ICTM Aula Cap 03

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Introdução à Ciência e Tecnologia 
dos Materiais
A estrutura dos sólidos cristalinos – Capítulo 3
Cursos de Graduação em Engenharia de 
Produção, Mecânica, Civil e Elétrica
 Internet
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O CONTEÚDO AUDIOVISUAL DESTA AULA É 
EXCLUSIVO PARA FINS ACADÊMICOS, ESTANDO 
PROTEGIDO PELAS LEIS DE PROPRIEDADE 
INTELECTUAL.
PROIBIDA A SUA CESSÃO OU OUTRA FORMA DE 
UTILIZAÇÃO NÃO AUTORIZADA
2
Amostra de estanho branco à esquerda e de estanho cinza à direita, após ser 
resfriada abaixo de 13,2ºC. 
Por que estudar?
 As propriedades de alguns materiais estão diretamente
relacionadas às suas estruturas cristalinas.
Ex.: Mg e Be são muito mais frágeis do que Au e Ag.
 Propriedades de materiais cristalinos e não cristalinos
são extremamente diferentes.
Ex.: cerâmicas e polímeros não-cristalinos são
opticamente transparentes. Na forma cristalina tendem
a ser opacos.
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Conceitos fundamentais
 Material cristalino: é aquele em que os átomos estão
posicionados em um arranjo periódico ou repetitivo ao
longo de grandes distâncias atômicas (>100 nm).
 Na solidificação, os átomos vão se posicionar em um
padrão tridimensional repetitivo.
 Todos os metais, muitos materiais cerâmicos e certos
polímeros formam estruturas cristalinas sob condições
normais de solidificação.
Ordem x Alcance
 Estrutura não ordenada: os átomos ou moléculas estão
randomicamente distribuídos. Ex.: gases nobres.
 Ordem de curto alcance: os átomos ou moléculas só
estão ordenados com os vizinhos mais próximos. Ex.:
materiais amorfos.
 Ordem de longo alcance: átomos ou moléculas estão
organizados em um arranjo repetitivo ou estrutura. Ex.:
materiais cristalinos.
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Conceitos fundamentais
 Algumas das propriedades dos sólidos cristalinos
dependem da estrutura cristalina do material, ou seja,
da maneira segundo a qual os átomos, moléculas ou
íons estão arranjados.
 Algumas vezes usamos o termo rede cristalina: significa
um arranjo tridimensional de pontos que coincidem com
as posições dos átomos.
Estrutura cristalina
 Utiliza o modelo atômico da esfera rígida: átomos são
considerados como esferas sólidas com diâmetros bem
definidos.
Sólido metálico Sólido iônico Sólido covalente
CCC
Cloreto de sódio Diamante
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Célula unitária
 Consiste no menor arranjo
de átomos possível que,
através de sua repetição,
representa a estrutura
cristalina de um material.
 Define, de acordo com sua
geometria e a posição dos
átomos em seu interior, a
estrutura cristalina. Representação da célula unitária por meio 
de esferas rígidas
Célula unitária
 Uma célula unitária é escolhida para representar a
simetria da estrutura cristalina, onde todas as posições
dos átomos no cristal podem ser geradas por translações
de comprimentos inteiros da célula unitária ao longo de
cada uma de suas arestas.
 Os vértices do paralelepípedo coincidem com os centros
dos átomos.
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Estruturas cristalinas dos metais
Estrutura cristalina dos metais
 Ligação não direcional: resulta em mínimas
restrições em relação à quantidade e à posição dos
átomos vizinhos mais próximos.
 Resultado: números elevados de vizinhos e
empacotamentos compactos dos átomos para a
maioria das estruturas cristalinas dos metais.
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Sistemas cristalinos
 Apresentam as estruturas cristalinas divididas em
grupos (sistemas cristalinos), de acordo com a
geometria de suas células unitárias.
 Nesse arranjo é estabelecido um sistema de
coordenadas x, y e z que tem a sua origem
localizada em um dos vértices da célula unitária.
Sistemas cristalinos
 Cada um dos eixos coincide com uma das três arestas da
célula que se origina a partir desse vértice.
Parâmetros de rede
(definem a geometria da célula unitária)
- a, b e c
- α, β e γ
 Existem 7 combinações
diferentes dos parâmetros de rede,
cada uma representando um
sistema cristalino diferente.
