17 (17-17) = 0 (0)2=0 
17 17-17=0 02 = 0 22 (22-17) = (5) (5)2=25 25 (25-17) = (8) (8)2=64 
17 17-17=0 02 = 0 29 (29-17) = 
(12) 
(12)2=144 30 (30-17) = 
(13) 
(13)2=169 
 
( )
5 2
1
i
i
x x
=
−
 
0 319 538 
 5n = 5n = 5n = 
 ( )
5 2
1
5
i
i
x x
=
−
 
0
0
5
= 
 319
63,68
5
=
 
 538
107,6
5
=
 
Tabela 6. Cálculo da variância para as três populações. 
Fonte: Elaborada pela autora (2020). 
 
Como a variância é uma medida de dispersão que analisa quanto os dados 
estão variando com relação à média, ao analisarmos as Tabelas 5 e 6, notamos que 
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO 
13 
 
o Conjunto 3 apresentou a maior variância, indicando que seus dados estão mais 
dispersos ou mais distantes da medida de localização central: a média. 
Lembre-se de que a média para os três conjuntos é igual a 17x = . Com base 
nos cálculos da variância mostrados nas Tabelas 5 e 6, percebemos que a maior 
variabilidade dos dados é apresentada pelo conjunto nos dois casos. 
Assim, a variância é expressa na unidade da variável elevada ao quadrado. 
Vamos então à definição da medida de dispersão chamada de desvio-padrão. “O 
desvio-padrão é definido como a raiz quadrada positiva da variância” (COSTA 
NETO, 2002, p. 27). A fórmula para o cálculo do desvio-padrão é: 
2s s= + (6) 
Vamos calcular o desvio-padrão para os Conjuntos 1 a 3 com os dados das 
Tabelas 5 e 6 da seguinte forma: 
 
 Variância da 
amostra 
Desvio-padrão 
da amostra 
Variância da 
população 
Desvio-padrão 
da população 
Conjunto 1 0 0 0 0 
Conjunto 2 79,75 8,93 63,68 7,97 
Conjunto 3 134,5 11,59 107,6 10,37 
Tabela 7. Cálculo do desvio-padrão para os três conjuntos de dados. 
Fonte: Elaborada pela autora (2020). 
 
O desvio-padrão informa, na verdade, o quanto os dados estão longe da 
média. No caso do Conjunto 1, os dados são iguais à média 17; no Conjunto 2, os 
dados estão a 8,93 unidades da média para a amostra e 7,97 unidades da média 
para a população; no Conjunto 3, os dados encontram-se a uma distância de 11,59 
unidades da média para a amostra e 10,37 unidades da média para a população. 
Passemos à definição do último conceito importante para nós: o coeficiente 
de variação, que é definido como o quociente entre o desvio-padrão s e a média x . 
É um número adimensional que costumamos multiplicar por 100 para tê-lo em 
porcentagem. 
O coeficiente de variação (CV) nos mostra o quanto os dados têm variado em 
relação à média em termos relativos (COSTA NETO, 2002). Em termos 
matemáticos, escreve-se o CV assim: 
s
CV
x
= (7) 
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO 
14 
 
Vamos calcular agora o coeficiente de variação para o caso de considerarmos 
os conjuntos de dados como amostras e para o caso de considerarmos os conjuntos 
de dados enquanto populações. 
 
 Desvio-
padrão da 
amostra 
Média 
da 
amostra 
Coeficiente 
de variação 
da amostra 
Desvio-
padrão da 
população 
Média da 
população 
Coeficiente 
de variação 
da 
população 
Conjunto 1 0 17 0 0 17 0 
Conjunto 2 8,93 17 52,52% 7,97 17 46,88% 
Conjunto 3 11,59 17 68,17% 10,37 17 61,00% 
Tabela 8. Cálculo do coeficiente de variação para os três conjuntos de dados. 
Fonte: Elaborada pela autora (2020). 
 
Observando essa tabela, percebemos que os dados apresentam maior 
coeficiente de variação quando consideramos os três conjuntos de dados como 
amostras. Vamos resumir as medidas de localização e de dispersão que obtivemos 
para os conjuntos, considerando-os apenas como dados amostrais (Tabela 9): 
 
 Conjunto 1 Conjunto 2 Conjunto 3 
Média 17 17 17 
Moda 17 — — 
Mediana 17 17 17 
Variância 0 79,75 134,5 
Desvio-padrão 0 8,93 11,59 
Coeficiente de 
variância 
0 52,52% 68,17% 
Tabela 9. Sumário estatístico para os três conjuntos de amostras. 
Fonte: Elaborada pela autora (2020). 
 
