Séries de Potências

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Questão 1/10 - Análise Matemática
Leia o excerto de texto a seguir. 
“Para que tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma função, e o domínio e o contradomínio da mesma devem possuir um certo tipo de estrutura, tornando-se o que se chama um ‘espaço topológico’. Em outras palavras, espaços topológicos são conjuntos equipados com estruturas tais que entre eles tem sentido falar em limites e continuidades de funções”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: Lima, E. L. Curso de Análise. v. 1. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,  2013. p. 161. 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática com respeito à conceitos topológicos, enumere, na ordem sequencial, as definições – em linguagem não formal – que se relacionam a cada um dos elementos a seguir:
 
1. Conjunto aberto
2. Ponto interior
3. Conjunto fechado
4. Ponto de acumulação
5. Conjunto compacto
6. Ponto aderente
 
( ) É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente dele.
( ) É todo conjunto que é simultaneamente fechado e limitado.
( ) É um conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem à ele.
( ) É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto.
( ) É um ponto que é limite de uma sequencia de elementos do conjunto.
( ) É um conjunto onde todos os seus pontos são interiores.
 
Agora marque a sequência correta:
 
Nota: 10.0
	
	A
	6 – 5 – 3 – 4 – 2 – 1
	
	B
	4 – 1 – 5 – 6 – 2 – 3
	
	C
	2 – 5 – 1 – 6 – 4 – 3
	
	D
	6 – 3 – 1 – 2 – 4 – 5
	
	E
	4 – 5 – 3 – 2 – 6 – 1
Você acertou!
A sequência correta é 4 – 5 – 3 – 2 – 6 – 1. Segundo o livro-base: “1. Conjunto aberto – É um conjunto onde todos os seus pontos são interiores. 2. Ponto interior – É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto. 3. Conjunto fechado – É um conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem à ele. 4. Ponto de acumulação – É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente dele. 5. Conjunto compacto – É todo conjunto que é simultaneamente fechado e limitado. 6. Ponto aderente – É um ponto que é limite de uma sequencia de elementos do conjunto” (livro-base, Capítulo 3).
Questão 3/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte citação: 
“Diz-se que um número real aa é limite da sequência (xn)(xn) quando, para todo número real ε>0ε>0, dado  arbitrariamente, pode-se obter n0∈Nn0∈N tal que todos os termos xnn com índice n>n0n>n0 cumprem a condição |xn−a|<ε|xn−a|<ε. Escreve-se então a=limn∈Nxna=limn∈Nxn. [...] Em vez de a=limxna=limxn, escreve-se também a=limn∈Nxna=limn∈Nxn, a=limn→∞xna=limn→∞xn ou xn→axn→a. Esta última expressão lê-se ‘xnxn  tende para aa’ ou ‘converge para aa’. Uma sequência que possui limite diz-se convergente”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Análise Real: Funções de Uma Variável. 9. ed. v. 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. p. 23-24.
Dada a sequência (12n)n∈N(12n)n∈N.
Considerando estas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre sequências numéricas, é correto afirmar que a sequência dada converge para:
Nota: 10.0
	
	A
	1212
	
	B
	∞∞
	
	C
	−∞−∞
	
	D
	1
	
	E
	0
Você acertou!
Dado ε>0ε>0, escolhemos n0∈Nn0∈N tal que n0>log21εn0>log2⁡1ε, isto é, 12n0<ε12n0<ε. Assim, se n>n0n>n0 temos que ∣∣12n−0∣∣=∣∣12n∣∣=12n<12n0<ε|12n−0|=|12n|=12n<12n0<ε. Portanto, lim12n=0lim12n=0. (livro-base, Capítulo 2).
Questão 4/10 - Análise Matemática
Consideremos a função f:R→Rf:R→R dada por f(x)={x2+1, x≤12x, x>1f(x)={x2+1, x≤12x, x>1.
Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito de funções contínuas e deriváveis, é correto afirmar que:
 
Nota: 10.0
	
	A
	Em x=1x=1, ff é contínua, mas não é derivável.
	
	B
	Em x=1x=1, ff é derivável, mas não é contínua.
	
	C
	Em x=1x=1, ff possui limites laterais, mas são diferentes.
	
	D
	Em x=1x=1, ff é contínua e é derivável.
Você acertou!
Temos que limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1)limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1) e limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1)limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1). Portanto, ff é contínua em x=1x=1. Além disso, temos que limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2 e limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−f(x)=(x2+1)−2x−1=limx→1−(x+1)=2limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−f(x)=(x2+1)−2x−1=limx→1−(x+1)=2 Logo, ff é derivável em x=1x=1 e f′(1)=2f′(1)=2 (livro-base, Capítulo 4).
	
	E
	Em x=1x=1, ff não é contínua nem é derivável.
 
Questão 5/10 - Análise Matemática
O primeiro fato a destacar sobre uma série de potências ∑∞nan(x−x0)n∑n∞an(x−x0)n é que o conjunto de valores de xx para os quais ela converge é um intervalo de centro x0x0. Esse intervalo  pode ser limitado (aberto, fechado ou semi-aberto), igual a RR  ou até mesmo reduzir-se a um único ponto.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p.159.
Considere a expansão da série de potências ex=∑∞n=0xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R)ex=∑n=0∞xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R)
Assinale a alternativa que contém os valores para x=1.
Nota: 10.0
	
	A
	e=∑∞n=01n!=1−11+12−16+⋯e=∑n=0∞1n!=1−11+12−16+⋯
	
	B
	e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯e=∑n=0∞1n!=1+11+12+16+⋯
Você acertou!
A alternativa correta é a letra b. Substituindo os valores de n no somatório temos: e=∑∞n=01n!=1+11!+122!+133!+⋯⇒e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯e=∑n=0∞1n!=1+11!+122!+133!+⋯⇒e=∑n=0∞1n!=1+11+12+16+⋯(livro-base p. 185).
	
	C
	e=∑∞n=01n!=1+13+15+⋯e=∑n=0∞1n!=1+13+15+⋯
	
	D
	e=∑∞n=01n!=1−13+15−⋯e=∑n=0∞1n!=1−13+15−⋯
	
	E
	e=∑∞n=02nn!=1+23+34+⋯e=∑n=0∞2nn!=1+23+34+⋯
Questão 6/10 - Análise Matemática
Observe o intervalo X=(−√2,√2 )X=(−2,2 ) representado na reta real:
 
 
Levando em consideração o intervalo dado e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas, analise as assertivas a seguir e marque V para as assertivas verdadeiras e F para as assertivas falsas.
 
I.   ( ) XX é um conjunto aberto.
II.  ( ) XX é um conjunto limitado.
III. ( ) XX  é um conjunto compacto.
IV.  ( ) XX é um conjunto fechado.
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta.
Nota: 10.0
	
	A
	V-V-F-F
Você acertou!
A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra a). A afirmativa I é verdadeira porque todo ponto do conjunto XX é ponto interior de XX. A afirmativa II é verdadeira porque existe R>0R>0, por exemplo, R=3R=3 tal que |x|<3|x|<3 para todo x∈Xx∈X. A afirmativa III é falsa porque o conjunto XX não é fechado e nem limitado. A afirmativa IV é falsa porque o complementar do conjunto XX não é aberto, por exemplo, x=√2x=2 pertence ao complementar de XX, mas não é ponto interior do complementar. (livro-base, p. 88-91).
	
	B
	V-V-V-F
	
	C
	F-F-V-V
	
	D
	F-V-F-F
	
	E
	V-F-V-F
Questão 7/10 - Análise Matemática
Observe a seguinte série numérica:
∑∞132k41−k∑1∞32k41−k
Com base nos conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre a convergência de séries numéricas, assinale a única alternativa correta a respeito da série mostrada acima.
Nota: 10.0
	
	A
	A série converge para 9494
	
	B
	A série converge para 3434
	
	C
	A série diverge.
Você acertou!
reescrevendo a série, temos: ∑∞132k41−k=∑∞19k4k−1=∑∞19(94)k−1∑1∞32k41−k=∑1∞9k4k−1=∑1∞9(94)k−1. Logo, essa é uma série geométrica com r=94>1r=94>1. Portanto, a série diverge. (livro-base, Capítulo 2).
	
	D
	A série diverge para 4343 
	
	E
	A série converge para 12.
Questão 8/10 - Análise Matemática
Leia o seguinte fragmento de texto:
 
“Diz-se que a sequência (xn)(xn) é limitada quando o conjunto dos seus termos é limitado, isto é, quando existem números reais aa e bb tais que a≤(xn)≤ba≤(xn)≤b para todo n∈Nn∈N”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 101.
De acordo com estas informações eos conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a afirmativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	A sequência (sin(n)n)n∈N(sin⁡(n)n)n∈N é divergente
	
	B
	limsin(n)n=0limsin⁡(n)n=0
Você acertou!
A alternativa correta é a letra b), pois lim1n=0lim1n=0 e (sin(n))(sin⁡(n)) é uma sequência limitada. (livro-base, Capítulo 2)
	
	C
	∣∣sin(n)n∣∣≤12|sin⁡(n)n|≤12, para todo n∈Nn∈N
	
	D
	limsin(n)n=1limsin⁡(n)n=1
	
	E
	A sequência (sin(n)n)n∈N(sin⁡(n)n)n∈N  é limitada.
Questão 9/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte série numérica conhecida por série geométrica:
∑∞n=0rn=1+r+r2+r3+⋯∑n=0∞rn=1+r+r2+r3+⋯
 
Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito de séries numéricas, analise as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas.
 
I.   ( ) A sequência de termos (rn)(rn) da série geométrica converge para zero para todo r∈Rr∈R
II.  ( ) A soma parcial dos temos da série da geométrica Sn=1+r+r2+⋯+rnSn=1+r+r2+⋯+rn é igual a 1−rn+11−r1−rn+11−r .
III. ( ) A série geométrica diverge para |r|≥1|r|≥1
IV.  ( ) ∑∞n=0(12)n=2∑n=0∞(12)n=2
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Nota: 0.0
	
	A
	V-V-V-F
	
	B
	V-F-V-F
	
	C
	F-V-V-F
	
	D
	F-V-V-V
A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra d). A afirmativa I é falsa porque a sequência dos termos diverge se |r|≥1|r|≥1. A afirmativa II é verdadeira pois SnSn é a soma dos termos de uma progressão geométrica. A afirmativa III é verdadeira pois se |r|≥1|r|≥1, a sequencia dos termos não converge para zero, logo, a série diverge. A afirmativa IV é verdadeira, pois a série é geométrica com r=12r=12. Logo, ∑∞n=0(12)n=11−12=112=2∑n=0∞(12)n=11−12=112=2. (livro-base, Capítulo 2).
	