8
Sistemas cristalinos
Sistemas cristalinos
9
Sistemas cristalinos
 Dos 7 sistemas cristalinos, podemos identificar 14
tipos diferentes de células unitárias, conhecidas
com redes de Bravais.
 Cada uma destas células unitárias tem certas
características que ajudam a diferenciá-las das
outras células unitárias. Além do mais, estas
características também auxiliam na definição das
propriedades de um material particular.
Sistemas cristalinos
10
Sistemas cristalinos
90% dos metais se cristalizam em uma dessas 3 
estruturas na solidificação:
Cúbico de corpo 
centrado (CCC)
Cúbico de face 
centrada (CFC)
Hexagonal compacta 
(HC)
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O sistema cúbico
 a = b = c e α = β = γ = 90º
 É o sistema com maior grau de simetria.
 Os átomos podem se agrupar neste sistema de 3 
formas diferentes:
 Cúbico simples
 Cúbico de corpo centrado
 Cúbico de face centrada
Cúbico simples (CS)
Cúbico de corpo 
centrado (CCC)
Cúbico de face 
centrada (CFC)
O Sistema cúbico
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Fator de empacotamento
 O fator de empacotamento mede a fração de espaço da
rede que é efetivamente ocupada pelos átomos.
 É independente do tamanho do átomo, se apenas um
tamanho está presente.
 Volume do átomo:
Número de coordenação
 O número de coordenação corresponde ao número
de vizinhos mais próximos, ou seja, corresponde ao
número de átomos em contato.
 Em cristais com um único tipo de átomo, cada
átomo possui o mesmo número de vizinhos mais
próximos.
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Estrutura cúbica simples (CS)
 Apenas 1/8 de cada átomo
cai dentro da célula
unitária, ou seja, a célula
unitária contém apenas 1
átomo.
 Essa é a razão pela qual os
metais não cristalizam na
estrutura CS (devido ao
baixo empacotamento
atômico).
Modelo de esferas rígidas
Modelo de esferas reduzidas
Estrutura cúbica simples (CS)
Cortesia: Prof. Eric 
14
Estrutura cúbica simples (CS)
Os átomos se 
tocam ao longo 
das arestas
a = 2r
Estrutura cúbica simples (CS)
1/8 do átomo
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Estrutura cúbica simples (CS)
 Número de coordenação: 6
 Fator de empacotamento atômico: FEA = 0,52 = 52%
- Número de átomos por célula unitária: n=1
- Volume da célula unitária:
Vc = a
3 = (2R)3 = 8R3
A estrutura cúbica de corpo centrado (CCC)
 1/8 átomo localizado em
cada um dos 8 vértices do
cubo e 1 átomo no centro.
 O átomo do centro
pertence somente a sua
célula unitária.
 Exemplos: Cr, Fe, W.
Modelo de esferas rígidas
Modelo de esferas reduzidas
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A estrutura cúbica de corpo centrado (CCC)
 Os átomos no centro e nos vértices se tocam ao longo
das diagonais do cubo.
4r
A estrutura cúbica de corpo centrado (CCC)
 Número de átomos por célula unitária: n=2
 Número de coordenação: 8
 Fator de empacotamento atômico: FEA=0,68
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Exemplo (Exercício 3.5)
 Mostre que o fator de empacotamento atômico para
a estrutura cristalina CCC vale 0,68.
A estrutura cúbica de faces centradas (CFC)
 Os átomos estão localizados
em cada um dos vértices e
nos centros de cada face.
 Exemplos: Cu, Al, Ni, Au, Ag.
Modelo de esferas rígidas
Modelo de esferas reduzidas
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A estrutura cúbica de faces centradas (CFC)
 1/8 em cada vértice: 1 átomo
 ½ em cada face = ½.6 = 3 átomos
Total: 4 átomos 
por célula
A estrutura cúbica de faces centradas (CFC)
 Os átomos se tocam ao longo da
diagonal da face da célula
unitária.
 FEA = 0,74 (mais eficiente)
 Número de coordenação = 12
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Exemplos 3.1 e 3.2
 Calcule o volume de uma célula unitária CFC em
termos do raio atômico r.
