04V Engrenagens Retas

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MEC0288 – PROJETO DE SISTEMAS 
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Dimensionamento e 
Projeto de 
Engrenagens 
Cilíndricas de Dentes 
Retos
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1. Teoria do Dente de Engrenagem
• Lei Fundamental do Engrenamento:
“A razão de velocidade angular mV das
engrenagens de um par de engrenagens deve
manter-se constante durante o engrenamento”
As superfícies de rotação dos cilíndros se
transformam em circunferências de referência e os
diâmetros correspondentes em diâmetros de
referência (primitivos) das engrenagens.
(01)saída
entrada
entrada
saída
V
r
r
m 


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(03)
1. Teoria do Dente de Engrenagem
• Lei Fundamental do Engrenamento:
A razão de torque ou ganho mecânico mA é
recíproca de mV.
Para o propósito de cálculos, a razão de
engrenamento mG é entendida como a razão de
velocidade ou de torque, qualquer delas que seja
maior que 1, ou seja:
VGV mmm 1 AGA mmm 1
(02)entrada
saída
saída
entrada
A
r
r
m 


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1. Teoria do Dente de Engrenagem
• Forma dos dentes:
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1. Teoria do Dente de Engrenagem
• Ângulo de Pressão:
É o ângulo formado entre a linha de ação (tangente
às circunferências de base) e a velocidade
tangencial no ponto de referência (primitivo).
Ângulo de pressão padrão: 20º
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1. Teoria do Dente de Engrenagem
• Geometria do Engrenamento:
A forma evolvente dos dentes garante que os
pontos de contato na entrada e na saída do
engrenamento de um dente estejam sempre sobre
a mesma linha tangente ao círculo de base (linha
de ação) obedecendo à lei do engrenamento.
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1. Teoria do Dente de Engrenagem
• Geometria do Engrenamento:
circunferências de cabeça (adendo)
Fim do contato
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1. Teoria do Dente de Engrenagem
• Geometria do Engrenamento:
Os pontos de entrada e saída de contato definem o
comprimento de ação do engrenamento Z.
Sendo:
rp e rg o raio primitivo do pinhão e da cremalheira respectivamente
ap e ag o adendo do pinhão e cremalheira respectivamente
C a distância entre centros
f o ângulo de pressão
(04)
        fff sincoscos 2222 CrarrarZ gggppp 
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1. Teoria do Dente de Engrenagem
• Cremalheira e pinhão:
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1. Teoria do Dente de Engrenagem
• Mudança na Distância Entre Centros:
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1. Teoria do Dente de Engrenagem
• Folga de Engrenamento:
É definida como o intervalo entre dentes
engrenados medida ao longo da circunferência do
círculo de referência.
O afastamento entre centros de engrenagens gera
um aumento na folga de engrenamento.
Em aplicações com reversão de torque a folga
deve ser minimizada ou utilizar engrenagens anti-
folga de engrenamento.
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1. Teoria do Dente de Engrenagem
• Movimento Relativo do Dente:
Dentes evolventes tem rotação pura no ponto de
contato de referência.
Fora do círculo primitivo pode haver algum
escorregamento relativo entre dentes.
Em média, os dentes evolventes tem cerca de 9%
de escorregamento e 91% de rolamento no contato
com o par engrenado.
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2. Nomenclatura do Dente
(05)Passo Circular: N
d
pc
.
 (06)Passo de Base:
fcoscb pp 
(07)
Passo Diametral:
c
d
pd
N
p


