TOPOGRAFIA BÁSICA

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TOPOGRAFIA BÁSICA PARA 
ENGENHEIROS E ARQUITETOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Antonio Henriques Bento 
Rosane Maciel Vargas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Manaus 
Agosto/1999 
 
SUMÁRIO 
 
1 HISTÓRICO ........................................................................................... 1 
2 TOPOGRAFIA ....................................................................................... 3 
2.1 Levantamento topográfico ................................................................. 4 
A. Expedito ....................................................................................... 4 
B. Comum ......................................................................................... 5 
C. Precisão ........................................................................................ 5 
2.2 Divisões da Topografia ..................................................................... 6 
A. Topometria ................................................................................... 6 
A1. Planimetria ........................................................................... 6 
A2. Altimetria ............................................................................. 6 
B. Topologia ..................................................................................... 6 
2.3 Partes de um trabalho de Topografia ................................................ 6 
2.3.1 Parte Matemática ..................................................................... 6 
2.3.2 Parte Interpretativa .................................................................. 6 
2.3.3 Parte Artística .......................................................................... 6 
2.4 Unidades de Medida ......................................................................... 8 
2.4.1 Medida de distância ................................................................. 8 
2.4.2 Medida de superfície ................................................................ 9 
2.4.3 Medida de volume .................................................................. 10 
2.4.4 Medida de massa .................................................................... 10 
2.4.5 Medida de ângulo ................................................................... 11 
A. Sistema Centesimal de divisão de áreas .......................... 11 
B. Sistema sexagesimal de divisão de arcos ......................... 11 
C. Radiano ............................................................................ 11 
D. Milésimo .......................................................................... 12 
2.5 Medição de ângulos ......................................................................... 13 
 
2.5.1 Ângulos Azimutais ................................................................. 14 
A. Rumos .............................................................................. 15 
B. Azimutes .......................................................................... 16 
B1. Contrazimute ou azimute à ré ................................... 17 
B2. Relações existentes entre azimute e contrazimute .... 17 
2.5.2 Ângulos goniométricos .......................................................... 20 
A. Ângulo de flexão .............................................................. 21 
B. Ângulo de deflexão .......................................................... 21 
C. Sentido dos ângulos goniométricos ................................. 22 
2.5.3 Ângulos azimutais x ângulos goniométricos ......................... 22 
2.5.4 Cálculo de rumos e azimutes a partir de ângulos goniométricos 
................................................................................................ 23 
2.5.4.1 Fórmula geral dos azimutes ...................................... 26 
A. Fórmula geral para ângulos de flexão .................. 26 
B. Fórmula geral para ângulos de deflexão .............. 28 
2.5.5 Limites do azimute ................................................................. 28 
2.6 Medidas de distância ....................................................................... 31 
2.6.1 Processos de medida direta .................................................... 31 
A. Processos de baixa precisão ............................................... 31 
B. Processos de média precisão .............................................. 32 
C. Processos de alta precisão .................................................. 32 
2.6.2 Técnica de Medida com Trena ............................................... 33 
2.6.3 Técnica de Medidas Indiretas ................................................. 34 
2.7 Métodos de Levantamento Topográfico ......................................... 35 
2.7.1 Método do Caminhamento Perimétrico ou Método da 
Poligonal.............................................................................. 35 
2.7.2 Método da Irradiação ............................................................. 37 
2.7.3 Cálculo da Poligonal .............................................................. 38 
 
A. Poligonal Aberta .............................................................. 38 
A.1 Cálculo das Coordenadas dos Pontos ...................... 39 
A.2 Regras para a Correção de Ângulos Internos .......... 41 
B. Poligonal Fechada ............................................................ 41 
B.1 Cálculo do Erro Linear Relativo ( Er ) ..................... 42 
B.2 Cálculo dos Fatores de Correção .............................. 43 
B.3 Cálculo da Área de Poligonais Fechadas através das 
Coordenadas de seus vértices .................................. 45 
B.3.1 Fórmula de Gauss ............................................ 45 
2.7.4 Método da Interseção ............................................................. 46 
2.7.5 Método das Coordenadas Retangulares ................................. 50 
A. Aplicação .......................................................................... 50 
B. Precisão ............................................................................ 51 
2.8 Levantamento dos Detalhes ............................................................ 51 
2.8.1 Definição dos Detalhes ........................................................... 51 
2.8.2 Método de Levantamento de Detalhes ................................... 52 
2.9 Áreas Extra Poligonais .................................................................... 53 
2.9.1 Cálculo da Área Extra Poligonal ............................................ 53 
A. Método Analítico .............................................................. 53 
A.1 Fórmula dos Trapézios ou de Bezout ....................... 53 
A.2 Fórmula de Simpson ................................................ 54 
A.3 Fórmula de Poncelet ................................................. 54 
3 ALTIMETRIA ..................................................................................... 57 
3.1 Cotas e Altitudes ............................................................................. 57 
3.2 Diferença de Nível .......................................................................... 57 
3.3 Referência de Nível ......................................................................... 58 
3.4 Nivelamento .................................................................................... 58 
3.5 Tipos de Nivelamento ..................................................................... 59 
 
3.5.1 Nivelamento Barométrico ...................................................... 59 
3.5.2 Nivelamento Trigonométrico ................................................. 60 
3.5.3 Nivelamento Geométrico ....................................................... 62 
3.5.3.1 Material Utilizado ..................................................... 62 
A. Níveis ...................................................................62 
B. Miras .................................................................... 63 
3.5.3.2 Princípio do Levantamento Geométrico ................... 63 
3.5.3.3 Tipos de Nivelamento Geométrico ........................... 64 
A. Nivelamento Geométrico Simples .................... 64 
B. Nivelamento Geométrico Composto ................ 66 
3.5.4 Erro de Nivelamento ............................................................. 68 
3.5.5 Planilha de Nivelamento ....................................................... 68 
3.5.6 Verificação do Cálculo da Planilha ....................................... 70 
3.6 Curvas de nível ............................................................................. 73 
3.6.1 Traçado das Curvas de Nível ............................................... 75 
3.6.2 Interpolação ......................................................................... 77 
3.6.3 Determinação dos Pontos de Cota Inteira ........................... 78 
3.7 Elaboração de um Perfil Topográfico a partir da Planta Topográfica 
com Curvas de Nível .................................................................... 83 
3.8 Determinação da Cota de um Ponto situado entre Curvas de Nível 
........................................................................................................ 84 
3.9 Elaboração de um Perfil Topográfico a partir de pontos Nivelados 
....................................................................................................... 86 
3.10 Determinação da Declividade entre dois Pontos ........................ 87 
4 NOÇÕES DE TERRAPLANAGEM ...................................................89 
4.1 Cálculo de Volumes ........................................................................ 92 
4.1.1 Método de Perfis Paralelos Equidistantes .............................. 92 
4.1.2 Método das Curvas de Nível .................................................. 94 
 
4.2 Traçado da Linha de OFF-SET de um talude .................................. 96 
5 NOÇÕES DE GEODÉSIA................................................................. 100 
5.1 Transporte de Coordenadas ........................................................... 102 
5.1.1 Classificação das Triangulações ........................................... 103 
5.1.2 Triangulação Geodésica ....................................................... 105 
5.1.3 Determinação do Excesso Esférico ...................................... 106 
5.2 Trilateração .................................................................................... 108 
5.3 Convergência Meridiana ............................................................... 109 
6 EXEMPLO DE UM LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO.......... 113 
7 MEMORIAL DESCRITIVO............................................................. 114 
7.1 Modelo I de Memorial Descritivo ................................................. 114 
7.2 Modelo II de Memorial Descritivo ................................................ 115 
7.3 Modelo III de Memorial Descritivo .............................................. 116 
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA...................................................... 118 
 
1 
1 HISTÓRICO 
 
Os instrumentos e processos utilizados para cadastramento de 
propriedades rurais nos foram passados pelos egípcios, gregos e árabes. 
Plantas, cartas militares e geográficas, organizadas nos primórdios da 
Topografia, são mencionadas por Laussedat em sua obra “História da 
Topografia”( Espartel, 1978 ). 
Segundo Espartel ( op.cit. ), o desenvolvimento da Matemática e da 
Física nos últimos séculos, possibilitaram a passagem da topografia do 
empirismo às bases de uma autêntica ciência. O primeiro trabalho 
topográfico realizado com técnica e estilo próprio, foi a Carta da França 
compilada pelo cartógrafo italiano Cassini e publicada no início do século 
XIX pela Academia Francesa. 
O progresso dos métodos desenvolvidos pela Topografia teve 
contribuição eficiente do engenheiro suiço Henrique Wild, do geodesista 
italiano Ignazio Porro, de Carl Zeiss e outros, cujos estudos resultaram na 
introdução dos aperfeiçoamentos da mecânica de precisão nos instrumentos 
topográficos. Ademais, os apefeiçoamentos na parte ótica dos instrumentos, 
por Kepler, Porro, Zeiss e Wild; os avanços nas técnicas de medida direta 
das distâncias, por Porro, Bessel e Jäderin; melhorias na precisão da leitura 
de ângulos, devidas a Vernier, Nonius, Zeiss e Wild; os progressos nos 
levantamentos topográficos devidos a Pothénot, Snellius, Hansen e na 
avaliação mecânica das áreas devidas aos aparelhos Amsler, Coradi e 
outros, deram à Topografia o valor que ela tem como ciência e como 
técnica no levantamento topométrico preciso do terreno e na representação 
gráfica equivalente, servindo como apoio de qualquer trabalho de 
Engenharia e Agrimensura ( Espartel, op. cit.). Assim, o projeto de 
qualquer obra de Engenharia, Arquitetura ou Agronomia, tem como 
subsídio o prévio levantamento topográfico do lugar onde será implantada. 
2 
A importância da Topografia fica evidente na boa administração das 
terras públicas ou particulares, bem como no estudo, projeto e 
planejamento das diversas atividades antrópicas, que exigem o 
conhecimento do terreno, e este pode ser representado numa planta 
topográfica com suas formas e dimensões, por meio de convenções pré-
estabelecidas sempre tendo em vista a escala da planta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
2 TOPOGRAFIA 
 
Etimologicamente o significado da palavra TOPOGRAFIA é 
“descrição do lugar”. Segundo Mesquita ( 1969 ), a topografia pode ser 
considerada um capítulo de uma área de conhecimento mais geral, a 
GEODÉSIA, cujo objetivo é o estudo da forma e dimensões da Terra. A 
Geodésia se ocupa dos processos de medida e especificação para o 
levantamento da superfície de um Estado ou de um País, projetada sobre 
uma superfície de referência que é a de um Elipsóide de Revolução. Este 
Elipsóide, girando em torno de seu eixo menor, é a forma geometricamente 
definida por dois parâmetros, mais próxima da figura da Terra 
( Figura 01a ). As dimensões adotadas para o Elipsóide Internacional de 
Referência são: 
 
a = 6.378.388m ( semi-eixo maior ); b = 6.356.911,946m ( semi-eixo 
menor ) 
3
2 ba +
= 6.371.229m ( raio médio ); oachatament
a
baf ==−=
297
1
 
 
O Geóide é a figura ideal caracterizada pela superfície de nível 
médio dos mares prolongada através dos continentes. Esta superfície 
prolongada, devido à Lei de Newton, da atração das massas, tende a elevar-
se em relação ao Elipsóide à medida que se aproxima e penetra nos 
continentes, e a aprofundar-se à medida que se afasta dos continentes e 
penetra nas bacias oceânicas. 
 