 Mostre que o fator de empacotamento atômico para
a estrutura cristalina CFC é 0,74.
Exemplo (Exercício 3.2)
 Se o raio atômico do chumbo (CFC) vale 0,175 nm,
calcule o volume de sua célula unitária em metros
cúbicos.
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A estrutura hexagonal compacta (HC)
 As faces superior e inferior da
célula unitária são compostas por
6 átomos que formam hexágonos
regulares e que estão ao redor de
um único átomo central.
 Há também outro plano que
contribui com 3 átomos para a
célula unitária, entre os planos
superior e inferior.
A estrutura hexagonal compacta (HC)
Exemplos: Cd,Mg, Ti, Zn.
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A estrutura hexagonal compacta (HC)
 Número de coordenação: 12
 Fator de empacotamento atômico: FEA = 0,74
 Número de átomos na célula unitária: n=6
- 1/6 em cada vértice do hexágono: 2;
- ½ em dos átomos no centro de cada hexágono: 1;
- 3 átomos no plano intermediário.
A estrutura hexagonal compacta (HC)
 Cálculo do volume da célula unitária HC
Vc = Área do hexágono x altura
Área do hexágono = 6 x área do triângulo equilátero
a
a
a
Área do triângulo equilátero =
Altura = c
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Exercício 3.6
 Mostre que o fator de empacotamento atômico para
a estrutura cristalina HC vale 0,74.
Sistemas cristalinos mais comuns
CCC CFC HC
Número de átomos 
por célula
2 4 6
Fator de 
empacotamento 
atômico
0,68 0,74 0,74
Número de 
coordenação
8 12 12
Relação entre a e r a = 4r/(3)½ a = 2r(2)½ a = 2r
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Cálculos de massa específica
 O conhecimento da estrutura cristalina de um
sólido metálico permite o cálculo da sua massa
específica teórica (ρ).
- N = número de átomos na célula unitária
- A = peso atômico
- Vc = volume da célula unitária
- NA = número de Avogadro (6,023x10
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átomos/mol)
Exemplo 3.3
 O cobre possui um raio atômico de 0,128 nm, uma
estrutura cristalina CFC e um peso atômico de 63,5
g/mol. Calcule a sua massa específica e compare
com a sua massa específica medida.
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Exemplo 3.3 - Resolução
Exercício 3.9 
 Calcule o raio de um átomo de tântalo, sabendo que
o Ta possui uma estrutura cristalina CCC, uma
massa específica de 16,6 g/cm3 e um peso atômico
de 180,9 g/mol.
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Exercício 3.10
 Algum metal hipotético possui a estrutura cúbica
simples que está mostrada na figura abaixo. Se o
seu peso atômico vale 74,5 g/mol e o raio atômico
0,145 nm, calcule sua massa específica.
Exercício 3.13
 O nióbio possui um raio atômico de 0,1430 nm e
uma massa específica de 8,57 g/cm3. Determine se
ele possui uma estrutura cristalina CFC ou CCC.
Considere que o peso atômico do nióbio vale 92,91
g/mol.
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Polimorfismo e alotropia
 Polimorfismo: caracteriza o fenômeno que alguns materiais
apresentam de possuir mais do que uma estrutura cristalina,
dependendo da temperatura e da pressão externa.
 Alotropia: corresponde à condição de polimorfismo encontrada
em sólidos elementares.
 Na maioria das vezes, uma transformação polimórfica é
acompanhada de mudanças na massa específica e em outras
propriedades físicas.
Polimorfismo e alotropia
 Exemplo 1: Carbono
Diamante
Grafita
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Polimorfismo e alotropia
 Exemplo 2: Estanho (primeiro slide)
Estanho branco (β): 
estrutura tetragonal de 
corpo centrado (TCC)
Estanho cinza (α): 
estrutura cúbica 
semelhante à do diamante
Expansão do 
volume
Redução da 
densidade
Polimorfismo e alotropia
Doença do estanho 
Tudo por causa de um botão...
Rússia, 1850
“Estavam os homens de Napoleão, quando os
botões de seus uniformes se desintegraram, tão
debilitados e gélidos que não tinham mais
condições de atuar como soldados. Na falta de
botões, passaram a ter de usar as mãos para
prender e segurar as roupas e não mais para
carregar as armas.”
