RM1_P1_2017

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Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 1 
 
1 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 1 
 
 
 
NOTAS DE AULA - elaborada utilizando o seguinte livro 
texto: 
 
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - R. C. Hibbeler 
Ed. PEARSON - 7ª edição – 2004 
 
 
Parte 01: 
Tensão  Força Normal ou Axial; 
  Força Cortante ou de cisalhamento; 
- Tensão normal média; 
- Tensão de cisalhamento média; 
- Tensão admissível; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1 - Tensão Normal Média (- letra grega sigma) 
 Para a barra, conforme mostra a figura 1, está submetida à ação de uma força 
Normal ou axial P. A relação entre a força Normal ou axial (P) e a área da seção 
transversal da barra (A) é definida como tensão normal média: 
𝝈𝒎é𝒅 =
𝑷
𝑨
 (1) 
 
Força P  Tração  tensão positiva (+); 
 Alonga a barra  tensão normal de tração; 
 
Força P  Compressão tensão negativa (-); 
 Comprime a barra  tensão normal de compressão; 
 
 
OBS: todos os pontos na seção transversal analisada A 
apresentam a mesma tensão Normal média 
 
 Figura 1: barra sob a ação 
 de força Normal ou axial 
 
No Sistema Internacional a unidade de tensão é o Pascal (Pa): 
 1 Pa = 1N/m2 
 1 kPa = 1x103 Pa = 1x103 N/m2 
 1 MPa = 1x106 Pa = 1x106 N/m2 
 1GPa = 1x109 Pa = 1x109 N/m2 
 
 
 Força Normal ou axial  Força paralela ao eixo longitudinal do elemento (barra, 
eixo, etc) ou perpendicular a seção transversal do elemento; 
 
 
 
 
 Força Normal = F; Força Normal = F . cos ; 
 
 
 Na engenharia é comum encontrar catálogos e manuais com informações 
indicadas com unidades inglesas; 
 
OBS: psi = ( pound per square inch ) 
 (libra por polegada quadrada) 
 
 1 psi = 6,895 x 103 Pa (Pascais) 
 
 1 ksi = 1000 psi = 6,895 x 106 Pa (Pascais) 
 
 
 
 
 
F 
F 

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3 
5 cm 
4 Áreas vazadas 
5 cm 
17 cm 
10 kN 
17 cm 
 
Exemplo 1: Determine a tensão normal média provocada pela força P sobre a peça 
vazada ilustrada a seguir; 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
méd= F/A  P = 10 kN = 10 . 103 N; 
 
  A = área real = área total – área vazada; 
 A = (17 x 17) – [ 4 x (5 x 5/2) ] = 239 cm2 
 A = 239 cm2 = 239 . 10-4 m2 
 
 méd= 10 . 103 / 239 . 10-4 = 418,41 . 103 N/m2 = 418,41 . 103 Pa = 418,41 kPa 
= - 418,41 kPa (COMPRESSÃO) 
 
Exemplo 2: A peça ilustrada na figura a seguir é feita de aço, o qual possui peso 
específico dado por  = 80 kN/m3. Determine a tensão normal média de compressão que 
age nos pontos A e B; 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Os pontos A e B estão na mesma seção transversal, 
Portanto, apresentam a mesma tensão normal média. 
 méd = F/A 
 
A = . r2 = . 0,22 = 0,126 m2 
F = Waço = Força peso da parte da peça 
 acima da seção transversal; 
 
Lembrando:  = W/volume  W =  . volume 
 
 volume = A . h  h = 800 mm = 0,8 m 
 
 Waço = 80 . 103 . 0,126 . 0,8 = 8,064 .103 N 
 
méd = F/A = 8,064 . 103/ 0,126 = 64. 103 N/m2 = 64 .103 Pa = 64 kPa 
 
 
 Waço = P 
Força externa = força interna  ação e reação 
64 kPa 
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4 
 
Exemplo 3: Um motor de 100,0 kg é suportado por dois cabos AB e AC como mostra a 
figura a seguir. Se AB tem diâmetro de 15 mm, e AC tem diâmetro de 10 mm, determinar 
a tensão normal média em cada cabo; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
- É necessário realizar a análise do equilíbrio do nó A: 
- Estando o nó A em equilíbrio: 
 +  Fx = 0 
 
 +  Fy = 0 
 
Analisando as forças sobre o nó A: 
 +  Fx = 0  - FAB + FAC . cos 300 = 0 
 FAC . cos 300 = FAB 
 +  Fy = 0  FAC . sen 300 - P = 0 

FAC . sen 300 - 981 = 0 
 FAC = 981 / sen 300 
 FAC = 1962 N 
 
 FAC . cos 300 = FAB  FAB = FAC . cos 300 
 FAB = 1962 . cos 300 
 FAB = 1699,14 N 
 
Lembrando que: méd = F/ A ; 
 
 AAB = d2/4 = 152/4 = 176,71 mm2 = 176,71 . 10-6 m2 
 AAC = d2/4 = 102/4 = 78,54 mm2 = 78,54 . 10-6 m2 
 
Cabo AB: méd = FAB/AAB = 1699,14/ 176,71 . 10-6 = 9,62 . 106 N/m2 = 9,62 MPa 
 
Cabo AC: méd = FAc/AAc = 1962/ 78,54 . 10-6 = 24,98 . 106 N/m2 = 24,98 MPa 
 
 
 
 
 
 
FAB 
FAC 
P = 100 . 9,81 = 981 N 
300 
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5Exemplo 4: Um bloco de alumínio de 23 kg é suportado por duas hastes de aço 
acopladas por um anel em A. Determine o ângulo da haste AC, de forma que a tensão 
normal média na haste AC seja 4 vezes maior que a tensão da haste AB. Qual a 
intensidade dessa tensão em cada haste ? O diâmetro de cada haste é indicado na 
figura. 
 
 
 
 
 
Resolução: 
- É necessário realizar a análise do equilíbrio do nó A: 
- Estando o nó A em equilíbrio: 
 +  Fx = 0 
 
 +  Fy = 0 
Analisando as forças sobre o nó A: 
 +  Fx = 0  - FAB . cos 600 + FAC . cos  = 0 (1) 
 
 +  Fy = 0  FAB . sen 600 + FAC . sen  - P = 0 (2) 
 
OBS: toda vez que houver variável ângulo: coloque em evidência; 
Isolando a variável () na 1ª equação ou na 2ª equação : 
Utilizando 1ª equação: 
cos  = 0,5 FAB / FAC (3) 
 = ?  quando AC = 4 AB 
 FAC = 4 . FAB 
 AAC AAB 
 
 AAB = d2/4 = 12/4 = 0,79 cm2 = 0,79 . 10-4 m2 
 AAC = d2/4 = 0,82/4 = 0,50 cm2 = 0,50 . 10-4 m2 
 
 FAC = 4 FAB  FAC = 2,53 FAB 
 0,50 . 10-4 0,79 . 10-4 
 
cos  = 0,5 FAB / FAC  cos  = 0,5 FAB / 2,53 FAB  cos = 0,20  = 78,50 
 
Utilizando a 2 equação: FAB . sen 600 + FAC . sen  - P = 0 
 
 FAB . 0,87 + 2,54 FAB . sen 78,5 - 225,63 = 0 
 
 3,36 FAB = 225,63  FAB = 67,15 N 
  FAC = 2,54 FAB = 170,56 N 
 
 
 
 
 
 
B 
A 
C 
600 
 =? 
dAB = 1,0 cm 
dAC = 0,8 cm 
FAB FAC 
P = 23 . 9,81 = 225,63 N 
600 
 =? 
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Exemplo 5: A viga rígida AC está submetida ao carregamento ilustrado na figura a seguir. 
Determine a tensão normal média na barra AB e no apoio C. Considerar x = 95 mm, 
barra AB de seção transversal de 400 mm2 e apoio C de seção transversal de 650 mm2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
- diagrama de corpo rígido da viga AC 
 
- Utilizando as equações de equilíbrio no 
plano: 
 ∑Fx = 0; ∑Fy = 0; ∑M = 0; 
 
Para determinar: FAB = ? e FC = ? 
 
