aula 4 -Resultados de medidas diretas e indiretas

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ENG3500 - Medidas Elétricas
Prof. Raffael Costa de Figueiredo Pinto
Aula 4 – Resultados de Medidas Diretas e Indiretas
Conteúdo orginalmente criado pela Prof.ª Fabrícia Neres
Resultados de medidas diretas e indiretas 
• Métodos diretos
• Métodos indiretos
Caracterização do Processo de 
Medição
resultado da 
medição
definição do 
mensurando
procedimento 
de medição
condições 
ambientais
sistema de 
medição
operador
Medidas Diretas
• O sistema de medição já indica naturalmente 
o valor do mensurando.
• Exemplos:
▪ Medição do diâmetro de um eixo com um 
paquímetro.
▪ Medição da tensão elétrica de uma pilha com um 
voltímetro.
Medidas Indiretas
• A grandeza é determinada a partir de 
operações entre duas ou mais grandezas 
medidas separadamente;
• Exemplos:
▪ Área de um terreno retangular multiplicando largura pelo comprimento;
▪ Medição de velocidade média de um automóvel dividindo a distância 
percorrida pelo tempo correspondente.
Tipos de Mensurando
• Invariável: seu valor permanece constante 
durante o período em que a medição é 
efetuada. Exemplo: peso de uma jóia;
• Variável: quando o seu valor não é único ou 
bem definido. Seu valor pode variar em 
função da posição, do tempo ou de outros 
fatores. Exemplo temperatura do ambiente
Em termos práticos
• Mensurando Invariável: as variações do 
mensurando são inferiores à resolução do 
sistema de medida;
• Mensurando Variável: as variações do 
mensurando são iguais ou superiores à 
resolução do sistema medida;
Incertezas Combinadas
• A repetitividade combinada corresponde à
contribuição resultante de todas as fontes de
erros aleatórios que agem simultaneamente
no processo de medição;
• A correção combinada compensa os erros
sistemáticos de todas as fontes de erros
sistemáticos que agem simultaneamente no
processo de medição.
Caso 1 - Resultado da Medição no Mensurando 
Invariável – Corrigindo Erros Sistemáticos
• Podem ser compensados adicionando-se a correção ao valor da 
indicação. Número de medições =1
indicação
mensurando
sistema de 
medição
RB
+ C
± Re
• O resultado da medição neste caso pode ser
definida como:
RM = I + C ± Re
Sendo:
RM = faixa que corresponde ao resultado da 
medição
I = indicação obtida do sistema de medição
C = correção do sistema de medição
Re = repetitividade do sistema de medição
Caso 1 - Resultado da Medição no Mensurando 
Invariável – Corrigindo Erros Sistemáticos
indicação
+ C
+ Re- Re
RM = I + C ± Re
Caso 1 - Resultado da Medição no Mensurando 
Invariável – Corrigindo Erros Sistemáticos
1014
g
0 g1014 g
1
(1000,00 ± 0,01) g
Re = 3,72 g
Exemplo
C = -15,0 g
RM = I + C ± Re
RM = 1014 + (-15,0) ± 3,72
RM = 999,0 ± 3,72
RM = (999,0 ± 3,7) g
Caso 1 - Resultado da Medição no Mensurando 
Invariável – Corrigindo Erros Sistemáticos
Caso 2 - Resultado da Medição no Mensurando 
Invariável – Corrigindo Erros Sistemáticos
• Podem ser compensados adicionando-se a correção ao valor da 
média de indicações. Número de medições >1
Indicação média
mensurando
sistema de 
medição
RB
+ C
± Re/√n
• O resultado da medição neste caso pode ser definida
como:
RM = I + C ± Re/raiz(n)
Sendo:
RM = faixa que corresponde ao resultado da medição
I = média das indicações de “n” medições repetidas
C = correção do sistema de medição
Re = repetitividade do sistema de medição
n = número de medições repetidas realizadas
Caso 2 - Resultado da Medição no Mensurando 
Invariável – Corrigindo Erros Sistemáticos
