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INSTITUTO FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CAMPUS NATAL CENTRAL
DIRETORIA ACADÊMICA DE INDÚSTRIA
COORD. CURSO SUPERIOR DE ENGENAHRIA DE ENERGIA
Disciplina: Elementos Orgânicos de Máquinas – ENG 0035
Unidade II: Projeto de máquinas: eixos, engrenagens e outros elementos
Professor: Jorge Magner Lourenço
Disciplina: Elementos Orgânicos de Máquinas – ENG 0035
Curso: Engenharia de Energia
Unidade II: Projeto de máquinas: eixos, engrenagens e outros elementos
Professor: Jorge Magner Lourenço
INSTITUTO FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CAMPUS NATAL CENTRAL
DIRETORIA ACADÊMICA DE INDÚSTRIA
COORDENAÇÃO DO CURSO SUPERIOR DE ENGENAHRIA DE ENERGIA
1. Sistemas mecânicos usados na Engenharia de Energia e seus principais elementos de máquinas
2. Casos históricos de acidentes catastróficos envolvendo elementos mecânicos
3. Cargas variáveis, conceito de fadiga e dimensionamentos 3.1. Critérios de projeto por fadiga 3.2. Curva SxN, curva ƐxN 3.3. 
Crescimento de trinca por fadiga 
4. Conceito de Mecânica da fratura e seus principais parâmetros de análise 4.1. Caracterização da Mecânica de Fratura –
Interdisciplinaridade da Mecânica de Fratura–Comparação com a tradicional Resistência dos Materiais 4.2. Ensaio Charpy 4.3. 
Tenacidade a fratura por KIC e CTOD 
5. Efeito dos concentradores de tensões, causas, efeitos e dimensionamentos nos principais elementos de máquinas
6. Flambagem: definição, conceitos complementares, carga crítica e dimensionamentos
7. Dimensionamento de uniões por parafusos 7.1. Representação dos principais padrões de roscas 7.2. Cálculo de parafusos 
simples 7.3. Roscas submetidas a tensões de cisalhamento
8. Dimensionamento de uniões soldadas 8.1. Definições básicas da soldagem 8.2. Tipos de juntas e posições na soldagem 8.3. 
Influência da temperatura durante a soldagem 8.4. Dimensionamento de juntas soldadas
9. Projeto de Eixos e árvores submetidos a carregamentos diversos
10. Transmissões por polias e correias 10.1. Correias planas e trapezoidais 10.2. Dimensões da polia 10.3. Potência transmitida
11. Chavetas, estrias e outras uniões com o cubo
12. Engrenagens cilíndrica e cônicas, de dentes helicoidais e retos; 12.1. Definições e relações de velocidades 12.2. 
Dimensionamento em função da pressão e da resistência 12.3. Engrenagens intermediárias e transmissão de movimentos 
12.4. Como se constrói engrenagens
13. Parafuso sem fim e coroa
14. Mancais de rolamentos 14.1. Tipos e seleção 14.2. Esforços atuantes (estática e dinâmica) 14.3. Limite de rotação
15. Noções de lubrificação industrial
Conteúdos programático
O QUE SÃO MÁQUINAS?
✓um aparato que consiste em unidades
interrelacionadas (elementos de máquinas);
✓um dispositivo que modifica a força ou movimento;
✓ é um dispositivo que utiliza energia e trabalho para
atingir um objetivo predeterminado;
✓ é todo e qualquer dispositivo que muda o sentido
ou a intensidade de uma força com a utilização do
trabalho.
O QUE É UMA MÁQUINA
ALGUNS ELEMENTOS DE MÁQUINAS
AS MÁQUINAS NOS TEMPOS 
ATUAIS
AS MÁQUINAS NOS TEMPOS 
ANTIGOS
E O FUTURO?
HISTÓRIA DAS MÁQUINAS SIMPLES
✓ A idéia de uma máquina simples foi criada pelo filósofo grego Arquimedes no século 
III A.C, que estudou as máquinas "Arquimedianas": alavanca, polia, e parafuso;
✓ Arquimedes também descobriu o princípio da alavancagem. Mais tarde outros 
filósofos gregos definiram as cinco máquinas clássicas (excluindo o plano 
inclinado) e foram capazes de calcular sua alavancagem;
✓ Heron de Alexandria (10–75 AD), em seu trabalho sobre Mecânica lista estes cinco 
mecanismos que podem colocar uma carga em movimento: alavanca, molinete, 
polia, cunha (plano inclinado) e parafuso, e descreve sua fabricação e usos. Ele 
também teve a idéia da primeira máquina vapor, chamada de “aeolipile”. Posta em 
prática cerca de 1000 anos depois, em 1698 pelos ingleses;
✓ Porém o conhecimento grego se limitava a máquinas simples, que operavam através 
do balanço de forças, sem incluir a dinâmica, comparações entre força e distância, 
ou o conceito de trabalho;
✓ Comumente, o termo "máquina simples" refere-se às seis máquinas simples 
clássicas, conforme definidas pelos cientistas renascentistas: alavanca, rosca, 
plano inclinado (cunha), polia (polia fixa e polia móvel), roda e eixo (engrenagem).
https://pt.wikipedia.org/wiki/Alavanca
https://pt.wikipedia.org/wiki/Rosca
https://pt.wikipedia.org/wiki/Plano_inclinado
https://pt.wikipedia.org/wiki/Polia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Roda
https://pt.wikipedia.org/wiki/Eixo_(mec%C3%A2nica)
MÁQUINAS SIMPLES
✓As máquinas simples são dispositivos que, apesar de
sua absoluta simplicidade, trouxeram grandes avanços
para a humanidade e se tornaram base para todas as
demais máquinas (menos ou mais complexas) criadas
ao longo da história;
✓As máquinas simples são dispositivos capazes de alterar
forças, ou simplesmente de mudá-las de direção e
sentido.
MÁQUINA SIMPLES:
Alavanca, rosca, plano inclinado (cunha), polia, roda 
e eixo (engrenagem).
MÁQUINA SIMPLES:
Alavanca, rosca, plano inclinado (cunha), polia, roda 
e eixo (engrenagem).
MÁQUINA SIMPLES (rodas e eixos)
❖ A esfera de Arquimedes de Siracusa
❖ As engrengens do Issus coleoptratus
HISTÓRIA DAS ENGRENAGENS 
ANTIGAS
Carruagem Chinesa (ano 255 AC)
❖ As primeiras descrições escritas sobre engrenagens foram feitas por Aristóteles, no 
século 4 AC. Ele mencionou parafuso sem-fim e coroa;
❖ Tesibius de Alexandria, seguidor de Arquimedes, usou no século 3 a.c. engrenagens 
cilíndricas de dentes retos e cônicas;
❖ Marcus Vitrúvius Pollio usou um par de engrenagens de ângulo reto para transmitir 
potência do eixo de uma roda horizontal para uma roda de eixo vertical em um 
moinho de pedra.
Os cadernos de Leonardo da Vinci contem esboços de engrenagens 
cilíndricas de dentes retos, cônicas, parafuso sem-fim e coroa.
HISTÓRIA DAS ENGRENAGENS MODERNAS
❖ Engenheiro mecânico suíço Max Maag: (1883 a 1960)
desenvolveu um sistema de correções para deslocar o perfil das
engrenagens geradas através curva evolvente.
❖ Em 1930 surgiram as primeiras geradoras/cortadoras de dentes na
Europa.
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS E CÔNICAS, DE DENTES 
RETOS, E DE DENTES HELICOIDAIS
PARTICULARIDADES DAS ENGRENAGENS
Engrenagens são rodas dentadas, cilíndricas, usadas para transmitir
movimento e potência de um eixo rotativo para outro. Os dentes de uma
engrenagem acionadora se encaixam com precisão nos espaços entre os
dentes da engrenagem acionada, como mostra a figura abaixo. os dentes
acionadores pressionam os acionados, exercendo uma força perpendicular
ao raio da engrenagem. Assim, um torque é transmitido, e, uma vez que a
engrenagem está girando, certa potência também é transmitida.
PARTICULARIDADES DAS ENGRENAGENS
❖ Entre as diversas formas de transmissão de potência mecânica (como
engrenagens, polias, correias e correntes) as engrenagens geralmente
são as mais robustas e duráveis;
❖ Sua eficiência na transmissão de potência chega ser da ordem de 98%;
❖ São mais caras do que as correias ou polias;
❖ O custo de fabricação das engrenagens aumentam significativamente
com o aumento da precisão (conforme a exigência das altas
velocidades, altas cargas e baixos níveis de ruído);
PARTICULARIDADES DAS ENGRENAGENS
APLICAÇÕES
Você vê engrenagens em quase tudo que tem 
partes giratórias 
Transmissão de carro
Vídeo Cassete
Relógios
Limpador do para-brisa
Diferencial
Volante
Corrêa dentada motor
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Transmission_diagram.JPG
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Cshaft.gif
MAIS APLICAÇÕES
RAZÃO DE REDUÇÃO DE VELOCIDADE
Engrenagens são utilizadas para produzir uma mudança na velocidade de
rotação da engrenagem acionada em relação à acionadora. Se a engrenagem
menor, chamada de pinhão, estiver acionando a engrenagem maior, chamada
simplesmente de engrenagem (ou coroa), a maior girará mais devagar. O grau
de redução de velocidade depende da razão entre o número de dentes dopinhão e o da engrenagem, como segue:
i = np/nG = NG/Np
TIPOS DE ENGRENAGENS
✓ Engrenagens cilíndricas de dentes retos
Os dentes são dispostos paralelamente entre si em
relação ao eixo. É o tipo mais comum de engrenagem e
o de mais baixo custo. É usada em transmissão que
requer mudança de posição das engrenagens em
serviço, pois é fácil de engatar. É mais empregada na
transmissão de baixa rotação do que em alta rotação,
por causa do ruído que produz.
TIPOS DE ENGRENAGENS
✓ Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais
❖ Os dentes são dispostos transversalmente de modo a
formar um ângulo em relação à direção axial do eixo. O
ângulo, chamado ângulo de hélice, pode ser
praticamente qualquer um. Variam de 10° a 30°, mas
ângulos de 45° são utilizados. Dentes helicoidais operam
com mais suavidade do que os de engrenagens de
dentes retos, e as tensões são inferiores.
❖ Algumas vezes as engrenagens
helicoidais são empregadas para
transmitir movimento entre eixos não
paralelos..
❖ Os dentes das engrenagens
helicoidais, que são inclinados, criam
forças axiais e momentos fletores.
❖ Acoplamento pontual crescendo progressivamente ao
longo da face..
❖ Podem ser utilizadas nas mesmas aplicações das engrenagens de dentes retos,
porém sem ser tão barulhentas.
TIPOS DE ENGRENAGENS
✓ Engrenagens Cônicas
❖ Empregada quando as árvores se cruzam; o ângulo
de interseção é geralmente 90°, podendo ser menor
ou maior. Os dentes das rodas cônicas tem um
formato também cônico, o que dificulta a sua
fabricação, diminui a precisão e requer uma
montagem precisa para o funcionamento adequado.
A engrenagem cônica é usada para mudar a rotação
e a direção da força, em baixas velocidades.
TIPOS DE ENGRENAGENS
✓ Engrenagens Cônicas
❖ Engrenagens cônicas espiraladas (tbm chamadas
de helicoidais): são cortadas de forma que o
dente deixa de ser reto, formando um arco
circular.
❖ Engrenagens hiperbolóides ou hipóides: são
muito semelhantes às engrenagens cônicas
espiraladas, exceto pelo fato se serem os eixos
deslocados e não interceptantes.
TIPOS DE ENGRENAGENS
✓ Engrenagem cremalheira
Uma engrenagem reta que se move
linearmente ao invés de girar. Quando
uma engrenagem circular é conjugada
com uma cremalheira, essa combinação
é chamada cremalheira e pinhão. Talvez
você já tenha ouvido esse termo
aplicado ao mecanismo de direção do
carro ou a determinada parte de outras
máquinas.
✓ Engrenagem de parafuso sem fim
São usadas quando grandes reduções de
transmissão são necessárias. Esse tipo de
engrenagem costuma ter reduções de 20:1, chegando
até a números maiores do que 300:1. O eixo gira a
engrenagem facilmente, mas a engrenagem não
consegue girar o eixo. Isso se deve ao fato de que o
ângulo do eixo é tão pequeno que quando a
engrenagem tenta girá-lo, o atrito entre a engrenagem
e o eixo não deixa que ele saia do lugar.
TIPOS DE ENGRENAGENS
✓ Engrenagem de parafuso sem fim
❖ O cruzamento dos eixos da coroa com o do sem fim é de
90°;
❖ A direção de rotação da coroa sem-fim, também chamada
de roda sem-fim, depende da direção do parafuso e de
seus dentes serem cortados à direita ou à esquerda;
❖ O rendimento diminui à medida que a relação de
transmissão aumenta;
❖ Por ser de fabricação mais fácil em relação às
engrenagens cilíndricas e cônicas tornam-se mais
econômicas;
❖ Nas altas rotações a rosca possui um único filete, o que
torna o mecanismo irreversível, isto é, sempre a rosca
será a motora;
❖ Os redutores de parafuso sem fim são constantemente
utilizados em guindastes, máquinas têxteis, furadeiras
radiais, plaina limadora, mesa de fresadoras, pontes
rolantes, elevadores, entre outros.