 
 
 
4 
Topografia: até 50 Km de diâmetro 
 
 
Figura 01a: Superfícies do Elipsóide, do Geóide e Topográfica (Mesquita, 1969 ) 
 
 
Em Topografia, o Geóide se confunde com o Elipsóide de 
Referência, o qual se confunde com uma esfera osculadora regional cuja 
superfície, numa extensão limitada, funde-se com a de um plano tangente 
que é o Plano Topográfico. 
 A topografia é uma ciência aplicada de âmbito restrito, que se baseia 
nos princípios da Geometria e da Trigonometria Plana. 
 
 
 
 
 
2.1 Levantamento Topográfico 
Conjunto de operações de campo e escritório, necessários para a 
representação de contornos de áreas e posição de pontos existentes na 
superfície terrestre. 
O levantamento topográfico pode ser: 
 
A – Expedito: é um trabalho de reconhecimento da área, utilizando-se 
aparelhos e instrumentos que conduzem à resultados de pouca precisão. O 
levantamento expedito de um lote, por exemplo, consiste em efetuarmosa 
medida de todos os seus lados com uma trena e balizas para não perdermos 
o alinhamento no caso de mais de uma trenada para medida dos lados ou 
das diagonais. Em seguida, medimos uma de suas diagonais. Com este 
5 
procedimento obtemos as medidas dos lados de dois triângulos, o que 
facilita a reprodução em escala, uma vez que um triângulo fica 
perfeitamente identificado com o conhecimento das dimensões de seus três 
lados ( Figura 01b). 
 
Figura 01b: Levantamento expedito de um lote 
 
 
 No exemplo da Figura 01b, o lote ABCD teve os lados AB, BC, CD, 
DA e a diagonal AC, medidos com uma trena. Com este procedimento o 
quadrilátero ABCD fica dividido nos triângulos CDA e ABC. Com o 
auxílio de um compasso, desenhamos os dois triângulos com o seguinte 
procedimento: 
 
a) Traçamos, na escala escolhida, o lado DC; 
b) Com a ponta seca em D e abertura DA, traçamos um arco de 
circunferência; 
c) Agora com a ponta seca em C e abertura CA, traçamos outro arco de 
circunferência que no cruzamento com o arco anterior determinará o 
vértice A. Até aquí já temos o triângulo CDA; 
d) Com a ponta seca em C e abertura CB traça-se novamente um arco de 
circunferência; 
e) Por fim, com a ponta seca em A e abertura AB, traçamos o arco de 
circunferência que cruzará com o do ítem d determinando o vértice B. A 
união de A com B e C com B, resultará no lote que foi medido. 
B – Comum: é o mais utilizado nos trabalhos topográficos utilizando 
aparelhos e instrumentos que conduzem a resultados de média precisão, 
porém, suficiente para a grande maioria dos trabalhos de engenharia. 
C – Precisão: é utilizado em alguns trabalhos especiais e, ainda, quando 
tivermos com grandes áreas para levantamento. 
 
 
 
6 
 
NBR 13133/94 
Execução dos Levantamentos 
Topográficos 
2.2 Divisões da Topografia 
A - Topometria 
B - Topologia 
 
A - Topometria: compreende o conjunto de operações necessárias a 
obtenção de elementos indispensáveis a representação gráfica do terreno. 
 
 
 
 
A.1 Planimetria: é a parte da topometria que estuda todas as projeções 
dos contornos e pontos medidos que são representados em um plano 
horizontal, sem considerar o relevo do terreno. 
A.2 Altimetria: é a parte da topometria que trata do relevo da 
superfície terrestre, onde são medidas as alturas dos pontos definidos pela 
planimetria em relação à um plano de referência de nível. RN 
B - Topologia: é a parte que se dedica ao estudo das formas do terreno 
e das leis que regem seu modelado. 
 
2.3 Partes de um Trabalho de Topografia 
 
A ) Parte Matemática: Topometria com as medições de distâncias e 
ângulos nos planos horizontal e vertical; 
B ) Parte Interpretativa: Topologia com a descrição e interpretação das 
diversas formas de relevo; 
C ) Parte Artística: Desenho topográfico com a representação de todos os 
detalhes do terreno, mediante convenções. Tais detalhes são: divisas, áreas 
florestadas, rios, estradas, povoações etc. 
 
O desenho de qualquer porção da superfície terreste, que 
normalmente representamos em um papel, é sempre feito mediante a 
utilização de um fator de redução que denominamos de ESCALA. 
A ESCALA nada mais é que uma razão entre dimensão gráfica e dimensão 
real, que analiticamente representamos por: 
 
D
dE = , onde: E = Escala; d = dimensão gráfica; D = Dimensão real. 
 
A topometria se divide em duas partes: 
A.1 Planimetria, e 
A.2 Altimetria 
7 
A razão 
D
d
 é usualmente utilizada nos cálculos para resolução de 
problemas que envolvem escalas. Quando as dimensões gráficas e reais são 
referentes a superfície ( área ) ou volume, a mesma expressão é utilizada na 
resolução de problemas, porém elevada ao quadrado ou ao cubo 
respectivamente, como por exemplo: 
 
( )
A
aE =2 ou ( )
V
vE =3 , onde : 
 
a = área gráfica, A = área real, v = volume nas dimensões do desenho, V= 
volume nas dimensões reais. 
 
Comumente representamos uma escala na forma de uma fração que 
tem para numerador a unidade e para denominador o número que 
representa quantas vezes a dimensão real, D, foi reduzida para poder ser 
representada num papel de dimensão padronizada ( A2, A3, A4 etc...). 
Todavia, também é frequente representar a escala na forma de divisão, 
onde o primeiro número, a unidade, é separada do número redutor por dois 
pontos, por exemplo: 
 
250
1
=E ou E = 1:250, o que significa que cada centímetro no papel 
representa 250 centímetros de dimensão real. Se este um centímetro no 
papel for a extensão de uma parede, significa que a parede verdadeira, terá 
250 centímetros de dimensão real, ou 2,50 metros. 
 
Ao se procurar determinar uma escala a partir do conhecimento das 
duas dimensões, d e D, é importante que ambas sejam escritas na mesma 
unidade de medida, ou seja: se d for escrito em centímetro, D também 
deverá sê-lo; se d, for escrito em milímetro, da mesma forma será D. Isto 
porque a Escala é um número adimensional, isto é, não tem unidade. 
 
As escalas também são representadas nas formas gráficas: simples e 
de transversais. 
A Figura 01c mostra uma escala gráfica simples, através da qual 
podemos determinar imediatamente o comprimento real de um segmento 
AB qualquer de uma planta mediante o seguinte procedimento: com um 
compasso de ponta seca determina-se a abertura AB que comparada na 
escala gráfica nos fornece diretamente o comprimento real. Na Figura 01c 
este comprimento é de aproximadamente 13,4km. 
 
8 
 
 Figura 01c: Escala gráfica simples ( Mesquita, 1969 ). 
 
A Figura 01d mostra uma escala gráfica de transversais. Nesta uma 
distância AB qualquer em uma planta, comparada da mesma forma como a 
anterior, com utilização de um compasso de ponta seca, será um tanto mais 
precisa do que na escala gráfica simples. Na Figura 01d o segmento AB 
corresponde a 13,46km. As escalas gráficas são muito utilizadas em 
plantas, uma vez que fornecem a distância real de imediato. 
 
 Figura 01d: Escala gráfica de transversais ( Mesquita, 1969 ) 
 
 
2.4 UNIDADES DE MEDIDA 
 
2.4.1 Medidas de Distância 
Para medidas de distância a unidade padrão é o metro, com seus múltiplos 
e sub – múltiplos que são: 
múltiplos: km ( kilômetro ), hm ( hectômetro ), dam ( decâmetro ); 
sub-múltiplos: mm ( milímetro ), cm ( centímetro ), dm ( decímetro ). 
 
km ←hm ←dam ←m →dm →cm →mm 
 
9 
Ao fazermos a conversão de uma unidade para a outra que está 
situada à sua direita, multiplicamos por dez cada vez que deslocamos até 
chegar a unidade desejada, por exemplo: para fazermos a conversão de 25,2 
hm para cm, deveremos multiplicar por dez quatro vezes até chegarmos em 
cm, o que resulta em 252.000cm ou 25,2 x 104cm. 
Quanto se tratar de fazermos a conversão para uma unidade situada à 
esquerda, o processo é semelhante, porém, ao invés de multiplicarmos, 
dividimos por dez, por exemplo: para fazermos a conversão de 25,2cm para 
hm, deveremos dividir por dez quatro vezes até chegarmos em hm, o que 
resulta em 0,00252hm ou 25,2 x 10-4hm. 
 
 
2.4.2 Medida de superfície ( área ) 
 
 
Para medida de superfícies a unidade padrão é o metro quadrado com 
seus múltiplos e sub-múltiplos que são: 
 
km2 ←hm2←dam2←m2→dm2 →cm2→mm2 
 
Para conversão das unidades de superfície, o processo utilizado é similar 
ao empregado para as unidades lineares, com a diferença que 
multiplicamos e dividimos por 100, por exemplo: para fazermos a 
conversão de 100cm2 em m2, portanto para uma unidade da esquerda, 
deveremos dividir por 100 duas vezes, isto é, por 10.000, o que resulta em 
0,01m2 ou 100 x 10-4m2. No caso de convertermos 10hm2 em cm2, portanto 
para uma unidade situada à direita, multiplicaremos por 100 cinco vezes, 
isto é, por 100.000.000, o que resulta em 1.000.000.000cm2, ou10 x 
108cm2. 
Outras unidades de medida de superfície são utilizadas em Topografia, 
como o alqueire paulista, alqueire goiano e o hectare, as quais possuem a 
seguinte equivalência: 
 
1 alqueire goiano = 48.400m2 = 220m x 220m; 
1 alqueire paulista = 24.200m2 = 110m x 220m; 
1 hectare = ha = 10.000m2 = 100m x 100m. 
 
