RM1_P2_2017

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Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 1 
 
1 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 1 
 
 
 
NOTAS DE AULA - elaborada utilizando o seguinte livro 
texto: 
 
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - R. C. Hibbeler 
Ed. PEARSON - 7ª edição – 2004 
 
 
Parte 02: 
Tensão e deformação  Carregamento Axial 
- Tensão Normal sob carga axial; 
- Deformação Normal Média sob carga axial; 
- Diagrama tensão-deformação; 
- Lei de Hooke; 
- Deformação Normal elástica sob carga axial; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.1 - Deformação Normal Média (- letra grega epsilon) 
 Para a barra BC, conforme mostra a figura 1, está submetida à ação de uma força 
Normal ou axial P. A relação entre o deslocamento relativo do ponto C em relação ao 
ponto B () e o comprimento inicial (L) é definida como deformação normal média: 
𝜺 =
𝜹
𝑳
=
𝑳𝒇−𝑳 
𝑳
 (𝟏) 
 
Onde:  = s = Lf – L (deslocamento relativo de C) 
 (deslocamento relativo OU variação no comprimento) 
 Lf  comprimento final; 
 L  comprimento inicial; 
 
Força P  Tração  alonga a barra (   +); 
  Deformação positiva (  +); 
 
Força P  Compressão contrai a barra (   -); 
  Deformação negativa (  -); 
 
A deformação é um parâmetro ADIMENSIONAL, 
OU SEJA, NÃO TEM UNIDADE; 
 Figura 1: barra sob a ação 
 de força Normal ou axial 
 
2.2 - Diagrama Tensão-Deformação Normal 
 O diagrama é obtido por meio de ensaio de tração ou compressão realizado em 
corpo-de-prova com auxílio de uma máquina de teste e de extensômetros, conforme 
ilustra a figura 2 a seguir. 
 
 Extensômetro  dispositivo para medir o deslocamento relative entre dois 
 pontos do corpo-de-prova (). 
 
 Quando a carga aplica P = 0, o extensômetro marca  = 0. 
 Aumentando o valor de P aumenta o valor de  = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 2: Ensaio de tração de um corpo-de-prova 
Seção transversal 
conhecida: A 
Neste caso a seção é 
circular; 
Entretanto, a seção 
transversal pode ser 
quadrada, retangular ou 
de outra geometria 
qualquer. 
P 
P 
L 
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

Fase 
Elástica 
Fase 
Plástica 
e 
r 
rup 
Limite 
resistência 
tensão 
ruptura 
Legenda: 
r  tensão limite de resistência; 
rup  tensão de ruptura; 
e  tensão de escoamento; 
 
 Portanto, durante um ensaio de tração ou de compressão de um corpo-de-prova 
para cada valor da carga aplicada P é obtido um par de valores (, ): 
 
𝜺 =
𝜹
𝑳
 
 
𝝈 =
𝑷
𝑨
 
 
 Ao final do ensaio são obtidos n pares de valores (, ), o que permite construir o 
diagrama Tensão-deformação Normal do material do corpo-de-prova. 
 
 A seguir é apresentado na figura 3 um diagrama tensão-deformação normal típico 
de um ensaio de tração ou compressão de um corpo-de-prova (ex: barra metálica, ou de 
outro material qualquer). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3: Diagrama Tensão-Deformação Normal típico; 
 
Fase elástica   < e (tensão de escoamento) 
O material apresenta um comportamento elástico, 
caracterizido por deformação reversível, ou seja, 
removida a carga o corpo volta a forma original; 
 
 
Fase plástica   ≥ e (tensão de escoamento) 
O material apresenta um comportamento plástico, 
caracterizado por deformação irreversível, ou seja, 
removida a carga o corpo não volta a forma original. 
O corpo encorpora a parcela plástica da deformação. 
 