OUTROS MECANISMOS POR ENGRENAGENS
Engrenagens harmônicas Planetárias
EXERCÍCIO TEÓRICO/PRÁTICO
Onde você já viu engrenagens? (Fazer junto a caixa do torno aberta)
Pense nas vezes em que você viu engrenagens em algum equipamento.
Descreva o funcionamento desse equipamento, especificamente seu sistema de
transmissão de potência. É claro que, às vezes, as engrenagens e os eixos estão
alojados em uma carcaça, dificultando sua observação.
1. Qual era a fonte de alimentação? Um motor elétrico, um motor a gasolina,
uma turbina a vapor, um motor hidráulico? Ou as engrenagens eram
operadas manualmente?
2. Como as engrenagens foram dispostas e como estavam ligadas à fonte
acionadora e à máquina acionada?
3. Havia mudança de velocidade? Você consegue determinar o grau de
mudança?
4. Havia mais de duas engrenagens no sistema de transmissão? Quais tipos
de engrenagens foram usadas? De quais materiais as engrenagens eram
feitas? Como elas estavam presas aos eixos?
5. O sistema de transmissão por engrenagens estava alojado em uma carcaça?
Em caso afirmativo, descreva-o e diga o porquê.
GEOMETRIA DA ENGRENAGEM DE DENTES RETOS
- Detalhamentos -
NOMENCLATURA PARA ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
NOMENCLATURA: pelos sistemas de passo diametral 
e de módulo métrico. 
❖ NÚMERO DE DENTES (N): é essencial que haja um número inteiro de
dentes em toda engrenagem. Outro símbolo comumente usado é z, com
subscritos, z1, z2, z3.
❖ CÍRCULO PRIMITIVO (ou círculo de PASSO): é um círculo teórico sobre o
qual todos os cálculos são geralmente baseados. Seu diâmetro é o
DIÂMETRO PRIMITIVO. Os círculos primitivos de um par de engrenagens
engrenados são tangentes entre si. O pinhão é o menor das duas
engrenagens e o maior é, frequentemente, denominado como COROA ou
ENGRENAGEM;
❖ PASSO CIRCULAR (p): é a distância, medida no círculo primitivo, de um
ponto de um dente ao correspondente ponto no dente adjacente. Assim, o
passo circular é igual à soma da espessura do dente e da largura do
espaçamento. 𝐩 =
𝞹𝑫𝒑
𝑵
❖ MÓDULO (m): é a razão entre o diâmetro primitivo e o número de dentes.
A unidade habitual de comprimento é o MILÍMETRO. O módulo é o índice
do tamanho do dente no sistema SI. 𝐦 =
𝐷
𝑝
𝑁
𝑝
=
𝐷
𝑐
𝑁
𝑐
NOMENCLATURA
❖ PASSO DIAMETRAL (P): é a razão entre o número de dentes da
engrenagem e o diâmetro primitivo. É o recíproco do módulo. É usado
apenas com unidades americanas (POL-1 ou DENTES/POLEGADAS).
P=
𝑵
𝒑
𝑫
𝒑
=
𝑵
𝒄
𝑫
𝒄
❖ RELAÇÃO ENTRE MÓDULO E PASSO DIAMETRAL: P=
𝟏
𝒎
; m=
𝟏
𝑷
❖ ADENDO (a): é a distância radial entre o topo do dente e o círculo
primitivo;
❖ DEDENDO (b): é a distância radial do fundo do dente ao círculo primitivo;
❖ ALTURA COMPLETA: É a soma do adendo e do dedendo;
❖ O CÍRCULO DE FOLGA: é um círculo tangente ao círculo de adendo da
engrenagem par;
❖ FOLGA: É o quanto o dedendo, em uma dada engrenagem, excede ao
adendo de sua engrenagem par;
NOMENCLATURA
❖ RECUO: É quanto a largura dos espaços entre os dentes excede à
espessura dos dentes conjugados, medidos sobre os círculos primitivos;
❖ LARGURA DE FACE, F: é a largura da engrenagem paralela ao eixo de
montagem. É uma decisão do projeto feito pelo projetista. F≈
𝟏𝟐
𝑷
(mas um
limite maior é permitido);
❖ DISTÂNCIA DE CENTRO, C: é a distância linear entre a linha de centro do
pinhão e a da engrenagem. É considerada uma distância crítica na
montagem de qualquer variador de velocidades.
𝑪 =
(𝑫𝒑+𝑫𝒄)
𝟐
=
(
𝑵
𝒑
𝑷
+
𝑵
𝒄
𝑷
)
𝟐
=
(𝑵𝒑+𝑵𝒄)
𝟐𝑷
𝑪 =
(𝑫𝒑+𝑫𝒄)
𝟐
=
(𝒎𝑵𝒑+𝒎𝑵𝒄)
𝟐
=
𝒎(𝑵𝒑+𝑵𝒄)
𝟐
em função do módulo
em função do passo diametral
NOMENCLATURA
As figuras abaixo mostram vários tamanhos de
dentes no sistema passo diametral e no sistema de
módulo métrico.
Tamanho do dente em função do 
passo diametral 
Tamanho do dente em função do 
módulo métrico 
Ex. P=4, significa 4 dentes por polegada = 1”/4 = 0,25”
Qual o equivalente em módulo?
𝐦 = 𝟎, 𝟐𝟓"𝒙
𝟐𝟓,𝟒 𝒎𝒎
𝟏"
= 6,35 mm
Ex. m=10 mm, qual o equivalente em P, passo diametral?
𝐦 = 𝟏𝟎 𝒎𝒎 𝒙
𝟏"
𝟐𝟓,𝟒 𝒎𝒎
= 0,3937”
𝟏"
𝑷
= 0,3937” P=2,54
MÓDULO E PASSO DIAMETRAL 
PADRONIZADOS
Obs.: mais detalhes sobre projeto e 
nomenclatura de engrenagens consultar a 
norma AGMA 2001-D04 fundamentalrating 
factors and calculation methods for involute
spur and helical gear teeth.
A LEI FUNDAMENTAL DO ENGRENAMENTO
A lei fundamental do engrenamento afirma que a razão de velocidade angular 
das engrenagens de um par de engrenagens deve manter-se constante 
durante a ação conjugada. 
Isso é válido para dentes perfeitamente gerados, suaves e absolutamente rígidos.
Quando duas engrenagens estão conjugadas, seus círculos primitivos rolam um 
sobre o outro sem deslizamento.
V = 𝟂𝒑𝒓𝒑 = 𝟂𝒄𝒓𝒄
mv=
𝟂𝒑
𝟂𝒄
=
𝒓𝒄
𝒓𝒑
A razão da velocidade angular mv é igual à razão entre o 
raio de referência (primitivo) da engrenagem de entrada 
(pinhão) e a engrenagem de saída (coroa). 
Para transmitir movimento a uma razão de velocidade angular constante, 
o ponto primitivo deve permanecer fixo, isto é, todas as linhas de ação, 
para cada ponto instantâneo de contato, devem passar pelo mesmo 
ponto P.
A FORMA INVOLUTA OU EVOLVENTE DO DENTE
(perfil evolvental dos dentes)
Há um número infinito de pares conjugados possíveis que poderiam ser usados mas
somente umas poucas curvas têm visto aplicações práticas com dentes de
engrenagens. A maioria das engrenagens usa a curva INVOLUTA ou EVOLVENTE de um
círculo para rolamento de seus dentes.
OBS.: INVOLUTA ou EVOLVENTE vem do latim involutus, é o local geométrico dos centros de 
curvatura de uma curva plana ou inversa, curva cujas tangentes são normais umas as outras. 
Curva que se faz sobre a superfície tangente de uma outra curva que intercepta, ortogonalmente, 
as retas geradoras.
AÇÃO DO ENGRENAMENTO
Involutas conjugadas 
❖ O ponto “g” descreve as evolventes ”cd” na
engrenagem 1 e “ef” na engrenagem 2;
❖ O ponto g representa o ponto de contato;
❖ “ab” é a linha geradora (linha sob a qual o ponto “g” se desloca);
❖ “g” não muda de posição – movimento uniforme
PERFIL DOS DENTES DE UMA ENGRENAGEM
PERFIL CICLOIDAL PERFIL EVOLVENTAL
PERFIS DOS DENTES DE UMA ENGRENAGEM
PERFIL CICLOIDAL: 
❖ gerada por dois círculos. O maior é denominado CÍRCULO BASE e o menor, 
EPICICLO.
❖ a geração da ciclóide ocorre mediante o deslizamento do epiciclo sobre o círculo de 
base a partir do ponto A.
PERFIL EVOLVENTAL:
❖ é gerada por uma reta tangente ao círculo de base e denominada GERATRIZ, que 
desliza sobre o círculo de base a partir do ponto C.
CARACTERÍSITICAS:
❖ as pressões específicas atuantes no dente são menores nos perfis cicloidais, 
acarretando desgaste menor.
❖ Os perfis evolventais apresentam a vantagem no que tange aos esforços gerados no 
engrenamento, que são constantes como consequência da não variação do ângulo 
de pressão durante o engrenamento.
❖ O perfil evolvental são mais facilmente gerados com ferramentas do tipo módulo, o 
que torna o processo de fabricação mais econômico.
FUNDAMENTOS DO ENGRENAMENTO: círculos de arranjo de 
engrenagens 
Ângulo de pressão
A
B
FUNDAMENTOS DO ENGRENAMENTO: relação 
entre os círculos de base e primitivo 
𝒓𝒃 = 𝒓𝒄𝒐𝒔(𝞥)
❖ Os círculos de base de cada engrenagem são sempre tangentes 
à linha de pressão. O ângulo de pressão (14,5°, 20° e 25°) 
determina seus tamanhos.
Ex. 
Dbase= Dprimitivo x cos 𝞥
Db= 200 mm x cos 14,5° = 194,05 mm
Db= 200 mm x cos 20° = 187,93 mm
Db= 200 mm x cos 25° = 181,26 mm
FUNDAMENTOS DO ENGRENAMENTO: interação entre dentes
❖ O pinhão com centro em O1 é a engrenagem motora e roda no sentido anti-horário.
❖ O contato inicial acontecerá quando o flanco da engrenagem motora entrar em 
contato com a ponta do dente da engrenagem movida (ponto a) – o círculo do adendo 
da engrenagem acionada cruza a linha de pressão.
❖ Se confecciona perfis de dentes através desse ponto e traça-se linha radiais desde a 
intersecção desses perfis com os círculos primitivos até os centros das 
engrenagens, obtém-se o ÂNGULO DE APROXIMAÇÃO de cada engrenagem.
❖ A medida que os dentes engrenam, o ponto de contato irá deslizar sobre o lado do 
dente motor, de modo que a ponta desse dente estará em contato justamente antes 
que o contato termine.
❖ Por conseguinte, o ponto final de contato estará onde o círculo do adendo da 
engrenagem motora cruzar a linha de pressão. Esse ponto é o ponto b.
❖ A partir do ponto b, obtém-se o ÂNGULO DE AFASTAMENTO de cada engrenagem, 
de maneira análoga para encontrar o ângulo de aproximação.
❖ A soma do ângulo de aproximação e de afastamento para cada engrenagem é 
denominada ÂNGULO DE AÇÃO.
❖ A linha de ab é denominada de LINHA DE AÇÃO.
DESENVOLVIMENTO DE UM VARIADOR DE VELOCIDADES
1. CAPA (devem constar):
a. Título do projeto
b. Nomes dos componentes do grupo
c. Disciplina
d. Nome do professor responsável.
2. INTRODUÇÃO: descrever o que está sendo proposto no trabalho. Apresentar as características gerais do 
sistema escolhido - motor/variador/máquina. Características funcionais, operacionais, e outras 
informações que auxiliem a caracterizar o sistema escolhido.
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: devem ser apresentados os conceitos relevantes ao que está sendo 
estudado e que serão apresentados no projeto (conceitos fundamentais de engrenagens; conceitos de 
redutores; conceitos referentes ao sistema que será projetado, tipo, máquina, motor, funcionamento do 
sistema entre outros).
4. CARACTERIZAÇÃO DO PROJETO (devem constar): 
a. Desenho esquemático e representativo do sistema idealizado ( a ser projetado);
b. As condições/decisões iniciais ( que servirão de base para o dimensionamento);
c. As hipóteses adotadas ( que serão confirmadas pelos resultados obtidos);
d. As características adicionais (outras características que possam complementar as informações 
apresentadas nos itens acima (b, c) tais como, temperatura de serviço, tratamento superficial ou térmico 
a ser realizado entre outras.
Instituto Federal do Rio Grande do Norte
Campus Natal Central
Diretoria Acadêmica de Indústria
Disciplina de Elementos Orgânicos de Máquinas
Docente: Prof. Jorge Magner Lourenço
Período: 2019.1
DESENVOLVIMENTO DE UM VARIADOR DE VELOCIDADES
5. DIMENSIONAMENTO:
a. Os cálculos com os respectivos equacionamentos e resultados;
b. Planilhas obtidas e os desenhos.
6. CONCLUSÕES: são referentes aos resultados obtidos quanto ao dimensionamento relacionado as 
condições anteriormente estabelecidas para o sistema projetado.
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.
8. ANEXOS
Obs.:
A apresentação da proposta deve ser feita nos dias 22 e 24 de Maio de 2019. Já as apresentações finais serão 
realizadas nos dias 19, 24, 26 e 28 de Junho de 2019.
