Matemática - 8º Ano - Caderno 03

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ano
8
Ensino 
Fundamental
3
caderno
matEmática
proFEssor
551814_Capa_SER_Fund2_2015_PR_MAT_8.3.indd 1 2/23/16 10:48 AM
Álgebra
 Ponto de partida, 3
Equações, sistemas de equações e inequações, 4
1. Introdução, 4
2. Equações do 1o grau com uma incógnita, 5
3. Equações do 1o grau com duas incógnitas, 14
4. Sistemas de duas equações do 1o grau com duas 
incógnitas, 18
5. Revendo as inequações e sistemas de inequações 
do 1o grau, 45
 Ponto de chegada, 62
Matemática
Luiz Roberto Dante
2133816 (PR)
1
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J
u
c
a
 M
a
rt
in
s
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lh
a
r 
Im
a
g
e
m
As operações matemáticas estão presentes em diversas 
situações do dia a dia, como na conferência do valor 
solicitado em um saque em caixa eletrônico de banco.
2
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 Ponto de partida
Sob a orientação do professor, converse com os colegas e responda 
às questões:
1. Considerando o cupom fiscal acima, determine:
 a) O valor unitário da banana. 
 b) O valor unitário da mexerica e do tomate, sabendo que o valor 
unitário do tomate é o dobro do da mexerica. 
MîDULO
çlgebra
No dia a dia, utilizamos, sem perceber, inúmeras operações 
matemáticas, em diversas situações. Neste módulo, você vai 
conhecer operações que generalizam um raciocínio, 
representando-o por meio de incógnitas e variáveis.
Mercado X
Cupom fiscal
Item Descrição Quantidade Valor unitário R$
001 Banana x 2 a 1,00
002 Mexerica x 4 b c
003 Tomate x 3 d e
Total R$ 12,00
a) a 5 0,50 reais
b) Os alunos devem fazer as seguintes relações:
 2d 5 b (I) 4b 5 c (II) 3d 5 e (III)
 c 1 e 1 1,00 5 12,00 (IV)
 Temos 4 incógnitas para 4 equações. Assim:
 (I) d 5 
bb
22
; fazendo (III) em (I), temos:
 
ee
33
 5 
bb
22
 → e 5 
bb33
22
 (V)
 Substituindo (II) e (V) na equação 4, temos:
 4b 1 bb33
22
 5 11,00 → b 5 2,00 reais
Substituindo esse valor em (I), descobrimos o valor da unidade do tomate, que é d 5 1,00 real.
3
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Equações, 
sistemas de 
equações e 
inequações
1 Introdução
Anteriormente, você já deve ter estudado equações do 1o grau com uma e duas 
incógnitas e sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas.
Vamos conhecer um pouco sobre a história dos sistemas de equações.
Na história da Matemática ocidental antiga, há poucos registros sobre 
sistemas de equações. Esse assunto, no entanto, acabou recebendo uma 
atenção maior no Oriente, principalmente na Babilônia e na China.
Os chineses, por exemplo, que tinham um gosto especial por diagramas, 
escreviam sistemas de equações representando os coeficientes com barras 
de bambu sobre um tabuleiro. Para os coeficientes positivos, utilizavam uma 
coleção de barras de bambu vermelhas e, para os coeficientes negativos, 
uma coleção de barras pretas.
Nos Nove capítulos sobre a arte matemática (250 a.C.), o mais influente 
texto chinês de Matemática, há registros de resolução de sistemas de equações.
M
a
u
ro
 S
o
u
za
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Equações do 1o grau com uma incógnita, sistemas de equações do 1o grau com 
duas incógnitas e inequações são os assuntos que você vai estudar neste módulo. 
Você vai retomar e aprofundar seus conhecimentos sobre eles, aplicando -os na reso-
lução de problemas.
Ilustração artística dando a ideia de como poderia ter sido a representação dos coeficientes indicada no texto.
4
 Objetivos:
• Retomar as equações do 1
o 
grau com uma e com duas 
incógnitas e ampliar os 
estudos para equações 
literais e novos métodos de 
resolução.
• Resolver situações-problema 
usando equações e sistemas 
de equações.
• Rever inequações e 
sistemas de inequações do 
1o grau.
Álgebra
SER_EF2_Matematica8_M3_C1_001_064.indd 4 2/12/16 4:01 PM
2 Equações do 1o grau 
com uma incógnita
Utilizando alguns exemplos, va-
mos recordar a resolução de equações 
do 1o grau com uma incógnita, agora no 
conjunto dos números reais.
a) Vamos resolver a equação 2(x 1 5) 5 2 2 3(2 1 3x) 1 15 no conjunto R.
2(x 1 5) 5 2 2 3(2 1 3x) 1 15
2x 1 10 5 2 2 6 2 9x 1 15
2x 1 9x 5 2 2 6 1 15 2 10
11x 5 17 2 16
11x 5 1
x 5 1
11
Assim, x 5 1
11
 é a solução da equação, em R.
b) Vamos determinar a solução real da equação 7x 2 3 5 3x 2 2.
7x 2 3 5 3x 2 2
7x 2 3x 2 3 5 22
7x 2 3x 5 22 1 3
4x 5 22 1 3
x 5 2 3
4
2 1
Portanto, x 5 3 2
4
2 é a solução ou raiz real dessa equação.
Usando para 3 o valor aproximado 1,7, temos x . 20,075 
1,7 2
4
0,3
4
0,075
2
5
2
5 2 )( .
Ressalte aos alunos que, na passagem de 
uma linha para a outra na resolução de uma 
equação, vamos encontrando uma equação 
equivalente à anterior até chegar à solução, 
que é o valor desconhecido da incógnita.
Dividimos ambos os membros por 11, o que equivale a multiplicá -los por 1
11
.
Adicionamos (23x) a ambos os membros da equação, 
que equivale a subtrair 3x em ambos os membros.
Adicionamos 3 aos dois membros da igualdade.
Multiplicamos os dois membros da igualdade por 1
4
, 
que equivale a dividir os dois membros por 4.
Lembre -se: uma 
equação é do 1o grau com uma 
incógnita (x) quando pode ser escrita 
na forma ax 5 b, com 
a e b reais e a ± 0.
Eliminamos os parênteses usando a propriedade distributiva.
Adicionamos 9x e 210 a ambos os membros.
Álgebra 5
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
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c) Vamos obter a solução real da equação 
2
2
1
5
2x x x1
4
2 1
2
2 1
8
2 1.
2
2
1
5
2x x x1
4
2 1
2
2 1
8
2 1
2
2
1
5
2
2
x x x2( 1)
8
4(2 1)
8
2 1
8
8
8
2(x 2 1) 2 4(2x 1 1) 5 2x 2 1 2 8
 2x 2 2 2 8x 2 4 5 2x 2 1 2 8
 28x 5 21 2 8 1 2 1 4
 28x 5 29 1 6
 28x 5 23 ? (21)
 8x 5 3
 x 5 3
8
Portanto, 3
8
 Ž a solução real da equação.
Reduzimos todos os termos ao mesmo denominador.
Multiplicamos todos os termos por 8, 
eliminando os denominadores.
Daqui para a frente, o procedimento Ž 
an‡logo ao da equação do item a.
Multiplicamos ambos os membros por 21.
 Para construir:
 Exerc’cios 1 a 10 (p. 6 e 7)
Exercícios 
 1. Resolva as seguintes equações do 1o grau com uma incógnita em R:
 a ) 3x 1 7 5 x 2 3
 b ) 4x 2 1 5 3x 1 2 
 c ) 2(x 2 1) 5 71 x 
 d ) 2(x 2 1) 2 2(x 2 2) 5 2(x 2 3) 
 e ) 3 2 (2x 2 1) 5 3(22x 2 1) 
 2. Determine a solução real de cada uma das equações:
 a ) 
y
4
1 1 5 7 2 
y
2
 b ) 2 1 2 5 2 1x x x x2
4
3
2
1
3 6
 c ) 
2
2
1
52
1x x x2( 1)
3
3( 1)
2
( 2)
6
x 525
x 5 3
x 5 9
x 5 1
x 1 3
4
5 2
y 5 8 20
3
ou 6 2
3
5x x 5 11
4
2
çlgebra6
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 3. Para qual valor real de y a expressão 1
1y y
2
2( 1)
3
 é igual a 23?
 4. Em uma sala retangular, o comprimento é 3 metros maior do que a largura. Sabendo que seu perímetro é de 26 metros, quanto 
medem a largura e o comprimento dessa sala?
 5. Na classe de Fábio, 1
3
 dos alunos pratica esportes, 1
6
 dos alunos cuida das festividades e os 15 alunos restantes cuidam da 
biblioteca. Qual é o total de alunos dessa classe?
 6. Em um dia, Rosângela gastou 20% do seu dinheiro em uma loja, 30% no supermercado e 10% na farmácia. Ainda ficou com 
R$ 24,00. Quanto Rosângela possuía inicialmente?
7. Um número acrescido de 30% do seu valor dá como resultado 195. Qual é o número? 
 8. A área de uma região triangular é igual a 12 cm2. Sabendo que a medida da altura é de 3 cm, qual é a medida da base dessa região 
triangular? 
 9. Calcule as medidas de EPFˆ e .EPHˆ
 10. Avaliação de resultados
Na resolução da atividade anterior, Renata chegou a esses valores: 40º e 80º. Converse com os colegas sobre como ela poderia 
perceber que a resposta estava incorreta.
2
2( 1)
3
31
1
52
y y
 ⇒ 3y 1 4(y 1 1) 5 218 ⇒ 3y 1 4y 1 4 5 218 ⇒ 7y 5 222 ⇒ y 5 2 22
7
Largura: 5 m; comprimento: 8 m (largura: x; comprimento: x 1 3; 2x 1 2(x 1 3) 5 26 ⇒ x 5 5; 5 1 3 5 8).
Total: x
3 6
1
x x 1 15 5 x ⇒ 2x 1 x 1 90 5 6x ⇒ 3x 5 90 ⇒ x 5 30
Na classe há 30 alunos.
Possuía: x
5
3
10 10
1 1
x x x 1 24 5 x ⇒ 2x 1 3x 1 x 1 240 5 10x ⇒ 4x 5 240 ⇒ x 5 60
Rosângela possuía inicialmente R$ 60,00.
x 1 0,30x 5 195
ou
x 1 
3
10
x
 5 195 ⇒ 10x 1 3x 5 1 950 ⇒ 13x 5 1 950 ⇒ x 5 150
O número é 150.
3
2
12 8= ⇒ =
x
x
A medida da base é 8 cm.
2x 2 70º
E
P HF
x
2
2
x 1 (2x 2 70) 5 180 ⇒ x 1 4x 2 140 5 360 ⇒ 5x 5 500 ⇒ x 5 100
Logo:
:µEPF 5
2
100º
2
x
 5 50º
µEPH : 2x 2 70º 5 2 ? 100º 2 70º 5 130º
P H
E
F
2x 2 70º
x
2
Resposta pessoal. Por exemplo: os dois ângulos não podem ser ambos 
agudos; ou que 40º 1 1 80º não resulta 180º.
Álgebra 7
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
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Equações literais do 1o grau com incógnita x
As equa•›es:
2bx 5 8 ax 1 3a 5 bx mx 1 n 5 p
cont•m outras letras alŽm da inc—gnita x. Tais letras representam nœmeros reais co-
nhecidos que s‹o chamados de constantes, coeficientes ou par‰metros. A essas equa-
•›es damos o nome de equações literais do 1o grau com incógnita x.
Resolução de uma equação literal
Vejamos alguns exemplos de resolu•‹o desse tipo de equa•‹o.
 a ) Vamos resolver a equa•‹o literal 3x 1 2m 5 x 1 6m, sendo x a inc—gnita.
 3x 1 2m 5 x 1 6m
 3x 2 x 5 6m 2 2m
 2x 5 4m
 x 5 m4
2
 5 2m
Portanto, x 5 2m Ž a solu•‹o da equa•‹o.
 b ) Vamos resolver a equa•‹o literal 2ax 2 4(ax 1 b) 5 3b 1 x, sendo x a inc—gnita.
 2ax 2 4 (ax 1 b) 5 3b 1 x
 2ax 2 4ax 2 4b 5 3b 1 x
 2ax 2 4ax 2 x 5 3b 1 4b
 22ax 2 x 5 7b 
 2x(2a 1 1) 5 7b ? (21)
 x(2a 1 1) 5 27b
 x 5 2
1
b
a
7
2 1
, para 2a 1 1 Þ 0, ou seja, para a Þ 2 1
2
, pois n‹o há 
divis‹o por zero.
 Portanto, x 5 
2
1
b
a
7
2 1
 a � 2 1
2( ) Ž a solu•‹o da equa•‹o.
 c ) Vamos resolver a equa•‹o literal x
m
 2 n 5 m 2 x
n
 (m Þ 0; n Þ 0), sendo x a 
inc—gnita.
2 5 2
x
m
n m x
n
2 5 2
nx
mn
mn
mn
m n
mn
mx
mn
2 2
nx 2 mn2 5 m2n 2 mx
nx 1 mx 5 m2n 1 mn2
(n 1 m)x 5 m2n 1 mn2
 5 1
1
5
1
1
5x m n mn
n m
mn m n
n m
mn
( )
( )
,
2 2
 para n 1 m Þ 0
 Portanto x 5 mn Ž a solu•‹o da equa•‹o, para m Þ 0, n Þ 0 e n 1 m Þ 0.
Álgebra8
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Exercícios 
 11. Resolva as seguintes equa•›es literais sendo x a inc—gnita:
 a ) ax 2 2x 5 a 1 2 b ) ax 5 3 1 bx c ) x 2 a 5 x
a
(a ? 0)
 12. Resolva as equa•›es literais, sendo x a inc—gnita:
 a ) 5 2x
a ab
x
b
1 (a Þ 0; b Þ 0)
 b ) 
2
5 2
1
x
a b
x
a b
2 (a ? b; a ? 2b)
 c ) 5 1 2ax
b b
bx
a
1 1 (a ? 0; b ? 0)
 Para construir:
 Exerc’cios 11 a 16 (p. 9 e 10)
ax 2 2x 5 a 1 2 ⇒
⇒ x(a 2 2) 5 a 1 2 ⇒ 
⇒ x 5 
2
2
1
2
a
a
, a Þ 2
ax 5 3 1 bx ⇒ ax 2 bx 5 3 ⇒
⇒ x(a 2 b) 5 3 ⇒ 
⇒ x 5 3
2a b
, a Þ b
x 2 a 5 x
a
 ⇒ xa 2 a2 5 x ⇒
⇒ xa 2 x 5 a2 ⇒ x(a 2 1) 5 a2 ⇒ 
⇒ x 5 
1
2
2
a
a
, a Þ 1
1
5 2
x
a ab
x
b
 (a Þ 0, b Þ 0)
1 1 1 1
1 5 1 5( )⇒ ⇒x
a
x
b ab
x
a b ab
1
1 1
1
1 ,5
1
5
1
5
1
⇒ ≠ −x ab
a b
ab
b a
ab
b a
a b
2 x 2
2
5 2
1 2
1
1
5⇒ ⇒x
a b a b
x
a b
x
a b
1 1
( )( )
2
2
1
1
5
1 1 2
2 1
5⇒ 





