PET 3 - 2º ANO - 3º BIMESTRE

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PLANO DE ESTUDO TUTORADO
SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO DE MINAS GERAIS
SEMANA 1
EIXO TEMÁTICO: 
Geometria e Medidas.
TEMA/TÓPICO: 
Semelhança e Trigonometria / 14. Semelhança de triângulos.
HABILIDADE(S):
14.1. Resolver problemas que envolvam semelhança de triângulos.
CONTEÚDOS RELACIONADOS: 
Semelhança de triângulos.
TEMA: Reconhecendo a semelhança entre triângulos.
Caro(a) estudante, nesta semana você irá identificar a semelhança entre triângulos e as suas respecti-
vas razões de semelhanças e também será capaz de calcular medidas destes triângulos a partir desta 
semelhança.
Semelhança de triângulos
Dizemos que dois triângulos são semelhantes quando é possível estabelecer uma correspondência en-
tre os vértices desses triângulos de forma que os três ângulos em correspondência sejam congruentes 
(mesma medida) e que os três pares de lados correspondentes sejam proporcionais.
COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA
ANO DE ESCOLARIDADE: 2º ANO – EM
PET VOLUME: 03/2021
NOME DA ESCOLA:
ESTUDANTE:
TURMA:
BIMESTRE: 3º
NÚMERO DE AULAS POR SEMANA: 
TURNO:
TOTAL DE SEMANAS: 
NÚMERO DE AULAS POR MÊS: 
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Observe que os ângulos dos triângulos são congruentes (mesma medida) e os lados correspondentes 
são proporcionais entre si. Com isso, podemos concluir que (lê-se: triângulo é se-
melhante ao triângulo ).
Podemos determinar que dois triângulos são semelhantes utilizando os três casos de semelhança dos 
triângulos que estão descritos na tabela a seguir:
Dois triângulos são semelhan-
tes... Exemplos
1º Caso: (AA)
Ângulo - Ângulo 
se possuírem dois pares de 
ângulos correspondentes con-
gruentes.
2º Caso: (LAL)
Lado - Ângulo - Lado 
se possuírem dois pares de 
lados correspondentes pro-
porcionais e um par de ângulos 
formados por esses pares de 
lados, congruentes.
3º Caso: (LLL)
Lado - Lado - Lado 
se possuírem os três pares de 
lados correspondentes propor-
cionais.
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Exemplo:
Em uma certa hora do dia, a sombra projetada no chão de uma pessoa com altura de 1,8 m é de 5 m, sa-
bendo que ele está próximo a um poste de altura desconhecida (x) cuja sombra projetada mede 25 m e 
que eles estão em um mesmo plano, qual é a altura deste poste?
Observe que os triângulos indicados na figura acima são semelhantes pois a pessoa em pé e o poste 
formam um ângulo reto com o solo, enquanto o ângulo formado pelos segmentos que representam as 
sombras e a linhas que representam raios de sol formam ângulos congruentes, pois a sombras estão 
sendo consideradas num mesmo instante, recaindo, assim no caso de semelhança ângulo-ângulo (AA). 
Da semelhança entre esses dois triângulos, podemos estabelecer a proporcionalidade entre seus la-
dos. Portanto:
𝒙𝒙
1,8 =
25
5 	⇒ 		
𝒙𝒙
1,8 = 5	 ⇒ 		𝒙𝒙 = 5 * 1,8	 ⇒ 	𝒙𝒙 = 9
Logo a altura do poste é de 9 metros.
PARA SABER MAIS: 
Site: Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-semelhanca-
-triangulos.htm. Acesso em: 06 maio 2021.
ATIVIDADES
1 - (ENEM - 2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois 
postes de comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a situação real na qual os postes são 
descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares 
ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço 
que serão instalados.
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2√6 m
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2 - (ENEM - 2018) A inclinação de uma rampa é calculada da seguinte maneira: para cada metro medido 
na horizontal, mede-se x centímetros na vertical. Diz-se, nesse caso, que a rampa tem inclinação de x%, 
como no exemplo da figura:
A figura apresenta um projeto de uma rampa de acesso a uma garagem residencial cuja base, situada 2 
metros abaixo do nível da rua, tem 8 metros de comprimento.