Instituto Federal do Rio Grande do Norte
Campus Natal Central
Diretoria Acadêmica de Indústria
Disciplina de Elementos Orgânicos de Máquinas
Docente: Prof. Jorge Magner Lourenço
Período: 2019.1
CREMALHEIRA
❖ Cremalheira é uma engrenagem 
cilíndrica de dentes retos que 
possui um diâmetro primitivo 
infinitamente grande.
❖ Elas possuem um número infinito 
de dentes e um círculo de base 
que está a uma distância infinita 
do ponto primitivo.
❖ Os lados dos dentes da evolvente 
de uma cremalheira são linhas 
retas formando um ângulo com a 
linha de centros igual ao ângulo 
de pressão.
❖ Os lados correspondentes dos 
dentes da involuta são curvas 
paralelas.
❖ O passo de base é uma distância constante e 
fundamental ao longo da linha normal comum.
❖ O passo de base relaciona-se com o passo 
circular pela equação:
pb = pc cos𝞥
ENGRENAGEM ANELAR 
OU INTERNA
❖ Ambas as engrenagens têm centros de rotação do mesmo lado que o ponto 
primitivo.
❖ As posições dos círculos de adendo e dedendo, em relação ao círculo primitivo, são 
invertidas.
❖ O círculo de adendo da engrenagem de dentes internos se situa dentro do círculo 
primitivo.
RAZÃO DE CONTATO – quantos dentes por vez, do pinhão, estão empurrando 
a coroa? 
❖ Uma razão de contato mínima recomendada é 1,2 mas combinações típicas de 
engrenagens de dentes retos apresentam valores iguais ou superiores a 1,5.
❖ A linha de ação é o traçado reto de um dente desde o ponto emque ele encontra o 
diâmetro externo da engrenagem conjugada (b) até o ponto em que desengata (a).
❖ Quando duas engrenagens 
se conjugam, é essencial 
para uma operação suave 
que o segundo dente 
comece a fazer contato 
antes que o dente anterior 
tenha desengatado.
❖ O termo razão de contato é usado para 
indicar o número médio de dentes em 
contato durante a transmissão de potência.
RAZÃO DE CONTATO
Onde,
𝞥 = ângulo de pressão
𝑹𝒆𝒑 = raio externo do pinhão
𝑹𝒃𝒑= raio do círculo de base do pinhão
𝑹𝒆𝒄 = raio externo da engrenagem ou coroa
𝑹𝒃𝒄 = raio do círculo de base da engrenagem
𝑪 = distância de centro
𝒑 = passo circular
Uma fórmula adequada para a razão de contato, mf, é:
mf =
(𝑹𝒆𝒑
𝟐−𝑹𝒃𝒑
𝟐)+ (𝑹𝒆𝒄
𝟐−𝑹𝒃𝒄
𝟐 )−(𝑪𝒔𝒆𝒏𝞥)
𝒑 𝒄𝒐𝒔𝞥
Fórmulas para uso na aplicação do cálculo de razão de contato
Exemplo
considere um par de engrenagens com os seguintes dados: Np=18, Nc=64, P=8, 𝞥=20°. Calcule a razão de contato para 
esta situação. Resposta: 1,66
RAZÃO DE CONTATO
❖ Esse ponto é chamado de o PONTO MAIS ALTO DE CONTATO DE UM SÓ 
DENTE ou HPSTC (Highest point of single-tooth contact).
❖ Para razão de contato entre 1 e 2, que são comuns 
para engrenagens de dentes retos haverá momentos 
durante o engrenamento em que um par estará 
recebendo toda a carga. Contudo, ocorrerá em 
direção ao centro da região de engrenamento onde a 
carga é aplicada em uma posição mais baixa do 
dente, em vez de ser na ponta do dele. 
INTERFERÊNCIA
❖ Para certas combinações de números de dentes em um par de engrenagens, há 
INTERFERÊNCIA entre a ponta dos dentes do pinhão e raio de filete dos dentes da 
engrenagem.
❖ As engrenagens não conseguirão entrar em malha.
❖ A probabilidade de interferência é maior quando um pinhão pequeno aciona uma 
engrenagem grande, sendo pior ainda quando o pinhão aciona uma cremalheira.
❖ É responsabilidade do projetista garantir que não haja interferência em determinada 
aplicação.
❖ Se faz isso limitando o número mínimo de dentes do pinhão aos valores mostrados 
nas tabelas abaixo.
INTERFERÊNCIA
COMO SUPERAR A INTERFERÊNCIA: adelgaçamento 
❖ Se um projeto proposto sofrer interferência, há maneiras de fazê-lo funcionar.
❖ Deve-se tomar cuidado pois a forma do dente ou o alinhamento das engrenagens 
conjugadas são alteradas.
❖ Adelgaçamento é o processo de cortar o material no filete, ou na raiz, dos dentes da 
engrenagem, aliviando a interferência.
❖ O processo de adelgaçamento enfraquece o dente. 
COM INTERFERÊNCIA 
SEM INTERFERÊNCIA 
RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO: razão entre as velocidades da 
engrenagem motora e movida 
𝐢 =
𝒏𝟏
𝒏𝟐
Onde,
𝒏𝟏 rotação da engrenagem 
motora, rpm
𝒏𝟐 rotação da engrenagem 
motora, rpm
RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO
ENGRENAGEM INTERMEDIÁRIA
❖ Não altera a relação de transmissão.
❖ Inverte o sentido de rotação da engrenagem movida:
a. se a quantidade for par, sentido inverso.
b. se ímpar, mesmo sentido .
i =
30
20
𝑥
20
40
𝑥
40
12
𝑥
12
35
𝑥
35
20
=
30
20
i =
36
12
𝑥
12
36
= 1
❖ Grandes reduções → aumento do número de estágios.
❖ Estágios: sistema em paralelo → mais de uma engrenagem 
acoplada ao mesmo eixo.
❖ Para um único estágio → limitação de 5:1 (helicoidais e dentes 
retos) – não necessariamente obrigatória; 
ESTÁGIOS DE REDUÇÃO
❖ Limitar a velocidade relativa de deslizamento entre flancos;
❖ Aumentar a eficiência do engrenamento;
❖ Haver maior equilíbrio de capacidade entre as engrenagens 
motora e movida;
❖ Minimizar o tamanho da coroa.
ESTÁGIOS DE REDUÇÃO
EXERCÍCIO 01:
Uma engrenagem tem 44 dentes involutos, de profundidade total, com ângulo de pressão de 20°, e passo diametral de 
12. Calcule:
a) diâmetro primitivo
b) passo circular
c) módulo equivalente
d) módulo padronizado mais próximo
e) adendo
f) dedendo
g) folga
h) profundidade total
i) profundidade útil
j) espessura do dente
k) diâmetro externo
EXERCÍCIO 02:
Um pinhão com passo de 8, 18 dentes, 𝞥=20°, girando a 2450 rpm, se conjuga com uma engrenagem de 64 dentes. 
Calcule:
a) distância entre centros
b) razão de velocidade
c) velocidade da engrenagem
d) velocidade da linha primitiva
e) adendo
f) passo circular e passo de base
g) razão de contato
EXERCÍCIO 03:
Para os trens de engrenagens esboçados nas figuras abaixo, calcule velocidade de saída e o sentido de rotação do eixo 
de saída, considerando que o eixo de entrada gira a 1750 rpm no sentido horário.
a) use a figura 1.
b) use a figura 2.
c) use a figura 3.
d) use a figura 4.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Para os problemas 04 a 07, todas as engrenagens são feitas no padrão involuto, de profundidade total e com ângulo de 
pressão de 20°. Encontre o que está errado nas seguintes afirmações:
EXERCÍCIO 04. Um pinhão de passo 8 e 24 dentes conjuga com uma engrenagem de passo 10 e 88 dentes. O pinhão 
gira a 1750 rpm, e a engrenagem, a aproximadamente a 477 rpm. A distância de centro é 5,9 pol.
EXERCÍCIO 05. Um pinhão de passo 6 e 18 dentes conjuga com uma engrenagem de passo 6 e 82 dentes. O pinhão 
gira a 1750 rpm, e a engrenagem, a aproximadamente a 384 rpm. A distância de centro é 8,3 pol.
EXERCÍCIO 06. Um pinhão de passo 20 e 12 dentes conjuga com uma engrenagem de passo 20 e 62 dentes. O pinhão 
gira a 825 rpm, e a engrenagem, a aproximadamente a 160 rpm. A distância de centro é 1,85 pol.
EXERCÍCIO 07. Um pinhão de passo 16 e 24 dentes conjuga com uma engrenagem de passo 16 e 45 dentes. O 
diâmetro externo do pinhão é de 1,625 pol. O diâmetro externo da engrenagem é de 2,938 pol. A distância de centro é 
2,281 pol.
Figura 5
EXERCÍCIO 08. O eixo de entrada para 
o trem de engrenagens mostrado na 
figura 5 gira a 3450 rpm no sentido 
horário. Calcule a velocidade angular e a 
direção do eixo de saída.
ESFORÇOS ATUANDO SOBRE OS DENTES DAS 
ENGRENAGENS
- Detalhamentos -
F2
EXERCÍCIO 09. 
Hipóteses:
❖ As engrenagens se conjugam ao longo do círculo primitivo;
❖ Os eixos são todos paralelos;
❖ Pares de engrenagens idênticos (condição na qual os eixos são colineares);
❖ As perdas por atrito nos rolamentos podem ser desprezadas;
❖ Todas as cargas, radial e tangencial, são transmitidas no ponto primitivo;
❖ As defexões por cargas de flexões nos eixos são desprezadas;
❖ As engrenagens estão rigidamente ligadas aos seus eixos;
❖ Rotação do motor de 1kW, 1200 rpm;
❖ N2=N4=21 dentes; N3=N5=62 dentes; P=5, 𝞥=25°
SOLUÇÃO
a) Razão de velocidade:
Diâmetro de passo (primitivo), D:
Passo circular, p:
mv=
𝟂
𝒑
𝟂
𝒄
=
𝒏𝒑
𝒏𝒄
=
𝒓
𝒄
𝒓
𝒑
=
𝑵𝒄
𝑵𝒑
𝒏𝒃 =
𝑵𝟐
𝑵𝟑
x 𝒏𝒂 =
𝟐𝟏
𝟔𝟐
x 1200 rpm = 406,47 rpm
𝒏𝒂 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝒓𝒑𝒎 = 𝒓𝒐𝒕𝒂çã𝒐 𝒅𝒐 𝒎𝒐𝒕𝒐𝒓
𝒏𝒄 =
𝑵𝟐
𝑵𝟑
x 
𝑵𝟒
𝑵𝟓
x 𝒏𝒂 =
𝟐𝟏
𝟔𝟐
x
𝟐𝟏
𝟔𝟐
x 1200 rpm = 137,67 rpm
Eixo a:
Eixo b:
Eixo c:
𝑫𝒑 =
𝑵𝒑
𝑷
=
𝟐𝟏
𝟓
= 4,2 pol
𝑫𝒄 =
𝑵𝒄
𝑷
=
𝟔𝟐
𝟓
= 12,4 pol
p =
𝑫𝞹
𝑵
=
𝑵𝞹
𝑷𝑵
=
𝞹
𝑷
=
𝞹
𝟓
= 0,628pol
𝑻𝒂 =
𝑷𝒐𝒕. 𝒎𝒐𝒕𝒐𝒓
𝟂
=
𝟏 𝒌𝑾
(
𝟏𝟐𝟎𝟎 𝒓𝒆𝒗.
𝒎𝒊𝒏.
𝒙
𝟐𝞹 𝒓𝒂𝒅
𝟏 𝒓𝒆𝒗.
)
x
𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑾
𝟏 𝒌𝑾
x
𝟏 𝑱/𝒔
𝟏 𝑾
x
𝟏 𝑵.𝒎
𝟏 𝑱
x
𝟔𝟎 𝒔
𝟏 𝒎𝒊𝒏.
= 𝟕, 𝟗𝟓𝟖 𝑵. 𝒎
Torque no eixo a:
b) Potência e torque:
Potência (Watts, J/s) = 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑁 𝑥 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟(
𝑚
𝑠
)
Potência (Watts, J/s) = 𝑇𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑁. 𝑚 𝑥 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 (
𝑟𝑎𝑑
𝑠
)
Torque no eixo b:
𝑻𝒃 = 𝑻𝒂 𝒙
𝑵𝟑
𝑵𝟐
= 𝟕, 𝟗𝟓𝟖 𝑵. 𝒎 𝒙
𝟔𝟐
𝟐𝟏
= 𝟐𝟑, 𝟒𝟖𝟓 𝑵. 𝒎
Torque no eixo c:
𝑻𝒄 = 𝑻𝒂 𝒙
𝑵𝟑
𝑵𝟐
𝒙
𝑵𝟓
𝑵𝟒
= 𝟕, 𝟗𝟓𝟖 𝑵. 𝒎 𝒙
𝟔𝟐
𝟐𝟏
𝒙
𝟔𝟐
𝟐𝟏
= 𝟔𝟗, 𝟑𝟔𝟕 𝑵. 𝒎
i) 100% de eficiência
Torque no eixo b:
𝑻′𝒃 = 𝟎, 𝟗𝟓 𝒙 𝑻𝒃 = 𝟐𝟐, 𝟑𝟏𝟏 𝑵. 𝒎
ii) 95% de eficiência
Torque no eixo c:
𝑻′𝒄 = 𝟎, 𝟗𝟓 𝒙(
𝑵𝟓
𝑵𝟒
𝒙 𝑻′𝒃 ) = 𝟎, 𝟗𝟓 𝒙 (
𝟔𝟐
𝟐𝟏
𝒙 𝟐𝟐, 𝟑𝟏𝟏) = 62,57 𝑵. 𝒎
c), d), e) Determine as forças tangencial, radial e resultante atuando sobre os dentes de cada engrenagemDiagrama de corpo livre das engrenagens 2-3 e 4-5
a
b
c
b
2
3
5
4
𝞥
𝞥
𝞥
𝞥
FT23
FT45
FT32
FT54
FR23
FR32
FR54
FR45
F32
F23
F54
F45
P
P
P
P
Potência = 𝑭𝒐𝒓ç𝒂 𝒙 𝑽𝒆𝒍𝒐𝒄. 𝑳𝒊𝒏𝒆𝒂𝒓
Potência = 𝑻𝒐𝒓𝒒𝒖𝒆 𝒙 𝑽𝒆𝒍𝒐𝒄. 𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓
Logo,
Força x Veloc. Linear = 𝑻𝒐𝒓𝒒𝒖𝒆 𝒙 𝑽𝒆𝒍𝒐𝒄. 𝑨𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓
Ou,
F x V = 𝑻 𝒙 𝟂
F x (𝟂 x r) = 𝑻 𝒙 𝟂
Torque = 𝑭𝒐𝒓ç𝒂 𝒙 𝒓𝒂𝒊𝒐
IMPORTANTE!!!!