 ⇒x a b a b x
a b a b
a b a b
2 2 2
2
2
2
, 0
2 2
2 2
2 2 2 2
2
5 5
2
5 ?
2
5
2⇒
  ⇒ ≠x aa b x a
a b
a b
a
a b
a
a
Þ
5 1
2
2 5 2
2 5 2 5
2
2
5
2
2
5
2
2 1
5
1
2
⇒ ⇒
⇒



 ⇒ ⇒
⇒
x x
x
ax
b b
bx
a
ax
b
bx
a b a
a
b
b
a b a
b a
a
b
b
a
a b
ab
a b
ba
a b
a b a b a b
a b
1 1 1 1
1 1
1 1
( )( )
1
,
2 2
çlgebra 9
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
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 13. Qual deve ser o valor de x para que 1x
m
x
n
 seja igual a 1
mn
?
 14. Qual Ž o nœmero real x que torna a express‹o a2 1 bx igual ˆ express‹o ax 2 b2 1 2ab?
 15. Resolva a equa•‹o literal: 2x 1 2a 5 20, de inc—gnita x. 
 16. Sendo x a inc—gnita, resolva a equa•‹o literal:
1
2
5
2
1
1
2
x a
a b
x a
a b
a
a b
4 2
2 2
 (a ? b; a ? 2b)
1 1 1 1
1
1
1
,
0, 0 e 0
+ = ⇒ +



 = ⇒
⇒
+


 = ⇒ = + = +
≠ ≠ + ≠
x
x
m
x
n mn
x
m n mn
n m
mn mn
x
mn
n m
mn
n m
m n m n
a2 1 bx 5 ax 2 b2 1 2ab ⇒ a2 1 b2 2 2ab 5 ax 2 bx ⇒ x(a 2 b) 5 a2 2 2ab 1 b2 ⇒ 
⇒ ( )
2
5
2
2
x
a b
a b
 5 a 2 b, a Þ b
2x 1 2a 5 20 ⇒ 2x 5 20 2 2a ⇒
⇒ x 5 20 2
2
2 a 5 10 2 a 
4 4
( )( ) ( )( )
( )( )
4
4
4 2 2
2
2
;
; ; 0
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1 2 2 2
2 2
1 2 2
1 2 2
2
=
+
+ ⇒
+
= ⇒
⇒
+
+
= ⇒
⇒ + + + + = ⇒
⇒ = ⇒ = ⇒
⇒ = ⇒ =
≠ ≠ ≠
b
x a
a b
x a
a b
a
a b
x a
a b
x a
a b
a
a
x a a b x a a b
a b a b
a
a b
ax bx a ab ax bx a ab a
bx bx a a a bx a
x
a
b
x
a
b
a b a b b
çlgebra10
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Equações fracionárias
Acompanhe a situação a seguir.
A massa de 68 gramas de mercúrio ocupa certo volume, em cm3, e a massa de 
39 gramas de vidro ocupa o triplo desse volume. Veja como calcular a densidade do 
mercúrio e a densidade do vidro sabendo que a diferença entre elas é de 11 g/cm3.
Densidade de um
material eu já estudei: é a razão entre
sua massa (em g) e seu volume
(em cm3).
Representações:
¥ Volume do mercúrio (em cm
3): x
¥ Volume do vidro (em cm
3): 3x
¥ Densidade do mercúrio (em g/cm
3): 
x
68
¥ Densidade do vidro (em g/cm
3): 
x
39
3
Equação correspondente à situação dada:
2 5
x x
68 39
3
11
Essa equação recebe o nome de equação fracionária, pois apresenta incógnita 
no denominador.
A resolução dessa equação deve ser feita da mesma maneira que a resolução de 
uma equação inteira. Apenas devemos tomar o cuidado de observar as restrições 
referentes ao problema e as restrições para não termos divisão por zero. No exemplo 
acima, a restrição é x . 0.
Vamos resolver a equação:
2 5
2 5
2 5
5
5 5
x x
x x
x
x
x
x
x
68 39
3
11
204
3
39
3
33
3
204 39 33
33 165
165
33
5
 
Reduzimos ao mesmo denominador.
Eliminamos os denominadores, multiplicando ambos os membros por 3x.
Como 5 . 0, a solução da equação é 5.
¥ Densidade do mercúrio: 
68
5
 g/cm3 5 13,6 g/cm3
¥ Densidade do vidro: 
39
15
 g/cm3 5 2,6 g/cm3
Neste estudo vamos resolver equações fracionárias que, eliminados os deno-
minadores,
ficam reduzidas a equações do 1o grau com as devidas restrições ao 
valor da incógnita. 
Alerte os alunos de que 
o mercúrio é uma 
substância tóxica.
Álgebra 11
M
A
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M
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A
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Resolução de equações fracionárias
Acompanhe mais dois exemplos:
a) Vamos calcular o valor de x da equação fracionária: 1 5
x
3
4
2 1
3
,
para x real e x Þ 0.
3
4
2 1
3
9
12
24
12
4
12
9 24 4
9 4 24
5 24
24
5
x
x
x x
x
x
x x
x x
x
x
1 5
1 5
1 5
2 5 2
5 2
5 2
Reduzimos ao mesmo denominador e depois o eliminamos, usando o princípio 
multiplicativo da igualdade.
Usamos o princípio aditivo da igualdade.
Como 2 24
5
 Þ 0, então 52x 24
5
 é a solução da equação.
b) 
2
5
1
1
1
2
x
x x
x
x3
1
3
1
9
2
2
, para x Þ 3 e x Þ 23.
1
2 1
5
2
2 1
1
1
2 1
x x
x x
x
x x
x
x x
( 3)
( 3)( 3)
3
( 3)( 3)
1
( 3)( 3)
2
 x(x 1 3) 5 x 2 3 1 x2 1 1
 x
2 1 3x 5 x 2 3 1 x2 1 1
 2 1 2 52 1x x x x3 3 12 2
 2x 5 22
 
52 52x
2
2
1
Como 21 Þ 3 e 21 Þ 23, a solução da equação é x 5 21.
Exercícios 
 17. Resolva as seguintes equações fracionárias:
 a ) 1 5
x
3 2
5
3
4
 (x ? 0) b ) 1
1
5
x
1
3
2
1
1
6
 (x ? 21)
8 4
7
5x
 x 5 213
 Para construir:
 Exercícios 17 a 25 (p. 12 a 14)
Álgebra12
SER_EF2_Matematica8_M3_C1_001_064.indd 12 2/12/16 4:01 PM
 c ) 
1
5
2
2 )(
x x
x x? ?
3
2 1
2
1
1
2
; 1
 d ) 
2
5
2
1x x
2
4
1
22
 (x ? 2; x ? 22)
 e ) 
2
5
2
1
1x x x
1
3
2
9
3
32
 (x ? 23; x ? 3)
 f ) 
2
5
2
1
x x x x
2
2
5
2
3
2
 (x ? 2; x ? 0)
 18. Determine o nœmero real x, de modo que:
 a ) seu inverso adicionado a 3 d• 3,25; b ) o triplo do seu inverso mais 4 seja igual a 31
7
. 
 19. V‹o ser repartidas igualmente 96 figurinhas em um grupo de crian•as. Se chegarem 
mais duas crian•as, a quantidade que cada uma vai receber ser‡ 
3
4
 da quantidade 
da situa•‹o inicial. Quantas crian•as h‡ no grupo? 
 20. Fa•a a verifica•‹o da situa•‹o anterior. 
 21. Um carro, com certa velocidade mŽdia, percorre os 400 km que separam TaubatŽ (SP) de Ribeir‹o Preto (SP) em x horas. Outro 
carro, com a mesma velocidade mŽdia do primeiro, percorre os 800 km de Araraquara (SP) a Bras’lia (DF) em (x 1 4) horas. 
Determine o nœmero x de horas. 
x 5 25
 x 5 0
x 5 5
x 5 1
4 1 3 3,255 1 5( )x
x
7 3 1 4 31
7
5 ? 1 5( )x
x
M
a
u
ro
 S
o
u
za
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Crian•as: ;x
x x x x
x
96
2
3
4
96 96
2
72 6
1
24
1
5 ?
1
5 5⇒ ⇒
96 ; 6 5 16 (para cada); 6 1 2 5 8 e 96 ; 8 5 12; 
3
4
 de 16 5 12
4 horas 400 800
4
5
1
( )
x x
Álgebra 13
M
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T
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M
ç
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 22. Uma torneira enche um tanque em 9 horas e outra enche o mesmo tanque em x horas. Juntas, elas enchem o tanque em 
4 horas. Descubra o nœmero x de horas que a segunda torneira demora para encher o tanque.
 23. Uma torneira enche um tanque em 3 horas. Outra torneira enche o mesmo tanque em 6 horas. Juntas, elas demorar‹o quanto 
tempo para encher o tanque?
 
