AE1_P2_2020

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Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
0 
 
 
ANÁLISE ESTRUTURAL 1 
 
INTRODUÇÃO 
 
À 
 
ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 
 
O conteúdo desta nota de aula foi elaborado utilizando as 
seguintes referências bibliográficas: 
 
- Curso de Análise Estrutural 
Volume 1 – Estruturas Isostáticas 
José Carlos Süssekind 
Editora Globo 
 
- Estática das Estruturas 
Humberto de Lima Soriano 
Editora Ciência Moderna 
 
 
Parte2: 
1 - Pórticos ou quadros: simples e compostos 
2 - Grelhas 
 
 
 
 
 
 
 
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- Pórticos planos isostáticos: 
Pórtico plano ou quadro plano é toda estrutura em barras retas ou curvas situadas 
em um plano usualmente vertical. Existem quatro tipos fundamentais de Pórtico 
Simples, conforme ilustrados na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1- Pórtico biapoiado 2 - Pórtico em balanço ou 
 Pórtico engastado e livre 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 - Pórtico triarticulado 4 - Pórtico biapoiado com articulação 
 interna e contraventado (escora ou tirante) 
 
 
Os Pórticos simples quando associados formam os denominados pórticos compostos, 
conforme ilustrado a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tirante ou Escora 
 
 
Tirante: barra sob tração 
Escora: barra sob compressão 
 rótula 
 2 
 P 
 q q 
 P 
 q 
 P 
Articulações: 
1, 2, 3 
 1 3 
 rótula 
 q 
 P 
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Casos de pórticos simples Hipostático: 
 
1º Caso: pórtico biapoiado com reações de apoio concorrentes; 
 (reações de apoio com linha de ação concorrente em um mesmo ponto, permitindo 
rotação em torno deste ponto) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Hipostático Hipostático 
 
 
 
2º Caso: pórtico triarticulado  com apoios e rótula alinhados; 
 (apoios e rótula no mesmo alinhamento  permitindo rotação) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Hipostático 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Hipostático 
Vb 
Va 
Hb 
Reações de apoio 
com linha de ação 
concorrendo para o 
mesmo ponto: 
b 
b 
b 
Pórtico gira em 
torno do apoio b; 
a 
a 
Vb 
Va 
Ha 
Pórtico gira em 
torno do apoio a; 
Sem equilíbrio estático 
Sem equilíbrio estático 
Reações de apoio 
com linha de ação 
concorrendo para o 
mesmo ponto: 
a 
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A seguir são ilustrados exemplos de ligações do tipo rótula em pórtico Metálicos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 pinos, parafusos, rebites 
 Ligação ou 
 solda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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OBS: As ligações com parafusos, soldas e cantoneiras podem ser do tipo rígido 
(engastado), conforme ilustrado a seguir; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A seguir é ilustrado um exemplo de ligação do tipo rótula em pórtico de concreto 
armado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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O processo de resolução dos pórticos ou quadros compostos é semelhante ao da 
viga Gerber, ou seja, é necessário decompor o quadro composto em vários quadros 
simples. A decomposição de forma semelhante ao da viga Gerber sempre ocorre nas 
rótulas. 
Porém, existe uma diferença básica entre a decomposição de um quadro 
composto e de uma viga Gerber, a qual é apresentada a seguir. 
- Na viga Gerber a rótula pode ser apoio do 1º gênero ou do 2º gênero. 
- No pórtico composto a rótula sempre vira apoio do 2º gênero. 
A seguir são listadas algumas dicas que auxiliam o processo de decomposição. 
1- Dica: a análise sempre inicia pelos apoios do 1º gênero, caso ocorra na estrutura. 
 
2- Dica: sempre que existir um apoio do 1º gênero próximo de um tirante ou escora, o 
mesmo fará parte de um Pórtico biapoiado com articulação interna e contraventado 
(escora ou tirante). Neste caso ocorre a decomposição na rótula deste pórtico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3- Dica: sempre que existir um apoio do 1º gênero e que não tenha próximo um tirante 
ou escora, o mesmo fará parte de um Pórtico biapoiado. 
 A análise parte deste ponto e percorre as barras até encontrar a primeira rótula, 
ponto no qual ocorre a decomposição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4- Dica: após a análise dos apoios do 1º gênero, inicia-se a análise dos apoios do 2º 
gênero, neste caso, a análise parte deste ponto (apoio) e percorre as barras até 
encontrar a segunda rótula mais próxima, ponto no qual ocorre a decomposição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- quando existem dois apoios do 2º gênero sempre haverá uma rótula 
 
5- Dica: No caso da estrutura possuir apoio do 3º gênero (engaste) a análise parte 
deste ponto (apoio) e percorre as barras até encontrar a rótula mais próxima, ponto no 
qual ocorre a decomposição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Se na decomposição a rótula ficar somente sobre a extremidade de uma barra de um 
quadro simples, a mesma não precisa ser representada na decomposição. 
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Exemplo10: Decompor os pórticos compostos e indicar a ordem de resolução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6 Lista de exercícios: Decompor os pórticos compostos e indicar a ordem de resolução. 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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i) 
 
 
 
 
 
 
 
 
j) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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n) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
q) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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r) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
s) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
u) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Após a decomposição do pórtico composto obtêm-se os pórticos simples, cujo 
processo de resolução é semelhante ao das vigas simples. Para realizar esta análise 
deve-se utilizar o seguinte procedimento: 
 
I - Identificar as seções que devem ser consideradas na análise: 
 
. seções sobre os apoios: a, i 
. seções sob cargas concentradas: h 
. seções sob cargas momento: c 
. seções no inicio e final de cargas distribuídas: e, f 
. seções sobre as extremidades das barras: b, g 
. seções sobre as rótulas: d 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na maioria dos casos as seções que devem ser consideradas se sobrepõem. 
 
II - Identificar e calcular as reações de apoio: 
. apoio a: reação vertical (Va), reação horizontal (Ha) 
. apoio i: reação vertical (Vi), reação horizontal (Hi) 
 
As reações de apoio são determinadas por das equações de equilíbrio: 
Fx = 0; 
Fy = 0; 
M = 0  esta equação estabelece que o somatório do momento em qualquer seção 
da estrutura (ex: viga, pilar) é sempre igual a zero. 
 
Esta equação é utilizada em relação a uma das seções sobre apoio, o que possibilita 
obter as reações de apoio com maior facilidade. 
 
Outro ponto relevante que deve ser esclarecido é a diferença entre o valor do momento 
e o somatório do momento em uma determinada seção S de uma estrutura. 
MS = 0  SEMPRE SERÁ ZERO. 
MS = PODE SER ZERO OU NÃO. 
 
III - Determinar o valor dos esforços solicitantes em cada seção considerada na 
análise. 
A determinação dos esforços solicitantes em cada seção considerada na análise 
permitirá a construção dos diagramadas de esforços solicitantes (DN; DV; DM). 
 
 
 
 
 
a 
P1 
q 
M
1 
b 
c 
d 
e f g 
h 
i 
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OBS 1: Para pórticos com barras inclinadas, os diagramas de esforços solicitantes 
(DN, DV, DM) são traçados aplicando-se sempre o valor do esforço em cada seção de 
forma perpendicular ao eixo da barra, conforme ilustrado na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS 2: Para pórticos com rótulas existe além das três equações de equilíbrio: 
 
Fx = 0; Fy = 0; M = 0;  uma quarta equação: Mrótula = 0 
Para este tipo de pórtico as reações de apoio são determinadas de forma mais fácil 
utilizando inicialmente esta quarta equação Mrótula = 0. 
EX: 
 
 
 
 
 
Mrótula_pelo lado inferior = 0 Mrótula_pelo lado superior = 0 
 ou ou 
Mrótula_pela direita = 0 Mrótula_pela direita = 0 
 
Iniciar sempre pelo lado menor: Iniciar sempre pelo lado menor: 
Neste caso pelo lado inferior: Neste caso pelo lado direito: 
Mb/inferior = 0 Md/direita = 0 
Permite obter Ha Permite obter Ve 
Pois apenas Ha faz momento em b Pois apenas Ve faz momento em d 
 
Em alguns casos mesmos começando pela 4 quarta equação Mrótula = 0 pelo 
lado menor não é possível obter o valor de nenhuma reação de apoio. 
 