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2. Nomenclatura do Dente
As equações 03, 04 e 05 são mais utilizadas no sistema 
inglês de unidades.
No SI um parâmetro chamado de módulo m é mais 
utilizado. É definido por:
O módulo ou o passo de um par de engrenagens deve ser 
o mesmo para que haja engrenamento.
A razão de velocidades mV pode ser reescrita em função do 
número de dentes:
logo:
(08)N
d
m 
(09)saída
entr
V
N
N
m 
(10)
p
g
G
N
N
m 
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2. Nomenclatura do Dente
• Dentes padronizados de engrenagens:
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2. Nomenclatura do Dente
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2. Nomenclatura do Dente
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3. Interferência e Adelgaçamento
O adelgaçamento refere-se à remoção de material na base
do dente (quando o dedendo do dente ultrapassa o círculo
de base). Isto enfraquece o dente e causa falha prematura.
A interferência refere-se ao contato (roçamento) da cabeça
do dente de uma engrenagem no dedendo da outra
causando nesta o adelgaçamento.
(11)f2sin
2
N
Estes efeitos podem ser 
evitados evitando 
engrenagens com muito 
poucos dentes, assim:
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3. Interferência e Adelgaçamento
• Formas de dentes com adendos desiguais
A fim de evitar a interferência em pinhões pequenos podem
ser utilizados perfis especiais chamados de engrenagens
com perfil transladado nos quais o adendo do pinhão é
maior que o da engrenagem.
A AGMA (American Gears Manufacturer Association) define
coeficientes de modificação em adendos x1 e x2 que sempre
somam zero.
Os coeficientes padronizados são ±0,25 e ±0,50 que
adicionam / subtraem 25% ou 50% dos adendos
padronizados.
O limite deste procedimento ocorre quando o dente do pinhão se torna
pontiagudo. 22
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3. Interferência e Adelgaçamento
• Formas de dentes com adendos desiguais
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3. Interferência e Adelgaçamento
• Caracterização das correções positiva e negativa
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4. Razão de Contato
Define o número médio de dentes em
contato a qualquer momento durante
o engrenamento.
As engrenagens retas devem
respeitar a faixa 1,4 ≤ mp ≤ 2,0.
A razão de contato mínima para uma
operação suave em engrenagens de
dentes helicoidais é 1,2.
(12)b
p
p
Z
m 
(13)f cos..m
Z
mp 
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5. Trens de Engrenagens
Um trem de engrenagem é qualquer coleção de duas ou
maisengrenagens acopladas.
Um par de engrenagens é a forma mais simples de um trem
de engrenagens e está limitado à uma razão máxima de
cerca de 10:1.
Os trens de engrenagens podem ser simples, compostos ou
epicíclicos (planetários).
• Trem de engrenagem simples:
(14)5
2
5
4
4
3
3
2
N
N
N
N
N
N
N
N
mV 






















ent
sai
2 3
4 5
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5. Trens de Engrenagens
•Trem de engrenagem composto:
(15)

















5
4
3
2
N
N
N
N
mV
(16)movidas
motoras
V
Nproduto
Nproduto
m
.
.

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5. Trens de Engrenagens
•Trem de engrenagem planetário:
(17)braçoF
braçoL
movidas
motoras
V
Nproduto
Nproduto
m





.
.
braçogbraçog / 
braçoFbraçoF  /
braçoLbraçoL  /
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6. Fabricação de Engrenagens
6.1 Conformação:
Todos os dentes da engrenagem são feitos ao mesmo
tempo e a precisão dimensional é inteiramente dependente
da qualidade do molde ou matriz, sendo geralmente menor
que nos métodos de usinagem.
• Fundição
• Sinterização
• Injeção
• Extrusão
• Repuxe a frio
• Estampagem
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6. Fabricação de Engrenagens
6.2 Usinagem: A maior parte das engrenagens metálicas usadas
para transmitir potência em máquinas são feitas por processos de
usinagem. Dividem-se em:
6.2.1 Processos Grosseiros: Ordem crescente de precisão
• Fresamento de forma
• Geração por cremalheira
• Geração de engrenagem
• Geração de fresa caracol
6.2.1 Processos de Acabamento: Usados somente quando alta precisão
é requerida. Melhoram em muito o acabamento superficial e precisão:
• Polimento
• Retificação
• Brunimento
• Lapidação e Polimento
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6. Fabricação de Engrenagens
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6. Fabricação de Engrenagens
6.3 Qualidade da Engrenagem
Definida pela norma AGMA 2000-A88, estabelece critérios
de tolerância ligados diretamente ao método de fabricação
classificando-os desde a menor qualidade (Qv = 3) até a
maior precisão (Qv = 16).
• Engrenagens geradas por conformação: 3≤Qv≤4
• Engrenagens geradas por processos grosseiros: 5≤Qv≤7
• Engrenagens após processo de acabamento: 8≤Qv≤11
• Engrenagens lapidadas: Qv ≥ 12
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6. Fabricação de Engrenagens
Qualidade da Engrenagem Recomendada pela AGMA
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7. Carregamento de Engrenagens
(18)p
p
p
p
t
Nm
T
r
T
W
.
.2

(19)
ftan.tr WW 
(20)fcos
tWW 
A pior condição de carregamento ocorre quando W atua na ponta do dente.
Dependendo da razão de contato, os dentes podem receber toda ou parte de W.
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7. Carregamento de Engrenagens
Carregamentos Repetidos nos dentes
Evitar um Fator de Engrenamento mG inteiro evita o contato 
dos mesmos dentes a cada mG revoluções. Esta é uma 
condição favorável de projeto.
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8. Tensões em Engrenagens
8.1 Fratura por Fadiga: critério de Goodman
8.2 Fadiga Superficial: crateração é a falha mais comum
Uma engrenagem pode ser projetada para vida
infinita à fratura mas deve-se esperar que ela irá falhar mais
cedo ou mais tarde por fadiga superficial.
Tensão de Flexão – Equação de Lewis
Esta foi a primeira equação útil para determinar tensões de
flexão em dentes de engrenagens:
(21)YFm
Wt
b
..