 24. Uma empresa executou um trabalho em 8 dias. Outra empresa executou o mesmo trabalho em x dias. Juntas, elas executaram 
o mesmo trabalho em 4 dias. Qual Ž o valor de x? 
 25. Uma f‡brica produzia diariamente 200 pe•as. Com a admiss‹o de mais 
20 funcion‡rios, a produ•‹o di‡ria passou a ser de 240 pe•as. Quantos fun-
cion‡rios trabalhavam nessa f‡brica antes dessa admiss‹o?
1
9
1 5 5 5
1 1
4
7 1
5
h 7 h e 12min
x
x⇒
1
3
1 5 5
1
6
1 2
x
x⇒ horas
1
8
1 5 5
1 1
4
8
x
x⇒ dias
Funcion‡rios trabalhando em f‡brica.
L
e
v
e
n
t 
K
o
n
u
k
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h
u
tt
e
rs
to
ck
/G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
200
x x
x5
1
5
240
20
100⇒ funcion‡rios
3 Equações do 1o grau com duas 
incógnitas
Observe estas equa•›es:
x 1 y 5 10 x 2 y 5 3 x 5 5y 1 5 3y 5 x 1 2
Elas s‹o equações do 1o grau com duas incógnitas, pois podem ser escritas, na 
forma geral, assim:
ax 1 by 5 c, com a ± 0 e b ± 0
çlgebra14
SER_EF2_Matematica8_M3_C1_001_064.indd 14 2/12/16 4:01 PM
Esse tipo de equa•‹o 
Ž chamado do 1o grau porque, na 
forma geral, o expoente das inc—gnitas 
Ž 1 (um): x 5 x1 e y 5 y1.
Exerc’cios 
 26. Escreva, para cada item, cinco pares ordenados que sejam soluções da equação correspondente:
 a ) x 2 y 5 2
Por exemplo: (10, 8); (6, 4); (4, 2); (2, 0); (1, 21); 
2 1
2
, 1
2( ); etc.
 b ) 2x 1 y 5 12
Por exemplo: (1, 10); (2, 8); (3, 6); (6, 0); (0, 12); (21, 14); etc.
 27. Escreva cinco pares ordenados que sejam soluções de cada uma das equações:
 a ) x 1 y 5 8 (1, 7); (2, 6); (3, 5); (4, 4); (5, 3); etc.
 b ) x 1 2y 5 20 (2, 9); (4, 8); (6, 7); (8, 6); (10, 5); etc.
 c ) x 2 y 5 5 (5, 0); (6, 1); (7, 2); (3, 22); (4, 21); etc.
 d ) x
2
 1 y 5 4 (0, 4); (2, 3); (4, 2); (6, 1); (8, 0); etc. 
 e ) 5x 1 y 5 20 (4, 0); (2, 10); (0, 20); (1, 15); (3, 5); etc.
 f ) x 1 
y
3
 5 1 (1, 0); (0, 3); (21, 6); (22, 9); (23, 12); etc.
 g ) 2x 1 2y 5 10 (2, 3); (3, 2); (5, 0); (0, 5); (4, 1); etc.
 h ) y 5 x
5
 (0, 0); (5, 1); (10, 2); (15, 3); (25, 21); etc.
 28. Determine três soluções para cada uma das equações:
 a ) 2x 1 3y 5 12 (6, 0); (0, 4); (3, 2); etc. 
 b ) 3x 2 y 5 6 (2, 0); (0, 26); (3, 3); etc. 
 c ) 5x 1 6y 5 60 (12, 0); (0, 10); (6, 5); etc. 
 29. Indique apenas os pares ordenados que são soluções da equação 2x 1 3y 5 7.
 a ) X (2, 1) b ) X (5, 21) c ) X (21, 3) d ) (1, 1) e ) (3, 3) f ) X 22, 11
3( )
 30. Cálculo mental
Determine em cada item o par ordenado que é, ao mesmo tempo, solução das duas equações. Anote o resultado.
 a ) x 1 y 5 11 e x 2 y 5 5: (8, 3) 
 b ) x 1 y 5 11 e x 2 y 5 3: (7, 4) 
 c ) x 1 y 5 12 e y 5 2x: (4, 8) 
 Para construir:
 Exercícios 26 a 30 (abaixo)
Respostas pessoais. 
Por exemplo:
Por exemplo:
 a ) x 1 y 5 10 ⇒ a 5 1, b 5 1 e c 5 10
 b ) x 2 y 5 3 ⇒ a 5 1, b 5 21 e c 5 3
 c ) x 5 5y 1 5 ⇒ x 2 5y 5 5 ⇒ a 5 1, b 5 25 e c 5 5
 d ) 3y 5 x 1 2 ⇒ 2x 1 3y 5 2 ⇒ a 5 21, b 5 3 e c 5 2
Lembre-se de que as soluções de uma equação do 1o grau com 
duas incógnitas são pares ordenados. Por exemplo, a equação 
x 1 y 5 10 tem como soluções os pares ordenados (1, 9); (2, 8); 
3
2
, 17
2
;( ) (21, 11); (4, 6); etc.
çlgebra 15
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Fazendo x 5 0:
 3 ? 0 1 2y 5 10
 0 1 2y 5 10
 2y 5 10
 y 5 10
2
 y 5 5
Logo, o par ordenado (0, 5) é uma 
solução de 3x 1 2y 5 10.
Fazendo x 5 3:
 3 ? 3 1 2y 5 10
 9 1 2y 5 10
 2y 5 10 2 9
 2y 5 1
 y 5 1
2
Outra solução de 3x 1 2y 5 10 é 
o par ordenado 3, 1
2
.( )
Fazendo y 5 0:
 3x 1 2 ? 0 5 10
 3x 1 0 5 10
 3x 5 10
 x 5 10
3
O par ordenado 10
3
,0( ) é outra 
solução de 3x 1 2y 5 10.
Fazendo y 5 21:
3x 1 2 ? (21) 5 10
 3x 2 2 5 10
 3x 5 10 1 2
 3x 5 12
 x 5 12
3
 x 5 4
O par ordenado (4, 21) é mais 
uma solução de 3x 1 2y 5 10.
Exercícios 
 31. Determine três soluções para cada equação:
 a ) 7x 2 4y 5 14: Por exemplo: 
0, 7
2
2( ); (2, 0); 1, 5 142 2( ); etc. 
 b ) 1 5x
y2
3
3
4
1
6
: Por exemplo: 
20, 2
9 ;
1
4
, 0
;
1, 2
3( ) ( )( ) ; etc. 
 32. Calcule e complete
os pares ordenados.
 a ) (3, 2 ) é solução da equação 2x 1 5y 5 16. (6 1 5y 5 16 ⇒ y 5 2) 
 b ) (
1
2 , 3) é solução da equação 2x 1 5y 5 16. 
 (2x 115 5 16 ⇒ x 5 
1
2 )
 c ) ( 0 , 21) é solução da equação 3x 2 y 5 1. (3x 1 1 5 1 ⇒ x 5 0) 
 d ) (21, 24 ) é solução da equação 3x 2 y 5 1. (23 2 y 5 1 ⇒ y 5 24) 
 Para construir:
 Exercícios 31 e 32 (abaixo)
Como determinar soluções de equações 
do 1o grau com duas incógnitas
Para encontrar pares ordenados que são soluções de equações do 1o grau com 
duas incógnitas, atribuímos qualquer valor a uma das incógnitas e encontramos o valor 
da outra. Examine o exemplo.
Vamos determinar quatro pares ordenados que sejam soluções da equação 
3x 1 2y 5 10.
Álgebra16
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Exerc’cios 
 33. Determine algumas soluções no conjunto dos números reais da equação x 2 y 5 2. Represente os pares ordenados em um 
gráfico e verifique em que posição ficaram. 
x
y
(0,22) (1,21)
(2, 0) (3, 1)
(5, 3)
x 2 y 5 2
(22,24)
Possíveis pares: (2, 0); (0, 22); (3, 1); (1, 21); (5, 3); (22, 24); etc. 
Os pontos correspondentes aos pares ordenados ficaram alinhados.
Gráfico das soluções de uma equação 
do 1o grau com duas incógnitas
Vamos determinar algumas soluções da equação 3x 1 y 5 1, sendo x e y núme-
ros reais, e representar graficamente os pares ordenados obtidos em um sistema de 
eixos cartesianos.
¥ Para x 5 0, temos y 5 1 e o par ordenado (0, 1).
¥ Para x 5 1, temos y 5 22 e o par ordenado 
(1, 22).
¥ Para x 5 21, temos y 5 4 e o par ordenado 
(21, 4).
¥ Para x 5 1
3
, temos y 5 0 e o par ordenado 
1
3
,0 .( )
¥ Para x 5 22, temos y 5 7 e o par ordenado 
(22, 7).
Logo, (0, 1); (1, 22); (21, 4); 1
3
,0( ) e (22, 7) 
são algumas soluções da equação 3x 1 y 5 1.
Observe, no gráfico, que os pontos que correspondem a esses pares ordenados 
estão alinhados, ou seja, estão sobre uma mesma reta. O que ocorreu neste exemplo 
os matemáticos já provaram que ocorre com todas as equações do 1o grau com duas 
incógnitas. Como x e y são números reais, podemos escrever:
Os pontos correspondentes a todos os pares de números reais que são soluções 
de uma equação do 1o grau com duas incógnitas formam uma reta.
Observação: Como bastam dois pontos para traçar uma reta, precisamos apenas de 
duas soluções de uma equação do 1o grau com duas incógnitas para traçar a reta que 
contém todas as soluções.
x
y
21222324 10
1
2
3
4
24
23
22
21
5
2 3 4 5
(1, 22)
(21, 4)
(22, 7)
(0, 1) x
 y
6
7
8
1
3
, 0( )
3x 1 y 5 1
 Para construir:
 Exercícios 33 e 34 (p. 17 e 18)
çlgebra 17
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4 Sistemas de duas equações do 
1o grau com duas incógnitas
Veja se você conhece este problema tradicional.
“Em um quintal há galinhas e coelhos. Há 7 cabeças e 22 pernas.
Quantas são as galinhas? E os coelhos?”
Há várias maneiras de resolver esse problema. Observe o que cada aluno fez.
1o) Luís fez por tentativas:
2 galinhas e 5 coelhos → 7 cabeças (2 1 5)
2 3 2 5 4 e 5 3 4 5 20 → 4 1 20 5 24 pernas (não)
3 galinhas e 4 coelhos → 7 cabeças (3 1 4)
3 3 2 5 6 e 4 3 4 5 16 → 6 1 16 5 22 pernas (sim)
2o) Cibele construiu um quadro: 
Galinhas Coelhos Cabeças Pernas
6 1 7 16 não
5 2 7 18 não
4 3 7 20 não
3 4 7 22 SIM
V
a
le
n
ti
n
a
_
S
/S
h
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rs
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ck
/
G
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g
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/
G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
Coelho
As imagens desta 
página não estão 
representadas em 
proporção.
Galinha
Assim organizo 
as informações.
 34. Faça o que se pede nos itens a seguir.
 a ) Determine duas soluções da equação 4x 1 2y 5 12. Resposta possível: (0, 6) e (3, 0). 
 b ) Trace o gráfico das soluções no conjunto dos números reais.
 c ) O ponto (3, 0) pertence ao gráfico? Sim 
 d ) O ponto (0, 4) pertence ao gráfico? Não 
 e ) O par ordenado (1, 4) é solução da equação? Sim 
 f ) O par ordenado (217, 40) é solução da equação? Sim (4 ? (217) 1 2 ? 40 5 268 1 80 5 12) 
x
y
(0, 6)
(3, 0)
4x 1 2y 5 12
Comente com os alunos que, se nestes exercícios o conjunto numérico considerado fosse o 
dos números inteiros, os gráficos não seriam uma reta, mas pontos alinhados sem formar 
uma linha contínua.
Álgebra18
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3o) Gustavo montou um sistema de equa•›es:
Chame a aten•‹o dos alunos para o fato de 
que, neste caso, x e y s‹o nœmeros naturais, 
pois representam respectivamente a 
quantidade de galinhas e a de coelhos.
x: nœmero de galinhas
y: nœmero de coelhos
x 1 y 5 7 (S‹o 7 cabe•as, ou seja, 7 animais ao todo.)
Cada galinha tem duas pernas: 2x.
Cada coelho tem 4 pernas: 4y.
Ent‹o, 2x 1 4y 5 22 (total de pernas).
As duas equa•›es t•m de ser satisfeitas ao mesmo tempo:
x 1 y 5 7 e 2x 1 4y 5 22
ou
1 5
1 5
x y
x y
7
2 4 22
 ⇒ x 5 3 e y 5 4
C
a
s
a
 d
e
 T
ip
o
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Montei um sistema de duas 
equações do 1o grau com duas 
incógnitas (x e y).
Dependendo dos nœmeros envolvidos na situa•‹o, o procedimento de Gustavo 
Ž mais pr‡tico e mais eficiente.
Voc• vai agora recordar e aprofundar o que j‡ estudou sobre os sistemas de 
equa•›es do 1o grau com duas inc—gnitas e resolver problemas com eles.
Soluções de um sistema de duas equações 
do 1o grau com duas incógnitas
Ao equacionar o problema sobre galinhas e coelhos, Gustavo chegou a duas 
equa•›es do 1o grau com duas inc—gnitas (as mesmas para as duas equa•›es). 
Por isso, ele montou um sistema de equa•›es.
1 5
1 5
x y
x y
7
2 4 22
Solução de um sistema de duas equa•›es do 1o grau com duas inc—gnitas Ž um 
par ordenado que satisfaz, simultaneamente, as duas equações.
No sistema acima, temos:
¥ Solu•›es da equa•‹o x 1 y 5 7 → (1, 6); (2, 5); (3, 4) ; (4, 3); (5, 2); (6, 1); etc.
¥ Solu•›es da equa•‹o 2x 1 4y 5 22 → (1, 5); (3, 4) ; (5, 3); (7, 2); (9, 1); etc.
O par ordenado (3, 4) Ž a solução do sistema, pois Ž o único par ordenado que 
Ž solução, ao mesmo tempo, das duas equações.
Sistema: 
1 5
1 5
x y
x y
7
2 4 22
 Verifica•‹o: 
1 5
? 1 ? 5 1 5
3 4 7
2 3 4 4 6 16 22
Vamos considerar este mesmo sistema, mas agora com x e y nœmeros reais e 
ver, gr‡fica ou geometricamente, que a solu•‹o de um sistema de duas equa•›es do 
1o grau com duas inc—gnitas Ž o ponto de intersecção das duas retas corresponden-
tes ˆs duas equa•›es.
çlgebra 19
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Observe o gráfico a seguir, que mostra a solução do sistema 
1 5
1 5
x y
x y
7
2 4 22
:
x 1 y 5 7
x y
0 7
7 0
Pares ordenados: (0, 7); (7, 0)
2x 1 4y 5 22
x y
1 5
5 3
Pares ordenados: (1, 5); (5, 3)
10
1
2
3
4
5
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
6
7
8
(3, 4) (solu•‹o do sistema)
2x 1 4y 5 22
x 1 y 5 7
x
 y
Solu•‹o de um sistema usando c‡lculo mental
Podemos resolver alguns sistemas mentalmente. Por exemplo, para resolver 
mentalmente o sistema 
1 5
2 5
x y
x y
9
1
, basta pensar em dois números cuja soma é 9 e cuja 
diferença é 1.
São os números 5 e 4, pois 5 1 4 5 9 e 5 2 4 5 1.
Solução gráfica do sistema
Assim, a solução do sistema é 
o par ordenado (5, 4).
Álgebra20
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Exerc’cios 
 35. Determine mentalmente as solu•›es dos sistemas
para x e y nœmeros naturais e registre o par ordenado.
 a ) 
1 5
2 5
x y
x y
12
2
 (7, 5) 
 b ) 
5
1 5
x y
x y
2
12
 (8, 4) 
 c ) 
1 5
1 5
x y
x y
5
3 11
 (2, 3) 
 d ) 
5
2 52
y x
x y
3
6
 (3, 9) 
 36. Construa as duas retas e encontre graficamente a solu•‹o de cada um dos sistemas para x e y nœmeros reais.
 a ) 
1 5
2 52
x y
x y
7
2 1
 b ) 
1 5
1 52
x y
x y
2 5
2 2
 