	E
	F-V-F-V
Questão 10/10 - Análise Matemática
Observe o gráfico de uma função f(x)=(1+1x)xf(x)=(1+1x)x representado na figura a seguir.
 
 
 
 
 
Com base no gráfico da função f(x)=(1+1x)xf(x)=(1+1x)x  e nos conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir.
I. limx→∞f(x)=∞limx→∞f(x)=∞ e limx→−∞f(x)=−∞limx→−∞f(x)=−∞
II. limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e e limx→−∞f(x)=−∞limx→−∞f(x)=−∞
III. limx→0+f(x)=1limx→0+f(x)=1 e limx→0−f(x)=∞limx→0−f(x)=∞
IV. limx→0+f(x)=−∞limx→0+f(x)=−∞ e limx→0−f(x)=∞limx→0−f(x)=∞
V. limx→0+f(x)=1limx→0+f(x)=1 e limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e
São corretas apenas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	III e V
Você acertou!
A afirmativa I está incorreta porque limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e e limx→−∞f(x)=elimx→−∞f(x)=e. A afirmativa II está incorreta porque limx→−∞f(x)=elimx→−∞f(x)=e. A afirmativa III está correta. A afirmativa IV está incorreta porque limx→0+f(x)=1limx→0+f(x)=1. A afirmativa V está correta (livro-base, Capítulo 3).
	
	B
	I e III
	
	C
	I e IV
	
	D
	II e V
	
	E
	II, III e V
Questão 1/10 - Análise Matemática
O primeiro fato a destacar sobre uma série de potências ∑∞nan(x−x0)n∑n∞an(x−x0)n é que o conjunto de valores de xx para os quais ela converge é um intervalo de centro x0x0. Esse intervalo  pode ser limitado (aberto, fechado ou semi-aberto), igual a RR  ou até mesmo reduzir-se a um único ponto.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p.159.
Considere a expansão da série de potências ex=∑∞n=0xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R)ex=∑n=0∞xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R)
Assinale a alternativa que contém os valores para x=1.
Nota: 10.0
	
	A
	e=∑∞n=01n!=1−11+12−16+⋯e=∑n=0∞1n!=1−11+12−16+⋯
	
	B
	e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯e=∑n=0∞1n!=1+11+12+16+⋯
Você acertou!
A alternativa correta é a letra b. Substituindo os valores de n no somatório temos: e=∑∞n=01n!=1+11!+122!+133!+⋯⇒e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯e=∑n=0∞1n!=1+11!+122!+133!+⋯⇒e=∑n=0∞1n!=1+11+12+16+⋯(livro-base p. 185).
	
	C
	e=∑∞n=01n!=1+13+15+⋯e=∑n=0∞1n!=1+13+15+⋯
	
	D
	e=∑∞n=01n!=1−13+15−⋯e=∑n=0∞1n!=1−13+15−⋯
	
	E
	e=∑∞n=02nn!=1+23+34+⋯e=∑n=0∞2nn!=1+23+34+⋯
Questão 2/10 - Análise Matemática
Observe a seguinte série numérica:
∑∞132k41−k∑1∞32k41−k
Com base nos conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre a convergência de séries numéricas, assinale a única alternativa correta a respeito da série mostrada acima.
Nota: 10.0
	
	A
	A série converge para 9494
	
	B
	A série converge para 3434
	
	C
	A série diverge.
Você acertou!
reescrevendo a série, temos: ∑∞132k41−k=∑∞19k4k−1=∑∞19(94)k−1∑1∞32k41−k=∑1∞9k4k−1=∑1∞9(94)k−1. Logo, essa é uma série geométrica com r=94>1r=94>1. Portanto, a série diverge. (livro-base, Capítulo 2).
	
	D
	A série diverge para 4343 
	
	E
	A série converge para 12.
Questão 3/10 - Análise Matemática
Considere o trecho de texto a seguir:
"Sejam f:X→Rf:X→R e a∈Xa∈X. O quociente q(x)=f(x)−f(a)x−aq(x)=f(x)−f(a)x−a tem sentido para x≠ax≠a, logo define uma função q:X−{a}→Rq:X−{a}→R, cujo valor q(x)q(x) é a inclinação da secante (reta que liga os pontos (a,f(a))(a,f(a)) e (x,f(x))(x,f(x)) no gráfico de ff em relação ao eixo xx."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 88.}
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras, e F para as afirmativas falsas.
I. ( ) Dizemos que uma função X→RX→R é derivável em XX quando é derivável em todos os pontos de xx pertencentes a XX.
II. ( ) Sejam X⊂RX⊂R, f:X→Rf:X→R e x0x0 um ponto de acumulação de XX pertencente ao conjunto XX. Assim a função ff é derivável no ponto x0x0 quando existe o limite a seguir: f′(x)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0f′(x)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0
III. ( ) Informalmente podemos dizer que a noção geométrica da derivada f′(x0)f′(x0) é a inclinação da reta tangente à função ff no ponto x0x0.
Agora marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	F – F – F
	
	B
	F – V – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	F – V – F
	
	E
	V – V – V
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira por ser uma consequência da definição(p.111). A afirmativa II é correta pois expressa a definição de derivada em um ponto (p.111) e a afirmativa III é correta porque corresponde à interpretação geométrica da derivada(livro base - p.111 e 112).
Questão 4/10 - Análise Matemática
Leia o excerto de texto a seguir. 
“Para que tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma função, e o domínio e o contradomínio da mesma devem possuir um certo tipo de estrutura, tornando-se o que se chama um ‘espaço topológico’. Em outras palavras, espaços topológicos são conjuntos equipados com estruturas tais que entre eles tem sentido falar em limites e continuidades de funções”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: Lima, E. L. Curso de Análise. v. 1. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,  2013. p. 161. 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática com respeito à conceitos topológicos, enumere, na ordem sequencial, as definições – em linguagem não formal – que se relacionam a cada um dos elementos a seguir:
 
1. Conjunto aberto
2. Ponto interior
3. Conjunto fechado
4. Ponto de acumulação
5. Conjunto compacto
6. Ponto aderente
 
( ) É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente dele.
( ) É todo conjunto que é simultaneamente fechado e limitado.
( ) É um conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem à ele.
( ) É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto.
( ) É um ponto que é limite de uma sequencia de elementos do conjunto.
( ) É um conjunto onde todos os seus pontos são interiores.
 
Agora marque a sequência correta:
 
Nota: 10.0
	
	A
	6 – 5 – 3 – 4 – 2 – 1
	
	B
	4 – 1 – 5 – 6 – 2 – 3
	
	C
	2 – 5 – 1 – 6 – 4 – 3
	
	D
	6 – 3 – 1 – 2 – 4 – 5
	
	E
	4 – 5 – 3 – 2 – 6 – 1
Você acertou!
A sequência correta é 4 – 5 – 3 – 2 – 6 – 1. Segundo o livro-base: “1. Conjunto aberto – É um conjunto onde todos os seus pontos são interiores. 2. Ponto interior – É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto.3. Conjunto fechado – É um conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem à ele. 4. Ponto de acumulação – É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente dele. 5. Conjunto compacto – É todo conjunto que é simultaneamente fechado e limitado. 6. Ponto aderente – É um ponto que é limite de uma sequencia de elementos do conjunto” (livro-base, Capítulo 3).
Questão 5/10 - Análise Matemática
Consideremos a função f:R→Rf:R→R dada por f(x)={x2+1, x≤12x, x>1f(x)={x2+1, x≤12x, x>1.
Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito de funções contínuas e deriváveis, é correto afirmar que:
 
Nota: 10.0
	
	A
	Em x=1x=1, ff é contínua, mas não é derivável.
	
	B
	Em x=1x=1, ff é derivável, mas não é contínua.
	
	C
	Em x=1x=1, ff possui limites laterais, mas são diferentes.
	
	D
	Em x=1x=1, ff é contínua e é derivável.
Você acertou!
Temos que limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1)limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1) e limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1)limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1). Portanto, ff é contínua em x=1x=1. Além disso, temos que limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2 e limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−f(x)=(x2+1)−2x−1=limx→1−(x+1)=2limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−f(x)=(x2+1)−2x−1=limx→1−(x+1)=2 Logo, ff é derivável em x=1x=1 e f′(1)=2f′(1)=2 (livro-base, Capítulo 4).
	
	E
	Em x=1x=1, ff não é contínua nem é derivável.
 
Questão 6/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte série numérica conhecida por série geométrica:
∑∞n=0rn=1+r+r2+r3+⋯∑n=0∞rn=1+r+r2+r3+⋯
 
Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito de séries numéricas, analise as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas.
 
I.   ( ) A sequência de termos (rn)(rn) da série geométrica converge para zero para todo r∈Rr∈R
II.  ( ) A soma parcial dos temos da série da geométrica Sn=1+r+r2+⋯+rnSn=1+r+r2+⋯+rn é igual a 1−rn+11−r1−rn+11−r .
III. ( ) A série geométrica diverge para |r|≥1|r|≥1
IV.  ( ) ∑∞n=0(12)n=2∑n=0∞(12)n=2
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V-V-V-F
	
	B
	V-F-V-F
	
	C
	F-V-V-F
	
	D
	F-V-V-V
Você acertou!
A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra d). A afirmativa I é falsa porque a sequência dos termos diverge se |r|≥1|r|≥1. A afirmativa II é verdadeira pois SnSn é a soma dos termos de uma progressão geométrica. A afirmativa III é verdadeira pois se |r|≥1|r|≥1, a sequencia dos termos não converge para zero, logo, a série diverge. A afirmativa IV é verdadeira, pois a série é geométrica com r=12r=12. Logo, ∑∞n=0(12)n=11−12=112=2∑n=0∞(12)n=11−12=112=2. (livro-base, Capítulo 2).
	