Nestes casos, o que fazer ? 
EX: 
 Neste caso pelo lado inferior: 
 Mb/inferior = 0  equação em função de Ha e Va 
 Não permite obter nenhuma reação de apoio, 
 Visto que foi escrito uma equação com 2 variáveis 
 
Para resolver  Fazer somatório do momento no apoio do lado maior: 
 Me = 0  2ª equação em função de Ha e Va 
 
Assim, duas equações com as mesmas variáveis  RESOLVIDO; 
a 
b c 
d 
a 
b c 
d e 
a 
b c 
d 
N, V, M 
N, V, M 
N, V, M 
N, V, M 
e 
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OBS 3: Para pórticos contraventados (escora ou tirante), nestes casos, as barras 
trabalham como escora ou tirante e apresentam apenas esforço Normal constante, 
com cortante e momento nulos: V = 0 e M = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1º passo: 
 
 
 
 
 
2º passo: 
 
 
 
 
 
3º passo: 
 
 
 
 
 
 
Em alguns casos utilizando 4 quarta equação Mrótula = 0 pelo lado menor não é 
possível obter o valor do esforço normal no contraventamento. 
 
Nestes casos, o que fazer ? 
EX: 
 Neste caso pelo lado inferior: 
 Ma/inferior = 0  Obtém equação 
 em função de Va e N; 
 Não permite obter o valor das variáveis, visto que, 
 foi escrito uma equação com 2 variáveis; 
 
 Para resolver  Fazer somatório do momento no apoio do lado maior: 
 Me = 0  Obtém a 2ª equação 
 em função de Va e N; 
 
Assim, duas equações com as mesmas variáveis  RESOLVIDO; 
N  0 
 V= 0 e M= 0 
TIRANTE  tracionada 
OU 
ESCORA  comprimida 
Para calcular as reações de apoio de pórtico contraventado, 
secciona-se esta barra (contraventamento), substituindo-a por um par 
de esforço normal em sentido opostos. 
N = ? 
Iniciar pela primeira equação  ∑Fx = 0, visto que permite obter 
De forma direta a reação de apoio horizontal 
Aplicar a 4 quarta equação Mrótula = 0 pelo lado menor para obter o 
valor de esforço normal no contraventamento. 
a 
b c 
d N 
e 
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OBS 4: Conforme pode ser observado no pórtico ilustrado a seguir, o momento fletor 
pode tracionar: 
 
BARRAS VERTICAIS: 
 t.f.d  traciona fibra da direita; 
 OU 
 t.f.e  traciona fibra da esquerda; 
 
 
BARRAS HORIZONTAIS E INCLINADAS: 
 t.f.s  traciona fibra superior; 
 OU 
 t.f.i  traciona fibra inferior; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, o momento fletor em uma dada seção transversal será definido da seguinte 
forma: 
 
Seção qualquer em uma barra vertical: Mci = ? 
 Mcs = ? 
 
 Ex: Mci = 12 (t.f.d) + 17 (t.f.e) = 5 kN.m (t.f.e) 
 Mcs = 5 (t.f.e) + 0 = 5 kN.m (t.f.e) 
 
 
 
Seção qualquer em uma barra horizontal e ou inclinada: Mbe = ? 
 Mbd = ? 
 
 Ex: Mbe = 10 (t.f.s) + 18 (t.f.i) = 8 kN.m (t.f.i) 
 Mbd = 8 (t.f.i) + 0 = 8 kN.m (t.f.i) 
 
 
 
 
 
 
 
M 
t.f.e t.f.d 
t.f.s 
t.f.i 
t.f.s 
t.f.i 
 M 
M 
M 
c 
cs 
ci 
bd 
be 
b 
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17Exemplo11: determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes 
para o pórtico (ou quadro) apresentado a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Decomposição do pórtico (ou quadro) e ordem de resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pórtico (ou Quadro) 1 - calcular as reações de apoio: 
Me_pelo_inferior = 0 +  Hc . 4,0 - Vc . 2,0 = 0  Hc = 0,5 Vc 
 
 Mg = 0 +  - Hc . 4,0 - Vc . 6,0 - 1,0 . 8,0 - R1 . 4,0 = 0  Vc = - 5,0  Vc = 5,0 kN 
 Correção da equação:  Hc = - 0,5 Vc  Hc = - 2,5  Hc = 2,5 kN 
 +  Fx = 0  - Hc + Hg + 1,0 + R1 = 0  Hg = - 6,5  Hg = 6,5 kN 
 
+  Fy = 0  - Vc + Vg = 0  Vg = 5,0 kN 
 
Pórtico (ou Quadro) 2 - calcular as reações de apoio: 
Mc_pelo_inferior = 0 +  Hd . 4,0 = 0  Hd = 0 
 
 +  Fx = 0  Hb + Hd - 4,0 + 2,5 = 0  Hb = 1,5 kN 
 
+  Fy = 0  Vb + Vd + Vc’ - R2 + 5,0 = 0  Vb + Vd = 10,0 kN 
 
Mc_pela_esquerda = 0 +  - Vb . 5,0 + R2 . 2,5 = 0  Vb = 7,5 kN  Vd = 2,5 kN 
 
Pórtico (ou Quadro) 3 - calcular as reações de apoio: 
 +  Fx = 0  Ha - Hb’ = 0  Ha = 1,5 kN 
 
+  Fy = 0  Va - Vb’ = 0  Va = 7,5 kN 
 
Ma = 0 +  Hb’ . 4,0 + Ma = 0  Ma = - 6,0 kN.m  Ma = 6,0 kN.m 
 1 kN 
b 4 kN 
a 
b 
 4 kN 
4,0 m 
4,0 m 
5,0 m 2,0 m 4,0 m 
 3 kN/m 
4,0 m 
 2,0 m 4,0 m 
 Ha 
 Va 
 Hb 
 Vb 
 R1 = 8kN 
c 
 Hc 
 Vc 
4,0 m 
4,0 m 
e 
f 
g 
 Vg 
 1ª 
 3ª 
 Vb’ = 7,5 
 Hb’ = 1,5 
 1 kN 1 kN/m 
d 
c 
5,0 m 
 Vd 
 R2 = 15 kN 
 Vc’ = 5,0 
 Hc’ = 2,5 
4,0 m 
 Ma 
 2ª 
 Hd Hg 
 Hg 
 Hc 
 Vc 
Para pórtico com rótula: iniciar os cálculos com 4ª 
equação sempre: MRótula =0  pelo lado menor; 
- Surgindo equação com duas variáveis; 
- Fazer somatório do momento no apoio do lado 
maior: M = 0. 
 
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Resolução: 
Decomposição do pórtico (ou quadro) e ordem de resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 - calcular o esforço normal: 
Nas = - 7,5 kN / Nbi = - 7,5 kN 
 
Nbd = + 4 - 1,5 = + 2,5 kN / Nce = + 2,5 kN / Nds = - 2,5 kN / Nci = - 2,5 kN 
 
Ncs = + Hc . cos  + Vc . cos  = + 5,59 kN / Nei = + 5,59 kN 
Ned = + 2,5 - 1,0 = + 1,5 kN / Nfe = + 1,5 kN 
Ngs = - 5,0 kN / Nfi = - 5,0 kN 
Analisando de cima/baixo: Nci = ? 
 
 
2 - calcular o esforço cortante: 
Vas = - 1,5 kN / Vbi = - 1,5 kN 
 
Vbd = + 7,5 kN / Vce = 7,5 - R2 = - 7,5 kN / Vds = 0 / Vci = 0 
 
Vcs = + Hc . sen  - Vc . sen = - 4,83 kN / Vei = - 4,83 kN 
Ved = - 5,0 kN / Vfe = - 5,0 kN 
Vgs = + 6,5 kN / Vfi = + 6,5 - R1 = - 1,5 kN 
Analisando da esquerda/direita: Vfi = ? 
 
 
3 - calcular o momento fletor: 
Mas = 6,0 kN.m (t.f.d) / Mbi = 0 
 
Mbd = Mce = Mci = Mds = 0 
 
Mcs = 0 
Mei = Med = 0 
Mfe = [ Vc . 4,0 ] t.f.s = 20,0 kN.m (t.f.s) 
Mgs = 0 
Mfi = [ Hg . 8,0 ] t.f.d + [ R2 . 4,0 ] t.f.e = 52 t.f.d + 32 t.f.e = 20,0 kN.m (t.f.d) 
Analisando da esquerda/direita: Mfi = ? 
 