 37. Atividade em dupla
Dos pares ordenados abaixo, sendo x e y nœmeros inteiros, qual Ž a solu•‹o do sistema 
1 52
2 5
x y
x y
2 5 14
4 3 24
?
 a ) (2, 1)
 b ) (23, 4)
 c ) X (3, 24) 
 d ) (23, 24)
Comparem com a resposta de outra dupla e vejam como foi a resolu•‹o.
 38. Crie um sistema de duas equa•›es do 1o grau com duas inc—gnitas cuja solu•‹o Ž o par ordenado (1, 2). 
 39. Arredondamentos, cálculo mental e resultado aproximado
Teresa gastou R$ 19,60 na compra de 1 metro de tecido e 1 metro de fita. O metro de tecido custa R$ 9,90 a mais do que o 
metro de fita. Fa•a arredondamentos, monte um sistema, resolva-o mentalmente e registre usando os valores aproxima-
dos obtidos. Qual dos valores abaixo Ž o pre•o de 2 metros de tecido e 3 metros de fita?
 a ) R$ 42,05 b ) R$ 39,05 c ) X R$ 44,05 d ) R$ 48,05
 Para construir:
 Exerc’cios 35 a 39 (abaixo)
x �
 y �
 7
2x
 �
 y
 �
 �
1
(0, 7)
(0, 1)
(3, 7)
(2, 5)
solu•‹o: (2, 5)
(7, 0)
 Eixo x
Eixo y
x 1 y 5 7 2x 2 y 5 21
x y x y
0 7 0 1
7 0 3 7
(2, 5)
x 1 2y 5 5 2x 1 y 5 22
x y x y
1 2 0 22
25 5 24 6
x 1 2y � 5
2
x 1
 y �
 �
2
(�4, 6)
(�5, 5)
(�3, 4)
(0, �2)
(1, 2)
 Eixo x
Eixo y
solu•‹o: (23, 4)
(23, 4)
(6 2 20 5 214 e 12 1 12 5 24)
Resposta pessoal. Por exemplo: 
3
1
1 5
2 52
x y
x y
 ou 
3 4 11
2 3 4
1 5
2 52
x y
x y
.
20
10
1 5
5 1
t f
t f
→ t 5 15 e f 5 5; 2 ? 15 1 3 ? 5 5 30 1 15 5 45
Álgebra 21
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica8_M3_C1_001_064.indd 21 2/12/16 4:01 PM
MŽtodos de resolu•‹o de um 
sistema de duas equa•›es do 
1o grau com duas inc—gnitas
Nem sempre podemos resolver mentalmente um sistema de equa•›es. Por isso, 
alŽm do mŽtodo geomŽtrico (gr‡fico), foram desenvolvidos outros mŽtodos de reso-
lu•‹o. A seguir, vamos estudar o mŽtodo da substitui•‹o, o mŽtodo da compara•‹o e 
o mŽtodo da adi•‹o, que s‹o mŽtodos algŽbricos de resolu•‹o.
MŽtodo da substitui•‹o
Considere o seguinte problema:
A soma das idades de Jana’na e Marisa Ž 
55 anos. A idade de Jana’na mais o dobro da 
idade de Marisa resulta 85 anos. Qual Ž a idade 
de cada uma?
1o) Representamos:
¥ idade de Jana’na: x
¥ idade de Marisa: y
2o) Montamos o sistema a partir das informa-
•›es do problema: 
1 5
1 5
x y
x y
55
2 85
3o) Resolvemos o sistema pelo mŽtodo da 
substitui•‹o:
A solu•‹o do sistema Ž o par ordenado (25, 30).
Logo, Jana’na tem 25 anos e Marisa tem 30 anos.
Verificando: 
¥ A soma das idades: 25 1 30 5 55 anos.
¥ A idade de Jana’na mais o dobro da idade de Marisa: 25 1 60 5 85 anos.
Jana’na
A
n
d
re
s
r/
S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
Marisa
A
ri
w
a
s
a
b
i/
S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
1a etapa
 ÒIsolamosÓ, no 1o membro, 
uma das inc—gnitas em uma 
das equa•›es. Por exemplo, o 
x na 1a equa•‹o:
x 1 y 5 55
 x 5 55 2 y
2a etapa
Na outra equa•‹o, substitu’mos x 
por (55 2 y) e determinamos o 
valor de y:
 x 1 2y 5 85
55 2 y 1 2y 5 85
 2y 1 2y 5 85 2 55
 y 5 30
3a etapa
Voltamos a x 5 55 2 y, substitu’-
mos y por 30 e determinamos o 
valor de x:
x 5 55 2 y
x 5 55 2 30
x 5 25
çlgebra22
SER_EF2_Matematica8_M3_C1_001_064.indd 22 2/12/16 4:01 PM
Examine agora mais alguns exemplos de resolu•‹o de sistemas pelo mŽtodo da 
substitui•‹o. Considere x e y nœmeros reais.
 a ) { x yx y1 52 53 4 12 5 16
A solu•‹o do sistema Ž o par ordenado (3, 22).
 b ) 
3( 1) 4( 3) 4
3 6
1
2 1 2 5
1 5
x y
x y
 Neste exemplo, Ž conveniente transformar inicialmente as equa•›es para a forma 
ax 1 by 5 c.
1a equa•‹o:
3(x 2 1) 1 4(y 2 3) 5 4
3x 2 3 1 4y 2 12 5 4
3x 1 4y 5 4 1 3 1 12
3x 1 4y 5 19
2a equa•‹o:
 1x
y
3 6
5 1
1 5
x y2
6 6
6
6
 2x 1 y 5 6
1a etapa
3x 1 4y 5 1
 3x 5 1 2 4y
 x 5 
y1 421 4
3
2a etapa
 2x 2 5y 5 16
 2 
y
2
1 4
3
 2 5y 5 16
 
2 y2 8
3
2 5y 5 16
 
2
2
y y2 8
3
15
3
 5 48
3
 2 2 8y 2 15y 5 48
 28y 2 15y 5 48 2 2
 223y 5 46 ? (21)
 23y 5 246
 y 5 246
23
 y 5 22
3a etapa
x 5
1 4y
3
2
 e y 5 22
x 5
1 4( 2)
3
2 2
x 5
1 8
3
1
x 5 9
3
x 5 3
Nesta etapa da 
resolu•‹o, Ž bom escolher 
a equa•‹o e a inc—gnita 
mais convenientes.
Agora, podemos resolver o sistema 
x y
x y
1 5
1 5
3 4 19
2 6
, 
que Ž equivalente ao primeiro.
çlgebra 23
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica8_M3_C1_001_064.indd 23 2/12/16 4:01 PM
Nesse caso, é mais conveniente começar obtendo o valor de y na segunda 
equação:
A solução do sistema é o par ordenado (1, 4).
 c ) 4 3
10
8 6
5
x y x y
x y x y
1
2
2
5
1
1
2
5
 Inicialmente, preparamos o sistema, transformando cada uma das suas equações 
em uma equação da forma ax 1 by 5 c:
 Agora, resolvemos o sistema 
x y
x y
7 120
7 120
2 1 5
2 5
, formado com as equações obtidas, 
que é equivalente ao primeiro:
A solução do sistema é o par ordenado (20, 20).
1a etapa
2x 1 y 5 6
 y 5 6 2 2x
2a etapa
3x 1 4y 5 19
3x 1 4(6 2 2x) 5 19
3x 1 24 2 8x 5 19
3x 2 8x 5 19 2 24
25x 5 25 ? (21)
5x 5 5
x 5
5
5
x 5 1
3a etapa
y 5 6 2 2x e x 5 1
y 5 6 2 2 ? 1
y 5 6 2 2
y 5 4
Converse com os alunos sobre 
por que é conveniente começar 
pelo y da segunda equação.
1a equação:
x y x y
4 3
10
1
2
2
5
x y x y3( )
12
4( )
12
120
12
1
2
2
5
 3(x 1 y) 2 4(x 2 y) 5 120
 3x 1 3y 2 4x 1 4y 5 120
 2x 1 7y 5 120
2a equação:
 
x y x y
8 6
5
1
1
2
5
x y x y3( )
24
4( )
24
120
24
1
1
2
5
 3x 1 3y 1 4x 2 4y 5 120
 7x 2 y 5 120
1a etapa
2x 1 7y 5 120
 2x 5 120 2 7y ? (21)
 x 5 7y 2 120
2a etapa
7x 2 y 5 120
7(7y 2 120) 2 y 5 120
49y 2 840 2 y 5 120
49y 2 y 5 120 1 840
48y 5 960
y 5 960
48
y 5 20
3a etapa
x 5 7y 2 120 e y 5 20
x 5 7 ? 20 2 120
x 5 140 2 120
x 5 20
Álgebra24
SER_EF2_Matematica8_M3_C1_001_064.indd 24 2/12/16 4:01 PM
Exerc’cios 
 40. Carlos estava resolvendo um sistema pelo mŽtodo da substituiç‹o quando interrompeu seu trabalho. Ajude -o a retomar seu 
estudo e a encontrar a soluç‹o desse sistema. 
3x 2 2(10 2 2x) 5 1
→1 5x y y x5 2y xy x5 2
x y
2 11 52 12 11 5x y2 12 1x y1 5x yx y1 52 12 11 5x yx y1 5 0 1→0 10 1→ y x0 10 1y x5 2y xy x5 20 10 15 2y xy x5 20 2y x0 20 2y x5 2y xy x5 20 20 25 2y xy x5 2
3 2 12 53 2 13 2 12 5x y3 2 13 2 1x y2 5x yx y2 53 2 13 2 12 5x yx y2 5
 41. Determine a soluç‹o de cada um dos seguintes sistemas de equações pelo mŽtodo da substituiç‹o:
 a ) 
x y
x y
5 1
3 4 13
1 52
1 5
 
b ) 
x
y
x y x y
2
12
2 3
10
1 5
1
1
2
5
 
 c ) 
x y
x x y
2( 3) 15
4 6
2
3
2 1 52
5
1
1
 
 d ) 
x y
x y y
2 5 4
7 3
2 5 2
2 5 1
 
 42. Resolva os problemas a seguir:
 a ) A diferença entre
dois nœmeros reais Ž 7. Sabe -se tambŽm que a soma do dobro do primeiro com o qu‡druplo do segun-
do Ž 11. Quais s‹o esses nœmeros?
7
2 4 11
6 1
2
e 1
2
2 5
1 5
5 52