	E
	F-V-F-V
Questão 7/10 - Análise Matemática
Considere o trecho de texto a seguir:
“Quando ff é integrável, sua integral ∫baf(x)dx∫abf(x)dx é o número real cujas aproximações por falta são as somas superiores s(f,P)s(f,P) e cujas aproximações por excesso são as somas superiores S(f,P)S(f,P).”
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 122.
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras, e F para as afirmativas falsas.
I.   ( ) Pelo Teorema Fundamental do Cálculo podemos deduzir que ∫10x2dx=13∫01x2dx=13.
II.  ( ) Se uma integral é imprópria então ela não pode ser convergente.
III. ( ) Toda função contínua é integrável.
Agora marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	F – F – F
	
	B
	F – V – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	V – F – V
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira por ser uma consequência do Teorema Fundamental do Cálculo (p.156). A afirmativa II é falsa pois uma integral imprópria pode ser tanto convergente como divergente conforme a função e o intervalo considerado (p.161). A afirmativa III é verdadeira pois representa uma propriedade que tem recíproca falsa ou seja, uma função pode ser integrável e não ser contínua (livro-base p.143 e 144)
	
	E
	V – V – V
Questão 8/10 - Análise Matemática
“Se alguém me perguntasse o que é que todo estudante de Ensino Médio deveria saber de matemática, sem sombra de dúvida, o tema Indução figuraria na minha lista.
É com o conceito de Indução que se estabelece o primeiro contato com a noção de infinito em Matemática, e por isso ele é muito importante; porém, é, ao mesmo tempo, sutil e delicado”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: HEFEZ, A. Indução Matemática. Programa da Iniciação Científica OBMEP, v. 4. 2009. p. iii. 
Tendo em vista a citação dada e de acordo com os conteúdos do livro-base sobre o Princípio da Indução Finita, analise as seguintes asserções: 
I. A soma dos nn primeiros números ímpares é n2, n≥1n2, n≥1.
 
PORQUE
 
II. Dados os números ímpares: 1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0)1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0),
se tivermos dois ímpares n=2n=2 a soma será S=1+3=4=22S=1+3=4=22 e se tivermos
55 números ímpares a soma será S=1+3+5+7+9=25=52S=1+3+5+7+9=25=52 
 
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da primeira.
	
	B
	As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa  correta da primeira.
Você acertou!
Apesar das duas afirmações serem verdadeiras, a segunda não é uma justificativa da primeira porque não prova que a proposição seja verdadeira para todo n>2n>2. Ela mostra apenas dois casos particulares. Para justificar a veracidade da primeira afirmação pode-se usar o Princípio da Indução Finita (livro-base, capítulo 1).
	
	C
	A asserção I é uma proposição verdadeira , e a II é uma proposição falsa.
	
	D
	A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
	
	E
	As asserções I e II são proposições falsas.
Questão 9/10 - Análise Matemática
“Informalmente: limx→af(x)=Llimx→af(x)=L quer dizer que se pode tornar f(x)f(x) tão próximo de LL quanto se queira desde que se tome x∈Xx∈X suficientemente próximo, porém diferente, de aa.”
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 61.}
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a alternativa correta.
Nota: 0.0
	
	A
	Seja f:R−{2}→Rf:R−{2}→R, f(x)=x+3f(x)=x+3, então o valor de limx→2(x+3)limx→2(x+3) é 11.
	
	B
	Seja f:X→Rf:X→R e x0∈X′x0∈X′. Assim, se limx→x0f(x)=L1limx→x0f(x)=L1 e limx→x0f(x)=L2limx→x0f(x)=L2, então L1≠L2L1≠L2.
	
	C
	Sejam as funções f:X→Rf:X→R e g:X→Rg:X→R. Se limx→x0f(x)=L1limx→x0f(x)=L1 e limx→x0g(x)=L1limx→x0g(x)=L1, então limx→x0f(x)g(x)=L1+L2limx→x0f(x)g(x)=L1+L2.
	
	D
	Seja a função f(x):X→Rf(x):X→R então limx→x0k⋅f(x)=limx→x0f(x)klimx→x0k⋅f(x)=limx→x0f(x)k.
	
	E
	Sejam ff e g:R−{2}→Rg:R−{2}→R definidas por f(x)=3x+1f(x)=3x+1 e g(x):x+1g(x):x+1 e os limites limx→2f(x)=7limx→2f(x)=7 e limx→2g(x)=3limx→2g(x)=3 então limx→23x+1x+1=limx→2(3x+1)limx→2(x+1)=73limx→23x+1x+1=limx→2(3x+1)limx→2(x+1)=73.
Sejam as funções f:X→Rf:X→R e g:X→Rg:X→R. Se limx→x0f(x)=L1limx→x0f(x)=L1 e limx→x0g(x)=L2limx→x0g(x)=L2 com L2≠0L2≠0, então limx→x0f(x)g(x)=L1L2limx→x0f(x)g(x)=L1L2. (Livro-base p. 93 a 95)
Questão 2/10 - Análise Matemática
Consideremos a função f:R→Rf:R→R dada por f(x)={x2+1, x≤12x, x>1f(x)={x2+1, x≤12x, x>1.
Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito de funções contínuas e deriváveis, é correto afirmar que:
 
Nota: 10.0
	
	A
	Em x=1x=1, ff é contínua, mas não é derivável.
	
	B
	Em x=1x=1, ff é derivável, mas não é contínua.
	
	C
	Em x=1x=1, ff possui limites laterais, mas são diferentes.
	
	D
	Em x=1x=1, ff é contínua e é derivável.
Você acertou!
Temos que limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1)limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1) e limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1)limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1). Portanto, ff é contínua em x=1x=1. Além disso, temosque limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2 e limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−f(x)=(x2+1)−2x−1=limx→1−(x+1)=2limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−f(x)=(x2+1)−2x−1=limx→1−(x+1)=2 Logo, ff é derivável em x=1x=1 e f′(1)=2f′(1)=2 (livro-base, Capítulo 4).
	
	E
	Em x=1x=1, ff não é contínua nem é derivável.
 
Questão 3/10 - Análise Matemática
“Em vários problemas da Matemática e das duas aplicações busca-se uma função que cumpra certas condições dadas. É frequente, nestes casos, obter-se uma sequência de funções cada uma das quais cumpre as condições exigidas apenas aproximadamente, porém com aproximações cada vez melhores.” 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Análise Real. 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 151.
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a alternativa correta.
Nota: 10.0
	
	A
	Na convergência simples o valor de NN encontrado não depende de nenhum valor atribuído.
	
	B
	A sequência de Cauchy está relacionada é um exemplo de convergência simples.
	
	C
	Na convergência uniforme o valor de NN a ser encontrado deve depender apenas do valor de εε.
Você acertou!
Consequência da definição da convergência uniforme em contraposição à convergência simples onde NN depende dos valores dados para εε e xx. (livro-base p.167-168)
	
	D
	Geometricamente qualquer sequência de funções fnfn converge de forma simples para outras funções sendo dependente de εε e xx.
	
	E
	Seja (fn)(fn) uma sequência de funções com fn:[a,b]→Rfn:[a,b]→R que converge uniformemente para uma função f:[a,b]→Rf:[a,b]→R. Se cada função fnfn é integrável então ff não tem primitiva.
Questão 4/10 - Análise Matemática
“Se alguém me perguntasse o que é que todo estudante de Ensino Médio deveria saber de matemática, sem sombra de dúvida, o tema Indução figuraria na minha lista.
É com o conceito de Indução que se estabelece o primeiro contato com a noção de infinito em Matemática, e por isso ele é muito importante; porém, é, ao mesmo tempo, sutil e delicado”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: HEFEZ, A. Indução Matemática. Programa da Iniciação Científica OBMEP, v. 4. 2009. p. iii. 
Tendo em vista a citação dada e de acordo com os conteúdos do livro-base sobre o Princípio da Indução Finita, analise as seguintes asserções: 
I. A soma dos nn primeiros números ímpares é n2, n≥1n2, n≥1.
 
PORQUE
 
II. Dados os números ímpares: 1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0)1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0),
se tivermos dois ímpares n=2n=2 a soma será S=1+3=4=22S=1+3=4=22 e se tivermos
55 números ímpares a soma será S=1+3+5+7+9=25=52S=1+3+5+7+9=25=52 
 
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da primeira.
	
	B
	As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa  correta da primeira.
Você acertou!
Apesar das duas afirmações serem verdadeiras, a segunda não é uma justificativa da primeira porque não prova que a proposição seja verdadeira para todo n>2n>2. Ela mostra apenas dois casos particulares. Para justificar a veracidade da primeira afirmação pode-se usar o Princípio da Indução Finita (livro-base, capítulo 1).
	
	C
	A asserção I é uma proposição verdadeira , e a II é uma proposição falsa.
	
	D
	A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
	
	E
	As asserções I e II são proposições falsas.
Questão 5/10 - Análise Matemática
Considere o trecho de texto a seguir:
"Sejam f:X→Rf:X→R e a∈Xa∈X. O quociente q(x)=f(x)−f(a)x−aq(x)=f(x)−f(a)x−a tem sentido para x≠ax≠a, logo define uma função q:X−{a}→Rq:X−{a}→R, cujo valor q(x)q(x) é a inclinação da secante (reta que liga os pontos (a,f(a))(a,f(a)) e (x,f(x))(x,f(x)) no gráfico de ff em relação ao eixo xx."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 88.}
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras, e F para as afirmativas falsas.
I. ( ) Dizemos que uma função X→RX→R é derivável em XX quando é derivável em todos os pontos de xx pertencentes a XX.
II. ( ) Sejam X⊂RX⊂R, f:X→Rf:X→R e x0x0 um ponto de acumulação de XX pertencente ao conjunto XX. Assim a função ff é derivável no ponto x0x0 quando existe o limite a seguir: f′(x)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0f′(x)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0
III. ( ) Informalmente podemos dizer que a noção geométrica da derivada f′(x0)f′(x0) é a inclinação da reta tangente à função ff no ponto x0x0.
Agora marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	F – F – F
	
	B
	F – V – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	F – V – F
	
	E
	V – V – V
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira por ser uma consequência da definição(p.111). A afirmativa II é correta pois expressa a definição de derivada em um ponto (p.111) e a afirmativa III é correta porque corresponde à interpretação geométrica da derivada(livro base - p.111 e 112).
Questão 6/10 - Análise Matemática
Considere o trecho de texto a seguir:
 “Um espírito mais crítico indagaria sobre a existência dos números reais, ou seja, se realmente se conhece algum exemplo de corpo ordenado completo. Em outras palavras: partindo dos números naturais (digamos, apresentados através dos axiomas de Peano) seria possível, por meio de extensões sucessivas do conceito de número, chegar à construção dos números reais? A resposta é afirmativa. Isto pode ser feito de várias maneiras. A passagem crucial é dos racionais para os reais, a qual pode seguir o método dos cortes de Dedekind ou das sequências de Cauchy [...], para citar apenas os dois mais populares”.
 Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E. L. Curso de Análise. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. v. 1. p. 60.
 
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas.
         I.( ) A relação de equivalência que permite a construção dos números racionais dá a esse conjunto a propriedade de seus elementos possuírem um inverso multiplicativo, exceto ao elemento neutro da adição.
        II.( ) Os cortes de Dedekind são subconjuntos próprios do conjunto dos números racionais com algumas propriedades.
       III. ( ) O conjunto Xα={x∈Q∣x2<1}Xα={x∈Q∣x2<1} é um corte de Dedekind.
       IV. ( ) Pelos axiomas de Peano constrói-se o conjunto dos números naturais, partindo de um conjunto denominado  NN e uma função denominada de função sucessor.
 