Depois de projetada a rampa, o responsável pela obra foi informado de que as normas técnicas do muni-
cípio onde ela está localizada exigem que a inclinação máxima de uma rampa de acesso a uma garagem 
residencial seja de 20%.
Se a rampa projetada tiver inclinação superior a 20%, o nível da garagem deverá ser alterado para dimi-
nuir o percentual de inclinação, mantendo o comprimento da base da rampa.
Para atender às normas técnicas do município, o nível da garagem deverá ser
a) elevado em 40 cm.
b) elevado em 50 cm.
c) mantido no mesmo nível.
d) rebaixado em 40 cm.
e) rebaixado em 50 cm.
3 - Sabendo que os triângulos a seguir são semelhantes, calcule os valores de x e y.
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SEMANA 2
EIXO TEMÁTICO: 
Geometria e Medidas.
TEMA/TÓPICO: 
Semelhança e Trigonometria / 14. Semelhança de triângulos.
HABILIDADE(S):
14.2. Relacionar perímetros ou áreas de triângulos semelhantes.
CONTEÚDOS RELACIONADOS: 
Perímetros e áreas de triângulos semelhantes.
TEMA: Semelhança de áreas e perímetros de triângulos.
Caro(a) estudante, nesta semana você irá relacionar áreas e perímetros entre triângulos semelhantes e 
as suas respectivas razões de semelhanças e também será capaz de calcular as suas respectivas áreas 
e perímetros a partir destas semelhanças.
Relações entre perímetros e áreas de triângulos semelhantes
Já sabemos que dois triângulos semelhantes possuem uma razão de proporcionalidade entre eles, mas 
será que esta relação é mantida quando calculamos seus perímetros e suas áreas? Vamos descobrir 
analisando os triângulos semelhantes abaixo.
Os triângulos ∆ABC e ∆DEF são semelhantes pelo caso LLL, pois . Logo existe uma 
razão de proporcionalidade (k) entre eles que neste caso é , se considerarmos os triângulos na ordem 
apresentada, ou seja, as medidas dos lados do triângulo ∆ABC são a iguais às metades das medidas dos 
lados correspondentes do triângulo ∆DEF. Agora vamos verificar se esta relação é mantida para o valor 
dos seus respectivos perímetros (Relembrando: perímetro é a soma das medidas dos lados).
Calculando o perímetro do ∆ABC: P = 4 + 6 + 7,2 => P = 17,2
Calculando o perímetro do ∆DEF: P = 8 + 12 + 14,4 => P = 34,4
Analisando os resultados obtidos podemos concluir que os perímetros também possuem a mesma 
razão de proporcionalidade existente entre os lados, observe:
30
Agora vamos analisar o que acontece com a razão entre suas áreas.
Vamos calcular as áreas dos dois triângulos.
Observando os resultados obtidos, podemos perceber que a proporção existente entre os lados dos 
triângulos não foi mantida entre as áreas, pois . 
A razão existente entre as áreas de triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança 
existente entre os lados desses triângulos.
PARA SABER MAIS: 
Acesse: https://www.infoescola.com/matematica/semelhanca-de-triangulos/. Acesso em: 10 
maio 2021.
Assista: https://www.youtube.com/watch?v=2QPsvNPjVXs. Acesso em: 10 maio 2021.
ATIVIDADES
1 - Dois triângulos semelhantes ∆ABC e ∆DEF possuem uma razão de proporcionalidade de 1:3 
respectivamente. Calcule:
a) o perímetro do triângulo ∆ DEF;
b) as medidas X, Y e Z do triângulo ∆ DEF;
2 - Gilberto é desenhista e recebeu uma encomenda de uma ampliação de um desenho em um formato 
triangular. A área total deste desenho reduzido é de 50 cm², se o seu cliente espera que as medidas dos 
lados do desenho sejam 4 vezes maior, qual será a área deste novo desenho.
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3 - Em um determinado quadro artístico, um pintor utilizou diversos triângulos de diferentes formas e 
tamanhos, dois deles eram semelhantes, de maneira que a área do maior entre eles é 25 vezes a área do 
menor e também se sabe que o perímetro do triângulo menor é 6. Determine o que se pede.