O hectare ainda possui seus sub-múltiplos que são o are = 100m2 e o 
centiare = 1m2. 
 
 
 
10 
2.4.3 Medida de volumes 
 
Para medida de volumes a unidade padrão é o metro cúbico com seus 
múltiplos sub-múltiplos que são: 
 
km3←hm3←dam3 ←m3 →dm3 →cm3 →mm3 
 
Para conversão de uma unidade de volume em outra, usa-se o mesmo 
processo utilizado para as unidades lineares e de superfície, diferindo na 
multiplicação e divisão que neste caso será por 1.000 cada vez que nos 
deslocamos para chegarmos na unidade desejada. 
 
 
2.4.4 Medida de massa 
 
A unidade padrão para medida de massa é o grama com seus múltiplos e 
sub-múltiplos que são: 
 
kg ←hg ←dag ←g →dg →cg →mg 
 
Para conversão de uma unidade de massa, o procedimento é o mesmo 
empregado nas unidades lineares, isto é, ao passarmos para uma unidade à 
direita multiplicamos por 10, e dividimos por 10 quando se tratar de passar 
para uma unidade da esquerda, tantas vezes quantas forem necessárias para 
atingirmos a unidade desejada. 
Finalizando, observa-se que a conversão de uma unidade resume-se a 
um processo de multiplicação e divisão por potências de dez. 
É importante observar, também, que tanto os múltiplos quanto os sub-
múltiplos de unidades de medidas são precedidos de um prefixo indicativo 
de potência de dez. Os prefixos normalmente utilizados e as respectivas 
potências de dez que indicam são os seguintes: 
 
Prefixos indicativos de expoentes negativos de base 10 
 
Deci = 10-1 
Centi = 10-2 
Mili = 10-3 
Micro = 10-6 
Nano = 10-9 
Pico = 10-12 
Femto = 10-15 
Atto = 10-18 
 
Prefixos indicativos de expoentes positivos de base 10 
 
Deca = 10 Hecto = 102 
11 
Kilo = 103 
Mega = 106 
Giga = 109 
Tera = 1012 
Peta = 1015 
Exa = 1018
 
 
2.4.5 Medidas de Ângulos 
 
 
 
A. Sistema Centesimal de divisão de áreas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B Sistema Sexagesimal de divisão de arcos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C Radiano: unidade de medida de ângulo central que subentende um 
arco de circunferência de comprimento igual ao raio. Assim podemos 
escrever: 
 
 
 
A circunferência se divide em 400 parte iguais chamadas 
de Grade, que por sua vez se divide em 100 partes iguais 
(minuto), que por sua vez se divide em 100 partes iguais 
(Segundos). 
A circunferência se divide em 360 
partes iguais chamado de Grau, que 
por sua vez se divide em 60 partes 
(minutos) e por sua vez se divide em 
60 partes (segundos). 
10 = 60’ 
1’ = 60” 
12 
R
S
=θ , onde S = comprimento do arco de circunferência subentendido pelo 
ângulo central; R = raio da circunferência. 
Para θ = 1 radiano, temos: S = R. Uma circunferência completa tem 2pirad. 
 
D Milésimo: Por curiosidade, é uma unidade de medida de ângulo 
que foi muito usada nos equipamentos de pontaria de peças de artilharia 
antigas. Corresponde à milésima parte do radiano e, portanto, uma 
circunferência completa tem 6.400 milésimos. 
 
Desta forma, temos a seguinte equivalência entre as unidades: 
 
360o = 400 grd = 2pirad = 6.400 milésimos, ou dividindo tudo por 2: 
180o = 200 grd = pirad = 3.200 milésimos, o que permite a conversão de 
unidades. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
1 ) Qual a largura, em planta na escala 1:200, do leito carroçável de 10 
metros de largura de uma estrada? 
 
2 ) Em uma planta na escala 1:250, dois pontos A e B, estão afastados de 
40cm. Qual a distância real entres eles? 
 
3 ) Um prédio possui um volume de 4.000 m3. Qual o volume deste mesmo 
prédio, em cm3, ao ser reduzido na escala de 1:200? 
 
4 ) Em uma planta na escala de 1:500, um terreno apresenta 4cm de frente 
por 8cm de fundo. Qual a área do terreno em ha? 
 
5 ) Dois pontos, A e B, em uma planta cuja escala desejamos saber, estão 
afastados de 40cm. A distância real entre eles é de 4 km. Qual a escala da 
planta? 
 
13 
6 ) A testada de um lote é de 20m. A dimensão gráfica é de 2cm. Qual a 
escala da planta e qual a dimensão gráfica em uma planta na escala 
1:2.000? 
 
7) O milésimo é uma unidade de medida de ângulo empregada em cálculos 
militares. Corresponde a abertura angular resultante da paralaxe de 1 metro 
a 1.000 metros de distância. Uma circunferência completa tem 6.400 
milésimos. Tomando como base estas informações, qual a distância de um 
observador em relação a uma tôrre de 40 metros de altura, vista sob um 
ângulo de 8 milésimos? 
 
8 ) Um lote com as dimensões de 20 metros de frente por 40 metros de 
fundo, deverá ser representado em uma planta na escala 1:2.000. Quais as 
dimensões deste lote na planta, em centímetros? 
 
9 ) Os Marcos quilométricos 240 e 242 de uma rodovia, distam 20 cm em 
uma planta. Em uma outra planta, na mesma escala, a distância real entre 
duas casas é de 6km. Qual a distância gráfica entre elas? 
 
10 ) Qual a área real de um terreno de 10cm x 30cm representado em uma 
planta na escala 1:2.500? 
 
2.5 MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
 
 Em topografia, considera-se somente a medida dos ângulos contidos 
em dois planos: horizontal, nas operações de planimetria, e o vertical nas 
operações de altimetria. 
 Os ângulos contidos no plano horizontal, por isso chamados de 
horizontais, de acordo com a direção ou alinhamento que serve de origem 
14 
para a sua medida, classificam-se em AZIMUTAIS e 
GONIOMÉTRICOS. 
 
 
2.5.1 ÂNGULOS AZIMUTAIS 
 
São ângulos que possuem como origem a direção da linha Norte -
Sul. Estes ângulos são denominados de : RUMOS E AZIMUTES. A linha 
Norte-Sul é o meridiano local, isto é, aquela que une o polo Norte com o 
polo Sul terreste. Neste caso temos os azimutes e rumos verdadeiros ou 
geográficos. Quando esta linha Norte-Sul é aquela que une os polos Norte e 
Sul magnéticos, temos os azimutes e rumos magnéticos que podem ser 
obtidos com uma bússola. É importante salientar que as linhas Norte-Sul 
verdadeira e magnética, dependendo da nossa posição na superfície 
terreste, formam um ângulo entre si denominado de declinação magnética. 
A declinação magnética, portanto, é o ângulo formado entre os 
alinhamentos Norte-Sul verdadeiro e Norte-Sul magnético medido a partir 
da extremidade do Norte verdadeiro no sentido da extremidade do Norte 
magnético. Ela pode ser positiva ( declinação para LESTE ) ou negativa 
( para OESTE ), isto é, quando o Norte magnético estiver a leste do 
verdadeiro ou a oeste respectivamente ( Figura 01d ). 
Figura 01e: Declinação magnética negativa (a) e positiva (b). 
 
15 
Por outro lado, a declinação magnética varia anualmente. Assim, nos 
trabalhos de topografia em que há necessidade de converter rumos e 
azimutes magnéticos em verdadeiros ou geográficos, é necessário que 
saibamos qual a sua variação anual na região objeto do levantamento. Esta 
operação de atualização da declinação é chamada de “reaviventação”. 
A reaviventação pode ser feita através da seguinte expressão: 
 
δa t = δp + δan . ∆t, onde: 
δat = declinação atual; 
δp = declinação passada; 
δan = variação anual; 
∆t = intervalo de tempo. 
 
 Assim, por exemplo, se a declinação em uma determinada região era 
de 10o 25’para oeste, no ano de 1969, com variação anual de 10’, a sua 
declinação em 1999 ( δat ) será: 
δat = δp + δan.∆t 
 
δat = 10o 25’+10’x 30 = 15o 25’ para oeste ou (–)10o 25’. 
 
A RUMOS 
 
Rumo é o menor ângulo formado entre o alinhamento e a linha Norte 
- Sul, medido a partirdo Norte ou do Sul e variando de 0º à 90º. É 
representado por R. Para que este ângulo fique determinado é necessário 
indicar o quadrante no qual o alinhamento se encontra. Quando a linha 
Norte-Sul é a verdadeira ou geográfica, temos os rumos verdadeiros ou 
geográficos; quando é a magnética, temos os rumos magnéticos. 
 
 
 
16 
 
 
 N 2 N 
 2 
 
R1,2 
 3 
 1 N R2,3 
 
 
 IV (NW) I (NE) 
 
 W E 
 
 III (SW) II (SE) 
 
 S 
 
 
 
EXEMPLOS 
 
 
N B N 
 C 
 
 20º 35º 
 
A 
 RA,B=20º (NE) D RC,D=35º (SE) 
 
 
B AZIMUTES 
 
Azimutes são os ângulos formados entre o alinhamento e a linha 
Norte - Sul, medido a partir do Norte em sentido horário e variando de 0º à 
360º e é representado por Az. Quando a linha Norte-Sul é a verdadeira ou 
geográfica, temos os azimutes verdadeiros ou geográficos; quando é a 
magnética, temos os azimutes magnéticos. 
 
Quadrantes topográficos: 
17 
 
 N N d N 
 
 a Az a,b e 
 
 Az c,d Az e,f 
 c 
 
 b f 
 
 
B.1 CONTRA – AZIMUTE ou AZIMUTE À RÉ 
 
Contra – Azimute é o azimute em sentido contrário ao alinhamento. 
 