 
 Hg = 6,5 kN 
 Ha = 1,5 kN 
 Va = 7,5 kN 
 Hb= 1,5 kN 
 Vb= 7,5 kN 
 Hc = 2,5 kN 
 Vc = 5,0 kN 
 Vg = 5,0 kN 
 Vd = 2,5 kN 
 Ma = 6,0 kN.m 
 Hd = 0 
 1 kN 
b 4 kN 
a 
b 
4,0 m 
 2,0 m 4,0 m 
 R1 = 8kN 
c 
4,0 m 
4,0 m 
e 
f 
g 
 1ª 
 3ª 
 Vb’ = 7,5 
 Hb’ = 1,5 
d 
c 
5,0 m 
 R2 = 15 kN 
 Vc’ = 5,0 
 Hc’ = 2,5 
4,0 m 
 2ª 
c 
 Hc = 2,5 kN 
 Vc = 5,0 kN 



Rótula não transmite momento, apenas as forças 
são transferida de uma lado para o outro da rótula; 
Rótula não transmite momento, apenas as forças 
são transferida de uma lado para o outro da rótula; 
tg  = 4/2 
 = 63,43
0 
 = 26,57
0
 
 
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Obs: Não existindo momento aplicado na quina rígida tem-se que o momento na quina 
rígida é todo interno ou todo externo, conforme ilustram os exemplos a seguir; 
 
Ex1: Mbe = (2,5 . 3) t.f.s = 7,5 kN.m (t.f.s) 
 Mbi = 7,5 kN.m (t.f.d)  forma direta 
 Igual e todo externo ou todo interno; 
 Verificando: analisando de baixo para cima: 
 Mbi = (3 . 2,5) t.f.d = 7,5 kN.m (t.f.d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex2: Mbe = (3,333 1,5) t.f.i = 5,0 kN.m (t.f.i) 
 Mbi = 5,0 kN.m (t.f.e)  forma direta 
 Igual e todo externo ou todo interno; 
 Verificando: analisando de baixo para cima: 
 Mbi = (1 .2,5 + 1,667 . 1,5) t.f.e = 5,0 kN.m (t.f.e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex3: Mbe = (3,25 . 1,5) t.f.s = 4,88 kN.m (t.f.s) 
 Mbi = 4,88 (t.f.d) + 6 (t.f.e) = 1,13 kN.m (t.f.d)  forma direta 
 Diferente, visto que existe momento aplicado; 
 Verificando: analisando de baixo para cima: 
 Mbi = (1 . 2,5) t.f.e + (1,75 . 1,5) t.f.d = 0,13 kN.m (t.f.e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 kN 
3,0 m 
2,5 m 
a 
c 
b 
Hc = 3 kN 
Va = 2,5 kN 
Vc = 7,5 kN 
7,5 kN.m 
7,5 kN.m 
1 kN 
1,5 m 1,5 m 
2,5 m 
a 
c 
b 
Hc = 1 kN 
Va = 3,333 kN 
Vc = 1,667 kN 5,0 kN.m 
5,0 kN.m 
3 kN 
5 kN 
1,5 kN 
1,5 m 1,5 m 
2,5 m 
a 
c 
b 
Hc = 1 kN 
Va = 3,25 kN 
Vc = 1,75 kN 
4,8 kN.m 
1,13 kN.m 
5 kN 
6 kN.m 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 0121 
 
Exemplo12: determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes 
para o pórtico apresentado a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Decomposição do pórtico e ordem de resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pórtico 1ª - calcular as reações de apoio: 
Mg_pelo_inferior = 0 +  He . 4,0 - 3,0 = 0  He = 0,75 kN 
 
 +  Fx = 0  He + HL - 2 - 1,5 + 10 = 0  HL = - 7,25  HL = 7,25 kN 
 
+  Fy = 0  Ve + VL = 13,0 kN 
 
Mg_pela_direita = 0 +  +VL. 8,0 - HL . 8,0 - 1 .10,0 - 1,5 . 4,0 + R1 . 2,0 - R2 . 3,0 + 3 = 0 
  8 VL = 87  VL = 10,875 kN  Ve = 2,125 kN 
Pórtico 2ª - calcular as reações de apoio: 
 +  Fx = 0  Ha + N - N - 3,0 - He’ + 1 = 0  Ha = 2,75 kN 
 
Me_pelo_inferior = 0 +  - N . 3,0 + Vf . 2,0 + 1. 3 + 4 = 0 
 Vf = 1,5 N - 3,5 
 
Ma = 0 + Vf . 7,0 - 1. 1 + N.1 + 4 - 4 + He’ . 4,0 - Ve’. 5,0 + 
 - R3 . 2,5 + 2,0 . 2,0 + 3,0 . 4,0 - N.1= 0 
  N = 4,01 kN  Vf = 2,52 kN 
 
+  Fy = 0 Va + Vf = Ve’ + R3 + 2  Va + Vf = 14,125 kN  Va = 11,61 kN 
 
 2 kN 
4,0 m 
4,0 m 
5,0 m 2,0 m 4,0 m 
 2 kN/m 
4,0 m 
5,0 m 
a 
2 + 4 = 6,0 m 
 Ha 
 Va 
d e 
f 
 Vf 
 R3 = 10 kN 
e He 
 Ve 
 R2= 12 kN 
4,0 m 
4,0 m 
g 
h 
L 
 VL 
 1ª 
 2ª 
 Ve’ = 2,125 
 He’ = 0,75 
Para pórtico com rótula: iniciar os cálculos com 
4ª equação sempre: MRótula = 0  pelo lado 
menor 
 4 kN.m 
 4 kN.m 
 4 kN.m 
 4 kN.m 
 2 kN 
 2 kN 
 HL N = ? 
 1,5kN 
 1 kN 
2,0 m 2,0 m 2,0 m 
 2,5 kN/m 
 3 kN 
 1,5kN 
 1 kN 
2,0 m 2,0 m 
 2 kN 
 3 kN 
2,0 m 
c 
i j 
 R1= 10 kN 
Pórtico contraventado: 
1 - seccionar o contraventamento e substituir 
por um par de esforço normal em sentidos 
opostos. 
2 - iniciar os cálculos com 1ª equação sempre: 
Fx = 0 
3 - em seguida utilizar 4ª equação sempre: 
MRótula = 0  pelo lado menor; 
- Surgindo equação com duas variáveis; 
- Fazer somatório do momento no apoio do 
lado maior: M = 0. 
 
 
 
 
 3 kN.m 3 kN.m 
 3 kN.m 
3 kN.m 
2,0 m 
1,0 m 
 1 kN 
1,0 m 
 1 kN 
b 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
22 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 - calcular o esforço normal: 
Nas = -11,61 kN/ Nbi=Nbs= -11,61 kN / Ndi = - 11,61 kN / Ncd = + 3 kN / / Nde = + 3 kN / 
Ndd = + 3,0 - 2,75 - 4,01 = - 3,76 kN / Nee = - 3,76 kN 
Nfs = - 2,52.cos- 3,01.cos= - 3,77 kN 
Nei = - 3,77 kN / Nbarra_bf = + 4,01 kN 
 
Nes = - 2,125 kN / Ngi = - 2,125 kN 
Ngd = - 0,75 kN / Nhe = - 0,75 kN 
NLs = - 10,875 kN / Nii = - 10,875 kN 
Nje = - 1,5 kN / Nid = - 1,5 kN 
 
Nhi ou Nhd = ? 
Análise pela esquerda ou superior: 
 Nhi = +1,25.cos - 9,875.cos = - 8,27 kN 
Análise pela direita ou inferior: 
 Nhi = -9,875.cos - 8,75.cos+ 10.cos = - 8,27 kN 
Nis ou Nie = ? 
Análise pela direita ou inferior: 
 Nis = - 9,875.cos - 8,75.cos= - 12,75 kN 
 
2 - calcular o esforço cortante: 
Vas = - 2,75 kN / Vbi = - 2,75 kN / Vbs = - 2,75 - 4,01= - 6,76 kN / Vdi = - 6,76 kN / 
Vcd = - 2,0 kN / Vde = - 2,0 kN / 
Vdd = + 11,61 - 2,0 = 9,61 kN / Vee = 9,61 - 10 = - 0,39 kN 
Vfs = - 2,52.sen+ 3,01.sen= + 1,11 kN / Vei = + 1,11 kN 
Vbarra_bf = 0 
 