Disponível em: https://pxhere.com/pt/photo/1390141. Acesso em: 10 maio 
2021. (Imagem adaptada)
a) Qual é a razão de proporcionalidade (k) entre os lados destes triângulos?
b) Quanto vale o perímetro do triângulo maior?
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SEMANA 3
EIXO TEMÁTICO: 
Geometria e Medidas.
TEMA/TÓPICO: 
Semelhança e Trigonometria / 15. Trigonometria no triângulo retângulo.
HABILIDADE(S):
15.1. Reconhecer o seno,o cosseno e a tangente como razões de semelhança e as relações entre elas.
CONTEÚDOS RELACIONADOS: 
TEMA: Trigonometria no triângulo retângulo.
Caro(a) estudante, nesta semana você irá reconhecer as relações trigonométricas no triângulo retân-
gulo por meio da razão de semelhança entre triângulos. Irá também entender quais são as relações de 
seno, cosseno e tangente em um triângulo retângulo.
Triângulo retângulo
O triângulo retângulo é aquele que possui um dos seus ângulos internos com a medida de 90° (ângulo 
reto), sendo que os demais ângulos são agudos. Os lados do triângulo retângulo possuem nomes espe-
cíficos que nos ajudarão a compreender melhor as suas relações trigonométricas, acompanhe.
Neste triângulo acima temos: 
• Os ângulos internos α, β e Y.
• Os lados a, b e c; sendo que o lado a é chamado de hipotenusa, que sempre será o lado oposto ao 
ângulo reto e o maior lado do triângulo retângulo, já os lados b e c são os catetos. Em relação ao 
ângulo α, o lado b é o cateto adjacente e o lado c é o cateto oposto, já em relação ao ângulo β, o 
lado c é o cateto adjacente e o lado b é o cateto oposto.
Relações Trigonométricas
Observe os triângulos formados pelas interseções das retas paralelas B1C1, B2C2, B3C3 e B4C4 com as se-
mirretas AB4 e AC4. Formam-se 4 triângulos semelhantes, pelo caso (AA) de semelhança: 
Dessas semelhanças pode-se concluir três proporções entre os lados desses triângulos, de onde ex-
trairemos as relações trigonométricas no triângulo retângulo.
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Disponível em: http://clubes.obmep.org.br/blog/sala-de-atividades-brincando-com-trigonometria/. Acesso em: 11 maio 2021.
Agora vamos calcular os valores das relações trigonométricas do triângulo retângulo a seguir.
Neste triângulo retângulo temos as relações:
Seno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida da hipotenusa. Temos:
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	𝛽𝛽 =
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐	𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐	𝑐𝑐𝑐𝑐	â𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑐𝑐	𝛽𝛽
ℎ𝑖𝑖𝑜𝑜𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑠𝑠𝑐𝑐 =
𝐴𝐴𝐴𝐴
𝐴𝐴𝐴𝐴	 	𝑐𝑐𝑛𝑛	𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	𝛽𝛽 =
𝐴𝐴𝐶𝐶
𝐻𝐻
Cosseno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa. Temos:
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐	𝛽𝛽 =
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐	𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐	𝑐𝑐𝑐𝑐	â𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑐𝑐	𝛽𝛽
ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝐵𝐵𝐵𝐵
𝐴𝐴𝐵𝐵	 𝑐𝑐𝑛𝑛		𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐	𝛽𝛽 =
𝐵𝐵𝐴𝐴
𝐻𝐻
Tangente de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ou a 
razão entre o seno e o cosseno. Temos:
𝑡𝑡𝑡𝑡	𝛽𝛽 =
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑐𝑐𝑡𝑡𝑐𝑐	𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝑜𝑜𝑡𝑡𝑐𝑐	𝑐𝑐𝑐𝑐	â𝑛𝑛𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑐𝑐	𝛽𝛽
