Sistemas lineares - parte 2

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Sistemas de equações lineares - Parte 2
Forma escada de uma Matriz
Vamos agora abordar sistemas de equações lineares com m equações lineares e n variáveis, m e n
não necessariamente iguais. Para uma abordagem adequada precisamos de alguns conceitos que
abordaremos a seguir.
De�nição 01( matrizes linha equivalentes): Se A e B são matrizes m× n, dizemos que B é
linha equivalente a A, se for possível obter B a partir de A aplicando uma quantidade �nita de
operações elementares sobre as linhas de A.
Por exemplo, a matriz B =
 2 4 93 −1 −5
1 0 0
 é linha equivalente a A =
 2 3 45 2 −1
0 1 5
. De fato,
vejamos como aplicando uma quantidade �nita das operações elementares sobre as linhas de A
chegamos em B.
( )2 3 4 L1
5 2 −1 L2
0 1 5 L3
−−−−−−−−−→
L2 ← L2 − L1 ( )2 3 4 L1
3 −1 −5 L2
0 1 5 L3
−−−−−−−−−→
L3 ← L3 + L2 ( )2 3 4 L1
3 −1 −5 L2
3 0 0 L3
−−−−−−−−−→
L1 ← L1 − L2 ( )−1 4 9 L1
3 −1 −5 L2
3 0 0 L3
−−−−−−−−−→
L1 ← L1 + L3 ( )2 4 9 L1
3 −1 −5 L2
3 0 0 L3
−−−−−−→
L3 ← 13L3 ( )2 4 9 L1
3 −1 −5 L2
1 0 0 L3
Analogamente, a matriz C =
 1 2 1 0−1 0 3 5
1 −2 1 1
 é linha equivalente a D =
 1 0 −3 −50 1 2 5/2
0 0 8 11
.
Pois
( )1 2 1 0 L1
−1 0 3 5 L2
1 −2 1 1 L3
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
L2 ← L2 + L1 e L3 ← L3 − L1 ( )1 2 1 0 L1
0 2 4 5 L2
0 −4 0 1 L3
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
L1 ← L1 − L2 e L3 ← L3 + 2L2 ( )1 0 −3 −5 L1
0 2 4 5 L2
0 0 8 11 L3
−−−−−−→
L2 ← 12L2 ( )1 0 −3 −5 L1
0 1 2 5/2 L2
0 0 8 11 L3
Esse conceito de matriz linha equivalente vai nos ajudar a resolver sistemas de equações lineares,
pois é possível mostrar que se as matrizes ampliadas de dois sistemas lineares forem linha equi-
valentes por linha, então os dois sistemas são equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto
solução.
Outro conceito que vai ser fundamental é o de forma escada de uma matriz.
De�nição 02: Uma matriz m× n é linha reduzida a forma escada se:
1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1. ( A posição onde �ca esse elemento
é chamada de pivô)
2) Cada coluna que contém o pivô de alguma linha tem todos os outros elementos diferentes do
pivô iguais a zero.
3) Se houver linha nula ela aparece abaixo das linhas não nulas.
4) Se a linhas 1,2, ..., r são as linhas não nulas e o pivô da linha i aparece na coluna ki, então
K1 < k2 < ... < kr. Ou seja, o pivô da linha 2 vai estar em uma coluna à direita da coluna que
contém o pivô da linha 1, o pivô da linha 3 vai estar em uma coluna que �ca à direita da coluna
que contém o pivô da linha 2 e assim sucessivamente.
As matrizes abaixo estão na forma escada. 1 0 −10 1 2
0 0 0
  1 0 00 1 0
0 0 1
  0 0 10 0 0
0 0 0

(
0 1 −1 0
0 0 0 1
)  1 0 −1 00 1 0 0
0 0 0 1
  1 0 0 2 −5 1 00 0 1 1 3 −1 0
0 0 0 0 0 0 1