A Tabela 10 contém o sumário estatístico para os três conjuntos considerados 
como três populações distintas: 
 
 Conjunto 1 Conjunto 2 Conjunto 3 
Média 17 17 17 
Moda 17 — — 
Mediana 17 17 17 
Variância 0 63,68 107,6 
Desvio-padrão 0 7,97 10,37 
Coeficiente de 
variância 
0 46,88% 61,00% 
Tabela 10. Sumário estatístico para os três conjuntos de populações. 
Fonte: Elaborada pela autora (2020). 
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO 
15 
 
 
Neste ponto, finalizamos nosso estudo sobre as medidas de localização e de 
dispersão. 
 
 
FREQUÊNCIAS E CLASSES 
 
Neste tópico, daremos continuidade ao estudo de um conjunto de dados 
brutos. Os dados referem-se ao nível de glicose de 60 crianças (Tabela 11): 
 
56 61 57 77 62 75 63 55 64 60 
60 57 61 57 67 62 69 67 68 59 
65 72 65 61 68 73 65 62 75 80 
66 61 69 76 72 57 75 68 83 64 
69 64 66 74 65 76 65 58 65 64 
65 60 65 80 66 80 68 55 66 71 
Tabela 11. Nível de glicose de 60 crianças. 
Fonte: USFJ (s. d.). 
 
Esses dados estão desordenados, vamos precisar colocá-los em ordem 
crescente. Após a ordenação, os dados ficam assim: 
 
55 55 56 57 57 57 57 58 59 60 
60 60 61 61 61 61 62 62 62 63 
64 64 64 64 65 65 65 65 65 65 
65 65 66 66 66 66 67 67 68 68 
68 68 69 69 69 71 72 72 73 74 
75 75 75 76 76 77 80 80 80 83 
Tabela 12. Dados ordenados do nível de glicose de 60 crianças. 
Fonte: Elaborada pela autora (2020). 
 
REFLITA 
Para praticar mais um pouco as medidas de localização e dispersão, será que você 
consegue calcular todas as medidas que apresentamos no Módulo 1? Vamos deixar você 
praticando sozinho as medidas aprendidas como lição de casa. 
Que interpretação você daria a esses dados brutos? 
 
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO 
16 
 
Para o estudo dos níveis de glicose das crianças, deseja-se saber quais são 
os níveis de glicose mais frequentes entre as crianças. Para isso, precisamos obter 
a distribuição de frequências das taxas de glicose. 
Segundo Bonafini (2015, p. 12), “a distribuição de frequências nada mais é do 
que uma tabela simples que nos mostra como a variável se dissipa de acordo com 
as divisões por nós estabelecidas”. 
Visando a elaborar uma tabela de frequência, seguiremos o roteiro proposto 
por Bonafini (2015, p.13): 
• Calculamos a amplitude dos dados: min 83 55 28máxR x x= − = − = . 
• Vamos escolher um número de classes maior que 5 e menor que 20. 
Escolheremos 14 classes porque é um número divisível pela amplitude 
que é igual a 28. 
• A largura de cada classe será igualà amplitude total dos dados 
divididos pelo número de classes, o que nos dá 28 dividido por 14 que 
é igual a 2. A largura de cada classe será igual a 2. 
• Depois, determinaremos os limites inferior e superior para cada classe. 
• Finalmente, contaremos quantas ocorrências temos em cada classe 
com base nos dados ordenados apresentados na Tabela 12. 
 
Observe o que fizemos na Tabela 13: 
 
Classe Frequência 
55-57 3 
57-59 5 
59-61 4 
61-63 7 
63-65 5 
65-67 12 
67-69 6 
69-71 3 
71-73 3 
73-75 2 
75-77 5 
77-79 1 
79-81 3 
81-83 1 
somatória 60 
Tabela 13. Distribuição de Frequência para os níveis de glicose 
Fonte: Elaborada pela autora (2020). 
 