Força tangencial FT23
𝑇𝑎 = 𝐹23
𝑇 𝑥 𝑟𝑝2
Força tangencial FT45
onde,
𝑇𝑎 = 7,958 N.m
𝑟𝑝2 = 2,1 pol = 53,34 mm
então:
𝐹23
𝑇 =
𝑇𝑎
𝑟𝑝2
=
7,958
0,05334
= 149,19 N
Então a radial será:
𝐹23
𝑅 = 𝐹23
𝑇 𝑥 𝑡𝑎𝑔 𝞥
𝐹23
𝑅 = 149,19 𝑥 𝑡𝑎𝑔 25°
𝐹23
𝑅 = 69,57 N
Já a resultante será:
𝐹23 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝞥 = 𝐹23
𝑅
𝐹23 =
𝐹23
𝑅
𝑠𝑒𝑛 𝞥
𝐹23 =
69,57
𝑠𝑒𝑛 25
𝐹23 = 164,61 𝑁
𝑇𝑏 = 𝐹45
𝑇 𝑥 𝑟𝑝4
onde, 𝑇𝑏 = 23,485 N.m
𝑟𝑝4 = 2,1 pol = 53,34 mm 
então:
𝐹45
𝑇 =
𝑇𝑏
𝑟𝑝4
=
23,485
0,05334
= 440,29 N
Então a radial será:
Já a resultante será:
𝐹45 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝞥 = 𝐹45
𝑅
𝐹45 =
𝐹45
𝑅
𝑠𝑒𝑛 𝞥
𝐹45 =
205,31
𝑠𝑒𝑛 25
𝐹45 = 485,80 𝑁
𝐹45
𝑅 = 𝐹45
𝑇 𝑥 𝑡𝑎𝑔 𝞥
𝐹45
𝑅 = 440,29 𝑥 𝑡𝑎𝑔 25°
𝐹45
𝑅 = 205,31 N
DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS
- Detalhamentos -
TENSÕES EM ENGRENAGEM CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
❖ Há dois modos de falha que afetam os dentes de engrenagem: fratura 
por fadiga devido às tensões variadas de flexão na raiz do dente e 
fadiga superficial (crateração) das superfícies do dente. Ambos os 
modos de falha devem ser verificados quando se projetam 
engrenagens.
❖ A crateração é modo mais comum de falha, embora possa ocorrer 
desgaste por abrasão ou adesivo (marcas), especialmente se as 
engrenagens não forem lubrificadas em serviço adequadamente
Estudo fotoelástico de dentes de engrenagem 
sob carregamento
TENSÃO DE FLEXÃO NOS DENTES DA ENGRENAGEM
❖ A razão de contato está entre 1 e 2.
❖ Não há interferência entre as pontas e os filetes de raiz dos dentes acoplados e não 
há adelgaçamento dos dentes abaixo do início teórico do perfil ativo.
❖ Nenhum dente é pontudo.
❖ A folga de engrenamento não é nula.
❖ Os filetes de raiz são padronizados, supõe-se que sejam suaves, e são produzidos 
por um processo de geração.
❖ As forças de atrito são desprezadas.
A equação de tensões de flexão de Lewis (AGMA) com definida 
no padrão 2001-B88 da AGMA é válida somente para certas 
hipóteses a respeito do dente e da geometria de engrenamento: 
TENSÃO DE FLEXÃO NOS DENTES DA ENGRENAGEM
𝞼=
𝐌
I
c
=
𝐌.𝐜
𝐈
c =
𝒕
𝟐𝐈 =
𝐛. 𝐭𝟑
𝟏𝟐
M = 𝑭𝒕. 𝒍
Onde, I é o momento de inércia da 
secção; e c é a distância à linha 
neutra
substituindo, tem-se 
𝞼=
𝐅𝐭.𝐥.𝐜
𝐛.𝐭𝟑
𝟏𝟐
=
𝐅𝐭.𝐥.𝐭
𝐛.𝐭𝟑.𝟐
𝟏𝟐
=
𝟔.𝐅𝐭.𝐥
𝐛.𝐭𝟐considerando que a tensão 
máxima ocorre no ponto a e uma 
trinca se propagará na direção da 
hipotenusa do triângulo pequeno, 
pode-se dizer por similaridade de 
triângulos que, 
𝒕/𝟐
𝒙
=
𝒍
𝒕/𝟐
𝒙 =
𝒕𝟐
𝟒𝒍
TENSÃO DE FLEXÃO NOS DENTES DA ENGRENAGEM
Reescrevendo a equação, tem-se
𝞼=
𝟔.𝐅𝐭.𝐥
𝐛.𝐭𝟐
=
𝐅𝐭
𝐛
𝟏
𝐭𝟐
𝟔𝒍
=
𝐅𝐭
𝐛
𝟏
𝐭𝟐
𝟒𝒍
𝟏
𝟒
𝟔
agora substituindo o valor de x oriundo 
da similaridade de triângulo anterior, 
tem-se
𝞼=
𝐅𝐭
𝐛
𝟏
𝒙
𝟏
𝟒
𝟔
multiplicando-se o numerador e denominador pelo passo circular, p, encontra-se 
𝞼=
𝐅𝐭
𝐛
𝟏
𝒙
𝟏
𝟒
𝟔
𝒑
𝒑
=
𝐅𝐭
𝐛
𝟏
𝟐
𝟑
𝒑
𝒙𝒑
=
𝐅𝐭
𝐛
𝟏
𝟐
𝟑𝒑
𝒙𝒑
escrevendo 𝒚 =
𝟐𝒙
𝟑𝒑
começa-se a entender a original eq. de 
Lewis. Porém, ficou sem GRAÇA em função 
do passo circular 
𝞼=
𝐅
𝐭
𝐛.𝒑.𝒚
TENSÃO DE FLEXÃO NOS DENTES DA ENGRENAGEM
Onde o fator y da 𝞼=
𝐅
𝐭
𝐛.𝒑.𝒚
é conhecido como o fator de forma de Lewis
multiplicando-se o numerador e denominador por 𝞹, tem-se
𝞼=
𝐅𝐭
𝐛.𝒑.𝒚
𝞹
𝞹
como, P =
𝝅
𝒑
logo, 
onde, P é o passo diametral e p é o passo circular
𝞼=
𝐅
𝐭
𝐛.𝒚
𝑃
𝞹
Y, fator de forma
EQUAÇÃO DE LEWIS
𝞼=
𝐅
𝐭
.𝐏
.
𝐛.𝒀
ou 𝞼=
𝐅
𝐭
.
𝒎.𝒃.𝒀
em função do passo diametral em função do módulo
TENSÃO DE FLEXÃO NOS DENTES DA ENGRENAGEM
EQUAÇÃO DE LEWIS
𝞼=
𝐅
𝐭
.𝐏
.
𝐛.𝒀
ou 𝞼=
𝐅
𝐭
.
𝒎.𝒃.𝒀
em função do passo diametral em função do módulo
como, Y = 𝒚. 𝝅 𝒚 =
𝟐𝒙
𝟑𝒑
e P . p = 𝝅
tem-se que Y =
𝟐𝒙𝑷
𝟑
𝒙 =
𝒕𝟐
𝟒𝒍
apenas relembrando que
TENSÃO DE FLEXÃO NOS DENTES DA ENGRENAGEM
EQUAÇÃO DE LEWIS
𝞼=
𝐅
𝐭
.𝐏
.
𝐛.𝒀
ou 𝞼=
𝐅
𝐭
.
𝒎.𝒃.𝒀
❖ Wilfred Lewis desenvolveu em 1892 a primeira equação útil para as tensões de flexão 
em um dente de engrenagem;
❖ A componente radial é ignorada porque ela põe o dente em compressão;
❖ A equação de Lewis não é mais utilizada em sua forma original, mas ela serve como 
base para uma nova versão mais moderna proposta pela AGMA;
❖ A equação foi aumentada com fatores adicionais para levar em conta mecanismos de 
falha que só foram entendidos mais tarde;
TENSÃO DE FLEXÃO NOS DENTES DA ENGRENAGEM
EQUAÇÃO DE LEWIS
𝞼=
𝐅
𝐭
.𝐏
.
𝐛.𝒀
. 𝐊𝐭 ou 𝞼=
𝐅
𝐭
.
𝒎.𝒃.𝒀
. 𝑲𝒕
❖ Embora a base teórica para a análise de tensão dos dentes da engrenagem seja 
apresentada, a equação de Lewis deve ser modificada para a prática de projeto e 
análise;
❖ O valor do fator de concentração de tensão depende da forma do dente, do formato e 
do tamanho do filete na raiz do dente e do ponto de aplicação da força sobre o dente;
❖ Observe que o valor do fator de forma de Lewis, Y, depende da geometria do dente;
❖ Portanto, os dois fatores se tornam um único termo, o fator geométrico J, onde 
J=Y/Kt. O valor de J também muda de acordo com a localização do ponto de 
aplicação de força sobre o dente, pois Y e Kt variam;
❖ Seu fator de forma Y foi suplantado por um novo fator geométrico J, que inclui os 
efeitos da concentração de tensão na raiz do filete.
TENSÃO DE FLEXÃO NOS DENTES DA ENGRENAGEM
EQUAÇÃO DE LEWIS MODIFICADA
𝞼=
𝐅
𝐭
.𝐏
.
𝐛.𝑱
ou 𝞼=
𝐅
𝐭
.
𝒎.𝒃.𝑱
❖ A equação acima pode ser chamada de equação de Lewis modificada.
❖ Outras alterações na equação são recomendadas pela AGMA na norma 2001-D04 a 
fim de que o projeto prático leve em conta a variedade de condições que podem ser 
encontradas no funcionamento.
❖ A abordagem da AGMA é aplicar uma série de fatores modificadores adicionais à 
tensão de flexão da equação de Lewis modificada para calcular um valor de chamado 
número de tensão de flexão, st.
❖ Esses fatores representam o grau em que a superfície real do carregamento difere da 
base teórica da equação de Lewis. 
FATOR GEOMÉTRICO, J 
FATOR GEOMÉTRICO, J 
NÚMERO DE TENSÃO DE FLEXÃO, st
❖ O método de análise de projeto adotado aqui tem por base, a norma AGMA 2001-
D04. Alguns fatores que não estão na norma foram extraídos de outras fontes.
❖ Esses fatores modificadores ilustram os tipos de condição que afetam o projeto 
final.
❖ O projetista, basicamente, tem a responsabilidade de tomar as decisões para o seu 
projeto
ko, fator de sobrecarga para resistência à flexão
ks, fator de forma para resistência à flexão
km, fator de distribuição de carga para resistência à flexão
kb, fator de espessura de borda
kv, fator dinâmico para resistência à flexão
st =
𝐅
𝐭
.𝐏
.
𝐛.𝑱
ko. ks. km. kb. kv st =
𝐅
𝐭
.
𝒎.𝐛.𝑱
ko. ks. km. kb. kv
Fator de sobrecarga, ko
✓ Os fatores de sobrecarga consideram a probabilidade de que variações de carga, vibrações, 
impactos, mudanças de velocidade e outras condições específicas à aplicação resultem em 
carga de pico superiores a Ft sendo aplicadas nos dentes da engrenagem durante a 
operação.
Fator de forma, ks
✓ A AGMA indica que o fator de forma pode ser 
considerado 1,00 para a maioria da 
engrenagens. No entanto, para engrenagens 
com dentes grandes ou larguras de face 
amplas, um valor superior a 1,00 é 
recomendado. Daí, a sugestão na tabela ao 
lado.
Fator de distribuição de carga, km
✓ Se a intensidade do carregamento em todas as partes dosdentes em contato, em qualquer 
momento, for uniforme, (alinhamento da caixa) o valor de km será 1,00. 
Qualquer um dos seguintes fatores pode causar 
um desalinhamento dos dentes do pinhão em 
relação aos da engrenagem:
O projetista pode minimizar o fator de 
distribuição de carga especificando o 
seguinte:
1. Dentes imprecisos na engrenagem.
2. Desalinhamento dos eixos que sustentam as 
engrenagens.