 
 
 Quando, P = 0; 
 = 0; 
  = 0; 
 
P 
P 
Removido a carga 
o corpo retoma a 
sua forma original 
Removido a carga o corpo 
continua com parcela 
plástica da deformação 
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

Fase 
Elástica 
Fase 
Plástica 
e 
r 
rup 
Limite 
resistência 
tensão 
ruptura 



E = tg  = / 
 
2.3 - Lei de Hooke 
 Analisando os diagramas Tensão-Deformação de diversos materiais Robert 
Hooke (1676) observou que a maioria apresentava uma relação linear entre tensão e 
deformação na fase elástica, conforme ilustra a figura 4. Com base neste comportamento 
comum dos diversos materiais formulou uma lei conhecida como Lei de Hooke, expressa 
por: 
𝝈 = 𝑬 . 𝜺 (𝟐) 
 
Em que:   Tensão normal; 
    Deformação normal; 
 E  Módulo de elasticidade; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4: válido a Lei de Hooke 
 
A Lei de Hooke  é válida apenas para a parte inicial do diagrama Tensão-Deformação 
Normal, ou seja, no trecho linear elástico do diagrama (trecho reto); 
 
 
Portanto: 
 
 Para tensão () < (e) tensão de escoamento  válida a Lei de Hooke; 
 Para tensão () ≥ (e) tensão de escoamento  não é válida a Lei de Hooke; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.4 - Deformação Normal elástica 
Se a carga axial P aplicada sobre a barra BC (figura 4) gera uma tensão em que: 
 < e (tensão de escoamento)  A Lei de Hooke pode ser aplicada, visto que o 
material da barra BC apresenta um comportamento elástico. 
 
Portanto,se o material apresenta um comportamento linear elástico é possível 
escrever a seguinte equação para determinar o deslocamento relativo entre dois pontos 
 (alongamento ou contração), ou seja, a variação de comprimento da barra: 
 
𝜀 = 
𝛿
𝐿
 
 
𝜎 =
𝑃
𝐴
 → 𝜎 = 𝐸 . 𝜀 → 𝜎 = 𝐸 . 
𝛿
𝐿
 →
𝑃
𝐴
= 𝐸 . 
𝛿
𝐿
 
 
 
𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟: → 𝛿 = 
𝑷. 𝑳
𝑬 . 𝑨
 (𝟑) 
 
 
 
 
 A equação (3) é válida para elementos (barras, eixos): 
 A  área da seção transversal constante; 
 E  módulo de elasticidade constante; 
 P  carga aplicada na extremidade do elemento; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4: deslocamento de um elemento com carga axial 
 
 
Para elementos (barras, eixos) compostos de trechos com diferentes seções 
transversais, diferentes materiais e sob a ação de cargas axiais aplicadas em vários 
pontos ao longo do eixo do elemento é necessário dividir o elemento (barras, eixos) por 
trecho em que essas quantidades (A, E, P) sejam constantes. O deslocamento relativo 
final é obtido somando-se o resultado de cada trecho, sendo este somatório expresso 
por: 
 
𝜹 = ∑
𝑷𝒊𝑳𝒊 
𝑨𝒊𝑬𝒊
 (𝟒)𝒊 
 
OBS: Nas equações (3) e (4): P  COMPRESSÃO: - (NEGATIVO) 
 P  TRAÇÃO: + (POSITIVO) 
 
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Exemplo 1: A figura a seguir apresenta o diagrama tensão-deformação de um corpo-de-
prova cilíndrico com 12 mm de diâmetro e 50 mm de comprimento inicial feito de um aço-
liga. Determine os valores aproximados da tensão de escoamento, do módulo de 
elasticidade do aço-liga e da carga que provoca escoamento do corpo-de-prova. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Em geral, os materiais apresentam um trecho inicial elástico que ocorre à pequena 
deformação. Portanto, para analisar melhor esta fase inicial, o mesmo é plotado com 
uma escala maior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analisando o diagrama tensão-deformação: 
e≈290 MPa; 
 
E = tg  =  = (290 – 0 )/ (0,001 – 0) = 290000 MPa = 290 GPa 
 
Lembrando: = P/A  força de escoamento: Fe = ?  e = Fe/A  Fe = e . A 
 A =  . d2/4 =  . 122/4 = 113,1 mm2 = 113,1 . 10-6 m2 
 