 
OBS: DICA  TODA VEZ QUE HOUVER DUAS FORÇAS A SEREM DETERMINADAS 
NA DIREÇÃO X OU NA DIREÇÃO Y  UTILIZE PRIMEIRO A 3 EQUAÇÃO: 
 Neste caso: em y : 
 
 MA= 0 +  FC . 200 - 3,0 . 90 = 0  Fc = 3,0 . 90 /200 = 1,35 kN 
 
 
+  Fy = 0  FAB + FC - 3,0 = 0  FAB = 1,65 kN 
 
 
 
- Ponto, fundamental da análise: ação e reação 
 
Barra AB  tracionada: FAB = + 1,65 kN 
 
Apoio C  comprimida: FC = - 1,35 kN 
 
 AAB = 400 mm2 = 400 . 10-6 m2 
 AC = 650 mm2 = 650 . 10-6 m2 
 
 
 
 
 
 
 
FAB 
FC 
 95 mm 
FAB 
FC 
Reação = FAB 
Reação = FC AB = FAB/AAB = + 1,65.103 / 400.10-6 = 4,125 . 106 N/m2 = 4,125 MPa 
 (TRAÇÃO) 
C = FC/AC = - 1,35.103 / 465.10-6 = - 2,077 . 106 N/m2 = - 2,077 MPa 
 (COMPRESSÃO) 
 
 
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Exemplo 6: A viga rígida AB está submetida ao carregamento ilustrado na figura a seguir. 
Determine a tensão normal média no cabo BC. Considerar o cabo BC com 1,0 cm de 
diâmetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
- diagrama de corpo rígido da viga AB 
 
- Utilizando as equações de equilíbrio no 
plano: 
 ∑Fx = 0; ∑Fy = 0; ∑M = 0; 
 
Para determinar: FBC = ? 
 
 
 
 
OBS: DICA  TODA VEZ QUE HOUVER DUAS FORÇAS A SEREM DETERMINADAS 
NA DIREÇÃO X OU NA DIREÇÃO Y  UTILIZE PRIMEIRO A 3 EQUAÇÃO: 
 Neste caso: em x e também em y : 
 
 
 MA= 0 + 
 FBC . cos . 1,6 - FBC . sen . 1,2 - 5000 . 1,2 = 0 
 
 FBC = 12006,0 kN 
 
 
 
 
 
- Ponto, fundamental da análise: ação e reação 
 
Cabo BC  tracionado: FBC = + 12006,0 N 
 
ABC = . d2/4 =  . 1,02 /4 = 0,79 cm2 = 0,79 . 10-4 m2 
 
 
 
 
 
 
 
HA 
VA 
FBC 
HA 
VA 
FBC 

tan  = 1,6/2,0 
 = 38,660 
FBC . sen  
FBC . cos  
FBC 
Reação = FBC 
BC = FBC/ABC = + 12006,0 /0,79 . 10-4 
 = + 151,97 . 106 N/m2 
 = + 151,97 MPa 
 (TRAÇÃO) 
 
HA 
VA 
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Exemplo 7: A barra tem seção transversal constante de 35 mm e espessura de 10 mm. 
Determinar a tensão normal média máxima da barra quando submetida ao carregamento 
mostrado; 
 
 
 
 
Resolução: 
É necessário determinar a força interna de cada trecho, 
a qual , é determinada por meio do MÉTODO DAS SEÇÕES: 
 1º passo: indicar as seções fundamentais: início e fim de barra 
 Pontos com cargas aplicadas 
 2º passo: realizar a análise: esquerda  direita 
 ou 
 direita  esquerda 
 
 3º passo: determinar o esforço imediatamente antes e depois de cada seção 
 para traçar o diagrama de Normal; 
 
 
 
Análise foi pela esquerda: 
 
NAd = + 12 kN, 
NBe = + 12 kN; 
NBd = + 12 + 9 + 9 = 30 kN, 
NCe = + 30 kN; 
NCd = + 30 - 4 - 4 = 22 kN; 
NDe = + 22 kN; x 
 
A tensão normal média máxima da barra vale: 
 
 Como a barra possui seção transversal constante, a tensão normal média máxima 
ocorre no trecho sobre a ação do maior esforço normal; 
 
Trecho BC: PBC= + 30 kN (tração) 
 ABC = A = 35 . 10 = 350 mm2 = 350 . 10-6 m2 
  méd = PBC /ABC 
  méd = 30 . 103 / 350 . 10-6 
méd = 87,71 . 106 N/m2méd = 85,71 MPa (Tração) 
 
 
 
 
 
A B C D 
30 
22 
12 
DN (kN) 
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A1 A2 A3 60 kN 
20 kN 
20 kN 
30 kN 
10 kN 
10 kN 
60 kN 
20 kN 
20 kN 
30 kN 
10 kN 
10 kN 
A 
B 
C D 
E 
DN (kN) 
70 
50 
20 
60 
 
Exemplo 8: A barra circular maciça é composta por segmentos com seções transversais 
diferentes, conforme mostrado. Determinar a tensão normal média máxima da barra 
quando submetida ao carregamento mostrado; 
 
 
 
 
 
 
 
A1 = 600 mm2; A2 = 500 mm2; A3 = 400 mm2; 
 
Resolução: 
É necessário determinar a força interna de cada trecho, 
a qual , é determinada por meio do MÉTODO DAS SEÇÕES: 
 
Para não precisar calcular a reação de apoio: Análise da direita  esquerda; 
 
Análise foi pela esquerda: 
 
NAd = + 70 kN, 
NBe = + 50 + 10 + 10 = 70 kN; 
NBd = + 50 kN; 
NCe = + 20 + 30 = 50 kN, 
NCd = + 20 kN, 
NDe = + 60 - 20 - 20 = 20 kN; 
NDd = + 60 kN; 
NEe = + 60 kN; 
 
 
 
Como a seção não é constante, a tensão deve ser analisada em cada trecho: 
 
Trecho AB: PAB = + 70 kN (tração); AAB = 600 mm2 = 600 . 10-6 m2 
 méd = PAB/AAB = 70 . 103 / 600 . 10-6 méd = 116,67 MPa (TRAÇÃO) 
 
