Apostila 1 Pré-Cálculo

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PRÉ-CÁLCULO 
PRÉ-CÁLCULO 
Me. Rebecca Manesco Paixão 
1. Produto cartesiano 
2. Relações 
3. Definição de função e notação 
4. Domínio, contradomínio e imagem 
5. Gráfico e funções crescentes e decrescentes 
6. Paridade de funções 
7. Função injetora, sobrejetora e bijetora 
8. Obtenção de novas funções a partir de funções 
conhecidas 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
PRÉ-CÁLCULO 
Definição: dados dois conjuntos, A e B , não vazios, 
denominamos produto cartesiano de A por B (denotado por A 
× B), o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) em que a 
primeira coordenada pertence ao conjunto A e a segunda 
pertence ao conjunto B , ou seja, 
𝐴 × 𝐵 = (𝑥, 𝑦) 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑦 ∈ 𝐵 
Em que a notação A × B é lida como “ A cartesiano B ” ou 
“produto cartesiano de A por B ”. 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
PRODUTO CARTESIANO 
O sistema cartesiano é um sistema ortogonal, pois é formado 
por dois eixos perpendiculares entre si, que se cruzam em um 
ponto, denotado por O e denominado origem. 
É possível estabelecer uma correspondência entre cada ponto 
(x, y) desse plano com o par ordenado (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵. Logo, 
para cada ponto (ou par) (x, y), x é chamado de abscissa e y, 
de ordenada do ponto; ou seja, o eixo horizontal x é chamado 
de eixo das abscissas, enquanto que o eixo vertical y é 
chamado de eixo das ordenadas. 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
PRODUTO CARTESIANO 
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Exemplo 1: Sejam os conjuntos A = {1,2,3} e B = {−1,1}. 
 
A × B = {(1,−1),(2,−1),(3,−1),(1,1),(2,1),(3,1)} 
 
B × A = {(−1,1),(−1,2),(−1,3),(1,1),(1,2),(1,3)} 
 
A × A = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)} 
 
B × B = {(−1,−1),(−1,1),(1,−1),(1,1)}. 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
PRODUTO CARTESIANO 
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Sobre o produto cartesiano de dois conjuntos, pode-se 
afirmar: 
1. Não vale a propriedade comutativa para o produto 
cartesiano, ou seja, 
se 𝐴 ≠ 𝐵, então 𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴. 
 2. Se A é um conjunto com m elementos e B , com n 
elementos, então 
tanto 𝐴 × 𝐵 quanto 𝐵 × 𝐴 possuem m⋅n elementos. 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
PRODUTO CARTESIANO 
Sobre o produto cartesiano de dois conjuntos, pode-se 
afirmar: 
3. Se o conjunto A ou o conjunto B forem infinitos, o produto 
cartesiano 𝐴 × 𝐵 também será infinito, e a enumeração de 
seus elementos, geralmente, não é viável. 
4. Se A ou B forem conjuntos vazios, definiremos o produto 
cartesiano 𝐴 × 𝐵 como sendo o conjunto vazio, ou seja, 
𝐴 × ∅ = ∅, ∅ × 𝐵 = ∅, ∅ × ∅ = ∅ 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
PRODUTO CARTESIANO 
Definição: dados dois conjuntos A e B , chama-se relação de A 
em B todo subconjunto R de A × B . 
R é uma relação de A em B ⟺ R ⊂ A × B 
Assim, o conjunto R é formado por pares (x, y) , em que x ∈ A 
está “associado” a y ∈ B mediante alguma regra de 
associação. 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
RELAÇÕES 
Exemplo 3: sejam os conjuntos A = {1,2,3, 4,5,6} e B = 
{−2,−1,3, 4} , e a relação R = {(x, y) ∈ A × B | x < y}. Enumere os 
elementos de R . 
 
