SISTEMA_DE_PROJECAO_UTM_CAP_5

Prévia do material em texto

O SISTEMA DE PROJEÇÃO UTM 
 
 
CAPÍTULO 05 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
 
 
O orbe terrestre possui sua superfície irregular, denominada 
topográfica, e, para superar esta dificuldade frente ao alcance dos objetivos da Ciência 
Geodésica, a Terra é idealisticamente representada por um modelo geométrico-
matemático denominado de Elipsóide de Revolução, cuja caracterização métrica de 
seus parâmetros tem ocorrido ao longo do tempo, por diversos geodesistas. Sendo a 
Terra um sólido tridimensional e, mesmo representada por outro sólido – quer seja o 
Esferóide, quer seja o Elipsóide, como representá-la em mapas se são planos 
bidimensionais? A solução deste problema cartográfico passa por três etapas: 
 
• Adoção de uma superfície de referência que seja desenvolvível no plano, sobre a 
qual os pontos deverão ser projetados; 
 
• Definir uma relação matemática que permita transformar a superfície de referência 
numa superfície plana; 
 
• Estabelecer um sistema de coordenadas no plano e definir uma escala adequada 
para que a superfície mapeada possa ser representada nas dimensões do papel 
utilizado para a execução do desenho. 
 
 
2 O SISTEMA DE PROJEÇÃO DE MERCATOR 
 
 
O sistema de projeção denominado de Mercator teve início com o 
holandês Gerhard Kremer que o idealizou em 1569. Outros geodesistas passaram a 
estudar o sistema criado, chegando-se ao atual Sistema de Projeção UTM, 
modificado da idéia original de seu criador. 
Embora não sendo considerado um sistema de projeção geométrica, 
pois não se podem definir os percursos dos raios projetantes porque possui apenas 
solução puramente analítica, o sistema teve sua utilização recomendada pela União 
Geodésica e Geofísica Internacional, na sua IX Assembléia, realizada em 1951. 
O Sistema UTM – Universal Tranversa de Mercator foi usado em larga 
escala, pela primeira vez, pelo Instituto de Cartografia do Exército Americano, 
durante a segunda Guerra Mundial. Sua principal vantagem é que se consegue 
representar grandes áreas da superfície terrestre sobre um plano, com poucas 
deformações. 
A projeção de Mercator foi concebida originalmente como uma 
superfície cilíndrica envolvendo a superfície de referência, de modo que o cilindro 
 
contivesse o eixo dos pólos da superfície envolvida e que tangenciasse a mesma nos 
pontos extremos da linha do Equador. 
A projeção de Mercator tornou-se transversa ao eixo polar quando se 
fez uma rotação do eixo original do cilindro, de modo que o mesmo coincidisse com o 
plano que possui o Equador e que tangenciasse os pólos da superfície de referência. 
Disto resulta a sua denominação de transversa – Figura 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1: Superfície de projeção cilíndrica transversa e tangente 
 
 
2 CARACTERÍSTICAS DO SISTEMA UTM 
2.1 Aspectos conceituais 
 
A projeção de Mercator é muito utilizada na sua forma modificada: em 
vez de tangenciar a superfície de referência, o cilindro passa a ser secante. 
O Sistema de Projeção UTM faz uso da projeção cilíndrica conforme 
que preserva as formas geométricas em detrimento das dimensões. Visualiza-se o 
sistema como um cilindro que secciona a superfície de referência, orientando-se o 
cilindro de maneira que seu eixo seja contido pelo plano do Equador, conforme ilustra 
a Figura 2, dada a seguir: 
 
 Meridiano central 
 
 
 
 
 
Eixo do cilindro 
 
 
 
 Figura 2: Superfície de projeção cilíndrica transversa e secante 
 
Observa-se que o cilindro secante tem um diâmetro menor que o da 
superfície de referência, em decorrência ficam determinadas as duas linhas de 
interseção (secância) entre o cilindro e a superfície de referência. A área da projeção 
compreende apenas uma parcela da superfície de referência, a qual recebe a 
 
 
denominação de fuso ou zona. Cada fuso é representado seu pelo número ou pela 
longitude do seu meridiano central (MC). As análises conjuntas das Figuras 3 e 4 
ilustram a o exposto. Para representar as demais áreas situadas sobre a superfície de 
referência, o cilindro secante rotaciona em torno do eixo polar. 
 