 N 
 
 
 1 N 
 
 2 
 
 
 
 
B.2 Relações Existentes entre Azimute e Contra – Azimute 
 
 N 
1º Quadrante (NE) 
 
 
 N 
 2 
 
 
 
 
 1 
 
 
 
 
 
Az 1,2 
CAz1,2 = Az 2,1 
CAz = Az 1,2+180º 
18 
 
2º Quadrante (SE) 
 
 
 3 
 
 
 
 4 
 
 
 
 
 
 
3º Quadrante (SW) N 
 
 5 
 
 N 
 
 
 
 
 6 
 
 
 
 
4º Quadrante ( NW ) 
 N 
 N 
 
 8 
 
 
 
 
7 
Quando o azimute de um for menor que 180º o 
CAz será Az+180º. Quando o Azimute for 
maior que 180º o CAz será o Az – 180º. 
 
CAz = Az 5,6-180º 
CAz = Az 3,4+180º 
CAz = Az 7,8-180º 
19 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 ) Transformar em Rumos (R) os Seguintes Azimutes (AZ) 
 
a-)Az1,2 = 45º10’20’’ 
R: R1,2 = 45º10’20’’ 1º Quadrante (NE) 
b-)Az2,3 = 90º 
R: R2,3 = 90º (E) 
c-)Az3,4 = 360º 
R: R3,4 = 0º 
d-)Az4,5 = 225º40’ 
R: R4,5 = 225º40’ – 180º = 45º40’ 3º Quadrante (SW) 
e-)Az5,6 = 270º 
R: R5,6 = 90º (W) 
f-) Az6,7 = 305º30’20’’ 
R: R6,7 = 54º29’40’’ 4º Quadrante (NW) 
 
2 ) Calcular os Contra – Azimutes (CAz) dos azimutes dados abaixo: 
 
a-) Az1,2 = 40º20’10’’ 
R: CAz = Az + 180º = 40º20’10’’+180º = 220º20’10’’ 
b-) Az2,3 = 360º 
R: CAz = Az – 180º = 360º – 180º = 180º 
c-) Az3,4 = 181º10’20’’ 
R: CAz = Az – 180º = 181º10’20’’ – 180º = 1º10’20’’ 
d-) Az4,5 = 0º 
R: CAz = Az + 180º = 0º + 180º = 180º 
 
3 ) A leitura de um azimute efetuada com um teodolito graduado em 
radianos, foi de 5 rad. Qual seria a leitura em graus, minutos e segundos? 
 
4 ) O leito carroçável de uma rodovia tem a largura de 7.000mm. Qual a 
sua largura em km, hm, dam e metro? 
 
5 ) O ângulo de uma rampa é de 30o 50’45”. Qual o ângulo desta rampa em 
grados? 
 
20 
6 ) O perfil de um lote apresenta uma declividade em que a sua altura varia 
de 1metro a cada metro de caminhamento na horizontal. Qual o seu ângulo 
de rampa ( ângulo formado com a horizontal )?. 
 
7 ) A quantos Gigametros corresponde o Nanometro? 
 
8 ) Uma circunferência completa tem 6400 milésimos ( unidade de medida 
de ângulo usada para fins militares ). Com base nesta informação, qual o 
ângulo em milésimos correspondente a 250 grd? 
 
9 ) Para implantação de uma obra foi efetuada uma escavação de 1.000 cm 
de largura, 40.000 mm de comprimento e 0,025 hm de profundidade. Qual 
o volume de material retirado, em metros cúbicos? 
 
10 ) Um recipiente possui um volume de 2,5 hl. Qual o peso deste volume, 
em hg, tratando-se de água a 4o C? 
 
11) Em uma planta na escala 1:2.500, a largura de um terreno é de 
0,00002km. Se o comprimento real do terreno for de 100.000mm, qual é a 
área real do terreno em hectares? 
12 ) Na locação de um ponto, distante 2km de uma estaca, foi cometido um 
erro angular de 1”. Qual o deslocamento ocorrido na locação do ponto e 
qual o erro relativo cometido nesta operação? 
 
2.5.2 ÂNGULOS GONIOMÉTRICOS 
 
Definição: são ângulos que possuem como origem um alinhamento 
qualquer. Classificam-se em : ângulo de flexão ou ângulo entre 
alinhamentos e ângulo de deflexão... 
21 
A. FLEXÃO 
 
 É o ângulo formado entre dois alinhamentos consecutivos e variável 
de 0º à 360º. 
Exemplo: 
 1 3 
 
 
 2 
 
 
B. DEFLEXÃO 
 
 É o ângulo formado entre o prolongamento do alinhamento à ré e o 
alinhamento à vante variando de 0º à 180º. 
 
Exemplo: 
 
 
 
1 3 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
 3 1 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
 
 
 
 
α2 
α’2 
d2 
d2 
22 
C. SENTIDO DOS ÂNGULOS GONIOMÉTRICOS 
 
 Os ângulos goniométricos poderão ser à direita ou à esquerda do 
alinhamento. Por convenção, o ângulo será à direita ou positivo (+) quando 
medido no sentido horário do alinhamento à ré para o à vante e, será à 
esquerda ou (-) quando medido em sentido anti - horário do alinhamento à 
ré para o à vante. 
 
 
2.5.3 ÂNGULOS AZIMUTAIS X ÂNGULOS GONIOMÉTRICOS 
 
 
 
 
Poligonal Topográfica é uma seqüência de 
alinhamentos, podendo ser aberta, fechada ou apoiada.
 
 
Exemplos 
 
 
 1 3 
 
 
 
 
 
 2 4 
 
 
 
 
 
 
 1 2 1 2 
 
 
 6 
 5 
 4 3 4 3 
 
Aberta 
Fechada 
Apoiada 
23 
2.5.4 CÁLCULO DE RUMOS E AZIMUTES A PARTIR DE ÂNGULOS 
GONIOMÉTRICOS 
 
 
 
 
 
 
 1 3 
 
 
 
 2 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 3 
 
 
 
 2 4 
 
 
 
 
Az2,3=Az1,2 – ββββ 
ββββ = 180º – αααα2Az23 = 
Az23 =Az12 – (180º – αααα2) 
Az23 = Az12 – 180º + αααα 
 
 
Az12 
α2 
d3 
Az12 
α2 
Az23=? 
Az12 
180º 
β 
24 
EXERCÍCIO 
 
Calcular os Az e R das linhas que formam a poligonal a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 B E F 
 
 
 
 
 
 A C D G 
 
 
 
 
 
 
 B 
 
 
 
 
 
 
 A C 
 
 
 
RBC = RB,A-40°15’05’’ 
RBC = 20°15’05’’ (SE) 
AzAB= 180° - RAB = 180° − = 180° − = 180° − = 180° − 60°30’10’’ = 119°29’50’’ 
AzBC= 180° - RBC = 159°44’55’’ 
 
 
 
 
 
 
40°15’05’’ 
152°40’20’’ 
272°05’07’’ 
210°25’03’’ 
85°10’20’’ 
R A,B=60°30’10’’ 
Az 
40°15’05’’ 
RAB=60°30’10’’(SE) 
RBA=60°30’10’’(NW) 
119°29’50’’ 
RB,C 
25 
 
 B D 
 
 
 
 
 
 
 A C 
 
 
 
 
 
 
AzCD= AzBC - ββββ ( ββββ = 180° – 152°40’20’’ = 27°19’40’’ = ββββ =27°19’40’’)AzCD= 180° - β = 159β = 159β = 159β = 159°44’55’’ − − − − 27°19’40’’ = 132°25’15’’ 
RCD = 180° - AzCD = 47°34’45’’ (SE) 
 
 
 
 
 E 
 
 
 F 
 
 D 
 
 
 
 C 
 
 
 
 
AzDE = AzCD – ββββ (ββββ = 210°25’03’’ – 180° = 30°25’03’’ = ββββ) 
AzDE = AzCD – ββββ = 132°25’15’’ – 30°25’03’’ = 102°00’12’’ 
RDE = 180° - AzDE = 77°59’48’’ (SE) 
 
 
 
 
AzCD 
180º 
152°40’20’’ 
AzBC = 159°44’55’ 
β 
RCD 
RCD 
210°25’03’’ 
β 
180° 
AzDE 
RDE 
26 
 
 
 
 
 E 
 
 
 F 
 
 
 
 
AzEF = ββββ + AzDE (ββββ = 272°05’07’’ – 180° = 92°05’07’’ = ββββ) 
AzEF = AzDE + ββββ = 102°00’12’’ + 92°05’07’’ = 194°05’19’’ 
REF = AzEF – 180° = 14°05’19’’(SW) 
 
 
2.5.4.1 FÓRMULA GERAL DOS AZIMUTES 
 
A. Fórmula Geral para Ângulos de Flexão 
 
 
 
 
 
1 3 
 
 
 
 
 
 2 4 
 
 
 
 
 
 Az2,3 = Az1,2 – ββββ 
 
 
 ββββ = 180° – αααα2 Az2,3 = Az1,2 + αααα2 – 180° 
 
 
 
Az1,2 α2 
Az1,2 
Az2,3 
α3 
Az2,3 
Az3,4 
272°05’07’’ 
AzEF 
β 
REF 
RED 
27 
 
 
 
 Az3,4 = Az2,3 + ββββ’ 
 ββββ’ = 180° - αααα3 Az3,4 = Az2,3 – αααα3 + 180° 
 
 
 
 
 
Azn = Azn-1 + ααααn + 180° 
 
 
 
QUANTO AOS SINAIS 
 
� Do ângulo de flexão α 
Será positivo α quando este ângulo for à direita 
Será negativo α quando este ângulo for à esquerda 
 
� Do ângulo de 180° 
Será positivo 180° quando o azimute anterior + αn for menor que 180° 
Será negativo 180° quando o azimute anterior + αn for maior que 180° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Azimute da linha 
em questão 
Azimute da 
linha anterior 
Ângulo de flexão no 
vértice inicial da linha 
em questão 
28 
B. Fórmula Geral para Ângulos de Deflexão 
 
 
 
 
 
 
 
 1 3 
 
 
 
 
 
 
 2 4 
 
 
 
 
 
 
Az2,3 = Az1,2 – d2 
 Azn = Azn-1 + dn 
Az3,4 = Az2,3 + d3 
 
 
 
 
2.5.5 Limites do Azimute 
 
 Como o azimute é um ângulo que varia de 0° à 360°, então quando 
ocorrer valor para o azimute maior que 360°, este valor deverá ser 
subtraído de 360° e, quando ocorrer valor menor que 0° então, o valor 
deverá ser acrescido em 360°. 
 