 Fe = e . A = 290 . 106 . 113,1 . 10-6 = 32799 N = 32,8 kN 
Trecho inicial elástico; 
Trecho inicial elástico, 
representado em uma 
escala ampliada para 
permitir uma análise; 
e 
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Exemplo 2: Uma barra homogênea de comprimento inicial L=1,0 m e de seção 
transversal quadrada, de lado 2,0 cm é submetida a uma força de tração de 200 kN. O 
material da barra possui módulo de elasticidade de 200 GPa. Qual o valor do 
alongamento ou variação do comprimento da barra e o valor da deformação da barra, 
considerando um comportamento elástico. 
Resolução: 
Comportamento elástico: Pode aplicar a lei de Hooke; 
  = P   = E .   = E .   P = E .  
 A L A L 
 
Alongamento:  = ? 
Deformação: /L = ? 
 
L = 1,0 m 
A = 2,0 . 2,0 = 4,0 cm2 = 4,0 . 10-4 m2 
P = 200 kN = 200 . 103 N 
E = 200 GPa = 200 . 109 N/m2 
 
 P = E .   200 . 103 = 200 . 109 .   = 2,5 . 10-3 m = 2,5 mm 
 A L 4,0 . 10-4 1,0 
 
 /L = 2,5 . 10-3 m / 1,0 m = 2,5 (adimensional) 
 
 
Exemplo 3: Aplica-se uma tensão de 0,1 GPa a uma barra metálica de comprimento 
inicial L=5,0 m. O material da barra possui módulo de elasticidade de 200 GPa. Qual o 
valor do alongamento ou variação do comprimento da barra, considerando um 
comportamento elástico. 
Resolução: 
Comportamento elástico: Pode aplicar a lei de Hooke; 
  = P   = E .   = E .   P = E .  
 A L A L 
 
Alongamento:  = ? 
 
L = 5,0 m 
 = 0,1GPa = 0,1 . 109 N/m2 
E = 200 GPa = 200 . 109 N/m2 
 
  = E .   0,1 . 109 = 200 . 109 .   = 2,5 . 10-3 m = 2,5 mm 
 L 5,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 4: Uma barra metálica de comprimento 4,0 m e seção circular está sujeita a 
uma força de tração de 80 kN. Calcular o menor diâmetro para a barra. Considerar um 
alongamento máximo de 2,0 mm e um fator de segurança de 1,25 contra o escoamento. 
O diagrama tensão-deformação de um corpo-de-prova feito com o mesmo material 
metálico utilizada para produzir a barra é ilustrado na figura a seguir. 
 
Resolução: 
Analisando o diagrama tensão-deformação: 
e≈ MPa; 
 
E = tg  =  = (325 – 0 )/ (0,0015 – 0) 
E = 216667 MPa = 216,67 GPa 
 
 
d = ? considerar: 
 
F.S = 1,25 contra o escoamento 
 adm = 325/1,25 = 260 MPa 
  o que garante fase elástica: pode utilizar a lei de Hooke; 
 
Alongamento máximo:  = 2,0 mm = 2,0 .10-3 m 
 
Comportamento elástico: Pode aplicar a lei de Hooke; 
  = P   = E .   = E .   P = E .  
 A L A L 
 
 
 = P  260 .106 = 80 . 103  A = 3,08 .10-4 m2 
 A A A =  . d2/4 = 3,08 .10-3 m2 
 
 d = 0,01980 m = 19,80 mm = 20 mm 
 
 
P = E .  80 . 103 = 216,67. 109 . 2,0 .10-3 
A L A 4,0 
 
 A = 7,38 .10-4 m2 
 A =  . d2/4 = 7,38 .10-3 m2 
 
 d = 0,03066 m = 30,66 mm = 31 mm 
 
 
O menor diâmetro da barra de modo a respeitar simultaneamente a tensão admissível e 
o alongamento máximo vale d = 31 mm 
 
 
 
 
 
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Exemplo 5: A barra composta de aço A-36 (E= 210.103 MPa), é composta por dois 
segmentos AB e BD, com áreas da seção transversal AAB= 600 mm2 e ABD= 1200 mm2. 
Considerando um comportamento elástico, determine: 
a) determine o deslocamento vertical da extremidade A; 
b) o deslocamento de C em relação a D; 
c) a tensão normal média máxima; 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
É necessário determinar a força interna de cada trecho, 
a qual , é determinada por meio MÉTODO DAS SEÇÕES: 
 