Trecho BC: PBC = + 50 kN (tração); ABC = 500 mm2 = 500 . 10-6 m2 
 méd = PBC/ABC = 50 . 103 / 500 . 10-6 méd = 100,00 MPa (TRAÇÃO) 
 
Trecho CD: PCD = + 20 kN (tração); ACD = 500 mm2 = 500 . 10-6 m2 
 méd = PCD/ACD = 20 . 103 / 500 . 10-6 méd = 40,00 MPa (TRAÇÃO) (TRAÇÃO) 
 
Trecho DE: PDE = + 60 kN (tração); ADE = 400 mm2 = 400 . 10-6 m2 
 méd = PDE/ADE = 60 . 103 / 400 . 10-6 méd = 150,00 MPa (TRAÇÃO) 
 
A tensão normal média máxima ocorre no trecho DE e vale 150 MPa; 
 
 
 
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1.2 - Tensão de cisalhamento Média (- letra grega tau) 
 Para os elementos sobre a ação de uma força F, conforme mostra a figura 2, 
observa-se que no plano de corte surge uma força cortante ou de cisalhamento V. A 
relação entre a força Cortante ou de cisalhamento (V) e a área secionada (A) é definida 
como tensão de cisalhamento média: 
𝝉 =
𝑽
𝑨
 (2) 
 Em que: 
 V = força cortante ou de cisalhamento interna que surge em cada área 
 secionada do elemento; 
 A = área secionada do elemento; 
 
 
 Figura 2: Elementos sob a ação de força cortante ou de cisalhamento 
 
Força Cortante ou de cisalhamento  Força paralela (tangente) à seção secionada 
do elemento; 
 
 
 
 
 Força Cortante = 0; Força Cortante = F . sen ; 
 
 
F 
F F 
F 
F 
F 
V = F 
V = F/2 V = F/2 
V = F 
D 
e 
Área = 2r . e 
A= D . e 
 
Parafusos e pinos: 
Peças coladas ou soldadas: 
Efeito de punção 
Corte simples Corte duplo 
Corte duplo 
 = V/ D . e 
 
Corte simples 
e e 
F 
F 
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Exemplo 9: Um bloco quadrado de aço é soldado sobre uma base rígida e fixa. Sabendo-
se que o bloco possui 10 cm de lado. Determine a tensão de cisalhamento média 
desenvolvida nas faces soldadas quando é aplicada uma força P = 5 N conforme 
ilustrado na figura a seguir. 
 
 
 
Resolução: 
A = 10 . 10 = 100 cm2 = 100 . 10-4 m2 
Força cortante: corte simples  V = P = 5 N 
= 5 / (100 . 10-4) = 500,0 N/m2 = 500,0 Pa 
 
Exemplo 10: Duas barras de aço são emendadas por meio de chapas, que são 
inteiramente soldadas em toda a extensão da superfície de contato. Determine a tensão 
de cisalhamento média que surge em cada superfície de contato devido ao carregamento 
indicado na figura a segui; 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
A = 3 . 3,5 = 10,5 cm2 = 10,5 . 10-4 m2 
Força cortante: corte duplo 
 V = P/2 = 80 kN 

= 80 . 103 / (10,5 . 10-4) = 76,19 . 106 N/m2 = 76,19 MPa 
 
Exemplo 11: Uma chapa de aço é soldada sobre uma coluna. Qual é a tensão de 
cisalhamento média e a tensão normal média desenvolvida na face soldada da chapa 
quando é aplicada uma força P = 5 kN conforme ilustrado na figura a seguir? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
A = 20 . 15 = 300 cm2 = 300 . 10-4 m2 
Força Normal: N = Px = - 2,50 kN 
Força cortante: corte simples 
 V = Py = 4,33 kN 
 
 
 
P V = P 
V = 80 kN 
160 kN 
V = 80 kN 
3 cm 
3,5 cm 
Py = P . sen 600 = 4,33 kN 
Px = P . cos 600 = 2,50 kN 
= 4,33 . 103 / (300 . 10-4) = 144,33 . 103 N/m2 = 144,33 kPa 
= - 2,50 . 103 / (300 . 10-4) = - 83,33 . 103 N/m2 = - 83,33 kPa (compressão) 
 
 
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12 
200 mm 
800 mm 
400 400 mm 
200 mm 
A 
B C 
S 
S 
600 
P =35 kN 
Parte1 Parte2 
E 
F D 
200 mm 
H 
A = 200 . H 
H = ? 
600 
800 mm 
H 
sen 600 = 800 / H 
 
H =800 / sen 600 = 923,76 mm 
 
A = 200 . 923,76 = 184752 mm2 
 
A =184752 . 10-6 m2 
600 
600 
N 
V 
N = 35 sen 600 = 30,31 kN 
 
V = 35 cos 600 = 17,50 kN 
600 
P =35 kN 
 
Exemplo 12: Uma estrutura é composta pela união de duas peças de mesmo material 
conforme ilustra a figura a seguir. Considerando que a estrutura está fixa na extremidade 
esquerda e na extremidade direita é aplicada carga axial P = 35 kN, determine: 
a) a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média na seção localizada no 
plano s-s; 
b) a tensão de cisalhamento média ao longo da superfície plana BC e a tensão normal 
média ao longo da superfície plana AB; 
c) Considerando que a parte2 seja constituída por dois elementos unidos por uma 
emenda colada no plano s-s, determine o maior valor para a carga P sabendo que a cola 
usada na emenda possui uma resistência média ao cisalhamento de 0,5 MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Item a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 = N/A = 30,31 . 103 /184752 . 10-6 = 164,06 . 103 N/m2 = 164,06 kPa 
 
 = V/A = 17,50 . 103 /184752 . 10-6 = 94,72 . 103 N/m2 = 94,72 kPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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13Dentes iguais  nas duas partes (Parte1 e Parte2): possibilidade igual 
de arrancamento do dente: da Parte1 ou da Parte2; 
P =35 kN 
P =35 kN 
200 mm 
800 mm 
400 400 mm 
200 mm 
A 
B C 
S 
S 
600 
P =35 kN 
Parte1 Parte2 
E 
F D 
 
 
Item b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Plano AB: sofre compressão 
Força Normal: N = - P = 35,0 kN 
AAB = 200 . 200 = 40000 mm2 = 40000 . 10-6 m2 
 = N/A = 35 . 103 /40000 . 10-6 
 = 875 . 103 N/m2 = 875 kPa 
 
Plano BC: sofre cisalhamento 
Força cortante: V = P = 35,0 kN 
ABC = 400 . 200 = 80000 mm2 = 80000 . 10-6 m2 
 = V/A = 35 . 103 /80000 . 10-6 
 = 437,5 . 103 N/m2 = 437,5 kPa 
 
 
V = P B C 
A 
400 mm 
200 mm 
200 mm 
N = P 
Parte1 
F 
E B 
A 
B C 
D 
A 
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14 
P = ? 
Parte2 
600 
s 
s 
200 mm 
H 
A = 200 . H 
H = ? 
600 
800 mm 
H 
sen 600 = 800 / H 
 
H =800 / sen 600 = 923,76 mm 
 
A = 200 . 923,76 = 184752 mm2 
 
A =184752 . 10-6 m2 
600 
600 
N 
V 
N = P sen 600 
 
V = P cos 600 
600 
P = ? 
 