Sendo:
Wt a força tangencial sobre o dente
m o módulo da engrenagem
F a largura da engrenagem
Y o fator de forma de Lewis
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8. Tensões em Engrenagens
8.1 Fratura por Fadiga: critério de Goodman
Equação de tensões de flexão da AGMA
Mais completa e mais precisa que a equação de
Lewis que data de 1892, é definida no padrão 2001-B88 da
AGMA sendo válida somente nas condições abaixo:
- Razão de contato seja entre 1 e 2;
- Não haja interferência ou adelgaçamento dos dentes;
- Nenhum dente seja pontiagudo;
- A folga de engrenamento não seja nula;
- Os filetes da raiz sejam padronizados;
- As forças de atrito sejam desprezíveis.
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8. Tensões em Engrenagens
8.1 Fratura por Fadiga: critério de Goodman
Equação de tensões de flexão da AGMA
(22)
IBs
v
mat
b KKK
K
KK
JFm
W
..
.
..

Sendo:
Wt a força tangencial sobre o dente
m o módulo da engrenagem
F a largura da engrenagem
J o fator de geometria atualizado
K modificadores que levam em conta diversas condições de 
aplicação
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8. Tensões em Engrenagens
• Fator Geométrico de Resistência a Flexão (J)
Este fator varia com os ângulos de pressão (14,5º,
20º e 25º são tabelados) e de acordo com a variação nos
adendos (25% e 50% são tabelados)
As tabelas 11.8 a 11.15 contemplam casos de
carregamento no ponto mais alto de contato de um único
dente – HPSTC (aplicável para engrenagens fabricadas
com tolerâncias justas, de alta precisão) ou para
carregamento de ponta de dente (quando as engrenagens
são fabricadas com tolerâncias mais abertas)
A letra U nas tabelas indicam uma combinação não
indicada de quantidade de dentes, a qual gera interferência
entre os dentes engrenados.
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8. Tensões em Engrenagens
• Fator Geométrico de Resistência a Flexão (J)
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• Fator Geométrico de Resistência a Flexão (J)
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8. Tensões em Engrenagens
• Fator Geométrico de Resistência a Flexão (J)
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• Fator Geométrico de Resistência a Flexão (J)
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• Fator Geométrico de Resistência a Flexão (J)
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• Fator Geométrico de Resistência a Flexão (J)
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• Fator Geométrico de Resistência a Flexão (J)
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• Fator Geométrico de Resistência a Flexão (J)
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8. Tensões em Engrenagens
• Fator Dinâmico (Kv)
Este fator tenta levar em conta as cargas de vibração geradas
internamente pelos impactos entre dentes.Estas cargas, chamadas de
“erros de transmissão” serão piores em engrenagens de baixa precisão.
Na ausência de dados experimentais, este fator deve ser estimado.
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8. Tensões em Engrenagens
• Fator de Distribuição de Carga (Km)
Largura Recomendada 
de Engrenagens
mFm  168
49
Qualquer desalinhamento axial ou
desvio na forma do dente fará com que a
carga Wt não seja transmitida igualmente
sobre a face dos dentes. Quanto mais
larga a engrenagem, pior será a
distribuição.
Dentes Coroados
Em caso de dentes
coroados, o fator Km
deve ser multiplicado
por 0,8.
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8. Tensões em Engrenagens
• Fator de Aplicação (Ka)
Este fator refere-se à equipamentos que não transmitem cargas
ou torques uniformes ao longo do tempo.
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(23)
8. Tensões em Engrenagens
• Fator de Tamanho (Ks)
Assim como nos cálculos de fadiga, considera-se
que as peças que possuem dimensões maiores que os
corpos de prova tendem a falhar antes por terem maior
probabilidade de apresentar imperfeições na microestrutura.
A norma AGMA recomenda que Ks seja igual a 1 na maioria
das aplicações. Em casos de dentes com módulo maior que
5 pode-se aplicar a equação abaixo:
51
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E
N
G
R
E
N
A
G
E
N
S
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8. Tensões em Engrenagens
• Fator de Espessura de Borda (KB)
Usado quando a engrenagem é fabricada em um
anel.
t
r
B
h
t
m 
(24)
2,11
2,15,04,3.2