OBS: Iniciando a análise pelo topo  para não ter que calcular a reação de apoio D; 
NAi = + 75 kN, 
NBs = + 75 kN; 
NBi = + 75 - 20 -20 = 35 kN, 
NCs = + 35 kN; 
NCi = + 35 - 40 - 40= - 45 kN; 
NDs = - 45 kN; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deslocamento do ponto A: quando não for mencionado em relação a que ponto fica 
subentendido que o deslocamento será em relação ao ponto fixo, no caso ponto D: 
 
𝜹𝑨 = ∑
𝑷𝒊𝑳𝒊
𝑨𝒊𝑬𝒊
𝒊
= 𝛿𝐴𝐵 + 𝛿𝐵𝐶 + 𝛿𝐶𝐷 =
𝑷𝑨𝑩𝑳𝑨𝑩
𝑨𝑨𝑩𝑬𝑨𝑩
+
𝑷𝑩𝑪𝑳𝑩𝑪
𝑨𝑩𝑪𝑬𝑩𝑪
+
𝑷𝑪𝑫𝑳𝑪𝑫
𝑨𝑪𝑫𝑬𝑪𝑫
 
 
PAB = + 75 kN = 75.103 N (tração) 
PBC = + 35 kN = 35.103 N (tração) 
PAB = - 45 kN = 45.103 N (compressão) 
PAB = + 75 kN 
PBC = + 35 kN 
PCD = - 45 kN 
D. Normal 
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AAB = 600 mm2 = 600 . 10-6 m2; 
ABD = 1200 mm2 = 1200.10-6 m2 
 
E = 210.103 MPa = 210 . 109 N/m2 
 
𝛿𝐴𝐵 =
(75 . 103) . ( 1,0)
(600 . 10−6) . (210 . 109)
= +0,595 . 10−3𝑚 
 
𝛿𝐵𝐶 =
(35 . 103) . ( 0,75)
(1200 . 10−6) . (210 . 109)
= +0,104 . 10−3𝑚 
 
 
𝛿𝐶𝐷 =
(−45 . 103) . ( 0,50)
(1200 . 10−6) . (210 . 109)
= −0,09 . 10−3𝑚 
 
a) 
𝜹𝑨 = + 0,61 . 10
−3𝑚 = +0,61 𝑚𝑚 
 
O deslocamento total é positivo, a barra alonga-se, assim o ponto A se afasta do ponto 
D. 
 
b) 
O deslocamento do ponto C em relação D é negativo, o trecho CD contrai-se, assim os 
pontos B e C se aproximam: 
 
𝛿𝐶𝐷 = −0,090 . 10
−3𝑚 = −0,090 𝑚𝑚 
 
c)A tensão normal média máxima da barra vale: 
Trecho AB: PAB= 75 kN  AB= PAB/AAB  AB = 75 . 103 / 600 . 10-6 
traçãoAB= 125,0 . 106 N/m2AB = 125,0 MPa 
 
Trecho BC: PBC= 35 kN  BC= PBC/ABC  BC= 35 . 103 / 1200 . 10-6 
traçãoBC= 29,17 . 106 N/m2BC = 29,17 MPa 
 
Trecho CD: PCD = -45 kN  CD= PCD/ACD  CD = -45 . 103 / 1200 . 10-6 
 compressãoCD= -37,5 . 106 N/m2CD = -37,50 MPa 
 
A tensão normal média máxima ocorre no trecho AB, sendo de 125 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 6: Para a viga rígida CD que está acoplada em D à haste BD de seção 
transversal circular, determine o menor diâmetro para a haste BD. Considerar tensão 
normal admissível para a haste BD de 115 MPa, variação de comprimento máxima para 
haste BD de 3,0 mm, módulo de elasticidade de 200 GPa e um comportamento elástico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
- Diagrama de corpo livre da viga rígida CB: 
 
 = ? =36,870 
 
 
 
LBD = 5,0 m 
 
 
 
 
 
- Utilizando as equações de equilíbrio no plano: 
 ∑Fx = 0; ∑Fy = 0; ∑MO = 0; neste caso em relação ao ponto C; 
 
OBS: DICA  TODA VEZ QUE HOUVER DUAS FORÇAS A SEREM DETERMINADAS 
EM CADA DIREÇÃO x e y  UTILIZE PRIMEIRO A 3 EQUAÇÃO: 
 Em x: HC = ? e FBD cos  = ? 
 Em y: VC = ? e FBd sen  = ? 
 