Resolução: 
Item c) Considerando que a parte2 seja constituída por dois elementos unidos por uma 
emenda colada no plano s-s: 
 
P = ?  cola possui resistência média ao cisalhamento: cola = 0,5 MPa. 
 
 
 Emenda colada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cola = 0,5 MPa. 

 = V/A 
 
0,5 . 106 = P . cos 600 /184752 . 10-6 
 
P = 184,752 . 103 N = 184,75 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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15 
 
Exemplo 13: O elemento inclinado na figura a seguir 
está submetido a uma força de compressão de 3000 N. 
Determine a tensão normal média de compressão 
ao longo das áreas de contato lisas AB e BC e a 
tensão de cisalhamento média ao longo do 
plano vertical definido por BD e ao longo do 
plano horizontal definido por BE. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
FX = F . cos  = 3000 . 0,6 = 1800 N 
FY = F . sen  = 3000 . 0,8 = 2400 N 
 
Tensão normal média de compressão nas áreas AB e BC: 
AB= NAB / AAB  onde: NAB = FX = 1800 N 
 AAB = 25 . 40 = 1000 mm2 = 1000 . 10-6 m2 
AB= 1800 / (1000 . 10-6) = 1,8.106 N/m2 = 1,8 MPa 
 
BC= NBC / ABC  onde: NBC = FY = 2400 N 
 ABC = 50 . 40 = 2000 mm2 = 2000 . 10-6 m2 
BC= 2400 / (2000 . 10-6) = 1,2.106 N/m2 = 1,2 MPa 
 
 
Tensão de cisalhamento nas áreas BD e BE: 
BD = VBD / ABD  onde: VBD = FY = 2400 N 
 ABD = 30 . 40 = 1200 mm2 = 1200 . 10-6 m2 
BD = 2400 / (1200 . 10-6) = 2,0.106 N/m2 = 2,0 MPa 
 
BE = VBE / ABE  onde: NBE = FX = 1800 N 
 ABE = 75 . 40 = 3000 mm2 = 3000 . 10-6 m2 
BE = 1800 / (3000 . 10-6) = 0,6 .106 N/m2 = 0,6 MPa 
F = 3000 N 
FX 
FY 
FX 

sen  = 4/5 = 0,8 
cos  = 3/5 = 0,6 
A 
A 
B 
D 
C 
E 
75 mm 
50 mm 
40 mm 
25 mm 
3000 N 
5 4 
3 
B 
B E 
FX 
B C 
FY 
B 
D FY 
30 mm 
25 mm 
40 mm 
40 mm 
75 mm 
A 
B 
B B C 
D 
E 
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16 
 
Exemplo 14: A ligação AB está sujeita a uma força de tração 185 kN. Sabendo que as 
chapas A possuem uma espessura de e = 0,35 cm, determine: 
a) O diâmetro do pino no qual a tensão de cisalhamento média permitida é de 120 MPa, 
com aproximação de 1,0 mm. 
b) A espessura da chapa B utilizada na ligação, sabendo que a máxima tensão normal 
será de 250 MPa, com aproximação de 0,5 cm. 
c) O menor valor dA para as chapas A e dB para a chapa B com aproximação de 0,5 cm, 
para que o pino não corte as chapas, sabendo que a tensão de cisalhamento média 
permitida é de 35 MPa para as chapas. Considerar para a chapa B a espessura 
determinada no item b; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
a) Pinos: D = ? 
1 ponto: a carga de 185 kN  é transferida por 1 pino das chapas A para a chapa B e 
vise-versas; 
 
2 ponto: carga no pino: P = 185 kN V = P/2 = 92,5 kN 
 
3 ponto: o pino sofre um corte duplo: V = 92,5 kN P = 185 kN 
 
adm= 120 MPa V = P/2 = 92,5 kN 
 = V/A 
120 . 106 = 92,5 . 103 / A  A = 92,5 . 103 / 120 . 106 = 0,771 . 10-3 m2 
   . r2 = 0,771 . 10-3  r = 0,0157 m = 15,70 mm 
  D = 2 . 15,70 = 31,40 mm (aproximação de 1,0 mm) 
  D = 32,0 mm 
 
b) Chapa B: e = ? e = ? 
Carga na chapa B: P= 185 kN 
Área da seção transversal da chapa: P P 
A = 15 . e chapa B 
adm= 250 MPa 
 = P/A 
250 . 106 = 185 . 103 / A  A = 185 . 103 / 250 . 106 
  A = 0,74 . 10-3 m2 = 7,40 cm2 
  15 . e = 7,4  e = 0,49 cm (aproximação de 0,5 cm) 
  e = 0,5 cm 
185 kN 
A B 
e = ? 
 B 
dA 
dB 
15 cm 
 A 
 A 
15 cm 
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17c) Chapas A : dA = ? 
 Chapa B: dB = ? 
 
Chapas A: para que a força no pino não corte ou cisalhe cada chapa A: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
adm= 35 MPa 
V = 46,25 kN 
 = V/A 
35 . 106 = 46,25 . 103 / A  A = 46,25 . 103 / 35 . 106 
  A = 1,32 . 10-3 m2 
  A = dA . e = 1,32 . 10-3 = dA . 0,035 
  dA = 0,0377 m = 3,77 cm (aproximação de 0,5 cm) 
  dA = 4,0 cm 
 
Chapa B: dB = ? 
 
Chapa B: para que a força no pino não corte ou cisalhe a chapa B: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
adm= 35 MPa 
V = 92,5 kN 
 = V/A 
35 . 106 = 36 . 103 / A  A = 92,5 . 103 / 35 . 106 
  A = 2,64 . 10-3 m2 
  A = dB . e = 2,64 . 10-3 = dA . 0,05 
  dB = 0,0528 m = 5,28 cm (aproximação de 0,5 cm) 
  dB = 5,5 cm 
 
 
 
dB 
dB 
P/2 = 92,5 kN 
V = P/2/2 = 46,25 kN 
V = P/2/2 = 46,25 kN 
dA = ? 
e = 0,35 cm; 
dA 
e 
dA 
e 
P = 185 kN 
V = P/2= 92,5 kN 
dB = ? e = 0,5 cm  item b; 
e 
e 
V = P/2= 92,5 kN 
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18 
 
1.3 - Tensão Admissível 
 Uma peça estrutural deve ser projetada de tal forma a tensão existente nas 
condições de utilização (trabalho) da peça seja consideravelmente menor que Tensão 
de ruptura ou Tensão última do material utilizado para confeccionar a peça. 
 
 Essa tensão menor é chamada de Tensão admissível. 
 
