Revisão Trigonometria

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Trigonometria 
2 
O significado da palavra trigonometria, vem do grego e resulta da 
conjunção de três palavras: 
Tri – três 
Gonos – ângulo 
Metrein - medir 
Trigonometria significa, o estudo das medidas dos triângulos. 
3 
4 
Algumas aplicações da Trigonometria 
5 
6 
Triângulo retângulo 
7 
Triângulo retângulo é todo triângulo que apresenta um ângulo reto, ou 
seja, um ângulo de 90°. 
cateto cateto 
hipotenusa 
cateto 
cateto 
hipotenusa 
A hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo retângulo; 
Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre 180°; 
Como num triângulo retângulo um dos ângulos é reto, a soma dos outros 
dois ângulos agudos (menores que 90º) é sempre 90°; 
Quando a soma de dois ângulos internos é igual a 90°, dizemos que esses 
ângulos são complementares. 
Teorema de Pitágoras 
8 
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é 
igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos. 
c = 4 
b = 3 
a = 5 
2525
16925
435 222
222



 cba
Aplicação do Teorema de Pitágoras 
9 
22:2
2
3
4
3
42
:1
22222
2
2
2
22
2
22













ddd
hhhh
Teorema de Tales 
10 
Um feixe de retas paralelas, intersectado por duas transversais, 
determina, sobre essas transversais segmentos proporcionais. 
Exemplo de aplicação: 
11 
Solução: 
Relações Trigonométricas num triângulo retângulo 
12 
Seno 
13 
Exemplo de aplicação: 
14 
Cosseno 
15 
Exemplo de aplicação: 
16 
Tangente 
Exemplo de aplicação: 
17 
Cálculo de seno, cosseno e tangente dos ângulos 
notáveis 
Seno, cosseno e tangente de 30° e 60º 
adjacente cateto
oposto cateto
tgα
hipotenusa
adjacente cateto
cosα
hipotenusa
oposto cateto
senα



18 
2 
Seno, cosseno e tangente de 45° 
adjacente cateto
oposto cateto
tgα
hipotenusa
adjacente cateto
cosα
hipotenusa
oposto cateto
senα



19 
Construção da Tabela Trigonométrica 
20 
Relações entre seno, cosseno e tangente 
21 
22 
23 
Observe a situação a seguir: 
Um fio elétrico será instalado entre um poste P e uma casa, separados 
por um lago em um terreno plano. Como calcular o comprimento do fio 
necessário para a instalação? 
Pela necessidade de solucionar 
problemas relacionados a triângulos 
que não são retângulos, se 
desenvolveram formas de trabalhar 
com senos e cossenos de ângulos 
obtusos ( maiores que 90°). 
Teorema ou Lei dos Senos 
24 
A lei dos senos pode ser utilizada em 
qualquer triângulo. No caso de 
triângulos retângulos, basta considerar 
sen 90° = 1. 
Aplicação da Lei dos Senos 
25 
A Lei dos Senos é geralmente usada, quando são conhecidos 2 ângulos internos 
e a medida do cateto oposto a um desses ângulos. 
Teorema ou Lei dos Cossenos 
26 
A Lei dos Cossenos é geralmente usada, quando são conhecidas as medidas de 
dois lados e o ângulo formado por eles. 
27 
Exemplo: 
Área de um triângulo 
28 
29 
Existem problemas em que se deseja calcular a área de um triângulo 
e não são conhecidas as medidas da base e altura. Nesses casos, a 
área pode ser calculada de duas maneiras diferentes: 
1ª maneira: Área de um triângulo em função da medidas de 
dois lados e do ângulo compreendido entre eles. 
30 
2ª maneira: Fórmula de Heron 
31 
32 
ARCOS E ÂNGULOS 
33 
ÂNGULO CENTRAL 
Todo ângulo central possui um arco correspondente, 
e reciprocamente, a todo arco corresponde um 
ângulo central. 
A medida de um arco é entendida como a medida do 
seu ângulo central. Para medir um arco, usamos o 
grau ou o radiano. 
O comprimento de um arco é a sua medida linear e é expresso em centímetros, 
metros... 
IMPORTANTE 
Os arcos AB e A’B’ têm a mesma “abertura”, ou 
seja, a mesma medida (mesmo ângulo), mas 
possuem comprimentos diferentes. 
34 
MEDIDA DE ARCOS: O GRAU 
O grau é definido, dividindo-se uma 
circunferência em 360 partes iguais. Cada 
uma dessas partes, corresponde a um arco 
de um grau (1°). 
Transferidor: 
usado para 
medir ângulos. 
35 
MEDIDA DE ARCOS: O RADIANO 
Observe o arco AB da circunferência, em 
que o comprimento é igual a medida do 
raio: 
 
Dizemos que, a medida do arco AB ou do 
ângulo central BÔA, é igual a 1 radiano 
(1 rad). 
 
Assim, dizemos que um arco AB que 
possui comprimento igual ao raio da 
circunferência, mede 1 radiano. 
36 
Qual é o comprimento de uma circunferência? 
RC
R
C
Diâmetro
oCompriment


2
2
141592654,3

 (Pi) 
Qual é a medida em radianos de um arco de 360°? 
)(360ncia circunferêuma de arco domedida rad 
rad 
rad 
 
 
 arco doMedida arco do oCompriment







2
2
2
1
2
2
1
x
R
R
x
RxR
x
 rad
R
R
xπR
 rad R
37 
Quantos graus mede um arco de 1 radiano? 
rad 
rad 




180
2360Portanto, temos que: 










357
14,3
180180
2
360
3602
1
2360
1
2º360
,x
π
x
x
π
x
 rad x
 radπ 
 
 
 
 radianos em arco doMedida graus em arco doMedida 


38 
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA 
40 
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA: 
Arcos Simétricos 




 
180:IIQ




 
180:IIIQ
π-α
IV
2
360:
 

:IQ
2
90


180
2
3
270


2360 
41 
SENO, COSSENO E TANGENTE NA 
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA 
Sinal SENO: 
= 30° 
= 45° 
= 60° 
90° 
120° = 
135° = 
150° = 
210° = 
225° = 
240° = 
270° 
= 300° 
= 315° 
= 330° 
 3602
Seno 
42 
Sinal COSSENO: 
= 30° 
= 45° 
= 60° 
90° 
120° = 
135° = 
150° = 
210° = 
225° = 
240° = 
270° 
= 300° 
= 315° 
= 330° 
 3602
Cosseno 
43 
Sinal TANGENTE: 
= 30° 
= 45° 
= 60° 
90° 
120° = 
135° = 
150° = 
210° = 
225° = 
240° = 
270° 
= 300° 
= 315° 
= 330° 
 3602
Tangente 
44 
= 30° 
= 45° 
= 60° 
90° 
120° = 
135° = 
150° = 
210° = 
225° = 
240° = 
270° 
= 300° 
= 315° 
= 330° 
 3602
Tangente 
Seno 
Cosseno 
45 
DEMAIS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS 
Secante: o sinal da secante é o mesmo do cosseno 
x
x
cos
1
sec 
Cossecante: o sinal da cossecante é o mesmo do 
seno x
x
sen
1
seccos 
Cotangente: o sinal da cotangente é o mesmo da 
tangente. x
x
gx
sen
cos
cot 