 MC= 0 + FBD . sen  . 4,0 - FBD . cos  . 0,30 - 20 . 1,0 = 0 
 
 FBD = 9,26 kN 
 
 
Haste BD: 
dBD = ? 
 
 
OBS: Lembrando do conceito de ação e reação: 
 FBD = força da haste BC sobre a viga CD; 
 FBD’ = força da viga CD sobre a haste BD; TR 
 
R = 20 kN 
FBD 
FBD 
3,0 m 
4,0 m 


HC 
VC 
FBD´ 
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Haste BD: 
 dBD = ? 
 LBD = 5,0 m 
 FBD´ = + 9,26 kN (tração) = 9,26 . 103 N 
 adm = 115 MPa = 115 . 106 N/m2 
 E = 200 GPa = 200 . 109 N/m2 
 BD = 3,0 mm = 3,0 .10-3 m 
 
Comportamento elástico: Pode aplicar a lei de Hooke; 
 
  = P   = E .   = E .   P = E .  
 A L A L 
 
 
 = P  115 .106 = 9,26 . 103  A = 8,052 .10-5 m2 
 A A A =  . d2/4 = 8,052 .10-5 m2 
 
 d = 0,010125 m = 10,125 mm = 11 mm 
 
 
 P = E .  9,26. 103 = 200. 109 . 3,0 .10-3 
 A L A 5,0 
 
 A = 7,72 .10-5 m2 
 A =  . d2/4 = 7,72 .10-5 m2 
 
 d = 0,00991 m = 9,91 mm = 10 mm 
 
 
O menor diâmetro da HASTE BD de modo a respeitar simultaneamente a tensão 
admissível e o alongamento máximo vale d = 11 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 7: O braço rígido está submetido ao carregamento ilustrado na figura a seguir. 
Determine com aproximação de 1,0 mm: 
a) O diâmetro do pino em C. Considerar tensão de cisalhamento admissível de 55 MPa. 
b) O diâmetro da barra AB. Considerar comprimento inicial de 70 mm, módulo de 
elasticidade de 200 GPa, tensão normal admissível de 150 MPa, variação de 
comprimento máximo de 1,0 mm e comportamento elástico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
- Diagrama de corpo livre do braço rígido: 
 
 
- Utilizando as equações de equilíbrio no plano: 
 ∑Fx = 0; ∑Fy = 0; 
 ∑MO = 0; neste casoem relação ao ponto C; 
 
OBS: DICA  TODA VEZ QUE HOUVER DUAS FORÇAS 
A SEREM DETERMINADAS EM CADA DIREÇÃO x e y 
 UTILIZE PRIMEIRO A 3 EQUAÇÃO: 
 Em x: HC = ? e FAB = ? 
 Em y: VC = ? e 
 
 MC= 0 +  FAB . 0,200 – 15 .0,075 – 25 . 3/5 . 0,125 = 0 
 
 FAB = 15 kN 
 
 +  Fx = 0  - FAB – HC + 25 . 4/5 = 0  HC = 5 kN 
 
 +  Fy = 0  + VC – 15 – 25 . 3/5 = 0  VC = 30 kN 
 
Força resultante sobre o pino em c: Fr2 = HC2 + VC2  Fr = 30,41 kN 
 
Barra AB: 
 
OBS: Lembrando do conceito de ação e reação: 
 FAB = força da barra AB sobre o braço rígido 
 FAB’ = força do braço rígido sobre a barra AB 
 
 
FAB 
VC 
HC 
FAB´ 
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a) Pino em c: 
 dc = ? 
 
 Fr = 3,41 kN 
 adm = 55 MPa 
 Conforme o enunciado: corte duplo: V = F/2 = 30,41/2 = 15,21 kN 
 
 adm = V/A  55 . 106 = 15,21 . 103 / A 
 
 A = 2,77 . 10-4 m2 
 A =  . d2/4 = 2,77 .10-4 m2  d = 0,01876 m = 18,76 mm = 19 mm 
 
 
b) Barra AB: 
 dAB =? 
 