Agora marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	a) F – V – V – V
	
	B
	b) V – F – F – V
	
	C
	c) F – V – F – V
	
	D
	d) V – F – V – V
	
	E
	e) V – V – F – V
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira pois, se x∈Qx∈Q, então x=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(a,b) a,b∈Z,b≠0x=(a,b)¯ a,b∈Z,b≠0. Se a≠0a≠0, então, xx não é o elemento neutro da adição e y=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(b,a)∈Qy=(b,a)¯∈Q. Temos que ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(a,b)⋅¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(b,a)=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(ab,ba)=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(ab,ab)=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(1,1)(a,b)¯⋅(b,a)¯=(ab,ba)¯=(ab,ab)¯=(1,1)¯. Como ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(1,1)(1,1)¯ é o elemento neutro da multiplicação, temos que y=x−1y=x−1. A afirmativa II é verdadeira, pois se XαXα é um corte de Dedekind, então Xα⊂QXα⊂Q e Xα≠QXα≠Q por definição. A afirmativa III é falsa porque XαXα não contém todos os pontos menores que seus pontos. Basta ver que, por exemplo, 0∈Xα,−2<00∈Xα,−2<0, mas −2∉Xα−2∉Xα. A afirmativa IV é verdadeira por definição. (livro-base, capítulo 1).
Questão 7/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte citação: 
“Diz-se que um número real aa é limite da sequência (xn)(xn) quando, para todo número real ε>0ε>0, dado  arbitrariamente, pode-se obter n0∈Nn0∈N tal que todos os termos xnn com índice n>n0n>n0 cumprem a condição|xn−a|<ε|xn−a|<ε. Escreve-se então a=limn∈Nxna=limn∈Nxn. [...] Em vez de a=limxna=limxn, escreve-se também a=limn∈Nxna=limn∈Nxn, a=limn→∞xna=limn→∞xn ou xn→axn→a. Esta última expressão lê-se ‘xnxn  tende para aa’ ou ‘converge para aa’. Uma sequência que possui limite diz-se convergente”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Análise Real: Funções de Uma Variável. 9. ed. v. 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. p. 23-24.
Dada a sequência (12n)n∈N(12n)n∈N.
Considerando estas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre sequências numéricas, é correto afirmar que a sequência dada converge para:
Nota: 10.0
	
	A
	1212
	
	B
	∞∞
	
	C
	−∞−∞
	
	D
	1
	
	E
	0
Você acertou!
Dado ε>0ε>0, escolhemos n0∈Nn0∈N tal que n0>log21εn0>log2⁡1ε, isto é, 12n0<ε12n0<ε. Assim, se n>n0n>n0 temos que ∣∣12n−0∣∣=∣∣12n∣∣=12n<12n0<ε|12n−0|=|12n|=12n<12n0<ε. Portanto, lim12n=0lim12n=0. (livro-base, Capítulo 2).
Questão 8/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte série numérica conhecida por série geométrica:
∑∞n=0rn=1+r+r2+r3+⋯∑n=0∞rn=1+r+r2+r3+⋯
 
Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito de séries numéricas, analise as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas.
 
I.   ( ) A sequência de termos (rn)(rn) da série geométrica converge para zero para todo r∈Rr∈R
II.  ( ) A soma parcial dos temos da série da geométrica Sn=1+r+r2+⋯+rnSn=1+r+r2+⋯+rn é igual a 1−rn+11−r1−rn+11−r .
III. ( ) A série geométrica diverge para |r|≥1|r|≥1
IV.  ( ) ∑∞n=0(12)n=2∑n=0∞(12)n=2
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V-V-V-F
	
	B
	V-F-V-F
	
	C
	F-V-V-F
	
	D
	F-V-V-V
Você acertou!
A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra d). A afirmativa I é falsa porque a sequência dos termos diverge se |r|≥1|r|≥1. A afirmativa II é verdadeira pois SnSn é a soma dos termos de uma progressão geométrica. A afirmativa III é verdadeira pois se |r|≥1|r|≥1, a sequencia dos termos não converge para zero, logo, a série diverge. A afirmativa IV é verdadeira, pois a série é geométrica com r=12r=12. Logo, ∑∞n=0(12)n=11−12=112=2∑n=0∞(12)n=11−12=112=2. (livro-base, Capítulo 2).
	
	E
	F-V-F-V
Questão 9/10 - Análise Matemática
“É uma circunstância notável que a noção de área esteja relacionada com as derivadas.” 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Curso de análise v.1 . 12. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,2008,p. 304.}
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática , assinale a alternativa correta.
Nota: 10.0
	
	A
	O Teorema Fundamental do Cálculo pode ser aplicado somente a funções trigonométricas.
	
	B
	Se uma a derivada de uma função f(x)f(x) é igual ao valor numérico da integral de f(x)f(x) dizemos que  é uma função primitiva.
	
	C
	O valor numérico da integral superior em um intervalo (a,b)(a,b) corresponde ao dobro do valor da integral inferior no intervalo considerado.
	
	D
	A primitiva de uma função ff em x0x0 é outra função FF que representa o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico no ponto x0x0.
	
	E
	A representação geométrica do valor de uma integral para uma função integrável em um intervalo (a,b)(a,b) é a área entre o gráfico da função e o eixo das abscissas xx no intervalo de integração.
Você acertou!
Resultado da igualdade entre a integral superior e a integral inferior no intervalo considerado e que possibilita muitas aplicações da integral em diversas áreas (livro-base p.139)
Questão 10/10 - Análise Matemática
Leia o fragmento de texto a seguir. 
“(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x). Uma maneira conveniente de lembrar essa fórmula consiste em chamar  a ‘função de fora’ e g a ‘função de dentro’ na composição (fg(x))(fg(x)) e, então, expressar em palavras como:
A derivada de (f(g(x))(f(g(x)) é a derivada da função de fora calculada na função de dentro vezes a derivada da função de dentro”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ANTON, H., BIVENS, I., DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman , v. 1.  2007. p. 210-211.
Considere as funções e f(x)=exf(x)=ex , g(x)=x2+2g(x)=x2+2 e a função composta h(x)=f(g(x))=e(x2+2)h(x)=f(g(x))=e(x2+2).
Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a Regra da Cadeia, assinale a única alternativa que representa a derivada da função composta dada.
Nota: 10.0
	
	A
	h′(x)=(x2+2)e(x2+2)h′(x)=(x2+2)e(x2+2)
	
	B
	h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2xh′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2x
	
	C
	h′(x)=2x⋅e(x2+2)h′(x)=2x⋅e(x2+2)
Você acertou!
h′(x)=f′(g(x))g′(x)=e(x2+2)⋅2x=2x⋅e(x2+2)h′(x)=f′(g(x))g′(x)=e(x2+2)⋅2x=2x⋅e(x2+2) (livro-base, capítulo 4).
	
	D
	h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1
	
	E
	h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1
Questão 1/10 - Análise Matemática
“O conceito de relação de equivalência é relevante para todos os ramos da Matemática. Em linhas gerais, tal conceito surge como uma forma de generalizar a relação de igualdade, no sentido de que, elementos de um dado conjunto, mesmo distintos, cumprem papel equivalente”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: VIEIRA, V. L. Álgebra Abstrata para Licenciatura. Campina Grande: EDUEPB, 2013. p. 18. 
Considere o conjunto A={1,2,3,4}A={1,2,3,4}
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática referentes à relações entre conjunto assinale a única alternativa que contém uma relação de equivalência do conjunto dado:
 
Nota: 10.0
	
	A
	R={(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}.R={(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}.
Você acertou!
Essa relação é reflexiva, pois (x,x)∈R,∀x∈A(x,x)∈R,∀x∈A. É simétrica pois para cada par (x,y)(x,y) que pertence à RR o seu simétrico (y,x)(y,x) também pertence à RR. E essa relação é transitiva pois se os pares (x,y)(x,y) e (y,z)(y,z), então, o par (x,z)(x,z) também pertence à RR (livro-base, capítulo 1).
	
	B
	R={(2,3),(4,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}R={(2,3),(4,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
	
	C
	R={(2,1),(3,1)}R={(2,1),(3,1)}
	
	D
	R={(2,1),(2,3),(2,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}R={(2,1),(2,3),(2,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
	
	E
	R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
Questão 2/10 - Análise Matemática
Leia o fragmento de texto a seguir:
 
“Utilizaremos, porém, com frequência cada vez maior, a linguagem geométrica segundo a qual nos referimos ao corpo RR como ‘a reta’, diremos ‘ponto’ em vez de ‘número real’, traduziremos ‘a<ba<b’ por ‘aa está à esquerda de bb’, dados x,y∈Rx,y∈R, interpretaremos o valor absoluto |x−y||x−y| como ‘distância do ponto xx ao ponto yy’ e, finalmente, veremos o intervalo [a,b][a,b] como o segmento de reta cujos extremos são os pontos aa e bb.”
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 162.
 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas da reta, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas.
 
I.   ( ) O ponto x=1x=1 é um ponto interior do conjunto X={1}∪[32 , 2]X={1}∪[32 , 2].
II.  ( ) O conjunto X={n | n∈N}X={n | n∈N} não possui pontos de acumulação.
III. ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de acumulação do conjunto X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}.
IV.  ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de aderência do conjunto X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}.
 
Assinale a alternativa que contém a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V-V-F-V
	
	B
	F-F-V-V
	
	C
	V-F-F-V
	
	D
	V-F-V-F
	
	E
	F-V-V-V
Você acertou!
A alternativa que contém a sequência correta é a letra e). A afirmativa I está incorreta, pois qualquer intervalo centrado em x=1x=1 não está contido no conjunto XX. A afirmativa II está correta, pois para qualquer x∈Rx∈R, com x∉Xx∉X, é fácil ver que existemvizinhanças de xx que não contém pontos de XX e para os pontos x∈Xx∈X, existem vizinhanças de xx que contém apenas o ponto xx. Logo, não existem pontos de acumulação. A afirmativa III está correta, pois qualquer vizinhança de zero contém um ponto diferente de zero que pertence ao conjunto XX. A afirmativa IV está correta pois zero é o limite da sequência (1n)(1n) que é formada por pontos de XX. (livro-base, Capítulo 3).
Questão 3/10 - Análise Matemática
Observe o gráfico de uma função f(x)=(1+1x)xf(x)=(1+1x)x representado na figura a seguir.
 