 
 
 
 
d2 
d3
Az1,2 
Az1,2 
Az2,3 
Az2,3 
Az3,4 
29 
EXERCÍCIO 
 
Calcule os azimutes das linhas poligonais abaixo. 
 
 
 
 1 
 
 3 2 0 
 
 
 
 
 
 5 
 
 
 4 6 
 
 
 
 
Az0,1 = 73°50’30’’ 
Az1,2 = 73°50’30’’ – 75°45’12’’ = 358°05’18’’ 
Az2,3 = 358°05’18’’ – 140°53’08’’ – 180° = 37°12’10’’ 
Az3,4 = 37°12’10’’ – 280°42’18’’ + 180° = – 61°30’ + 360° = 296°29’52’’ 
Az4,5 = 296°29’52’’ + 89°20’35’’ – 180° = 205°50’27’’ 
Az5,6 = 205°50’27’’ + 31°15’03’’ = 237°05’30’’ 
Az6,0 = 237°05’30’’ + 102°15’ – 180° = 159º20’30’’ 
 
 
 
 
 
 
 
75°45’12’’ 
280°42’18’’ 
94°30
140°53’08’’ 
89°20’35’’ 31°15’03’’ 
102°15’ 
30 
Linhas Az CAz R 
0 – 1 73°50’30’’ Az+180°=253°50’30’’ 73°50’30’’ (NE) 
1 – 2 358°05’18’’ Az-180°=178°05’18’’ 360°-Az=1°54’42’’(NW) 
2 – 3 37°12’10’’ Az+180°=217°12’10’’ 37°12’10’’(NE) 
3 – 4 296°29’52’’ Az-180°=116°12’10’’ 360°-Az=63°30’08’’(NW) 
4 – 5 205°50’27’’ Az-180°=25°50’27’’ Az-180°=25°50’27’’(SW) 
5 – 6 237°05’30’’ Az-180°=57°05’30’’ Az-180°=57°05’30’’(SW) 
6 – 0 159°20’30’’ Az+180°=339°20’30’’ 180°-Az=20°39’30’’(SE) 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 ) Em maio de 1958 foi efetuado um levantamento topográfico de uma 
propriedade pelo método do caminhamento perimétrico, no sentido 
horário, numa região cuja declinação magnética era de +9o 15’ com 
variação anual de +5’. O azimute magnético à ré lido do vértice 2 para o 
vértice 1 ( Azm 2,1 ) foi de 194o 02’ 33’’ ; o ângulo de flexão (-) no vértice 2 
foi de 113o 29’10”; o ângulo de deflexão (+) no vértice 3 foi de 119o 
06’10”; o azimute magnético à ré do vértice 1 para o vértice 4 foi de 94o 
30’30”. 
Com relação ao levantamento efetuado, pede-se: 
1 ) Calcular todos os azimutes vante verdadeiros: Azv1,2, Azv 2,3, Azv 3,4, 
Azv 4,1 . ( 2,0 ) 
2 ) Calcular todos os ângulos de flexão (-). ( 2,0 ) 
3 ) Calcular todos os contra-azimutes verdadeiros. ( 1,5 ) 
4 ) Calcular todos os rumos vante e ré verdadeiros. ( 1,5 ) 
5 ) Calcular a soma dos ângulos internos da poligonal. ( 1,5 ) 
6 ) Fazer um esboço da poligonal levantada. ( 1,5 ) 
 
31 
2.6 Medidas de Distância 
 
 A determinação da extensão de um alinhamento pode ser feita por 
medida direta, quando o instrumento de medida é aplicado no terreno ao 
longo do alinhamento, por medida indireta, se em função da medida de 
outras grandezas com ela relacionada matematicamente, ou por medida 
eletrônica, realizada com instrumentos que utilizam raios infravermelhos 
ou a laser permitindo a determinação das distâncias com rapidez e precisão 
(Distanciômetro). 
 
2.6.1. Medida Direta – Processos 
 
 Nos processos para medida direta de distâncias, o instrumento 
aplicado ao longo do alinhamento a medir denomina-se diastímetro. 
 De acordo com a natureza do diastímetro e grau de precisão desejado 
para a medida, os processos de medida direta classificam-se em: 
A)- Processos de Baixa Precisão 
B)- Processos de Média Precisão 
C)- Processo de Alta Precisão 
 
A Processo de Baixa Precisão 
 
 São os processo que conduzem a resultados com baixo grau de 
precisão. São empregados nos trabalhos de reconhecimento, levantamentos 
rápidos onde não se exige grande precisão (levantamentos expeditos). Os 
diastímetros utilizados são: Passo humano, passômetro, velocímetro, etc. 
 
 
32 
B Processos de Média Precisão 
 
 Nesta categoria se processam as medidas executadas nos trabalhos 
normais de topografia. 
 Além do instrumento de medida, vamos empregar alguns 
instrumentos auxiliares; tais como: 
� Piquetes ou estacas, servem para sinalizar a origem e o fim dos 
alinhamentos, os vértices das poligonais, a origem e o fim das 
curvas, etc. 
� Estacas testemunhas, servem para identificação rápida do piquete e 
devem ser cravadas a 0,5 metros do piquete. 
� Balizas, servem para o operador do teodolito realizar a rápida 
visualização do piquete; serve para fixar o plano vertical que contém 
um alinhamento. 
O diastímetro utilizado para medida direta do alinhamento com média 
precisão é a “trena”, podendo ainda ser utilizada a “fita de aço”. 
 
C Processos de Alta Precisão 
 
 São utilizados na medição das bases geodésicas ( lados dos 
triângulos geodésicos ) . Empregam-se os distanciômetros eletrônicos 
baseados na propagação de micro-ondas ou de ondas luminosas. Entre os 
que emitem micro-ondas temos os telurômetros, cujo alcance chega a 
160km com precisão de 5cm ±3:1.000.000. Na classe dos que emitem 
ondas luminosas temos o Geodímetro com alcance de 60km e precisão de 
6mm±1:1.000.000, e o Geodolito com alcance de 32km nas medições 
diurnas e 80km nas medições noturnas ( T34-400 ). 
 
 
33 
2.6.2 Técnica de Medida com Trena 
 
 Para que a distância entre dois pontos seja medida com precisão, a 
trena dispor-se-á horizontalmente e estará contida no plano vertical que 
contém o alinhamento. 
 Ao operador e seus auxiliares compete cuidar da horizontalidade da 
trena e da verticalidade da baliza no momento da medida. 
 O plano vertical poderá ser materializado com o emprego de balizas 
e um instrumento óptico (teodolito) através da operação denominada 
balizamento. 
 Suponhamos quese deseje medir o cumprimento “L”, com uma trena 
a partir do ponto “A” até o ponto “B” fixado no terreno. Um auxiliar deverá 
por uma baliza no ponto “A”, mantendo o zero da trena junto ao eixo da 
baliza disposta verticalmente; outro auxiliar deverá ir desenrolando a trena 
até a de marca “L metros”. Os auxiliares dos pontos A e B se colocam atrás 
das respectivas balizas, quando o operador do teodolito orientará os 
auxiliares para que fiquem na mesma direção, ou seja, no mesmo plano 
vertical que contém o alinhamento AB e, ainda orientará para que a trena 
fique disposta na horizontal. Então, neste momento, farão a medida do 
alinhamento. 
 
34 
 
2.6.3 Técnica de Medidas Indiretas 
 
 
35 
 
EXEMPLO 
 
2.7 MÉTODO DE LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
2.7.1. Método do caminhamento perimétrico ou método da poligonal 
 
Consiste na ligação dos pontos 2 a 2, da poligonal a ser levantada, através 
da medição de ângulos e distâncias em cada vértice da poligonal. 
Vantagens: 
� Pode ser usado em qualquer área, desde que os pontos sejam acessíveis. 
Desvantagens: 
� Método demorado e trabalhoso. Proporciona grande acúmulo de erros. 
 
36 
Em áreas extensas combinam-se o método com o GPS 
GPS – Global Positioning System: Sistema de Posicionamento Global 
 
 
 
Segundo Barros (1995 ) o Sistema de Posicionamento Global foi 
idealizado pelo Departamento de Defesa dos Estados Unidos. Consiste em 
uma constelação de 21 satélites em grandes altitudes. Este conjunto de 
satélites substitui as estrelas até então usadas pelo homem para navegação. 
O seu custo foi por volta de US$ 10 bilhões. O princípio básico do Sistema 
consiste em utilizar satélites como pontos de referência para triangular 
nossa posição em algum lugar da Terra, isto é, a nossa posição é conhecida 
através da medição da distância de onde nos encontramos sobre a superfície 
da Terra, até um grupo de satélites no espaço. 
Assim, por exemplo, se sabemos que estamos a uma distância de 18.000km 
de um satélite A, temos uma posição específica dentro do Universo que é 
no interior de uma esfera com raio conhecido e com centro no satélite A 
( Figura 01f). Conhecendo a nossa distância em relação a um outro satélite 
B, por exemplo de 20.000km, a nossa posição fica melhor definida. 
Portanto, o único lugar do Universo onde podemos estar a 18.000km do 
satélite A e 20.000km do satélite B é no círculo formado pela interseção 
das duas esferas ( Figura 01g). 
 Figura 01f: Um satélite Figura 01g: Dois Satélites 
 
37 
Obtendo-se uma medida de distância a um terceiro satélite, 15.000km por 
exemplo, podemos determinar realmente a nossa posição, uma vez que o 
lugar geométrico que a define são apenas dois pontos: a interseção do 
círculo formado pelos satélites A e B com a esfera do satélite C ( Figura 
01h). 
Figura 01h: Três Satélites 
 
2.7.2 Método da Irradiação 
 
 3 
 
 
 2 4 
 
 
 
 
 
1 5 
Consiste em se fazer visadas de um ponto chamado sede da irradiação, para 
os demais pontos da poligonal, ou pontos de detalhes, medindo-se os 
ângulos e as distâncias formadas entre a sede da irradiação e os pontos 
Sede da 
Irradiação 
Azimutes 
Norte 
Magnético 
Distâncias 
38 
visados. Este método poderá ser utilizado para levantamento de áreas e 
para levantamento dos pontos de detalhes. 
Vantagens: 
� Método rápido e de fácil execução 
Desvantagens: 
� Não possibilita a verificação dos erros cometidos 
� É um método restrito, utilizado somente em áreas que permitam a 
visualização de todos os seus vértices a partir de um ponto (sede da 
irradiação), e ainda, que não seja extrapolado o alcance máximo da 
luneta no momento das visadas. 
 