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑐𝑐𝑡𝑡𝑐𝑐	𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑡𝑡𝑐𝑐	𝑐𝑐𝑐𝑐	â𝑛𝑛𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑐𝑐	𝛽𝛽 =
𝐴𝐴𝐴𝐴
𝐵𝐵𝐴𝐴 	𝑐𝑐𝑛𝑛		𝑡𝑡𝑡𝑡	𝛽𝛽	 = 	
𝐴𝐴𝐶𝐶
𝐴𝐴𝐴𝐴 	𝑐𝑐𝑛𝑛		𝑡𝑡𝑡𝑡	𝛽𝛽 = 	
𝑆𝑆𝑐𝑐𝑛𝑛	𝛽𝛽
𝐴𝐴𝑐𝑐𝑜𝑜	𝛽𝛽
Agora vamos calcular os valores de seno, cosseno e tangente do triângulo ∆ABC:
Seno
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	𝛽𝛽 =
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐	𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐	𝑐𝑐𝑐𝑐	â𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑐𝑐	𝛽𝛽
ℎ𝑖𝑖𝑜𝑜𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑠𝑠𝑐𝑐 =
𝐴𝐴𝐴𝐴
𝐴𝐴𝐴𝐴 =
3
5 = 0,6
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Cosseno
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐	𝛽𝛽 =
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐	𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐	𝑐𝑐𝑐𝑐	â𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑐𝑐	𝛽𝛽
ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝐵𝐵𝐵𝐵
𝐴𝐴𝐵𝐵 =
4
5 = 0,8
Tangente
𝑡𝑡𝑡𝑡	𝛽𝛽 =
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑐𝑐𝑡𝑡𝑐𝑐	𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝑜𝑜𝑡𝑡𝑐𝑐	𝑐𝑐𝑐𝑐	â𝑛𝑛𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑐𝑐	𝛽𝛽
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑐𝑐𝑡𝑡𝑐𝑐	𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑡𝑡𝑐𝑐	𝑐𝑐𝑐𝑐	â𝑛𝑛𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑐𝑐	𝛽𝛽 =
𝐴𝐴𝐴𝐴
𝐵𝐵𝐴𝐴 =
3
4 = 0,75
A partir dos valores encontrados no seno ou cosseno ou tangente é possível determinar a medida do 
ângulo β, usando uma tabela com estes valores. Por exemplo, para o valor 0,6 para sen β, obtemos a 
medida do ângulo β, no caso, β = 37°.
PARA SABER MAIS: 
Veja mais sobre o conteúdo: Brincando com trigonometria. http://clubes.obmep.org.br/blog/sa-
la-de-atividades-brincando-com-trigonometria/. Acesso em: 11 maio 2021.
Veja o video: Trigonometria - Semelhança de triângulos em trigonometria. https://www.youtube.
com/watch?v=O_vShbQJ9J4. Acesso em: 11 maio 2021.
ATIVIDADES
1 - Calcule os valores do seno, cosseno e tangente do ângulo β do triângulo retângulo abaixo:
2 - Sabendo que o valor do seno do ângulo a do triângulo retângulo abaixo é 0,75 e que o valor do seu 
cosseno é 0,66, calcule:
a) a medida do lado “X”;
b) a medida do lado “Y”;
c) o valor da tangente do ângulo a.
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3 - Um mestre de obras está fazendo um telhado colonial e precisa seguir a regulamentação em relação 
ao seu caimento, conforme ilustrado na figura abaixo. Nesta figura temos a relação entre o comprimento 
da base do telhado e a altura que ele deve ter. Considerando que este telhado deve formar um triângulo 
retângulo e as relações trigonométricas (seno, cosseno e tangente), explique com cálculos o valor em 
percentual descrito em cada um dos exemplos citados.
Disponível em: https://construindodecor.com.br/telha-colonial/. Aceso em: 11 maio 2021.
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SEMANA 4
EIXO TEMÁTICO: 
Geometria e Medidas.
TEMA/TÓPICO:
Semelhança e Trigonometria / 15. Trigonometria no triângulo retângulo.
HABILIDADE(S):
15.2. Resolver problemas que envolvam as razões trigonométricas: seno, cosseno e tangente.
15.3. Calcular o seno, cosseno e tangente de 30°, 45° e 60°.
CONTEÚDOS RELACIONADOS: 
Ângulos notáveis.
TEMA: Seno, Cosseno e Tangente.
Caro(a) estudante, nesta semana você irá resolver problemas que envolvam as razões trigonométricas 
seno, cosseno e tangente utilizando os ângulos notáveis e outros ângulos quaisquer. 