Ves = - 0,75 kN / Vgi = - 0,75 kN / Vgd = + 2,125 kN / Vhe = + 2,125 - 12,0 = - 9,875 kN 
VLs = + 7,25 kN /Vii = + 7,25 kN / Vje = + 1 kN / Vid = + 1 kN 
Vhi ou Vhd = ? 
 Análise pela esquerda ou superior: Vhi = - 1,25.sen - 9,875.sen = - 6,52 kN 
 Análise pela direita ou inferior: Vhi = - 9,875.sen + 8,75.sen- 10.sen = - 6,52 kN 
Vis ou Vie = ? 
 Análise pela direita ou inferior: Vis = - 9,875.sen + 8,75.sen= + 1,80 kN 
f 
4,0 m 
5,0 m 
a 
2 + 4 = 6,0 m 
 Ha = 2,75 kN 
 Va = 11,61 kN 
d e 
 Vf = 2,52 kN 
 R3 = 10 kN 
e He = 0,75 kN 
 Ve = 2,125 kN 
 R2= 12 kN 
4,0 m 
4,0 m 
g 
h 
L 
 VL = 10,875 kN 
 1ª 
 2ª 
 Ve’ = 2,125 kN 
 He’ = 0, 75 kN 
 4 kN.m 
 4 kN.m 
 2 kN 
 HL = 7,25 kN 
 N = 4,01 kN 
 1,5kN 
 1 kN 
2,0 m 2,0 m 
 2 kN 
 3 kN 
2,0 m 
c 
i j 
 R1= 10 kN 
 3 kN.m 
3 kN.m 
2,0 m 
1,0 m 
1,0 kN 
b 
2 – 0,75 = 1,25 kN 
7,25+1,5 = 8,75 kN 




12 - 2,125 = 9,875 kN 
h 
i 

R
1 
= 10 kN 

10,875 - 1,0 = 9,875 kN 
tg  = 4/2 
 = 63,43
0 
 = 26,57
0
 
 



Vf = 2,52 kN 
f 4,01 - 1 = 3,01kN 
tg  = 3/2 
 = 56,31
0 
 = 33,69
0
 
 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
23 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 - calcular o Momento fletor: 
Mas = 0 kN / Mbi = Mbs = [ 2,75 . 1 ] t.f.e = 2,75 kN.m (t.f.e) 
Mdi = [ 2,75 . 4 + 4,0 . 3 ] t.f.e = 23,03 kN.m (t.f.e) 
Mcd = 0 / Mde = [ 2 . 2 ] t.f.s = 4 kN.m (t.f.s) 
Mdd = ? 
Nó deve estar em equilíbrio, ou seja, Md = 0 
  Momento sempre representado com a 
 Concavidade voltada para o nó: 
 Para Md = 0  23,03 + 4 = 27,03 kN.m 
  Então, Mbd = 27,03 kN.m (t.f.s) 
 
Mee = 4 kN.m (t.f.s) 
 
Mei = 4 kN.m (t.f.d) 
 Forma mais fácil 
Mais pode ser feita de outra forma: 
Mee = ? 
Análise pela esquerda: 
Mde = [11,61 .5 ] t.f.i + [2,75 . 4 + 4,01. 3 + 2 . 7 + 10. 2,5 ] t.f.s = 3,98 ≈ 4,0 kN.m (t.f.s) 
 
 
 
 
Mei = ? 
 Análise pelo lado inferior: 
 Mdei = [ 4,01 .3 ] t.f.d + [2,52 . 2 + 1,0 . 3 ] t.f.e = 3,99 ≈ 4,0 kN.m (t.f.d) 
 
 
 
 
 
Mbarra_bf = 0 
 
d 4 kN.m 
23,03kN.m 
? 
? 
Momento na rótula é zero, a não ser que exista momento aplicado e 
neste caso o momento na seção é o próprio momento aplicado. 
 
Momento aplicado: 4 kN.m não entra no somatório porque está depois 
da seção em análise seção_ee 
 
 e 
 4 kN.m 
ee 
Momento aplicado: 4 kN.m não entra no somatório porque está depois 
da seção em análise seção_ei 
 
e 4 kN.m 
ei 
d 
4 kN.m 
23,0 kN.m 
27,03 kN.m 
f 
4,0 m 
5,0 m 
a 
2 + 4 = 6,0 m 
 Ha = 2,75 kN 
 Va = 11,61 kN 
de 
 Vf = 2,52 kN 
 R3 = 10 kN 
e He = 0,75 kN 
 Ve = 2,125 kN 
 R2= 12 kN 
4,0 m 
4,0 m 
g 
h 
L 
 VL = 10,875 kN 
 1ª 
 2ª 
 Ve’ = 2,125 kN 
 He’ = 0, 75 kN 
 4 kN.m 
 4 kN.m 
 2 kN 
 HL = 7,25 kN 
 N = 4,01 kN 
 1,5kN 
 1 kN 
2,0 m 2,0 m 
 2 kN 
 3 kN 
2,0 m 
c 
i j 
 R1= 10 kN 
 3 kN.m 
3 kN.m 
2,0 m 
1,0 m 
1,0 kN 
b 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
24 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 - calcular o Momento fletor: 
Mes = 0 kN 
Mgi = 3 kN.m (t.f.e) 
 
Mgd = 3 kN.m (t.f.s) 
 Forma mais fácil 
Mais pode ser feita de outra forma: 
Mgi = ? 
 Análise pelo lado inferior: 
 Mgi = [ 0,75 . 4,0 ] t.f.e = 3,0 kN.m (t.f.e) 
 
 
 
Mgd = ? 
 Análise pela direita: 
 Mgd = [10. 2 + 10,875 . 8 ] t.f.i + [12 . 3 +1,5 . 4 + 1 .10 + 7,25 . 8] t.f.s = 3,0 kN.m (t.f.s) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento na rótula é zero, a não ser que exista momento aplicado e 
neste caso o momento na seção é o próprio momento aplicado. 
 
Momento aplicado: 3 kN.m não entra no somatório porque está depois 
da seção em análise seção_gd 
 
Momento aplicado: 3 kN.m não entra no somatório porque está depois 
da seção em análise seção_gi 
 
g 3 kN.m 
gi 
g 
 3 kN.m 
gd 
f 
4,0 m 
5,0 m 
a 
2 + 4 = 6,0 m 
 Ha = 3,75 kN 
 Va = 11,61 kN 
d e 
 Vf = 2,52 kN 
 R3 = 10 kN 
e He = 0,75 kN 
 Ve = 2,125 kN 
 R2= 12 kN 
4,0 m 
4,0 m 
g 
h 
L 
 VL = 10,875 kN 
 1ª 
 2ª 
 Ve’ = 2,125 kN 
 He’ = 0, 75 kN 
 4 kN.m 
 4 kN.m 
 2 kN 
 HL = 7,25 kN 
 N = 4,01 kN 
 1,5kN 
 1 kN 
2,0 m 2,0 m 
 2 kN 
 3 kN 
2,0 m 
c 
i j 
 R1= 10 kN 
 3 kN.m 
3 kN.m 
2,0 m 
1,0 m 
1,0 kN 
b 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
25 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 - calcular o Momento fletor: 
Mhe = ? 
Análise pela esquerda 
Mhe = [ 2,125 . 6 ] t.f.i + [ 3 + 12 . 3,0 ] t.f.s = 26,25 kN.m (t.f.s) 
 
 A rótula não transmite momento fletor, transmite 
 apenas forças. Portanto, não entram no somatório: 
  momento de He 
  momento aplicado 3 kN.m no lado inferior de f 
 
 
 
 
 
Mhi = ----------------------------------------- = 26,25 kN.m (t.f.d) 
 
MLs = 0 
Mii = [ 7,25 . 4 ] t.f.d = 29 kN.m (t.f.d) 
Mje = 0 
Mid = [ 1 . 2 ] t.f.s = 2 kN.m (t.f.s) 
Mis = ? 
Nó deve estar em equilíbrio, ou seja, Mi = 0 
 
  Momento sempre representado com a 
 Concavidade voltada para o nó: 
 Para Mi = 0  29 + 2 = 31 kN.m 
  Então, Mis = 31 KN.m 
 
 
 
 
 