BB
BBB
mK
mmK
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8. Tensões em Engrenagens
• Fator de Ciclo de Carga (KI)
Uma engrenagem intermediária está sujeita a mais
ciclos de tensão por unidade de tempo e a cargas
alternantes de maior magnitude que os pares engrenados
de extremidade.
Sendo assim o fator deve respeitar a condição
abaixo:
KI = 1,42 - Engrenagens Intermediárias
KI = 1,00 - Pinhão / Engrenagem de extremidade
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8. Tensões em Engrenagens
8.2 Fadiga Superficial
Dentes engrenados tem uma combinação de
rolamento e escorregamento em suas interfaces. No ponto
de referência (dp) há rolamento puro. O deslizamento
aumenta com o afastamento do ponto de referência.
O contato dente com dente cria um estado de tensão
triaxial que tem pico na superfície ou logo abaixo dela. Se a
lubrificação do engrenamento for adequada, as falhas por
mecanismos abrasivo, adesivo e corrosivo serão evitadas.
O modo de falha último será crateração e lascamento
devido à fadiga de superfície.
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8. Tensões em Engrenagens
8.2 Fadiga Superficial
O nível de tensão de contato entre dentes é
determinado pela equação de Buckingham, abaixo:
(25)
fs
v
ma
p
t
pc CC
C
CC
dIF
W
C .
.
..

Sendo:
Cp o coeficiente elástico
Wt a força tangencial sobre o dente
F a largura da face do dente
I o fator geométrico de superfície
dp o diâmetro primitivo da menor engrenagem
Ca, Cm, Cv e Cs iguais respectivamente a Ka, Km, Kv e Ks
Cf o coeficiente de acabamento superficial 55
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8. Tensões em Engrenagens
• Fator Geométrico de Superfície (I)
Este fator leva em conta os raios de curvatura dos dentes da
engrenagem e o ângulo de pressão.
(26)
p
gp
d
I
.
11
cos











f p e g os raios de curvatura dos dentes
f o ângulo de pressão
(±) sinal superior: engrenamento externo
(±) sinal inferior: engrenamento interno
(27)
     ff cos..cos1. 22 mrxmr pppp 
(28)
  pg C f sin.
m o módulo
rp o raio primitivo do pinhão
C a distância entre centros
xp coeficiente do adendo do pinhão. 
Dente padrão xp = 0; alongado 25% xp = 0,25; alongado 50% xp = 0,50
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(29)
8. Tensões em Engrenagens
• Coeficiente Elástico (Cp)
Este fator leva em conta as diferenças entre os materiais dos dentes.







 



g
g
p
p
p
EE
C
22 11
.
1


Sendo:
E o módulo de elasticidade
 o coeficiente de Poisson
Coeficiente Cp
para materiais 
típicos de 
engrenagens
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8. Tensões em Engrenagens
• Fator de Acabamento Superficial (Cf)
Este fator normalmente é adotado como Cf = 1, por
recomendação da norma AGMA.
Seu valor só deverá ser aumentado quando os
acabamentos superficiais forem extraordinariamente
grosseiros.
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9. Materiais para Engrenagens
• Ferros Fundidos
• Cinzento: Baixo custo, usinabilidade, resistência ao desgaste,
amortecimento interno. Baixa resistência à tração (requer dentes
maiores)
• Nodular: Melhores propriedades mecânicas que o cinzento. Custo
mais elevado que o cinzento.
• Aços: Resistência superior ao do ferro fundido. Necessitam de
endurecimento para suportar altas cargas.
• Bronzes: Metais não ferrosos mais comuns na fabricação de
engrenagens. Compatibilidade (pinhão-aço; engrenagem-bronze).
Ebronze é baixo e provê deflexão dos dentes melhorando a divisão de
carga.
• Não Metálicos: Nylon e Acetal podem receber cargas e aditivos para
adquirirem melhores propriedades mecânicas. Tem ruído muito baixo.
São limitados pela baixa resistência mecânica.
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10. Resistência à Fadiga de Flexão
Os valores publicados pela AGMA para resistência por
flexão Sfb’ são parcialmente corretos. Existem ainda três
fatores a serem considerados para se obter o valor da
resistência à fadiga corrigida para engrenagens Sfb.
(30)
'
.
fb
RT
L
fb S
KK
K
S 
60
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10. Resistência à Fadiga de Flexão
• Fator de Vida (KL)
Os dados experimentais são para uma vida de 10
milhões de ciclos. O número de ciclos corresponde ao
número de contatos entre dentes sob carga. As curvas
ilustradas na figura a seguir permitem determinar o fator KL
para outras condições de N e propriedades dos materiais.
A AGMA recomenda que “a porção acima da área
hachurada do gráfico deve ser usada para aplicações
comerciais. A porção abaixo da área hachurada, para
serviços críticos e/ou aplicações que requerem baixo ruído
e vibração”.
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10. Resistência à Fadiga de Flexão
Superfície cementada
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10. Resistência à Fadiga de Flexão
• Fator de Temperatura (KT)
A temperatura do lubrificante é uma medida razoável da
temperatura da engrenagem. KT = 1 para temperaturas até 250º F.
Quando T > 250º F.
(31)
 