Ângulos notáveis
Na semana anterior estudamos as relações trigonométricas no triângulo retângulo e para nos ajudar a 
compreender melhor estas relações e resolvermos alguns problemas, vamos estudar agora os ângulos 
notáveis.
Os ângulos notáveis são os ângulos com as medidas de 30°, 45° e 60°, eles tem este nome por serem 
ângulos mais usados em diversas situações no estudo da Trigonometria.
Os ângulos agudos de um triângulo retângulo possuem valores tabelados para as relações trigonomé-
tricas de seno, cosseno e tangente, porém iremos focar no estudo dos ângulos notáveis, acompanhe a 
tabela com estes valores.
30° 45° 60°
Seno (α)
	1	
2
2
2
3
2
Cosseno (α)
3
2
2
2
	1	
2
Tangente (α)
3
3
1 3
Agora vamos entender como estes valores nos ajudam a resolver os problemas envolvendo as relações 
trigonométricas no triângulo retângulo.
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Exemplos:
1. Determine os valores de “x” e “y” da figura a seguir utilizando as relações trigonométricas no triângulo 
retângulo e a tabela dos ângulos notáveis.
Neste triângulo retângulo temos que:
O lado x é a hipotenusa;
O lado y é o cateto adjacente ao ângulo de 30°;
O lado que mede 6 é o cateto oposto ao ângulo de 30°.
O ângulo α = 30°
Vamos usar a razão trigonométrica seno para calcular o valor da 
hipotenusa x e a razão trigonométrica tangente para calcular o 
valor do cateto adjacente y.
Para resolver esta questão, precisaremos consultar na tabela dos ângulos notáveis os valores de 
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	30° =
1
2
 e de 𝑡𝑡𝑡𝑡	30° =
3
3 .
• Calculando o valor de x, observe que iremos substituir o valor de sen 30 ° por seu valor 
1
2 .
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	30° =
1
2 		𝑠𝑠			𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	30° =
6
𝑥𝑥 				⟹ 				
1
2 =
6
𝑥𝑥 				⟹ 				1 . 𝑥𝑥 = 6 . 2				 ⟹ 				𝑥𝑥 = 12
• Calculando o valor de y, observe que iremos substituir o valor de tg 30 ° por seu valor 3
3
.
𝑡𝑡𝑡𝑡	30° =
3
3 	𝑒𝑒		𝑡𝑡𝑡𝑡	30° =
6
𝑦𝑦 ⟹
3
3 =
6
𝑦𝑦 ⟹ 3 ∙ 𝑦𝑦 = 6 ∙ 3 ⟹ 𝑦𝑦 =
18
3
⟹ 𝑦𝑦 =
18 ∙ 3
3 ∙ 3
⟹ 𝑦𝑦 =
18 3
3 ⟹ 𝑦𝑦 = 6 3
2 - Utilizando as relações trigonométricas no triângulo retângulo e a tabela dos ângulos notáveis, determine as medidas dos 
ângulos a e b no desenho a seguir.
Neste caso vamos utilizar a razão trigonométrica seno do ângulo a para determinar o valor deste ângulo, 
já que conhecemos as medidas do cateto oposto ao ângulo a e da hipotenusa deste triângulo.
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	𝑎𝑎 =
10
20 				⟹ 				𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	𝑎𝑎=
1
2
Agora basta encontrarmos o valor do ângulo que possui o valor de seno igual a 
1
2 , que pela tabela pode-
mos concluir que a = 30°.
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Para encontrarmos a medida do ângulo b, vamos utilizar a razão trigonométrica cosseno, já que conhe-
cemos as medidas do cateto adjacente ao ângulo b e da hipotenusa do triângulo.
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐	𝑏𝑏 =
10
20 				⟹ 				𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐	𝑏𝑏 =
1
2
Procurando o valor do ângulo que possui cosseno igual a 
1
2 , concluímos que b = 60°.
Agora vamos praticar! Resolva as atividades a seguir.
PARA SABER MAIS: 
Veja mais sobre o conteúdo: SILVA, Luiz Paulo Moreira. “Ângulos Notáveis”; Brasil Escola. Dispo-
nível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/angulos-notaveis.htm. Acesso em: 13 maio 
2021.