A × B = {(1,−2),(2,-2),(3,−2),(4,-2),(5,-2),(6,-2), (1,−1),(2,-
1),(3,−1),(4,-1),(5,-1),(6,-1), (1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3), 
(1,4),(2, 4),(3, 4),(4, 4),(5, 4),(6, 4)} 
 
R = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)} 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
RELAÇÕES 
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-1 
-2 
A partir do exemplo, é possível inferir algumas observações 
sobre as relações: 
1. No diagrama de flechas de uma relação de A em B , nem 
todo elemento do conjunto A precisa estar necessariamente 
associado a um elemento do conjunto B . 
2. Não existe a necessidade de, para cada elemento de A , 
associarmos um único elemento em B . 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
RELAÇÕES 
É comum, no dia a dia, nos depararmos com situações em que 
podemos relacionar grandezas. Por exemplo, quando 
abastecemos um veículo é possível estabelecer uma relação 
entre a “quantidade de combustível” e o “preço a pagar”. 
Funções, basicamente, são relações que abrangem todos os 
elementos do primeiro conjunto, e associam a cada elemento 
deste primeiro, um, e somente um elemento do segundo 
conjunto; o que não necessariamente ocorre para as relações. 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO E NOTAÇÃO 
Definição: dados dois conjuntos não vazios A e B , uma 
relação f de A em B recebe o nome de função (ou aplicação) 
de A em B se, e somente se, para todo x ∈ A existir um só 
y ∈ B , tal que (x, y)∈ f . Notação: 
𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑙ê − 𝑠𝑒: 𝑓 𝑑𝑒 𝐴 𝑒𝑚 𝐵 
𝑥 → 𝑦 = 𝑓 𝑥 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑥 ℎá 𝑢𝑚 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓 𝑥 𝑎𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜) 
 
Logo, toda função é uma relação, mas nem toda relação é 
uma função. 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO E NOTAÇÃO 
No diagrama de flechas, há duas condições importantes a 
serem respeitadas para que tenhamos uma função: 
1. Deve partir uma flecha de cada elemento do conjunto A . 
2. Não deve partir mais de uma flecha de um elemento do 
conjunto A . 
Assim, caro(a) aluno(a), uma função é um conjunto de pares 
ordenados determinados por uma sentença, y = f (x) , que 
expressa a correspondência entre as duas variáveis, (x e y) . 
Dessa forma, definimos a notação de função: 
𝐶 = 𝑥, 𝑦 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 𝑒 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO E NOTAÇÃO 
Exemplo 10: considere a função 𝑓: ℝ → ℝ dada por 
𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 − 1. 
Como vimos, para este caso, a melhor forma de representar a 
função é no plano cartesiano. Podemos escolher alguns 
valores de x que nos darão uma boa ideia de como se 
comportarão os demais pares ordenados. Observe a Tabela 2. 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO E NOTAÇÃO 
Caro(a) aluno(a), podemos verificar, pela representação 
cartesiana da relação f de A em B , através do chamado teste 
da reta vertical, se f é ou não uma função. O teste consiste em 
verificar se a reta paralela ao eixo y conduzida pelo ponto (x,0) 
, em que x ∈ A, corta o gráfico de f em um único ponto; ou 
seja, baseia-se no fato de que, para cada valor de x, deve 
haver um único y associado. 
Definição: uma curva no plano xy é o gráfico de alguma 
função f se, e somente se, nenhuma reta vertical intersecta a 
curva mais de uma vez. 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
TESTA DA RETA VERTICAL 
Não é uma função É uma função 
É uma função Não é uma função 
Definição: seja f : A→ B uma função. 
1. O conjunto A é denominado domínio da função f , denotado por 
D( f ) . Representa os valores que a variável independente assume. 
2. O conjunto B é denominado contradomínio da função f , 
denotado por CD( f ) . Representa os valores que a variável 
dependente pode assumir. 
3. O subconjunto de B dado por todos os valores produzidos pela 
associação f é denominado conjunto imagem de f , e é denotado 
por Im( f ). Representa os valores que a variável dependente 
assume. Ou seja, 
𝐼𝑚 𝑓 = 𝑦 ∈ 𝐵 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑥 ∈ 𝐴 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM 
Exemplo 12: considere a função f : A→ B dada por 
f (x) = 5x − 3 , em que A = {1,2,3, 4} e B = {0,2,7,12,17,22,27} . 
Pela definição que acabamos de ver, temos que: 
D( f ) = A = {1,2,3, 4} 
CD( f ) = B = {0,2,7,12,17,22,27} 
Im( f ) = {2,7,12,17} 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM 
O gráfico de uma função f : A→ B é o subconjunto Gr( f ) do 
plano cartesiano formado pelos pares ordenados em que a 
primeira coordenada pertence ao conjunto A e a segunda 
coordenada é a imagem da primeira coordenada pela função f 
, ou seja, 
𝐺𝑟 𝑓 = (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 𝑒 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
GRÁFICO E FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES 
Definição: a função f : A→ B , definida por y = f (x) , é 
crescente no conjunto 𝐴1 ⊂ 𝐴 se, para dois valores quaisquer, 
𝑥1 e 𝑥2 de 𝐴1 , com 𝑥1 < 𝑥2, tivermos𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) . 
Quando f é crescente em todo seu domínio, dizemos, apenas, 
que f é crescente. 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
GRÁFICO E FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES 
Definição: a função f : A→ B , definida por y = f (x) , é 
decrescente no conjunto 𝐴2 ⊂ 𝐴 se, para dois valores 
quaisquer, 𝑥1 e 𝑥2 de 𝐴2 , com 𝑥1 < 𝑥2, tivermos 𝑓(𝑥1) >
𝑓(𝑥2) . Quando f é decrescente em todo seu domínio, 
dizemos, apenas, que f é decrescente. 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
GRÁFICO E FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES 
Definição: a função f : A→ B , definida por y = f (x) , é 
constante no conjunto 𝐴3 ⊂ 𝐴 se, para dois valores quaisquer, 
𝑥1 e 𝑥2 de 𝐴3 , tivermos 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) . Quando f é 
constante em todo seu domínio, dizemos, apenas, que f é 
constante. 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
GRÁFICO E FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES 
Definição: dizemos que uma função f : A→ B é par se, para 
todo x ∈ A, f (−x) = f (x) . Por outro lado, dizemos que uma 
função f : A→ B é ímpar se, para todo x ∈ A, f (−x) = − f (x) . 
 