 
 
 
 
Com base no gráfico da função f(x)=(1+1x)xf(x)=(1+1x)x  e nos conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir.
I. limx→∞f(x)=∞limx→∞f(x)=∞ e limx→−∞f(x)=−∞limx→−∞f(x)=−∞
II. limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e e limx→−∞f(x)=−∞limx→−∞f(x)=−∞
III. limx→0+f(x)=1limx→0+f(x)=1 e limx→0−f(x)=∞limx→0−f(x)=∞
IV. limx→0+f(x)=−∞limx→0+f(x)=−∞ e limx→0−f(x)=∞limx→0−f(x)=∞
V. limx→0+f(x)=1limx→0+f(x)=1 e limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e
São corretas apenas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	III e V
Você acertou!
A afirmativa I está incorreta porque limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e e limx→−∞f(x)=elimx→−∞f(x)=e. A afirmativa II está incorreta porque limx→−∞f(x)=elimx→−∞f(x)=e. A afirmativa III está correta. A afirmativa IV está incorreta porque limx→0+f(x)=1limx→0+f(x)=1. A afirmativa V está correta (livro-base, Capítulo 3).
	
	B
	I e III
	
	C
	I e IV
	
	D
	II e V
	
	E
	II, III e V
Questão 4/10 - Análise Matemática
Considere o seguinte trecho de texto a seguir:
“A soma de uma série é o limite da sequência de somas parciais. Deste modo, quando escrevemos ∑∞n=1an=s∑n=1∞an=s, queremos dizer que, somando um número suficientes de termos da série, podemos chegar tão perto quanto quisermos do número ss. Observe que ∑∞n=1an=limn→∞∑ni=1ai∑n=1∞an=limn→∞∑i=1nai”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
STEWART, J. Cálculo. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning , v. 2. 2011. p. 653.
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática referentes à séries numéricas, assinale a alternativa que contém apenas séries convergentes.
Nota: 10.0
	
	A
	∑∞n=11n∑n=1∞1n, ∑∞n=11n2∑n=1∞1n2, ∑∞n=1n∑n=1∞n
	
	B
	
∑∞n=11n2∑n=1∞1n2, ∑∞n=12n+1∑n=1∞2n+1, ∑∞n=11n∑n=1∞1n
	
	C
	∑∞n=11n2∑n=1∞1n2, ∑∞n=112n+1∑n=1∞12n+1, ∑∞n=1(−1)nn∑n=1∞(−1)nn
Você acertou!
A série ∑∞n=11n2∑n=1∞1n2  é uma p-série com p=2>1p=2>1, logo, é convergente. A série ∑∞n=112n+1∑n=1∞12n+1 é uma série geométrica com |p|=12<1|p|=12<1, logo, converge. A série ∑∞n=1(−1)nn∑n=1∞(−1)nn converge pelo teste de Leibniz. (livro-base, capítulo 2).
	
	D
	∑∞n=11n∑n=1∞1n, ∑∞n=11n2∑n=1∞1n2, ∑∞n=11n3∑n=1∞1n3
	
	E
	∑∞n=1n3∑n=1∞n3, ∑∞n=1n2∑n=1∞n2, ∑∞n=1n∑n=1∞n
Questão 5/10 - Análise Matemática
Leia o fragmento de texto a seguir. 
“(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x). Uma maneira conveniente de lembrar essa fórmula consiste em chamar  a ‘função de fora’ e g a ‘função de dentro’ na composição (fg(x))(fg(x)) e, então, expressar em palavras como:
A derivada de (f(g(x))(f(g(x)) é a derivada da função de fora calculada na função de dentro vezes a derivada da função de dentro”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ANTON, H., BIVENS, I., DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman , v. 1.  2007. p. 210-211.
Considere as funções e f(x)=exf(x)=ex , g(x)=x2+2g(x)=x2+2 e a função composta h(x)=f(g(x))=e(x2+2)h(x)=f(g(x))=e(x2+2).
Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a Regra da Cadeia, assinale a única alternativa que representa a derivada da função composta dada.
Nota: 10.0
	
	A
	h′(x)=(x2+2)e(x2+2)h′(x)=(x2+2)e(x2+2)
	
	B
	h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2xh′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2x
	
	C
	h′(x)=2x⋅e(x2+2)h′(x)=2x⋅e(x2+2)
Você acertou!
h′(x)=f′(g(x))g′(x)=e(x2+2)⋅2x=2x⋅e(x2+2)h′(x)=f′(g(x))g′(x)=e(x2+2)⋅2x=2x⋅e(x2+2) (livro-base, capítulo 4).
	
	D
	h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1
	
	E
	h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1
Questão 6/10 - Análise Matemática
Considere o trecho de texto a seguir:
“As séries de funções mais importantes da Análise são as do tipo ∑∞0an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+⋯+an(x−x0)n+a1+⋯∑0∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+⋯+an(x−x0)n+a1+⋯, (a0,a1,⋯∈R(a0,a1,⋯∈R são escalares)) que são chamadas séries de potências.”
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Curso de análise v.1 . 12. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,2008,p. 384.}
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras, e F para as afirmativas falsas.
I. ( ) A série de Maclaurin ocorre quando x0=0x0=0 isto é f(x)=∑∞0Cnxn=C0+C1x+C2x2+⋯+Cnxn+⋯f(x)=∑0∞Cnxn=C0+C1x+C2x2+⋯+Cnxn+⋯ (C0,C1,⋯∈R(C0,C1,⋯∈R são escalares)).
II. ( ) Podemos escrever exex como ex=∑∞0xnn!ex=∑0∞xnn! para x∈Rx∈R. 
III. ( ) Podemos escrever sin(x)sin⁡(x) como sin(x)=∑∞0(−1)n(2n+1)!⋅x2n+1sin⁡(x)=∑0∞(−1)n(2n+1)!⋅x2n+1 para x∈Rx∈R.
Agora marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	F – F – F
	
	B
	F – V – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	V – F – V
	
	E
	V – V – V
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira como consequência da série de Taylor (p.154). A afirmativa II é verdadeira pois a expansão de exex pode ser escrita desta maneira(p.185). A afirmativa III é verdadeira pois a expansão de sin(x)sin⁡(x) (livro-base p.153,154 e 185).
Questão 7/10 - Análise Matemática
Leia o seguinte fragmento de texto:
 
“Diz-se que a sequência (xn)(xn) é limitada quando o conjunto dos seus termos é limitado, isto é, quando existem números reais aa e bb tais que a≤(xn)≤ba≤(xn)≤b para todo n∈Nn∈N”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 101.
De acordo com estas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a afirmativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	A sequência (sin(n)n)n∈N(sin⁡(n)n)n∈N é divergente
	
	B
	limsin(n)n=0limsin⁡(n)n=0
Você acertou!
A alternativa correta é a letra b), pois lim1n=0lim1n=0 e (sin(n))(sin⁡(n)) é uma sequência limitada. (livro-base, Capítulo 2)
	
	C
	∣∣sin(n)n∣∣≤12|sin⁡(n)n|≤12, para todo n∈Nn∈N
	
	D
	limsin(n)n=1limsin⁡(n)n=1
	
	E
	A sequência (sin(n)n)n∈N(sin⁡(n)n)n∈N  é limitada.
Questão 8/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte série numérica conhecida por série geométrica:
∑∞n=0rn=1+r+r2+r3+⋯∑n=0∞rn=1+r+r2+r3+⋯
 
Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito de séries numéricas, analise as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas.
 
I.   ( ) A sequência de termos (rn)(rn) da série geométrica converge para zero para todo r∈Rr∈R
II.  ( ) A soma parcial dos temos da série da geométrica Sn=1+r+r2+⋯+rnSn=1+r+r2+⋯+rn é igual a 1−rn+11−r1−rn+11−r .
III. ( ) A série geométrica diverge para |r|≥1|r|≥1
IV.  ( ) ∑∞n=0(12)n=2∑n=0∞(12)n=2
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V-V-V-F
	
	B
	V-F-V-F
	
	C
	F-V-V-F
	
	D
	F-V-V-V
Você acertou!
A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra d). A afirmativa I é falsa porque a sequência dos termos diverge se |r|≥1|r|≥1. A afirmativa II é verdadeira pois SnSn é a soma dos termos de uma progressão geométrica. A afirmativa III é verdadeira pois se |r|≥1|r|≥1, a sequencia dos termos não converge para zero, logo, a série diverge. A afirmativa IV é verdadeira, pois a série é geométrica com r=12r=12. Logo, ∑∞n=0(12)n=11−12=112=2∑n=0∞(12)n=11−12=112=2. (livro-base, Capítulo 2).
	
	E
	F-V-F-V
Questão 9/10 - Análise Matemática
Consideremos a função f:R→Rf:R→R dada por f(x)={x2+1, x≤12x, x>1f(x)={x2+1, x≤12x, x>1.
Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito de funções contínuas e deriváveis, é correto afirmar que:
 
Nota: 10.0
	
	A
	Em x=1x=1, ff é contínua, mas não é derivável.B
	Em x=1x=1, ff é derivável, mas não é contínua.
	
	C
	Em x=1x=1, ff possui limites laterais, mas são diferentes.
	
	D
	Em x=1x=1, ff é contínua e é derivável.
Você acertou!
Temos que limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1)limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1) e limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1)limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1). Portanto, ff é contínua em x=1x=1. Além disso, temos que limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2 e limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−f(x)=(x2+1)−2x−1=limx→1−(x+1)=2limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−f(x)=(x2+1)−2x−1=limx→1−(x+1)=2 Logo, ff é derivável em x=1x=1 e f′(1)=2f′(1)=2 (livro-base, Capítulo 4).
	
	E
	Em x=1x=1, ff não é contínua nem é derivável.
 
Questão 10/10 - Análise Matemática
“É uma circunstância notável que a noção de área esteja relacionada com as derivadas.” 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Curso de análise v.1 . 12. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,2008,p. 304.}
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática , assinale a alternativa correta.
Nota: 10.0
	
	A
	O Teorema Fundamental do Cálculo pode ser aplicado somente a funções trigonométricas.
	
	B
	Se uma a derivada de uma função f(x)f(x) é igual ao valor numérico da integral de f(x)f(x) dizemos que  é uma função primitiva.
	
	C
	O valor numérico da integral superior em um intervalo (a,b)(a,b) corresponde ao dobro do valor da integral inferior no intervalo considerado.
	
	D
	A primitiva de uma função ff em x0x0 é outra função FF que representa o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico no ponto x0x0.
	