As matrizes abaixo não estão na forma escada. 1 0 −10 −1 3
0 0 0
 não satisfaz 1)
 1 3 00 1 2
0 0 1
 não satisfaz 2) 1 5 −10 0 0
0 1 0
 não satisfaz 3)
 1 0 00 0 1
0 1 0
 não satisfaz 4)
Teorema 01: Cada matriz Am×n é linha equivalente a uma única matrizlinha reduzida à forma
escada. Essa matriz na forma escada é chamada forma escada de A.
Observação: Para acharmos a forma escada de uma matriz começamos procurando
o pivô da linha 1. Assim, devemos verifcar se a primeira coluna da matriz possui
algum elemento diferente de zero. Se sim, então o pivô da linha 1 está na coluna 1,
caso contrário, isto é, se todos os elementos da coluna 1 forem iguais a zero, então
iremos veri�car se na coluna 2 tem algum elemento diferente de zero. Se sim, então
o pivô da linha 1 está na coluna 2, caso contrário iremos fazer a mesma veri�cação
na coluna 3 e assim sucessivamente até encontrarmos uma coluna que contém um
elemento diferente de zero. Se não encontrarmo tal coluna, então a matriz é nula e
já estará na forma escada de modo que não precisamos fazer mais nada. Ao encon-
tramos o pivô da linha 1 devemos zerar todos os elemento abaixo dele e deixamos o
pivô com valor 1, usando as operações elementares sobre as linhas da matriz. emse-
guida procuramos pelo pivô da linha 2, a partir da coluna imediatamente à direita da
coluna que contém o pivô da linha 1. Para isso, veri�camos nessa coluna, da linha 2
para baixo se tem algum elemento diferente de zero. Se sim, então o pivô da linha 2
estará nessa coluna, caso contrário, repetimos a mesma análise da linha 2 para baixo
na coluna seguite e assim sucessivamente. Depois repetimos o mesmo processo para
achar o pivô da linha 3 e assim por diante.
Exemplo 01: Encontre a forma escada de das matrizes abaixo.
a)A =
 1 2 7 0−1 0 2 1
2 1 0 −1
 b)B =

2 −1 5
0 −1 1
−1 0 3
1 0 0

Solução:
a)
Na matriz do item a) veri�camos que a primeira coluna de A contém um elemento diferente de
zero. Logo, o pivô da linha 1 está na coluna 1. Devemos então deixar o pivô com valor 1 e zerar
todos os outros elemento na coluna 1 abaixo do pivô. Como o pivô já tem valor 1 basta zerar os
elementos abaixo dele.
( )
1 2 7 0 L1
−1 0 2 1 L2
2 1 0 −1 L3
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
L2 ← L2 + L1 e L3 ← L3 − 2L1
( )
1 2 7 0 L1
0 2 9 1 L2
0 −3 −14 −1 L3
Agora que já arrumamos a coluna que contém o pivô da linha 1, vamos atrás do pivô da linha
2. Como o pivô da linha 1 está na coluna 1, devemos começar procurando o pivô da linha 2 na
coluna 2. Para isso, olhamos na coluna 2, da linha 2 para baixo, se tem algum elemento diferente
de zero. Constatamos que sim, então o pivô da linha 2 está na coluna 2. Devemos deixar o pivô
da linha 2 com valor 1 e zerar os elementos acima e abaixo do pivô.
( )1 2 7 0 L1
0 2 9 1 L2
0 −3 −14 −1 L3
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
L1 ← L1 − L2 e L3 ← L3 + L2 ( )1 0 −2 −1 L1
0 2 9 1 L2
0 −1 −5 −0 L3
−−−−−−−−−→
L2 ← L2 + L1 ( )1 0 −2 −1 L1
0 1 4 1 L2
0 −1 −5 0 L3
−−−−−−−−−→
L3 ← L3 + L2 ( )1 0 −2 −1 L1
0 1 4 1 L2
0 0 −1 1 L3
Assim, arrumamos também a coluna que contém o pivô da linha 2. Agora vamos atrás do pivô
da linha 3. Como o pivô da linha 2 está na coluna 2, devemos começar procurar o pivô da linha
3 na coluna 3. Veri�camos agora se o elemento que está na linha 3 e coluna 3 é igual a zero ou
diferente de zero( note que não tem mais linha abaixo da linha 3, então é só analisar esse elemento
mesmo). Como é diferente de zero, o pivô da linha 3 está na coluna 3. Nesse momento não nos
interessa os elementos que estão acima da linha 3. Devemos agora deixar o pivô da linha 3 com
valor 1 e zerar os elementos que estão acima dele.
( )1 0 −2 −1 L1
0 1 4 1 L2
0 0 -1 1 L3
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
L1 ← L1 − 2L3 e L2 ← L2 + 4L3
( )1 0 0 −3 L1
0 1 0 5 L2
0 0 -1 1 L3
−−−−−−−→
L3 ← −L3 ( )1 0 0 −3 L1
0 1 0 5 L2
0 0 1 −1 L3
Arrumamos também a coluna que contém o pivô da linha 3. Como não há mais linha para pro-
curarmos o pivô, o processo acabou. Portanto, a forma escada de A é 1 0 0 −30 1 0 5
0 0 1 −1

b)
Vamos agora achar a forma escada de B.
Assim como no item anterior, começamos procurando pelo pivô da linha 1. Começamos obser-
vando a coluna 1 contém um elemento diferente de zero. Logo o pivô da linha 1 está na coluna 1.
Devemos deixar o pivô com valor 1 e zerar os elementos que estão abaixo dele.