⇒
x y
x y
x y
Os nœmeros s‹o 6 1
2
 e 1
2
.2
 Para construir:
 Exerc’cios 40 a 42 (p. 25 e 26)
3x 2 20 1 4x 5 1 ⇒ 3x 1 4x 5 1 1 20 ⇒ 7x 5 21 ⇒ x 5 21
7
 ⇒ x 5 3
y 5 10 2 2x ⇒ y 5 10 2 6 ⇒ y 5 4
Logo, a soluç‹o do sistema dado Ž (3, 4).
M
a
u
ro
 S
o
u
za
/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
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P
a
u
lo
 M
a
n
zi
/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
(21, 4)
(12, 0)
(22, 25)
1
3
, 1
3
2( )
çlgebra 25
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica8_M3_C1_001_064.indd 25 2/12/16 4:02 PM
 b ) Josias comprou 5 canetas e 3 lápis e gastou R$ 21,10. Mariana comprou 3 canetas e 2 lápis e gastou R$ 12,90. Fernando 
comprou 2 canetas e 5 lápis. Quanto ele gastou? 
Lápis Canetas
N
o
o
m
H
H
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/G
lo
w
 I
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tu
d
io
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/
G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
 c ) Em uma sala de aula retangular, o perímetro é de 44 metros e a diferença entre a metade da medida do comprimento e a 
quarta parte da medida da largura é 5 metros. Determine a área dessa sala de aula. 
 d ) 
Caneta: x
Lápis: y
5 3 21,10
3 2 12,90
3,50
1 5
1 5
5



⇒
x y
x y
x e y 5 1,20
Logo:
2 ? 3,5 1 5 ? 1,20 5 7 1 6 5 13
Fernando gastou R$ 13,00.
x
y
2 2 44
2 4
5
22
2 20
1 5
2 5
1 5
2 5



⇒



⇒
x y
x y
x y
x y
 
⇒ x 5 14 e y 5 8
Área: 14 ? 8 5 112
Logo a área dessa sala é de 112 m2.
127
49
1 5
2 5



⇒
x y
x y
 x 5 88 e y 5 39
Esses números são 88 e 39.
A soma de dois 
números é 127 e a 
diferença entre eles é 49. 
Quais são esses 
números?
 Bate-papo
Converse com seus colegas sobre esta afirmação:
Quando adicionamos os membros correspondentes de duas igualdades, obtemos uma nova 
igualdade.
2 1 3 5 5
7 2 3 5 4
9 1 0 5 9
9 5 9
3 1 7 5 10
4 1 5 5 9
7 1 12 5 19
19 5 19
x 1 3 5 5
x 1 1 5 3
2x 1 4 5 8
Álgebra26
SER_EF2_Matematica8_M3_C1_001_064.indd 26 3/1/16 10:20 AM
Método da adição
Examine a seguinte situa•‹o: quando Ricardo nasceu, seu pai tinha 23 anos. Hoje, 
a soma das idades de Ricardo e de seu pai Ž 59. Qual a idade atual de cada um?
1o) Representamos:
• idade atual do pai: x
• idade atual de Ricardo: y
2o) Escrevemos o sistema 
x y
x y
59
23
1 5
2 5
3o) Vamos usar o método da adição para encontrar a solu•‹o desse sistema.
Observe:
x y
x y
x
x
59
23
2 82
82
2
1 5
2 5
5
5
x 5 41 → idade do pai
Pai segurando filho 
recŽm -nascido. Pr
o
fi
m
e
d
ia
 I
n
te
rn
a
c
io
n
a
l 
S
. 
R
. 
O
./
A
la
m
y
/O
th
e
r 
Im
a
g
e
s
Exercícios 
 43. Resolva estes sistemas pelo mŽtodo da adi•‹o.
 a ) 
x y
x y
3 2 10
5 2 22
2 5
1 5
 
 b ) a b
a b
2 7
3 9
2 1 5
2 52
 
 c ) 
a b
a b
3 5
2 3 8
1 5
2 52
 d ) 
a b
a b
2 3
6 7
2 52
1 5
 
 Para construir:
 Exerc’cios 43 a 47 (p. 27 a 29)
(4, 1)
(23, 2)
(21, 2)
1
2
,4( )
Substituindo x por 41 em uma das equa•›es do sistema, temos:
 x 1 y 5 59
 41 1 y 5 59
 y 5 59 2 41
 y 5 18 → idade de Ricardo
Portanto, Ricardo tem hoje 18 anos, e seu pai, 41 anos.
Na soma de (x 1 y) com 
(x 2 y), 1y e 2y se anulam e 
x 1 x 5 2x.
A soma de 59 com 23 Ž 82.
Como você viu no 
Bate-papo, adicionando os 
membros correspondentes 
de duas igualdades, 
obtemos uma nova 
igualdade.
Álgebra 27
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica8_M3_C1_001_064.indd 27 2/12/16 4:02 PM
 44. Transforme o sistema abaixo em um sistema equivalente mais simples e resolva -o pelo mŽtodo da adi•‹o.
x y x y
x
y
8 3
5
3
2 1
1
5
1
52 2
 
 45. O professor de Cibele retomou com a classe uma importante propriedade da igualdade:
Quando adicionamos ou subtra’mos 
valores iguais em ambos os 
membros de uma igualdade ou 
quando multiplicamos ou dividimos 
ambos os membros por um nœmero 
diferente de zero, obtemos uma nova 
igualdade.
Veja como Cibele usou essa propriedade e transformou o sistema de equa•›es abaixo em um sistema equivalente para depois 
resolv• -lo pelo mŽtodo da adi•‹o, eliminando uma das inc—gnitas.
1 5a b1 5a ba b1 5
a b2 5a ba b2 5
3 5a b3 53 5a b1 5a ba b1 53 53 51 5a ba b1 514
2 12 52 12 12 5a b2 12 1a b2 5a ba b2 52 12 12 5a ba b2 5
1 5
2 1 52
a b1 5a ba b1 5
a b
3 5a b3 53 5a b1 5a ba b1 53 53 51 5a ba b1 514
3 62 13 63 62 1a b3 63 6a b2 1a ba b2 13 63 62 1a ba b2 1 3
? (23)
 
Agora ajude Cibele. Determine a solu•‹o do sistema de equa•›es que ela criou. 
5 5 0
5 6 3
2 2 5
1 52
x y
x y
→ (3, 23)
Multipliquei os dois membros da 
segunda equa•‹o por 23, 
obtendo uma equa•‹o 
equivalente.
Com isso, em uma equa•‹o, ficou 
3a e, na outra, 23a.
P
a
u
lo
 M
a
n
zi
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
(3, 1)
çlgebra28
SER_EF2_Matematica8_M3_C1_001_064.indd 28 2/12/16 4:02 PM
 46. Vamos resolver este sistema de equa•›es 
x y
x y
2 5 11
3 6 3
2 5
1 5
 pelo mŽtodo da adi•‹o. 
Pense um pouco: por quanto devemos multiplicar os dois membros da primeira equa•‹o e por quanto devemos multiplicar os 
dois membros da segunda equa•‹o para obtermos 6x na primeira equa•‹o e 26x na segunda?
Veja como indicar: 
x y
x y
2 5 11 3
3 6 3 ( 2)
2 5 ?
1 5 ? 2
 ⇒ 
x y
x y
6 15 33
6 12 6
2 5
2 2 52
Adicionamos membro a membro para Òeliminar o xÓ:
x y
x y
y
6 15 33
6 12 6
27 27
2 5
2 2 52
2 5
Agora voc• termina. Determine a solu•‹o desse sistema. 
 47. Resolva os sistemas a seguir pelo mŽtodo da adi•‹o:
 a ) 
x y
x y
3 4 11
4 3 2
2 52
1 5
 c ) 
x y
x y
3 4 10
5 3 2
2 5
2 5
 e ) 7
2
13
(2 )
14
1
5 2
1 5
x y
x y
x y
 b ) 
x y
x y
2 3 5
5 6 28
1 52
2 5
 d ) 
x
y
x y
2
3
31
3
4 2
1
2
1 5
2 52
 f ) 
x y
x y x y
2( 5) 7(3 )
3 4
37
12
2 5 2
2
2
1
5
2
(3, 21)
Converse com os alunos sobre o fato de que podemos escolher 
qualquer uma das inc—gnitas na primeira parte da resolu•‹o. Por isso, 
devemos analisar qual delas Ž mais conveniente.
 (21, 2) (22, 24)
5 9 0
14
2 5
1 5{ x yx y → (9, 5)
 (2, 23)
2 3 31
2 2
1 5
2 52{ x yx y → (8, 5) 2 7 317 371 52 52{ x yx y → (22, 5)
çlgebra 29
M
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Método da comparação
Um sistema de duas equa•›es do 1o grau com duas inc—gnitas pode ser resolvi-
do pelo mŽtodo da compara•‹o. Nesse mŽtodo determinamos o valor de uma mesma 
inc—gnita em ambas as equa•›es e, depois, igualamos os resultados.
Acompanhe como resolver o sistema de equa•›es a seguir pelo mŽtodo da 
compara•‹o:
x y
x y
3 5 1
2 3 7
2 5
1 5
Determinamos o valor de x na primeira equa•‹o:
3x 2 5y 5 1 ⇒ 3x 5 1 1 5y ⇒ x
y1 5
3
5
1
 I
Determinamos o valor de x na segunda equa•‹o:
2x 1 3y 5 7 ⇒ 2x 5 7 2 3y ⇒ x 5 
y7 3
2
2
 II
Igualamos os valores de x obtidos em I e II para obter o valor de y:
 