 A tensão admissível é relacionada à tensão de ruptura por meio do coeficiente de 
segurança (C.S.) também chamado e fator de segurança (F.S.), sendo esta relação dada 
por: 
 adm = rup / CS 
 (3) 
 adm = rup / CS 
 
 Para um elemento submetido a uma força axial em sua seção transversal, a área 
mínima desta seção transversal é dada por: 
  
N = P 
 A = Nadm (4) 
 Para um elemento submetido a uma força de cisalhamento ou cortante em sua 
seção transversal, a área mínima desta seção transversal é dada por: 
 
 V = P 
A = Vadm (5) 
 
 Para um elemento submetido a uma força axial em sua seção transversal, o 
comprimento mínimo de ancoragem na região de apoio (engaste) para resistir ao 
cisalhamento provocado pela força axial é dada por: 
 
  
 
 
 
 L L 
 
 V = P A = D . L 
 
 A = Vadm  D . L = Vadm 
 
 L = V ( adm . D) (6) 
 
adm 2r = D 
adm 
P 
P 
P 
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19 
 
Exemplo 15: Para as ligações apresentadas a seguir, determine para: 
a) A ligação 1, o diâmetro mínimo dos parafusos (d) e o comprimento de ancoragem 
mínimo (L) no apoio das chapas A e A’. Sabendo que a tensão de cisalhamento 
admissível nos parafusos é de 150 MPa e que a tensão de cisalhamento admissível do 
material do apoio é de 5 MPa. 
b) A ligação 2, o valor máximo de P. Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível 
do material da chapa é de 17 MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ligação 1; Ligação 2 
 
 
Resolução: 
a) Parafusos: 
1 ponto: a carga de 270 kN  é transferida por 3 parafusos; 45 
 
2 ponto: carga em cada parafuso: P/3 = 90 kN 90 
 
3 ponto: cada parafuso sofre um corte duplo: V = 90/2 = 45 kN 45 
 
adm= 120 MPa 
 = V/A 
150 . 106 = 45 . 103 / A  A = 45 . 103 / 150 . 106 
  A = 0,3 . 10-3 m2 
   . r2 = 0,3 . 10-3  r = 0,00977 m = 9,77 mm 
  d = 2 . 9,77 = 19,54 mm 
 
Comprimento de ancoragem das Chapas A e A’: 
Carga axial em cada chapa: N = 270/2 = 135 kN 
 Área de ancoragem de cada chapa: A 
 A = 2 A1 + 2 A2 N 
 = 2 . (0,01 .L) + 2 (0,15 .L) = 0,32 L 
 
 V = N = 135 kN 
 adm = V/ A  A = V/ adm  0,32. L = 135 . 103 / 5 . 106 
 L = 0,0845 m = 84,5 mm 
 
 
P 270 kN 
10 mm 
10 mm 
15 mm 
20 mm 
20 mm 
20 mm 20 
L 
A1 
A2 
10mm = 0,01 m 
150 mm = 0,15 m 
A B 
A’ 
A 
B 
Vista lateral 
Vista superior 
Vista lateral 
Vista superior 
L 150 mm 
10 mm 
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20 
 
b) P = ? 
Planos de cortes: 
A ligação possui dois planos de cortes um em cada dente: 
 
Os cortes podem ser nos planos: a-a ou b-b 
Uma vez que, os dentes nas peças 
são iguais; 
 
 
 
Força cortante em cada plano de corte a-a: V = P/2 
 adm = V/ A  V = adm . A 
  A = 15 . 20 = 300 mm2 
 A = 300. 10-6 m2 
 V = adm . A  17 . 106 . 300. 10-6 
 V = 5100 N 
 V = P/2 
 P = 10200 N = 10,2 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a-a 
a-a 
b-b 
b-b 
20 mm 15 mm 
P/2 
V = P/2 
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21 
 
VA 
HA 
FBC 
R = 12,5 kN 
0,625 m 
VA = 2,40kN 
HA = 13,46 kN 
RA 
FBC = 16,83 kN 
 
Exemplo 16: A barra rígida AB está acoplada em B à haste BC com 3,0 de comprimento. 
Se a tensão de tração admissível para a haste BC for t_adm = 75 MPa e a tensão de 
cisalhamento admissível para os pinos for adm = 215 MPa. Determine com aproximação 
de 1 mm o diâmetro dos pinos em A e B e o diâmetro da haste BC; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
- Diagrama de corpo livre da barra rígida AB: 
cos  = 4/5 = 0,8 
sen  = 3/5 = 0,6 
 
 
 
- Utilizando as equações de equilíbrio no plano: 
 ∑Fx = 0; ∑Fy = 0; ∑MO = 0; neste caso em relação ao ponto A; 
 
OBS: DICA  TODA VEZ QUE HOUVER DUAS FORÇAS A SEREM DETERMINADAS 
EM CADA DIREÇÃO x e y  UTILIZE PRIMEIRO A 3 EQUAÇÃO: 
 Em x: HA = ? e FBC cos  = ? 
 Em y: VA = ? e FBC sen  = ? 
 
 MA= 0 + FBC . sen  . 3,25 - 12,5 . 2,625 = 0 
 FBC . 0,6 . 3,25 - 32,8125 = 0 
 FBC = 16,83 kN 
 
+  Fx = 0 HA + FBC . cos  = 0 
 HA + 16,83 . 0,8 = 0 HA = - 13,46 kN  HA = 13,46 kN 
 
+  Fy = 0 VA + FBC . sen  - 12,5 = 0 
 VA = - 16,83 . 0,6 + 12,5 VA = 2,40 kN 
 
Ponto A: Força resultante sobre o pino: 
 
 (RA)2 = (HA)2 + (VA)2 
 RA = 13,67 kN 
 
 
Ponto B: Força resultante sobre o pino: 
 RB = FBC =16,837 kN 
10 kN/m 
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22 
 
 
Diâmetro do pino A: ocorre um corte duplo  V = RA/2 = 13,67/2 = 6,835 kN 
 
Diâmetro do pino B: ocorre um corte simples  V = FBC = 16,83 kN 
 
 
 
 
 
 
 
dA = ? 
  = V/A = adm = 215 MPa 
 A = V/adm  A = 6,835 . 103 / 215 . 106 = 31,79 . 10-6 m2 
 
 A = d2/4 = 31,79 . 10-6 m2  d = 6,36 . 10-3 m = 6,36 mm 
  d = 7,0 mm (aproximação de 1 mm) 
 
dB = ? 
  = V/A = adm = 215 MPa 
 A = V/adm  A = 16,83 . 103 / 215 . 106 = 78,28 . 10-6 m2 
 
 A = d2/4 = 78,28 . 10-6 m2  d = 9,98 . 10-3 m = 9,98 mm 
  d = 10,0 mm (aproximação de 1 mm) 
 
Haste BC: 
dBC = ? 
 