Como em uma função par as imagens de x e −x são iguais, o 
gráfico é simétrico em relação ao eixo y . Por sua vez, para a 
função ímpar, as imagens de x e −x são opostas, e assim o 
gráfico é simétrico em relação a origem. 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
PARIDADE DE FUNÇÕES 
Exemplo 21: seja a função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2. Temos que: 
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2 
𝑓 −𝑥 = (−𝑥)2 − 2 
= 𝑥2 − 2 
= 𝑓 𝑥 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
PARIDADE DE FUNÇÕES 
Exemplo 22: seja a função 𝑔 𝑥 =
𝑥3
4
. Temos que: 
𝑔 𝑥 =
𝑥3
4
 
𝑔 −𝑥 =
(−𝑥)3
4
 
= −
𝑥3
4
 
= −𝑔(𝑥) 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
PARIDADE DE FUNÇÕES 
Definição: uma função f é dita injetora se, para todo 
𝑥1 ∈ 𝐷(𝑓) e 𝑥2 ∈ 𝐷(𝑓), com 𝑥1 ≠ 𝑥2, tivermos 𝑓(𝑥1) ≠
𝑓 𝑥2 . 
 
Logo, uma função é injetora quando elementos distintos do 
domínio estão associados a elementos distintos do 
contradomínio. Pensando na representação de diagrama de 
flechas, a condição de injetividade se caracteriza pelo fato de 
nenhum elemento do contradomínio receber duas flechas. 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
FUNÇÃO INJETORA, SOBREJETORA E BIJETORA 
Definição: uma função f é dita sobrejetora se, para todo 
y ∈ CD( f ) , existe x ∈ D( f ) tal que y = f (x) . Em outras 
palavras, f é sobrejetora se, e somente se, Im( f ) = CD( f ) . 
 
No diagrama de flechas de uma função sobrejetora, nenhum 
elemento do contradomínio fica sem receber uma flecha. 
Note que essa condição de sobrejetividade não impede que 
um elemento do contradomínio receba mais do que uma 
flecha; assim, uma função pode ser sobrejetora sem que seja 
injetora. 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
FUNÇÃO INJETORA, SOBREJETORA E BIJETORA 
Definição: uma função é dita bijetora se for injetora e 
sobrejetora, simultaneamente. 
 