 LAB = 70 mm = 0,07 m 
 FAB´ = + 15 kN (tração) = 15 . 103 N 
adm = 150 MPa = 150 . 106 N/m2 
 E = 200 GPa = 200 . 109 N/m2 
 AB = 1,0 mm = 1,0 .10-3 m 
 
Comportamento elástico: Pode aplicar a lei de Hooke; 
 
  = P   = E .   = E .   P = E .  
 A L A L 
 
 
 = P  150 .106 = 15 . 103  A = 1,0 .10-4 m2 
 A A A =  . d2/4 = 1,0 .10-4 m2 
 
 d = 0,01128 m = 11,28 mm = 12 mm 
 
 
P = E .  15 . 103 = 200. 109 . 1,0 .10-3 
A L A 0,070 
 
 A = 5,25 .10-6 m2 
 A =  . d2/4 = 5,25 .10-6 m2 
 
 d = 0,00259 m = 2,59 mm = 3 mm 
 
 
O menor diâmetro da BARRA AB de modo a respeitar simultaneamente a tensão 
admissível e o alongamento máximo vale d = 12 mm 
 
 
 
 
 
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15 
 
 
Exemplo 8: A viga rígida está apoiada em suas extremidades por dois tirantes de aço. 
Determine os diâmetros dos tirantes com aproximação de 1,0 mm. Considerar tensão 
admissível para aço de 150 MPa, módulo de elasticidade para o aço de 200 GPa, 
variação de comprimento máximo de 1,0 mm e comportamento elástico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
- Diagrama de corpo livre da viga rígida: 
 
 
 
 
- Utilizando as equações de equilíbrio no plano: 
 ∑Fx = 0; ∑Fy = 0; 
 ∑MO = 0; neste caso em relação ao ponto C; 
 
OBS: DICA  TODA VEZ QUE HOUVER DUAS FORÇAS 
A SEREM DETERMINADAS EM CADA DIREÇÃO x e y 
 UTILIZE PRIMEIRO A 3 EQUAÇÃO: 
 
 Em y: FAB = ? e FCD = ? 
 
 MA= 0 +  FCD . 2,4 – 32 . 0,80 = 0  FCD = 10,67 kN 
 
 +  Fy = 0  FAB + FCD = 32  FAB = 21,33 kN 
 
 
Tirantes: 
 
OBS: Lembrando do conceito de ação e reação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
W 
X 
W = 20 kN/m 
X = 1,6 m 
 
R = 32 kN 
1,6 m 
FAB FCD 
0,8 m 
FAB´ FCD´ 
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16 
 
- Tirante AB: dAB = ? 
 LAB = 1,8 m 
 FAB´ = + 21,33 kN (tração) = 21,33 . 103 N 
adm = 150 MPa = 150 . 106 N/m2 
 E = 200 GPa = 200 . 109 N/m2 
 AB = 1,0 mm = 1,0 .10-3 m 
 
Comportamento elástico: Pode aplicar a lei de Hooke; 
  = P   = E .   = E .   P = E .  
 A L A L 
 
 = P  150 .106 = 21,33 . 103  A = 1,42 .10-4 m2 =  . d2/4 
 A A d = 0,01346 m = 13,46 mm = 14 mm 
 
P = E .  21,33 . 103 = 200. 109 . 1,0 .10-3 
A L A 1,8 
 
 A = 1,92 .10-4 m2 =  . d2/4 
 d = 0,01563 m = 15,63 mm = 16 mm 
 
O menor diâmetro do tirante AB de modo a respeitar simultaneamente a tensão 
admissível e o alongamento máximo vale d = 16 mm 
 
 
 
- Tirante CD: dCD = ? 
 LCD = 1,8 m 
 FCD´ = + 10,67 kN (tração) = 10,67 . 103 N 
adm = 150 MPa = 150 . 106 N/m2 
 E = 200 GPa = 200 . 109 N/m2 
 AB = 1,0 mm = 1,0 .10-3 m 
 