3. Deformações elásticas de engrenagens, eixos, 
rolamentos, carcaça e estruturas de apoio.
4. Folgas entre os eixos e as engrenagens, entre os 
eixos e os rolamentos ou entre os rolamentos e a 
carcaça.
5. Distorções térmicas durante a operação.
6. Abaulamento ou chanfro da ponta dos dentes da 
engrenagem.
1. Dentes precisos.
2. Larguras de face estreitas
3. Engrenagens centralizadas entre os rolamentos 
(montagem aberta).
4. Vãos de eixos curtos entre os rolamentos.
5. Diâmetros grandes de eixos (alta rigidez).
6. Carcaças rígidas e duras.
7. Alta precisão e pequenas folgas em todos os 
componentes da transmissão.
𝒌𝒎 = 𝟏, 𝟎 + 𝑪𝒎𝒂 + 𝑪𝒑𝒇
Cpf, fator de proporção do pinhão
Cma, fator de correção de alinhamento de malha
✓ A seguinte equação será utilizada para calcular o valor do fator de distribuição de carga: 
(𝑪𝒎𝒂 + 𝑪𝒑𝒇 serão zero se a caixa for toda alinhada) 
𝑪𝒎𝒂 = 𝟎, 𝟐𝟒𝟕 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟔𝟕𝑭 − 𝟎, 𝟕𝟔𝟓𝒙𝟏𝟎
−𝟒𝑭𝟐Engrenamento aberto:
Unidades de engrenagens fechadas de qualidade 
industrial:
𝑪𝒎𝒂 = 𝟎, 𝟏𝟐𝟕 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟓𝟖𝑭 − 𝟏, 𝟎𝟗𝟑𝒙𝟏𝟎
−𝟒𝑭𝟐
Unidades de engrenagens fechadas de precisão: 𝑪𝒎𝒂 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟕𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟖𝑭 − 𝟎, 𝟗𝟐𝟔𝒙𝟏𝟎
−𝟒𝑭𝟐
𝑪𝒎𝒂 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟖𝟎 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟎𝟐𝑭 − 𝟎, 𝟖𝟐𝟐𝒙𝟏𝟎
−𝟒𝑭𝟐Unidades de engrenagens fechadas de alta 
precisão:
✓ Qualquer desalinhamento 
axial ou desvio na forma 
do dente fará com que a 
carga transmitida, Ft, seja 
distribuída desigualmente 
sobre a largura da face 
dos dentes da 
engrenagem. 
Fator de espessura de borda, kb
✓ Um dente de engrenagem se comporta como uma viga em balanço engastado numa 
estrutura de apoio perfeitamente rígida. Isso somente é verdade se o disco for 
completamente sólido. Existem engrenagens raiadas com objetivo de diminuir peso, no 
entanto, para esse tipo de engrenagem kb=1. Preocupação maior fica apenas com os 
PINHÕES CHAVETADOS.
Fator dinâmico, kv
✓ O fator dinâmico considera que a carga é admitida por um dente com algum grau de impacto 
e que a carga real submetida ao dente é maior do que somente transmitida. Essas cargas de 
vibração são piores em engrenagens de baixa precisão. 
Fator dinâmico, kv
EXERCÍCIO 10. 
Calcule os números da tensão de flexão para o pinhão e a engrenagem (par conjugado qualquer). O pinhão gira 
a 1750 rpm, acionado diretamente por um motor elétrico. A máquina acionada é uma serra industrial que exige 
25 HP. A unidade da engrenagem é fechada (maciça) e feita conforme os padrões comerciais. As engrenagens 
têm montagens fechadas de qualidade industrial. Os seguintes dados se aplicam:
Np=20, NC=70, P=6, b=2,25 pol, Av=10
Os dentes da engrenagem são involutos de profundidade total e com ângulo de pressão de 20°, e os discos são 
sólidos.
SOLUÇÃO: 
Dp = Np/P = 20/6 = 3,333 pol Vt = 𝟂p . (Dp/2) =1750
𝑟𝑒𝑣
𝑚𝑖𝑛
𝑥
2𝞹 𝑟𝑎𝑑
1 𝑟𝑒𝑣
𝑥
3,333
2
𝑝𝑜𝑙 𝑥
0,0254 𝑚
1 𝑝𝑜𝑙
𝑥
1 𝑚𝑖𝑛
60 𝑠
= 7,75 𝑚/𝑠
Ft =
𝑃
𝑉𝑡
=
25 𝐻𝑃
7,75
𝑚
𝑠
𝑥
745,7 𝑊
1 𝐻𝑃
𝑥
1 𝐽
1𝑊. 𝑠
𝑥
1 𝑁. 𝑚
1𝐽
= 2405,48 𝑁 J𝑝 = 0,33
st =
𝐅
𝐭
.
𝒎.𝐛.𝑱
ko. ks. km. kb. kv
k𝑜 = 1,5
k𝑠 = 1,00.
(Fator de sobrecarga) – motor elétrico, suave, que aciona uma serra industrial, moderada. 
(Fator de forma) – dentes com P=6, considerados pequenos, segundo a tabela de ks. 
(Fator geométrico do pinhão) 
(Fator de distribuição de carga) 𝑘𝑚 = 1,0 + 𝐶𝑚𝑎 + 𝐶𝑝𝑓
𝐹
𝐷𝑝
=
𝑏
𝐷𝑝
=
2,25
3,333
= 0,68 𝐶𝑝𝑓 = 0,058 (usando a equação para 1,0 ≤ F(b) < 15) 
𝐶𝑚𝑎 = 0,162 (usando a equação de unidades de engrenagens fechadas industriais) 
𝑘𝑚 = 1,0 + 0,058 + 0,162 = 1,22
k𝑏 = 1,0 (Fator de borda) – porque as engrenagens são construídas de discos sólidos
k𝑣 = 1,41 (Fator dinâmico) – pelo gráfico, utilizando Vt=7,75m/s e Av=10. 
✓A tensão pode, agora, ser calculada pelo número de tensão de flexão st. Avaliaremos primeiro a 
tensão no pinhão:
stp =
𝐅
𝐭
.
𝒎.𝐛.𝑱
ko. ks. km. kb. kv = 
2405,48 𝑁
0,0042333 𝑚 𝑥 0,05715(𝑚) 𝑥 0,33
x1,5 x 1,0 x 1,22 x 1,0 x 1,41= 77,74 MPa 
stp =
𝐅
𝐭
.𝐏
.
𝐛.𝑱
. ko. ks. km. kb. kv = 
𝟓𝟒𝟎,𝟕𝟕 𝐥𝐛𝐟 𝐱 𝟔
.
𝟐,𝟐𝟓 𝒑𝒐𝒍 𝒙 𝟎,𝟑𝟑 𝒙 𝒑𝒐𝒍
x1,5 x 1,0 x 1,22 x 1,0 x 1,41= 11275,55 lbf/pol2 (psi) 
✓Observe que todos os fatores na equação da tensão são os mesmos para a engrenagem, 
exceto o valor do fator geométrico.
J𝑐 = 0,415 (Fator geométrico da engrenagem) 
𝒔𝒕𝒄 = 𝒔𝒕𝒑𝒙
𝑱𝒑
𝑱𝒄
= 𝟕𝟕, 𝟕𝟒 𝒙
𝟎,𝟑𝟑
𝟎,𝟒𝟏𝟓
= 𝟔𝟏, 𝟖𝟐 𝑴𝒑𝒂 𝒔𝒕𝒄 = 𝒔𝒕𝒑𝒙
𝑱𝒑
𝑱𝒄
= 𝟏𝟏𝟐𝟕𝟓, 𝟓𝟓 𝒙
𝟎,𝟑𝟑
𝟎,𝟒𝟏𝟓
= 𝟖𝟗𝟔𝟔, 𝟏𝟎 𝒑𝒔𝒊
✓Estas tensões serão usadas para determinar as propriedades de resistência e dureza do 
material com o qual as engrenagens serão fabricadas.
TENSÃO DE CONTATO NOS DENTES DA ENGRENAGEM
❖ Além de serem resistentes à flexão, os dentes da engrenagem também devem ser 
capazes de operar durante o tempo desejado sem que haja corrosão por pite em sua 
forma.
❖ Corrosão por pite é o fenômeno em que pequenas partículas são removidas da 
superfície das faces do dente por causa de altas tensões de contato, resultando em 
fadiga.
Estudo fotoelástico de dentes de engrenagem sob carregamento
❖ Uma operação prolongada após o início da corrosão por pite faz os dentes ficarem 
ásperos, e a forma acaba se deteriorando. Em pouco tempo ocorre a falha.
❖ Por conta da elasticidade do material, o formato do dente se deforma levemente 
fazendo a força transmitida atuar sobre uma pequena área retangular.
❖ A tensão resultante é chamada de Tensão de Contato ou Tensão Hertz. De contato 
dinâmico em combinação com rolamento e deslizamento.
TENSÃO DE CONTATO NOS DENTES DA ENGRENAGEM
❖ As tensões de superfícies nos dentes de engrenagem foram investigadas pela 
primeira vez por Buckinghan.
❖ Seu trabalho levou ao desenvolvimento de uma equação para tensões de superfícies 
em dentes de engrenagem que é agora conhecida como a equação de Buckinghan.
❖ Ela serve como base para a fórmula de resistência à crateração de AGMA – TENSÃO 
DE CONTATO - que é: 
𝞼c = 𝑪𝒑
𝐅𝐭
𝒃.𝑫𝒑.𝑰
Onde: 
Cp = coeficiente elástico (que leva em conta as diferenças nas constantes dos materiais do 
pinhão e engrenagem).
Ft = força tangencial no dente
b = largura de face
Dp = diâmetro primitivo do pinhão (diâmetro de referência da menor das duas 
engrenagens no engrenamento).
I = fator geométrico de superfície para resistência à crateração
𝑪𝒑 =
𝟏
𝞹[
𝟏 − 𝞾𝒑
𝟐
𝑬𝒑
+
𝟏 − 𝞾𝒄
𝟐
𝑬𝒄
Fator geométrico do pinhão de dentes retos externos, I 
Fator geométrico do pinhão de dentes retos externos, I 
Coeficiente elástico, Cp (extraídos da AGMA 2001-D04, para 𝞾=0,30 (coef. Poison) e unidades de 
Cp são (lbf/pol
2)0,5 ou (MPa)0,5. 
NÚMERO DE TENSÃO DE CONTATO, sc
sc = 𝑪𝒑
𝑭𝒕.𝒌𝒐.𝒌𝒔.𝒌𝒎.𝒌𝒗
𝒃.𝑫𝒑.𝑰
❖ Tal como acontece com a equação para tensão de flexão nos dentes da engrenagem, 
vários fatores são adicionados à equação para tensão de contato, como mostrado a 
seguir.
❖ A quantidade resultante é chamada de número de tensão de contato, sc:
❖ Os valores para os fatores modificadores acima podem ser considerados os mesmos 
em relação àqueles correspondentes para a análise de tensão de flexão.
❖ A equação acima é utilizada para calcular a tensão de contato tanto do pinhão quanto 
da engrenagem. As tensões são as mesmas.
❖ Não é correto usar o diâmetro da engrenagem, Dc.
EXERCÍCIO 11. 
Calcule o número de tensão de contato para o par de engrenagens descrito no exercício 11.
Os dados no exercício estão resumidos a seguir:
Np=20
NG=70
P=6
ko=1,5ks=1,0
km=1,22
SOLUÇÃO: 
b=2,25 pol (0,05715 m)
Ft=2405,48 N (540,77 lbf)
Dp=3,333 pol (0,08469 m)
kv=1,41
Os dentes da engrenagem são involutos, de profundidade total e com ângulo de pressão de 20°. 
Precisamos do fator geométrico, I, para resistência à corrosão por pite: 𝑖 =
𝑁𝐶
𝑁𝑃
=
70
20
= 3,5 e Np=20
I = 0,108
Suponha que na análise de projeto para resistência à flexão foram usadas duas engrenagens de aço. Da tabela 
de Cp: 
𝐶𝑃 = 2300
𝒍𝒃𝒇
𝒑𝒐𝒍𝟐
Portanto, o número de tensão de contato é, 
sc = 191 𝑴𝑷𝒂
𝟐𝟒𝟎𝟓,𝟒𝟖 (𝑵) 𝒙𝟏,𝟓𝒙𝟏,𝟎𝒙𝟏,𝟐𝟐𝒙𝟏,𝟒𝟏
𝟎,𝟎𝟓𝟕𝟏𝟓 𝒎 𝒙 𝟎,𝟎𝟖𝟒𝟔𝟗 (𝒎) 𝒙 𝟎,𝟏𝟎𝟖
= 191 𝑴𝑷𝒂 𝟏𝟏𝟖𝟕𝟒𝟎𝟕𝟔, 𝟏𝟓
𝑵
𝒎𝟐
= 191 𝑴𝑷𝒂 𝟏𝟏, 𝟖𝟕 𝑴𝑷𝒂 = 𝟔𝟓𝟖, 𝟎𝟒 𝑴𝑷𝒂
sc = 𝟐𝟑𝟎𝟎
𝒍𝒃𝒇
𝒑𝒐𝒍𝟐
𝟓𝟒𝟎,𝟕𝟕(𝒍𝒃𝒇)𝒙𝟏,𝟓𝒙𝟏,𝟎𝒙𝟏,𝟐𝟐𝒙𝟏,𝟒𝟏
𝟐,𝟐𝟓 𝒑𝒐𝒍 𝒙𝟑,𝟑𝟑(𝒑𝒐𝒍)𝒙𝟎,𝟏𝟎𝟖
= 𝟗𝟓𝟓𝟎𝟖, 𝟗𝟐 𝒑𝒔𝒊 (
𝒍𝒃𝒇
𝒑𝒐𝒍𝟐
)
Este valor é utilizado tanto para o pinhão quanto para a engrenagem 
DIRETRIZES PARA ESPECIFICAÇÃO DE MATERIAIS
❖ Podemos usar as seguintes relações para nos orientar no processo de especificação 
de materiais adequados para engrenagens.