2.7.3 CÁLCULO DA POLIGONAL 
A Poligonal Aberta 
 
 3 
 
1 
 
 
 4 
 2 
 
 Poligonal aberta é aquela que não retorna ao ponto de partida, não 
possibilitando a verificação de erros, cometidos no campo. 
 
 
 
 
 
Az1,2 
α2 
α3 
L1,2 
L2,3 L3,4 
39 
A.1 CÁLCULO DAS COORDENADAS DOS PONTOS 
 y 
 N 
y3 
 
 
y2 
 
 x 
 x2 x3 
 
 
X2 e Y2 serão coordenadas arbitradas ou conhecidas 
 
 
 
 
 
 
 
FÓRMULA NO EIXO X 
 
 
 
FÓRMULA NO EIXO Y 
 
 
 
Az2,3 L2,3 
L2,3 x 
Az2,3 
23
23
23 L
xLSenAZ = 
L2,3X = L2,3SenAz2,3 
X3 = X2 + L2,3X 
L2,3Y = L2,3 CosAz2,3 
Y3 = Y2 + L2,3Y 
40 
EXERCÍCIOS 
Calcular as coordenadas dos vértices da poligonal a seguir 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lado Comprimento 
do lado 
Azimute Projeção natural 
dos lados 
V
ér
tic
e 
Coordenadas 
LX LY X Y 
1 – 2 57,60 100°50’ 56,573 -10,826 1 500,0 500,0 
2 – 3 42,35 43°20’ 29,062 30,804 2 556,573 489,174 
3 – 4 59,43 124°45 48,830 -33,874 3 585,635 519,978 
 4 634,465 486,104 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Az1,2 = 100°50’ 
α2 = 237°30’ 
α3=98°35’ 
L1,2 = 57,60 
L2,3 = 42,35 
L3,4 = 59,43 
Comprimento do 
lado vezes SenAz 
Comprimento do 
lado vezes CosAz 
LxXnXn ±−= 1 
LyYnYn ±−= 1 
41 
A.2 Regras para correção dos ângulos internos 
 
1.Todo Polígono fechado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se o erro de campo for menor que o erro admissível, então distribuir. 
Se o erro de campo for maior que o erro admissível, retornar para o campo 
e medir novamente. 
 
B Poligonal Fechada 
Erro Linear = Ef 
Detrminação do Erro linear de fechamento 
 
 2 
 1 
 5 
 3 
 4 
 
 
 
 
 
Ec = erro de campo 
ÂI = Ângulos Internos 
Ead = erro admissível 
pa = precissão angular do aparelho 
 
npaead = 
n = número de 
vértices da poligonal 
0180).2(.. −=∑ nIntÂng 
0180).2()( −−∑= ncampoÂIEc 
Ef 
Efx 
Efy 
22 yExEE fff += 
42 
Determinação da projeção Efx e Efy 
Teorema de Thales 
 
A soma algébrica das projeções dos lados de um polígono qualquer 
sobre uma reta orientada é sempre nula, quando a extremidade do último 
lado coincide com a origem do primeiro. 
 
 B 
 
 A 
 C 
 
 D 
 
Então temos: quando Σx≠0 temos Efx e, 
 Σy≠0 temos Efy. 
 
B.1 Cálculo do erro linear relativo = Er 
 
,
1
M
Er = sendo 
fE
pM 2= 
Onde 2p é o perímetro da poligonal 
Ef é o erro linear de fechamento 
São aceitos os seguintes limites de tolerância do erro linear de fechamento: 
Terreno Plano 1:2000 
Terreno Ondulado 1:1000 
Terreno Acidentado 1:500 
 
 
0
0
0
0
=∑
=∑
=+++
=+++
y
x
yyyy
xxxx
DACDBCAB
DACDBCAB
 
43 
B.2 Cálculos dos Fatores de Correção 
 
 
 
 
 
Onde l = lado a ser corrigido. 
 
EXERCÍCIO 
Calcular as coordenadas da poligonal dada a seguir: 
 
 
 0 3 
 
 
 
 
 1 
 
 
 
 2 
pa=6’’ X1=1.000,00m Y1=2.000,00
107°44’10’
72°43’30’’ 
88°41’40’’ 
90°50’32’’ 
l
p
xE
C
l
p
xE
C
f
y
f
x
.
2
.
2
=
=
 
45 
 
B.3 CÁLCULO DA ÁREA DE POLIGONAIS FECHADAS 
ATRAVÉS DAS COORDENADAS DOS SEUS VÉRTICES 
 
 
 0 
N0 
 
N1 1 
 2 
N2 
 E0 E2 E1 
 
 
B.3.1 Fórmula de Gauss 
S – área da 
poligonal 
46 
AB 
 Além dos métodos já estudados (Irradiação e Caminhamento 
Perimétrico), outros métodos também são importantes e aplicados, muitas 
vezes, em casos particulares de levantamento. 
 
2.7.4 Método da Interseção 
 
É bastante utilizado quando o ponto a determinaré inacessível. Ex: 
um ponto situado dentro de um rio. 
Consiste na determinação da posição de um ponto pela interseção 
das visadas feitas das extremidades de um alinhamento, denominado 
BASE, para este ponto. 
 
 M 
 
 
 
 
 
 A B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AzA,B 
AzA,M 
AzB,A 
AzB,M 
αA 
αM 
αB 
Do campo: AB ; AzA,M, AzA,B, AzB,M, AzB,A 
 
47 
Da Lei dos Senos: 
 
Calcula-se αA, αB e αM: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coordenadas do Ponto M a partir do ponto A 
XM = XA + AM . Sen AzA,M 
YM = YA + AM . Cos AzA,M 
 
 
 
 
 
 
Coordenadas do Ponto M a partir do ponto B
 
XM = XB + BM . Sen AzB,M 
YM = YB + BM . Cos AzB,M 
 
 
)(1800
,,
,,
BAM
AzAzB
AzAzA
abmb
maba
ααα
α
α
+−=
−=
−=
 
m
b
Sen
Sen
AB
AM
α
α
= 
m
b
Sen
Sen
ABAM
α
α
.= 
m
a
Sen
Sen
AB
BM
α
α
= 
m
a
Sen
Sen
ABBM
α
α
.= 
48 
EXERCÍCIOS 
 
1 ) Calcular as coordenadas do ponto M levantado por interseção a partir da base AB 
definida por RA,B = 72°30’ (NE); AB = 418,40; XA = 500m; YA = 700m. Tendo sido 
medidos RA,M = 42°20’ (NE) e RB,M = 50°45’(NW). 
Resolução: 
RA,B = 72°30’ (NE) XA = 500m 
AB = 418,40m YA = 700m 
Foram medidos no campo: 
RA,M = 42°20’ (NE) RB,M = 50°45’(NW) 
M 
 
 
 
 
 
A B 
 
 
 
αA = (RA,B) 72°30’ – (RA,M ) 42°20’ = 30°10’ 
αB = 180° - [(RB,M) 50°45’+(RA,B) 72°30’] = αB = 56°45’ 
αΜ = 180° – (αA) 30°10’ + (αB) 93°05’ = αM = 93°05’ 
 
 
Coordenadas do Ponto M 
XM = XA + AM . Sen AzA,M ⇒ 500+350,40939.Sen 42°20 = 735,98064 
YM = YA + AM . Cos AzA,M ⇒ 700 + 350,40939.Cos 42°20 = 959,0364 
RA,B = 72°30’ 
RA,M = 42°20’ 
50°45’(NW) 
RB,A = 72°30’ 
αA = 30°10’ 
αM = 93°05’ 
αB = 56°45 
m
b
Sen
Sen
ABAM
α
α
.= 40939,350
'0593
'4556
.40,418 0
0
==
Sen
SenAM 
49 
2 ) As coordenadas do vértice no. 2 de uma poligonal são: W = 20m; N = 
40m, em relação a um referencial no vértice no. 1. Qual o azimute 1-2 
( Az1-2 )? 
 
3 ) O perímetro de um terreno é uma circunferência de raio igual a 50 
metros. Qual o comprimento de uma parte deste perímetro subentendida 
por um ângulo de 0,5 radianos? 
 
4 ) Qual a área, em alqueires paulista, de uma poligonal cujo levantamento 
topográfico resultou nas seguintes coordenadas para os vértices? 
Vértice 1 ( 202 Este; 300 Norte ); 
Vértice 2 ( 250 Este; 315 Norte ); 
Vértice 3 ( 240 Este; 290 Norte ); 
Vértice 4 ( 210 Este; 250 Norte ). 
 
5 ) A declinação magnética de uma determinada região, objeto de um 
levantamento topográfico, é de –10o 25’ em 31/07/1980. A variação anual 
desta declinação é de –5’. Qual será o azimute verdadeiro ou geográfico 
referente ao azimute magnético de 20o 30’ lido em 30/06/1997? 
 
6 ) Utilizando-se o alinhamento C-D coincidente com o meridiano local, e 
C distante de D 300 metros, estacionou-se o teodolito em C obtendo-se os 
azimutes Azca e Azcb de 240o e 120o respectivamente. Em seguida, com o 
teodolito estacionado em D, obteve-se os azimutes Azda e Azdb de 290o e 
25o respectivamente. 
Com base no procedimento de campo acima descrito, responda as seguintes 
questões: 
A ) Qual é a distância A-B? 
B ) Qual é a distância A-D? 
C ) Qual é a distância D-B? 
 
7 ) Com um teodolito estacionado em uma estaca 1, foi determinado o 
azimute 1-3 ( Az1-3 ) de 70o, sendo o ponto 3 inacessível. Ainda com o 
teodolito estacionado na estaca 1, foi lido o azimute 1-2 ( Az1-2 ) de 120o e 
determinada a distância 1-2 de 254,50 metros. Em seguida o teodolito foi 
estacionado na estaca 2 e lido o azimute 2-3 ( Az2-3 ) de 10º. A altitude da 
estaca 1 é de 702,50m e a altura do aparelho, quando estacionado na estaca 
1 era de 1,60m e em 2 de 1,62m. Os ângulos verticais 1-2 e 2-3 lidos foram 
de 30o 30’50” e 28o 30’00” respectivamente. 
Com base no procedimento de campo descrito acima, responda as seguintes 
perguntas: 
A ) Qual é a distância horizontal 1-3? 
50 
B ) Qual é a distância horizontal 2-3? 
C ) Qual é a altitude da estaca 2? 
D ) Qual é a altitude do ponto inacessível 3? 
E ) Faça um esboço da operação descrita. 
 