Assista o vídeo: Trigonometria: Ângulos Notáveis - https://www.youtube.com/watch?v=SL2EGW-
jCvKs. Acesso em: 13 maio 2021.
ATIVIDADES
1 - Um pedreiro precisa assentar uma pedra de mármore de 4m na fachada de uma empresa conforme 
mostrado na figura a seguir. Ele pretende escorar esta pedra com 2 vigas de madeira formando um 
ângulo de 30° entre elas, qual deve ser o comprimento destas duas escoras?
2 - Um avião decola em uma trajetória linear formando um ângulo de 30° com a horizontal e após certo 
tempo ele já havia percorrido uma distância de 1500 metros, neste exato instante qual será a altura (h) 
deste avião?
Imagem do aviãao disponível em: https://www.publicdomainpictures.
net/pt/view-image.php?image=92452&picture=aviao-comercial-
descolar. Acesso em: 13 maio 2021.
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3 - Um triângulo retângulo possui os seus dois catetos com a mesma medida x e a medida da sua 
hipotenusa é 15. Calcule o que se pede:
a) Determine as medidas dos ângulos internos b e c;
b) Calcule as medidas dos catetos deste triângulo.
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SEMANA 5
EIXO TEMÁTICO: 
Geometria e Medidas.
TEMA/TÓPICO:
Semelhança e Trigonometria / 28. Trigonometria no círculo e funções trigonométricas.
HABILIDADE(S):
28.2. Resolver problemas utilizando a relação entre radianos e graus.
CONTEÚDOS RELACIONADOS: 
Unidade de medida de arcos e ângulos.
TEMA: Circunferência trigonométrica
Caro(a) estudante, nesta semana você irá compreender a relação entre as medidas de ângulos em ra-
dianos e graus e irá resolver problemas envolvendo estas relações.
Unidade de medida de arcos e ângulos
Comumente conhecemos a unidade de medida de ângulos que é o grau (°), mas existe também uma 
unidade muito útil que é o radiano. Esta unidade de medida está relacionada com o comprimento do 
raio da circunferência.
Um radiano (1 rad) é a medida de um arco cujo comprimento é igual ao do raio da circunferência que ele 
está inserido.
Nesta circunferência o ângulo α = 1 rad, pois o comprimento do arco é igual à medida do raio r.
41
Exemplo
1. Um ângulo de um arco de uma circunferência tem uma medida de 2,5 rad, sabendo que seu raio mede 
12 cm, determine o comprimento deste arco.
Resolução:
Se o comprimento de um arco que mede 1 rad é 
igual à medida do raio, então o comprimento de 
uma arco que mede 2,5 rad será 2,5 . r.
Como nessa circunferência o raio mede 12 cm, 
pode-se concluir que o comprimento de um arco 
que mede 2,5 rad nessa circunferência tem me-
dida igual a
2,5 ∙ 12	𝑐𝑐𝑐𝑐 = 30	𝑐𝑐𝑐𝑐
Logo x = 30 cm.
Medida da circunferência em radiano
Já sabemos que a medida de uma volta completa na circunferência, em graus, é 360°, esta mesma me-
dida em radianos equivale a 2π rad, e meia volta (180°), por sua vez, equivale a π rad. Para calcularmos a 
conversão entre estas unidades de medida, utilizamos a regra de três. Observe os valores dos ângulos 
em graus e radianos no círculo. 
Disponível em: https://www.infoescola.com/matematica/circulo-
trigonometrico/. Acesso em: 14 maio 2021.
Exemplo
2. Vamos transformar 120° em radianos e 
5𝜋𝜋
3
 em graus.
Usando a regra de 3 teremos:
 π rad = 180° 
 x = 120° ⟹ 	𝑥𝑥 ∙ 180° = 120° ∙ 𝜋𝜋 ⟹ 	𝑥𝑥 =
120° ∙ 𝜋𝜋
180°	 ⟹ 		𝑥𝑥 =
2𝜋𝜋
3 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
42
Agora vamos transformar 
5𝜋𝜋
3
 em graus.