Comportamento elástico: Pode aplicar a lei de Hooke; 
  = P   = E .   = E .   P = E .  
 A L A L 
 
 = P  150 .106 = 10,67 . 103  A = 7,11 .10-5 m2 =  . d2/4 
 A A d = 0,00952 m = 9,52 mm = 10 mm 
 
P = E .  10,67 . 103 = 200. 109 . 1,0 .10-3 
A L A 1,8 
 
 A = 9,60 .10-5 m2 =  . d2/4 
 d = 0,01106 m = 11,06 mm = 12 mm 
 
O menor diâmetro do tirante CD de modo a respeitar simultaneamente a tensão 
admissível e o alongamento máximo vale d = 12 mm 
 
 
 
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1 Lista de exercícios 
 
1) Uma barra de aço de 1,3 cm de diâmetro e 20,0 cm de comprimento, apresenta um 
alongamento de 0,022 cm quando está submetida a uma força de tração de 29,5 kN. 
Sabendo que a barra apresenta um comportamento dentro dos limites elásticos, calcular 
o módulo de elasticidade longitudinal do aço. 
R: E = 202GPa2) Calcular o menor diâmetro de uma barra sujeita a ação de uma carga axial de tração 
P de 50 kN. Considerar uma tensão normal admissível de 150 MPa e uma variação de 
comprimento máxima de 4 mm. São dados o comprimento da barra L = 4,5 m e o módulo 
de elasticidade do aço E = 210 GPa. 
R: d = 21,0 mm 
 
3) Uma barra de seção circular vazada de aço está sujeita a uma força compressão de 
1500 kN. Calcular o menor valor raio interno para a seção circular vazada. Considerar 
comprimento inicial de 1,0 m, raio externo de 120 mm, tensão normal admissível de 250 
MPa, módulo de elasticidade de elasticidade de 200 GPa, uma contração máxima de 1,5 
mm e comportamento elástico. 
R: ri = 113,17 ≈ 114 mm 
 
4) Uma barra de aço-liga de comprimento 3,0 m e seção quadrada de lado a está sujeita 
a uma força de tração de 90 kN. Calcular o menor lado a para a barra. Considerar um 
alongamento máximo de 2,0 mm e um fator de segurança de 1,3 contra o escoamento. 
O diagrama tensão-deformação de um corpo-de-prova feito com o mesmo material 
metálico utilizada para produzir a barra é ilustrado na figura a seguir, no qual é possível 
observar que a tensão de escoamento vale aproximadamente 290 MPa. 
R: a = 21,6 ≈ 22 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Calcular o valor máximo admissível do esforço normal de tração P em uma barra cuja 
seção transversal está representada na figura a seguir. Considerar material da barra com 
módulo de elasticidade de 10 GPa, tensão normal admissível de 12 MPa e deformação 
normal máxima de 0,001. Material da barra na fase elástica. 
R: P = 208 kN 
 
 
 
 
 Seção transversal da barra: medidas em cm 
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18 
 
6) Um cilindro de 5,0 cm de diâmetro e 90,0 cm de comprimento está submetido a uma 
força de tração de 120 kN. Uma parte deste cilindro, de comprimento L1, é de aço 
(E1=200000 MPa) e a outra parte, de comprimento L2, é de alumínio (E2=70000 MPa). 
Determinar os comprimentos L1 e L2 de tal forma que os dois materiais apresentem o 
mesmo alongamento, e calcular o alongamento total do cilindro. Considerar 
comportamento elástico 
R: L1 = 67 cm 
 L2 = 23 cm 
 cilindro = 4,06 . 10-4 m = 0,0406 cm 
 
7) O tubo rígido é sustentado por um pino em C e por 
um cabo de ancoragem AB de aço A-36 (E = 200 GPa) 
com 5 mm de diâmetro. Considerando uma carga P de 
1,5 kN e um comportamento elástico, determine o 
quanto o cabo AB é esticado. 
R: AB = + 2,12 . 10-3 m 
 
 
 
 
8) A viga rígida é sustentada por um pino em C e por 
um cabo de ancoragem AB de aço A-36 (E = 200 GPa) 
com 5 mm de diâmetro. Considerando um carregamento 
distribuído w de 1,5 kN/m e um comportamento elástico, 
determine o quanto o cabo AB é esticado. 
R:AB = + 3,97 . 10-3 m 
 