indicação média
+ C
+ Re/n- Re /n
RM = I + C ± Re /n
Caso 2 - Resultado da Medição no Mensurando 
Invariável – Corrigindo Erros Sistemáticos
Re = 3,72 g
C = -15,0 g
RM = 1015 -15,0 ± 3,72 /12
RM = 1000,0 ± 1,07
RM = (1000,0 ± 1,1) g
1014
g
0 g1014 g
1
(1000,00 ± 0,01) g
1
(1000,00 ± 0,01) g
1
(1000,00 ± 0,01) g
1014 g
1012 g
1015 g
1018 g
1014 g
1015 g
1016 g
1013 g
1016 g
1015 g
1015 g
1015 g
1017 g
1017 g
I = 1015 g
RM = I + C ± Re/n
Caso 2 - Resultado da Medição no Mensurando 
Invariável – Corrigindo Erros Sistemáticos
Caso 3 – Resultado da Medição no Mensurando 
Invariável - Erro Máximo Conhecido – Não Corrigindo 
Erros Sistemáticos
• A faixa de incerteza, que corresponde ao erro máximo é consideravelmente 
maior que a repetitividade. Número de medições >1
indicação ou média
mensurando
sistema de 
medição
RB
- Emáx + Emáx
• O resultado da medição neste caso pode ser
definida como:
RM = I ± Emax
Sendo:
RM = faixa que corresponde ao resultado da 
medição
I = média das indicações de “n” medições 
repetidas
Emáx= erro máximo do processo de medição para 
as condições de medição
Caso 3 – Resultado da Medição no Mensurando 
Invariável - Erro Máximo Conhecido – Não Corrigindo 
Erros Sistemáticos
Indicação ou média
+ Emáx- Emáx
RM = I ± Emáx
Caso 3 – Resultado da Medição no Mensurando 
Invariável - Erro Máximo Conhecido – Não Corrigindo 
Erros Sistemáticos
1014
g
0 g1014 g
1
(1000,00 ± 0,01) g
Emáx = 18 g
RM = I ± Emáx
RM = 1014 ± 18
RM = (1014 ± 18) g
Caso 3 – Resultado da Medição no Mensurando 
Invariável - Erro Máximo Conhecido – Não Corrigindo 
Erros Sistemáticos
Representação gráfica dos três 
métodos
1000 1020 1040960 980
mensurando [g]
RM = (999,0 ± 3,7) g
RM = (1000,0 ± 1,1) g
RM = (1014 ± 18) g
Algarismos Significativos (AS)
• Conta-se da esquerda para a direita a partir 
do primeiro algarismo não nulo.
• Exemplos:
◆ 12 = tem dois AS
◆ 1,2 = tem dois AS
◆ 0,012 = tem dois AS
◆ 0,000012 = tem dois AS
◆ 0,01200 = tem quatro AS
Regras de Arredondamento Numérico
• Regra 1: quando o algarismo imediatamente seguinte
ao último algarismo a ser conservado for inferior a
cinco, o último algarismo a ser conservado
permanecerá sem modificações. Exemplo: 4,3333 fica
4,3;
• Regra 2: quando o algarismo imediatamente seguinte
ao último algarismo a ser conservado for superior a
cinco, ou, sendo cinco, for seguido de no mínimo um
algarismo diferente de zero, o último algarismo a ser
conservado deverá ser aumentado de uma unidade.
Exemplo 1 : 21,666 fica 21,7
Exemplo 2: 4,8507 fica 4,9
Regras de Arredondamento Numérico
• Regra 3: quando o algarismo imediatamente
seguinte ao último algarismo a ser conservado
for cinco seguido de zeros poderá ou não ser
modificado. Será mantido sem modificações se
for par. Será acrescido de uma unidade se for
ímpar.
Exemplo 1: 4,8500 fica 4,8
Exemplo 2: 4,5500 fica 4,6
Regras de Grafia
• Regra 1: a incerteza da medida é escrita com até
dois algarismos significativos;
• Regra 2: o resultado base é escrito com o mesmo
número de casas decimais com que é escrita a
incerteza da medição
Regras de Grafia
Exemplo 1:
RM = (319,213 ± 11,4) mm
RM = (319,213 ± 11) mm
REGRA 1
RM = (319 ± 11) mm
REGRA 2
Regras de Grafia
Exemplo 2:
RM = (18,4217423 ± 0,04280437) mm
RM = (18,4217423 ± 0,043) mm
REGRA 1
RM = (18,422 ± 0,043) mm
REGRA 2
Resultado da Medição no Mensurando 
Variável 
• O mensurando nem sempre tem um valor
único ou estável. Seu valor pode vir a ser
variável em função do tempo, da posição, da
orientação ou em função da variação de outros
fatores.