 
 MERIDIANO CENTRAL 
 MC 
 80º N 
 
 
 
 
 
 
 EQUADOR 
 0º 0º 
 
 
 
 
 
 80º S 
 
 
 Figura 3: Limites das latitudes e forma geométrica dos meridianos e paralelos 
 
 
 
 MC = -171º MC = -177 MC = 177º MC = 171º 
 
 -174º Fuso 1 180º Fuso 60 174º 
 Fuso 2 Fuso 59 
 -168º 168º 
 
 3º 3º 3º 3º 3º 3º 3º 3º 
 sentido da sentido da 
 contagem dos fusos contagem dos fusos 
 
 
 
 
 
 
 MERIDIANOS CENTRAIS 
 
 
 
 Figura 4: Vista superior da Terra - divisão em Fusos e Meridianos Centrais 
 
 
2.2 Características principais 
 
As principais características do Sistema UTM são: 
 
• Amplitudes dos fusos: 6º coincidentes com os fusos da Carta Internacional ao 
Milionésimo - CIM. 
• Latitude da origem : 0º no Plano do Equador; 
• Longitude da origem: corresponde a longitude do meridiano central (MC) do 
fuso; 
• Falso Norte (translação Norte) : 10.000.000 m para o Hemisfério Sul; 
• Falso Este (translação Este) : 500.000 m 
• Fator de escala no meridiano central (Ko) : 0,9996; 
• Numeração das zonas: divisão da superfície de referência em sessenta (60) zonas 
(fusos), numeradas de 1 a 60, a partir do Antimeridiano de Greenwich no sentido 
para Leste. Tem-se, portanto: 
 
 
 Zona 1 : limites entre 180º W a 174º W 
 Zona 30 : limites de 6ºW a 0ºW 
 Zona 60 : limites de 174º E a 180º E 
 
A Figura 4 ilustra a divisão em fusos e o sentido da contagem dos 
mesmos. 
 
• Limites das latitudes: 80º N e 80º Sul, conforme se visualiza na Figura 3. 
• A linha do Equador e a linha do meridiano central (MC) de cada fuso são 
representadas por linhas retas e ortogonais na projeção plana. Os demais 
meridianos são representados por linhas côncavas em relação ao meridiano central 
e os paralelos são representados por linhas côncavas em relação ao pólo mais 
próximo, conforme representado na Figura 3. 
• O espaçamento entre os meridianos aumenta à medida que eles se afastam do 
meridiano central (MC). Para manter a proporcionalidade da projeção conforme, a 
escala na direção Norte-Sul também é distorcida resultando na existência de uma 
escala diferente para cada ponto situado sobre o mesmo lado do meridiano. 
 
 
3 DETERMINAÇÃO DO MERIDIANO CENTRALDO SISTEMA UTM 
 
 
O meridiano central (MC) é determinado considerando-se que a sua 
variação ocorre de 6º em 6º. O primeiro meridiano central possui longitude igual a 
177º W (-177º), para o Fuso 1, enquanto que o último, no lado Oeste (W) possui 
longitude igual a 3º W (-3º), para o Fuso 30. Os meridianos centrais possuem, 
portanto, valores iguais a - 3º, - 9º, - 15º, - 21º, - 51º,... e assim sucessivamente. Para o 
lado Leste (E), os meridianos centrais apresentam a mesma série angular, apenas 
precedido do sinal positivo e valores crescentes no sentido Leste. 
A Figura 5 e a Tabela 1 caracterizam o exposto. A Figura 5 mostra a 
localização do Brasil numa faixa de fusos compreendida entre os limites 18 e 25, 
correspondendo os meridianos centrais entre os valores de – 75º (75ºW) e – 33º 
(33ºW). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5: Brasil dividido em fusos (Fontes: DSG, 1959) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 TABELA 1: Faixa de fusos onde está localizado 
 o território brasileiro 
 
 
As relações entre meridianos e fusos são ser estabelecidas mediante as 
seguintes expressões: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS.: o valor angular o meridiano central deve ser em módulo. 
 