	E
	A representação geométrica do valor de uma integral para uma função integrável em um intervalo (a,b)(a,b) é a área entre o gráfico da função e o eixo das abscissas xx no intervalo de integração.
Você acertou!
Resultado da igualdade entre a integral superior e a integral inferior no intervalo considerado e que possibilita muitas aplicações da integral em diversas áreas (livro-base p.139)
Questão 1/10 - Análise Matemática
“Se alguém me perguntasse o que é que todo estudante de Ensino Médio deveria saber de matemática, sem sombra de dúvida, o tema Indução figuraria na minha lista.
É com o conceito de Indução que se estabelece o primeiro contato com a noção de infinito em Matemática, e por isso ele é muito importante; porém, é, ao mesmo tempo, sutil e delicado”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: HEFEZ, A. Indução Matemática. Programa da Iniciação Científica OBMEP, v. 4. 2009. p. iii. 
Tendo em vista a citação dada e de acordo com os conteúdos do livro-base sobre o Princípio da Indução Finita, analise as seguintes asserções: 
I. A soma dos nn primeiros números ímpares é n2, n≥1n2, n≥1.
 
PORQUE
 
II. Dados os números ímpares: 1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0)1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0),
se tivermos dois ímpares n=2n=2 a soma será S=1+3=4=22S=1+3=4=22 e se tivermos
55 números ímpares a soma será S=1+3+5+7+9=25=52S=1+3+5+7+9=25=52 
 
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da primeira.
	
	B
	As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa  correta da primeira.
Você acertou!
Apesar das duas afirmações serem verdadeiras, a segunda não é uma justificativa da primeira porque não prova que a proposição seja verdadeira para todo n>2n>2. Ela mostra apenas dois casos particulares. Para justificar a veracidade da primeira afirmação pode-se usar o Princípio da Indução Finita (livro-base, capítulo 1).
	
	C
	A asserção I é uma proposição verdadeira , e a II é uma proposição falsa.
	
	D
	A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
	
	E
	As asserções I e II são proposições falsas.
Questão 2/10 - Análise Matemática
Leia o trecho de texto a seguir:
 
“Sempre que falarmos em ‘número’ sem qualquer qualificação, entenderemos tratar-se de um número real. Como os números reais são representados por pontos de uma reta, através de suas abscissas, é costume usar a palavra ‘ponto’ em lugar de ‘número’; assim, ‘ponto xx’ significa ‘número xx’”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
ÁVILA, G., Análise Matemática para Licenciatura. 3. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2006. p. 140.
 
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, os pontos de um conjunto podem ser classificados de acordo com algumas propriedades. Enumere, na ordem sequencial, as propriedades que se relacionam a cada um dos pontos a seguir:
 
1. Ponto interior do conjunto XX
2. Ponto aderente ao conjunto XX
3. Ponto de acumulação do conjunto XX
4. Ponto isolado do conjunto XX
 
( ) É um ponto x∈Xx∈X que não é ponto de acumulação de XX.
( ) É um ponto x∈Xx∈X e que existe ε>0ε>0  tal que (x−ε,x+ε)⊂X(x−ε,x+ε)⊂X  .
( ) É um ponto xx tal que para todo ε>0ε>0 tem-se  (x−ε,x+ε)∩(X−{x})≠∅(x−ε,x+ε)∩(X−{x})≠∅.
( ) É um ponto que é o limite de alguma sequência formada por pontos de XX.
 
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 0.0
	
	A
	4-1-3-2
A sequência correta é 4 – 1 – 3 – 2. Segundo o livro-base: “1. Ponto interior do conjunto XX – um ponto x∈Xx∈X é um ponto interior de XX quando existir ε>0ε>0 tal que o intervalo (x−ε,x+ε)(x−ε,x+ε) esteja contido no conjunto XX. 2. Ponto aderente ao conjunto  – x∈Rx∈R é um ponto aderente de XX quando é limite de alguma sequência de elementos (xn)(xn) de XX. 3. Ponto de acumulação do conjunto X−x∈RX−x∈R é um ponto de acumulação do conjunto XX quando para todo ε>0ε>0 temos que (x−ε,x+ε)∩(X−{x})≠∅(x−ε,x+ε)∩(X−{x})≠∅. 4. Ponto isolado do conjunto XX – um ponto x∈Xx∈X é ponto isolado do conjunto XX quando xx não é ponto de acumulação de XX.” (livro-base, p.87-89).
	
	B
	1-3-2-4
	
	C
	2-4-1-3
	
	D
	4-3-1-2
	
	E
	2-1-3-4
Questão 3/10 - Análise Matemática
Atente para a seguinte citação:
 
“Na matemática, o limite tem o objetivo de determinar o comportamento de uma função à medida que ela se aproxima de alguns valores, sempre relacionando os pontos xx e yy”.
                       
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:<http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/limite-uma-funcao.htm>. Acesso em: 21 jun. 2017.
Dada a função f:R→Rf:R→R tal que f(x)=xlnxf(x)=xln⁡x
Levando em consideração as informações do dado fragmento de texto e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre limite e continuidade, responda:
Qual é o limite da função dada quando x tende a 1 (um)?
Nota: 10.0
	
	A
	−1−1
	
	B
	−∞−∞
	
	C
	∞∞
	
	D
	1
	
	E
	0
Você acertou!
Temos que limx→1x=1limx→1x=1 e limx→1lnx=ln1=0limx→1ln⁡x=ln⁡1=0. Assim limx→1x⋅lnx=1⋅0=0limx→1x⋅ln⁡x=1⋅0=0 (livro-base, p. 93)
Questão 4/10 - Análise Matemática
Leia o seguinte fragmento de texto:
 
“Diz-se que a sequência (xn)(xn) é limitada quando o conjunto dos seus termos é limitado, isto é, quando existem números reais aa e bb tais que a≤(xn)≤ba≤(xn)≤b para todo n∈Nn∈N”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 101.
De acordo com estas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a afirmativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	A sequência (sin(n)n)n∈N(sin⁡(n)n)n∈N é divergente
	
	B
	limsin(n)n=0limsin⁡(n)n=0
Você acertou!
A alternativa correta é a letra b), pois lim1n=0lim1n=0 e (sin(n))(sin⁡(n)) é uma sequência limitada. (livro-base, Capítulo 2)
	
	C
	∣∣sin(n)n∣∣≤12|sin⁡(n)n|≤12, para todo n∈Nn∈N
	
	D
	limsin(n)n=1limsin⁡(n)n=1
	
	E
	A sequência (sin(n)n)n∈N(sin⁡(n)n)n∈N  é limitada.
Questão 5/10 - Análise Matemática
Considere o trecho de texto a seguir:
“As séries de funções mais importantes da Análise são as do tipo ∑∞0an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+⋯+an(x−x0)n+a1+⋯∑0∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+⋯+an(x−x0)n+a1+⋯,(a0,a1,⋯∈R(a0,a1,⋯∈R são escalares)) que são chamadas séries de potências.”
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Curso de análise v.1 . 12. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,2008,p. 384.}
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras, e F para as afirmativas falsas.
I. ( ) A série de Maclaurin ocorre quando x0=0x0=0 isto é f(x)=∑∞0Cnxn=C0+C1x+C2x2+⋯+Cnxn+⋯f(x)=∑0∞Cnxn=C0+C1x+C2x2+⋯+Cnxn+⋯ (C0,C1,⋯∈R(C0,C1,⋯∈R são escalares)).
II. ( ) Podemos escrever exex como ex=∑∞0xnn!ex=∑0∞xnn! para x∈Rx∈R. 
III. ( ) Podemos escrever sin(x)sin⁡(x) como sin(x)=∑∞0(−1)n(2n+1)!⋅x2n+1sin⁡(x)=∑0∞(−1)n(2n+1)!⋅x2n+1 para x∈Rx∈R.
Agora marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	F – F – F
	
	B
	F – V – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	V – F – V
	
	E
	V – V – V
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira como consequência da série de Taylor (p.154). A afirmativa II é verdadeira pois a expansão de exex pode ser escrita desta maneira(p.185). A afirmativa III é verdadeira pois a expansão de sin(x)sin⁡(x) (livro-base p.153,154 e 185).
Questão 6/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte informação:
 
Seja  uma função definida por partes da seguinte forma:
 f(x)=⎧⎨⎩x2−3x+2x−2,x≠2kx=2f(x)={x2−3x+2x−2,x≠2kx=2
 
Fonte: texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando a função dada no texto e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre limite e continuidade, assinale qual valor deve ser dado para que a função dada seja contínua em x = 2:
Nota: 10.0
	
	A
	k=2k=2
	
	B
	k=0k=0
	
	C
	k=1k=1
Você acertou!
Para que a função seja contínua em x=2x=2 devemos ter: limx→2f(x)=f(2)limx→2f(x)=f(2). Temos que limx→2f(x)=limx→2x2−3x+2x−2=limx→2(x−2)(x−1)x−2=limx→2(x−1)=1limx→2f(x)=limx→2x2−3x+2x−2=limx→2(x−2)(x−1)x−2=limx→2(x−1)=1. Portanto, devemos definir f(2)=1f(2)=1. (livro-base, p. 99).
	
	D
	k=−1k=−1
	
	E
	k=−2k=−2
Questão 7/10 - Análise Matemática
Leia o excerto de texto a seguir. 
“Para que tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma função, e o domínio e o contradomínio da mesma devem possuir um certo tipo de estrutura, tornando-se o que se chama um ‘espaço topológico’. Em outras palavras, espaços topológicos são conjuntos equipados com estruturas tais que entre eles tem sentido falar em limites e continuidades de funções”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: Lima, E. L. Curso de Análise. v. 1. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,  2013. p. 161. 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática com respeito à conceitos topológicos, enumere, na ordem sequencial, as definições – em linguagem não formal – que se relacionam a cada um dos elementos a seguir:
 
1. Conjunto aberto
2. Ponto interior
3. Conjunto fechado
4. Ponto de acumulação
5. Conjunto compacto
6. Ponto aderente
 
( ) É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente dele.
( ) É todo conjunto que é simultaneamente fechado e limitado.
( ) É um conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem à ele.
( ) É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto.
( ) É um ponto que é limite de uma sequencia de elementos do conjunto.
( ) É um conjunto onde todos os seus pontos são interiores.
 