• Deve sempre ser medido muitas vezes em
locais e/ou momentos distintos, para que
aumentem as chances de que toda a sua faixa
de variação seja varrida
Resultado da Medição no Mensurando 
Variável 
• Qual a Altura do Muro???
h1
h2
h3
h4
h5
c/2 c/2
h6
h7
h8
h9
h10
h11
h12 h13
h14
h = média entre h7 a h14?
Qual seria uma resposta honesta?
Resultado da Medição no Mensurando Variável 
Resposta honestas
h1
h2
Varia entre um mínimo de h1 e um máximo de h2.
A faixa de variação de um mensurando variável 
deve fazer parte do resultado da medição.
F
a
ix
a
 d
e
 v
a
ri
a
ç
ã
o
Resultado da Medição no Mensurando 
Variável – Corrigindo Erros Sistemáticos
• Para n > 1
RM = I + C ± t.u
Sendo:
RM = faixa que corresponde ao resultado da medição
I = média das indicações de “n” indicações disponíveis
t = coeficiente de Studentpara n-1 graus de liberdade
u = incerteza-padrão calculada a partir das “n” 
indicações disponíveis 
Resultado da Medição no Mensurando 
Variável – Corrigindo Erros Sistemáticos
mensurando
sistema de 
medição
RB
faixa de variação das 
indicações
± t . u
+ C
Resultado da Medição no Mensurando 
Variável – Corrigindo Erros Sistemáticos
indicação média
+ C
+ t . u- t . u
u = incerteza padrão 
determinada a partir 
das várias indicações
RM = I + C ± t . u
Resultado da Medição no Mensurando 
Variável – Corrigindo Erros Sistemáticos
• Exemplo temperatura no refrigerador
A
B
C
D
C = - 0,80°C
As temperaturas foram medidas durante duas 
horas, uma vez por minuto, por cada sensor.
Dos 480 pontos medidos, foi calculada a 
média e incerteza padrão:
u = 1,90°C
Da curva de calibração dos sensores 
determina-se a correção a ser aplicada:
I = 5,82°C
Resultado da Medição no Mensurando 
Variável – Corrigindo Erros Sistemáticos
• Exemplo temperatura no refrigerador
RM = I + C ± t . u
RM = 5,82 + (-0,80) ± 2,00 . 1,90
RM = 5,02 ± 3,80
RM = (5,0 ± 3,8)°C
4 6 80 2
Resultado da Medição no Mensurando Variável –
Não Corrigindo Erros Sistemáticos
• Para n> 1
RM= I ± (Emáx +t.u)
Sendo:
RM = faixa que corresponde ao resultado da medição
I = média das indicações de “n” indicações disponíveis
t = coeficiente de Student para n-1 graus de liberdade
u = incerteza-padrão calculada a partir das “n” indicações 
disponíveis 
Emáx= erro máximo do sistema ou do processo de 
medição
Resultado da Medição no Mensurando Variável 
– Não Corrigindo Erros Sistemáticos
mensurando
sistema de 
medição
RB
faixa de variação das 
indicações
± t . u
- Emáx + Emáx
Resultado da Medição no Mensurando 
Variável – Não Corrigindo Erros 
Sistemáticos
+ Emáx- Emáx
+ t . u- t . u
RM = I ± (Emáx + t . u)
Resultado da Medição no Mensurando 
Variável – Não Corrigindo Erros Sistemáticos
• Exemplo velocidade do vento
Emáx = 0,20 m/s
A velocidade do vento foi medida 
durante 10 minutos uma vez a cada 
10 segundos.