8 ) Qual a área real de um terreno cujas dimensões representadas em uma 
planta planimétrica, escala 1:2.500, são: 10cm de frente e 30cm de fundo. 
 
9 ) Qual a área, em alqueires paulista, de uma poligonal cujo levantamento 
topográfico resultou nas seguintes coordenadas finais para os vértices? 
 
Vértice 1 ( 202 Este; 300 Norte ); 
Vértice 2 ( 250 Este; 315 Norte ); 
Vértice 3 ( 240 Este; 290 Norte ); 
Vértice 4 ( 210 Este; 250 Norte ). 
 
10) Os vértices 1 e 2 de uma poligonal apresentam as seguintes 
coordenadas: 
 
Vértice 1: 500m Este; 500m Norte; 
Vértice 2: 480m Este; 540m Norte. 
 
Com base nestes dados, qual é o R1,2, o Az1,2, o R2,1,Az2,1 e a distância 1-2? 
 
 
2.7.5 Método das Coordenadas Retangulares 
 
A) Aplicação: Pela facilidade e rapidez das operações, este método é 
especialmente indicado para levantamento de detalhes que apresentam 
configuração curvilínea (Rios, divisas de propriedades). 
Neste método, a posição do ponto topográfico de interesse é 
definida pela medição de suas coordenadas retangulares (X,Y). Um dos 
lados da poligonal de apoio servirá como eixo de referência para medição 
das abcissas e ordenadas. 
51 
Definindo o eixo de referência, sobre ele serão marcadas as abcissas 
(X) dos pontos de interesse; perpendicularmente, anotam-se as ordenadas 
(Y). 
 P2 P4 
 P1 P3 
 
 
 
 X1 
 X2 
 X3 
 X4 
X e Y são medidos com trena ou calculado comTeodolito Taqueométrico. 
 
B) Precisão: Este método não conduz a resultados precisos, devido ao fato 
de se utilizar somente de medidas lineares. Entretanto, pela 
facilidade de operação e rápida execução, é recomendado o seu 
uso em levantamento de detalhes. 
 
2.8 Levantamento dos Detalhes 
 
2.8.1 Definição de Detalhes 
 
Denomina-se detalhes os elementos do terreno que, por sua 
importância, característica ou posição relativa, devem compor a planta 
topográfica. 
Os detalhes podem ser rios, lagos e praias; florestas e lavouras; obras 
de engenharia; acidentes naturais, relevos e etc. 
Y1 Y2 Y3 Y4 
52 
 
2.8.2 Métodos de Levantamento de Detalhes 
 
No geral, todos os métodos de levantamento topográfico estudados 
podem ser utilizados na determinação e representação dos detalhes, 
contudo, pelas características particulares de cada um, em certas situações 
uns são mais indicados que os outros. Há situações em que se faz 
necessário o uso de métodos combinados para determinação dos detalhes. 
É importante frisar que, na prática, muitas vezes o bom senso do 
profissional definirá qual o melhor procedimento a ser adotado. 
No escritório calculam-se as coordenadas dos pontos empregando-se 
técnicas de desenho, confecciona-se o desenho final de acordo com as 
informações contidas no croqui. 
Em geral, os detalhes são representados por meio de símbolos; estes 
símbolos, denominados de “convenções topográficas”, destinam-se a 
reproduzir fielmente a natureza dos objetos a representar. 
A convenção topográfica é um recurso utilizado para representar no 
desenho detalhes que, se postos na escala do referido desenho seriam 
imperceptíveis a vista humana. 
A NBR 13133/94 apresenta relação de convenções topográficas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
( )
( )MEdS
yyyyyydS
b
b
.2
2
2222
2 654321
+=
+++++=
 
2.9 ÁREAS EXTRAPOLIGONAIS2.9.1 Cálculo da área Extrapoligonal 
A Método analítico 
 B E 
 
 C D 
 F 
A 
y1 y2 y3 y4 y5 y6 
 d d d d d 
 
d= todas as partes devem ser iguais. 
 
A.1 Fórmula dos trapézios ou de BEZOUT 
 
 
 
54 
( )PIEdS s 423 ++= 





 −
+=
4
'2. EEPdS p 
Onde E é o somatório dos y extremos 
Onde M é o somatório dos y do meio. 
 
A.2 Fórmula de SIMPSON 
 
 
 
Onde E é o somatório dos y extremos; 
Onde I é o somatório dos y ímpares; 
Onde P é o somatório dos y Pares; 
 
A.3 Fórmula de PONCELET 
 
 
 
Onde E é o somatório dos y extremos; 
Onde E’ é o somatório dos y adjacentes aos extremos (2° e Penúltimo); 
Onde P é o somatório dos y Pares; 
 
EXERCÍCIO 
 
 
 
 
 
 20 20 20 20 20 20 Y
 
=
 
1,
8 
Y
2 
=
 
3,
5 
Y
3 
=
 
4,
7 
Y
4 
=
 
5,
5 
Y
5 
=
 
5,
8 
Y
6 
=
 
5,
4 
Y
7 
=
 
3,
8 
55 
2 
( )
( ) 25549,24.26,5
2
20
.2
2
mS
MEdS
b
b
=+=
+=
 
( )
( ) 22772,5616,57216,5666,6
42
3
mS
PIEdS
s
s
=++=
++=
 
25,559
4
9,86,58,2820
4
'2
mS
EEPdS
p
p
=




 −
+=





 −
+=
 
 
Calcular a área 
Obs.: Todas as medidas estão em metro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 
1 ) As sapatas de fundação de uma edificação estão dispostas formando um 
triângulo. O azimute do alinhamento formado pelas sapatas 1 ( S1 ) e 3 ( S3 
) é de 89o 20’ 37” ( AzS1-S3 ); o do alinhamento formado pelas sapatas S1 e 
2 ( S2 ) é de 35o 15’ 30” ( AzS1-S2 ) e o do alinhamento formado pelas 
sapatas S2 e S3 é de 130o 20’ 40” ( AzS2-S3 ). As coordenadas da sapata S1 
são 100m Norte, 100m Este, e, da S3, 100,945m Norte, 182,494m Este. 
Com base neste enunciado, responda as seguintes questões: 
 
a ) Quais são as coordenadas da sapata S2? 
 
1 
3 
56 
b ) Qual é a área do triângulo definido pelas sapatas S1, S2 e S3? 
 
c ) Qual é o afastamento entre os eixos Norte-Sul das Sapatas S1 e S2, e 
das Sapatas S2 e S3? 
 
d ) Qual é o afastamento entre os eixos Este-Oeste das Sapatas S1 e S2, e 
das Sapatas S1 e S3? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
3 ALTIMETRIA 
 
A altimetria é a parte da topografia que tem por objetivo a 
determinação das alturas dos pontos do terreno, definidos pela planimetria, 
em relação a uma superfície de referência e cuja finalidade é a 
representação do relevo através de curvas de nível. Dependendo da 
superfície de referência adotada, temos as cotas e as altitudes. 
 
3.1 COTAS E ALTITUDES 
 
As cotas correspondem a menor distância entre pontos da Superfície 
Topográfica, quando representada numa Carta ou Planta Topográfica de 
uma região, e uma superfície de referência arbitrária. Por outro lado, as 
altitudes correspondem a menor distância entre pontos da Superfície 
Topográfia e a superfície de nível médio dos mares, ou do Geóide, tomada 
como referência. Chamamos de Afastamento a menor distância em relação 
à superfície do Elipsóide de Referência. As cotas negativas ou de 
profundidade são denominadas cotas batimétricas. 
Normalmente chamamos de Superfície Topográfica à superfície do 
relevo continental, e superfície batimétrica ao assoalho submarino. 
Entretanto, a Superfície Topográfica compreende a superfície sólida da 
Terra, incluindo o relevo continental e o assoalho submarino. 
 
3.2 DIFERENÇA DE NÍVEL 
 
As diferenças existentes entre as cotas ou altitudes dos pontos do 
terreno são designadas de diferença de nível ( Figuras 01 e 02 ). Podemos 
58 
também dizer que a diferença de nível entre dois pontos do terreno 
corresponde à distância vertical entre os planos que contém estes pontos. 
O levantamento altimétrico de um ponto consiste na determinação da 
diferença de nível entre esse ponto e outro de cota ou altitude conhecida e, 
por conseguinte, no conhecimento da cota ou altitude daquele ponto. 
 
 
 
3.3 REFERÊNCIA DE NÍVEL 
 
Chama-se referência de nível ou simplesmente RN a um ponto de 
cota ou altitude conhecida. Estes RN são de extrema importância nos 
trabalhos topográficos. São encontrados nos terminais de estradas de ferro. 
Além destes pontos, existem outros distribuídos pelo País, levantados pelo 
Departamento Nacional da Produção Mineral ( DNPM ) ou pelas empresas 
de aeronáutica civil. Normalmente estes RNs são pontos notáveis, onde são 
fixados marcos de cimento, locados nas principais cartas do País. 
 
3.4 NIVELAMENTO 
 
O nivelamento consiste no conjunto de operações topográficas 
realizadas com o objetivo de determinar as diferenças de nível entre os 
59 
pontos do terreno. Qualquer trabalho de nivelamento de grande precisão 
deve sempre ser iniciado tendo como base uma referência de nível ( RN ). 
 
3.5 TIPOS DE NIVELAMENTO 
 
Em decorrência da natureza e do processo de medidas usadas na 
determinação das cotas ou altitudes, os nivelamentos são classificados, na 
ordem de precisão crescente, em: barométrico, trigonométrico e 
geométrico. 
 
3.5.1 NIVELAMENTO BAROMÉTRICO 
 
Consiste na obtenção da diferença de nível em função da pressão 
atmosférica obtida em dois pontos diferentes. Desta forma a altitude de um 
ponto é determinada mediante a medida da pressão atmosférica em um 
ponto de altitude conhecida e no outro cuja altitude desejamos saber. 
O nivelamento barométrico é de grande emprego no apoio altimétrico para 
a aerotriangulação tendo como objetivo a confecção de cartas em pequena e 
média escala. Na sua faixa de emprego apresenta grandes vantagens em 
relação aos outros métodos pelo baixo custo operacional, pois é de 
execução rápida, utiliza equipamento portátil e pequeno efetivo das equipes 
de trabalho. 
Os altímetros utilizados para obtenção das altitudes a partir da 
pressão atmosférica, são semelhantes aos barômetros aneróides. Consistem 
em uma cápsula metálica com vácuo no seu interior. As variações de 
pressão atmosférica produzem deformações na cápsula, provocando 
deflexões em um ponteiro que mede a pressão atmosférica, a qual é 
60 
traduzida em altitudes através de dispositivos mecânicos relacionados a 
uma escala de leitura, em metros ou pés ( escala orométrica ). 
 