 
OBS: Lembrando do conceito de ação e reação: 
 FBC = força da haste BC sobre a barra AB 
 FBC’ = força da barra AB sobre a haste BC 
 
 FBC = FBC’ 
 
 
 
 FBC’ = 16,83 kN 
 
Força na haste BC: FBC’ = 16,83 kN 
 
a) dBC = ? 
  = F/A = t_adm = 75 MPa 
 A = F/t_adm  A = 16,83 . 103 / 75 . 106 = 224,4 . 10-6 m2 
 
 A = d2/4 = 224,4 . 10-6 m2  d = 16,90 . 10-3 m = 16,90 mm 
  d = 17,0 mm (aproximação de 1 mm) 
 
 
13,67 kN 
6,835 kN 
6,835 kN 
16,83 kN 
16,83 kN 
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23 
 
Exemplo 17: A haste suspensa está apoiada em sua extremidade por um disco circular 
fixo acoplado como mostra a figura a seguir. Sabendo que o disco possui um diâmetro 
D, a haste passa por um orifício de 40 mm de diâmetro, a tensão normal admissível para 
a haste e para o disco é dada por adm = 60 MPa, a tensão de cisalhamento admissível 
para o disco circular é dada por adm = 35 MPa e que a tensão de cisalhamento 
admissível para o material de suporte do é dada por adm = 5 MPa, determine com 
aproximação de 1mm: 
a) o diâmetro mínimo para a haste, o diâmetro mínimo para o disco e a espessura mínima 
do disco necessária para suportar a carga de 20 kN. 
b) a espessura mínima h, de modo que o disco circular não penetre ou cisalhe o apoio 
quando for aplicado a carga de 20 kN na haste; 
c) a espessura mínima do disco necessária para suportar a carga de 20 kN, considerando 
que o diâmetro do haste na interface com o disco não é mais de 40 mm como indicado 
na figura 1 e sim o mesmo diâmetro determinado no item a (figura 2); 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1: Itens: a e b; Figura 2: item c; 
 
Resolução: 
a) 
Haste: dH = ? 
  = P/A 
  = adm = 60 MPa 
 P = 20 kN 
 A = P/adm  A = 20,0 . 103 / 60 . 106 = 333,33 .10-6 m2 
 A = d2/4 = 333,33 .10-6 m2  d = 0,02060 m = 20,60 mm 
 dH = 21,0 mm (aproximação de 1 mm) 
 
Disco: D = ? 
  = P/A (tensão de contato com o apoio) Vista inferior do disco 
  = adm = 60 MPa A = D2/4 - d2/4 
 P = 20 kN A = D2/4 - (0,04)2/4 
 
 A = P/adm  A = 20,0 . 103 / 60 . 106 = 333,33 .10-6 m2 
 A = D2/4 - (0,04)2/4  D = 0,04499 m = 44,99 mm 
 
 d = 45,0 mm (aproximação de 1 mm) 
h 
 D 
d  item a 
furo 
D 
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24 
 
Disco circular 
 Espessura: t = ? 
 O disco sobre o efeito de punção  cisalhamento 
  = V/A 
  = adm = 35 MPa 
 V = 20 kN 
 A = V/adm  A = 20,0 . 103 / 35 . 106 = 571,43 . 10-6 m2 
 A = 571,43 mm2 
 
 A = 2r . t = 571,43 mm2 
 r = d/2 = 40/2 = 20 mm 
 571,43 = 2 . . 20 . t 
 t = 4,55 mm 
 t = 5,0 mm (aproximação de 1 mm) 
 
b) 
Base de apoio: 
 Espessura: t = ? 
 A base sofre cisalhamento do disco com 
 Diâmetro D = 45 mm 
 = V/A 
  = adm = 5 MPa 
 V = 20 kN 
 A = V/adm  A = 20,0 . 103 / 5 . 106 = 4000 . 10-6 m2 
 A = 4000 mm2 
 
 A = 2r . h = 4000 mm2 
 r = D/2 = 45/2 = 22,5 mm 
 4000 = 2 . . 22,5 . h 
 h = 28,29 mm 
 h = 29,0 mm (aproximação de 1 mm) 
 
c) 
Disco circular 
 Espessura: t = ? 
 O disco sobre o efeito de punção  cisalhamento 
  = V/A 
  = adm = 35 MPa 
 V = 20 kN 
 A = V/adm  A = 20,0 . 103 / 35 . 106 = 571,43 . 10-6 m2 
 A = 571,43 mm2 
 
 A = 2r . t = 571,43 mm2 
 r = d/2 = 21/2 = 10,5 mm 
 571,43 = 2 . . 10,5 . t 
 t = 8,66 mm 
 t = 9,0 mm (aproximação de 1 mm) 
 
h = ? 
d  item a 
d = 21 mm 
t = ? 
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25 
 
 
 
Exemplo 18: A barra rígida AB mostrada na figura a seguir é sustentada por uma haste 
de aço AC de 20 mm de diâmetro e por um bloco de alumínio com área de seção 
transversal de 1800 mm2. Os pinos de 18 mm de diâmetro em A e C estão submetidos 
a cisalhamentosimples. Considerando as tensões de ruptura do aço e do alumínio 
definidas respectivamente por rup_aço = 680 MPa e rup_alum = 70 MPa, e a tensão de 
ruptura por cisalhamento para cada pino for rup_pino = 900 MPa, determine a maior carga 
P que pode ser aplicada à barra. Aplique um coeficiente de segurança ou fator de 
segurança FS = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
1ponto - Tensões admissíveis: 
 adm_aço = rup_aço / FS = 680/2 = 340 MPa 
 adm_alum = rup_alum / FS = 70/2 = 35 MPa 
 adm_pino = rup_pino / FS = 900/2 = 450 MPa 

2 ponto - Diagrama de corpo livre da barra rígida AB 

rup_aço = 115 MPa 
 
 
 
- Utilizando as equações de equilíbrio no plano: 
 ∑Fx = 0; ∑Fy = 0; ∑MO = 0; neste caso em relação ao ponto A ou B; 
OBS: DICA  TODA VEZ QUE HOUVER DUAS FORÇAS A SEREM DETERMINADAS 
EM CADA DIREÇÃO x e y  UTILIZE PRIMEIRO A 3 EQUAÇÃO: 
 Em x: existe forças  ∑Fx = 0  OK ! 
 Em y: FAC = ? e FB = ? 
 
Optando por utilizar a 3 equação em relação ao ponto B; 
 
 MB= 0 +  FAC . 2 - P . 1,25 = 0 
 FAC = P . 1,25 /2,0 
 FAC = 0,625P (eq. 1) 
 
 
 MA= 0 +  - FB . 2 + P . 0,75 = 0 
 FB = P . 0,75 /2,0 
 FB = 0,375P (eq. 2) 
 
 
 
FAC 
FB 
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26 
 
4 - Determinar o valor de P que produz a tensão admissível na haste AC, no bloco B e 
nos pinos respectivamente: 
 
Haste AC: força máxima suportada pela haste 
 FAC = ? 
  = FAC /A  FAC =  . A 
  = adm_aço = 340 MPa 
 A = d2/4 = 202/4 = 314,16 mm2 = 314,16 .10-6 m2 
 
 FAC = 340.106 . 314,16 .10-6 = 106,81 .103 N 
 
 (eq. 1)  FAC = 0,625P 
 P = FAC/0,625 = 106,81 .103 /0,625 = 171 .103 N 
 
Bloco B: força máxima suportada pelo bloco 
 FB = ? 
  = FB /A  FB =  . A 
  = adm_alum = 35 MPa 
 A = 1800 mm2 = 1800 .10-6 m2 
 
 FB = 35.106 . 1800 .10-6 = 63,0 .103 N 
 
 (eq. 2)  FB = 0,375P 
 P = FB/0,375 = 63,0 .103 /0,375 = 168 .103 N 
 
Pinos em A e C: força máxima suportada pelos pinos 
 A força da haste AC  provoca o corte nos pinos 
 Pino em A e C  corte simples: 
 V = FAC = ? 
 