 
 
 
 
• Exemplificando numericamente 
 
O valor do Meridiano Central (MC) para o Fuso 22 vale: 
 
Do exposto, 
 
 MC = 6xFuso - 183º ∴ MC = 6 x 22 - 183º ∴ 
 
 MC = 132º - 183º = - 51º ∴ 
 
 MC = 51º W 
 
 
4 COEFICIENTE DE DEFORMAÇÃO LINEAR 
 
 
Como se pode notar na Figura 5, a quadrícula do sistema não tem 
lados paralelos, o que, conseqüentemente, provocará distorções. Com a intenção de 
reduzir os efeitos da deformação linear, o sistema propõe um coeficiente de redução 
ao longo do meridiano central do fuso com valor K0 = 0,9996, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo o cilindro transverso e secante ao fuso sobre dois meridianos, 
“paralelos” ao meridiano central do fuso, tem-se 180 km para cada lado, 
aproximadamente, as linhas de secância ao longo das quais a deformação é nula (k = 
1). Verifique e analise as Figuras 6 e 7, apresentadas adiante. 
Pode-se observar que nos extremos do fuso, ocorre uma deformação da 
ordem de 1/1000, perfeitamente aceitável nas dimensões cartográficas. 
 
 
 
 No do Fuso = (183º - MC) 
 
 6 
 
MC = (6xFuso – 183º) 
 
K0 = 1 – 1 /2500 = 0,9996 
 
 
 KO = 0,9996 Meridiano Central (MC) 
 
 K = 1 K = 1 PLANO SECANTE 
 
 
 K = 1,001 K = 1,001 
 
 
 
 1º 37´ 1º 37´ 
 1º 23´ 1º 23´ 
 AMPLITUDE DE 6º 
 
 3 º 
 
 
 
 
 
 AMPLIAÇÃO REDUÇÃO REDUÇÃO AMPLIAÇÃO 
 
 
 Figura 6: Faixa de variação do coeficiente de deformação 
 
 
 K = 1,001 K = 1 Mc K = 1 K = 1,001 
 80 ºN 
 
 3º 
 
 
 
 180 Km 180 Km 
 
 
 1º 37´ 1º 37´ 
 
 AMPLITUDE DE 6º 
 80 ºS 
 
 
 Figura 7: Faixa de deformação linear de redução, 
 com cerca de 180 km de largura em 
 relação ao meridiano central (MC) 
 
4.1 Fator de escala 
 
Alguns autores denominam o coeficiente de deformação como Fator 
de escala. A distância plana é obtida multiplicando-se distância elipsoidal, 
determinada sobre o elipsóide de referência, pelo fator de escala K, ou seja: 
. 
 
 
 
 
dUTM = Kxd ELIP 
 
À medida que nos afastamos do meridiano central, na projeção 
U.T.M., as deformações crescem. Para evitar que as transformações tornem-se 
exageradas nas bordas dos fusos, adotou-se, para os pontos situados no meridiano 
central, o fator K = 0,9996. A partir do MC o fator de escala cresce para o oeste e 
para o leste, até atingir o valor K = 1,000, nas linhas de secância; daí em diante 
continua a crescer até o valor K = 1,001 nas bordas do fuso. Além dessas bordas 
limites do fuso continua a crescer mais ainda. 
O valor de K é um valor pontual, variando de acordo com sua posição 
na superfície plana, podendo ser calculado pela seguinte expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
onde: KO : coeficiente de deformação linear no meridiano central = 0,9996 
 λMC : longitude do meridiano central do fuso 
 λm : longitude média dos valores relativos aos pontos considerados (λ1 , λ2) 
 φm : latitude média dos valores relativos aos pontos considerados (φ1 , φ2) 
 
 
4.2 Constantes aditivas 
 
Objetivando evitar pares coordenados com valores negativos, o sistema 
estabelece acréscimos das constantes 10.000 km para o Equador (ordenadas) e 500 
km para o Leste (abscissas). Deste modo, conforme ilustra a Figura 8, um ponto P 
sobre o plano UTM, considerado a Oeste do meridiano central (MC) e ao Sul do 
Equador, terá suas coordenadas sempre positivas. 
 