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO 
17 
 
É importante explicar que, na primeira classe, pusemos a contagem dos 
valores maiores ou iguais a 55 e menores que 57. Na segunda classe, pusemos a 
contagem dos valores maiores ou iguais a 57 e menores que 59. E assim por diante. 
Somente na última classe colocamos os valores a contagem dos valores maiores ou 
iguais a 81 e menores ou iguais a 83 para ficarmos com um total de 14 classes. 
A somatória das frequências tem que ser igual ao número total de dados dos 
quais dispomos. Costumamos expressar a frequência em termos de porcentagem, 
mas também expressamos em forma de frequência acumulada. Ao fazê-lo com os 
dados da Tabela 14, obteremos os seguintes resultados: 
 
 
Classe 
 
Frequência 
 
Frequência 
acumulada 
Frequência 
em 
porcentagem 
Frequência 
em porcentagem 
acumulada 
55-57 3 3 5% 5% 
57-59 5 8 8,3% 13,3% 
59-61 4 12 6,7% 20% 
61-63 7 19 11,7% 31,7% 
63-65 5 24 8,3% 40% 
65-67 12 36 20% 60% 
67-69 6 42 10% 70% 
69-71 3 45 5% 75% 
71-73 3 48 5% 80% 
73-75 2 50 3,3% 83,3% 
75-77 5 55 8,3% 91,6% 
77-79 1 56 1,7% 93,3% 
79-81 3 59 5% 98,3% 
81-83 1 60 1,7% 100% 
somatória 60 100,00% 
Tabela 14. Distribuição de Frequência para os níveis de glicose. 
Fonte: Elaborada pela autora (2020). 
 
As frequências acumuladas são calculadas ao se somar a frequência da 
classe atual com a frequência da classe posterior. O mesmo raciocínio se aplica à 
frequência acumulada em forma de porcentagem. 
Não calculamos as frequências à toa. Quando observamos a Tabela 13, 
podemos concluir que a taxa de glicose das crianças mais frequente está na classe 
65-67. Basta checarmos os dados brutos ordenados da Tabela 12. 
Construímos a tabela de frequências sempre com o intuito de estudarmos 
quais os valores mais frequentes para as variáveis que estamos estudando. 
Quais as notas mais frequentes de cálculo em um curso de Engenharia? 
Quais os salários mais frequentes para um profissional da informática? Quais os 
pesos mais frequentes dos funcionários de uma empresa? E assim por diante. 
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO 
18 
 
 
SAIBA MAIS 
Construir tabelas de frequências pode ser uma tarefa mais fácil quando feita em uma 
planilha, como o Excel. Você pode fazer o cálculo ou usar a função FREQUENCY do 
programa. Saiba como usá-la consultando o suporte: https://support.office.com/pt-
br/article/freq%C3%9C%C3%8Ancia-fun%C3%A7%C3%A3o-freq%C3%9C%C3%8Ancia-
44e3be2b-eca0-42cd-a3f7-fd9ea898fdb9. 
 
 
REPRESENTAÇÃO DE DADOS EM GRÁFICOS 
 
Para representarmos os dados da nossa Tabela 14 na forma de gráficos, 
precisamos calcular o ponto médio de cada classe de frequência, conforme consta 
na Tabela 15: 
 
 
Classe 
Ponto 
médio 
da 
classe 
 
Frequência 
 
Frequência 
acumulada 
Frequência 
em 
porcentagem 
Frequência 
em 
porcentagem 
acumulada 
55-57 56 3 3 5% 5% 
57-59 58 5 8 8,3% 13,3% 
59-61 60 4 12 6,7% 20% 
61-63 62 7 19 11,7% 31,7% 
63-65 64 5 24 8,3% 40% 
65-67 66 12 36 20% 60% 
67-69 68 6 42 10% 70% 
69-71 70 3 45 5% 75% 
71-73 72 3 48 5% 80% 
73-75 74 2 50 3,3% 83,3% 
75-77 76 5 55 8,3% 91,6% 
77-79 78 1 56 1,7% 93,3% 
79-81 80 3 59 5% 98,3% 
81-83 82 1 60 1,7% 100% 
somatória 60 100,00% 
Tabela 15. Tabela Completa Distribuição de Frequência para os níveis de glicose. 
Fonte: Elaborada pela autora (2020). 
 