2 −1 5 L1
0 −1 1 L2
−1 0 3 L3
1 0 0 L4
−−−−−→
L1 ↔ L4 

1 0 0 L1
0 −1 1 L2
−1 0 3 L3
2 −1 5 L4
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
L2 ← −L2 , L3 ← L3 + L1 e L4 ← L4 − 2L1


1 0 0 L1
0 1 −1 L2
0 0 3 L3
0 −1 5 L4
Arrumamos a coluna que contém o pivô da linha 1. Vamos agora atrás do pivô da linha 2. Como
o pivô da linha 1 está na coluna 1, devemos começar procurando o pivô da linha 2 na coluna 2.
Na coluna 2 olhamos da linha 2 para baixo se há algum elemento diferente de zero. Constatamos
que sim. Então o pivô da linha 2 está na coluna 2. Devemos deixar o pivô com valor 1 e zerar os
elementos que estão acima e abaixo do pivô.


1 0 0 L1
0 1 −1 L2
0 0 3 L3
0 −1 5 L4
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
L3 ← 13L3 e L4 ← L4 + L2 

1 0 0 L1
0 1 −1 L2
0 0 1 L3
0 0 4 L4
Arrumamos agora a coluna que contém o pivô da linha 2. Vamos agora atrás do pivô da linha 3.
Uma vez que o pivô da linha 2 está na coluna 2, devemosprocurar o pivô da linha 3 na coluna
3. Na terceira coluna, veri�camos da linha 3 para baixo se tem algum elemento diferente de zero.
Constatamos que sim. Então o pivô da linha 3 está na coluna 3. Devemos deixar esse pivô com
valor 1 e zerar os elementos que estão acima e abaixo dele.


1 0 0 L1
0 1 −1 L2
0 0 1 L3
0 0 4 L4
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
L2 ← L2 + L3 e L4 ← L4 − 4L3 

1 0 0 L1
0 1 0 L2
0 0 1 L3
0 0 0 L4
Com isso o processo se encerra, pois a última linha é nula e assim não possui pivô. Portanto, a
forma escada de B é
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0

De�nição 03(posto e nulidade): O posto de uma matriz Am×n, denotado por p, é a quantidade
de linhas não nulas na forma escada de A. A nulidade de Am×n é dado por n − p, ou seja, é a
quantidade de colunas de A menos o posto de A.
Observação: Note que o posto de uma matriz A é igual a quantidade pivôs da forma escada de
A.
Exemplo 02: Calcule o posto e a nulidade das matrizes do exmplo 01.
Solução
Uma vez que a forma escada de A tem 3 linhas não nulas temos que o posto de A é 3 e nulidade
é 1, pois A tem 4 colunas. A forma escada de B tem 3 linhas não nulas, então o posto de B é 3.
B tem 3 colunas, então a nulidade de B é zero.
Métodos de resolução de siste-
mas lineares
Consideraremos agora métodos de resolução de um sistema de equações lineares com m equações
e n variáveis.
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
Diremos que o sistema acima é
• possível e determinado se possuir uma única solução (SPD);
• possível e indeterminado se possuir in�fnitas soluções (SPI);
• impossível se não possuir solução (SI).
Teorema 02: Um sistema com m equações lineares e n variáveis possui solução se, e somente
se, o posto da matriz amplida (PA) for igual ao posto da matriz dos coe�cientes (PC) do sistema.
Além disso, se o sistema tiver solução teremos
i) Se PA =PC = p e p = n, a solução será única.
ii) Se PA =PC = p e p < n o sistema possui in�tas soluções. Nesse caso, podemos escolher n− p
variáveis, e as outras p variáveis serão dadas em função destas variáveis escolhidas. O número
n− p é chamado grau de liberdade do sistema.
Podemos usar os teoremas 01 e 02 acima e o conceito de matriz na forma escada para apresentar
o método de resolução de sistemas de equações lineares chamado de método de Gauus-Jordan.
O método de Gauss-Jordan consiste em acharmos a forma escada da matriz ampliada
do sistema e aplicar o teorema 02 acima para resolvermos o sistema.
Vejamos agora como aplicar o método de Gauss-Jordan para resolvermos um sistema de equações
lineares.
Exemplo 03. Resolva o sistema de equações lineares abaixo.
x + 2y + 7z = 0
−x + 2z = 1
2x + y = −1
Solução:
Observe que a matriz amplida desse sistema é 1 2 7 0−1 0 2 1
2 1 0 −1

que é a matriz do item a) do exemplo 01. Como vimos naquele exemplo a forma escada dessa
matriz é 1 0 0 −30 1 0 5
0 0 1 −1