 MERIDIANO CENTRAL DO FUSO 
 
 
 
 
 
 EQUADOR 
 
 
 N’ 
 ° 
 10 000.000 m E’ 
 
 
 
 
 500.000 m 
 
 Figura 8: Constantes aditivas do Sistema UTM 
 
 
O ponto P possui as seguintes coordenadas plano-retangulares: 
 
K = Ko 
 
 [ 1 - cos2(φm)xsen2(λm - λMC)]1/2 
 
 
 
P : E (m) = 500.000,00 + E’ 
 N (m) = 10.000.000,00 + N’ 
 
Onde, E’ e N’ entramcom os sinais do quadrante correspondente. 
 
Neste sistema de projeção desenvolvido no plano UTM, ao se definir 
em cada fuso o seu próprio sistema de coordenadas plano-retangulares (N,E), 
apresenta-se o inconveniente de não se poder relacionar diretamente pontos entre 
fusos distintos. Para minimizar esse inconveniente, considera-se uma zona de 
superposição de, aproximadamente, 83 km de largura, equivalendo a mais ou menos 
30´ de arco de paralelo. 
Por outro lado, fórmulas matemáticas foram estabelecidas para se 
relacionar as coordenadas UTM de um ponto, em um fuso, com as de outro ponto em 
outro fuso adjacente.Verificar a Figura 9. 
O sistema UTM identifica as coordenadas, respectivamente com as 
letras “N” e “E” visando associar seus valores às coordenadas para o Norte e para o 
Leste. 
 ´ 
 
 
 Mc Mc 
 
 
 
 
 
 
 SUPERPOSIÇÃO EQUADOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 9: Dois fusos contíguos 
 
 
 
5 CONVERGÊNCIA MERIDIANA 
 
 
Os ângulos meridianos no elipsóide são referidos ao Norte Geográfico 
(NG) também denominado de Norte Verdadeiro (NV), cuja representação no sistema 
plano UTM é dada por uma linha curva côncava em relação ao meridiano central. As 
quadrículas UTM, por sua vez, formam um sistema de coordenadas plano-retangular 
com a direção dos valores ordenados (Y) orientada na direção Norte-Sul das 
quadrículas (NQ). As duas linhas formam, portanto, um ângulo variável para cada 
 
ponto. Denomina-se, então, de convergência meridiana a este ângulo. A Figura 10 
ilustra este aspecto. 
 
 
 NQ NV NV NQ 
 
 c MC c 
 c = convergencia meridiana 
 • P 
 A • 
 _ + 
 
 
 
 Equador 
 NQ NV 
 NQ 
 
 NV + _ c 
 c 
 •B 
 D • 
 
 
 
 
 Figura 10: Convergência meridiana 
 
 
O ângulo entre a direção do NV (referência) e o norte da Quadrícula 
NQ, em um ponto nesta projeção, depende da distância do meridiano central ao 
ponto e da latitude do ponto. Vide Figura 10. 
A convergência meridiana, no Hemisfério Sul, é positiva para os 
pontos situados a Oeste do meridiano central e negativa, para os pontos situados a 
Leste do MC. O inverso acontece no Hemisfério Norte. 
Um cálculo aproximado do valor da convergência meridiana pode ser 
obtido pela seguinte fórmula: 
 
 
 
 
 
 sendo: 
 C = Convergência Meridiana 
 Δλ = Diferença de longitude entre o ponto dado e a longitude do 
meridiano central (Mc) ∴ Δλ = |λ - MC| (módulo) 
ϕ = latitude do ponto dado. 
 
• Exemplificando numericamente: 
 
O valor da convergência meridiana para o ponto localizado na posição 
geodésica de coordenadas: 
 
C = Δλ sen(ϕ) 
 
 
 ϕ = - 21º46´12,232 “ 
 λ = - 43º21´51,371” (Sul) 
 MC = - 45º 
 
Resposta: Δλ = |- 43º21´51,371” – (-45º | = 1º38´08,629” ∴ 
 C = 1º38´08,629”xsen(-21º46´12,232”) = - 0º36´23,899” 
 
No estudo da convergência meridiana devem-se elaborar cálculos tanto 
para o Elipsóide SAD 69 quanto para o elipsóide WGS-84. 
Vale destacar que o ângulo formado entre a direção do meridiano 
geográfico (NV/NG) e o meridiano magnético (NM) é denominado de declinação 
magnética. Em razão deste aspecto pode-se estabelecer a seguinte combinação: 
 
 
 