No software MS-Excel, foi feito o gráfico de frequência absoluta para cada 
classe. Confira o resultado na Figura 4: 
 
Figura 4. Nível de glicose versus frequência absoluta. 
https://support.office.com/pt-br/article/freq%C3%9C%C3%8Ancia-fun%C3%A7%C3%A3o-freq%C3%9C%C3%8Ancia-44e3be2b-eca0-42cd-a3f7-fd9ea898fdb9
https://support.office.com/pt-br/article/freq%C3%9C%C3%8Ancia-fun%C3%A7%C3%A3o-freq%C3%9C%C3%8Ancia-44e3be2b-eca0-42cd-a3f7-fd9ea898fdb9
https://support.office.com/pt-br/article/freq%C3%9C%C3%8Ancia-fun%C3%A7%C3%A3o-freq%C3%9C%C3%8Ancia-44e3be2b-eca0-42cd-a3f7-fd9ea898fdb9
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO 
19 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora (2020). 
 
O gráfico da frequência acumulada consta na Figura 5: 
 
Figura 5. Nível de glicose versus frequência absoluta acumulada. 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora (2020). 
 
O gráfico da frequência absoluta para o ponto médio do nível de glicose de 
cada classe é mostrado na figura a seguir: 
 
Figura 6. Ponto médio de cada classe de nível de glicose versus frequência 
absoluta. 
0
2
4
6
8
10
12
14
Fr
eq
u
ên
ci
a 
A
b
so
lu
ta
Nível de Glicose
Gráfico de Frequência Absoluta
0
10
20
30
40
50
60
70
F
re
q
u
ê
n
c
ia
 a
c
u
m
u
la
d
a
Classe de nível de glicose
Frequência acumulada para cada classe
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO 
20 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora (2020). 
 
Foi construído também o gráfico da frequência acumulada para o ponto médio 
de cada classe (Figura 7): 
 
Figura 7. Ponto Médio de cada classe de nível de glicose versus frequência absoluta 
acumulada. 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora (2020). 
 
Por último, vamos mostrar os gráficos para a frequência relativa e para a 
frequência relativa acumulada tanto para as classes de nível de glicose quanto para 
o ponto médio das classes nas figuras a seguir: 
 
Figura 8. Classes de nível de glicose versus frequência relativa. 
0
2
4
6
8
10
12
14
56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82
F
re
q
u
ê
n
c
ia
 A
b
s
o
lu
ta
Ponto médio do nível de glicose de cada classe
Frequência absoluta para o ponto médio 
de cada classe
0
10
20
30
40
50
60
70
56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82
F
re
q
u
ê
n
c
ia
 a
c
u
m
u
la
d
a
Ponto médio de cada classe
Frequência acumulada para o ponto médio
de cada classe
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO 
21 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora (2020). 
 
Figura 9. Classes de nível de glicose versus frequência relativa acumulada. 
 
 
Fonte: Elaborado pela autora (2019). 
 
 
Figura 10. Ponto médio de cada classe de nível de glicose versus frequência 
relativa. 
 
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
F
re
q
u
ê
n
c
ia
 r
e
la
ti
v
a
 
Classes
Polígono de Frequências
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
F
re
q
u
ê
n
c
ia
s
 r
e
la
ti
v
a
s
 a
c
u
m
u
la
d
a
s
Classes 
Frequência em porcentagem acumulada
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO 
22 
 
 
Fonte: Elaborado pela autora (2020). 
 
 
 
 
 
 
Figura 11. Ponto médio de cada classe de nível de glicose versus frequência relativa 
acumulada. 
 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora (2020). 
 
0%
5%
10%
15%
20%
25%
56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82
F
re
q
u
ê
n
c
ia
 r
e
la
ti
v
a
Ponto médio de cada classe
Frequência relativa para o médio de cada classe
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82
F
re
q
u
ê
n
c
ia
 r
e
la
ti
v
a
 a
c
u
m
u
la
d
a
Pontos médios das classes
Frequência relativa acumulada
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO 
23 
 
Há tantos modelos de gráficos de frequência possíveis de serem feitos neste 
caso que poderíamos passar uma disciplina inteira estudando gráficos de 
frequências e classes. Tais gráficos são muito bons, porque nos permitem interpretar 
mais facilmente como se encontram distribuídos ao longo das classes que criamos. 
Convidamos você a testar outros modelos e tipo de gráfico no Excel ou no 
software de planilha que você se sente à vontadede usar. Nesses exemplos, 
usamos 14 classes de dados. Fique à vontade para usar menos classes de dados 
ou até um número maior de classes que seja menor ou igual a 20. Mãos à obra! 
Deixamos para que você faça o exercício de classes e frequências sozinho e 
com o número de classes que desejar. O objetivo deste item foi mostrar o quanto é 
importante visualizar os dados de frequências absolutas e relativas por meio de 
gráficos, pois ficam mais fáceis de interpretar do que as tabelas que fizemos. 
 