Agora marque a sequência correta:
 
Nota: 10.0
	
	A
	6 – 5 – 3 – 4 – 2 – 1
	
	B
	4 – 1 – 5 – 6 – 2 – 3
	
	C
	2 – 5 – 1 – 6 – 4 – 3
	
	D
	6 – 3 – 1 – 2 – 4 – 5
	
	E
	4 – 5 – 3 – 2 – 6 – 1
Você acertou!
A sequência correta é 4 – 5 – 3 – 2 – 6 – 1. Segundo o livro-base: “1. Conjunto aberto – É um conjunto onde todos os seus pontos são interiores. 2. Ponto interior – É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto. 3. Conjunto fechado – É um conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem à ele. 4. Ponto de acumulação – É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente dele. 5. Conjunto compacto – É todo conjunto que é simultaneamente fechado e limitado. 6. Ponto aderente – É um ponto que é limite de uma sequencia de elementos do conjunto” (livro-base, Capítulo 3).
Questão 8/10 - Análise Matemática
Observe o gráfico da função f(x)=⎧⎪⎨⎪⎩x+1,x<10,x=13−x,x>1f(x)={x+1,x<10,x=13−x,x>1
Com base na imagem dada e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Limite a continuidade, analise as afirmações a seguir e marque V para as afirmações verdadeiras e F para as afirmações falsas.
I. ( ) limx→1+f(x)=2limx→1+f(x)=2
II. ( ) limx→1f(x)=f(1)limx→1f(x)=f(1)
III. ( ) ∄limx→1f(x)∄limx→1f(x)
IV. ( ) limx→1f(x)=2limx→1f(x)=2
V. ( ) f(1)=0f(1)=0
Agora assinale a alternativa que contém a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	F – F – V – F – V
	
	B
	F – V – V – V – F
	
	C
	V – F – F – F – V
	
	D
	V – F – F – V – V
Você acertou!
A alternativa que contém a sequência correta é a letra d. A afirmativa I é verdadeira porque limx→1+f(x)=limx→1+3−x=3−1=2limx→1+f(x)=limx→1+3−x=3−1=2. A afirmativa II é falsa porque limx→1+f(x)=2≠0=f(1)limx→1+f(x)=2≠0=f(1). A afirmativa III é falsa porque limx→1f(x)=2limx→1f(x)=2. A afirmativa IV é verdadeira porque os limites laterais de ff quando xx tende a 1 são iguais a 2. A afirmativa V é verdadeira pela definição da função. (livro-base, p. 90-97).
	
	E
	V – V – F – F – F
Questão 9/10 - Análise Matemática
“Informalmente: limx→af(x)=Llimx→af(x)=L quer dizer que se pode tornar f(x)f(x) tão próximo de LL quanto se queira desde que se tome x∈Xx∈X suficientemente próximo, porém diferente, de aa.”
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 61.}
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a alternativa correta.
Nota: 10.0
	
	A
	Seja f:R−{2}→Rf:R−{2}→R, f(x)=x+3f(x)=x+3, então o valor de limx→2(x+3)limx→2(x+3) é 11.
	
	B
	Seja f:X→Rf:X→R e x0∈X′x0∈X′. Assim, se limx→x0f(x)=L1limx→x0f(x)=L1 e limx→x0f(x)=L2limx→x0f(x)=L2, então L1≠L2L1≠L2.
	
	C
	Sejam as funções f:X→Rf:X→R e g:X→Rg:X→R. Se limx→x0f(x)=L1limx→x0f(x)=L1 e limx→x0g(x)=L1limx→x0g(x)=L1, então limx→x0f(x)g(x)=L1+L2limx→x0f(x)g(x)=L1+L2.
	
	D
	Seja a função f(x):X→Rf(x):X→R então limx→x0k⋅f(x)=limx→x0f(x)klimx→x0k⋅f(x)=limx→x0f(x)k.
	
	E
	Sejam ff e g:R−{2}→Rg:R−{2}→R definidas por f(x)=3x+1f(x)=3x+1 e g(x):x+1g(x):x+1 e os limites limx→2f(x)=7limx→2f(x)=7 e limx→2g(x)=3limx→2g(x)=3 então limx→23x+1x+1=limx→2(3x+1)limx→2(x+1)=73limx→23x+1x+1=limx→2(3x+1)limx→2(x+1)=73.
Você acertou!
Sejam as funções f:X→Rf:X→R e g:X→Rg:X→R. Se limx→x0f(x)=L1limx→x0f(x)=L1 e limx→x0g(x)=L2limx→x0g(x)=L2 com L2≠0L2≠0, então limx→x0f(x)g(x)=L1L2limx→x0f(x)g(x)=L1L2. (Livro-base p. 93 a 95)
Questão 10/10 - Análise Matemática
Leia o seguinte fragmento de texto:
 
“Diz-se que uma função ff, definida num intervalo aberto II, é derivável em x0∈Ix0∈I se existe e é finito o limite da razão incremental
                                                         f(x)−f(x0)x−x0f(x)−f(x0)x−x0
com x→x0x→x0. Esse limite é, por definição, a derivada da função ff no ponto x0x0. Para indicar esse limite, usam-se as notações
                                              f′(x0),   (∂f)(x0)  e  dfdx(x0),f′(x0),   (∂f)(x0)  e  dfdx(x0),
esta última sendo o quociente de diferenciais”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ÁVILA, G. Ánálise Matemática para Licenciatura. 3. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2006. p. 175-176.
 
De acordo com o fragmento de texto dado e com os conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito das derivadas de funções reais, analise as assertivas a seguir e marque V para as assertivas verdadeiras e F para as assertivas falsas.
 
I. ( ) Uma função que é contínua em um ponto x0x0 do seu domínio possui derivada neste ponto.
II. ( ) Se duas funções f,g:I→Rf,g:I→R possuemderivada num ponto x0∈Ix0∈I, então a derivada da soma é igual à soma das derivadas.
III. ( ) Uma função f:I→Rf:I→R possui derivada num ponto de acumulação x0x0 do seu domínio se, e somente se, existe e é finito o limite limx→x0[f(x)−f(x0)]x−x0limx→x0[f(x)−f(x0)]x−x0.
IV. ( ) Informalmente, o valor da derivada em um ponto x0x0 de uma curva indica a inclinação da reta tangente à curva em x0x0.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V-F-V-F
	
	B
	F-V-F-V
	
	C
	V-V-V-F
	
	D
	F-V-V-F
	
	E
	F-V-V-V
Você acertou!
A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra e). A afirmativa I é falsa, basta observar a função f(x)=|x|f(x)=|x|. Essa função é contínua em x=0x=0, porém, não é derivável em x=0x=0. A afirmativa II é verdadeira pela regra da soma. A afirmativa III é verdadeira, pois é a definição de derivada. A afirmativa IV é verdadeira, pois é a noção geométrica de derivada (livro-base, p. 112-121).
Questão 1/10 - Análise Matemática
Leia a passagem de texto a seguir: 
“No conjunto dos números naturais, que, segundo o matemático Leopold Kronecker (1823–1891), foi criado por Deus (o resto foi criado pelo homem, complementava ele), a diferença entre a e b só está definida se a≥ba≥b . Mas há questões envolvendo a ideia de subtração de números naturais em que o minuendo é menor que o subtraendo – por exemplo, gastar mais do que se tem. Para enfrentar essas questões, foi preciso ampliar o conjunto dos números naturais, com a adjunção de novos números, os números inteiros negativos, introduzidos a princípio para possibilitar uma resposta a uma subtração qualquer de dois elementos de N”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna. 4. ed. reform. São Paulo: Atual, 2003. p. 29.
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a construção dos números inteiros, analise as assertivas que seguem e marque V para as asserções verdadeiras e F para as asserções falsas.
I. ( ) A operação de adição definida para o conjunto dos números inteiros é associativa e comutativa.
II. ( ) Cada elemento do conjunto dos números inteiros possui um inverso multiplicativo.
III. ( ) A classe de equivalência que representa o número zero é formada pelos pares ordenados que possuem o número zero em uma de suas coordenadas.
IV. ( ) O conjunto dos números inteiros é definido por meio de classes de equivalência da relação do conjunto N∪{0}XN∪{0}N∪{0}XN∪{0}.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V – V – V – F
	
	B
	V – F – F – V
Você acertou!
	
	C
	F – F – V – V
	
	D
	V – V – F – F
	
	E
	V – V – F – V
Questão 2/10 - Análise Matemática
Leia o fragmento de texto a seguir:
 
“Utilizaremos, porém, com frequência cada vez maior, a linguagem geométrica segundo a qual nos referimos ao corpo RR como ‘a reta’, diremos ‘ponto’ em vez de ‘número real’, traduziremos ‘a<ba<b’ por ‘aa está à esquerda de bb’, dados x,y∈Rx,y∈R, interpretaremos o valor absoluto |x−y||x−y| como ‘distância do ponto xx ao ponto yy’ e, finalmente, veremos o intervalo [a,b][a,b] como o segmento de reta cujos extremos são os pontos aa e bb.”
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 162.
 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas da reta, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas.
 
I.   ( ) O ponto x=1x=1 é um ponto interior do conjunto X={1}∪[32 , 2]X={1}∪[32 , 2].
II.  ( ) O conjunto X={n | n∈N}X={n | n∈N} não possui pontos de acumulação.
III. ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de acumulação do conjunto X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}.
IV.  ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de aderência do conjunto X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}.
 
Assinale a alternativa que contém a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V-V-F-V
	
	B
	F-F-V-V
	
	C
	V-F-F-V
	
	D
	V-F-V-F
	
	E
	F-V-V-V
Você acertou!
A alternativa que contém a sequência correta é a letra e). A afirmativa I está incorreta, pois qualquer intervalo centrado em x=1x=1 não está contido no conjunto XX. A afirmativa II está correta, pois para qualquer x∈Rx∈R, com x∉Xx∉X, é fácil ver que existem vizinhanças de xx que não contém pontos de XX e para os pontos x∈Xx∈X, existem vizinhanças de xx que contém apenas o ponto xx. Logo, não existem pontos de acumulação. A afirmativa III está correta, pois qualquer vizinhança de zero contém um ponto diferente de zero que pertence ao conjunto XX. A afirmativa IV está correta pois zero é o limite da sequência (1n)(1n) que é formada por pontos de XX. (livro-base, Capítulo 3).
Questão 3/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte imagem:
Fonte: imagem elaborada pelo autor da questão.
Considerando o gráfico fornecido e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre Teoria da Integral, assinale a alternativa que contém a área da região compreendida entre o eixo xx  e o gráfico da função f(x)=x+2f(x)=x+2  no intervalo limitado por x=0x=0 e x=2x=2.
 