Dos 60 pontos medidos, foi 
calculada a média e a incerteza 
padrão:
u = 1,9 m/sI = 15,8 m/s
Resultado da Medição no Mensurando 
Variável – Não Corrigindo Erros Sistemáticos
• Exemplo velocidade do vento
RM = I ± (Emáx + t . u)
RM = 15,8 ± (0,2 + 2,0*1,9)
RM = (15,8 ± 4,0) m/s
15 17 1911 13
Resultado da medição na presença de 
várias fontes de incerteza
P1 – Analise o processo de medição
P2 – Identifique as fontes de incertezas
P3 – Estime a correção de cada fonte de incerteza
P4 – Calcule a correção combinada
P5 – Estime a incerteza padrão de cada fonte de 
incertezas
P6 – Calcule a incerteza padrão combinada e o número 
de graus de liberdade efetivos
P7 – Calcule a incerteza expandida
P8 – Exprima o resultado da medição
Sensores
• Sensores Naturais
 Sensores Industriais
Sensores Naturais
• São os sensores encontrados em organismos vivos e que 
geralmente respondem na forma de biosinais;
 No corpo humano são encontrados os sensores para os 
nossos sentidos de visão, audição, tato, olfato e paladar.
Sensores Industriais
• A informação é transmitida e processada na forma elétrica;
 Qualquer sensor é um conversor de energia. Não importa o que
tentamos medir, sempre haverá transferência de energia entre o
objeto medido e o sensor.
Medidor = Sensor + Transdutor
• Sensor: Qualquer sensor é um conversor de energia; detecta uma
variável física de interesse, por exemplo: pressão, temperatura,
força;
 Transdutor: transforma essa variável em outra fácil de ser
medida.
Sensores – Consumo de Energia
• O sensor passivo não necessita de energia adicional para
funcionar. A potencia de saída é gerada de acordo com a de
entrada. Exemplo: termopares (sensores de temperatura)
 O sensor ativo requer fonte de energia externa para funcionar. A
maior parte da potência de saída vem da fonte auxiliar. Exemplo:
sensor de temperatura digital.
Sensores Analógicos
• Pode assumir qualquer valor no seu sinal ao longo do tempo, 
desde que esse valor esteja dentro da sua faixa de operação; 
• Forma de variação de uma grandeza analógica: temperatura;
• Sensores com saída analógica. Exemplo: potenciômetro
Sensores Digitais
• Sensores digitais assumem valores discretos (0, 1 por exemplo) 
• Forma de variação de uma grandeza digital
• Encoder: um exemplo de sensor digital. (utilizado para 
determinar distâncias ou velocidades)
Sensores: modo de operação
• Sensores de deflexão – as quantidades de medidas produzem um efeito físico
que gera em alguma parte do instrumento um efeito similar. Exemplo:
dinamômetro (medição de peso através de uma mola)
• Sensores de ponto nulo – tentam prever a deflexão do ponto de zero
aplicando um efeito conhecido que se opõe à quantidade que está sendo
medida. Exemplo: balança de pratos.
Principais características dos sensores
• Sensibilidade: Alteração na saída por unidade de variação da
entrada;
• Erro: Diferença entre a quantidade medida e o valor
“real/verdadeiro”;
• Precisão: Termo qualitativo utilizado para relacionar a saída do
instrumento com o valor real medido;
• Resolução: Resolução: Menor incremento da variável física que
pode ser detectado pelo sensor
• Erro no zero do instrumento de medição: consiste no erro no
ponto de controle de um instrumento de medição
Principais características dos sensores
• Zona Morta (Dead Zone): A mais larga variação da
variável a ser lida, à qual o sensor não responde;
• Tempo de Resposta: Rapidez com que a saída responde a
uma variação do sinal da entrada;
• Coeficiente de Temperatura: Alteração na resposta do
sensor, por unidade de temperatura. Esta característica aplica-
se a todos os sensores;
Condições de Repetitividade 
• Repetitividade: Medida realizada diversas vezes sob as mesmas
condições de ambiente e usando o instrumento. Bom resultado
para instrumentos: apresentar resultados semelhantes próximos
ao valor verdadeiro em todas as medidas
• Reprodutividade: Capacidade de reproduzir medição e obter os
resultados alcançados anteriormente; Bom resultado: obter os
mesmos resultados obtidos em medição anterior;
• Resolução: definida como a menor variação da grandeza que
está sendo medida (variação perceptível ao instrumento de
medição);
• Sensibilidade: o quanto o mensurando deve variar para que seja
perceptível para o instrumento.