A definição acima é equivalente a dizer que uma função 
f : A→ B é bijetora se, e somente se, para qualquer elemento 
y ∈ B , existe um único elemento x ∈ A tal que f (x) = y . Uma 
função bijetora representa uma relação biunívoca, também 
conhecida como relação um-a-um, entre o domínio e o 
contradomínio. 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
FUNÇÃO INJETORA, SOBREJETORA E BIJETORA 
Exemplo 26: sejam os conjuntos A = {1,2,3, 4} e B = {2,5,8,11}, 
e a função f : A→ B dada por f (x) = 3x −1. 
 
Pelo diagrama de flechas é possível perceber que se trata de 
uma função injetora, pois nenhum elemento do 
contradomínio recebe mais que uma flecha, e também 
sobrejetora, pois nenhum elemento do contradomínio fica 
sem receber uma flecha. Logo, trata-se de uma função 
bijetora. 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
FUNÇÃO INJETORA, SOBREJETORA E BIJETORA 
Definição: seja a função f : A→ B , consideram-se as retas 
horizontais por (0, y) , com y ∈ B : 
1. se nenhuma reta corta o gráfico mais de uma vez, então a 
função é injetora; 
2. se toda reta corta o gráfico, então a função é sobrejetora; 
3. se toda reta corta o gráfico uma única vez, então a função é 
bijetora. 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
TESTA DA RETA HORIZONTAL 
É bijetora É injetora, mas não é sobrejetora 
É sobrejetora, mas não é injetora 
𝑦 = 2𝑥 𝑦 = 𝑥2 + 1 
𝑦 = 𝑥2 
Definição: sejam as 
funções f : A→ B e 
g : B→C. Chama-se função 
composta de g e f a 
função h : A→C , em que 
h(x) = g( f (x)) para todo 
x∈ A. Denotamos a 
composta de g e f por g ∘ f 
(lê-se 
“g composta com f ”). 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
FUNÇÃO COMPOSTA 
Exemplo 30: considere as funções 𝑓 𝑥 = 4𝑥 + 1 e 
𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 8𝑥 + 6. Vamos determinar algumas 
composições: 
 
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥2 − 8𝑥 + 6
= 4 𝑥2 − 8𝑥 + 6 + 1 = 4𝑥2 − 32𝑥 + 25 
 
𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑔 4𝑥 + 1
= 4𝑥 + 1 2 − 8 4𝑥 + 1 + 6 = 16𝑥2 − 24𝑥 − 1 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
FUNÇÃO COMPOSTA 
Definição: dada uma função bijetora f : A→ B , dizemos que 
uma função g : B→ A é inversa de f se, para todos a ∈ A e 
b ∈ B tais que f (a) = b , tem-se que g(b) = a . Normalmente, 
denotamos a função inversa de f por 𝑓−1; ou seja, 𝑓−1= g . 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
FUNÇÃO INVERSA 
Exemplo 31: seja a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 17. Vamos 
determinar a inversa de f . 
1. Escrevemos a expressão da função apresentando as 
variáveis: 
𝑦 = 2𝑥 − 17 
2. Invertemos as variáveis independentes 𝑥 e dependente 𝑦 
de lugar: 
𝑥 = 2𝑦 − 17 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
FUNÇÃO INVERSA 
Exemplo 31: seja a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 17. Vamos 
determinar a inversa de f . 
3. Por fim, isolamos a nova variável dependente 𝑦: 
𝑥 = 2𝑦 − 17 
2𝑦 = 𝑥 + 17 
𝑦 =
𝑥 + 17
2
 
Portanto, 𝑓−1 𝑥 =
𝑥+17
2
 
 
 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
FUNÇÃO INVERSA 
Pela definição de função inversa, identificamos uma 
propriedade importante: se 𝑓−1 é a função inversa de f , 
então 
𝑓−1 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑓 ∘ 𝑓−1 𝑥 = 𝑥 
Ou seja, compor uma função com a sua inversa nos dá a 
chamada função identidade, em que cada x está associado a 
ele mesmo; isso porque a função f associa qualquer 
elemento a de seu domínio com um elemento b = f (a) do 
contradomínio, e a função 𝑓−1 associa b ao elemento a, 
então 𝑓−1 𝑏 = 𝑓−1 𝑓 𝑎 = 𝑎. 
 
Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
FUNÇÃO INVERSA