Nota: 10.0
	
	A
	2
	
	B
	3232
	
	C
	4
	
	D
	1414
	
	E
	6
Você acertou!
A área da região é dada por: A(D)=∫20(x+2)dx=(x22+2x)∣∣∣20=(222+2⋅2)−(022+2⋅0)=[(2+4)−0]=6A(D)=∫02(x+2)dx=(x22+2x)|02=(222+2⋅2)−(022+2⋅0)=[(2+4)−0]=6.    (livro-base, p. 156).
Questão 4/10 - Análise Matemática
Leia o seguinte fragmento de texto:
 
“Diz-se que uma função ff, definida num intervalo aberto II, é derivável em x0∈Ix0∈I se existe e é finito o limite da razão incremental
                                                         f(x)−f(x0)x−x0f(x)−f(x0)x−x0
com x→x0x→x0. Esse limite é, por definição, a derivada da função ff no ponto x0x0. Para indicar esse limite, usam-se as notações
                                              f′(x0),   (∂f)(x0)  e  dfdx(x0),f′(x0),   (∂f)(x0)  e  dfdx(x0),
esta última sendo o quociente de diferenciais”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ÁVILA, G. Ánálise Matemática para Licenciatura. 3. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2006. p. 175-176.
 
De acordo com o fragmento de texto dado e com os conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito das derivadas de funções reais, analise as assertivas a seguir e marque V para as assertivas verdadeiras e F para as assertivas falsas.
 
I. ( ) Uma função que é contínua em um ponto x0x0 do seu domínio possui derivada neste ponto.
II. ( ) Se duas funções f,g:I→Rf,g:I→R possuem derivada num ponto x0∈Ix0∈I, então a derivada da soma é igual à soma das derivadas.
III. ( ) Uma função f:I→Rf:I→R possui derivada num ponto de acumulação x0x0 do seu domínio se, e somente se, existe e é finito o limite limx→x0[f(x)−f(x0)]x−x0limx→x0[f(x)−f(x0)]x−x0.
IV. ( ) Informalmente, o valor da derivada em um ponto x0x0 de uma curva indica a inclinação da reta tangente à curva em x0x0.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V-F-V-F
	
	B
	F-V-F-V
	
	C
	V-V-V-F
	
	D
	F-V-V-F
	
	E
	F-V-V-V
Você acertou!
A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra e). A afirmativa I é falsa, basta observar a função f(x)=|x|f(x)=|x|. Essa função é contínua em x=0x=0, porém, não é derivável em x=0x=0. A afirmativa II é verdadeira pela regra da soma. A afirmativa III é verdadeira, pois é a definição de derivada. A afirmativa IV é verdadeira, pois é a noção geométrica de derivada (livro-base, p. 112-121).
Questão 5/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte citação:
 
“Ter uma indeterminação (qualquer que seja) não significa que o limite considerado não existe ou que ele não pode ser calculado, mas que um estudo mais minucioso é necessário”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: <https://e-scola.edu.gov.cv/index.php?option=com_rea&id_disciplina=1&id_materia=2&id_capitulo=88&Itemid=298>. Acesso em: 20  jun.2017.
Dado o seguinte limite: limx→12x−2x2−1limx→12x−2x2−1
Considerando essas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre limites, assinale a alternativa que fornece o valor do limite dado:
Nota: 10.0
	
	A
	−2−2
	
	B
	2
	
	C
	∞∞
	
	D
	0
	
	E
	1
Você acertou!
Temos uma indeterminação do tipo 0000, então podemos usar a Regra de L’Hôpital: limx→12x−2x2−1=limx→122x=1limx→12x−2x2−1=limx→122x=1. Outra forma de calcular esse limite seria isolando no numerador a expressão (x−1)(x−1) e fatorando o denominador como (x+1)(x−1)(x+1)(x−1).
(livro-base, p. 128).
Questão 6/10 - Análise Matemática
Considere o seguinte trecho de texto a seguir:
“Por exemplo quando se diz que uma função f:[c,d]→Rf:[c,d]→R, definida num intervalo compacto, é derivável num ponto a∈[c,d]a∈[c,d] isto significam, no caso de a∈(c,d)a∈(c,d), que possui as duas derivadas laterais no ponto aa e elas são iguais. No caso de aa ser um dos extremos, isto quer dizer apenas que existe, ponto aa, aquela derivada lateral que faz sentido.”
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Curso de análise v.1 . 12. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,2008,p. 257.
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a alternativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	As derivadas laterais f′+(x0)f+′(x0) e f′−(x0)f−′(x0) devem ter valores diferentes para exista a derivada no ponto x0x0.
	
	B
	Toda função derivável em um ponto x0x0 é contínua no ponto x0x0.
Você acertou!
Teorema de derivadas que tem utilidade no estudo da continuidade das funções (livro-base p.115 e 116)}
	
	C
	Toda função contínua em um ponto x0x0 é derivável no ponto x0x0.
	
	D
	Uma aplicação das derivadas é a regra de L’Hôpital pode ser aplicada no cálculo de limites para qualquer tipo de expressão indeterminada.
	
	E
	Segundo o teorema de Rolle a derivada de um produto de duas funções ff e gg é igual ao produto das derivadas.
Questão 7/10 - Análise Matemática
“O conceito de relação de equivalência é relevante para todos os ramos da Matemática. Em linhas gerais, tal conceito surge como uma forma de generalizar a relação de igualdade, no sentido de que, elementos de um dado conjunto, mesmo distintos, cumprem papel equivalente”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: VIEIRA, V. L. Álgebra Abstrata para Licenciatura. Campina Grande: EDUEPB, 2013. p. 18. 
Considere o conjunto A={1,2,3,4}A={1,2,3,4}
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática referentes à relações entre conjunto assinale a única alternativa que contém uma relação de equivalência do conjunto dado:
 
Nota: 10.0
	
	A
	R={(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}.R={(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}.
Você acertou!
Essa relação é reflexiva, pois (x,x)∈R,∀x∈A(x,x)∈R,∀x∈A. É simétrica pois para cada par (x,y)(x,y) que pertence à RR o seu simétrico (y,x)(y,x) também pertence à RR. E essa relação é transitiva pois se os pares (x,y)(x,y) e (y,z)(y,z), então, o par (x,z)(x,z) também pertence à RR (livro-base, capítulo 1).
	
	B
	R={(2,3),(4,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}R={(2,3),(4,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
	
	C
	R={(2,1),(3,1)}R={(2,1),(3,1)}
	
	D
	R={(2,1),(2,3),(2,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}R={(2,1),(2,3),(2,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
	
	E
	R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
Questão 8/10 - Análise Matemática
Observe a seguir o gráfico da função f:X→Rf:X→R, dada por f(x)=x−2x2−1f(x)=x−2x2−1, onde X=R−{−1,1}X=R−{−1,1}:
Observando o gráfico da função f(x)=x−2x2−1f(x)=x−2x2−1 e considerando os conteúdos do livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir.
I. Para todo ε>0ε>0, é possível encontrar δ>0δ>0 tal que x∈Xx∈X e 0<|x−2|<δ0<|x−2|<δ impliquem |f(x)|<ε|f(x)|<ε.
II. limx→∞f(x)=+∞limx→∞f(x)=+∞
III. Podemos dizer que quando xx se aproxima de 11 pela esquerda a função f(x)f(x) tende a +∞+∞.
IV. limx→−1+f(x)=+∞limx→−1+f(x)=+∞
V. Podemos dizer que não existe o limite de f(x)f(x) quando xx se aproxima de 1 porque 1 não é ponto de acumulação do conjunto XX.
São corretas apenas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I, II e V
	
	B
	II, III e IV
	
	C
	III e IV
	
	D
	I, III e IV
Você acertou!
As afirmativas I, III e IV são corretas. A afirmativa I é correta porque a função é contínua em x=2x=2 e f(2)=0f(2)=0. A afirmativa II é incorreta porque limx→+∞f(x)=0limx→+∞f(x)=0. A afirmativa III é correta porque dado M>0M>0 existe δ>0δ>0 tal que x∈Xx∈X e 0<|1−x|<δ0<|1−x|<δ implicam f(x)>Mf(x)>M. A afirmativa IV é correta porque dado M>0M>0 existe δ>0δ>0 tal que 0<x−(−1)<δ0<x−(−1)<δ implica que f(x)>Mf(x)>M. A afirmativa V está incorreta porque 1 é ponto de acumulação de XX. (livro-base, Capítulo 3).
	
	E
	I, IV e V
Questão 9/10 - Análise Matemática
Atente para a seguinte citação:
 
“Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto - esta dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o ‘Problema da Tangente’”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: <http://www.somatematica.com.br/historia/derivadas.php>. Acesso em: 20 jun. 2017.
 
De acordo com as informações dadas e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Derivadas, sendo f′(x0)=limx→x0[f(x)−f(x0)]x−x0f′(x0)=limx→x0[f(x)−f(x0)]x−x0, assinale a alternativa que contém o limite que devemos calcular para encontrar a derivada da função f(x)=x2−1f(x)=x2−1 no ponto x=2x=2:
Nota: 10.0
	
	A
	limx→2(x2−1)±5x−2limx→2(x2−1)±5x−2
	
	B
	limx→2(x2−1)−3x−2limx→2(x2−1)−3x−2
Você acertou!
Como f(2)=3f(2)=3 e f′(2)=limx→2f(x)−f(2)x−2f′(2)=limx→2f(x)−f(2)x−2 quando esse limite existir, então, limx→2(x2−1)−3x−2limx→2(x2−1)−3x−2
	
	C
	limx→0(x2−1)−2x−2limx→0(x2−1)−2x−2
	
	D
	limx→2(x2−1)x−2limx→2(x2−1)x−2
	
	E
	limx→0(x2−1)xlimx→0(x2−1)x
Questão 10/10 - Análise Matemática
O primeiro fato a destacar sobre uma série de potências ∑∞nan(x−x0)n∑n∞an(x−x0)n é que o conjunto de valores de xx para os quais ela converge é um intervalo de centro x0x0. Esse intervalo  pode ser limitado (aberto, fechado ou semi-aberto), igual a RR  ou até mesmo reduzir-se a um único ponto.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p.159.
Considere a expansão da série de potências ex=∑∞n=0xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R)ex=∑n=0∞xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R)
Assinale a alternativa que contém os valores para x=1.
Nota: 10.0
	
	A
	e=∑∞n=01n!=1−11+12−16+⋯e=∑n=0∞1n!=1−11+12−16+⋯
	
	B
	e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯e=∑n=0∞1n!=1+11+12+16+⋯
Você acertou!
A alternativa correta é a letra b. Substituindo os valores de n no somatório temos: e=∑∞n=01n!=1+11!+122!+133!+⋯⇒e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯e=∑n=0∞1n!=1+11!+122!+133!+⋯⇒e=∑n=0∞1n!=1+11+12+16+⋯(livro-base p. 185).
	
	C
	e=∑∞n=01n!=1+13+15+⋯e=∑n=0∞1n!=1+13+15+⋯
	
	D
	e=∑∞n=01n!=1−13+15−⋯e=∑n=0∞1n!=1−13+15−⋯
	
	E
	e=∑∞n=02nn!=1+23+34+⋯e=∑n=0∞2nn!=1+23+34+⋯