Zona Morta e Histerese 
• Zona morta: É a máxima variação que a variável pode
apresentar sem provocar modificação na indicação ou sinal de
saída de um instrumento;
• Histerese: É a diferença máxima apresentada por um
instrumento, para um mesmo valor, em qualquer ponto da
faixa de trabalho;
• Fundo de escala: máximo valor da escala.
Classificação dos Sensores:
• Mecânicos (velocímetro)
• Elétricos (potenciômetro)
• Magnéticos (bússola)
• Ópticos (a laser)
• Acústicos (microfones)
• Químicos (eletrodo de vidro para medição de 
• pH)
• Biológicos (nível de atividade metabólica)
Instrumentos de Medição
• Instrumento de medição é um dispositivo para realizar medições
individualmente ou em conjunto;
• Pode ser constituído por um sistema mecânico, elétrico ou
eletromecânico que integra um ou mais sensores;
• Exemplos: Amperímetro, Termômetro.
Instrumentos de Medição
• A indicação de um instrumento pode ser analógica ou digital;
• Dispositivo mostrador ou indicador é a parte do instrumento de
medição que apresenta uma indicação;
• Existem mostradores analógicos e digitais.
Instrumentos de Medição
• A escala do instrumento consiste no conjunto ordenado de marcas 
associados a uma numeração;
• Faixa de indicação consiste no conjunto de valores limitados pelas 
indicações extremas;
• Divisão de escala: a parte compreendida entre duas marcas 
sucessivas.
Instrumentos de Medição
• Condicionador de sinais: dispositivo que converte a saída do sensor 
ou transdutor em um sinal elétrico apropriado para o dispositivo de 
controle.
Condicionador de 
Sinais
Outras
Funções
Visualizador
TransdutorSaída 
Analógica ou 
Digital
RANGE e SPAN
• RANGE ou Faixa Nominal: Conjunto de valores do
mensurando que pode ser fornecido pelo instrumento,
considerando toda a sua faixa nominal de escala. É
normalmente especificado por seus limites inferior e
superior, como por exemplo 10V a 40 V.
 SPAN ou Amplitude da Faixa Nominal: Módulo da diferença entre
os dois limites de uma faixa nominal do instrumento. Exemplo:
faixa nominal: 10 V a 40 V amplitude da faixa nominal: 30 V
Linearidade e Conformidade
• Linearidade: indica comportamento linear de 
entrada x saída do instrumento;
• Conformidade: indica comportamento não linear 
de entrada x saída do instrumento.
Deriva e Estabilidade
• Deriva (drift): mudança indesejável e lenta de uma característica
metrológica de um instrumento de medição que ocorre com o
passar do tempo causada por fatores ambientais ou intrínsecos;
• Estabilidade: aptidão do instrumento de medição em conservar
constantes suas características metrológicas. Pode ser
quantificada de diversas formas dentre elas: pelo tempo no qual a
característica metrológicas varia de um valor determinado;
termos de variação de uma característica em um determinado
período de tempo.
Características Gerais
• Condições de uso: são as características metrológicas
especificadas para o uso do instrumento;
• Padrões: consistem em grandezas referências para que
investigadores em todas as partes do mundo possam
comparar resultados dos experimentos.
• Calibração: conjunto de operações que estabelece, sob
condições especificadas, a relação entre os valores
indicados por um instrumento de medição e os valores
correspondentes das grandezas estabelecidos por
padrões.
Hierarquia do Sistema Metrológico
Algarismos Significativos
• Verificar a precisão do valor lido em qualquer 
instrumento
Algarismos Significativos
• Como regra geral os valores apresentados no caso
anterior devem conter como incerteza apenas um
algarismo duvidoso.
• Esses são conhecidos como algarismos
significativos da medida ;
• Essa abordagem se aplica a instrumentos
analógicos pois o indicador se posiciona em uma
escala;
• No caso de instrumentos digitais a precisão e
limitada pelos dígitos apresentados no visor.
Referências Bibliográficas
• Livro: Fundamentos de Metrologia 
Científica e Industrial
• Livro: Instrumentação e Fundamentos de 
Medidas