Fonte: Os Botões de Napoleão: as 17 moléculas que 
mudaram a história / Penny Le Couteur. 
O exército de Napoleão usava uniformes cujos botões eram feitos de estanho. 
No rigoroso inverno, os botões se esmigalharam devido às condições 
extremamente frias.
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Polimorfismo e alotropia
Machined piece at -40°C. 1 second of video correspond 1 hour of real time. 
Fonte: http://www.periodictable.ru/050Sn/Sn_en.html
Polimorfismo e alotropia
 Exemplo 3: Ferro
Temperatura ambiente: 
CCC (ferrita α)
Magnética
Acima de 912ºC: CFC 
(austenita)
Não-magnética
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Pontos, direções e planos cristalográficos
 Frequentemente, torna-se necessário identificar uma
direção (linha de átomos) ou plano particular no interior
de uma célula unitária.
 Várias propriedades dos materiais dependem da direção
na qual são medidas.
 Por convenção, 3 números inteiros (índices) são usados
para determinar a localização dos planos e das direções,
utilizando como base a célula unitária com um dos
vértices posicionados na origem de um sistema de
coordenadas tridimensionais.
Pontos, direções e planos cristalográficos
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Direções cristalográficas
 Consiste em uma linha entre dois pontos ou um vetor.
 Um vetor com comprimento conveniente é posicionado tal que
ele passe através da origem do sistema de coordenadas.
 Os comprimentos das projeções do vetor sobre cada um dos 3
eixos são medidos em termos das dimensões da célula
unitária (a,b,c).
 Esses três números são multiplicados ou divididos por um
fator comum, para reduzi-los aos menores números inteiros.
 Os 3 índices não são separados por vírgulas, são colocados
entre colchetes: [uvw]
Direções cristalográficas
x y z [u v w]
Verde 1 0 0 [1 0 0]
Azul 1 1 0 [1 1 0]
Vermelho 1 1 1 [1 1 1]
31
Direções cristalográficas
 Índices negativos também são possíveis e são
representados pela colocação de uma barra sobre o
índice apropriado.
Exemplo: teria uma componente na direção –y.
 Nos cristais cúbicos, a mudança dos sinais de todos
os índices produz uma direção anti-paralela.
Exemplo: a direção é diretamente oposta à
direção .
Exemplo 3.6
 Determine os índices para a direção mostrada
abaixo.
x y z
Projeção 1/2 1 0
Redução 1 2 0
[u v w] [120]
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Direções cristalográficas
Direção x y z [uvw]
1 1 0 0 [100]
2 0 1 0 [010]
3 1 0 1 [101]
4 1 1 1 [111]
5 ½ 1 0 [120]
6 ½ ½ 1 [112]
Com base nas interseções dos vetores com a célula 
unitária:
Direções cristalográficas
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Direções cristalográficas
Direções cristalográficas
 Para algumas estruturas cristalinas, várias direções
não-paralelas com índices diferentes são
equivalentes (o espaçamento dos átomos ao longo
das direções é o mesmo).
 Por conveniência, as direções equivalentes são
agrupadas em uma família, que é representada
entre colchetes angulados: <100>
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Planos Cristalográficos
Planos Cristalográficos
 São representados de maneira similar às direções.
 Em todos os sistemas cristalinos, com exceção do
sistema hexagonal, os planos cristalográficos são
especificados por 3 Índices de Miller como (hkl).
 Planos paralelos entre si são equivalentes e
possuem índices idênticos.
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Planos Cristalográficos
1 - Se o plano passa pela origem, outro plano paralelo deve ser
construído no interior da célula unitária ou uma nova origem
deve ser estabelecida no vértice de outra célula unitária. Feito
isso, o plano interceptará cada um dos três eixos ou será
paralelo a algum dos eixos.
2 – Determinam-se as interseções do plano com x, y e z.
3 – Calcula-se o inverso das interseções obtidas.
4 – Se necessário, esses números são modificados para o
conjunto de menores números inteiros.
5 – Os índices inteiros são colocados entre parênteses: (hkl).