OBS: QUAL É O VALOR MÁXIMO QUE FAC PODE ASSUMIR PARA NÃO CORTAR 
OS PINOS  O VALOR ANTERIOR DE FAC SERVE APENAS PARA DETERMINAR O 
LIMITE DA HASTE AC E NÃO DOS PINOS; 
 
  = V /A  FAC =  . A 
  = adm_pino = 450 MPa 
 A = d2/4 = 182/4 = 314,16 mm2 = 254,5 .10-6 m2 
 
 FAC = 450.106 . 254,5 .10-6 = 114,53 .103 N 
 
 (eq. 1)  FAC = 0,625P 
 P = FAC/0,625 = 114,53 .103 /0,625 = 183,2 .103 N 
 
 
Por comparação, para que todas as tensões admissíveis sejam respeitadas o valor 
máximo da carga P deve ser: 
 
 P = 168 .103 N 
 
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 1 Lista de exercícios 
 
1) Determine a tensão normal média que age na 
seção transversal a-a da coluna indicada na figura. 
Considerar o peso próprio da coluna de aço que 
possui peso específico  = 77 kN/m3; 
R: méd = - 1,83 MPa (compressão) 
 
 
 
 
 
 
2) O bloco de concreto tem dimensões mostradas na figura a seguir. Se ele for submetido 
a uma força P = 4 kN aplicada em seu centro, determine a tensão normal média sobre o 
bloco. Desconsiderar o peso próprio. 
R: méd = - 0,123 MPa (compressão) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) A luminária de 250 N é sustentada por três hastes 
interligadas por um anel em A. Determine o ângulo  
de modo que a tensão normal média na haste AC 
seja duas vezes a tensão normal média da 
haste AD. considerando os diâmetros 
indicados na figura ao lado; 
R:  = 56,290 
 
 
 
 
 
4) A estrutura composta pela viga rígida AB e pela barra BC 
está submetida ao carregamento ilustrado na figura a seguir. 
Determine a tensão normal média na barra BC. 
Considerar a barra BC de seção transversal 
quadrada de 35 x 35 mm e w = 8 kN/m. 
R:  = + 12,24 MPa (tração) 
 
 
 
 
 
100 mm 
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28 
 
5) Determine a máxima tensão normal média na barra composta ABC, os trechos AB e 
BC apresentam seção transversal quadrada, o lado de cada trecho é indicado na figura 
a seguir; 
R: AB = +72 MPa (tração) 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) A barra composta ABC é submetida ao 
carregamento indicado na figura a seguir. 
Sabendo que a tensão normal média do 
trecho AB não pode exceder 175 MPa 
e 150 no trecho BC, determine os 
menores valores admissíveis para 
os diâmetros d1 e d2 ; 
R: d1 = 22,57 mm 
 d2 = 15,96 mm 
 
 
 
 
 
7) A luminária de 250 N é sustentada por três cabos 
interligados por um anel em A. Determine o diâmetro 
mínimo exigido para cada cabo considerando  = 300 
e uma tensão de tração admissível adm = 125 MPa; 
R: dAB = 1,60 mm 
 dAC = 1,36 mm 
 dAD = 1,51 mm 
 
 
8) Determine a tensão normal média e tensão de cisalhamento média desenvolvidas nas 
fibras madeira orientadas ao longo da seção transversal a-a da prancha; 
R:  = + 0,01518 MPa (tração) 
 = 0,05667 MPa 
 
 
 
 
9) A junta de topo quadrada aberta é usada para 
transmitir uma força de 250 N de uma placa a outra. 
Determine a tensão normal média e a tensãode 
cisalhamento média que essa carga cria 
na face inclinada AB da solda; 
R:  = + 0,025 MPa (tração) 
 = 0,0144 MPa 
130 kN 
75 mm 
130 kN 
50 mm 
760 mm 1000 mm 
300 mm 
250 mm 
180 kN 
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29 
 
10) O elemento B está submetido a uma força de compressão de 4 kN. Supondo que A 
e B sejam ambos de madeira e tenham 10 mm de espessura, determine com 
aproximação de 1mm, a menor dimensão h do apoio e o diâmetro dos parafusos. A 
tensão de cisalhamento admissível na madeira vale 
2,1 MPa e a tensão de cisalhamento admissível 
nos parafusos vale 175 MPa; 
R: h = 73,14 ≈ 74 mm 
d = 1,93 ≈ 2 mm 
 
 
 
 
11) A junta está presa por dois parafusos. Determine 
o diâmetro com aproximação de 1mm exigido para os parafusos se 
a tensão de ruptura por cisalhamento para os parafusos 
vale 350 MPa. Use um fator de segurança para o 
cisalhamento FS = 2,5; 
R: d = 13,49 ≈ 14 mm 
 
 
12) Determine o lado a da seção transversal quadrada exigida para o elemento BC e os 
diâmetros exigidos para os pinos em A e B se a tensão normal admissível for de 21 MPa 
e a tensão de cisalhamento admissível for de 28 MPa; 
R: a = 20,31 ≈ 21 mm 
dA = 19,84 ≈ 20 mm 
 dB = 14,03 ≈ 15 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) O conjunto de pendural é usado para suportar uma carga distribuída w = 12 kN/m. 
Determine o menor diâmetro admissível para a haste AB e para os pinos em A, B e C. 
Os pinos A e B com cisalhamento duplo e o pino C com cisalhamento simples. Considerar 
uma tensão normal admissível de 150 MPa e uma tensão de cisalhamento admissível 
de 175 MPa; 
R: dAB = 15,14 ≈ 16 mm 
dA = dB = 9,90 ≈ 10 mm 
 dC = 12,73 ≈ 13 mm 
 
 
 
 
 
 
 
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30 
 
14) O punção circular B exerce uma força de 2 kN 
no topo da chapa A. Determine a tensão de 
cisalhamento média na chapa devido a 
esse carregamento e a tensão de contato da 
chapa A com o apoio sabendo que o diâmetro 
da chapa A é de 10 mm; 
R: = 79,59 MPa 
 = - 30,32 MPa (compressão) 
 
 
 
15) O parafuso é usado para suportar a carga de 
25 kN. Determine seu diâmetro d com aproximação 
de 1 mm e a espessura exigida h com aproximação 
de 1 mm do suporte de modo que a arruela não penetre 
ou cisalhe (corte) o suporte. A tensão normal admissível 
para o parafuso é adm = 150 MPa e a tensão de 
cisalhamento admissível para o material do 
suporte é adm = 35 MPa. 
R:d = 14,56 ≈ 15 mm 
 h = 9,09 ≈ 10 mm 
 