620
460
F
T
oT
K


• Fator de Confiabilidade (KR)
Os valores de resistência
AGMA baseiam-se em R = 99%.
Neste caso KR = 1. Para níveis de
confiabilidade diferentes deve-se
recorrer à tabela ao lado.
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9. Resistência à Fadiga de Flexão
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10. Resistência à Fadiga de Flexão
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11. Resistência à Fadiga de Superfície
Os valores publicados pela AGMA para resistência por
flexão Sfc’ também são parcialmente corretos. Existem
quatro fatores a serem considerados para se obter o valor
da resistência à fadiga corrigida para engrenagens Sfc.
Os fatores CT e CR são idênticos a KT e KR e podem ser
escolhidos como descrito na seção anterior.
(32)
'
.
.
fc
RT
HL
fc S
CC
CC
S 
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11. Resistência à Fadiga de Superfície
• Fator de Vida de Superfície (CL)
Os dados experimentais são para uma vida de 10
milhões de ciclos, logo este fator corrige o cálculo para
tempos de vida maiores ou menores.
Neste caso, também a AGMA recomenda que “a
porção acima da área hachurada do gráfico deve ser usada
para aplicações comerciais. A porção abaixo da área
hachurada, para serviços críticos e/ou aplicações que
requerem baixo ruído e vibração”.
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11. Resistência à Fadiga de Superfície
• Fator de Vida de Superfície (CL)
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11. Resistência à Fadiga de Superfície
• Fator de Razão de Dureza (CH)
É uma função da razão de engrenamento (mG) e da dureza
relativa do pinhão e da engrenagem.
CH é aplicado somente para a resistência da engrenagem, não
do pinhão. (Seu valor é sempre maior que 1, o que resulta num aumento de resistência)
• Para pares pinhão/engrenagem endurecidos completamente:
• Para pinhões de superfície endurecida (>48hRc) trabalhando contra
engrenagens endurecidas completamente:
HBp e HBg são as durezas Brinell do pinhão e da engrenagem
(34)
(33)
 1.1  GH mAC
00698,07,1
00829,000898,07,12,1
02,1



AHBHB
HBHBAHBHB
AHBHB
gp
gpgp
gp
 gH HBBC  450.1 )(00075,0
)(00075,0
0112,0
052,0
UIeB
SIeB
q
q
R
R



 Rq rugosidade (rms) 
dos dentes do pinhão
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11. Resistência à Fadiga de Superfície
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12. Lubrificação
Com a exceção de engrenagens de plástico, todos
os engrenamentos devem ser lubrificados para evitar falha
prematura de superfície tais como desgaste abrasivo,
adesivo e crateração.
Controlar a temperatura na interface de
engrenamento é importante para reduzir escórias, riscos e
aspereza dos dentes.
Os lubrificantes removem calor e separam as
superfícies metálicas para reduzir o atrito e o desgaste.
O enfoque usual e preferido é prover um banho d
óleo alojando as engrenagens em uma caixa com óleo
selada, chamada de redutor.
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12. Lubrificação
Este redutor é parcialmente preenchido com
lubrificante apropriado de forma que pelo menos um
membro de cada par engrenado esteja parcialmente
submerso (a caixa nunca é completamente cheia com óleo).
Uma opção mais rudimentar e menos eficiente que
pode ser usada apenas em operações de baixa rotação e
cargas leves é a de aplicação de graxa diretamente sobre
as engrenagens.
Os lubrificantes de engrenagem são tipicamente
óleos a base de petróleo de variadas viscosidades. Óleos
leves (10-30W) são usados em casos de altas velocidades
e/ou baixas cargas e óleos mais densos (80-90W) em
aplicações de baixas velocidades e/ou altas cargas.
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Referência Bibliográfica
NORTON, Robert L., “Projeto de Máquinas”. Editora Bookman. 2ª
edição. 2006.
SHIGLEY, Joseph E., et.all., “Projeto de Engenharia Mecânica”. Editora
Bookman. 7ª edição. 2005.
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