 
MEDIDAS DE ASSOCIAÇÃO 
 
As medidas de associação mais importantes são a covariância e a correlação 
entre duas variáveis x e y. “A correlação é definida como uma relação entre duas 
variáveis. Sua base de referência é o par ordenado: uma ocorrência na qual se 
calculam dois valores” (BONAFINI, 2015, p. 136). 
Calcula-se o coeficiente de Pearson por meio das equações (7), (8) e (9): 
( )( )
( ) ( )
1
2 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
=
= =
− −
=
− −

 
(7) 
onde: 
 
1
n
i
i
x
x
n
==

 (8) 
 
O termo x é a média aritmética da primeira variável x. 
1
n
i
i
y
y
n
==

 (9) 
 
O termo y é a média aritmética da primeira variável y. 
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO 
24 
 
 
Se r for positiva, isso significa que quando x se eleva, y também se eleva. Se 
r for negativo, isso significa que quando x aumenta, a variável y diminui, se x diminui 
a variável y aumenta. Para r igual a zero, não há correlação linear entre as variáveis, 
pois r é um coeficiente de correlação linear (BONAFINI, 2015). 
Passemos, agora, à definição de covariância. “A covariância amostral entre 
duas variáveis, de tipo quantitativo, descreve a direção e o grau com que as 
variáveis se associam linearmente” (MARTINS, 2018). Segundo essa autora, a 
equação que nos permite calcular a covariância é: 
( ) ( )( )
1
1
ov ,
1
n
i i
i
C x y x x y x
n =
= − −
−
 (10) 
onde: 
1
n
i
i
x
x
n
==

 (8) 
 
O termo x é a média aritmética da primeira variável x. 
1
n
i
i
y
y
n
==

 (9) 
 
Nessas equações, repetiram-se os números, dado que as equações foram 
definidas igualmente para o cálculo do coeficiente de correlação r. 
Vamos abordar um exemplo, com o qual podemos calcular a correlação e a 
covariância entre as variáveis x e y. Na Tabela 16, são dadas as notas de cálculo e 
física de oito alunos de Engenharia. 
 
Aluno Cálculo (xi) Física (yi) 
1 4,5 3,5 
2 6 4,5 
3 3 3 
4 2,5 2 
5 5 5,5 
6 5,5 5 
7 1,5 1,5 
8 7 6 
Tabela 16. Variáveis x e y. Notas de cálculo e física de oito alunos. 
https://wikiciencias.casadasciencias.org/wiki/index.php/Vari%C3%A1vel_(Estat%C3%ADstica)
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO 
25 
 
Fonte: Costa Neto (2002, p. 222). 
 
Os resultados do cálculo do coeficiente de correlação estão na Tabela 17: 
 
ix iy ix x− i
y y−
 
( )( )i ix x y y− − ( )
2
ix x− ( )
2
iy y− 
4,5 3,5 0,125 -0,375 -0,046875 0,015625 0,140625 
6 4,5 1,625 0,625 1,015625 2,640625 0,390625 
3 3 -1,375 -0,875 1,203125 1,890625 0,765625 
2,5 2 -1,875 -1,875 3,515625 3,515625 3,515625 
5 5,5 0,625 1,625 1,015625 0,390625 2,640625 
5,5 5 1,125 1,125 1,265625 1,265625 1,265625 
1,5 1,5 -2,875 -2,375 6,828125 8,265625 5,640625 
7 6 2,625 2,125 5,578125 6,890625 4,515625 
4,375x = 
3,875y =
 
( )( )
1
20,375
n
i i
i
x x y y
=
− − =
 
( )
2
1
24,875
n
i
i
xx
=
− =
 
( )
2
1
18,875
n
i
i
y y
=
− =
 
Tabela 17. Memorial de cálculo para o coeficiente de correlação r. 
Fonte: Elaborada pela autora (2020). 
 