 
Nas quinas o momento é todo 
interno ou todo externo e de 
mesmo valor, a não ser que exista 
um momento aplicado na quina. 
EX: 
 
 ou 
 
10 (t.f.s) 
10 (t.f.d) 
10 (t.f.e) 
10 (t.f.i) 
i 2 kN.m 
29 kN.m 
? 
? 
i 
2 kN.m 
29 kN.m 
31 kN.m 
 R2= 12 kN 
g 
h 
3 kN.m 
 Vd = 2,125 kN 
f 
4,0 m 
5,0 m 
a 
2 + 4 = 6,0 m 
 Ha = 3,75 kN 
 Va = 11,61 kN 
d e 
 Vf = 2,52 kN 
 R3 = 10 kN 
e He = 0,75 kN 
 Ve = 2,125 kN 
 R2= 12 kN 
4,0 m 
4,0 m 
g 
h 
L 
 VL = 10,875 kN 
 1ª 
 2ª 
 Ve’ = 2,125 kN 
 He’ = 0, 75 kN 
 4 kN.m 
 4 kN.m 
 2 kN 
 HL = 7,25 kN 
 N = 4,01 kN 
 1,5kN 
 1 kN 
2,0 m 2,0 m 
 2 kN 
 3 kN 
2,0 m 
c 
i j 
 R1= 10 kN 
 3 kN.m 
3 kN.m 
2,0 m 
1,0 m 
1,0 kN 
b 
he 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
27 
 
Exemplo13: determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes 
para o pórtico apresentado a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Decomposição do pórtico e ordem de resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pórtico 1 - calcular as reações de apoio: 
Mg_pela_esquerda = 0 +  - Vf . 3,0 + 5,0 + 6. 1,5 - 7 = 0  Vf = 2,33 kN 
 
+  Fy = 0  Vf + Vj = 7,0 kN  Vj = 4,67 kN 
 
 Mg_pela_esquerda = 0 +  + Hj . 4,0 - 1 . 1 - 1. 2 + 7 = 0  Hj = - 1,0  Hj = 1,0 kN 
 
 +  Fx = 0  Hf - Hj - 1,0 = 0  Hf = 2,0 kN 
 
 
Pórtico 2 - calcular as reações de apoio: 
 +  Fx = 0  Ha - Hf ’ - 1,0 = 0  Ha = 3,0 kN 
 
+  Fy = 0  Va = 3,0 + 1,0 + Vf ’ = 6,33 kN 
 
Ma = 0 +  3,0 . 2,0 - 5,0 -Vf ’ . 4,0 + Hf ’ . 4,0 - 1,0 . 1,0 + 1,0 . 2,0 + Ma = 0 
 
Ma = - 0,68 kN.m  Ma = 0,68 kN. m 
 
 1ª 
 1 kN 
2,0 m 
2,0 m 
1,0 m 3,0 m 
 2 kN/m 
f 
 Hf 
 Vf 
f 
3,0 m 1,0 m 
 5 kN.m 
 1 kN 
 1 kN 
 1 kN 
 5 kN.m 
 7 kN.m 
 7 kN.m 
 3 kN 
3,0 m 1,0 m 
 1 kN 
 5 kN.m 
 7 kN.m 
 7 kN.m 
g 
h 
i 
 Hj 
 Vj 
j 
2,0 m 
2,0 m 
 1 kN 
2,0 m 
2,0 m 
1,0 m 3,0 m 
 5 kN.m 
 1 kN 
 3 kN 2ª 
 Hf ’= 2 kN 
 Vf ’ = 2,33 kN 
e d 
b 
c 
a Ha 
 Va 
 Ma 
 R = 2 . 3 = 6 kN 
 1 kN 
2,0 m 
2,0 m 
 Hj 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
28Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 - calcular o esforço normal: 
Nas = - 6,33 kN / Nbi = - 6,33 kN / Nce= Nbd = -1,0 kN / Nbs = - 6,33 +1,0 = - 5,33 kN 
Nei = - 5,33 kN 
Ndd = 0 / Nee = 0 / Ned = - 3,0 + 1,0 = -2,0 kN / Nfe = - 2,0 kN 
 
Nfd = - 2,0 kN / Nge = - 2,0 kN / Njs= - 4,67 kN / Nhi = - 4,67 kN / Nie = Nhd = - 1,0 kN / 
Nhs = - 4,67 +1,0 = - 3,67 kN / Ngi = - 3,67 kN 
 
2 - calcular o esforço cortante: 
Vas = - 3,0 kN / Vbi = - 3,0 kN / Vce= Vbd = 1,0 kN / Vbs = - 3,0 +1,0 = - 2,0 kN 
Vei = - 2,0 kN / Vdd = - 3,0 kN / Vee = - 3,0 kN / Ved = 6,33 - 3,0 - 1,0 = 2,33 kN 
Vfe = 2,33 kN 
 
Vfd = 2,33 kN / Vge = 2,33 - R = - 3,67 kN / Vjs= 1,0 kN / Vhi = 1,0 kN 
Vie = Vhd = 1,0 kN / Vhs = 1,0 + 1,0 = 2,0 kN / Vgi = 2,0 kN 
 
3 - calcular o momento fletor: 
Mas = 0,68 kN.m (t. f. d) 
Mbi = [ 0,68 ] t.f.d + [3,0 . 2,0] t.f.e = 0,68 t.f.d + 6,0 t.f.e = 5,32 kN.m (t.f.e) 
Mce= 0 
Mbd = [1,0 . 1,0] t.f.s = 1,0 kN.m (t.f.s) 
 
Mbs = ? 
Nó deve estar em equilíbrio, ou seja, Mb = 0 
 
  Momento sempre representado com a 
 Concavidade voltada para o nó: 
 Para Mb = 0  5,32 – 1 = 4,32 kN.m 
  Então, Mbs = 4,32 kN.m (t.f.e) 
 
 
 
 
 
b 
1,0 kN.m 
 1ª 
f 
 Hf = 2,0 kN 
 Vf = 2,33 t 
f 
3,0 m 1,0 m 
 1 kN 
 5 kN.m 
 7 kN.m 
 7 kN.m 
g 
h 
i 
 Hj = 1,0 kN 
 Vj = 4,67 kN 
j 
2,0 m 
2,0 m 
 1 kN 
2,0 m 
2,0 m 
1,0 m 3,0 m 
 5 kN.m 
 1 kN 
 3 kN 2ª 
 Hf ’ = 2 kN 
 Vf ’ = 2,33 kN 
e d 
b 
c 
a Ha = 3,0 kN 
 Va = 6,33 kN 
 Ma = 0,68 kN.m 
 R = 2 . 3 = 6 kN 
 1 kN 
5,32 kN.m 
2,0 m 
? 
? 
b 
1,0 kN.m 
5,32 kN.m 
4,32 kN.m 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
29 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 - calcular o momento fletor: 
 
Mdd = 0 
Mee = [ 3,0 . 2,0] t.f.s = 6,0 kN.m (t.f.s) 
Med = [5,0 + 2,33 . 4,0] t.f.s = 14,32 kN.m (t. f. s) 
Mfe = 5,0 kN.m (t.f.s) 
Mei = ? 
Nó deve estar em equilíbrio, ou seja, Me = 0 
 
  Momento sempre representado com a 
 Concavidade voltada para o nó: 
 Para Me = 0  14,32 - 6 = 8,32 kN.m 
  Então, Mei = 8,32 kN.m (t.f.e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e 6 kN.m 14,32 kN.m 
? ? 
e 6 kN.m 14,32 kN.m 
8,32 kN.m 
 1ª 
f 
 Hf = 2,0 kN 
 Vf = 2,33 t 
f 
3,0 m 1,0 m 
 1 kN 
 5 kN.m 
 7 kN.m 
 7 kN.m 
g 
h 
i 
 Hj = 1,0 kN 
 Vj = 4,67 kN 
j 
2,0 m 
2,0 m 
 1 kN 
2,0 m 
2,0 m 
1,0 m 3,0 m 
 5 kN.m 1 kN 
 3 kN 2ª 
 Hf ’ = 2,0 kN 
 Vf ’ = 2,33 kN 
e d 
b 
c 
a Ha = 3,0 kN 
 Va = 6,33 kN 
 Ma = 0,68 kN.m 
 R = 2 . 3 = 6 kN 
 1 kN 
2,0 m 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
30 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 - calcular o momento fletor: 
Mfd = 5,0 kN.m (t.f.s) 
Mge = pode ser obtido de duas formas: 
 1ª  Fazendo a análise pela esquerda: 
 [2,33 . 3,0] t.f.i + [5 + R . 1,5] t.f.s = 7 t.f.i + 14 t.f.s = 7,0 kN.m (t.f.s) 
OBS: a carga momento de 7,0 kN.m não entra no somatório porque está 
depois da seção em análise. 
 