y y1 5
3
7 3
2
1
5
2
 
y y( )2 1 5
6
3(7 3 )
6
1
5
2
 2(1 1 5y) 5 3(7 2 3y)
 2 1 10y 5 21 2 9y
 10y 1 9y 5 21 2 2
 19y 5 19
 y 5 1
Substitu’mos esse valor em x
y1 5
3
5
1
 e obtemos o valor de x:
x
1 5 1
3
1 5
3
6
3
25 1 ? 5 1 5 5 ⇒ x 5 2
Portanto, a solu•‹o do sistema 
Ž o par ordenado (2, 1).
Álgebra30
SER_EF2_Matematica8_M3_C1_001_064.indd 30 2/12/16 4:02 PM
Exercícios 
 48. Resolva os sistemas abaixo pelo mŽtodo da compara•‹o.
 a ) 
x y
x y
3 1
5 7
5 2
52 1
 b ) 
y x
x y
2 1
2 3 27
5 1
1 5
 c ) 
x y
x y
3 4 0
5 7 41
2 5
1 5
 d ) 
x y
x y
2 5 21
3 11
1 5
2 52
 49. Crie, no espa•o abaixo, um sistema de equa•›es cuja solu•‹o seja (10, 7). Compare com o do seu colega. 
 50. Resolva os sistemas de equa•›es abaixo utilizando o mŽtodo que considerar mais conveniente. Considere nœmeros reais para x e y.
 a ) x y
x
y
2
3 2
3
2
1
2 52
2 5
 c ) x y
x y
2 3 0
4 3 3
2 5
1 5 
e ) y x
x y
4(2 ) 3
4 5 2
2 5
2 5 
 b ) x y
x y
5 3
2
15
2( 3) 3( 2) 12
1 5
2 1 2 52 
 d ) x y
x y
3 1
2
5
3
15
2
3 0
2
1
2
5
2 5 
f ) 
x y
x y
1
3
3
1
4
2 7
2 5
1 5
 Para construir:
 Exerc’cios 48 a 52 (p. 31 e 32)
(2, 1)
(3, 7)
(4, 3)
(22, 5)
Resposta pessoal.
2
3 6 (3, 1)
1 5
2 5
2{ →x yx y
1
2
, 1
3( ) 3 4 85 2 4 (0, 2)1 51 5{ →x yx y
3 5 2
2 3 0
( 6, 4)
1 5
1 5
2{ →x yx y 9 2 583 0 (6, 2)1 52 5{ →x yx y 3 9
8 28
(4, 3)
2 5
1 5{ →x yx y
çlgebra 31
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A
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Resolva a situa•‹o abaixo de duas maneiras: usando uma equa•‹o com uma inc—gnita e usando um sistema de duas equa-
•›es com duas inc—gnitas.
Em um concurso, a prova era constitu’da por 80 testes. Todos os testes deveriam ser respondidos. Cada resposta certa valia 
13 pontos e cada resposta errada valia 22 pontos. Se um candidato fez 155 pontos, quantos testes ele acertou e quantos ele errou?
Com equa•‹o: acertos: x; erros: 80 2 x; 3x 2 2(80 2 x) 5 155 ⇒ x 5 63; 80 2 63 5 17.
Com sistema: acertos: x; erros: y; 80
3 2 155
1 5
2 5{x yx y ⇒ x 5 63 e y 5 17.
Desafio
 51. Determine os valores escondidos no sistema que o professor escreveu no quadro de giz:
 52. C‡lculo mental 
Lu’s estava escrevendo sistemas de equa•›es e as solu•›es correspondentes. Mas, distra’do, misturou as equa•›es. Fa•a os 
c‡lculos mentalmente e registre os quatro sistemas e suas respectivas solu•›es.
3a 1 2b 5 1
a 1 6b 5 3
5a 1 b 5 3
a 2 4b 5 0
10a 2 b 5 0
3a 2 3b 5 2
2a 1 b 5 1
5a 1 2b 5 11
Soluções:
(15 , 2); (2, 
1
2);
(1, 21); (1, 13)
 
?
(3(21) 2 a(22) 5 1 ⇒ a 5 2; b(21) 2 3(22) 5 1 ⇒ b 5 5)
3 2 1
5 3 1
2 5
2 5
x y
x y
P
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u
lo
 M
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n
zi
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
(1, 21): 1 5
1 5
2 5
1 5
1 5
2 5
1 5
2 5
       
3 2 1
2 1
; 2, 1
2
:
4 0
5 2 11
; 1
5
,2 :
5 3
10 0
; 1, 1
3
:
6 3
3 3 2
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b( ) ( )( )  
 Para aprimorar:
 Desafio (abaixo)
Uma dica: a solu•‹o desse 
sistema Ž (21, 22).
C
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a
 d
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s
/A
rq
u
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 e
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x y
x y
2 5
2 5
3 1
3 1
çlgebra32
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Classifica•‹o de sistemas de duas
equa•›es do 1o grau com duas inc—gnitas 
quanto ao nœmero de solu•›es
Vamos analisar algumas situa•›es -problema que nos levar‹o aos v‡rios tipos de 
sistemas.
1a) Ant™nio comprou tela de arame para cercar um terreno de formato retangular. 
Gastou 48 metros para cerc‡ -lo e verificou que o comprimento do terreno tinha o 
triplo da largura. Quais s‹o as dimens›es desse terreno?
 Para resolver essa situa•‹o, podemos represent‡ -la por meio de um sistema 
de duas equa•›es do 1o grau com duas inc—gnitas, considerando apenas nœ-
meros reais positivos para x e y:
y (comprimento do terreno)
x (largura do terreno)
x y
y x

2 2 48
3
1 5
5
 ⇒ 
x y
y x

24
3
1 5
5
 Esse sistema pode ser resolvido utilizando um dos mŽtodos algŽbricos ou o 
mŽtodo gr‡fico. Vamos faz• -lo das duas maneiras.
M
au
ro
 S
ou
za
/A
rq
ui
vo
 d
a 
ed
ito
ra
MŽtodo algŽbrico
Vamos usar o mŽtodo de substitui•‹o: 
x y
y x

24
3
1 5
5
Substituindo y por 3x na primeira equa•‹o, podemos obter o valor de x. 
Depois, com esse valor, obtemos y usando a segunda equa•‹o:
x 1 3x 5 24
 4x 5 24
 x 5 6
y 5 3x
y 5 3 ? 6
y 5 18
O par ordenado (6, 18) Ž, portanto, a solu•‹o do sistema 
x y
y x

24
3
.
1 5
5
çlgebra 33
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MŽtodo gr‡fico
Vamos fazer dois quadros, um para cada equação:
x 1 y 5 24
x y
12 12
10 14
y 5 3x
x y
0 0
3 9
Representando no plano cartesiano apenas as partes das retas correspon-
dentes a x e y nœmeros reais positivos, temos:
10
1
2
3
4
5
2 3 4 5
x
 y
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
(3, 9)
(12, 12)
(0, 0)
(10, 14)
(6, 18)
y 5 3x
x 1 y 5 24
O par ordenado (6, 18) Ž a solu-
ção do sistema (seu ponto Ž comum 
ˆs duas retas).
Assim, o terreno de Ant™nio tem 6 m por 18 m.
Veja que o per’metro Ž de 48 m (6 1 18 1 6 1 18 5 48) e que o comprimento mede 
o triplo da largura (18 5 3 ? 6).
Dizemos que o sistema 
x y
y x

2 2 48
3
1 5
5
 Ž poss’vel e determinado, pois tem uma 
œnica solução. As retas que representam as equações se intersectam em um 
œnico ponto, que indica a solução do sistema.
Como voc• j‡ sabe, 
o ponto de intersecção 
das retas corresponde ˆ 
solução do sistema.
çlgebra34
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2a) Vamos analisar agora o sistema 
x y
x y

5
2 2 6
1 5
1 5
, para x e y reais.
x 1 y 5 5 ⇒ x 5 5 2 y
2x 1 2y 5 6 ⇒ 2(5 2 y) 1 2y 5 6 ⇒ 10 2 2y 1 2y 5 6 ⇒ 10 5 6 (senten•a falsa)
 Quando isso ocorre, dizemos que n‹o existe solu•‹o para o sistema ou que o 
sistema Ž imposs’vel.
MŽtodo gr‡fico
x 1 y 5 5
x y
0 5
5 0
2x 1 2y 5 6
x y
0 3
3 0
 Quando o sistema Ž imposs’vel, as retas que representam as equa•›es 
s‹o distintas e paralelas (n‹o t•m ponto comum).
10
1
2
3
4
5
2
(0, 5)
(0, 3)
3 4 5
x
 y
6
6
2x 1 2y 5 6 x 1 y 5 5
(5, 0)(3, 0)
3a) Vamos resolver agora o sistema 
1 5
1 5

x y
x y
2 5
2 4 10
, para x e y reais.
1 5 ? 2
1 5
 ⇒
x y
x y
2 5 ( 2)
2 4 10
2 2 52
1 5
1 5



x y
x y
x y
2 4 10
2 4 10
0 0 0
 Note que qualquer par de nœmeros reais (x, y) satisfaz a equa•‹o 0x 1 0y 5 0. 
H‡, portanto, infinitas solu•›es.
 Nesse caso, dizemos que o sistema Ž poss’vel e indeterminado ou apenas que o 
sistema Ž indeterminado.
MŽtodo gr‡fico
x 1 2y 5 5
x y
5 0
1 2
2x 1 4y 5 10
x y
5 0
1 2
x y
x y
1 5
1 5

2 5
2 4 10
 
Equa•›es equivalentes (basta verificar que a 2a equa•‹o Ž a 1a multiplicada por 2).
 Quando o sistema Ž indeterminado, as retas que representam as equa•›es s‹o retas coincidentes.
10
1
2
3
4
2 3 4 5
x
 y
6
(5, 0)
(1, 2)
çlgebra 35
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Exerc’cios
53. Classifique cada um dos sistemas abaixo em determinado, indeterminado ou imposs’vel, para x e y nœmeros reais.
 a ) 2 5
2 5

x y
x y
2 3
3 6 9
 
 b ) 2 5
2 5

x y
x y
3 2 1
6 4 3
 
c ) 2 5
1 5

x y
x y
2 3
2 7
 
d ) 2 5
2 1 52

x y
x y
2 5
2 5
 
 54. Avalia•‹o de resultados
Ao resolver um sistema proposto pelo professor, Alex usou um processo algŽbrico e chegou ˆ solu•‹o (3, 1). Mauro usou o 
processo geomŽtrico e construiu o gr‡fico abaixo. Troquem ideias com os colegas e respondam: h‡ a possibilidade de os dois 
terem acertado? Justifique. 
N‹o. Se Alex acertou, as retas teriam que se cruzar em (3,1) e, se Mauro acertou, o sistema n‹o teria solu•‹o.
 
 Para construir:
 Exerc’cios 53 e 54 (abaixo)
Indeterminado Imposs’vel Determinado: solu•‹o (5, 1) Indeterminado 
x
 y
Problemas 
 55. Uma heran•a de R$ 50 000,00 foi deixada para dois irm‹os. No testamento, ficou estabelecido que o mais novo deveria receber 
R$ 18 000,00 a mais do que o mais velho. Qual a parte de cada um? 
Mais novo: x
Irm‹o: y
1 5
5 1



⇒
x y
x y
50000
18000
 x 5 34 000 e y 5 16 000
Ao irm‹o mais novo cabe a quantia de R$ 34 000,00 e ao irm‹o mais velho, R$ 16 000,00.
Resolu•‹o de problemas que 
envolvem sistemas de equa•›es
Voc• utilizou sistemas de equa•›es para encontrar a solu•‹o de v‡rios problemas.
Resolva mais algumas situa•›es.
Acesse o portal e veja o 
conteœdo ÒResolu•‹o de 
problemas em Matem‡ticaÓ.
 Para construir:
 Exerc’cios 55 a 70 (p. 36 a 40)
çlgebra36
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 56. Leia o que afirmaram Cibele, Mariana e Gustavo sobre compras de cadernos e canetas em uma papelaria:
Cibele
Comprei dois 
cadernos e uma 
caneta e paguei 
R$ 14,00.
Mariana
Eu 
comprei um 
caderno e duas 
canetas e paguei 
R$ 10,00.
Gustavo
Ent‹o, 
cada caderno 
custa R$ 5,00, e 
cada caneta, 
R$ 4,00.
 a ) Escreva um sistema correspondente às duas primeiras afirmações. 
 b ) Será que a afirmação de Gustavo está correta?
Não, porque 2 ? 5 1 4 5 14 e 5 1 2 ? 4 5 13 e 13 Þ 10.
 c ) Determine o preço de cada caderno e de cada caneta.
Caderno: R$ 6,00; caneta: R$ 2,00.
 57. O “peso” de Camila e de seu gato Tico, juntos, é de 32 kg. O “peso” de Camila é 7 vezes o de Tico. Qual o “peso” de cada um? 
 58. Sandra comprou um conjunto de calça e blusa. Pela calça, pagou o dobro do preço que pagou pela 
blusa. Deu em pagamento uma nota de R$ 50,00 e duas de R$ 10,00, recebendo de troco uma nota 
de R$ 5,00 e duas moedas de R$ 1,00. Quanto custou cada peça de roupa comprada por Sandra?
 59. Em um triângulo isósceles, o perímetro é de 15 centímetros. Sabe -se que um dos lados tem a metade da 
medida de cada um dos outros dois. Quanto medem os lados desse triângulo? Desenhe -o.
 60. Determine o comprimento (c) e a largura (,) de um retângulo áureo cujo perímetro é 26 centímetros. 
Tico: 4 kg; Camila: 28 kg 32
7
1 5
5{( )x yx y .
2
50 2 10 5 2 1
2
63
5
1 5 1 ? 2 2 ?
5
1 5{ {⇒c bc b c bc b
Calça: R$ 42,00; blusa: R$ 21,00.
C
ry
s
ta
lf
o
to
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
2 15
2
1 5
5