𝒔𝒕 < 𝒔𝒂𝒕
′ 𝒔𝒄 < 𝒔𝒂𝒄
′
e
❖ Os ajustes são feitos em cima de dados publicados para sat e sac que serão discutidos 
nos slides a seguir.
❖ As condições para esses dados são as seguintes:
✓ Temperatura operacionais acima de 0°C e abaixo de 121°C;
✓ Materiais expostos a 107 ciclos de carregamento;
✓ Confiabilidade esperada de 99%, ou seja, menos de uma falha em 100;
✓ Fator de segurança, SF, de 1,00;
❖ Os ajustes para sat e sac considerados aqui assumem a forma 
𝒔𝒕 < 𝒔𝒂𝒕
′ = 𝒔𝒂𝒕
𝒀𝑵
(𝑺𝑭)(𝑲𝑹)
𝒔𝒄 < 𝒔𝒂𝒄
′ = 𝒔𝒂𝒄
𝒁𝑵
(𝑺𝑭)(𝑲𝑹)
e
Onde:
SF = fator de segurança
KR = fator de confiabilidade
YN = fator de ciclo para tensão de resistência à 
flexão
ZN = fator de ciclo para tensão de resistência à 
corrosão por pite
(nº tensões flexão admissível) (nº tensões contacto admissível) 
DIRETRIZES PARA ESPECIFICAÇÃO DE MATERIAIS
Calculando sat e sac, tem-se: 
𝒔𝒂𝒕 𝒏𝒆𝒄𝒆𝒔𝒔á𝒓𝒊𝒐 > 𝒔𝒕
(𝑺𝑭)(𝑲𝑹)
𝒀𝑵
𝒔𝒂𝒄 𝒏𝒆𝒄𝒆𝒔𝒔á𝒓𝒊𝒐 > 𝒔𝒄
(𝑺𝑭)(𝑲𝑹)
𝒁𝑵
e
É preciso observar aqui que, para transmissões por engrenagem com vida útil relativamente longa, 
o projeto será regido, na maioria da vezes, pela resistência à corrosão por pite.
DIRETRIZES PARA ESPECIFICAÇÃO DE MATERIAIS
❖ Fator de segurança: o valor de SF é geralmente considerado 1,0 porque a maioria das 
incertezas envolvidas no cálculo da tensão de flexão e de contato estão inclusas nas 
equações para sat e sac pelos fatores ko, ks, km, kb e kv.
❖ Fator de confiabilidade: a tabela ao lado mostra 
valores típicos para KR, e a escolha de qual deles 
aplicar é uma decisão de projeto
Fator de confiabilidade, KR
Vida útil de projeto recomendada
❖ Vida útil desejada para a transmissão: a tabela indica 
um conjunto de valores recomendados de vida útil em 
horas de operação. A faixa de 20000 a 30000 horas para 
máquinas industriais em geral é uma escolha razoável.
Obs.: vida útil em (horas)/(ano x turno) 
DIRETRIZES PARA ESPECIFICAÇÃO DE MATERIAIS
É necessário ter o número de ciclo de carga, que pode ser calculado pela seguinte equação:
𝑵𝒄 = 𝑳 (𝒏)(𝒒)
Onde,
Nc = número esperado de ciclos de carga
L = vida útil do projeto em horas por ano por turno
n = velocidade angular da engrenagem em rpm
q = número de aplicações de carga por revolução
Exemplo do pinhão do exercício 10
𝑵𝒄 = 𝑳 𝒏 𝒒 = 𝟖𝟎𝟎𝟎 𝒉 𝒙 𝟏𝟕𝟓𝟎
𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐𝒔
𝒎𝒊𝒏
𝒙
𝟔𝒐 𝒎𝒊𝒏
𝟏𝒉
= 𝟖, 𝟒𝒙𝟏𝟎𝟖 𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐𝒔
❖ Fator de ciclo de tensão: as duas figuras a seguir mostram os valores recomendados 
de YN para tensão de flexão e ZN para tensão de contato em engrenagens de aço 
(apenas). Existem outros gráficos semelhantes para engrenagens dos NÃO ferrosos e de 
plásticos. 
DIRETRIZES PARA ESPECIFICAÇÃO DE MATERIAIS
Fator de ciclo para tensão de resistência à corrosão por pite, ZN. 
Fator de ciclo para tensão de resistência à flexão, YN. 
DIRETRIZES PARA ESPECIFICAÇÃO DE MATERIAIS
EXERCÍCIO 12. 
Especifique materiais adequados para o pinhão e a engrenagem da transmissão dos exercícios 11 e 12. Use os 
resultados deles para tensão de flexão e a tensão de contato calculadas. Projete de modo a obter confiabilidade 
de 0,999, ou seja, menos de uma falha em 1000. A aplicação do projeto é uma transmissão para serra industrial 
de operação normal, com único turno e frequência de cinco dias por semana.
Resultados:
SOLUÇÃO 
np=1750 rpm
nc=500 rpm
stp=11.275,55 psi (77,74 MPa)
stc=8.966,10 psi (61,82 MPa)
sc=95.508,92 psi (658,04 MPa)
Passo 1. Decisão de projeto: escolha SF=1 com fator de segurança;
Passo 2. Decisão de projeto: pela tabela encontre KR=1,25 para confiabilidade de 0,999;
Passo 3. Decisão de projeto: cálculo do número de ciclos de trabalho com base na vida útil 
𝑵𝒄𝒑 = 𝑳 𝒏 𝒒 = 𝟖𝟎𝟎𝟎 𝒉 𝒙 𝟏𝟕𝟓𝟎
𝒓𝒆𝒗
𝒎𝒊𝒏
𝒙
𝟔𝒐 𝒎𝒊𝒏
𝟏𝒉
= 𝟖, 𝟒𝒙𝟏𝟎𝟖 𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐𝒔
𝑵𝒄𝒄 = 𝑳 𝒏 𝒒 = 𝟖𝟎𝟎𝟎 𝒉 𝒙 𝟓𝟎𝟎
𝒓𝒆𝒗
𝒎𝒊𝒏
𝒙
𝟔𝒐 𝒎𝒊𝒏
𝟏𝒉
= 𝟐, 𝟒𝒙𝟏𝟎𝟗 𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐𝒔
Passo 4. Calculando pelas equações do gráfico: YNp= 0,90; YNc= 0,92 (para tensão de flexão) 
ZNp= 0,85; ZNc= 0,88 (para tensão de contato) 
Passo 5. Partindo do princípio de que a tensão de contato no pinhão orientará o projeto, adote a equação a 
seguir da tensão de contato do pinhão
𝒔𝒂𝒄 𝒑 𝒏𝒆𝒄𝒆𝒔𝒔á𝒓𝒊𝒐 > 𝒔𝒄
(𝑺𝑭)(𝑲𝑹)
𝒁𝑵𝒑
= 𝟗𝟓𝟓𝟎𝟖, 𝟗𝟐 𝒑𝒔𝒊
(𝟏, 𝟎)(𝟏, 𝟐𝟓)
(𝟎, 𝟖𝟓)
= 𝟏𝟒𝟎𝟒𝟓𝟒, 𝟐𝟗 𝒑𝒔𝒊
𝒔𝒂𝒄 𝒑 𝒏𝒆𝒄𝒆𝒔𝒔á𝒓𝒊𝒐 > 𝒔𝒄
(𝑺𝑭)(𝑲𝑹)
𝒁𝑵𝒑
= 𝟔𝟓𝟖, 𝟎𝟒 𝑴𝑷𝒂
(𝟏, 𝟎)(𝟏, 𝟐𝟓)
(𝟎, 𝟖𝟓)
= 𝟗𝟔𝟕, 𝟕𝟎 𝑴𝑷𝒂
Consulte o gráfico para “número de tensão de contato admissível, sac, para engrenagens de aço com têmpera 
completa” para avaliar a aceitabilidade desse nível de tensão de contato. 
Para aços da classe 1, tem-se que a dureza superficial exigida para um dente com têmpera completa é de HB 
340, um resultado satisfatório. Ou, pode-se usar a equação: 
𝑯𝑩 𝒏𝒆𝒄𝒆𝒔𝒔á𝒓𝒊𝒐 =
𝒔𝒂𝒄 − 𝟐𝟗, 𝟏 𝒌𝒔𝒊
𝟎, 𝟑𝟐𝟐
=
𝟏𝟒𝟎, 𝟒𝟓 − 𝟐𝟗, 𝟏𝟎
𝟎, 𝟑𝟐𝟐
= 𝟑𝟒𝟓
Passo 6. O cálculo para a tensão de contato exigida para a engrenagem é: 
𝒔𝒂𝒄 𝒄 𝒏𝒆𝒄𝒆𝒔𝒔á𝒓𝒊𝒐 > 𝒔𝒄
(𝑺𝑭)(𝑲𝑹)
𝒁𝑵𝒄
= 𝟗𝟓𝟓𝟎𝟖, 𝟗𝟐 𝒑𝒔𝒊
(𝟏, 𝟎)(𝟏, 𝟐𝟓)
(𝟎, 𝟖𝟖)
= 𝟏𝟑𝟓𝟔𝟔𝟔, 𝟎𝟖 𝒑𝒔𝒊
𝒔𝒂𝒄 𝒄 𝒏𝒆𝒄𝒆𝒔𝒔á𝒓𝒊𝒐 > 𝒔𝒄
(𝑺𝑭)(𝑲𝑹)
𝒁𝑵𝒄
= 𝟔𝟓𝟖, 𝟎𝟒 𝑴𝑷𝒂
(𝟏, 𝟎)(𝟏, 𝟐𝟓)
(𝟎, 𝟖𝟖)
= 𝟗𝟑𝟒, 𝟕𝟏 𝑴𝑷𝒂
É comum que a tensão de contato na engrenagem seja menor do que a do pinhão, mas muito próxima em 
termos de valor 
Passo 7. 
Calculemos agora as tensões de flexão admissível exigidas para o pinhão e engrenagem:
𝒔𝒂𝒕 𝒑 𝒏𝒆𝒄𝒆𝒔𝒔á𝒓𝒊𝒐 > 𝒔𝒕𝒑
(𝑺𝑭)(𝑲𝑹)
𝒀𝑵𝒑
= 𝟏𝟏𝟐𝟕𝟓, 𝟓𝟓 𝒑𝒔𝒊
(𝟏, 𝟎)(𝟏, 𝟐𝟓)
(𝟎, 𝟗𝟎)
= 𝟏𝟓𝟔𝟔𝟎, 𝟒𝟖 𝒑𝒔𝒊
𝒔𝒂𝒕 𝒄 𝒏𝒆𝒄𝒆𝒔𝒔á𝒓𝒊𝒐 > 𝒔𝒕𝒄
(𝑺𝑭)(𝑲𝑹)
𝒀𝑵𝒄
= 𝟖𝟗𝟔𝟔, 𝟏𝟎 𝒑𝒔𝒊
(𝟏, 𝟎)(𝟏, 𝟐𝟓)
(𝟎, 𝟗𝟐)
= 𝟏𝟐𝟏𝟖𝟐, 𝟐𝟎 𝒑𝒔𝒊
A comparação desses valores com a dureza necessária do aço para a flexão mostra que uma dureza baixa é 
exigida, bem abaixo de HB 180 ~ 37 – o limite para a classe 1. Isso comprova que a tensão de contato 
direciona o projeto. 
𝑯𝑩 𝒏𝒆𝒄𝒆𝒔𝒔á𝒓𝒊𝒐 =
𝒔𝒂𝒕 − 𝟏𝟐, 𝟖 𝒌𝒔𝒊
𝟎, 𝟎𝟕𝟕𝟑
=
𝟏𝟓, 𝟔𝟔 − 𝟏𝟐, 𝟖
𝟎, 𝟎𝟕𝟕𝟑
= 𝟑𝟔, 𝟗𝟗𝟖
Passo 8. 
O passo final é especificar o material e seu tratamento térmico, nesse caso, com base na tensão de contato no 
pinhão, para a qual HB 345 é exigida.
A tabela ao abaixo recomenda ligas SAE 1045, 4140 e 4340, todos na faixa de 0,40% de C.
Qualquer uma das três ligas e seus tratamentos térmicos seria satisfatório, mas fatores como disponibilidade, 
custo, fornecimento e usinabilidade poderiam afetar a decisão. 
Eu escolheria o SAE 1045. Por quê?
Número de tensão de contato 
admissível, sac, para 
engrenagens de aço com 
têmpera completa. 
Classe 1: é considerado o 
padrão básico de aços,são 
os aços ao carbono. Muito 
mais econômicos do que os 
da classe 2.