 2ª  ou diretamente, Mge = ao momento aplicada na rótula = 7,0 kN.m (t.f.s) 
Mjs = 0 
Mhi = [1,0 . 2,0] t.f.d = 2,0 kN.m (t.f.d) 
Mie= 0 
Mhd = [1,0 . 1,0] t.f.s = 1,0 kN.m (t.f.s) 
Mhs = ? 
Nó deve estar em equilíbrio, ou seja, Mh = 0 
 
  Momento sempre representado com a 
 Concavidade voltada para o nó: 
 Para Mh = 0  1 + 2 = 3,0 kN.m 
  Então, Mhs = 3,0 kN.m (t.f.d) 
 
 
 
 
Mhs = 3,0 t. m (t. f. d.) 
Mgi = pode ser obtido de duas formas: 
 1ª  Fazendo a análise pelo lado inferior 
 [ Hj . 4,0 + 1,0 . 1,0 + 1,0 . 2,0] t.f.d = 7,0 kN.m (t.f.d) 
OBS: a carga momento de 7,0 kN.m não entra no somatório porque esta depois 
da seção em análise. 
 
 
 
 2ª  ou diretamente, Mgi = ao momento aplicada na rótula = 7,0 kN.m (t.f.d) 
g 
 7 kN.m 
ge 
g 7 kN.m 
gi 
h 
1,0 kN . m 
2,0 kN.m 
? 
? 
b 
1,0 kN.m 
1,0 kN.m 
3,0 kN.m 
 1ª 
f 
 Hf = 2,0 kN 
 Vf = 2,33 t 
f 
3,0 m 1,0 m 
 1 kN 
 5 kN.m 
 7 kN.m 
 7 kN.m 
g 
h 
i 
 Hj = 1,0 kN 
 Vj = 4,67 kN 
j 
2,0 m 
2,0 m 
 1 kN 
2,0 m 
2,0 m 
1,0 m 3,0 m 
 5 kN.m 
 1 kN 
 3 kN 2ª 
 Hf ’ = 2,0 kN 
 Vf ’ = 2,33 kN 
e d 
b 
c 
a Ha = 3,0 kN 
 Va = 6,33 kN 
 Ma = 0,68 kN.m 
 R = 2 . 3 = 6 kN 
 1 kN 
2,0 m 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
32 
 
Exemplo14: determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes 
para o pórtico apresentado a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Decomposição do pórtico e ordem de resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pórtico 1 - calcular as reações de apoio: 
Me_pela_esquerda = 0 +  - Vc . 4,0 + R1 . 2,0 - 3,0 = 0  Vc = 3,25 kN 
 
+  Fy = 0  Vc + Vf = 14,0 t  Vf = 14,0 - 3,25 = 10,75 kN 
 
 Me_pelo_inferior = 0 +  Hf . 4,0 + Vf . 3,0 - R2 .1,5 + 3,0 = 0  Hf = - 6,56 
  Hf = 6,56 kN 
 +  Fx = 0  Hc - Hf = 0  Hc = 6,56 kNPórtico 2 - calcular as reações de apoio: 
 +  Fx = 0  Ha + N.cos - N.cos + 2,0 - Hc ’ = 0  Ha = 4,56 kN 
 
 Mc_peo_inferior = 0 +  - N.cos . 4,0 + 2,0 . 4,0 = 0  N = 3,33 kN 
 
+  Fy = 0  Va + Vd -1,0 - N.sen - Vc’ + N.sen = 0 
 Va + Vd = 4,25 kN 
 
 Mc_pela_esquerda = 0 +  - Va . 3,0 + Ha . 4,0 + N.sen . 3,0 + 1,0 .3,0 = 0 
 
-3,0 Va = - 29,23  Va = 9,74 kN  Va + Vd = 4,25  Vd = - 5,49  Vd = 5,49 kN 
 Va 
 3 kN.m 3 kN.m 
 2 kN 
4,0 m 
4,0 m 
 2 kN/m 
3,0 m 
 3 kN.m 
 1 kN 
3,0 m 
 3 kN.m 
 2 kN 
4,0 m 
 1 kN 
3,0 m 
4,0 m 3,0 m 
 1ª 
 Hc 
 Vc 
c 
 Hf 
 Vf 
4,0 m 
 R1 = 2 . 4 = 8 kN 
 R2= 2 . 3 = 6 kN 
a 
b 
c 
d 
e 
f 
 Hc ’ = 6,56 kN 
 Vc ’ = 3,25 kN 
 Ha 
 Vd 
 N 
 N 

sen = 4/5 = 0,8; 
cos = 3/5 = 0,6;

Optei pela esquerda, 
pois pelo lado inferior 
teriam duas variáveis: 
Vf e Hf 

 2ª 
 Vd 
 Hf 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
33 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 - calcular o esforço normal: 
Nas = - 9,74 kN / Nbi = - 9,74 kN / Nbd = - 4,56 - N.cos= - 4,56 - 3,33 . 0,6 = - 6,56 kN 
Nce= - 6,56 kN / Nds = + Vd - N.sen= + 5,49 - 3,33 . 0,8 = 2,83 kN / Nci = 2,83 kN 
Nbarra_bc = +N = 3,33 kN 
 
 
 
Ncd = - 6,56 kN / Nee = - 6,56 kN / 
Nfs = - Vf . cos - Hf . cos = -10,75 . 0,8 - 6,56 . 0,6 = -12,54 kN 
Nei = - 12,54 + R2 . cos = -12,54 + 6,0 . 0,8 = - 7,74 kN 
 
2 - calcular o esforço cortante: 
Vas = - 4,56 kN / Vbi = - 4,56 kN / Vbd = 9,74 - 1,0 - N.sen= 8,74 - 3,33 . 0,8 = 6,08 kN 
Vce= 6,08 kN / Vds = - 2,0 + N.cos= - 2,0 + 3,33 . 0,6 = 0,002 = 0 / Vci = 0 kN 
Vbarra_bc = 0 (atua como tirante, portanto sofre apenas esforço normal) 
 
Vcd = 3,25 kN / Vee = 3,25 - R1 = - 4,75 kN / Vfs = - Vf . sen + Hf . sen = 
 = -10,75 . 0,6 + 6,56 . 0,8 = -1,20 kN 
Vei = - 1,20 + R2 . sen = -1,20 + 6,0 . 0,6 = 2,40 kN 
 
3 - calcular o momento fletor: 
Mas = 0 
Mbi = [4,56 . 4,0] t.f.e = 18,24 kN.m (t.f.e) 
Mbd = 18,24 kN.m (t. f. s) 
Mce= 0 / Mds = 0 / Mci = 0 
Mbarra_bc = 0 (atua como tirante, portanto sofre apenas esforço normal) 
 
Mcd = 0 / 
Mfe = [3,25 . 4,0] t.f.i + [R1 . 2,0] t.f.s = 13 t.f.i + 16 t.f.s = 3,0 kN.m (t.f.s) 
 = ou de forma direta = 3,0 kN.m (t.f.s) 
Mfs = 0 
Mei = [10,75 . 3,0] t.f.i + [ 6,56 . 4 + R2 . 1,5] t.f.s = 32,25 t.f.i + 35,24 t.f.s = 3,0 kN.m (t.f.s) 
 = ou de forma direta = 3,0 kN.m (t.f.s) 
 
 Va = 9,74 kN 
 3 kN.m 3 kN.m 
 2 kN 
4,0 m 
 1 kN 
3,0 m 
4,0 m 3,0 m 
 1ª 
 Hc = 6,56 kN 
 Vc = 3,25 kN 
c 
 Hf = 6,56 kN 
 Vf = 10,75 kN 
4,0 m 
 R1 = 8 kN 
 R2 = 6 kN 
a 
b 
c 
d 
e 
f 
 Hc ’ = 6,56 kN 
 Vc ’ = 3,25 kN 
 Ha = 4,56 kN 
 Vd = 5,49 kN 
 N=3,33 kN 
 N 

sen = 4/5 = 0,8; 
cos = 3/5 = 0,6; 
 
sen = 3/5 = 0,6; 
cos = 4/5 = 0,8;



 2ª 






 Vf 
 Hf 

 R2 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
35 
 
Exemplo15: determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes 
para o pórtico apresentado a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Decomposição do pórtico e ordem de resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pórtico 1 - calcular as reações de apoio: 
Md_pela_direita = 0 +  Ve . 3,0 + He . 1,0 - R2 . 1,5 + 3,0 = 0 
 Ve = - 0,333 He + 2,0 
 