 NM NQ NG 
 Convergência meridiana 
 
 
 
 Declinação magnética 
 
 
 
 
 
 Figura 11: As três direções referenciais 
 
 
6 QUADRÍCULA UTM 
 
 
Em obediência às normas elaboradas por Organismos e Associações 
Internacionais, o Brasil, assim como outros países, adotaram o sistema de quadrículas 
UTM para cobrir a superfície do elipsóide compreendida entre os paralelos 80º N e 
80º S (160º intervalo de latitude). No sistema de quadrículas UTM, cada um dos 60 
fusos de amplitude meridiana iguais a 6º se divide entre os paralelos 80º N e 80º S 
em 20 bandas ou zonas, cada qual com amplitude de 8º. Como são 60 fusos no sentido 
Leste/Oeste, ter-se-á a formação de 1200 zonas, cada uma com 6º de longitude por 8º 
de latitude, constituindo-se na quadrícula básica da Q.U.T.M. 
A cada uma dessas zonas se designa por uma letra maiúscula, de C até 
X, a partir do paralelo - 80ºS na direção Norte. As letras A, B, I, O, Y e Z não 
serão utilizadas. 
A combinação de letras como os números dos fusos, permite que 
cada zona fique assim determinada sem duplicidade. 
A cidade de Salvador -Bahia, por exemplo, encontra-se na zona 
 24 L ver a Figura 12). Esta zona encontra-se compreendida pelos meridianos de 
longitudes - 36º e - 42º e paralelos de latitudes - 8º e - 16º. Veja Figura 12, 
apresentada a seguir: 
 
 HN HS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 12: Designação das zonas no sistema QUTM 
 
6.1 Síntese dos principais elementos e especificações do Sistema UTM 
 
 
• Limites 
 
Propõe o Sistema UTM que a superfície de projeção seja limitada por 
meridianos múltiplos de 6º, coincidentes com os fusos da Carta Internacional ao 
Milionésimo - CIM, no sentido Leste-Oeste. 
No sentido dos pólos, a partir do Plano do Equador, deve ser limitada 
na latitude de 80º para o Norte e na latitude 80º para o Sul, coerentemente com o 
sistema de projeção conforme de Gauss, que lhe dá apoio. 
 
• Coeficiente de deformação 
 
Com a intenção de reduzir mais ainda os efeitos das deformações 
lineares, o Sistema UTM propõe coeficientes de redução/ampliaçãolineares, 
conforme discriminados a seguir: 
 
o No centro do fuso: K = 0,996 (ao longo do MC) 
o A 180 km, para à esquerda ou à direita do MC ( ±1º37’): K = 1,000 
o Nos limites Oeste/Leste do fuso: K = 1,001 
 
• Eixos cartesianos 
 
Com a adoção dos fusos coincidentes com os da Carta Internacional ao 
Milionésimo, a origem do sistema dos eixos coincide com o cruzamento do meridiano 
central de cada fuso com a Linha do Equador. 
 
• Constantes aditivas 
 
Para se evitar valores negativos para as coordenadas plano-retangulares 
UTM, o sistema propõe o acréscimo das seguintes constantes: 
 
o 10.000 km para o Equador 
o 500 km para o meridiano central (MC) 
 
Desta forma, conforme ilustra a Figura 8, o ponto P considerado a 
Oeste do meridiano central e ao Sul do Equador (sinais negativos) terá suas 
coordenadas sempre positivas. 
O Sistema UTM propõe as letras N e E precedendo os valores das 
ordenadas e abscissas, respectivamente, em vez de Y e X, visando com isto associar 
aos seus valores a idéia de coordenadas positivas para o Norte (N) e para o Leste (E). 
Por exemplo, para um ponto P qualquer: 
 
 
 EP = 323.300,200 m 
 NP = 7.394.477,895 m 
 
 
Numa primeira análise sobre os valores das coordenadas, pode-se 
afirmar que: 
 
 
o O ponto P está localizado no Hemisfério Sul, porque o valor de N é menor que a 
constante aditiva equatorial igual a 10.000.000,00 m; 
 
o O ponto P está localizado a Oeste do Meridiano Central, porque o valor de E é 
menor que a constante aditiva igual a 500.000,00 m. 
 
6.2 Mapa no plano UTM