Classe 2: exige um grau mais 
elevado de controle da 
microestrutura, composição 
química, maior pureza, 
tratamento térmico, valores 
de dureza no núcleo e outros 
fatores 
Número de tensão de flexão 
admissível, sat, para 
engrenagens de aço com 
têmpera completa. 
Número de tensão de flexão 
admissível, sat, para 
engrenagens de aço com 
têmpera completa. 
✓ A diminuição do passo diametral resulta em dentes 
maiores e, em geral, tensões menores. Um passo menor 
significa largura de face maior, diminuindo a tensão e 
aumentando a durabilidade superficial;
✓ O aumento do pinhão diminui a carga transmitida, 
costuma reduzir a tensão e melhora a durabilidade; 
✓ O aumento da largura de face diminui a tensão e 
melhora a durabilidade, mas, em geral, em menor grau 
do que as alterações no diâmetro de passo;
✓ Engrenagens com dentes menores e em maior número 
tendem a funcionar com mais suavidade e menor ruído;
✓ O emprego de aços de alta liga e dureza superficial 
elevada produz o sistema mais compacto, mas com 
maior custo;
✓ A utilização de engrenagens muito precisas resulta em 
um índice de qualidade mais elevado, cargas dinâmicas 
menores e, por conseguinte, tensões menores e 
durabilidade superficial melhorada, mas com custo 
maior;
✓ O número de dentes do pinhão deve ser, em geral, o 
menor possível para que o sistema seja compacto. 
Contudo, a possibilidade de interferência é maior com 
poucos dentes.
Diretrizes para ajustes nas iterações do 
projeto 
DIMENSIONAMENTO DE EIXOS
- Detalhamentos -
EXERCÍCIO 13. 
O problema a seguir foi retirado de uma situação real, sendo o eixo de um variador de velocidades com duas 
engrenagens. Nele são mostradas as dimensões axiais desse eixo intermediário com as duas engrenagens 
cilíndricas de dentes retos, como mostrado na figura abaixo. As engrenagens e mancais estão apoiados por 
ressaltos e mantidos no lugar por anéis de retenção. As engrenagens transmitem torque por chavetas, onde suas 
forças tangenciais e radiais transmitidas ao eixo são:
Ft23=2400 N; F
t
54=-10800 N; F
r
23=-870 N; F
r
54=-3900 N
Os sobrescritos t e r representam as direções tangencial e radial, respectivamente; e os subscritos 23 e 54
representam as forças exercidas pelas engrenagens 2 e 5 (não mostradas) nas engrenagens 3 e 4, respectivamente. 
Selecione um material apropriado para esse eixo, calculando os diâmetros de cada secção a fim de se ter suficiente 
capacidade em fadiga e de tensão estática para vida infinita do eixo, utilizando fatores mínimos de segurança de 
1,5.
Elementos de máquinas comuns a 
muitos eixos mecânicos 
Obs.: desenhar no quadro o eixo 
com todas as forças calculadas com 
as distâncias entre engrenagens e 
pontos de apoio (mancais).
0
505,51 N
2905,51 N
-7894,49 N
0
Diagrama de esforço 
cortante no plano XZ
366,22 N.m
Diagrama do torque
0 0
Diagrama de esforço 
cortante no plano XY
1570,51 N
700,51 N
3199,49 N
0 0
450,03 N.m
25,68 N.m
0 0Diagrama de momento 
fletor no plano XZ
182,09 N.m
79,79 N.m
0 0Diagrama de momento 
fletor no plano XY
485,47 N.m
83,92 N.m
0 0Diagrama de momento 
fletor resultante
415,63 N.m
323,65 N.m
Sulco do anel 
de retenção
233,54 N.m
❖ O ponto I é o ponto mais crítico do eixo. Nele o momento fletor é alto, existe um ressalto (com concentração 
de tensão), além do torque transmitido ao eixo pela presença das duas engrenagens.
Estimativas da primeira interação para Kt e Kts
❖ Aço especificado para o eixo: 1020 laminado a 
frio, Sut = 469 MPa
❖ Estimar Kt = 1,7 (flexão) e Kts = 1,5 (torção) da 
tabela ao lado para a primeira interação. 
Por que tudo isso?
Por causa dos fatores modificadores de Marin
Onde:
Se é o limite de fadiga no local crítico de um elemento de 
máquina para determinada geometria e condição de uso.
❖ Assuma Kt = Kf = 1,7 e Kfs = Kts = 1,5
Kf= concentrador de tensão de fadiga para flexão reversa
Kfs= concentrador de tensão de fadiga para torção reversa
Tem-se em I,
Ma = 415,63 N.m, Tm = 366,22 N.m, 
Mm = Ta = 0 (m=médio, a=alternante)
A análise de Von Mises depende de Kf e Kfs. Esses fatores dependem dos 
concentradores de tensões estáticos (Kt e Kts) e da sensitividade do entalhe, q. 
Veremos na próxima interação. 
Fator de superfície, ka
O fator de modificação de superfície depende da 
qualidade do acabamento da superfície da peça 
verdadeira e da resistência à tração do material da peça. 
𝒌𝒂 = 𝒂 𝑺𝒖𝒕
𝒃
𝒌𝒂 = 𝟒, 𝟓𝟏 𝒙 𝟒𝟔𝟗
−𝟎,𝟐𝟔𝟓 = 𝟎, 𝟖𝟖𝟑
Valores capturados dos gráficos de limite de fadiga versus limite 
de resistência
Fator de tamanho, kb
Supondo nosso eixo com 
d=20mm, encontra-se kb=0,9
Obs.: verificar depois com o 
verdadeiro d for encontrado. 
Fazendo, kc = kd = ke = kf = 1 (por quê? Veja nos slides seguintes a explicação de cada um deles) 
Fator de carregamento, kc
Ensaios por flexão rotativa, por cargas uniaxial e torcional têm limites de fadiga que diferem quando se compara 
com o limite de resistência. 
Fator de temperatura, kd
Não existe limite de fadiga (limite de endurança) para materiais que operam em altas temperaturas. Neste caso o 
processo de falha depende apenas do tempo (fluência). 
= kd
O fator de confiabilidade leva em conta o 
espalhamento de dados mostrados no 
gráfico abaixo, em que o limite de fadiga 
é mostrado como S’e/Sut = 0,5 (limite de 
fadiga igual a metade do limite de resistência) ou 
como apresentado pela equação,
Fator de confiabilidade, ke e Limite de 
fadiga rotativa para o aço do eixo, S’e
O fator kf leva em conta a redução do limite de fadiga em razão de todos os outros 
efeitos não descritos anteriormente. É um fator modificador a mais, tendo em vista 
que valores reais de kf não estão sempre disponíveis.
Fator de efeito diversos, kf
Por exemplo: 
❖ TENSÕES RESIDUAIS, podem ou não melhorar o limite de fadiga;
❖ BANDEAMENTO DA ESTRUTURA CRISTALINA;
❖ ENDURECIMENTO SUPERFICIAL;
❖ CORROSÃO;
❖ REVESTIMENTO ELETROLÍTICO;
❖ FREQUÊNCIA CÍCLICA, ruim com temperatura;
❖ PULVERIZAÇÃO METÁLICA;
Daí, tem-se que
Se = 𝟎, 𝟖𝟖𝟑 𝟎, 𝟗 𝟏 𝟏 (𝟏)(𝟏)(𝟎, 𝟓𝒙𝟒𝟔𝟗) = 186,35 MPaLogo,
Cálculo do diâmetro (D5) no ponto I, no ressalto. Primeira estimativa utilizando o critério de falha por 
fadiga DE-Goodman Modificado. Assumindo: Mm = Ta = 0; Ma = 415,63 N.m, Tm = 366,22 N.m; Kf = 1,7, Kfs = 1,5; 
n=1,5; Sut = 469 MPa e Se = 186,35 Mpa.
0
0
d = D5 = 0,4188 m = 41,88 mm
Cuidado com as unidades: Se e Sut devem ser 
convertidas para N/m2. 
Ex.: 469 MPa = 469 x 106 N/m2
Obs.:
CURVAS DE FALHAS POR FADIGA – critérios de escoamento
❖ Os cinco critérios de falhas mais utilizados em projeto: Soderberg, Goodman 
modificado, Gerber, ASME-elíptico e Langer escoamento. 
141
Materiais dúcteis
▪ teoria da máxima tensão cisalhante – critério de Tresca;
▪ teoria da máxima energia de distorção -
critério de Von Mises
Materiais frágeis: 1) teoria da máxima tensão normal – critério de Rankine, 2) teoria de Coulomb-Mohr, e 3) Teoria 
modificada de Mohr
REVISANDO CRITÉRIOS DE FALHAS
𝞽𝑚á𝑥 =
𝞼1 − 𝞼3
2
𝞼’ e chamada de tensão efetiva de Von Mises, em 
homenagem a esse estudioso da mecânica dos 
sólidos
𝞼’ ≥ LE, nessa condição ocorreria escoamento
Para tensão plana: 
Utilizando todas as tensões do tensor tridimensional: 
Com todas tensões do tensor bidimensional: 
142
TENSÕES EM EIXOS
As tensões flutuantes devido à flexão e torção 
em um eixo são dadas por:
Onde, Mm e Ma são os momentos fletores médio e 
alternante, Tm e Ta são os torques médio e alternante 
e Kf e Kfs são os concentradores de tensão de fadiga 
para flexão e torção. J=momento polar de inércia.
Substituindo os momentos de inércia e os momentos 
polar de inércia nas equações, assumindo secção 
transversal circular para esses eixos sólidos, tem-se: 
Usando a teoria da máxima energia de distorçãose tem as tensões de Von Mises para eixos rotativos, circulares sólidos, 
desprezando as cargas axiais (desconsiderar uma das componentes, y=0. Tensão axial é zero).
CURVAS DE FALHAS POR FADIGA 
Por exemplo, o critério de falha por fadiga para a linha de Goodman Modificado, como 
expresso previamente, é:
Substituindo 𝞼’a e 𝞼’m das equações anteriores, resulta em:
Agora em função do diâmetro do eixo, tem-se:
Aços e ligas de Al submetidos à flexão 
reversa ou cargas axiais
✓ Selecione um diâmetro de tamanho redondo, cheio, no caso D5 = 42 mm. (Vamos comprovar se o Kt e Kf
usado na primeira interação estão corretos para D5 encontrado)
✓ Uma proporção razoável para este ressalto seria D4/D5 = 1,2, assim D4 = 1,2 x 42 mm = 50,4 mm. Use D4 = 50 
mm e verifique a razoabilidade desta estimativa.
D4/D5 = 50/42 = 1,19
✓ Assuma o raio do filete r = D5/10 ~ 4mm r/D5 = 0,1
Kt = 1,6 (fig. A-13-9) do Shigley
q = 0,82 (fig. 6.20) do Shigley
p/ Sut = 469 Mpa ou 0,469 Gpa)
Como,
Kf = 1 + 0,82 (1,6 – 1) = 1,49 
Kf = 1,49 
✓ Selecione um diâmetro de tamanho redondo, cheio, no caso D5 = 42 mm.
✓ Uma proporção razoável para este ressalto seria D4/D5 = 1,2, assim D4 = 1,2 x 42 mm = 50,4 mm. Use D4 = 50 
mm e verifique a razoabilidade desta estimativa.
D4/D5 = 50/42 = 1,19
✓ Assuma o raio do filete r = D5/10 ~ 4mm r/D5 = 0,1
Kts = 1,35 (fig. A-13-8) do Shigley
qs = 0,95 (fig. 6.21) do Shigley
Como,
Kfs = 1 + 0,95 (1,35 – 1) = 1,33
Sensitividade ao entalhe para materiais 
em torção reversa
Kfs = 1,33
✓ Continuando como os outros fatores modificadores de Marin, tem-se: 
ka = 0,883 (continua o mesmo)
𝒌𝒃 = (
𝟒𝟐
𝟕, 𝟔𝟐
)−𝟎,𝟏𝟎𝟕 = 𝟎, 𝟖𝟑𝟑
kc = kd = ke = kf = 1 (Veja nos slides anteriores a explicação de cada um deles) 
Como,
Se = 𝟎, 𝟖𝟖𝟑 𝟎, 𝟖𝟑 𝟏 𝟏 (𝟏)(𝟏)(𝟎, 𝟓𝒙𝟒𝟔𝟗) = 171,86 MPa
✓ Atualizando as NOVAS tensões de Von Mises, tem-se:
0
0
𝞼𝒂
′ =
𝟑𝟐𝒙𝟏, 𝟒𝟗𝒙𝟒𝟏𝟓, 𝟔𝟑
𝞹𝒙𝟎, 𝟎𝟒𝟐𝟑
= 𝟖𝟓, 𝟏𝟒 𝑴𝑷𝒂
𝞼𝒎
′ = 𝟑
𝟏𝟔𝒙𝟏, 𝟑𝟑𝒙𝟑𝟔𝟔, 𝟐𝟐
𝞹𝒙𝟎, 𝟎𝟒𝟐𝟑
= 𝟓𝟕, 𝟗𝟗 𝑴𝑷𝒂
✓ Substituindo na curva de Goodman Modificado, tem-se:
𝑛 = 1,61
1
𝑛
=
𝞼𝑎
′
𝑆𝑒
+
𝞼𝑚
′
𝑆𝑢𝑡
=
85,14
171,86
+
57,99
469
= 0,62
Da tabela A-20, do Shigley: aço 1020 laminado a frio, LE=390 MPa.