Procedimento para determinação dos Índices de Miller
Exemplo 3.9
 Determine os índices de Miller para o plano
mostrado na figura abaixo.
x y z
Interseções 0 -1 ½
Inversos 0 -1 2
(h k l) (0 1 2)
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Planos Cristalográficos
 Planos cristalinos de mesmo índice, mas
pertencentes a diferentes estruturas possuem
geralmente arranjos atômicos diferentes.
Planos cristalinos 
de mesmo índice 
(110) para as 
estruturas (a) CFC 
e (b) CCC.
(a)
(b)
Planos Cristalográficos
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Exemplo
 Construa um plano (011) no interior de uma célula
cúbica.
Planos Cristalográficos
 Uma família de planos contém planos cristalograficamente
equivalentes (com o mesmo empacotamento atômico) e é
representada por índices entre chaves: {100}.
 No sistema cúbico, os planos que possuem os mesmos
índices, independentemente da sua ordem ou sinal, são
equivalentes.
Exemplos: e pertencem à família .
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Estruturas Cristalinas Compactas
 As estruturas mais compactas CFC e HC
(FEA=0,74) podem ser descritas em termos de
planos compactos de átomos.
 Ambas as estruturas podem ser geradas pelo
empilhamento destes planos compactosuns sobre
os outros.
 A diferença entre as duas estruturas consiste na
sequência de empilhamento.
Estruturas Cristalinas Compactas
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Estruturas Cristalinas Compactas
Sequência ABABABAB...
Estrututura: HC
Plano mais compacto: (0001)
Sequência ABCABCABC...
Estrututura: CFC
Plano mais compacto: (111)
Materiais monocristalinos
 São materiais sólidos cujo arranjo periódico dos átomos é
perfeito ou se estende ao longo da totalidade da amostra.
 Todas as células unitárias se interligam da mesma maneira e
possuem a mesma orientação.
 Existem na natureza, mas também podem ser produzidos
artificialmente, porém é difícil crescê-los (o ambiente deve ser
cuidadosamente controlado).
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Materiais monocristalinos
Fotografia de um monocristal de granada que foi encontrado em 
Tongbei, na Província de Fujian, China.
Materiais Policristalinos
 A maioria dos sólidos cristalinos é composta por
um conjunto de cristais muito pequenos, chamados
de grãos.
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Materiais Policristalinos – Estágios da 
solidificação
 Estágio a: pequenos cristais ou núcleos se formam em
várias posições, com orientações cristalográficas
aleatórias.
 Estágio b: crescimento dos grãos pela adição de átomos
oriundos do líquido vizinho.
Materiais Policristalinos – Estágios da 
solidificação
 Estágio c: fim do processo de solidificação. As
extremidades dos grãos adjacentes interferem umas nas
outras, com algum desalinhamento dos átomos na
região onde dois grãos se encontram (contorno de grão).
 d: estrutura granular esquemática vista em microscópio.
Linhas escuras representam os contornos de grão.
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Anisotropia
 Consiste na direcionalidade das propriedades físicas, ou
seja, na variação das propriedades de acordo com as
direções cristalográficas.
 A anisotropia está associada à variação do espaçamento
atômico ou iônico em função da direção cristalográfica.
 O grau de anisotropia aumenta com a diminuição da
simetria da estrutura cristalina. Estruturas triclínicas,
por exemplo, são, em geral, altamente anisotrópicas.
43
Anisotropia
Valores do módulo de elasticidade para vários 
materiais em várias orientações cristalográficas.
Anisotropia
 Nos materiais policristalinos, apesar de cada
grão ser anisotrópico, uma amostra composta
pelo agregado de grãos se comporta de maneira
isotrópica.
 Neste caso, o valor medido de uma propriedade
representa uma média dos valores direcionais.
44
Anisotropia
 Dizemos que o material possui uma textura
quando os grãos possuem uma orientação
cristalográfica preferencial.
Aço laminado a frio com 
grãos orientados.
Referências
 Callister Jr, W.D. (2008) Ciência e Engenharia de
Materiais: Uma Introdução. 7a ed. Rio de Janeiro.
LTC Editora. 705 p.
 Van Vlack, Lawrence H. Princípios de ciência dos
materiais. Tradução de Luiz Paulo Camargo Ferrão.
São Paulo: Edgard Blücher, 2004. 427p.