Com base nessa tabela, o cálculo do coeficiente de correlação r fica: 
( )( )
( ) ( )
1
2 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
=
= =
− −
=
− −

 
 
( )( )
20,375
24,875 18,875
20,375
469,515
20,375
21,668
0,94
r
r
r
r
=
=
=
=
 
 
Agora, vamos colocar o memorial de cálculo para a covariância (Tabela 18): 
 
ix iy ix x− iy y− ( )( )i ix x y y− − 
4,5 3,5 0,125 -0,375 -0,046875 
6 4,5 1,625 0,625 1,015625 
3 3 -1,375 -0,875 1,203125 
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO 
26 
 
2,5 2 -1,875 -1,875 3,515625 
5 5,5 0,625 1,625 1,015625 
5,5 5 1,125 1,125 1,265625 
1,5 1,5 -2,875 -2,375 6,828125 
7 6 2,625 2,125 5,578125 
4,375x = 3,875y = 
( )( )
1
20,375
n
i i
i
x x y y
=
− − = 
Tabela 18. Memorial de cálculo para a covariância ( )ov ,C x y . 
Fonte: Elaborada pela autora (2020). 
 
Então, com base no memorial de cálculo da tabela 17, a covariância entre as 
variáveis x e y ficará igual a: 
( ) ( )( )
1
1
ov ,
1
n
i i
i
C x y x x y x
n =
= − −
−
 
( )
( )
( )
( )
( )
1
ov , 20,375
8 1
20,375
ov ,
7
ov , 2,910
C x y
C x y
C x y
=
−
=
=
 
O coeficiente de correlação 0,94r = significa que, quando as notas de cálculo 
dos alunos aumentam, as notas de física também aumentam. Quando as notas de 
cálculo diminuem, as notas de física também diminuem. 
Quanto ao valor da covariância ( )ov , 2,910C x y = , este significa que as notas 
de cálculo e física apresentam uma dispersão entre si igual a 2,910. 
Terminamos o estudo sobre medidas envolvendo as variáveis. Começamos 
com as medidas de localização e de dispersão que envolvem apenas uma variável 
x. Por fim, estudamos as medidas de associação entre duas variáveis x e y. Ao 
praticarmos os conceitos através de exercícios, ficaremos craques em obter essas 
medidas para quaisquer conjuntos de dados. 
 
FIQUE ATENTO 
No MS-Excel, você tem dois comandos disponíveis para o cálculo da correlação e da 
covariância. O comando CORREL (matriz1; matriz2) calcula a correlação entre os dados de 
uma população. O comando COVAR (matriz1; matriz2) calcula a covariância entre os dados 
de uma população. Lembre-se de que, para a população, considera-se n em vez de n na 
divisão. 
 
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO 
27 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Neste módulo, tivemos o primeiro contato com os conceitos estatísticos. 
Ainda assim, já somos capazes de transformar dados brutos de conjuntos de dados 
amostrais em dados de populações em medidas de localização e de dispersão. 
Foi possível entender como os dados se comportam em torno dos valores 
médios obtidos para os conjuntos. Em seguida, foi possível também transformar 
dados brutos em classes e frequências. Por meio da classificação dos dados brutos 
em classes e frequências, já conseguimos gerar gráficos extremamente 
interessantes e, com isso, podemos compreender de que maneira são gerados os 
gráficos que aparecem em revistas, jornais e websites de pesquisas estatísticas. 
Por último, aprendemos a calcular a correlação e a covariância entre as duas 
variáveis. A correlação e a covariância são as medidas de associação entre 
variáveis mais importantes. 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS & CONSULTADAS 
 
ALBULQUERQUE, J. P. A.; FORTES, J. M. P. FINAMORE, W. A. Probabilidades, 
variáveis aleatórias e processos estocásticos. 2. ed. Rio de Janeiro: Interciência: 
PUC-Rio, 2018 [Biblioteca Virtual]. 
 
BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma 
nova estratégia. 4. ed. São Paulo: Contexto, 2014 [Biblioteca Virtual]. 
 
BASSANEZI, R. C. Modelagem matemática: teoria e prática. São Paulo: Contexto, 
2015 [Biblioteca Virtual]. 
 
BONAFINI, F. C. Probabilidade e estatística. São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 2015 [Biblioteca Virtual]. 
 
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 
2010. 
 