✓ Teste o escoamento do eixo por:
𝑛𝑦 =
𝑆𝑦
(𝞼𝑎
′ + 𝞼𝑚
′ )
=
390
(85,14 + 57,99)
= 2,72
(passou no teste: fator de segurança mínimo de 1,5) 
Aços e ligas de Al submetidos à flexão 
reversa ou cargas axiais
✓ O rasgo de chaveta é outro ponto crítico, por isso o ponto J, no meio da chaveta, será verificado. O momento 
fletor total no ponto J é de M = 485,47 N.m.
Estimativas para Kt e Kts em rasgos de chavetas – Tabela 7-1, 
Shigley.
✓ Assuma que o raio no fundo da ranhura da chaveta
Seja padronizado r/d=0,02. Tabela ao lado.
r = 0,02d = 0,02 x 42 mm = 0,84 mm
Kt = 2,14 (tabela ao lado) e q = 0,65 (figura abaixo, direita). 
Kts = 3,0 (tabela ao lado) e qs= 0,9 (figura abaixo)
Kf = 1 + 0,65 (2,14 – 1) = 1,74 
Como,
Kfs = 1 + 0,9 (3 – 1) = 2,8
✓ Atualizando as NOVAS tensões de Von Mises para o fundo da chaveta, tem-se:
0
0
𝞼𝒂
′ =
𝟑𝟐𝒙𝟏, 𝟕𝟒𝒙𝟒𝟖𝟓, 𝟒𝟕
𝞹𝒙𝟎, 𝟎𝟒𝟐𝟑
= 𝟏𝟏𝟔, 𝟏𝟒 𝑴𝑷𝒂
𝞼𝒎
′ = 𝟑
𝟏𝟔𝒙𝟐, 𝟖𝒙𝟑𝟔𝟔, 𝟐𝟐
𝞹𝒙𝟎, 𝟎𝟒𝟐𝟑
= 𝟏𝟐𝟐, 𝟎𝟗 𝑴𝑷𝒂
𝒏 = 𝟏, 𝟎𝟕
1
𝑛
=
𝞼𝑎
′
𝑆𝑒
+
𝞼𝑚
′
𝑆𝑢𝑡
=
116,14
171,86
+
122,09
469
= 0,9361
Da tabela A-18, do Shigley: aço 1020 laminado a frio, LE=390 MPa.
✓ Teste o escoamento do eixo por:
𝑛𝑦 =
𝑆𝑦
(𝞼𝑎
′ +𝞼𝑚
′ )
=
390
(116,14+122,09)
=1,64
• Reprovado no critério do fator de segurança mínimo de n=1,5;
• Aumenta-se o diâmetro desse eixo e refaz os cálculos;
• Muda-se para um material mais resistente. Nesse caso, recalcule o n da chaveta (passo 
anterior) para o novo material, mantendo o mesmo diâmetro
Aços e ligas de Al submetidos à flexão 
reversa ou cargas axiais
✓ Sulco para o anel de retenção é outro ponto crítico, por isso o ponto K será verificado. O momento fletor total 
no ponto K é de M = 323,65 N.m, já o torque é zero, T=0. (Não existe torque no sulco)
✓ Medidas para sulcos de anel de retenção em diâmetro de 42 mm: 
largura, a = 1,73 mm, profundidade, t = 1,22 mm, e raio de canto no 
fundo do sulco, r = 0,25 mm. 
✓ a/t = 1,73/1,22 = 1,42 r/t = 0,25/1,22 = 0,205
Kt = 4,3 (figura ao lado) e q = 0,5 (figura abaixo, direita). 
Kf = 1 + 0,5 (4,3 – 1) = 2,65 
Como,
Figura A.15.16, do ShigleyFigura A.15.17, do Shigley
Não temos Kfs
porque o torque é 
zero. Os gráficos 
estão aí embaixo. 
✓ Atualizando as NOVAS tensões de Von Mises para o sulco do anel de retenção, tem-se:
0
0
𝞼𝒂
′ =
𝟑𝟐𝒙𝟐, 𝟔𝟓𝒙𝟑𝟐𝟑, 𝟔𝟓
𝞹𝒙𝟎, 𝟎𝟒𝟐𝟑
= 𝟏𝟏𝟕, 𝟗𝟏 𝑴𝑷𝒂
𝞼𝒎
′ = 𝟎
𝒏 = 𝟏, 𝟒𝟔
1
𝑛
=
𝞼𝑎
′
𝑆𝑒
+
𝞼𝑚
′
𝑆𝑢𝑡
=
117,91
171,86
+
0
469
= 0,686
Da tabela A-18, do Shigley: aço 1020 laminado a frio, LE=390 MPa.
𝑛𝑦 =
𝑆𝑦
(𝞼𝑎
′ + 𝞼𝑚
′ )
=
390
(117,91 + 0)
= 3,30
0
✓ Teste o escoamento do eixo por:
(aceitaremos este valor pelo fato do critério 
Goodman Modificado ser muito conservador).
Aços e ligas de Al submetidos à flexão 
reversa ou cargas axiais
✓ Ressalto do mancal de rolamento é outro ponto crítico. Somente flexão está presente, e o momento é muito 
pequeno, no entanto, o diâmetro por ser baixo e a concentração de tensão muito alta para um filete pontudo 
requerido para um mancal de rolamento.
q = 0,6 (figura abaixo, direita). 
Kf = 1 + 0,6 (2,7 – 1) = 2,02 
Como,
✓ Do diagrama, no ressalto do mancal de rolamento,
Ma = 233,54 N.m e Mm = Tm = Ta = 0. (torque no local 
do mancal de rolamento não existe).
Estimativas para Kt e Kts em rasgos de chavetas – Tabela 7-1, Shigley.
✓ Estime Kt = 2,7 e r/d=0,02 (tabela ao lado), d = 25 
mm (já vi no catálogo de rolamentos), portanto:
r = 0,02d = 0,02 x 25 mm = 0,5 mm
✓ Atualizando as NOVAS tensões de Von Mises para o ressalto do mancal de rolamento, tem-se:
0
0
𝞼𝒂
′ =
𝟑𝟐𝒙𝟐, 𝟎𝟐𝒙𝟐𝟑𝟑, 𝟓𝟒
𝞹𝒙𝟎, 𝟎𝟐𝟓𝟑
= 𝟑𝟎𝟕, 𝟓𝟑 𝑴𝑷𝒂
𝞼𝒎
′ = 𝟎
𝒏 = 𝟎, 𝟓𝟔
1
𝑛
=
𝞼𝑎
′
𝑆𝑒
+
𝞼𝑚
′
𝑆𝑢𝑡
=
307,53
171,86
+
0
469
= 1,79
Da tabela A-18, do Shigley: aço 1020 laminado a frio, LE=390 MPa. 
𝑛𝑦 =
𝑆𝑦
(𝞼𝑎
′ + 𝞼𝑚
′ )
=
390
(307,53 + 0)
= 1,27
0
✓ Teste o escoamento do eixo por:
(MAIS UM PONTO REPROVADO)
(MAIS UM PONTO REPROVADO)
✓ O Aço especificado para o eixo, AISI 1020 laminado a frio, com Sut = 469 MPa FOI APROVADO para este
projeto.
✓ Possíveis soluções:
?
?
CONCLUSÃO DESSE PROJETO
✓ Diâmetros especificados:
D1 = D7 = 25 mm
D2 = D6 = 35 mm
D3 = D5 = 42 mm
D4 = 50 mm
NÃO VALIDADO PARA O AÇO AISI 1020 
DIMENSIONAMENTO DE CHAVETAS
- Detalhamentos -
❖ Chavetas são elementos mecânicos que permitem a transmissão do movimento de 
um eixo para cubos como os de engrenagens e polias. São geralmente feitas de aço 
com formas que variam de acordo com as características de trabalho e tipos de 
esforços.
❖ Ela é instalada em um sulco axial usinado no eixo, chamado de assento.
❖ A fabricação do rasgo de chavetas é feita com a utilização de máquinas de fresa que 
retiram material do eixo.
CHAVETAS
TIPOS DE CHAVETAS
de disco, Woodruff ou 
corredor de trenó
Tamanho da chaveta em função do diâmetro 
do eixo
MATERIAIS USADOS EM CHAVETAS
272
37254
39,5
ANÁLISE DE TENSÃO PARA DETERMINAR O COMPRIMENTO DE CHAVETA
Há dois modos básicos de falha em chavetas que transmitem potência: (1) por cisalhamento na 
interface eixo/cubo, e (2) por compressão causada pelas reações na face de contato entra a 
chaveta e o eixo ou cubo.
✓ A magnitude da força 
de cisalhamento é dada 
por:
𝑭 =
𝑻 (𝒕𝒐𝒓𝒒𝒖𝒆)
𝑫/𝟐
✓ A tensão de 
cisalhamento é,
𝞽 =
𝑭
𝑨𝒔
=
𝑻
(𝑫/𝟐)(𝑾𝑳)
=
𝟐𝑻
𝑫𝑾𝑳
✓ Em projetos, a tensão de cisalhamento 
pode ser igual à tensão máxima predita 
pela teoria de falha por cisalhamento:
𝞽𝒅 = 𝟎, 𝟓𝑺𝒚/𝒏
Comprimento mínimo de 
chaveta exigido para 
cisalhamento 
Então, o comprimento exigido 
para a chaveta é𝑳𝒎𝒊𝒏 =
𝟐𝑻
𝞽𝒅(𝑫𝑾)
ANÁLISE DE TENSÃO PARA DETERMINAR O COMPRIMENTO DE CHAVETA
✓ A área em compressão 
é igual para qualquer 
uma dessas zonas, 
Lx(H/2). Assim, a falha 
ocorre na superfície 
com a menor tensão de 
escoamento à 
compressão.
✓ Logo, a tensão de compressão é
𝞼 =
𝑭
𝑨𝒄
=
𝑻
(𝑳)(
𝑯
𝟐
)(
𝑫
𝟐
)
=
𝟒𝑻
𝑫𝑳𝑯
✓ Seja definida uma tensão de 
projeto para compressão como
𝞼𝒅 = 𝑺𝒚/𝒏
Comprimento mínimo de 
chaveta exigido para 
compressão 
Então, o comprimento exigido 
para a chaveta é
𝑳𝒎𝒊𝒏 =
𝟒𝑻
𝞼𝒅(𝑫𝑯)
D = diâmetro do eixo 
ESPECIFICAÇÃO DE MANCAIS DE ROLAMENTOS
- Detalhamentos -
MANCAL DE ELEMENTOS ROLANTES 
❖ Os rolos são conhecidos desde tempos ancestrais como meio de mover objetos pesados, e há 
evidências do uso de mancais de esferas no século I a.C. No entanto, foi no século 20 que 
materiais melhores e tecnologia de manufatura permitiram que fossem feitos mancais precisos 
de elementos rolantes.
❖ A necessidade de mancais para velocidades mais altas, com resistência a temperaturas mais 
elevadas e baixo atrito foi engendrada pelo desenvolvimento de turbinas a gás para aviões.
❖ Esforços consideráveis de pesquisa desde a segunda guerra mundial resultaram em mancais 
de elementos rolantes de alta qualidade e alta precisão disponíveis a preços bastante 
razoáveis.
❖ É interessante observar que, desde os primeiro projetos de mancais ao redor de 1900, 
mancais de esferas e rolos foram padronizados mundialmente em tamanhos métricos.
❖ É possível remover um mancal de rolamentos de uma roda de um automóvel antigo feito em 
qualquer país nos anos 1920, por exemplo, e encontrar um substituto que caiba buscando nos 
catálogos atuais dos fabricantes de mancais. O novo mancal será muito melhor que o original 
em termos de projeto, qualidade e confiabilidade, mas ele terá as mesmas dimensões externas.
❖ Materiais: a maioria dos mancais modernos de esferas é feita de aço AISI 5210 e endurecida a 
um alto grau, inteiramente ou somente na superfície. Essa liga é endurecível completamente a 
HRC 61-65. Mancais de rolos são frequentemente feitos de ligas de aços endurecíveis AISI 
3310, 4620 e 8620.
MANCAL DE ROLAMENTO 
DEFINIÇÃO:
Mancais são elementos que servem de apoio para eixos girantes, deslizantes ou 
oscilantes e que suportam os esforços por eles transmitidos. Podem ser subdivididos 
em: mancais de deslizamento, de rolamentos.
MANCAIS DE ROLAMENTOS:
Em geral, consistem de elementos rolantes como esferas, agulhas ou cilindros 
confinados entre dois anéis concêntricos. São mancais de atrito menor devido à 
redução do escorregamento. 
TIPOS DE ELEMENTOS ROLANTES
TIPOS DE ESFORÇOS
REPRESENTAÇÃO
CATÁLOGOS – Ex.: NSK
TIPOS E CARACTERÍSTICAS DOS ROLAMENTOS
SELEÇÃO DO ROLAMENTO
𝑅𝐴 = 1570,51
2 + 505,512 =
𝟏𝟔𝟒𝟗, 𝟖𝟔 𝑵
𝑅𝐵 = 3199,49
2 + 7894,492 =
8518,20 N 
D1 = D7 = 25 mm
D2 = D6 = 35 mm
D3 = D5 = 42 mm
D4 = 50 mmCapacidade de carga básica estática, Cor
Capacidade de carga básica dinâmica, Cr
BIBLIOGRAFIA UTILIZADA NA SEGUNDA UNIDADE
173
FIM DA SEGUNDA 
UNIDADE