 
 
9) O eixo de cobre (E = 126 GPa) está sujeito às cargas axiais mostradas na figura. Os 
segmentos AB, BC e CD possuem os seguintes diâmetros, dAB = 20 mm, dBC = 25 mm e 
dCD = 12. Considerando um comportamento elástico, determine: 
a) o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D; 
b) a máxima tensão normal média no eixo; 
R: a) AD = + 3,85 . 10-3 m 
 b) CD = 265,25 MPa 
 
 
 
10) A coluna de aço A-36 (E = 200 GPa) é usada para 
suportar cargas simétricas dos dois pisos de um edifício. 
Considerando um comportamento elástico, determine o 
deslocamento vertical de sua extremidade A, quando 
 P1 = 200 N, P2 = 310 N e a coluna tiver área da 
seção transversal de 14,625 mm2 
R: AC = - 1,747 . 10-3 m 
 
 
 
 
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19 
 
11) Determine o deslocamento da extremidade A. Considerar módulo de elasticidade de 
200 GPa, comportamento elástico e seção circular, com o diâmetro de cada trecho 
indicado na figura a seguir; 
R: AC = +2,58 . 10-4 m 
 
 
 
 
 
 
 
12) A haste de aço A-36 (E = 200 GPA) está sujeita ao 
carregamento mostrado. Se a área da seção transversal da 
haste for de 60 mm2. Considerando um comportamento elástico, 
determine: 
a) o desloca do ponto A em relação ao C; 
b) a máxima tensão normal média na haste; 
R: a) A = 1,63 . 10-3 m;  
 b) CD = 268,67 MPa 
 
 
 
 
 
13) A viga rígida AB está acoplada em B à haste metálica BC com 1,0 m de comprimento 
e diâmetro de 50 mm. Determine o valor máximo de P. Considerando para a haste AB 
uma tensão normal de 120 MPa, módulo de elasticidade de 75 GPa, uma variação de 
comprimento máxima de 1,0 mm e comportamento elástico da haste; 
R: P = 13,39 kN 
 
 
 
 
 
 
14) O conjunto de pendural (barra rígida e haste AB) metálico é usado para suportar um 
carregamento distribuído W = 18 kN. A haste AB possui módulo de elasticidade de 70 
GPa e tensão de escoamento de 266 MPa. Considerando um fator de segurança contra 
o escoamento de 2,0 e uma variação de comprimento máxima de 1,5 mm, determine o 
menor o diâmetro para a haste AB; 
R: d = 27,18 = 28 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
130 kN 
75 mm 
130 kN 
50 mm 
760 mm 1000 mm 
180 kN 
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20 
 
15) A viga rígida AC é sustentada pelas hastes de aço AB e CD com 2,0 m de 
comprimento. O aço das hastes possui tensão de escoamento de 250 MPa e módulo de 
elasticidade de 200 GPa. Considerando um fator de segurança de 2,0 para o escoamento 
e uma variação de comprimento máximo de 1,0 mm, determine o menor diâmetro para 
as hastes. 
R: dAB = 10,28 = 11,0 mm 
 dCD = 9,24 = 10,0 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
16) A peça rígida ABCD está suspensa por pino em B e por um tirante de aço, determine: 
a) o menor diâmetro para o tirante. Considerar tensão normal admissível de 150 MPa, 
módulo de elasticidade de 200 GPa, variação no comprimento máxima de 1,0 mm e 
comportamento elástico. 
b) o menor diâmetro para o pino em B. Considerar o pino sob corte duplo e uma tensão 
de cisalhamento admissível de 170 MPa. 
R: a) d = 1,30 = 2,0 mm 
 b) d = 41,80 = 42 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
17) A peça rígida está suspensa por pino em A e pelo cabo AB, determine o menor 
diâmetro para o cabo AB. Considerar tensão normal admissível de 150 MPa, módulo de 
elasticidade de 200 GPa, variação no comprimento máxima de 1,0 mm e comportamento 
elástico. 
R: d = 28,75 = 29,0 mm