 
16) As peças de madeira A e B são ligadas por sobre-juntas de madeira, sendo coladas 
nas superfícies de contato com as peças. Deixa-se uma folga de 8 mm entre as 
extremidades de A e B. Determine o valor L para que a tensão de cisalhamento média 
em cada superfície de contato não ultrapasse 10 MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
R:L = 32 mm 
 
 
17) Ao se aplicar a força de 7,2 kN indicada na figura a seguir, a peça de madeira se 
rompe por corte ao longo da superfície tracejada. Determine a tensão de cisalhamento 
média na superfície de ruptura. 
R:  = 6,0 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 mm 
12 kN 
8 mm 
12 kN 
L = ? 
4 mm 
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31 
 
18) Duas pranchas de madeira, com 12 mm de espessura e 225 mm de largura, são 
unidas pela junta de encaixe mostrada na figura. Sabendo que a tensão de cisalhamento 
média da madeira alcança 8 MPa, determine a intensidade máxima da carga axial P. 
R:P = 9,22 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19) Duas pranchas de madeira, com 10 mm de espessura e 160 mm de largura, são 
unidas pela junta de encaixe colada apenas superfícies de contato horizontais mostradas 
na figura a seguir. Sabendo que a tensão de cisalhamento média da cola alcança 8,2 
MPa, determine o comprimento mínimo d do encaixe para a junta suportar uma carga 
axial P = 7,6 kN. 
R: d = 13,24 ≈ 14 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20) A escora de madeira mostrada na figura a seguir está suportada por uma haste de 
aço presa na parede. Para o carregamento indicado na figura, determine: 
a) o diâmetro mínimo da haste dh, sabendo que a 
tensão de cisalhamento admissível é de adm = 55 MPa; 
b) o menor valor d para escora com aproximação 
de 1mm, para que a haste não corte 
a escora, sabendo que a tensão de 
cisalhamento admissível é de adm = 2,5 MPa; 
R: a) dh = 10,76 ≈ 11,0 mm 
 b) d = 50 mm 
 
 
 
 
 
 
cola 
d = ? 
16 mm 
16 mm 
50 mm 
25 mm 
25 mm 
50 mm 225 mm 
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32 
 
21) Uma barra de aço AB de 15,88 mm de diâmetro está encaixada em um furo redondo 
próximo a extremidade C de uma vigota de madeira CD. Para o carregamento mostrado 
determine: 
a) a tensão normal média na seção transversal da vigota; 
b) o menor valor para b de modo que a barra não corte ou cisalhe a vigota de madeira, 
sabendo que a tensão de cisalhamento admissível da madeira é de 0,69 MPa; 
1 in = 2,5 cm 
1 lb = 4,48 N 
 
 
R: a)  = 2,69 MPa 
 b) b = 194,78 ≈ 195 mm 
 
 
 
 
 
 
22) A lança AB de 6 m de comprimento é suportada pelo cabo do guincho com diâmetro 
de 6 mm com tensão admissível adm = 168 MPa. Determine a maior carga P que pode 
ser aplicada sem provocar a ruptura do cabo quando  = 300 e  = 450. 
R: P = 1,74 kN N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23) A ligação ABA’ está sujeita a uma força de tração 144 kN. Sabendo que as chapas 
A e A’ possuem uma espessura de e = 2,0 cm, determine: 
a) O diâmetro dos pinos com aproximação de 1 mm. Considerar tensão de cisalhamento 
média permitida é de 120 MPa. 
b) A espessura da chapa B utilizada na ligação com aproximação de 1 mm, sabendo que 
a máxima tensão normal não deve ultrapassar 250 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: a) d = 27,64 ≈ 28 mm 
 b) e = 11,52 ≈ 12 mm 
 
144 kN 144 kN A B 50 mm A’ 
e = ? 
 B 
144 kN 144 kN 
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3324) Para a ligação apresentada a seguir, determine: 
a) com aproximação de 1 mm o diâmetro mínimo dos parafusos (d), sabendo que a 
tensão de cisalhamento admissível nos parafusos é de 150 MPa. 
b) com aproximação de 1 mm o comprimento de ancoragem mínimo (L1) no apoio das 
chapas A e A’. Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível do material do apoio 
é de 5 MPa. 
c) o menor valor d1 para as chapas A e A’ e d2 para a chapa B com aproximação de 0,5 
cm, para que os parafusos não cortem as chapas, sabendo que a tensão de 
cisalhamento média permitida é de 35 MPa para as chapas; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: a) d = 18,81 ≈ 19 mm 
 b) L1 = 92,59 ≈ 93 mm 
 c) d1 = 92,59 ≈ 93 mm; d2 = 79,36 ≈ 80 mm 
 
25) Dois elementos de madeira de seção transversal retangular uniforme 
são unidos por uma emenda colada como ilustra a figura ao lado. 
Sabendo que a cola possui tensão normal admissível de 600 kPa 
e tensão de cisalhamento admissível de 500 kPa, determine a 
maior carga P que pode ser aplicada. 
OBS: 1.0 in = 2,5 cm 
 
R: P = 2,71 kN 
 
 
26) Uma chapa de 10 mm de espessura está encaixada em um bloco de 
concreto, sendo este utilizado para ancorar um cabo Vertical de 
alta resistência, conforme mostra a figura ao lado. Considerando 
uma carga P de 18 kN, uma tensão normal ruptura da chapa de 250 MPa e 
uma tensão de aderência limite entre a chapa e o concreto 
de 2,1 MPa e um coeficiente de segurança de 3,6, determine: 
a) a largura a necessária para a chapa, com 
 aproximação de 1 mm; 
b) o menor comprimento de ancoragem b para que 
 a placa não seja arrancada do bloco de concreto, 
 com aproximação de 1 mm. Considerar a largura a 
 determinada no item a; 
R: a) a = 25,90 ≈ 26 mm; 
 b) b = 428,82 ≈ 429 mm; 
 
250 kN 
10 mm 
10 mm 
A B 
L1 
A’ 
A 
B 
15 mm 
125 mm 
d2 d1 
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34 
 
27) Uma barra está ancorada em um bloco de concreto, sobre a barra é aplicada uma 
carga P de 18 kN conforme mostra a figura a seguir. Considerando uma tensão normal 
limite de 250 MPa, uma tensão de aderência limite entre a barra e o concreto de 2,1 MPa 
e um coeficiente de segurança de 3,6, determine: 
a) o diâmetro mínimo da barra, com aproximação de 1 mm; 
b) o menor comprimento de ancoragem L para que 
 a barra não seja arrancada do bloco de concreto, 
 com aproximação de 1 mm. Considerar o diâmetro 
 determinado no item a; 
 
R: a) d = 18,16 ≈ 19 mm; 
 b) L = 517,17 ≈ 518 mm; 
 
 
 
 
28) A estrutura de dois elementos está sujeita à carga distribuída uniforme ilustrada na 
figura a seguir. Determine a maior intensidade w da carga distribuída que pode ser 
aplicada à estrutura sem que a tensão normal média ou a tensão de cisalhamento média 
na seção transversal b-b do elemento BC ultrapasse adm = 15 MPa e adm = 16 MPa, 
respectivamente. O elemento BC tem seção transversal quadrada de 30 mm de lado. 
R: w = 16 kN/m