 π rad = 180° 
5𝜋𝜋
3
 rad = x ⟹ 	𝜋𝜋 ∙ 𝑥𝑥 = 180° ∙
5𝜋𝜋
3 ⟹ 	𝜋𝜋 ∙ 𝑥𝑥 =
180°. 5𝜋𝜋
3	 ⟹ 		𝑥𝑥 =
180°. 5𝜋𝜋
3𝜋𝜋 		⟹ 			𝑥𝑥 = 300°
PARA SABER MAIS: 
Assista o vídeo: COMO PASSAR DE GRAUS PARA RADIANOS. https://www.youtube.com/watch?-
v=-0mRT1NUFQg . Acesso em: 14 maio 2021.
Veja também: SILVA, Luiz Paulo Moreira. “O que é círculo trigonométrico?”; Brasil Escola. Dispo-
nível em: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-circulo-trigonometrico.
htm. Acesso em: 14 maio 2021.
ATIVIDADES
1 - Faça as conversões de graus para radianos.
a) 135°
b) 100°
c) 65°
d) 75°
2 - Faça as conversões de radianos para graus:
a) 
7𝜋𝜋
6
 rad
b) 
4𝜋𝜋
3
 rad
c) 
11𝜋𝜋
6
 rad
d) 
𝜋𝜋
9 rad
3 - Um arco de circunferência de raio 10 cm, mede 25 cm, determine a medida deste arco em graus e 
radianos.
43
SEMANA 6
EIXO TEMÁTICO: 
Geometria e Medidas.
TEMA/TÓPICO:
Semelhança e Trigonometria / 28. Trigonometria no círculo e funções trigonométricas.
HABILIDADE(S):
28.1. Calcular o seno, o cosseno e a tangente dos arcos notáveis: 0°, 90°, 180°, 270° e 360°.
CONTEÚDOS RELACIONADOS: 
Circunferência trigonométrica.
TEMA: Seno, cosseno e tangente na circunferência trigonométrica
Caro(a) estudante, nesta semana você irá compreender as relações trigonométricas a partir da circun-
ferência trigonométrica e irá calcular o seno, o cosseno e a tangente dos arcos notáveis: 0°, 90°, 180°, 
270° e 360°.
Circunferência trigonométrica
A circunferência trigonométrica é uma circunferência de raio r = 1 com seu centro no ponto O = (0,0) de 
um plano cartesiano. Cada ponto dessa circunferência está associado a um número real que, por sua 
vez, relaciona-se a um ângulo desse círculo. Como esse círculo possui raio 1, seu comprimento é igual a 
2π, pois, P = 2πr => P = 2π.1=> P = 2π.
Disponível em: https://www.infoescola.com/matematica/
circulo-trigonometrico/. Acesso em: 14 maio 2021.
Seno, cosseno e tangente na circunferência trigonométrica
Quando marcamos um ponto P qualquer sobre a circunferência trigonométrica, podemos traçar a pro-
jeção ortogonal de P sobre o eixo x, obtendo assim o ponto R e um triângulo retângulo. Agora fazendo 
a projeção ortogonal de P sobre o eixo y, obtemos um retângulo OQPR. Se fizermos a relação entre PR 
e OP, teremos o seno do ângulo θ, considerando que a medida do raio da circunferência r = 1 e OP é a 
hipotenusa deste triângulo retângulo ΔOPR.
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De forma semelhante obteremos o cosseno, quando fazemos a relação entre a projeção OR sobre o eixo 
x e o segmento OP, obteremos o cosseno do ângulo θ.
Nesta circunferência trigonométrica temos que:
QO = PR
QP = OR
r = 1
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	𝜃𝜃 =
𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑂𝑂𝑃𝑃 ⟹ 	𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	𝜃𝜃 =
𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑟𝑟 ⟹ 	𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	𝜃𝜃 =
𝑂𝑂𝑂𝑂
1 ⟹ 	𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	𝜃𝜃 = 𝑂𝑂𝑂𝑂
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐	𝜃𝜃 =
𝑂𝑂𝑂𝑂
𝑂𝑂𝑂𝑂 ⟹ 	𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐	𝜃𝜃 =
𝑂𝑂𝑂𝑂
𝑟𝑟 ⟹ 	𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐	𝜃𝜃 =
𝑂𝑂𝑂𝑂
1 ⟹ 	𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐	𝜃𝜃 = 𝑂𝑂𝑂𝑂
Logo o valor do seno do ângulo θ é o valor da projeção de OP sobre 
o eixo y, que é OQ e o valor do cosseno do ângulo θ é o valor da 
projeção de OP sobre o eixo x, que é OR.