⇒
a b
a b
 a 5 6 e b 5 3
6 cm
3 cm
6 cm
6 cm, 6 cm e 3 cm.
c 5 8 cm e , 5 5 cm, aproximadamente.
2 2 26
1,6
13
1,6
8 e 5
1 5
5
1 5
5
5 5
l
l
l
l
l



⇒



⇒
c
c
c
c
c
Lembre os alunos de que, no retângulo áureo, c ; � . 1,6.
Logo, o comprimento mede 8 cm e a largura, 5 cm aproximadamente.
2 14
2 10
1 5
1 5{ x yx y
Manequim de loja
çlgebra 37
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 61. Beto fez uma prova de Matem‡tica com o seguinte sistema de avalia•‹o: em cada 
quest‹o certa, o aluno ganha 5 pontos e, em cada quest‹o errada, s‹o descontados 
3 pontos. Na prova com 10 quest›es, a pontua•‹o de Beto foi de 26 pontos.
Responda:
 a ) Quantas quest›es Beto acertou? Quantas ele errou? 
 b ) Qual foi a pontua•‹o m‡xima dessa prova? 
 c ) Qual seria a pontua•‹o de Beto se ele acertasse 5 quest›es e errasse 5? 
 62. Reginaldo criava 75 animais em sua fazenda, entre cabras e marrecos. Quando um visitante perguntava quantos animais de cada 
espŽcie ele tinha, ele respondia: ÒNa œltima contagem, havia registrado 210 pernas...Ó. Mostre como decifrar a charada de Regi-
naldo usando um sistema de equa•›es e calcule o nœmero de cabras e de marrecos que Reginaldo criava. 
 63. Cibele e Mariana gostam muito de suas cole•›es de pulseiras. Trocam, destrocam, e a cole•‹o vai sempre aumentando e se 
diversificando. Elas conversam o tempo todo sobre a cole•‹o. Veja, por exemplo, o di‡logo das duas e descubra quantas pulsei-
ras tem cada uma.
Você me dá 5 de 
suas pulseiras, 
e assim ficamos 
com a mesma 
quantidade.
Cibele
Mariana
Nada disso! Você 
me dá 5 das suas, 
assim fico com o triplo 
das que você tem!
Quest›es certas: x
Quest›es erradas: y
10
5 3 26
1 5
2 5



⇒
x y
x y
 x 5 7 e y 5 3
Logo, Beto acertou 7 quest›es e errou 3.
Acertou 7 quest›es e errou 3.
50 pontos
A pontua•‹o m‡xima ser‡ atingida quando x 5 10 e y 5 0.
Portanto, essa pontua•‹o Ž de 50 pontos.
5 ? 5 2 3 ? 5 5 25 2 15 5 10
A pontua•‹o de Beto seria 10 pontos.
10 pontos
Cabras: c
Marrecos: m
75
4 2 210
1 5
1 5

⇒
c m
c m
 c 5 30 e m 5 45
Portanto, Reginaldo criava 30 cabras e 45 marrecos.
30 cabras e 45 marrecos
M
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u
ro
 S
o
u
za
/A
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u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Cibele: x
Mariana: y
5 5
5 3 5
10
3 20
1 5 2
1 5 2
2 5 2
2 1 5 2( )

⇒

⇒
x y
y x
x y
x y
⇒ x 5 15 e y 5 25
Cibele tem 15 pulseiras e Mariana, 25.
M
a
u
ro
 S
o
u
za
/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
çlgebra38
SER_EF2_Matematica8_M3_C1_001_064.indd 38 2/12/16 4:02 PM
 64. Uma fração é equivalente a 4
6
. Diminuindo 1 no seu numerador e aumentando 2 no seu denominador, obtém -se uma nova 
fração, equivalente a 3
5
. Quais são as duas frações citadas no problema? 
 65. A soma de dois nœmeros é 1 1
4
, e a diferença entre eles é 1
4
. Quais são esses nœmeros? 
 66. No terreno retangular abaixo, o per’metro é de 78 metros, e a diferença entre as medidas do comprimento e da largura é de 
11 metros. Qual é a ‡rea desse terreno? 
Pa
ulo
 M
an
zi/A
rqu
ivo
 da
 ed
ito
ra 
x
y
 67. Em um aqu‡rio h‡ 8 peixes, entre pequenos e grandes. Se o nœmero dos peixes pequenos aumentasse mais um, eles seriam o 
dobro dos grandes. Quantos são os pequenos? E os grandes?
 68. Lu’s comprou um livro e um DVD para seu neto e pagou R$ 35,00. Roberto comprou dois 
livros e um DVD do mesmo tipo e pagou R$ 55,00. Qual o preço do DVD? E do livro?
Numerador: x
Denominador: y
4
6
1
2
3
5
6 4 0
5 3 11
5
2
1
5
2 5
2 5





⇒

⇒
x
y
x
y
x y
x y
⇒ x 5 22 e y 5 33
22 2 1 5 21
33 1 2 5 35
As frações citadas no problema são 22
33
 e 21
35
.
5
4
1
4
1 5
2 5





x y
x y
2 6
4
5x ⇒ 3
4
5x ⇒ 3
4
5
4
1 5y ⇒ 2
4
1
2
5 5y ⇒ 3
4
e 1
2
5 5x y
2 2 78
11
25 e 14
1 5
2 5
5 5



⇒
x y
x y
x y
çrea 25 ? 14 5 350 m2
In
n
a
p
h
o
to
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
8
1 2
2 2 16
2 1
5 3
+ =
+ =

⇒
+ =
− = −

⇒ =
=
p g
p g
p g
p g
p e g
No aqu‡rio existem 5 peixes pequenos e 3 peixes grandes.
Peixes em aqu‡rio
35
2 55
15 e 20
1 5
1 5
5 5



⇒
l d
l d
d l
O DVD custa R$ 15,00 e o livro, R$ 20,00.
Livro DVD
G
ri
n
ta
n
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/
G
lo
w
 I
m
a
g
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D
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c
p
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tu
re
/S
h
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tt
e
rs
to
ck
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G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
As imagens desta p‡gina não estão representadas em proporção.
çlgebra 39
M
A
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M
ç
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IC
A
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 69. Ane e Marcelo economizaram suas mesadas para comprar um presente para seu 
pai. Juntando a quantia dos dois, Ž poss’vel comprar um par de t•nis e n‹o sobra 
troco. A quantia que Ane tem ultrapassa em R$ 21,00 a quantia de Marcelo. Quan-
tos reais tem cada um? 
 70. Ronaldo foi ao banco e retirou R$ 270,00 para pagar o aluguel. Ao todo, o caixa eletr™nico lhe deu 11 cŽdulas, entre cŽdulas de 
R$ 10,00 e R$ 50,00. Quantas cŽdulas de R$ 10,00 o caixa lhe deu? O caixa poderia ter lhe dado uma cŽdula de R$ 50,00 a 
mais? Qual seria ent‹o o nœmero de cŽdulas de R$ 50,00 e de R$ 10,00?
55
21
1 5
5 1



a m
a m
 ⇒ m 5 17 e a 5 38
Marcelo: R$ 17,00
Ane: R$ 38,00 T•nis
S
é
rg
io
 D
o
tt
a
 J
r.
/A
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a
 e
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T•nis
S
é
rg
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Il
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v
e
im
a
g
e
s
/D
io
m
e
d
ia
Rapaz utilizando caixa eletr™nico. ƒ poss’vel 
fazer v‡rias transa•›es financeiras em um caixa 
eletr™nico.
No in’cio de uma reuni‹o, o nœmero de homens era 3 a menos do que o de mulheres. Duas horas depois, o nœmero de homens 
havia aumentado em 8, o de mulheres havia dobrado e a quantidade de homens e de mulheres era a mesma. Quantos homens 
e quantas mulheres havia no in’cio da reuni‹o? 
h 1 3 5 m
h 1 8 5 2m
h 5 2m 5 3
2 homens e 5 mulheres.
Desafio
 Para aprimorar:
 Desafio (abaixo)
?
10 50 270
11
10 50 270
50 50 550
7 4
7 cŽdulas de 10 reais e 4 cŽdulas de 50 reais
10 5 50 270
20
10
2
O caixa tambŽm poderia ter dado 2 cŽdulas
de 10 reais e 5 cŽdulas de 50 reais.
e
x y
x y
x y
x y
x y
x
x x
+ =
+ =

⇒
+ =
− − = −

⇒ = =
+ =
⇒ = ⇒ =
çlgebra40
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Sistemas com equa•›es fracion‡rias
Considere estas duas situações:
1a) Uma dist‰ncia de 400 quil™metros foi 
percorrida por dois carros.
Sabe -se que o primeiro carro gastou
1 hora a mais do que o segundo e que
a velocidade média do primeiro carro
corresponde a 
4
5
 da velocidade
do segundo.
Descubra a velocidade média de
cada carro.
Representações:
¥ Tempo gasto pelo primeiro carro 
(em horas): x
¥ Tempo gasto pelo segundo carro 
(em horas): y
Sistema com uma equação
fracionária: 
5 1
5 ?



x y
x y
1
400 4
5
400
2a) A soma de dois números é 60 e o produto dos dois é 675. O quociente do 5 pelo 
primeiro número mais o quociente do 9 pelo segundo número é 8
15
. Quais são 
esses números?
Representações:
¥ Primeiro número: x
¥ Segundo número: y
¥ Quociente do 5 pelo primeiro número: 
x
5
¥ Quociente do 9 pelo segundo número: 
y
9
Sistema de equações: 
1 5
1 5



x y
x y
60
5 9 8
15
, sabendo que x ? y 5 675.
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Quando pelo menos uma das equações do sistema contém incógnita no denomi-
nador, o sistema é chamado de sistema com equa•›es fracion‡rias.
çlgebra 41
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Resoluç‹o de sistemas com equações fracionárias
Veja mais exemplos de como resolver sistemas com equações fracionárias.
a) Vamos resolver este sistema: 
1 5
1
2
5



x
y
x y x
2 3 21
5
1 2
1
5
6
Devemos impor as restrições y Þ 0, x Þ 0 e y Þ 1.
Preparamos o sistema escrevendo as equações na forma ax 1 by 5 c:
 
1 5
x
y
2 3 21
5
1 5
x
y
y
y
y
y
10
5
15
5
21
5
 10x 1 15y 5 21y
 10x 1 15y 2 21y 5 0
 
10x 2 6y 5 0
 
1
2
5
x y x
1 2
1
5
6
2
2
1
2
5
2
2
( )
( ) ( )
( )
( )
y
x y
x
x y
y
x y
6 1
6 1
12
6 1
5 1
6 1
 6(y 2 1) 1 12x 5 5(y 2 1)
 6y 2 6 1 12x 5 5y 2 5
 12x 1 6y 2 5y 5 25 1 6
 