Portanto, PA =PC = quantidade de variáveis do sistema. Logo, o sistema possui uma única
solução.
Por sua vez, o sistema associado a essa matriz( ou seja, o sistema do qual essa matriz é a matriz
ampliada) é
x = −3
y = 5
z = −1
e esse sistema é equivalente ao sistema dado, pois suas matrizes ampliadas são linha equivalentes.
Assim, o conjunto solução desse último sistema é também o conjunto solução do primeiro. Pode-
mos concluir então que a solução do sistema dado é x = −3, y = 5 e z = −1.
Exemplo 04. Resolva o sistema de equações lineares abaixo.
a)

x − y = 0
+ 2y + 4z = 6
x + y + 4z = 6
b)

4x + 8y + 12z = 24
x − z = 0
−5x − 8y − 11z = −24
c)
{
x + 4y + 6z = 0
−3
2
x − 6y − 9z = 0
Solução:
a)
Vamos primeiro escrever a matriz ampliada do sistema.
 1 −1 0 00 2 4 6
1 1 4 6

Agora vamos aplicar o método de Gauss-Jordan, calculando a forma escada da matriz ampliada
do sistema.
( )1 −1 0 0 L1
0 2 4 6 L2
1 1 4 6 L3
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
L2 ← 12L2 e L3 ← L3 − L1 ( )1 −1 0 0 L1
0 1 2 3 L2
0 2 4 6 L3
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
L1 ← L1 + L2 e L3 ← 12L3 ( )1 0 2 3 L1
0 1 2 3 L2
0 1 2 3 L3
−−−−−−−−−→
L3 ← L3 − L2 ( )1 0 2 3 L1
0 1 2 3 L2
0 0 0 0 L3
Segue que PA =PC = 2 e o grau de liberdade do sistema é 1. Portanto, o sistema possui in�nitas
soluções. Para isso escrevemos o sistema representado pela última matriz{
x + 2z = 3
y + 2z = 3
Como o grau de liberdade é 1 temos uma variável livre, isto é, podemos escolher uma das variáveis
x, y ou z e escrevemos as outras duas em função dessa variável escolhida. Assim, deixando z livre,
obtemos como solução para o sistema x = 3− 2z e y = 3− 2z.
b)
Novamente começamos escrevendo a matriz ampliada do sistema. 4 8 12 241 0 −1 0
−5 −8 −11 −24

Agora calculamos a forma escada dessa matriz.
( )4 8 12 24 L1
1 0 −1 0 L2
−5 −8 −11 −24 L3
−−−−−−−−−−−−−−−−→
L1 ← 14L1 e L3 ← −L3 ( )1 2 3 6 L1
1 0 −1 0 L2
5 8 11 24 L3
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
L2 ← L2 − L1 e L3 ← L3 − 5L1 ( )1 2 3 6 L1
0 −2 −4 −6 L2
0 −2 −4 −6 L3
−−−−−−−−−→
L3 ← L3 − L2 ( )1 2 3 6 L1
0 −2 −4 −6 L2
0 0 0 0 L3
−−−−−−−−→
L2 ← −12L2 ( )1 2 3 6 L1
0 1 2 3 L2
0 0 0 0 L3
−−−−−−−−−−→
L1 ← L1 − 2L2 ( )1 0 −1 0 L1
0 1 2 3 L2
0 0 0 0 L3
Segue que PA =PC = 2 e o grau de liberdade é 1. Escrevendo o sistema representado pela última
matriz, obtemos{
x − z = 0
y + 2z = 3
Deixando z livre temos x = z e y = 3− 2z.
c)
Igualmente ao que �zemos nos itens anteriores, calculamos a forma escada da matriz ampliada do
sistema
( )
1 4 6 0 L1
−3
2
−6 −9 0 L2
−−−−−−−−−−→
L2 ← L2 + 32L1 ( )
1 4 6 0 L1
0 0 0 0 L2
Segue que PA =PC = 1 e o grau de liberdade é 2. Logo, podemos escolher duas variáveis e escrever
a outra variável em função das variáveis escolhidas. O sistema representado pela última matriz é{
x + 4y + 6z = 0
Deixando y e z livres temos que a solução do sistema é x = −4y − 6z.
Outro método bastante útil e com um pouco menos de contas pra fazer, que podemos aplicar a
um sistema de equações lineares decorrente do método anterior é o chamado método do escalo-
namento ou eliminação gaussiana(método de Gauss).
O método do escalonamento consiste essencialmente no mesmo processo do método
de Gauss-Jordan, exceto pelo fato de na hora de irmos procurar a forma escada da
matriz ampliada do sistema devemos trocar a condição 2) pela seguinte: 2') Cada
coluna que contém o pivô de alguma linha tem todos os outros elementos abaixo do
pivô iguais a zero.
Isso faz com que não precisemos nos preocupar com os elementos acima dos pivôs, reduzindo
assim a quantidade contas. Vamos refazer o exemplo 03 e o item b) do exemplo 04 usando o
escalonamento para que possamos perceber melhor a diferença entre os dois métodos.
Exemplo 05. Resolva os sistemas lineares abaixo.
a)