Imagem disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-circulo-trigonometrico.htm. Acesso em: 14 maio 
2021.
Observe os valores para o seno e cosseno dos ângulos de 0°, 90°, 180°, 270° e 360°.
Circunferência trigonométrica com os valores 
de seno 
Circunferência trigonométrica com os valores 
de cosseno 
Observe, portanto, que sen 0° = 0, sen 90° = 1, já no cosseno temos que cos 0° = 1, cos 90° = 0.
Observe também os valores para a tangente dos ângulos de 0°, 90°, 180°, 270° e 360°.
45
Observe que a tangente é marcada em um eixo 
tangente à circunferência trigonométrica con-
forme indicado na figura ao lado. A tangente de 
é definida por:
𝑡𝑡𝑡𝑡	𝛼𝛼 =
𝐴𝐴𝐴𝐴
𝑂𝑂𝐴𝐴 =
𝐴𝐴𝐴𝐴
1 = 𝐴𝐴𝐴𝐴
Note também que:
tg 0° = 0 e a tg 90° ∄, ou seja, não é definida.
Para definirmos o sinal de uma destas relações na circunferênciatrigonométrica podemos observar as 
figuras abaixo, de acordo com o quadrante que o ângulo está, podemos determinar o sinal desta relação 
trigonométrica.
Imagem disponível em:https://www.todamateria.com.br/circulo-trigonometrico/. Acesso em: 14 maio 2021.
PARA SABER MAIS: 
Veja também: Círculo Trigonométrico. https://www.todamateria.com.br/circulo-trigonometrico/. 
Acesso em: 29 mar. 2021.
ATIVIDADES
1 - Utilizando os conhecimentos adquiridos e as circunferências trigonométricas de seno, cosseno e 
tangente, complete a tabela dos ângulos pedidos das relações trigonométricas de seno, cosseno e 
tangente.
a 0° 90° 180° 270° 360°
sen (a)
cos (a)
tg (a)
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2 - Um determinado ângulo (a) possui o valor da sua tangente igual á 1, ou seja, tg (a) = 1. Nesse caso é 
possível afirmar que
a) o valor do seno deste ângulo é 1 e o cosseno é 0.
b) o valor do seno deste ângulo é 0 e o cosseno é 1.
c) o valor do seno deste ângulo é igual ao cosseno em qualquer quadrante.
d) o valor do seno deste ângulo é igual ao cosseno desde que estes ângulos estejam no 1° ou 3° 
quadrante.
e) não é possível determinar.
3 - Determine os sinais do seno, cosseno e tangente dos ângulos a seguir.
a 15° 115° 196° 290° 178° 81° 267°
sen (a)
cos (a)
tg (a)
Chegamos ao final deste PET, obrigado por ter chegado até aqui e realizado as atividades! Espero 
que tenham gostado das atividades e tenham aprendido muito! Agradecemos pelo seu empenho e 
dedicação, que Deus abençoe todos vocês e até o próximo!
REFERÊNCIAS:
Brincando com trigonometria. Disponível em:
<http://clubes.obmep.org.br/blog/sala-de-atividades-brincando-com-trigonometria/>. Acesso em: 
11 maio 2021.
Semelhança de triângulos. Disponível em: <https://www.infoescola.com/matematica/semelhanca-
-de-triangulos/>. Acesso em: 10 maio 2021.
SILVA, Luiz Paulo Moreira. “O que é círculo trigonométrico?”; Brasil Escola. Disponível em: <https://
brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-circulo-trigonometrico.htm>. Acesso em: 
14 maio 2021.
SILVA, Daniel Duarte da. Círculo trigonométrico; Info Escola. Disponível em: 
 <https://www.infoescola.com/matematica/circulo-trigonometrico/>. Acesso em: 14 maio 2021.
GOUVEIA, Rosimar. Círculo Trigonométrico. Disponível em: <https://www.todamateria.com.br/cir-
culo-trigonometrico/>. Acesso em: 14 maio 2021.
	EM_2ano_V3_PF.pdf