12x 1 y 5 1
Resolvemos, agora, o sistema 
2 5
1 5

x y
x y
10 6 0
12 1
, que é equivalente ao primeiro, dentro 
das restrições impostas.
2 5
1 5
2 5
1 5
5
?
 ⇒

x y
x y
x y
x y
x
10 6 0
12 1
10 6 0
72 6 6
82 6
( 6)
5x 6
82
5x 3
41
10x 2 6y 5 0
10 ? 3
41
 2 6y 5 0
30
41
 5 6y
30 5 246y
5y 30
246
5y 5
41
Como 3
41
 Þ 0, 5
41
 Þ 0 e 5
41
 Þ 1, a solução do sistema é o par ordenado 3
41
, 5
41
.( )
Aqui usamos
o método da
adição.
Álgebra42
SER_EF2_Matematica8_M3_C1_001_064.indd 42 2/12/16 4:03 PM
b) Vamos retomar o sistema da segunda situaç‹o da p‡gina 41:
1 5
1 5



x y
x y
60
5 9 8
15
, sabendo que x ? y 5 675.
Restrições: x Þ 0 e y Þ 0.
Como 15 Þ 0 e 45 Þ 0, a soluç‹o do sistema Ž o par ordenado (15, 45). Assim, os 
nœmeros procurados s‹o 15 e 45. Note que 15 1 45 5 60, 15 ? 45 5 675 e 
5
15
9
45
15
45
9
45
8
15
.1 5 1 5
c) Vamos resolver o sistema 
1 5
2 5 2



x y
x y
2 3 3
1 5 2
3
, com x Þ 0 e y Þ 0.
Nesse caso, precisamos usar um artif’cio: substituir 1
x
 por a e 1
y
 por b, recaindo, 
ent‹o, em outro sistema. Veja:
ÒPreparandoÓ a 2a equaç‹o:
1 5
x y
5 9 8
15
1 5
y
xy
x
xy
xy
xy
75
15
135
15
8
15
75y 1 135x 5 8 xy
135x 1 75y 5 8 ? 675
135x 1 75y 5 5 400 ; 15
9x 1 5y 5 360
Ficamos, ent‹o, com o sistema:
1 5
1 5

x y
x y
60
9 5 360
Vamos resolv• -lo pelo mŽtodo da substituiç‹o:
x 1 y 5 60
y 5 60 2 x
9x 1 5y 5 360
9x 1 5(60 2 x) 5 360
9x 1 300 2 5x 5 360
4x 5 60
x 5 15
y 5 60 2 x
y 5 60 2 15
y 5 45
xy 5 675
1 5
2 52



a b
a b
2 3 3
5 2
3
 ⇒ 
1 5
2 52
?
a b
a b
2 3 3
3 15 2
5
 ⇒
 
1 5
2 52
5
5

a b
a b
a
a
10 15 15
3 15 2
13 13
13
13
2a 1 3b 5 3
2 ? 1 1 3b 5 3
2 1 3b 5 3
3b 5 3 2 2
3b 5 1
5b 1
3
a 5 1
Agora, calculamos x e y:
5
x
a1 ⇒ 5
x
1 1 ⇒ x 5 1
5
y
b1 ⇒ 5
y
1 1
3
 ⇒ y 5 3
Como 1 Þ 0 e 3 Þ 0, a soluç‹o do sistema inicial Ž o par ordenado (1, 3).
çlgebra 43
M
A
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Exerc’cios 
 71. Resolva os seguintes sistemas de equações fracionárias:
 a ) 
1 5
5



x y
x
y
6
1
2
 b ) 
1 5
1
2
5



x
y
x y x
3 1 14
5
1 3
1
13
4
 c ) 2
5
2
2 5



x y
x y
2
2
10
3
3 4 11
 72. Retome e resolva o sistema que aparece na primeira situação da página 41.
 73. Determine a solução (x, y) dos sistemas, sabendo que xy 5 6.
 a ) 
2 52
1 52



x y
x y
1 1 5
4
3 2 5
2
 b ) 
1 5
1 5



x y
x y
10 9 8
4 6 4
 74. A diferença entre dois números é 2 e o quociente do segundo pelo primeiro é 3. Quais são esses números? 
(2, 4) (3,
5) (1, 22)
1
4 5 0
5 e 4;
1 carro: 400
5
80;
2 carro: 400
4
100
o
o
5 1
2 5
5 5
5
5
{ ⇒x yx y x y
Aqui, n‹o se esque•a de 
usar o artif’cio, fazendo 
1
x
a5 e 1
y
b5 .
(21, 4) (2, 3)
x y
y
x
x y
x y
x
2
3
2
3 0
2 5
5
2 5
2 5
5



⇒ { ⇒ 1 e 32 52y
21 e 23
 Para construir:
 Exercícios 71 a 74 (abaixo)
Álgebra44
SER_EF2_Matematica8_M3_C1_001_064.indd 44 2/12/16 4:03 PM
5 Revendo as inequa•›es e sistemas 
de inequa•›es do 1o grau
Você já estudou anteriormente inequa•›es e sistemas de inequa•›es.
Agora, vamos rever esses assuntos com exemplos e exercícios.
a) 3 2 2x > x 2 12, em R.
3 2 2x > x 2 12
22x 2 x > 212 2 3
23x > 215 ? (21)
3x < 15
x < 15
3
x < 5
O conjunto solução é dado por 
S 5 hx [ R tal que x < 5j.
Representação na reta numerada:
23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 x
b) 2x3 1
2
 2 x . 1x 4
3
, em R.
2x3 1
2
 2 x . 1x 4
3
2x3(3 1)
6
 2 x6
6
 . 
1x2( 4)
6
3(3x 2 1) 2 6x . 2(x 1 4)
9x 2 3 2 6x . 2x 1 8
9x 2 6x 22x . 8 1 3
x . 11
O conjunto solução é dado por 
S 5 hx [ R tal que x . 11j.
Representação na reta numerada:
1098 131211 16 171514 x
Exercícios 
 75. Resolva as inequações em R.
 a ) 5(2 2 x) > 4(2x 2 7) 2 1 
 b ) 2(x 2 3) . 5(x 1 1)
 c ) 3x 2 4(2x 1 1) . 10 2 x 1 2
 d ) 3(2 2 x) , 5x 2 (4x 1 1) 1 2 
 Para construir:
 Exercícios 75 a 82 (p. 45 a 48)
{x [ R tal que x < 3}
x x[ tal que 11
3
R ,2{ }
{x [ R tal que x , 24}
tal que 1 1
4
.[R{ }x x
Álgebra 45
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IC
A
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 e ) 4(x 1 1) 2 2(2 2 x) < 5 1 x f ) 22(x 1 1) 1 5x , 4 2 3(2x 1 1) 
 76. Resolva em � as seguintes inequa•›es:
 a ) � 2 1 1x x2
3
3 1
3
1
5
 b ) 1 . 1x x x2
4 2 4
 c ) 1 1 1 ù 1x x x2
3
3 1
4
2 1
6
 d ) 2 . 2 1x x4 3
8
1 3
2
 e ) 2
2
ø
( )x x
4
3 1
10
1
 f ) 2 < 2 1x x3 1
4
2 2 1
2
 g ) �2 2
1 1( )x x x1
2
2 2
3
3 1
6
 h ) 2x2 1
5
 2 3(4 2 x) , 212 1 1x5 1
3
{x � R tal que x < 1j
tal que 1
3
�� �{ }x x
hx � R tal que x . 21,8j
hx � R tal que x , 1j
hx � R tal que x > 21j
x x� � tal que 1
8
� 2{ }
hx � R tal que x > 214j
hx � R tal que x < 1j
hx � R tal que x . 23j
� � �{ }x xtal que 413
çlgebra46
SER_EF2_Matematica8_M3_C1_001_064.indd 46 2/12/16 4:03 PM
 77. Um comerciante teve uma despesa de R$ 230,00 na compra de algumas unidades de certa mercadoria. Ele vai vender cada 
unidade por R$ 5,00.
 a ) Quantas unidades deve vender para ter um lucro de R$ 315,00?
 b ) Quantas unidades deve vender para que seu lucro seja maior do que R$ 280,00?
 78. As medidas do triângulo abaixo são dadas em centímetros.
Sabendo -se que em todo triângulo a medida de cada lado é menor que a soma das medidas dos outros dois lados, determine:
 a ) os possíveis valores para x;
 b ) os possíveis valores para o perímetro do triân gulo.
 79. Quais são os valores possíveis para x na figura abaixo para que o seu perímetro seja maior ou igual a 40 cm?
109 unidades (5x 5 230 1 315 ⇒ x 5 109)
Mais de 102 unidades (5x 2 230 . 280 ⇒ x . 102)
x
x14
8
x , 2 cm
Perímetro menor do que 16 cm. (p , 2 1 6 1 8)
x > 2 cm
15 cm
x13
(2x 1 36 > 40 ⇒ x > 2)
çlgebra 47
M
A
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M
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 80. Uma locadora A de ve’culos de passeio cobra R$ 50,00 pela di‡ria e mais R$ 0,50 por quil™metro rodado. J‡ a locadora B cobra 
R$ 80,00 pela di‡ria e mais R$ 0,20 por quil™metro rodado. Em uma di‡ria, quantos quil™metros deve percorrer um carro para 
que seja mais vantajoso para um cliente optar pela locadora B?
 81. Duas empresas de telefonia, Fale Muito e Fale Demais, apresentam os seguintes planos mensais:
¥ Fale Muito → R$ 30,00 (por 100 minutos de utiliza•‹o) 1 R$ 0,20 por minuto excedente;
¥ Fale Demais → R$ 20,00 (por 100 minutos de utiliza•‹o) 1 R$ 0,25 por minuto excedente.
Quantos minutos deve utilizar um cliente para que seja mais vantajoso para ele optar pela operadora Fale Muito? 
 82. Em 2014, a japonesa Misao Okawa foi eleita pelo Guinness Book (Livro dos Recordes) a mulher viva mais velha do mundo, com 
116 anos. Quantos anos precisa ter uma pessoa no dia 31/12/2015 para que ela tenha nascido no sŽculo XIX? 
As express›es que fornecem o gasto de um cliente que aluga um carro durante um dia nas locadoras A e B s‹o, respectivamente, 
A(x) 5 50x 1 0,5x e B(x) 5 80 1 0,2x, em que x Ž o nœmero de quil™metros rodados. Queremos que o gasto realizado na 
locadora B seja menor que o gasto realizado na locadora A, logo:
B(x) , A(x)
80 1 0,2x , 50 1 0,5x
20,3x , 230
0,3x . 30
x . 100 km
As express›es que fornecem o gasto de um cliente que contrata um plano nas operadoras Fale Muito e Fale Demais s‹o, respectivamente, 
A(x) 5 30 1 0,20x e B(x) 5 20 1 0,25x, em que x Ž um nœmero de minutos utilizados acima de 100. Queremos que o gasto realizado na 
operadora Fale Muito seja menor que o gasto realizado na operadora Fale Demais, logo:
A(x) , B(x)
30 1 0,20x , 20 1 0,25x
20,05x , 210
0,05x . 10
x . 200 minutos excedentes.
Assim, o cliente dever‡ utilizar mais de 100 (minutos regulares) e 200 (minutos excedentes), ent‹o mais de 300 minutos.
Pelo menos 115 anos. (x 1 1 900 > 2 015 ⇒ x > 115 anos)
Misao Okawa, oficialmente a pessoa mais velha do mundo 
em 2014, com 116 anos. Foto de 2014.
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Álgebra48
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Sistemas de inequações
Veja alguns exemplos de resolu•‹o de sistemas de inequa•›es.
a) Vamos resolver o sistema 
.2
2 1 >

x
x
3 4 0
5 0
, para x [ R.
A solu•‹o do sistema ser‡ dada pela intersec•‹o das solu•›es das duas inequa•›es, 
ou seja, pelos nœmeros reais que satisfazem as duas inequa•›es ao mesmo tempo.
Solu•›es da 1a inequa•‹o (S
1
) → 3x 2 4 . 0 ⇒ 3x . 4 ⇒ x . 4
3
Portanto, S
1
 5 .{ }x x[R tal que 43 .
Solu•›es da 2a inequa•‹o (S
2
) → 2x 1 5 > 0 ⇒ 2x > 25 ? (21) ⇒ x < 5
Portanto, S
2
 5 hx [ R tal que x < 5j.
A intersec•‹o de S
1
 e S
2
 Ž dada por S:
4
3
5
S
1 x
5
S
2 x
4
3
5
S
x
S 5 tal que 4
3
e 5[ . <�{ }x x x ou, escrevendo de outra maneira: 
S 5 [ , <� { }x xtal que 43 5
b) Vamos resolver o sistema 23 < x 1 2 < 5 para x [ R.
Essas desigualdades simult‰neas constituem uma outra maneira de escrever o 
sistema:
2 3
2 5
1 •2
1 <{xx
x 1 2 > 23 ⇒ x > 25 → S
1
 5 hx [ R tal que x > 25}
x 1 2 < 5 ⇒ x < 3 → S
2
 5 hx [ R tal que x < 3j
A intersec•‹o de S
1
 e S
2
 Ž dada por S:
25
25
S
1 x
S
2 x
3
3
S
x
S 5 hx [ R tal que x > 25 e x < 3j ou S 5 hx [ R tal que 25 < x < 3j
çlgebra 49
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
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1a inequação: x
3
 1 2 > 1x 1
2
 x2
6
 1 12
6
 > 
1x3( 1)
6
 2x 1 12 > 3(x 1 1)
 2x 1 12 > 3x 1 3
 2x 2 3x > 3 2 12
 2x > 29 ? (21)
 x < 9
Logo, S
1
 5 hx [ R tal que x < 9j.
2a inequação: 
2
x 1 
4
x , 5
4
 2
4
x 1 
4
x , 5
4
 2x 1 x , 5
 x , 5
3
Logo, S
2
 5 tal que 5
3
,R{ }x x[ .
A intersecção de S
1
 com S
2
 é dada por S:
9
S
1 x
S
2 x
S
x
5
3
5
3
Portanto, S 5 [ ,R{ }x xtal que 53 , ou seja, as soluções do sistema são os 
números reais menores do