x + 2y + 7z = 0
−x + 2z = 1
2x + y = −1
b)

4x + 8y + 12z = 24
x − z = 0
−5x − 8y − 11z = −24
Solução:
a)
No método do escalonamento, assim como no de Gauss-Jordan, começamos identi�cando a matriz
ampliada do sistema. Em seguida aplicamos as operações elementares sobre as linhas da matriz
como se faz no método de Gauss-Jordan trocando a condição 2) por 2').
( )1 2 7 0 L1
−1 0 2 1 L2
2 1 0 −1 L3
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
L2 ← L2 + L1 e L3 ← L3 − 2L1
( )1 2 7 0 L1
0 2 9 1 L2
0 −3 −14 −1 L3
−−−−−−−−−→
L2 ← L2 + L3 ( )1 2 7 0 L1
0 −1 −5 0 L2
0 −3 −14 −1 L3
−−−−−−−→
L2 ← −L2 ( )1 2 7 0 L1
0 1 5 0 L2
0 −3 −14 −1 L3
−−−−−−−−−−→
L3 ← l3 + 3L2 ( )1 2 7 0 L1
0 1 5 0 L2
0 0 1 −1 L3
E o processo termina aí, pois não precisamos zerar os elementos acima dos pivôs. Note que con-
tinuamos a ter PA =PC = 3 e o sistema tem apenas uma solução. Para escrevermos essa solução,
escrevemos inicialmente o sistema representado pela última matriz
x + 2y + 7z = 0
y + 5z = 0
z = −1
A partir da última equação temos z = −1. Substituindo esse valor de z na segunda equação en-
contramos y = 5. Substituindo agora os valores de y e de z na pri,eira equação achamos x = −3.
b)
De modo análogo procedemos com item b).
( )4 8 12 24 L1
1 0 −1 0 L2
−5 −8 −11 −24 L3
−−−−−−−−−−−−−−−−→
L1 ← 14L1 e L3 ← −L3( )1 2 3 6 L1
1 0 −1 0 L2
5 8 11 24 L3
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
L2 ← L2 − L1 e L3 ← L3 − 5L1 ( )1 2 3 6 L1
0 −2 −4 −6 L2
0 −2 −4 −6 L3
−−−−−−−−−→
L3 ← L3 − L2 ( )1 2 3 6 L1
0 −2 −4 −6 L2
0 0 0 0 L3
−−−−−−−−→
L2 ← −12L2 ( )1 2 3 6 L1
0 1 2 3 L2
0 0 0 0 L3
Segue que PA =PC = 2 e o grau de liberdade é 1.Logo, o sistema possui in�nitas soluções.
Escrevemos agora o sistema representado pela última matriz{
x + 2y + 3z = 6
y + 2z = 3
Deixando z livre, obtemos, isolando y na segunda equação, y = 3 − 2z. Substituindo agora a
expressão de y na primeira equação encontramos x = z.
Há inúmeros problemas práticos que podem ser resolvidos usando um desses dois metódos para
resolução de sistemas lineares. Para ver essas aplicações, e assim resolver os problemas aplicados
na lista de exercícios, recomendo a leitura dos seguintes livros:
•Álgebra linear com aplicações (Kolman/Hill), 9a edição. Seção 2.2, pág. 92 a 97.
•Álgebra linear com aplicações (Anton/Rorres), 10a edição. Seção 1.8, pág. 73 a 80.