CAMPOS, C. R.; WODEWOTZKI, M. L. L.; JACOBINI, O. R. Educação estatística: 
teoria e prática em ambientes de modelagem matemática. Belo Horizonte: 
Autêntica Editora, 2011 [Minha Biblioteca]. 
 
COSTA NETO, P. L. O. Estatística. 7. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2002. 
 
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO 
28 
 
ÉPOCA NEGÓCIOS. Brasil é o 2° em ranking de países que passam mais 
tempo em redes sociais. 06/set/2019. Disponível em: 
https://epocanegocios.globo.com/Tecnologia/noticia/2019/09/brasil-e-2-em-ranking-
de-paises-que-passam-mais-tempo-em-redes-sociais.html.Acesso em: 17 nov. 
2019. 
 
GÓES, A. R. T. Modelagem matemática: teoria, pesquisas e práticas 
pedagógicas. Curitiba: InterSaberes, 2016 [Biblioteca Virtual]. 
 
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística Aplicada. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2016. 
 
MARTINS, M. E. G. Covariância amostral. Revista de Ciência Elementar, Lisboa, v. 
6, n. 1, 2018. p. 22. Disponível em: http://doi.org/10.24927/rce2018.022. Acesso em: 
02 mar. 2020. 
 
MARTINS, M. E. G. Medidas de localização. Revista de Ciência Elementar, Lisboa, 
v. 3, n. 2, 2015a. p.125. Disponível em: http://doi.org/10.24927/rce2015.125. Acesso 
em: 02 mar. 2020. 
 
MARTINS, M. E. G. Medidas de dispersão. Revista de Ciência Elementar, Lisboa, 
v. 3, n. 2, 2015b. p.126. Disponível em: http://doi.org/10.24927/rce2015.126. Acesso 
em: 02 mar. 2020. 
 
MARTINS, M. E. G. Coeficiente de correlação populacional. Revista de Ciência 
Elementar, Lisboa, v. 2, n. 2, 2014. p. 69. Disponível em: 
https://www.fc.up.pt/pessoas/jfgomes/pdf/revistaCienciaElementar_v2n2.pdf Acesso 
em: 02 mar. 2020. 
 
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade 
para Engenheiros. 4. ed. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2009. 
 
MORETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade e inferência. São Paulo: 
Prentice Hall, 2010 [Biblioteca Virtual]. 
 
PORTAL DE NOTÍCIAS G1. Uso da Internet no Brasil cresce, e 70% da 
população está conectada. Caderno Economia/tecnologia. 28/ago/2019. 
Disponível em: https://g1.globo.com/economia/tecnologia/noticia/2019/08/28/uso-da-
internet-no-brasil-cresce-e-70percent-da-populacao-esta-conectada.ghtml. Acesso 
em: 17 nov. 2019. 
 
SILVA, O. H. M. da. Matemática e Física: aproximações. Curitiba: InterSaberes, 
2017 [Biblioteca Virtual]. 
 
UFSJ. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI. 1ª Lista de Exercícios 
de Estatística do Curso Administração – Integral e Noturno. Disponível em: 
https://ufsj.edu.br/portal2-repositorio/File/demat/PASTA-PROF/manoel/L1.pdf. 
Acesso em: 18 nov. 2019. 
https://epocanegocios.globo.com/Tecnologia/noticia/2019/09/brasil-e-2-em-ranking-de-paises-que-passam-mais-tempo-em-redes-sociais.html
https://epocanegocios.globo.com/Tecnologia/noticia/2019/09/brasil-e-2-em-ranking-de-paises-que-passam-mais-tempo-em-redes-sociais.html
http://doi.org/10.24927/rce2018.022
http://doi.org/10.24927/rce2015.125
http://doi.org/10.24927/rce2015.126
https://www.fc.up.pt/pessoas/jfgomes/pdf/revistaCienciaElementar_v2n2.pdf
https://g1.globo.com/economia/tecnologia/noticia/2019/08/28/uso-da-internet-no-brasil-cresce-e-70percent-da-populacao-esta-conectada.ghtml
https://g1.globo.com/economia/tecnologia/noticia/2019/08/28/uso-da-internet-no-brasil-cresce-e-70percent-da-populacao-esta-conectada.ghtml
https://ufsj.edu.br/portal2-repositorio/File/demat/PASTA-PROF/manoel/L1.pdf