Ma = 0 +  Ve . 6,0 - He . 3,0 - R2 . 4,5 + 3,0 - 3,0 - 3,0 . 1,5 + 1 . 2 + 2 . 1,5 = 0 
 He = - 2,90  He = 2,90 kN 
 Correção da equação:  Ve = + 0,333 He + 2,0  Ve = 2,97 kN 
 
+  Fy = 0  Va + Ve = 11,0 kN  Va = 8,03 kN 
 
 +  Fx = 0  Ha - He - 1,0 = 0  Ha = 3,90 kN 
 
 
Pórtico 2 - calcular as reações de apoio: 
 +  Fx = 0  Hi + He’ = 0  Hi = - 2,90  Hi = 2,90 kN 
 
+  Fy = 0  Vi - 1,0 + 2,0 - Ve’ = 0  Vi = 1,97 kN 
 
Mi = 0 +  - He ’ . 3,0 + 1 . 1,5 + 2 . 1,0 + Mi = 0  Me = 5,2 kN.m 
1 m 2ª 
2,0 m 
2,0 m 
3,0 m 
 2 kN/m 
 He 
 Ve 
3,0 m 
 3 kN.m 
 2 kN 
 3 kN.m 
 Hi 
 Vi 
3,0 m 
2,0 m 
2,0 m 
3,0 m 3,0 m 
 1ª 
 He ’ = 2,90 kN 
 Ve ’ = 2,97 kN 
i 
e 
c 
d 
a Ha 
 Va 
 Mi 
 R1 = 3 kN 
 1 kN/m 
 3 kN.m 3 kN.m 
e 
 R2 = 6 kN 
1,5 m 
 1 kN 
 2 kN 
 1 kN 
1,5 m 1 m 
 2 kN 1 kN 
1,5 m 1 m 
2,0 m 
f 
g h 
 2 kN 
1,5 m 
 1 kN b 
1 m 
Para pórtico com rótula: iniciar os cálculos com 4ª 
equação sempre: MRótula =0  pelo lado menor; 
- Surgindo equação com duas variáveis; 
- Fazer somatório do momento no apoio do 
lado maior: M = 0. 
 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
36 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 - calcular o esforço normal: 
Nas = - 8,03 kN / Nci = - 8,03 kN / Nbd = +1,0 kN / Nce = +1,0 kN / 
Ncs = - 6,03 . cos - 2,90 . cos 
 = - 5,76 kN 
Nde = - 5,76 + R1 . cos= - 4,10 kN 
Nee = - 2,90 . cos - 2,97 . cos 
 = - 3,69 kN 
Ndd = - 3,69 + R2 . cos 
 = - 1,79 kN 
 
Nis = -1,97 kN / Ngi = -1,97 kN 
Nfd = 0 / Nge = 0 / Nhe = 0 / Ngd = 0 
Ngs = -1,97 + 1 - 2 = - 2,97 kN 
Nei = -2,97 kN 
 
 
 
2 - calcular o esforço cortante: 
Vas = - 3,90 kN / Vci = - 3,90 kN 
Vbd = - 2,0 kN / Vce = - 2,0 kN 
Vcs = + 6,03 . sen - 2,90 . sen 
 = + 3,41 kN 
Vde = + 3,41 - R1 . sen= + 0,91 kN 
Vee = + 2,90 . sen - 2,97 . sen 
 = - 1,90 kN 
Vdd = - 1,9 + R2 . cos 
 = + 0,95 kN 
 
Vis = + 2,90 kN / Vgi =+ 2,90 kN /Vgd = - 2,0 kN 
Vfd = - 1 kN / Vge = - 1 kN / Vhe = - 2 kN / Vgd = - 2 kN 
Vgs = + 2,90 kN 
Vei = + 2,90 kN 
1 m 
 He = 2,90 kN 
 Ve = 2,97 kN 
 2ª 
 Vi = 1,97 kN 
3,0 m 
2,0 m 
2,0 m 
3,0 m 3,0 m 
 1ª 
 He ’ = 2,90 kN 
 Ve’ = 2,97 kN 
 
i 
e 
c 
d 
a 
 Ha = 3,90 kN 
 Va = 8,03 kN 
 Mi = 5,2 kN.m 
 R1 = 3 kN 
 3 kN.m 3 kN.m 
e 
 R2 = 6 kN 
 2 kN 1 kN 
1,5 m 1 m 2,0 m 
f 
g h 
 2 kN 
1,5 m 
 1 kN b 
 Hi = 2,90 kN 

tg  = 2/3 
 = 33,690 
 = 56,310 
 
c 

 8,03 - 2 = 6,03 kN 
 3,90 - 1 = 2,90 kN 




 R1 = 3 kN 
  = ? 
tg-1  = 2/3 
 = 33,690 
 = 56,310 
 
tg  = 1/3 
 = 18,430 
 = 71,570 
 



 2,97 kN 
 2,90 kN 
 R2 = 3 kN 


e 
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 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
37 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 - calcular o momento fletor: 
Mas = 0 
Mci = [ 3,90 . 2 ] t.f.e = 7,80 kN.m (t.f.e) 
Mbd = 0 
Mce = [ 2 . 1,5 ] t.f.s = 3,0 kN.m ( t.f.s) 
Mcs = ? 
Nó deve estar em equilíbrio, ou seja, Me = 0 
  Momento sempre representado com a 
 Concavidade voltada para o nó: 
 Para Mc = 0:  3 + 7,80 = 10,80 kN.m 
  Então, Mcs = 10,80 kN.m (t.f.s) 
 
 
 
 
 
Mde = de forma direta = 3 kN.m (t.f.s) 
 Ou pela esquerda: 
 [ 8,03 . 3 + 1 . 2] t.f.i + [ 3,90 . 4 + 2 . 4,5 + 3 . 1,5 ] t.f.s = 3 kN.m (t.f.s) 
Mee = 0 
Mdd = de forma direta = 3 kN.m (t.f.s) 
 Ou pela direita: 
 [ 2,97 . 3] t.f.i + [ 6 . 1,5 + 2,90 . 1] t.f.s = 2,99 ≈ 3 kN.m (t.f.s) 
 
 
Mis = 5,2 kN.m (t.f.e) 
Mgi =  pelo lado inferior: 
 [ 5,2 ] t.f.e + [ 2,90 . 2,0 ] t.f.d = 0,6 kN.m (t.f.d) 
Mfd = 0 / Mge = [ 1 . 1,5 ] t.f.s = 1,5 kN.m (t.f.s) 
Mhe = 0 / Mgd = [ 2 . 1 ] t.f.i = 2,0 kN.m (t.f.i) 
Mei = 0 / Mgs =  pelo lado superior: 
 = [ 2,90 . 1 ] t.f.e = 2,90 kN.m (t.f.e) 
c 3 kN.m 
7,80 kN.m 
? 
? 
10,80 kN.m 
c 
3 kN.m 
7,80 kN.m 
1 m 
 He = 2,90 kN 
 Ve = 2,97 kN 
 2ª 
 Vi = 1,97 kN 
3,0 m 
2,0 m 
2,0 m 
3,0 m 3,0 m 
 1ª 
 He ’ = 2,90 kN 
 Ve’ = 2,97 kN 
 
i 
e 
c 
d 
a 
 Ha = 3,90 kN 
 Va = 8,03 kN 
 Mi = 5,2 kN.m 
 R1 = 3 kN 
 3 kN.m 3 kN.m 
e 
 R2 = 6 kN 
 2 kN 1 kN 
1,5 m 1 m 2,0 m 
f 
g h 
 2 kN 
1,5 m 
 1 kN b 
 Hi = 2,90 kN 

  = ? 
tg-1  = 2/3 
 = 33,690 
 = 56,310 
 
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 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
39 
 