 Figura 03: Esquema de um barômetro aneróide ( Manual TécnicoT34-604 ). 
 
3.5.2 NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO 
 
O nivelamento trigonométrico é efetuado com a utilização do 
teodolito, cujos dados angulares de campo são tratados segundo as relações 
trigonométricas em um triângulo. No nivelamento trigonométrico opera-se, 
em geral, com visadas inclinadas. Assim, a diferença de nível entre dois 
pontos é determinada por cálculo trigonométrico a partir do conhecimento 
da distância horizontal entre os dois pontos, e o ângulo vertical fornecido 
pelo teodolito. 
Na Figura 04 γ1 e γ2 representam ângulos verticais ( zenitais ); AA a 
altura do aparelho medida do eixo de rotação do telescópio até o nível do 
terreno indicado por um piquete; L1 a leitura de estádia corresponde ao 
ângulo γ1; L2 a leitura de estádia correspondente ao ângulo γ2; ∆L a 
diferença das leituras L2 e L1; dH a distância horizontal entre os pontos 1 e 
2; ∆ a distância vertical do centro de telescópio até a leitura L1 sobre a mira. 
Trigonometricamente a diferença de nível entre os pontos 1 (onde está 
61 
estacionado o teodolito) e 2 (onde coloca-se a mira estadimétrica), ∆H, será 
determinada através das seguintes expressões: 
 
∆H = ∆ + AA – L1, onde ∆ = dH.Cotgγ1, o que nos dá a seguinte expressão 
para o cálculo dodesnível entre os pontos 1 e 2: 
∆H = dH.Cotgγ1 + AA – L1 
 Figura 04: Nivelamento trigonométrico 
 
Observe que neste caso é necessário conhecer a distância horizontal 
dH entre os dois pontos cujo desnível queremos determinar. Entretanto, a 
partir da mesma figura, podemos obter a expressão que possibilita o cálculo 
do desnível ∆H sem necessidade de sabermos a distância entre os dois 
pontos, que é a seguinte: 
 
∆ = ∆L.cotgγ1 / cotgγ2 - cotgγ1, que substituindo na expressão de ∆H nos dá 
o seguinte resultado: 
∆H = ∆L.cotgγ1 / cotgγ2 - cotgγ1 + AA – L1 
62 
A mesma equação pode ser obtida substituindo o valor de dH, do ítem 
2.6.3,
 
na equação anterior que fornece o valor de ∆H em função de dH. 
 
3.5.3 NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 
 
O nivelamento geométrico é comumente empregado nos trabalhos de 
topografia, como nivelamento de estradas, construções em geral, 
loteamentos, etc. É um nivelamento de boa precisão quando 
cuidadosamente aplicado. 
 
3.5.3.1 INSTRUMENTAL UTILIZADO 
 
Para execução de um nivelamento geométrico, o instrumental a ser 
empregado necessita estabelecer uma linha de visada horizontal e permitir 
a medida de distâncias verticais. Tais instrumentos são os níveis e as miras. 
 
A NÍVEIS 
 
São instrumentos óticos especialmente construídos e consistem de 
uma luneta conjugada a níveis de boa sensibilidade, de modo a assegurar 
que, estando a luneta estacionada sobre um ponto, possamos orientar com 
precisão o seu eixo vertical segundo a vertical do lugar e que ela, ao girar 
em torno desse eixo, descreva um plano rigorosamente normal a ele 
próprio. Os níveis definem físicamente um plano horizontal ou uma linha 
horizontal. 
Os níveis podem ser classificados, segundo o órgão visor que são 
dotados, em: níveis de luneta, níveis de visor de pínulas e níveis sem órgão 
visor. Os nivelamentos mais rigorosos são efetuados com os níveis de 
63 
luneta, sendo esta semelhante à luneta de um teodolito, apresentando 
inclusíve os fios estadimétricos. O único movimento possível das lunetas 
dos níveis é em torno de um eixo vertical. Ela é montada sobre uma base 
dotada de três parafusos calantes, que permitem o nivelamento do 
instrumento, quando instalado sobre o tripé. 
As leituras, nos níveis, são sempre feitas em relação ao fio médio. 
Quando perfeitamente nivelado, o eixo ótico ou eixo de colimação do 
aparelho descreve sempre um plano horizontal. 
 
B MIRAS 
 
As miras são réguas de madeira usadas no nivelamento para determinação 
de distâncias verticais. Existem vários tipos de miras: miras simples ou de 
alvo, miras falantes e miras de nível. As mais utilizadas nos trabalhos de 
topografia são as miras falantes, que são réguas de madeira ou alumínio 
com extensão de 3, 4 ou 5 metros, porém, em geral, de 4 metros. Elas 
possuem extremidades protegidas por uma peça de aço, tendo uma das 
faces graduadas. Os fabricantes de instrumentos topográficos apresentam 
miras com vários tipos de graduação. 
 
3.5.3.2 PRINCÍPIO DO NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 
 
Consideremos dois pontos A e B da superfície terrestre ( Figura 04 ). 
Seja HH o traço de um plano horizontal qualquer, adotado como referência. 
Suponhamos instalado num ponto qualquer entre A e B um nível de luneta, 
e nos pontos A e B uma mira posta verticalmente, onde se faz as leituras lA 
e lB. 
Podemos expressar a diferença de nível, DN, entre A e B por: 
64 
DN = lA – lB ( 1 ) 
Podemos ainda escrever que: 
CB = CA + DN ( 2 ), ou 
CB = CA + ( lA – lB ) ( 3 ) 
A expressão ( 3 ) nos permite definir que o nivelamento geométrico é 
a operação que tem por finalidade determinar a cota de um ponto B da 
superfície terrestre, sendo conhecida a cota de um ponto A e as leituras 
feitas numa mira instalada em A e B. 
Quando não se dispõe de um RN, a cota do ponto A pode ser 
arbitrada, já que podemos escolher livremente o plano HH. 
 Figura 04: Princípio do nivelamento geométrico 
 
3.5.3.3 TIPOS DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 
O nivelamento geométrico pode ser simples ou composto: 
 
A. NIVELAMENTO GEOMÉTRICO SIMPLES 
 
O nivelamento geométrico é simples quando é possível visar de uma 
única estação de nível a mira colocada em todos os pontos do terreno a 
nivelar. 
65 
 Tomemos como exemplo os pontos A, B e C cujos perfís dos 
alinhamentos AB e BC estão representados na Figura 05. 
 Figura 05: Nivelamento geométrico simples 
 
Instala-se o nível em uma posição qualquer N, com a condição de ser 
possível visar a mira M colocada na vertical e sucessivamente nos pontos 
A, B e C. A primeira visada, feita no ponto A, início do nivelamento, é 
chamada “visada a ré” (VR) e as seguintes “visadas a vante” (VV ), que 
podem ser “vante de mudança” ( VV) ou “vante intermediária” (VI ). 
Conhecida a cota de A, seja por se tratar de um ponto nivelado 
anteriormente ou por arbitramento, chama-se “altura do instrumento” (AI ) 
a soma da cota deste ponto com a visada a ré feita em A ( VRA ), isto é: 
 
AI = CA + VRA 
Conhecida a visada feita em B ( VIB ), a cota do ponto B será 
calculada através da expressão: 
CB = AI – VIB e, por extensão, conhecida a visada em C ( VVC ), a cota do 
ponto C será: 
CC = AI - VVC 
 
66 
 B. NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO 
 
O nivelamento geométrico composto consiste em uma série de 
nivelamentos simples, articulados cada um com o anterior. Este tipo de 
nivelamento é realizado sempre que o relevo for acidentado, isto é, 
apresentar desníveis acentuados. Nesta situação a diferença de nível entre 
dois pontos poderá ultrapassar a altura da mira, obrigando o deslocamento 
do instrumento para um ponto que permita a sua visão. Por outro lado, a 
necessidade de deslocar o instrumento também se faz necessária quando as 
distâncias ultrapassarem o limite de alcance da luneta, o qual está limitado 
a 100 metros. Além desta distância as leituras poderão estar sujeitas a erros 
inadmissíveis. 
As posições dos pontos a nivelar são determinadas anteriormente por 
um levantamento planimétrico, e devem definir com propriedade o perfil 
do alinhamento entre eles, isto é, necessitam estar situados nos pontos onde 
há mudança de inclinação do terreno. 
Para execução de um nivelamento geométrico composto, a escolha 
do ponto de localização do nível é feita de modo que: 
a ) Haja condição de visar o maior número possível de pontos, respeitando 
o limite de 100 metros para a distância de visada; 
b ) Que a mira situada no último ponto nivelado do trecho anterior, possa 
ser visada. 
 
A Figura 06 mostra o exemplo de uma situação de campo para o 
nivelamento entre os pontos A e F. 
67 
 
Figura 06: Nivelamento geométrico composto 
 
Com o nível em N1 visa-se a mira em A e B e faz-se as leituras VRA e 
VVB, respectivamente, que correspondem às visadas a ré em A e vante em 
B. Em seguida instala-se o nível em N2, já que de N1 não será possível visar 
a mira em C. Em seguida efetua-se a leitura no último ponto, B, do 
nivelamento anterior, o que caracteriza a visada a ré VRB, e sucessivamente 
são efetuadas as leituras VIC em C e VVD em D. Repete-se a operação com o 
nível instalado em N3 e efetua-se as visadas VRD, VIE, e VVF. 
Conhecida ou arbitrada a cota CA do ponto inicial A, calcula-se as 
cotas dos demais pontos, através das seguintes operações aritméticas: 
 
AI1 = CA + VRA AI2 = CB + VRB AI3 = CD + VRD 
CB = AI1 - VVB CC = AI2 - VIC CE = AI3 - VIE 
 CD = AI2 - VVD CF = AI3 - VVF 
 
O pontos “B” e “D” são pontos importantes no nivelamento 
geométrico composto porque é mediante estes que se articulam os trechos 
nivelados. Assim, estes pontos, receberão duas visadas, sendo a primeira 
para determinação da sua cota e denominada de “visada vante de mudança” 
68 
uma vez que a partir