7 Lista de exercícios: determine as reações de apoio e os diagramas de esforços 
solicitantes para os pórticos apresentados a seguir. 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 kN/m 
2,0 m 
 2 kN 
2,0 m 
3,0 m 4,0 m 
 1 kN 
2,0 m 
2,0 m 
5,0 m 5,0 m 
 3 kN 
 1,5 kN/m 
3,0 m 
 2 kN/m 
3,0 m 
4,0 m 5,0 m 
 3 kN 
2,0 m 
 2 kN/m 
 1 kN/m 
2,0 m 
 4 kN.m 4 kN.m 
1,0 m 
 3 kN.m 
2,0 m 
 1 kN 
 1 kN 
 3 kN.m 3 kN.m 
 3 kN 
5,0 m 
4,0 m 5,0 m 
3,0 m 
 2 kN/m 
 5 kN 
 4 kN.m 4 kN.m 
3,0 m 
5,0 m 
 3 kN 
1,5 m 
 3 kN 
 9 kN.m 
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 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
40 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 kN 3,0 m 
4,0 m 
 3 kN 
3,0 m 
2,0 m 
4,0 m 4,0 m 
3,0 m 
3,0 m 
7,0 m 
2,0 m 
 1 kN/m 
4,0 m 
1,0 m 
 2 kN 
 6 kN.m 6 kN.m 
 2 kN/m 
 2 kN 
 5 kN.m 5kN.m 
 2,0 kN/m 
 1 kN/m 
2,0 m 
 3 kN 
 2kN.m 
 2kN.m 
4 kN 
 2 kN 
3,0 m 
3,5 m 
2,0 m 
 5 kN.m 
 2 kN/m 
2,0 m 2,0 m 
1,5 
 
 
 
 
 
m 
 8 kN.m 
 
 
 4 kN 
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 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
41 
 
 
i) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
j) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
l) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
2,0 m 
 2 kN 
2,0 m 
5,0 m 2,0 m 
 1 kN 
2,0 m 
 2 kN 
 2 kN.m 
 2 kN.m 
2,0 m 
2,0 m 
 1 kN 
2,0 m 
 5,0 m 5,0 m 
 3 kN 
 1,5 kN/m 
3,0 m 
 1 kN 
 2 kN/m 
3,0 m 
4,0 m 5,0 m 
 2 kN 
2,0 m 
 2 kN/m 
 1 kN/m 
2,0 m 
 3 kN.m 
 2 kN.m 
2,0 m 
 1 kN 
 1 kN 
 3 kN.m 3 kN.m 
 3 kN.m 3 kN.m 
 2 kN 
2,0 m 
5,0 m 
 1 kN 
2,0 m 
4,0 m 
 2 kN/m 
1,0 m 
 2 kN.m 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
42 
 
 
n) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3,0 m 
2,0 m 
4,0 m 4,0 m 
3,0 m 
4,0 m 
2,0 m 
 1 kN/m 
1,0 m 
 2 kN 
 6 kN.m 6 kN.m 
 2 kN 
 5 kN.m 5 kN.m 
 2,0 kN/m 
1,0m 
 8 kN.m 
 8 kN.m 
3,0 m 
3,0 m 
7,0 m 
3,0 m 
 5 kN/m 12 kN 
 5 kN.m 
 2 kN/m 
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 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
43 
 
- Grelhas: 
Grelha é uma estrutura reticulada constituída de barras retas ou curvas, sendo 
esta estrutura submetida a carregamentos perpendiculares ao seu plano. 
 Este carregamento perpendicular (vertical) ao plano da grelha produz sobre as 
barras momento fletor, momento torçor e esforço cortante. 
Na construção civil, este tipo de sistema estrutural é composto por um sistema de 
vigas, perpendiculares ou não entre si, que se interceptam, estando interligadas nos 
pontos de interseção. A seguir são apresentados dois casos de grelhas hiperestáticas; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Grelha de malha retangular Grelha de malha oblíqua 
 
 Exemplos de grelhas hiperestáticas 
 
Os casos apresentados acima ilustram o comportamento integrado (em conjunto) 
das vigas de um mesmo andar de um edifício. As barras de uma grelha são geralmente 
perpendiculares entre si, quando isto não ocorrer deve ser indicado o valor do ângulo 
formado entre as barras. 
As grelhas podem ser classificadas em hiperestáticas e isostáticas e hipostáticas: 
 
Hiperestáticas  possuem mais de três reações de apoio e os apoios garantem 
que a estrutura seja estável = estática = não desloca; 
 
Isostáticas  possuem três reações de apoio e os apoios garantem que a 
estrutura seja estável = estática = não desloca; 
 
Hipostáticas  quando o número de apoios da estrutura não é suficiente para 
garantir que a estrutura seja estável = estática = não desloca. 
 
Como a grelha é uma estrutura situada no plano XY e possui carregamento na 
direção Z(vertical), as equações de equilíbrio da estática são: 
 
FZ = 0; 
TX_barra = 0  momento Torçor das barras paralelas ao eixo X; 
TY_barra = 0  momento Torçor das barras paralelas ao eixo Y; 
 
 
Assim, em uma seção genérica de uma grelha isostática no plano XY sobre a 
ação de cargas perpendiculares ao plano da grelha atuam três esforços simples: 
Esforço cortante (V), Momento fletor (M) e Momento torçor (T); 
 
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 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
44 
 
A figura apresentada a seguir, ilustra casos de grelhas hiperestáticas, isostáticas 
e hipostáticas, as quais estão situadas no plano XY. 
 
Nota1  Grelha não considera cargas horizontais, ou seja, cargas paralelas ao 
plano da grelha. Por conta desta condição de análise: 
 
 e  Em grelha: 1 reação vertical (V); 
 
  Em grelha: 1 reação vertical (V); 
 1 reação Momento fletor (M); 
 1 reação Momento Torçor (T); 
 
Nota2  Nesta disciplina será estudada apenas grelha isostática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 reações de apoio (Nota1) 4 reações de apoio (Nota1) 
Estrutura estável: estática Estrutura instável: gira em torno de x 
Grelha hiperestática Grelha hipostática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 reações de apoio (Nota1) 4 reações de apoio (Nota1) 
Estrutura estável: estática Estrutura estável: estática 
Grelha isostática Grelha hiperestática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 reações de apoio (Nota1) 3 reações de apoio (Nota1) 
Estrutura estável: estática Estrutura estável: estática 
Grelha isostática Grelha isostática 
X 
Y Z 
X 
Y 
Z 
q 
q 
X 
Y Z 
X 
Y 
Z 
q 
q 
X 
Y Z 
X 
Y 
Z 
q 
q 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
45 
 
As grelhas isostáticas podem ser agrupadas em dois grupos, conforme ilustrado a 
seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
Grelha em balanço Grelha triapoiada 
 
Para grelhas triapoiadas, estes apoios não devem estar situados sobre uma 
mesma linha reta, caso isto ocorra, a grelha será hipostática, ou seja, não será uma 
estrutura estática, conforme pode ser observado na figura apresentada a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
Os apoios não são suficientes Os apoios não são suficientes Os apoios não são suficientes 
para impedir a rotação em torno para impedir a rotação em torno para impedir a rotação em torno 
próprio eixo das barras 2 e 3; do próprio eixo das barras 1 e 2; do eixo AB; 
 
Na análise de grelhas é adotada a seguinte convenção de sinais para os esforços 
atuantes: 
Esforço cortante (V): 
V (+)  corta a seção e tende a provocar um giro da seção no sentido horário; 
V (-)  corta a seção e tende a provocar um giro da seção no sentido anti-horário; 
 
Porém, em grelhas, dependendo do lado escolhido para realizar a análise de uma 
determinada seção de uma barra da grelha, o sinal do esforço cortante pode ser (+) ou 
(-). Desta forma, o sinal do diagrama de esforço cortante dependerá também do lado 
escolhido para a análise. A seguir são apresentados alguns exemplos: 
Caso 1: 
 
 
 
 
 
Vcd = - 4,0 kN / Vbe = - 4,0 kN / Vbd = - 4,0 kN / Vae = - 4,0 kN 
 
Caso 2: 
 
 
 
 
 
Vce = 4,0 kN / Vbd = 4,0 kN / Vbe = 4,0 kN / Vad = 4,0 kN 
 
3 reações 
de apoio 
X 
Y Z 
X 
Y 
Z 
q 
q 
P1 
P2 
1 
2 3 
P1 
P2 
1 
2 
3 4 
4 kN 
a b 
c 
Barras na direção y 
Barras na direção x 
4 kN 
a b 
c 
Barras na direção y 
Barras na direção x 
X 
Y 
Z 
X 
Y 
Z 
P1 
P2 
A 
B 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
46 
 
Para que não ocorra dúvida quanto ao lado escolhido para fazer a análise dos 
esforços das barras das grelhas será adotada em todas as análises desta 
apostila a seguinte consideração: